InterviewSolution
Saved Bookmarks
InterviewSolution
This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
एक कण X-Y-तल में एक ऐसे बल के प्रभाव में चलता है कि कण का रेखीय संवेग `vecp(t) = A[hati cos( k t ) - hatj ( sin k t )]` है, जहाँ A तथा k अचर है | बल तथा संवेग के बीच का कोण है :A. `0^(@)`B. `30^(@)`C. `45^(@)`D. `90^(@)` |
|
Answer» Correct Answer - D `vecF = (dvecp)/(dt) = A k[-hati sin (kt) - hatj cos ( k t)].` अब `vecF = vecp = A k [-hati sin (k t) - hatj cos (kt)] * A [hati cos (kt) - hatj sin(k t)]` `=-A k sin (kt) A cos (kt) + A k cos (kt) A sin (kt)` `= - A^(2)k sin (kt) cos(kt) + A^(2)k cos (k t) sin ( k t)` lt brgt `= 0.` |
|
| 2. |
एक जलते हुये भवन से 50 मी दूर खड़ा एक फायरमैन, जल-धारा को क्षैतिज से `30^(@)` ऊपर की ओर फेकता है | यदि जल -धारा का वेग 40 मी/से हो, तो भवन की कितनी ऊँचाई पर जल-धारा टकरायेंगी ? (g = 10 मी/से`""^(2)`) |
|
Answer» Correct Answer - 18.45 मीटर | उदाहरण (50) | |
|
| 3. |
एक द्रव्यमानहीन स्प्रिंग की तनावहीन लम्बाई 4.9 सेमी है | इसका एक सिरा बँधा है तथा दूसरे पर एक छोटा गुटका लगा है (चित्र) | यह निकाय एक घर्षणहीन क्षैतिज तल पर रखा है | समय t = 0 पर गुटके को 0.2 मीटर खींचकर स्थिर अवस्था से छोड़ा जाता है, तब यह कोणीय आवृत्ति `omega = (pi)/(3)` रेडियन/सेकण्ड से सरल आवर्त गति करता है | ठीक उसी समय (t = 0) पर एक छोटा कंकड़ v चाल से बिन्दु P पर क्षैतिज से `45^(@)` के कोण पर प्रक्षपित किया जाता है, बिन्दु P को बिन्दु O से क्षैतिज दूरी 10 मीटर है | यदि t = 1 सेकण्ड पर कंकड़ गुटके पर गिरता है, तथा का मान है ( g = 10 मी/से`""^(2)`)A. `sqrt(50)` मी/सेB. `sqrt(51)` मी/सेC. `sqrt(52)` मी/सेD. `sqrt(53)` मी/से |
|
Answer» Correct Answer - A प्रक्षेपित कंकड़ का उड़ान का समय `t = (2 u sin theta)/(g)` यहाँ `t =1` सेकण्ड `u = v, theta = 45^(@), g = 10` मी/से`""^(2)` `therefore 1 = (2 v sin 45^(@))/(10)` अथवा `v = 5sqrt(2) = sqrt(50)` मी/से | |
|
| 4. |
एक प्रक्षेप्य को प्रारंभिक वेग `(hati + 2hatj)` मी/से दिया जाता है, जहाँ `hati` जमीन के अनुदिश है तथा `hatj` ऊर्ध्वाधर के अनुदिश है | यदि g = 10 मी/से`""^(2)` हो, तो प्रक्षेप-पथ की समीकरण है :A. `y =x- 5x^(2)`B. `y = 2x - 5x^(2)`C. `4y = 2x - 5x^(2)`D. `4y = 2x - 25x^(2).` |
|
Answer» Correct Answer - B `vecu = hati + 2hatj` क्षैतिज दिशा में विस्थापन `x= u_(x) xx t` `therefore x = 1 xx t " " …(i)` `y = u_(y)t - (1)/(2)gt^(2) = 2t -(1)/(2)(10)t^(2) " "….(ii)` समीकरण (i) व (ii) से `y = 2x - 5x^(2).` |
|
| 5. |
एक लड़का एक पत्थर को अधिकतम 10 मीटर की ऊँचाई तक फेंक सकता है। उस लड़के द्वारा फेंकी जा सकने वाली अधिकतम क्षैतिज दुरी होगी :A. 10 मीटरB. `10sqrt(2)` मीटरC. 20 मीटरD. `20sqrt(2)` मीटर |
|
