InterviewSolution
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| 51. |
निम्नलिखित संख्याओं का मापांक ज्ञात कीजिए । (i) `(3+sqrt(-1))/(2-sqrt(-1))` (ii) `1+i` (iii) `2+sqrt(-13)` (iv) `((3+4i)(4+5i))/((4+3i)(6+7i))` (v) `1+sqrt(-5)` (vi) `(5+2i)(-3-7i)` (vii) `(2+sqrt(-3))^(2)` |
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Answer» Correct Answer - (i) `sqrt(2)` (ii) `sqrt(2)` (iii) `sqrt(7)` (iv) `sqrt((41)/(85))` (v) `sqrt(6)` (vi) `29sqrt(2)` (vii) `7` (i) `(3+sqrt(-1))/(2-sqrt(-1))=(3+sqrt(i^(2)))/(2-sqrt(i^(2)))=(3+i)/(2-i)=(3+i)/(2-i)xx(2+i)/(2+i)=(6+5i-1)/(4-i^(2))=(5+5i)/(5)=1+i` `rArr(1+i)` का मापांक `=sqrt(1^(2)+1^(2))=sqrt(2)` |
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| 52. |
यदि `x+iy=sqrt((a+ib)/(x+id))`, तो सिद्ध कीजिए कि |
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Answer» `x+iy=sqrt((a+ib)/(c+id))` `rArr" "(x+iy)^(2)=(a+ib)/(c+id)` `rArr" "|(x+iy)|^(2)=|(a+ib)/(c+id)|` `rArr" "(sqrt(x^(2)+y^(2)))^(2)=(sqrt(a^(2)+b^(2)))/(sqrt(c^(2)+d^(2)))` `rArr" "(x^(2)+y^(2))=(sqrt(a^(2)+b^(2)))/(sqrt(c^(2)+d^(2)))` `rArr" "(x^(2)+y^(2))^2=(a^(2)+b^(2))/(c^(2)+d^(2))` यदि सिद्ध करना था |
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| 53. |
यदि ` z = ( ( 1 + i ) ^ 2 ) / ( 3 - i) `, तो `Re ( z ) = `A. ` ( 1 ) / ( 5 ) `B. ` ( 1 ) / ( 3 ) `C. ` - ( 1 ) / ( 3 ) `D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 54. |
सिद्ध कीजिए - `sqrt(a+ib)+sqrt(a-ib)=sqrt(2(sqrt(a^(2)+b^(2))+a))` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=sqrt(a+ib)+sqrt(a-ib)` वर्ग करने पर, `(sqrt(a+ib)+sqrt(a-ib))^(2)=(a+ib)+(a-ib)+2sqrt(a+ib)*sqrt(a-bi)` `=2a+2sqrt(a^(2)+b^(2))=2(sqrt(a^(2)+b^(2)+a))` ltbrlt `rArr" "sqrt(a+ib)+sqrt(a-ib)=sqrt(2(sqrt(a^(2)+b^(2))+a))` यही सिद्ध करना था । |
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| 55. |
` ( x - y ) ( x- omega y ) ( x- omega ^ 2 y ) = `A. ` x ^ 2 - y ^ 2 `B. ` x ^ 2 + y ^ 2 `C. ` x ^ 2 - xy + y ^ 2 `D. ` x ^ 3 - y ^ 3 ` |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 56. |
यदि ` ( 1 )/( a - ib ) = ( x- iy )/( x+ i y ) `, तो ` a ^ 2 + b ^ 2 `A. `x^2+y^2 `B. `1`C. `0`D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 57. |
यदि `root(3)(a+ib)=x+iy`, तो सिद्ध करें की `a/x+b/y=4(x^(2)-y^(2))` |
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Answer» दिया है : `(3sqrt(a+ib))=x+iy` `rArr" "(a+ib)=(x+iy)^(3)` `=x^(3)+3x^(2)* iy +3 x i^(2) y^(2) +i^(3)y^(3)` `=x^(3)+3x^(2)yi-3xy^(2)-iy^(3)` `=x^(3)-3xy^(2)+i(3x^(2)y-y^(3))` दोनों ओर के वास्तविक तथा काल्पनिक मानो की तुलना करने पर, `a=x^(3)-3xy^(2)rArr(a)/(x)=x^(2)-3y^(2)` तथा `b=3x^(2)y-y^(3)rArr(b)/(y)=3x^(2)-y^(2)` इसलिए `(a)/(x)+(b)/(y)=4x^(2)-4y^(2)=4(x^(2)-y^(2))` यही सिद्ध करना था । |
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| 58. |
` ( 1 + omega - omega ^ 2) ^6 = `A. 16B. 32C. 64D. 128 |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 59. |
यदि ` z = ( 1 + i ) /( sqrt2 ) ` तो ` z^ 6 + z ^ 4 + z ^ 2 + 1 `A. 1B. -1C. 2D. 0 |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 60. |
