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1.

दिए गए वक्र के लिए निर्दिष्ट बिन्दुओ पर स्पर्श रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए- `xy =c^(2)(ct, (c)/(t))` पर

Answer» Correct Answer - `{:("स्पर्श रेखा", "अभिलम्ब"),(x+yt^(2)=2ct, xt^(2)-ty=ct^(4)-c):}`
Discussion
2.

दिए गए वक्र के लिए निर्दिष्ट बिन्दुओ पर स्पर्श रेखा समीकरण ज्ञात कीजिए- `y^(2)=4ax, ((a)/(m^(2)), (2a)/(m))` पर

Answer» Correct Answer - `{:("स्पर्श रेखा", "अभिलम्ब"),(m^(2)x-my+a =0, m^(2)x+m^(3)y-2am^(2)-a=0):}`
Discussion
3.

दर्शाइये की वक्र `xy =a^(2)`और `x^(2)+ y^(2)=2a^(2)` एक-दूसरे को स्पर्श करते है .

Answer» यहाँ
`xy =a^(2) " "...(1)`
`x^(2)+ y^(2) =2a^(2)" "...(2)`
समी (1 ) से `y=(a^(2))/(x).` समी (2 ) में y का मान रखने पर,
`x^(2)+ ((a^(2))/(x))^(2)=2a^(2)`
`impliesx^(2) +(a^(4))/(x^(2))=2a^(2)`
`impliesx^(4)+a^(4)=2a^(2)x^(2)`
`impliesx^(4)-2a^(2)x^(2)+a^(2)=0`
`implies(x^(2)-a^(2))=0`
`(x+a) ^(2)(x-a) ^(2)=0`
`implies x+a=0,x -a =0`
`implies x=a, -a`
जब `x=a,` तब `y=(a^(2))/(x)=(a^(2))/(a)=a`
और `x=-a, y=(a^2)/(x)=(a^(2))/(-a)=-a`
अतः दोनों वक्र बिन्दु (a ,a ) और `(-a ,-a )` पर प्रतिच्छेद करते है .
समी (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`x(dy)/(dx) +y=0`
`implies(dy)/(dx) =-y/x" "...(3)`
समी (2 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2x+2y (dy)/(dx) =0`
`implies(dy)/(dx) =-x/y" "...(4)`
बिन्दु `(a ,a ) ` पर प्रतिच्छेद कोण-
`m_(1)=((dy)/(dx))_(""(a,a))=-(a)/(a)=-1`
`impliesm_(1)=-` [समी (3 ) से]
`m_(2)=((dy)/(dx))_(""(a, a))= -a/a=-1`
`implies m_(2)=-1` [समी (4 ) से]
स्पष्टत: `m_(1)=m_(2)` इसलिए दोनों वक्रो एक-दूसरे को बिन्दु (a ,a ) पर स्पर्श करते है .
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते है कि दोनों वक्र बिन्दु `(-a ,a )` पर स्पर्श करते है .
Discussion
4.

दर्शाइये कि वक्र `x=y^(2)` और `xy=k` एक-दूसरे को समकोण पर काटती है, यदि `8k^(2)=1 `है .

Answer» यहाँ `x=y^(2)" "...(1)`
और `xy=k" "...(2)`
समी (2 ) में समी (1 ) से x का मान रखने पर,
`y^(3)=k`
`impliesy=k^(1//3)`
समी (1 ) में `y=k^(1//3)` रखने पर, `x=k^(2//3)` अतः दोनों वक्र बिन्दु `P(k ^(2//3) , k^(1//3))` पर प्रतिच्छेद करते है . समी (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1=2y(dy)/(dx)`
`implies(dy)/(dx) =(1)/(2y)`
`impliesm_(1) =((dy)/(dx))_(P)=(1)/(2k^(1//3))`
समी (2 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1.y +x(dy)/(dx)=0`
`implies(dy)/(dx)=-y/x`
`impliesm_(2)=((dy)/(dx))_(P)`
`impliesm_(2)=-(k^(1//3))/(k^(2//3))=-(1)/(k^(1//3))`
चूँकि वक्र (1 ) और वक्र (2 ) एक-दीसरे को समकोण पर काटते है.
`therefore m_(1)m_(2)=-1`
`implies (1)/(2k ^(1//3))xx(-1)/(k^(1//3))`
`implies 2k^(2//3)=1`
`implies (2k ^(2//3))^(3)=1^(3)`
`implies 8k^(2) =1.`
Discussion
5.