Answer» Correct Answer - C `h(max) = (u^(2))/(2g) = 10` मीटर `therefore (u^(2))/(g) = 20` मीटर, `R(max) = (u^(2))/(g) = 20` मीटर| |
|
| 6. |
यदि `|vecA xx vecB| =AB`, तब `vecA` तथा `vecB` के बीच कोण है : |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 7. |
यदि `vecA * vecB = AB`, तब `vecA` तथा `vecB` के बीच कोण है : |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 8. |
यदि `|vecA xx vecB| = vecA* vecB`, तब `vecA` तथा `vecB` के बीच कोण है : |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 9. |
किसी कण पर आरोपित बल `vecF = ( 3hati + 4hatj - 5hatk)` न्यूटन कण में विस्थापन `vecs = ( 5hati + 4hatj + 3hatk)` मीटर उतपन्न करता है | ज्ञात कीजिए : (i) बल द्वारा किया गया कार्य (ii) बल `vecF` व विस्थापन `vecs` के बीच कोण |
| Answer» (i) 16 जूल, (ii) `cos^(-1) (8)/(25).` | |
| 10. |
दो सदिशों `2hati + 5hatk` तथा `3hatj + 4hatk` है | इनका अदिश गुणन है :A. 20B. 23C. 26D. `5sqrt(33).` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 11. |
एक पिण्ड पर बल `vecF = (4hati + 5hatj)` न्यूटन लगता है | यह बल पिण्ड को `vecs = (3hati + 6hatk)` मीटर विस्थापित करता है | किया गया कार्य है :A. 30 जूलB. 12 जूलC. 38 जूलD. 42 जूल |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 12. |
किसी कण पर `4hati + hatj` न्यूटन का बल लगाकर उसे `3hati + 2hatj` मीटर से `14hati + 13hatj` मीटर की स्थिति पर विस्थापित किया जाता हैं | बल द्वारा किये गये कार्य के गणना कीजिए | |
|
Answer» बल `vecF` द्वारा विस्थापन `vecs` के दौरान किया गया कार्य W, `vecF` तथा `vecs` के अदिश गुणन के बराबर होता हैं, अर्थात `W = vecF * vecs` प्रश्नानुशार, `vecF = 4hati + hatj` न्यूटन तथा `vecs = (14hati + 13hatj) -(3hati + 2hatj) = 11hati + 11hatj` मीटर| `therefore W = (4hati + hatj) * (11hati + 11hatj) = (4)(11)+(1)(11) = 55` जूल | |
|
| 13. |
यदि `vecA = vecB + vecC` तथा `vecA, vecB` व `vecC` के परिमाण 5, 4 व 3 मात्रक हो, तो `vecA` तथा `vecC` के बिच कोण है :A. `cos^(-1) (3//5)`B. `cos^(-1) (4//5)`C. `pi//2`D. `sin^(-1)(3//5)` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 14. |
सदिश `hati + hatj` का परिणाम ज्ञात कीजिए |
| Answer» `sqrt((1)^(2) + (1)^(2)) = sqrt(2).` | |
| 15. |
यदि `|vecA -vecB| = |vecA| = |vecB|`, तो सदिशों `vecA` तथा `vecB` के बीच कोण है :A. `30^(@)`B. `90^(@)`C. `120^(@)`D. `60^(@)` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 16. |
यदि `|vecA| = |vecB| = |vecA + vecB|` तो सदिशों `vecA` तथा `vecB` के बीच कोण है : |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 17. |
यदि सदिश `a = (hati + 3hatj - 2hatk)` हो तो `a` का परिणाम होगा :A. `sqrt(6)`B. `sqrt(10)`C. `sqrt(11)`D. `sqrt(14)`. |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 18. |