हल करे ` z + 2 = ( 1 ) /( 4 - 3i ) `, जहाँ z सम्मिश्र संख्या है |
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Answer» माना कि z = x +iy प्रश्न से, `z + 2 = ( 1 ) / ( 4 - 3i ) ` ` rArr x + i y + 2 ( 4 + 3i ) /(( 4 -3i ) ( 4 + 3i)) = ( 4 + 3i)/( 25 ) ` वास्तविक तथा अवास्तविक भागो को बराबर करने पर, हमे मिलता है ` x + 2 = ( 4 ) /(25 ) ` तथा ` y = ( 3 ) /(25 ) ` ` therefore x = - (46 ) /(25 ) ` तथा ` y = (3 ) /(25 ) ` ` therefore z = x + iy = - ( 46 ) /(25 ) + i ( 3 )/( 25) ` |
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| 61. |
सम्मिश्र संख्या ` 4 - 3i ` का गुणन विलोम हैA. ` ( 4 ) / ( 5 ) + ( 3 )/( 5 ) i ` B. ` ( 4 ) /( 25 ) + (3 ) /( 25 ) i`C. ` ( 3 )/( 25 ) -( 4 )/( 25 ) i`D. ` ( 3 )/ ( 5 ) + ( 4 )/ ( 5) i` |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 62. |
सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप होता हैA. ` sin theta + icos theta `B. `cos theta + isin theta `C. ` r ( cos theta + isin theta ) `D. `r ( sin theta + icos theta ) ` |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 63. |
यदि `2x+3yi` तथा `2+9i` एक ही सम्मिश्र संख्या को करते है तो x व y के मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया है : `2x+3yi=2+9i` `rArr2x=2` तथा `3y=9` `rArrx=1` तथा `y=3` |
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| 64. |
यदि `| z - 2 | = 2 | z - 1|`, जहाँ z एक सम्मिश्र संख्या है तो सिद्ध कीजिये कि ` |z|^ 2= ( 4 ) / ( 3) Re ( z ) ` |
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Answer» माना कि ` z = x + i y , ` तो प्रश्न से ` | z - 2 | = 2 | z - 1| ` ` rArr |x + iy - 2 | = 2 | x + i y - 1| rArr | ( x - 2 ) + iy | = 2| ( x - 1 ) + iy | ` ` rArr sqrt (( x - 2 ) ^ 2 + y ^ 2 ) = 2 sqrt (( x - 1 ) ^ 2 + y^ 2 ) rArr ( x- 2 )^ 2 + y^ 2 = 4[ ( x - 1 ) ^ 2 + y ^ 2 ] ` ` rArr x^ 2 - 4x + 4 + y^ 2 = 4 ( x ^ 2 - 2 x + 1 + y ^ 2 ) ` ` rArr x ^2 + y^ 2 - 4x + 4 = 4x ^ 2 - 8x + 4 + 4y^ 2 ` ` rArr 3 ( x ^ 2 + y^ 2 ) = 4x rArr x ^ 2 + y^2 = ( 4 ) / ( 3 ) x rArr |z|^ 2 = ( 4 ) / ( 3 ) Re (z) " "[ because x = Re ( z ) ] ` |
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| 65. |
यदि ` alpha ` और ` beta ` इकाई के काल्पनिक घनमूल है तो साबित कीजिये कि ` alpha ^ 4 + beta ^ 4 + alpha ^ ( - 1 ) . Beta ^( - 1 ) = 0 ` |
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Answer» माना कि ` alpha = omega ` तो ` beta = omega ^ 2 ` अब ` alpha ^ 4 + beta ^ 4 + alpha ^( - 1 ) . beta ^( - 1 ) = alpha ^( 4 ) + beta ^ 4 + ( 1 ) / ( alpha beta ) = omega ^ 4 + omega ^ 8 + ( 1 ) /( omega . omega ^ 2 ) ` ` = omega + omega ^ 2 + 1 = 0 ` |
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| 66. |
यदि n धनात्मक पूर्णांक हो तथा ` omega ` इकाई का अवास्तविक घनमूल हो तो साबित कीजिये कि | (i) ` 1 + omega ^ n + omega ^ ( 2n ) = 3 `, जब `n , 3 ` का अपवर्त्य है | (ii) ` 1 + omega ^ ( n ) + omega ^ ( 2n ) = 0 `, जब ` n, 3 ` का अपवर्त्य नहीं है | |