वक्र `y=3x^(2)-9x+8` पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए, जहाँ पर स्पर्श रेखा अक्षो से बराबर हों बनाती है।

Answer» Correct Answer - `((5)/(3),(4)/(3))` और `((4)/(3), (4)/(3))`
अक्षो से बराबर कोण बनाने वाली रेखा की प्रवणता `pm1 ` होती है ।
Discussion
6.

वक्र `y=x^(2)-3x` पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा बिन्दुओ `(1 ,-2 )` और `(2 ,2 )` को मिलाने वाली रेखा के समांतर है ।

Answer» Correct Answer - `(pmsqrt((7)/(3)), pm (2)/(3) sqrt((7)/(3))),`
Discussion
7.

वक्र `y=(x-2)^(2)` पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा, बिन्दुओ `(2 ,0 )` और `(4 ,4 )` को मिलाने वाली रेखा के समांतर है.

Answer» दिया गया वक्र है-
`y= (x-2)^(2)" "...(1)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx) =2(x-2)`
`therefore` स्पर्श रेखा की प्रवणता `=(dy)/(dx) =2 (x-2).`
अब बिन्दुओ `(2 ,0 )` और `(4 ,4 )` को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता
`=(4-0)/(4-2) =2, (because m =(y_(2)-y_(1))/(x_(2)- x_(1)))`
चूँकि स्पर्श रेखा और बिन्दुओ `(2 , 0 )` व `(4 , 4 )` को मिलाने वाली रेखा समान्तर है इसलिए दोनों रेखाओ की प्रवणताएँ बराबर होगी.
`implies (dy)/(dx) =2`
`implies 2 (x-2) =2`
`impliesx-2 =1` या `x=3`
समी (1 ) से, `y=(3-2)^(2)=1.`
अतः अभीष्ट बिन्दु `(3 ,1 )` है .
Discussion
8.

वक्र `y=x^(2)-4x+5` पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए, जहाँ पर स्पर्श रेखा, उस रेखा पर लंबवत है जिसकी प्रवणता `-1 /6 ` है ।

Answer» Correct Answer - `(1,7)`
Discussion
9.

वक्र के लिए निर्दिष्ट बिन्दु पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब कि प्रवणता ज्ञात कीजिए- `x=1- a sin theta, y= b cos ^(2) theta, theta =(pi)/(2)` पर

Answer» Correct Answer - `(2b)/(a), (-a)/(2b)`
Discussion
10.

वक्र `y=x^(3)-+1` कि स्पर्श रेखा कि प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x -निर्देशांक 2 है ।

Answer» Correct Answer - 11
Discussion
11.

वक्र `y=x^(2)` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, बिन्दु के x -निर्देशांक के बराबर है।

Answer» Correct Answer - `(,0,0)`
Discussion
12.

वक्र `y=4 x^(3) -2x^(5)` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए, जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूलबिंदु से होकर जाती है.