यदि `|vecA -vecB| = |vecA| = |vecB|`, तो सदिशों `vecA` तथा `vecB` के बीच कोण है :A. `60^(@)`B. `0^(@)`C. `120^(@)`D. `90^(2)` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 19. |
यदि एक बिंदु पर लगने वाले दो बलों `vecF` व `vecF` के परिणाम बल का परिणाम भी `F` हो, तो इन दोनों बलों के बीच कोण होगा |A. `0^(@)`B. `60^(@)`C. `120^(@)`D. `90^(@)` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 20. |
यदि `vecA` तथा `vecB` दो सदिश है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सम्बन्ध सही नहीं है ?A. `vecA + vecB = vecB + vecA`B. `vecA - vecB = -(vecB - vecA)`C. `vecA xx vecB = vecB = vecA`D. `vecA * vecB = vecB * vecA`. |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 21. |
यदि दो सदिश `vecA` तथा `vecB` परस्पर लंबवत है, तो :A. `vecA + vecB = 0`B. `vecA - vecB = 0`C. `vecA xx vecB = 0`D. `vecA * vecB = 0` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 22. |
(a) यदि सदिश `vecA = A_(x) hati + A_(y) hatj + A_(z) hatk` तथा सदिश `vecB = B_(x)hati + B_(y) hatj + B_(z) hatk` के बीच का कोण `theta` हो, तो सिद्ध कीजिए कि ` cos theta = (A_(x)B_(x) + A_(y)B_(y) + A_(z)B_(z))/(sqrt(A_(x)^(2) + A_(y)^(2) + A_(z)^(2)) sqrt(B_(x)^(2) + B_(y)^(2) + B_(z)^(2)` (b) सदिश `(hati + hatj)` तथा `(hatj + hatk)` के बीच कोण कितना होगा ? |
| Answer» ` cos theta = (0+1+0)/(sqrt(1^(2) + 1^(2))sqrt(1^(2) +1^(1))) = (1)/(sqrt(2)sqrt(2)) = (1)/(2)` | |
| 23. |
यदि दो सदिश `vecA` तथा `vecB` के बीच कोण ज्ञात कीजिये, यदि `|vecA - vecB| = |vecA - vecB|` |
|
Answer» प्रश्नानुसार, `|vecA + vecB| = |vecA - vecB|` अथवा `|vecA + vecB|^(2) = |vecA - vecB|^(2)`. हम जानते है कि किसी सदिश का उसी सदिश से अदिश गुणन उस सदिश के परिणाम के वर्ग के बराबर होता है |अतः `(vecA + vecB) * (vecA + vec B) = (vecA - vecB) * (vecA - vecB)` अथवा `vecA * vecA + vecA * vecB + vecB * vecA + vecB * vecB` `= vecA * vecA - vecA * vecB - vecB * vecA + vecB * vecB` अथवा `vecA * vecB + vecB * vecA = -vecA * vecB - vecB * vecA.` परन्तु `vecB * vecA = vecA * vecB.` अतः `(2vecA * vecB) =- 2(vecA * vecB)` अथवा `4(vecA * vecB) = 0` अथवा `vecA * vecB = 0`. चूँकि सदिशों `vecA` व `vecB` का गुणनफल शून्य है, अतः `vecA` व `vecB` के बीच `90^(@)` कोण है, अर्थात `vecA` व `vecB` परस्पर लंबवत है | |
|
| 24. |
दो बराबर सदिशों का परिणामी (i) कब शून्य हो सकता है तथा (ii) कब प्रत्येक के बराबर हो सकता है ? |
|
Answer» (i) दो सदिशों `vecA` व `vecB` का परिणामी मान `R = sqrt(A^(2) + B^(2) + 2A B cos theta),` जहाँ `theta`, सदिशों के बीच कोण है | यदि `A = B` तब `R = 0` के लिए `O = sqrt(A^(2) + A^(2) + 2A^(2) cos theta) = sqrt(2A^(2) (1+ cos theta))` अथवा `" " 1 + cos theta = 0` अथवा `" "cos theta =-1 = cos 180^(@)` अतः `" " theta = 180^(@)` अर्थात दोनों सदिश परस्पर विपरीत दिष्ट हों | (ii) `R = A` के लिए `" " A = sqrt(2A^(2) ( 1+ cos theta))` अथवा `" " 1+ cos theta = 1//2` अथवा `" " cos theta = 1//2 = cos 120^(@)` अतः `theta = 120^(@)` अर्थात दोनों सदिशों के बीच कोण हों | |