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Answer» (i) Case I. जब n = 2m ( a multiple of 3 ) LHS = ` 1 + omega ^ n + omega ^( 2n ) = 1 + omega ^( 3m ) + omega ^( 6m ) = 1 + 1 + 1 = 3 ` Case II. जब ` n = 3m + 1 ` ( not a multiple of 3) ltbr LHS = ` 1 + omega ^n + omega ^ ( 2n ) = 1 + omega ^( 3m + 1 ) + omega ^( 6 m + 2 ) ` ` = 1 + omega + omega ^ 2 = 0 ` Case III. When n = 3m + 2 ( not a multiple of 3 ) LHS = ` 1 + omega ^n + omega ^ (2n ) = 1 + omega ^( 3m + 2 ) + omega ^( 6m + 4 ) ` ` = 1 + omega ^ 2 + omega ^ 4 = 1 + omega ^ 2 + omega = 0 ` |
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| 67. |
सिद्ध कीजिए कि `3+2i,5i,-3+2i` तथा `-i` निरूपित बिन्दुओ द्वारा एक वर्ग (square) बनता है |
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Answer» माना `z_(1)=3+2i,z_(2)=5i,z_(3)=-3+2i,z_(4)=-i` तब `AB=|z_(1)-z_(2)|=|3-3i|=3sqrt(2)` `BC=|z_(2)-z_(3)|=|3+3i|=3sqrt(2)` `CD=|z_(3)-z_(4)|=|-3+3i|=sqrt(9+9)=3sqrt(2)` और `AD=|z_(1)-z_(4)|=|3+3i|=sqrt(9+9)=3sqrt(2)` स्पष्टतः `AB=BC=CD=AD`. अन्य `AC=|z_(1)-z_(3)|=|6+0i|=6` `BD=|z_(2)-z_(4)|=|6i|=6` `rArr" "AC=BD` `rArrABCD` एक वर्ग है । |
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| 68. |
हल कीजिए - (i) `2(i)^(2)+6i^(3)+3i^(16)-6i^(19)+4i^(25)` (ii) `5i^(5)+4i^(4)+3i^(3)+2i^(2)+i` |
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Answer» (i) `2i^(2)+6i^(3)+3i^(16)-6i^(19)+4i^(25)` `=2i^(2)+6i^(2)*i+3(i^(2))^(8)-6(i^(2))^(9)*i+4(i^(2))^(12)*i` `=2(-1)+6(-1)i+3(-1)^(8)-6(-1)^(9)*(i)+4(-1)^(12)*i" "(becausei^(2)=-1)` (ii) `5i^(5)+4i^(4)+3i^(3)+2i^(2)+i` `=5(i^(2))^(2)+3(i^(2))i+2(i)^(2)+i` `=5(-1)^(2)*i+4(-1)^(2)+3(-1)i+2(-1)+i` `=5i+4-3i-2+i+3i` |
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| 69. |
यदि `omega ` इकाई का काल्पनिक (अवास्तविक) घनमूल हो तो सिद्ध कीजिये कि ` ( 1 - omega + omega ^ 2 ) ^ 5 + ( 1 + omega - omega ^ 2 ) ^ 5 = 32 ` |
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Answer» LHS ` = ( 1 - omega + omega ^ 2 ) ^ 5 + ( 1 + omega - omega ^ 2 ) ^ 5 ` ` = ( 1 + omega ^ 2 - omega ) ^ 5 + ( 1 + omega - omega ^ 2 ) ^ 5 ` ` = ( - omega - omega ) ^ 5 + ( - omega ^ 2 - omega ^ 2 ) ^ 5 [ because 1 + omega = - omega ^ 2 ` और ` 1 + omega ^ 2 = - omega ] ` ` = ( - 2 omega ) ^ 5 + ( - 2 omega ^2 ) ^ 5 + ( - 2 omega ^ 2 ) ^ 5 = - 32 omega ^5 - 32 omega ^(10) = - 32omega^ 2 - 32 ( omega ^ 3 ) ^3. omega ` ` = -32 omega ^ 2 - 32 omega = - 32 ( omega ^ 2 + omega ) = ( -32 ) xx ( -1 ) = 32 = ` RHS. |
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| 70. |
यदि `1,omega` तथा `omega^(2)` इकाई के घनमूल है तो सिद्ध कीजिए कि - (i) `(xomega+yomega^(2))(xomega^(2)+yomega)=x^(2)-xy+y^(2)` (ii) `[(1-omega+omega^(2))(1+omega-omega^(2))]^(2)=16` (iii) `(-1)^(1//3)=-1,-omega,-omega^(2)` (iv) `(-8)^(1//3)=-2,-2omega,-2omega^(2)` (v) `(1+omega)(1+omega^(2))(1+omega^(4))(1+omega^(5))=1` |
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Answer» (i) बायाँ पक्ष `=(xomega+yomega^(2))(xomega^(2)+yomega)=xomega(xomega^(2)+yomega)+yomega^(2)(xomega^(2)+yomega)` `=x^(2)omega^(3)+xyomega^(2)+xyomega^(4)+y^(2)omega^(3)` `=(x^(2)+y^(2))omega^(3)+xyomega^(2)(1+omega^(2))=(x^(2)+y^(2))*1+xyomega^(2)(-omega)` `=x^(2)+y^(2)-xyomega^(3)=x^(2)+y^(2)-xy=` दायाँ पक्ष |
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| 71. |