Answer» यहाँ `y=4x^(3)-2x^(5)" "...(1)`
माना वक्र पर कोई बिन्दु `(x_(1), y_(1))` है .
`therefore y_(1) =4x_(1)^(3) -2x_(1)^(5)" "...(2)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx) =12 x^(2) -10x^(4)`
`implies((dy)/(dx))_(""(x_(1), y_(1)))=12 x_(1)^(2)-10x_(1) ^(4)`
बिन्दु `(x_(1),y_(1))` पर स्पर्श रेखा का समीकरण है-
`y-y_(1)=((dy)/(dx))_(""(x_(1), y_(1))).(x- x_(1))`
`impliesy -y_(1) =(12 x_(1)^(2)-10 x_(1)^(4)) (x-x_(1))`
चूँकि यह स्पर्श रेखा मूलबिंदु से होकर जाती है.
`therefore 0-y_(1) =(12 x_(1)^(2)-10 x_(1)^(4))(0- x_(1))`
`impliesy_(1) =(12x_(1)^(2)-10x_(1)^(4))x_(1)" "...(3)`
समी (2 ) और (3 ) से,
`(12 x_(1)^(2)-10x_(1)^(4))x_(1) =4x_(1)^(3) -2x _(1)^(5)`
`implies 2x_(1)^(3)(6- 5x_(1)^(2))x_(1)=2x_(1)^(3) (2-x_(1)^(2))`
`implies2x_(1) ^(3)[6-5x_(1)^(2)-2+ x_(1)^(2) ]=0`
`implies 2x_(1)^(3) (4-4x_(1)^(2)) =0`
`impliesx_(1)^(3) =0` और `4-4x_(1)^(2) =1 `
`impliesx_(1)=0` और `x_(1)^(2)=1`
`impliesx_(1) =0` और `x=pm1`
अब समी (1 ) में क्रमश: `x _(1 ) =0 ,1 ` रखने पर,
`x_(1) =0, y_(1) =0`
` x_(1)= 1, y_(1) =4-2=2`
`x_(1) =-1, y_(1)=-4 +2 =-2`
अतः अभीष्ट बिन्दु `(0 ,0 ), (1 ,2 )` तथा `(-1 ,-2 )` है.
Discussion
13.

वक्र `y=x^(2)+3x+4` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए, जिन पर स्पर्श रेखाएँ मुलबिन्दु से होकर जाती है।

Answer» Correct Answer - `(2,14) (-2,2)`
Discussion
14.

प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओ के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो वक्र `y=-(2)/(x-3), x ne 3` को स्पर्श करती है ।

Answer» Correct Answer - वक्र पर प्रवणता 2 वाली कोई भी स्पर्श रेखा नहीं है
Discussion
15.

वक्र `y=x^(2)-2x+7` की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा `2x-y+9=0` के समांतर है,

Answer» Correct Answer - `2x-y+ 3=0`
Discussion
16.

वक्र `y=x^(2)-2x+7` की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा `5y-15x=13` के लम्ब है ।

Answer» Correct Answer - `12x+36-227=0`
Discussion
17.

प्रवणता 0 वाली सभी रेखाओ के समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र `y=(1)/(x^(2)-2x+3)`को स्पर्श करती है ।

Answer» Correct Answer - `y=1/2`
Discussion
18.

वक्र `y=x^(3)+ 2x+6` की उन अभिलम्बो के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा `x+14y+4=0`के समांतर है ।

Answer» Correct Answer - `x+14y+86=0,x+14y-254=0`
Discussion
19.

वक्र `y=sqrt(5x-3)-2` की स्पर्श रेखाओ के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा `4x-y+ 3=0` के समांतर है ।

Answer» Correct Answer - `80x-40y-103=0`
Discussion
20.

वक्र `y= (x-7)/((x-2)(x-3))` या `(x-7)/(x^(2)-5x +6)` के उन बिन्दुओ पर स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए, जहाँ यह X -अक्ष को काटती है.

Answer» दिया गया वक्र है-
`y=(x-7)/(x^(2) -5x +6)" "...(1)`
`implies (dy)/(dx)=((x^(2)-5x +6).1- (x-7) (2x-5))/((x^(2) -5x +6)^(2))`
`implies(dy)/(dx)=((x^(2) -5x+6) -(2x^(2) -5x+14x+35))/((x^(2)-5x+6)^(2))`
`implies(dy)/(dx) =(x^(2) -5x +6- 2x^(2)+19x -35)/((x^(2) -5x +6)^(2))`
`implies (dy)/(dx) =(-x^(2)+14x -29)/((x^(2) -5x +6)^(2))" "...(2)`
चूँकि दिया गया वक्र X -अक्ष को काटती है इसलिए इस बिन्दु का y -निर्देशांक शून्य होगा अतः समी (1 ) में `y =0 ` रखने पर,
`0= (x-7)/(x^(2) -5 x+6)`
`impliesx-7=0`
`implies x=7`
`therefore` वक्र बिन्दु `(7,0)` पर काटती है .
बिन्दु `(7 ,0 )` पर `(dy)/(dx) =(-(7) ^(2)+ 14xx7-29)/([(7)^(2) -5xx 7+6]^(2))`
`=(20)/((20)^(2))=(1)/(20)`
`implies` बिन्दु `(7 ,0 )` पर अभिलम्ब की प्रवणता
`=-(1)/(((dy)/(dx))_(""(7,0)))=-20`
बिन्दु `(7 ,0 )` पर स्पर्श रेखा का समीकरण है-
`y-0 (1)/(20)(x-7),`
`implies20 y=x -7`
`impliesx-20y-7=0.`
बिन्दु `(7 ,0 )` पर अभिलम्ब का समीकरण है-
`y-0 =-20(x-7)`
`impliesy=-20x+ 140`
`implies20x +y=140.`
Discussion
21.