|
| 25. |
यदि सदिश `vecA` का परिमाण 3 मात्रक, `vecB` का परिमाण 6 मात्रक तथा `vecA xx vecB` का परिमाण 9 मात्रक है, तो `vecA` व `vecB` के बीच कितना कोण होगा ? |
|
Answer» Correct Answer - `theta = 30^(@)` अथवा `150^(@)`. `sin theta = (|vecA xx vecB|)/(AB) = (9)/(3 xx 6) = (1)/(2).` |
|
| 26. |
दो सदिशों `vecA` तथा `vecB` के योग तथा अंतर परस्पर लंबवत है | सिद्ध कीजिए कि दोनों सदिशों `vecA` तथा `vecB` के मान समान है | |
|
Answer» माना कि दो सदिश `vecA` व `vecB` है | इनका योग `(vecA + vecB)` तथा अंतर `(vecA - vecB)` होगा | यदि ये दोनों परस्पर लंबवत है, तो इनका सदिश गुणन शून्य होना चाहिये, अर्थात `(vecA + vecB)*(vecA - vecB) =0` अथवा `vecA * vecA - vecA * vecB + vecB * vecA - vecB * vecB = 0`. हम जानते है कि `vecA * vecB = vecB * vecA` तथा `vecA * vecA = A^(2)` व `vecB * vecB = B^(2)` . इन मानो को उपरोक्त समीकरण में रखने पर, `A^(2) - B^(2) = 0` अथवा `A^(2) = B^(2)` अतः `A = pm B`. |
|
| 27. |
किस दशा में दो सदिशों के योग व अंतर परिमाण में बराबर होंगे ? |
| Answer» जब दोनों सदिश परिणाम में बराबर तथा परस्पर लंबवत हों | | |
| 28. |
एक पिंड Y-अक्ष के अनुदिश गति के लिये प्रतिबंधित (constrained) है | यदि पिण्ड पर, `-3hati + 15 hatj + 6hatk` न्यूटन का बल लगे तथा पिण्ड का Y-अक्ष के अनुदिश विस्थापन 10 मीटर हों, तो बल द्वारा कितना कार्य किया गया ? |
| Answer» Correct Answer - 150 जूल | | |
| 29. |
यदि दो सदिशों के योग का परिमाण उन दो सदिशों के परिमाण के बराबर है, तो इन सदिशों के बीच कोण है :A. `0^(@)`B. `90^(@)`C. `45^(@)`D. `180^(@)` |
|
Answer» Correct Answer - B `|vecA + vecB| = |vecA -vecB|` `A^(2) + B^(2) + 2AB cos theta = A^(2) + B^(2) - 2 AB cos theta` `4 AB cos theta = 0 rArr theta = 90^(@).` |
|
| 30. |
किसी पिण्ड का कोणीय वेग `2hati + 3hatk + hatk` तथा घूर्णन अक्ष से स्थिति सदिश `hati + 2hatj + 5hatk` है, तो पिण्ड का रेखीय वेग क्षैतिज कीजिए | |
| Answer» `13 hati + 9hatj + hatk` | |
| 31. |
किसी पिण्ड का कोणीय त्वरण `2hati + 3hatj + hatk` है| पिण्ड का घूर्णन अक्ष से स्थिति सदिश `3hati + 2hatj + 4hatk` है | पिण्ड का रेखीय त्वरण ज्ञात कीजिए | |
| Answer» `10 hati - 5hatj - 5hatk`. | |
| 32. |
किसी घूर्णन गति करते हुए पिण्ड पर बल, `vecF = (2hat+ 3hatj - 4hatk)` न्यूटन तथा स्थिति वेक्टर, `vecr = (-2hati -3hatj + 4hatk)` मी से प्रदर्शित है | पिण्ड पर कार्यरत बल-आघूर्ण का मान ज्ञात कीजिए | |
| Answer» Correct Answer - शून्य | |
| 33. |