यदि `omega ` इकाई का काल्पनिक (अवास्तविक) घनमूल हो तो सिद्ध कीजिये कि ` ( 1 - omega ) ( 1 - omega ^ 2 ) ( 1 - omega ^ 4 ) ( 1 - omega ^ 5 ) = 9 ` |
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Answer» ` because omega ^ 4 =omega ^ 3 .omega ` और ` omega ^ 5 = omega ^3. omega ^2 = omega ^ 2 ` LHS = ` ( 1- omega ) ( 1- omega ^ 2 ) ( 1 - omega ^ 4 ) ( 1 - omega ^ 5 ) ` ` = ( 1 - omega ) ( 1 - omega ^ 2 ) ( 1 - omega ) ( 1- omega ^ 2 ) ` ` = ( 1 - omega )^ 2 ( 1 - omega ^ 2 ) ^ 2 = [ ( 1 - omega ) ( 1 - omega ^ 2 ) ]^ 2 ` ` =[ 1 - ( omega + omega ^ 2 ) + omega ^ 3] ^ 2 ` ` = [ 1 - (- 1) + 1 ]^ 2 [ because 1 + omega + omega ^ 2 = 0 ` से ` omega + omega ^ 2 = - 1 ] ` ` = ( 3)^ 2 = 9 = ` RHS |
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| 72. |
माना `z=x+iy` एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है जिसमे x तथा y पूर्णांक है उस आयत का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष बिंदु समीकरण `zbar(z)^(3)+bar(z)z^(3)=350` के मूल है निम्न हैA. 48 वर्ग इकाईB. 32 वर्ग इकाईC. 40 वर्ग इकाईD. 80 वर्ग इकाई |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 73. |
एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी `(1)/(i-1)` है तब वह सम्मिश्र संख्या हैA. `(1)/(i-1)`B. `(-1)/(i-1)`C. `(1)/(i+1)`D. `(-1)/(i+1)` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 74. |
यदि इकाई के घनमूल `1,omega,omega^(2)` है तब `(x-1)^(3)+8=0` के मूल हैA. `-1,1+2omega,1+2omega^(2)`B. `-1,1-2omega,1-2omega^(2)`C. `-1,-1,-1`D. `-1,-1+2omega,-1-2omega^(2)` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 75. |
यदि `z^(2)+z+1=0`, जहाँ z एक सम्मिश्र संख्या है तब `(z+(1)/(z))^(2)+(z^(2)+(1)/(z^(2)))^(2)+(z^(3)+(1)/(z^(3)))^(2)+ . . .+(z^(6)+(1)/(z^(6)))^(2)` का मान होगा -A. 54B. 6C. 12D. 18 |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 76. |
सम्मिश्र संख्या `(13-5i)/(4-9i)` का कोणांक हैA. `pi//3`B. `pi//4`C. `pi//5`D. `pi//6` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 77. |
समीकरण `z^(2)+bar(z)=0` के हलो की संख्या है -A. 1B. 2C. 3D. 4 |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 78. |
`2(1+omega)(1+omega^(2))+3(2omega+1)(2omega^(2)+1)+4(3omega+1)(3omega^(2)+1)+ . . . +(n+1)(nomega+1)(nomega^(2)+1)` का मान होगा -A. `((n(n+1))/(2))^(2)`B. `((n(n+1))/(2))=n`C. `((n(n+1))/(2))^(2)-n`D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 79. |
मान लीजिए `z=costheta+i sintheta` है तब `sum_(m=1)^(15) (z^(2m-1))` का मान `theta=2^(@)` पर होगा -A. `(1)/(sin2^(@))`B. `(1)/(3sin2^(@))`C. `(1)/(2sin2^(@))`D. `(1)/(4sin2^(@))` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 80. |
यदि ` omega ` इकाई का काल्पनिक घनमूल हो तो साबित कीजिये कि ` ( 1 + omega ) ( 1 + omega ^ 2 ) ( 1 + omega ^ 4 ) (1 + omega ^ 8 ) ... ` to n factors = ` 1 or - omega ^ 2 ` जबकि n क्रमशः सम और विषम है |