वक्र `y=x^(3)-3x +1` की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x -निर्देशांक 3 है ।

Answer» Correct Answer - 24
Discussion
22.

वक्र `x^(2)+y^(2)-2x -3=0` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ Y -अक्ष के समांतर है ।

Answer» Correct Answer - `(-1, 0) ,(3,0)`
Discussion
23.

वक्र `(x^(2))/(9)+(y^(2))/(16)=1` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ X -अक्ष के समांतर है

Answer» Correct Answer - `(0,4), (0,-4)`
Discussion
24.

वक्र `x^(2)+y^(2)-2x -3=0` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ X -अक्ष के समांतर है ,

Answer» Correct Answer - `(1 pm 2), `
Discussion
25.

सिद्ध कीजिए की वक्र `y=2x^(3)-3` के उन बिन्दुओ पर स्पर्श रेखाएँ समांतर है, जहाँ `x=2` और `x=-2` है .

Answer» यहाँ ` y=2x^(3)-3" "...(1)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
` (dy)/(dx) =6x^(2)" "...(2)`
माना `m_(1)` बिन्दु `x =2 ` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है, तब
`m_(1) =((dy)/(dx))_(x=2)`
`impliesm_(1) =6xx2^(2) =24`
और `m_(2), x=-2` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है, तब
`m_(2) =((dy)/(dx))_(x=-2)`
`impliesm_(2)=6xx(-2)^(2) =24`
स्पष्टत: `m_(1)=m_(2)` अर्थात ` x=2`और `x=-2` पर वक्र की स्पर्श रेखाएँ समांतर है.
Discussion
26.

वक्र `(x^(2))/(9)+(y^(2))/(16)=1` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ Y -अक्ष के समान्तर है।

Answer» Correct Answer - `(3,0), (-3, 0)`
Discussion
27.

वक्र `(x^(2))/(4)+ (y^(2))/(25) =1` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखाएँ (i ) X -अक्ष के समांतर हो, (ii ) Y -अक्ष के समांतर हो.

Answer» दिया गया वक्र है-
`(x^(2))/(4)+ (y^(2))/(25)=1" "...(1)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(2x)/(4) +(2y )/(25) (dy)/(dx) =0`
`implies(y)/(25) (dy)/(dx)=-x/4`
`implies (dy)/(dx) =-(25x)/(4y)`
(i) चूँकि वक्र की स्पर्श रेखा X -अक्ष के समांतर है .
`therefore ` स्पर्श रेखा की प्रवणता `=0 `
`implies (dy)/(dx) =0`
`implies -(25x)/(4y) =0` या `x=0`
समी (1 ) में `x =0 ` रखने पर,
`0+ (y^(2))/(25)=1implies y^(2)=25` या `y=pm5`
अतः बिन्दु (0 ,5 ) और `(0 ,-5 )` ऐसे है, जहां पर स्पर्श रेखाएँ X -अक्ष के समांतर है.
(ii) चूँकि वक्र की स्पर्श रेखा y -अक्ष के समांतर है. ` therefore ` अभिलम्ब की प्रवणता `=0 `
`implies(-1)/(((dy)/(dx)))=0`
`implies(4y)/(25x)=0` या `y=0`
समय (1 ) में `y =0 ` रखने पर,
`(x^(2))/(4)+ 0=1impliesx^(2) =4`या `x = pm2`
अतः बिन्दु `(2,0)` और `(-2,0)` ऐसे है जहाँ पर स्पर्श रेखा Y -अक्ष के समांतर है.
Discussion
28.

वक्र `sqrtx+sqrty=a` के बिन्दु `((a^(2))/(4), (a^(2))/(4))` पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `x+y=(a^(2))/(2)`
Discussion