1 किग्रा द्रव्यमान का एक पिण्ड किसी कलाश्रित बल `vecF = (2t hati + 3t^(2)hatj)` के आधीन गति आरंभ करता है, तो समय में इस बल द्वारा विकसित शक्ति होगी :A. `(2t^(2) + 3t^(3))W`B. `(2t^(2) + 4t^(4))W`C. `(2t^(3) + 3T^(4))W`D. `(2t^(3) + 3t^(5))W.` |
|
Answer» Correct Answer - D `vecF = (2t hati + 3t^(2) hatj), veca = 2t hati + 3t^(2)hatj` `vecv = int_(0)^(t) veca dt = t^(2) hati + t^(3) hatj` `vecP = vecF * vecv =2t * t^(2) + 3t^(2) * t^(3) = 2t^(3) + 3t^(5).` |
|
| 34. |
यदि `vecA = -2hati + 3hatj + hatk` तथा `vecB = hati + 2hatj - 4hatk` हों,तो `vecA` व `vecB` के बीच कोण ज्ञात कीजिए | |
| Answer» Correct Answer - `90^(@).` | |
| 35. |
सदिश `2hati + 3hatj` तथा Y-अक्ष के बीच कोण है :A. `tan^(-1)(3//2)`B. `tan^(-1)(2//3)`C. `sin^(-1)(2//3)`D. `cos^(-1)(2//3)` |
|
Answer» Correct Answer - B माना `vecA = 2hati + 3hatj` व `vecB = hatj` (Y-अक्ष) तथा इनके बीच कोण `theta` है | तब `cso theta = (vecA * vecB)/(AB) = ((2)(0) + (3)(1))/(sqrt((13))(1)) = (3)/(sqrt(13))` अथवा `tan theta = (2)/(3).` |
|
| 36. |
यदि `vecA, vecB` व `vecC` एकतलीय अशून्य सदिश है तथा `vecA * vecB =0` व `vecB * vecC = 0` तो `vecA * vecC` का मान ज्ञात कीजिए | |
| Answer» `vecA` व `vecB` परस्पर लंबवत है तथा `vecB` व `vecC` भी परस्पर लंबवत है| अतः `vecA` व `vecC` परस्पर समान्तर है | तब `vecA * vecC = AC`. | |
| 37. |
यदि `vecA = 3hati + 2hatj` तथा `vecB = hati - 2hatj + 3hatk` हो, तो `|vecA + vecB|` तथा `|vecA - vecB|` के मान ज्ञात कीजिए | |
| Answer» Correct Answer - `5sqrt(29).` | |
| 38. |
दो सदिशों `vecA = 4hati + 3hatj - 4hatk` तथा `vecB = 3hati + 4hatj + 6hatk` के बीच कोण है : |
|
Answer» Correct Answer - D `vecA * vecB =0`. अतः `vecA` तथा `vecB` के बीच कोण `90^(@)` है | |
|
| 39. |
वह शर्त ज्ञात कीजिए जिससे `( veca * vecb)^(2) = a^(2)b^(2)` होगा | |
|
Answer» `veca * vecb = ab cos theta` `therefore ( veca * vecb)^(2) = a^(2)b^(2) cos^(2) theta` यहाँ `(veca * vecb)^(2) = a^(2)b^(2)` होगा जब `cos theta =1` अर्थात `theta = 0, veca` तथा `vecb` समान्तर होंगे | |
|
| 40. |
यदि `vecA = vecB -vecC`, तो `vecA` व `vecB` के बीच कोण ज्ञात कीजिए | |
|
Answer» Correct Answer - `theta = cos^(-1)((A^(2) + B^(2) -C^(2))/(2 AB)).` `vecC = vecB - vecA, vecC * vecC = (vecB - vecA) * (vecB - vecA).` |
|
| 41. |
यदि सदिशों `vecA, vecB` व `vecC` के परिमाण क्रमशः `12, 5` व 13 मात्रक है तथा `vecA + vecB = vecC` है, तो `vecA` व `vecB` के बिच कोण होगा : |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 42. |
किसी सदिश में परिमाण व दिशा दोनों होते है | क्या इसका यह अर्थ है कि कोई राशि परिमाण व दिशा हो, वह अवश्य ही सदिश होगी ? किसी वस्तु के घूर्णन की व्याख्या घूर्णन-अक्ष की दिशा और अक्ष के परितः घूर्णन कोण द्वारा की जा सकती है | क्या इसका यह अर्थ है कि कोई भी घूर्णन एक सदिश है ? |