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Answer» LHS = ` ( 1 + omega ) ( 1 + omega ^ 2 ) ( 1 + omega ^ 4 ) ( 1 + omega ^8 ) ... ` to n factors ` = ( 1 + omega ) ( 1 + omega ^ 2 ) ( 1 + omega ) ( 1 + omega ^ 2) ...` to n factors ` = ( - omega ^ 2 ) ( - omega ) ( - omega ^ 2 ) ( - omega ) ... ` to n factors `" " `..(i) Case I. When n = 2m (even ) LHS = ` ( - omega ^ 2 ) ( - omega ) ( - omega ^ 2 ) ( - omega ) ... ` to 2m factors ` = [ ( - omega ^ 2 ) ( - omega ) ][ ( - omega ) ^ 2 ( - omega ) ]... ` to m factors ` = omega ^ 3 . omega ^ 3 . omega ^ 3... ` to m factors = 1 Case III. When n = 2m + 1 (odd ) LHS = ` ( - omega ^ 2 ) ( - omega ) ( - omega ^ 2 ) ( - omega ) ( - omega ^ 2 ) ... ` to ( 2m + 1 ) factors ` = ( - omega ^ 2 ) [ ( - omega ) ( - omega^ 2 ) ( - omega ) ( - omega ^ 2 ) ... ` to 2m factors ] ` = ( - omega ^ 2 ) [{ ( - omega ) ( - omega ^ 2 ) }{ ( - omega ) ( - omega ^ 2 ) }... ` to m factors ] ` = { ( - omega ^ 2 ) ( omega ^ 3 . omega ^ 3 . omega ^ 3 ) }... ` to m factors ) ` = ( - omega ^ 2) ( 1.1.1... ` to m factors ) ` = - omega ^ 2 ` |
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| 81. |
माना `z_(1)` तथा `z_(2)` दो भिन्न सम्मिश्र संख्याएं है तथा किसी वास्तविक संख्या t (जहाँ `0 lt t lt l`) के लिये `z=(1-t)z_(1)+tz_(2)` है यदि किसी शून्योत्तर सम्मिश्र संख्या `omega` के लिए `arg(omega),omega` के प्रमुख कोणांक को दर्शाता है तो -A. `|z-z_(1)|+|z-z_(2)|=|z_(1)-z_(2)|`B. `arg(z-z_(1))=arg(z-z_(2))`C. `|{:(z-z_(1),bar(z)=bar(z)_(1)),(z_(2)-z_(1),bar(z)_(2)-bar(z)_(1)):}|=0`D. `arg(z-z_(1))=arg(z_(2)-z_(1))` |
| Answer» Correct Answer - A::B::C | |
| 82. |
यदि `z_(1)` व `z_(2)` दो सम्मिश्र संख्याएं है तबA. `|z_(1)+z_(2)|ge|z_(1)|+|z_(2)|`B. `|z_(1)+z_(2)|gt|z_(1)|+|z_(2|`C. `|z_(1)+z_(2)|le|z_(1)|+|z_(2)|`D. `|z_(1)+z_(2)|=|z_(1)|+|z_(2)|` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 83. |
सिद्ध कीजिए कि वे बिंदु जो सम्मिश्र संख्याओं `3+2i,6+3i,7+6i` तथा `4+5i` को निरूपित करते है एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष है । |
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Answer» `A=3+2i,B=6+3i,C=7+6i` तथा `D=4+5i` अब निम्न को सिद्ध कीजिए `AB=DC,BC=AD` तथा कोणांक (AB)= कोणांक (DC) तथा कोणांक (BC)= कोणांक (AD) |
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| 84. |
निम्न सम्मिश्र संख्याओं को `a+ib` के रूप में निरूपित कीजिए । (i) `(1)/(3-4i)` (ii) `((1+i)^(2))/(3-i)` (iii) `((1)/(1-2i)+(3)/(1+i))((3+4i)/(2-4i))` (iv) `(1-2i)^(-3)` (v) `((2+3i)^(2))/(2-i)` (vi) `((1-i)/(1+i))^(2)` |
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Answer» Correct Answer - (i) `(3)/(25)+(4)/(25)i` (ii) `(-1)/(5)+(3)/(5)i` (iii) `(1)/(4)+(1)/(9)i` (iv) `(-11)/(125)-(2)/(125)i` (v) `(-22)/(5)+(19)/(5)i` (vi) `-1` (vi) `((1-i)/(1+i))^(2)=((1-i)^(2))/((1+i)^(2))=(1+i^(2)-2i)/(1+i^(2)+2i)=(1-1-2i)/(1-1+2i)=-1=-1+0i` |
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| 85. |
यदि `1,omega,omega^(2)` इकाई के घनमूल है सिद्ध कीजिए कि `(x-y)(xomega-y)(xomega^(2)-y)=x^(3)-y^(3)` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=(x-y)(xomega-y)(xomega^(2)-y)` `=(x-y)(x^(2)omega^(3)-xyomega-xyomega^(2)+y^(2))` `=(x-y)[x^(2)omega^(3)-(omega+(omega+omega^(2))xy+y^(2)]` `=(x-y)[x^(2)*1-(-1)xy+y^(2)]" "[becauseomega^(3)=1,1+omega+omega^(2)=0]` `=(x-y)(x^(2)+xy+y^(2))=x^(3)-y^(3)=` दायाँ पक्ष |