|
Answer» नहीं, यह आवश्यक नहीं कि किसी राशि के परिमाण व दिशा होने पर सदिश राशि हो, क्योकि किसी राशि के सदिश होने के लिए परिमाण व दिशा होने के साथ-साथ उसे सदिशों के योग के क्रम-विनिमय नियम व त्रिभुज के योग के नियम का पालन अवश्य करना चाहिए | निश्चित घूर्णन योग के क्रम-विनिमय नियम का पालन नहीं करते, अतः वे सदिश नहीं है | यद्यपि अनन्तः सूक्ष्म घूर्णन सदिशों के योग के के क्रम-विनिमय नियम का पालन करते है, अतः वे सदिश है | इस प्रकार बड़े घूर्णन कोण अदिश तथा अत्यंत सूक्ष्म कोण सदिश होते है | |
|
| 43. |
किसी सदिश में परिमाण व् दिशा दोनों होते है | क्या दीकस्थान में इसकी कोई स्थिति होती है ? क्या यह समय के साथ परिवर्तित हो सकता है | क्या दिक्स्थान में भिन्न स्थानों पर दो बराबर सदिशों `veca` व `vecb` का समान भौतिक प्रभाव अवश्य पड़ेगा ? अपने उत्तर के समर्थन में उदाहरण दीजिए | |
|
Answer» नहीं, दिये गए सदिश (परिमाण व दिशा नियत) दी दिक् स्थान में कोई स्थिति नहीं होती | नहीं, यह समय के साथ परिवर्तित नहीं होता (बर्शते कि इसका परिमाण व दिशा दी गयी हो )| उदाहरण के लिए, `veca = 2hati + 3hat + 5hatk` की कोई स्थिति नहीं है और न ही यह समय के साथ बदलता है | हाँ, विभिन्न स्थानों पर दो बराबर सदिशों का समान भौतिक प्रभाव रहता है | उदाहरण के लिए, विभिन्न स्थानों पर मुक्त रूप से गिरती दो वस्तुओं पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभाव समान है बर्शते `vecg_(1) = vecg_(2) = vecg` (दोनों स्थानों पर ) | |
|
| 44. |
बिंदु `(-2, 3, 4)` पर बल `vecF = hati + hatj + hatk` न्यूटन कार्यरत है | (i) मूलबिंदु तथा (ii) बिंदु (1, 2, 3) के परितः बल-आघूर्ण ज्ञात कीजिए | |
|
Answer» (i) बल `vecF = hati + hatj + hatk` न्यूटन | मूलबिंदु `(0, 0, 0)` के सापेक्ष बिंदु `(-2, 3, 4)` का स्थिति सदिश `vecr = (-2-0) hati + (3-0) hatj + (4-0) hatk` `=-2hati + 3hatj + 4hatk`. `therefore` बल-आघूर्ण `vectau = vecr xx vecF = |{:(,hati,,hatj,,hatk),(,-2,,3,,4),(,1,,1,,1):}|` `=(3-4)jhati -(-2-4)hatj + (-2-3) hatk` `=-hati + 6 hatj - 5hatk` न्यूटन-मीटर | (ii) बिंदु `(1, 2, 3)` के सापेक्ष बिंदु `(-2, 3, 4)` का स्थिति सदिश `vecr = (-2-1) hati + (3-2) hatj + (4-3)hatk` ` =-3hati + hatj + hatk` ` therefore vectau = vecr xx vecF = |{:(,hati,,hatj,,hatk),(,-3,,1,,1),(,1,,1,,1):}|` `=(1-1)hati - (-3-1)hatj + (-3-1)hatk` `= 4hatj - 4hatk` न्यूटन-मीटर | |
|
| 45. |
सिद्ध कीजिए कि `(veca xx vecb) =a^(2)b^(2) - (veca * vecb)^(2)`. |
|
Answer» `(veca xx vecb) = (ab sin theta)^(2) = a^(2)b^(2) sin^(2) theta` `= a^(2) b^(2) (1 - cos^(2) theta)` `=a^(2) b^(2) -(ab cos theta)^(2) =a^(2)b^(2) -(veca * vecb)^(2)`. |
|
| 46. |
यदि `vecA = A_(x) hati + A_(y) hatj+ A_(z) hatk` तथा `vecB = B_(x) hati + B_(y) hatj + B_(z) hatk` है, तो सिद्ध कीजिए कि `vecA xx vecB = -vecB xx vecA`. |
|
Answer» दो सदिशों की सदिश गुणा से `vecA xx vecB =|{:(,hati,,hatj,,hatk),(,A_(x),,A_(y),,A_(z)),(,B_(x),,B_(y),,B_(z)):}|` सारणिक की दूसरी तथा तीसरी पंक्तियों को परस्पर बदलने पर, `vecA xx vecB =|{:(,hati,,hatj,,hatk),(,B_(x),,B_(y),,B_(z)),(,A_(x),,A_(y),,A_(z)):}|=-vecBxxvecA.` |
|
| 47. |
सिद्ध कीजिए : (i) `(vecA + vecB) - (vecA - vecB)^(2) = 4(vecA * vecB)`. (ii) `(vecA + vecB) xx (vecA - vecB) = -2(vecA xx vecB)`. (iii) `(vecA xx vecB)^(2) + (vecA * vecB)^(2) = A^(2)B^(2)`. |
|
Answer» (i) हम जानते है `(vecA)^(2) = vecA * vecA = A A cos 0 = A^(2).` `therefore (vecA + vecB) -(vecA - vecB)^(2)` `= (A^(2) + B^(2) + 2 A B cos theta) - (A^(2) + B^(2) -2A B cos theta)` `= 4 AB cos theta = 4(vecA * vecB).` (ii) `(vecA + vecB) xx (vecA - vecB)` `=vecA xx vecA - vecA xx vecB + vecB xx vecA - vecB xx vecB` ` = -vecA xx vecB - vecA xx vecB` `[therefore vecA xx vecA = vecB xx vecB = 0, vecB xx vecA = - vecA xx vecB]` `= -2 (vecA xx vecB)` (iii) `(vecA xx vecB)^(2) + (vecA * vecB)^(2) = |vecA xx vecB|^(2) + (vecA * vecB)^(2)` ` " " ( A B sin theta)^(2) + (A B cos theta)^(2)` `" "A^(2) B^(2) ( sin^(2)theta+ cos^(2)theta)` ` " "=A^(2)B^(2).` |
|
| 48. |
यदि `vecA xx vecB =0` तथा `vecB xx vecC = 0` तो सिद्ध कीजिए कि `vecA xx vecC = 0` |
|
Answer» यदि तो सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य है, तो वे दोनों सदिश समान्तर है | अतः यदि `vecA xx vecB =0`, तो `vecA` तथा `vecB` परस्पर समान्तर है यदि `vecB xx vecC = 0`, तो `vecB` तथा `vecC` परस्पर समान्तर है अतः `vecA` तथा `vecC` भी परस्पर समान्तर होंगे , अर्थात `vecA xx vecC = 0` . |
|
| 49. |
सदिश `vecA` के x- एवं y- घटक क्रमश: 4 एवं 6 मीटर हैं | सदिश `(vecA + vecB)` के x- एवं y- घटक क्रमशः 10 एवं 9 मीटर हैं | सदिश `vecA` के लिए गणना कीजिए : (i) इसके x- एवं y- घटक, (ii) इसकी लम्बाई तथा (iii) इसका x- अक्ष बनने वाला कोण | |
|
Answer» दिया हैं :`A_(x) = 4` मीटर, `A_(y) = 6` मीटर, `A_(x) + b_(x) = 10` मीटर, `A_(y) + B_(y) = 9` मीटर | (i)`therefore B_(x) = 10` मीटर `-4` मीटर = 6 मीटर, `B_(y) = 9` मीटर `-6` मीटर = 3 मीटर | (ii) `B = sqrt(B_(x)^(2) + B_(y)^(2)) = sqrt(39 + 9) = sqrt(45)` मीटर | (iii) `theta = tan^(-1)""(B_(y))/(B_(x)) = tan^(-1)"" (3)/(6) = 26.6^(@)` . |
|
| 50. |
सदिश `vecA` का परिमाण 2.5 मीटर है तथा उत्तर की ओर दिष्ट है | निम्नलिखित सदिशों के परिमाण व दिशायें क्या होंगी ? (i) `-vecA` (ii) `vecA //2.0` (iii) `-2.5 vecA` (iv) `4.0 vecA`. |
| Answer» (i) 2.5 मीटर दक्षिण की ओर, (ii) 1.25 मीटर उत्तर की ओर, (iii) 6.25 मीटर दक्षिण की ओर तथा (iv) 10 मीटर उत्तर की ओर | | |