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| 86. |
किसी सम्मिश्र संख्या के मापांक के मान होते है |A. केवल एकB. दोC. परिमित संख्याD. अनगिनत |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 87. |
निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं का संगमि एवं मापांक ज्ञात कीजिये : `( 3 - 2 i ) ( 3 +2i ) ( 1 + i ) . ` |
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Answer» माना कि ` z = ( 3 - 2 i ) ( 3 + 2 i ) ( 1 + i ) ` ` therefore z = ( 9 + 6 i - 6i - 4 i ^ 2 ) ( 1 + i ) = ( 9 + 4 ) ( 1 + i ) = 13 + 13 i ` ` therefore bar z = bar ( 13 + 13 i ) = 13 - 13 i ` साथ ही ` |z| = | 13 + 13i | = sqrt ( ( 13 ) ^ 2 + (13) ^ 2) ` ` = sqrt ( 169 + 169) = sqrt ( 338) = 13 sqrt 2 ` |
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| 88. |
इन सम्मिश्र संख्याओं का मापांक तथा मुख्य कोणाक ज्ञात कीजिये | ` cos 70 ^@ + i cos 20 ^@ ` |
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Answer» ` z = cos 70^@ + i cos 20 ^@ = cos 70 ^@ + i cos (90 ^@ - 70 ^@ ) ` ` = cos 70 ^@ + i sin 70 ^@ ` ` = cos "" ( 70 pi )/ ( 180 ) + i sin "" ( 70 pi ) /( 180 ) + i sin "" ( 70 pi ) / ( 180) = 1 . ( cos "" ( 7pi ) /( 18) + i sin "" ( 7pi ) /(18)) ` ` therefore |z| = 1 ` तथा arg z का मुख्य मान = ` 7pi // 18 " " [ because 7 pi//18 in ( - pi, pi ) ] ` |
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| 89. |
इन सम्मिश्र संख्याओं का मापांक तथा मुख्य कोणाक ज्ञात कीजिये | ` ( 5 ) /(2) ( cos 300^@ + i sin 30 ^@) ` |
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Answer» ` z = ( 5 ) / ( 2 ) ( cos 300^ @ + i sin 30 ^@ ) = ( 5 ) /(2) ( cos ( 360 ^@ - 60 ^@ ) + i. ( 1 ) / ( 2 ) ) ` ` = ( 5 ) /(2) ( cos 60 ^@ + i. ( 1 ) / ( 2 ) ) ` ` = ( 5 ) / ( 2 ) ( ( 1 ) / (2 ) + i . ( 1 ) / (2 ) ) = ( 5 ) / ( 2 sqrt2 ) (( 1 ) /( sqrt 2 ) + i. ( 1 ) / ( sqrt 2 ) ) ` ` = ( 5 ) /( 2sqrt 2 ) ( cos "" ( pi ) / ( 4 ) + i sin "" ( pi ) / ( 4 )) ` ` therefore |z| = ( 5 ) / ( 2sqrt 2 ) ` तथा arg z कोणाक का मुख्य मान ` z = ( pi ) /( 4 ) ( because ( pi ) / ( 4 ) in ( - pi , pi ) ) ` |
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| 90. |
सम्मिश्र संख्या ` 1 + i ` का मापांक - कोणांक रूप हैA. ` 2cos ( ( pi ) / ( 2 ) + isin "" ( pi ) / ( 2 )) `B. `sqrt 2 (cos "" ( pi )/ (2 ) + isin "" ( pi ) / ( 2 )) `C. `sqrt ( 2 ) ( cos "" (pi ) / (4 ) + isin "" ( pi ) / ( 4 ) ) `D. `sqrt 2 ( cos "" (pi ) / (3 ) + isin "" (pi )/ (3)) ` |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 91. |
यदि `omega` जहाँ इकाई के सम्मिश्र घनमूल है तथा `x=a,y=aomega+bomega^(2),z=aomega^(2)+bomega`, तो सिद्ध कीजिए कि `xyz=a^(3)+b^(3)` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=xyz=(a+b)(aalpha+b beta)(alphabeta+balpha)=(a+b)(a^(2)alphabeta+abalpha^(2)+ab beta^(2)+b^(2)alphabeta)` `=(a+b)[(a^(2)+b^(2))alphabeta+ab(alpha^(2)+beta^(2))]` `=(a+b)[(a^(2)+b^(2))(omega*omega^(2))+ab(omega^(2)+omega^(4))]` `=(a+b)[(a^(2)+b^(2))omega^(3)+ab(-1)]` `=(a+b)(a^(2)+b^(2)-ab)` `=(a^(3)+b^(3))=` दायाँ पक्ष |
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| 92. |
यदि `x=a,y=bomega,z=comega^(2)` तो सिद्ध कीजिए कि - (i) `(x)/(a)+(y)/(b)+(z)/(c)=0` (ii) `xyz=zbc` |
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Answer» (i) बायाँ पक्ष `=(x)/(a)+(y)/(b)+(z)/(c)` `=(a)/(a)+(bomega)/(b)+(comega^(2))/(c)` `=1+omega+omega^(2)=0=` दायाँ पक्ष |
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| 93. |
यदि `z_(1)=2-i,z_(2)=1+i`, तब `|{:(z_(1)+z_(2)+1)/(z_(1)-z_(2)+i):}|` का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» `|(z_(1)+z_(2)+1)/(z_(1)-z_(2)+i)|=|(2-i+1+i+1)/(2-i-1-i+i)|` `=|(4)/(1-i)|=|(4(1-i))/((1-i)(1+i))|` `=|(4+4i)/(1-i^(2))|=|(4+4i)/(2)|` `=|2+2i|=sqrt(2^(2)+2^(2))=2sqrt(2)` |
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| 94. |
यदि ` 1, omega , omega ^ 2 ` इकाई के घनमूल हो , तो ` ( a + b) ^ 2 + ( a omega + bomega^ 2 ) ^2 + ( a omega ^ 2 + b omega ) ^ 2 = `A. ` ab `B. `3ab `C. `6 ab `D. ` 9 ab ` |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 95. |
यदि `x=a+b,y=aomega+bomega^(2),z=aomega^(2)+bomega`, तो सिद्ध कीजिए कि - `x^(3)+y^(3)+z^(3)=3(a^(3)+b^(3))` |
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Answer» `x+y+z=(a+b)+(aomega+bomega^(2))+(aomega^(2)+bomega)` `=(1+omega+omega^(2))+b(1+omega+omega^(2))=axx0+bxx0=0` . . . (i) `" "(because1+omega+omega^(2)=0)` हम जानते है कि `x^(3)+y^(3)+z^(3)-3xyz=(x+y+z)(x^(2)+y^(2)+z^(2)-xy-yz-zx)` `=0xx(X^(2)+y^(2)+z^(2)-xy-yz-zx)=0" "` (समीकरण (i) से) `:." "x^(3)+y^(3)+z^(3)=3xyz=3(a^(3)+b^(3))" "(becausexyz=a^(3)+b^(3))` |
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| 96. |
निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं `x+iy` को के रूप में निरूपित कीजिए । (i) `(2-sqrt(-25))/(1-sqrt(-16))` (ii) `(5+2i)/(-1+sqrt(3i))` (iii) `(sqrt(5)-7i)(sqrt(5)-7i)^(2)+(-2+7i)^(2)` |
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Answer» (i) `(2-sqrt(-25))/(1-sqrt(-16))=(2-5i)/(1-4i)=(2-5i)/(1-4i)xx(1+4i)/(1+4i)` `=(2+8i-5i-20i^(2))/(1-16i^(2))` `=(2+3i-20(-1))/(1-16(-1))` `=(2+3i+20)/(1+16)` `=(22+3i)/(17)=(22)/(17)+(3)/(17)i` (ii) `(5+2i)/(-1+sqrt(3)i)=(5+2i)/(-1+sqrt(3)i)xx(-1-sqrt(3)i)/(-1-sqrt(3)i)` `=(-5-5sqrt(3)i-i-2sqrt(3)*i^(2))/((-1)^(2)-(sqrt(3)i)^(2))` `=(-5-5sqrt(3)i-2i-2sqrt(3)(-1))/(1-3(-1))` `=((-5+2sqrt(3))+(-5sqrt(3)-2)i)/(1+3)` `=((-5+2sqrt(3))/(4))+((-5sqrt(3)-2)/(4))i` (iii) `(sqrt(5)-7i)(sqrt(5)-7i)^(2)+(-2+7i)^(2)=(sqrt(5)-7i)^(3)+(-2+7i)^(2)` `=5sqrt(5)-3(sqrt(5)^(2))(7i)+3(sqrt(5))(7i)^(2)-(7i)^(3)+(4-28i+49i^(2))` `=(5sqrt(5)-105i+147sqrt(5)i^(2)-343i^(3))+(4-28i-49)` `=(5sqrt(5)-105i-147sqrt(5)+343i)+(-45-28i)` `=(5sqrt(5)-147sqrt(5)-45)+i(-105+343-28)` `=-(142sqrt(5)+45)+(210)i` |
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| 97. |
निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं का मापांक ज्ञात कीजिए । (i) `1+sqrt(3)i` (ii) `sqrt(3)+i` (iii) `(1+i)/(1+sqrt(3)i)` |
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Answer» (i) `|1+sqrt(3)i|=+sqrt(1^(2)(sqrt(3))^(2))=+sqrt(1+3)=+2` (ii) `|sqrt(3)+i|=+sqrt((sqrt(3))^(2)+1^(2))=+sqrt(3+1)=+2` (iii) `(1+i)/(1+sqrt(3)i)=(1+i)/(1+sqrt(3)i)xx(1-sqrt(3)i)/(1-sqrt(3)i)` `=(1+i-sqrt(3)*i+sqrt(3))/(1+3)` `=(1)/(4)[(sqrt(3)+1)+(1-sqrt(3))i]` `rArr|(1+i)/(1+sqrt(3)i)|=(1)/(4)|(sqrt(3)+1)+(1-sqrt(3))i|` `=(1)/(4)sqrt((sqrt(3)+1)^(2)+(1-sqrt(3))^(2))` `=(1)/(4)sqrt(3+2sqrt(3)+1-2sqrt(3)+3+1)` `=(1)/(4)sqrt(8)=(1)/(2)sqrt(2)=(1)/(sqrt(2))` |
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| 98. |
यदि `omega=-(1)/(2)+(sqrt(3))/(2)i` तो सिद्ध कीजिए कि `omega^(3)=1` |
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Answer» दिया है : `omega=-(1)/(2)+(sqrt(3))/(2)i` `=cos120^(@)+i sin 120^(@)` `="cos"(2pi)/(3)+i "sin"(2pi)/(3)` `:." "omega^(3)=["cos"(2pi)/(3)i "sin"(2pi)/(3)]^(3)` `=[cos3*(2pi)/(3)+i sin 3* (2pi)/(3)]" "` (डिमॉयवर के प्रमेय से) `=[cos2pi+i sin 2pi]` `=1+i*0` `=1` यही सिद्ध करना था । |
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| 99. |
सिद्ध कीजिए कि `(a+bomega+comega^(2))^(3)+(1+bomega^(2)+comega)^(3)=(2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)` |
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Answer» हम जानते है कि `x^(3)+y^(3)=(x+y)(xomega+yomega^(2))(xomega^(2)+yomega)` इसलिए `(a+bomega+comega^(2))^(3)+(a+bomega^(2)+comega)^(3)` `=[(a+bomega+comega^(2))+(a+bomega^(2)+comega)][(a+bomega+comega^(2))omega+(a+bomega^(2)+comega)omega^(2)]` `[(a+bomega+comega^(2))omega^(2)+(a+bomega^(2)+comega)omega]` `=[2a+b(omega+omega^(2))+c(omega^(2)+omega)][a(omega+omega^(2))+b(omega^(2)+omega^(4))+c(omega^(3)+omega^(3))]` `[a(omega^(2)+omega)+b(omega^(3)+omega^(3))+c(omega^(4)+omega^(2))]` `=[2a+b(-1)+c(-1)][a(-1)+b(-1)+b(-1)+c(2)][a(-1)+b(2)+c(-1)]` `=(2a-b-c)(-a-b+2c)(-a+2b-c)` `=(2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)` यही सिद्ध करना था । |
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| 100. |
` - 7 - 24 i ` का वर्गमूल निकालिये | |
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Answer» माना कि ` sqrt ( - 7 - 24i ) = x + iy `, जहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ है | वर्ग करने पर, ` - 7 - 24i = ( x + iy ) ^ 2 = x ^ 2 + i ^ 2 y ^ 2 + 2 x y i ` या ` - 7 - 24 i = x ^ 2 - y^ 2 + i 2 xy ` Real और Imaginary part को बराबर करने पर, ` x ^ 2 - y ^ 2 = - 7 " " `...(1) ` 2xy = -24 ` या ` xy = -12" " `...(2) अब ` ( x ^ 2 + y^ 2 ) ^ 2 = ( x ^ 2 - y ^ 2 ) ^ 2 + 4 x ^ 2 y ^ 2 = ( -7 ) ^ 2 + 4 ( -12 ) ^ 2 = 49 + 576 = 625` ` therefore x ^ 2 + y ^ 2 = pm 25 ` लेकिन ` x^ 2 + y ^ 2 cancel (lt ) 0 ` ` therefore x ^ 2 + y^ 2 = 25 " " `...(3) (1) और (3 ) को जोड़ने पर ` 2x ^ 2 = 18 rArr x ^ 2 = 9 rArr x = pm 3 " " `...(4) अब (2 ) से, जब ` x = 3, y = - 4 ` तथा जब ` x = -3, y = 4 ` अतः अभीष्ट वर्गमूल = ` x + iy = 3 - 4i , - 3 + 4 i = - ( 3 - 4i ) ` अतः ` sqrt ( - 7 - 24 i ) = pm ( 3 - 4 i ) ` `{:("Second Method": ),( - 7 - 24i ) ,( = 3^ 3 + ( 4i ) ^ 2 - 2*3* 4i ) ,( = (3 - 4i ) ^ 2 ) , ( therefore sqrt(-7 - 24i ) = pm ( 3- 4i)):} :| {:("Rough"),( (24) /(2) = 12 = 3 xx 4" या" 2xx 6 "या " 1 xx 12 ) , ( 3"," 4 to 3"," 4i to 3 ^ 2 + 16 i ^ 2 = -7 ) , ( 2"," 6 to 2"," 12i ) , ("real part"= -7 (-ve)),(therefore "बड़े गुणनखण्ड के साथ" i "ले"):}` |
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