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This section includes 7 InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your Current Affairs knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

दो धनात्मक संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 तथा उनके वर्ग का योग निम्निष्ठ हो ।

Answer» Correct Answer - `8, 8`
Discussion
2.

दो धनात्मक संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल 49 तथा योग उच्चिष्ठ हो ।

Answer» Correct Answer - `7, 7`
Discussion
3.

फलक ` y = ax + b/x` का उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान ज्ञात किजिये ।

Answer» ` y = ax + b/x ` ...(1)
` :. (dy)/(dx) = a + b (-1) x^(-2) = a - b/x^(2)` ...(2)
तथा `(d^(2)y)/(dx^(2)) = (-1)(-2) bx^(-3) = (2b)/x^(3) ` ...(3)
y के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ` (dy)/(dx) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` a - b/x^(2) = 0 rArr a/b = 1/x^(2)`
` rArr x ^(2) = b/a rArr x = pm (b/a) ^(1//2)`
यदि ` x = (b/a)^(1//2)` है तब समीकरण (3) से ,
` ((d^(2)y)/(dx^(2)))_(x = (b/a)^(1//2)) = 2b(a/b)^(3//2) = 2asqrt(a/b)` = (धन राशि ) निम्निष्ठ
तथा ` x = - (b/a)^(1//2)` पर ,
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = - 2asqrt((a/b))`( ऋण राशि ) उच्चिष्ठ
फलक का निम्निष्ठ मान
` y = a (b/a)^(1//2) + b (a/b)^(1//2) = 2 sqrt(ab)`
फलक का उच्चिष्ठ मान
` y = - a (b/a)^(1//2) - b (a/b)^(1//2) = - 2sqrt(ab)`
अतः फलक का निम्निष्ठ मान ` = 2 sqrt(ab)`
तथा फलक का उच्चिष्ठ मान ` = - 2sqrt(ab)`
Discussion
4.

उन सभी धनात्मक संख्याओं के जोड़ो को ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 हो तथा उन संख्याओं को ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल उच्चिष्ठ हो ।

Answer» Correct Answer - `12, 12`
Discussion
5.

अंतराल (1, 4] पर `3x^(4) - 8x^(3) + 12x^(2) - 48x + 1` का उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - उच्चिष्ठ मान = 257, x = 4 पर , निम्निष्ठ मान = - 63, x = 2 पर
Discussion
6.

फलन ` 2x^(3) - 9x^(2) + 12x - 3, x ` के किन मानों पर उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ है ।

Answer» Correct Answer - x = 1पर उच्चिष्ठ , x = 2 पर निम्निष्ठ
Discussion
7.

अंतराल `[-3, 3]` पर `2x^(3) - 24x + 107`का उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - उच्चिष्ठ मान = 139, x = - 2 पर तथा निम्निष्ठ मान = 89, x = 3 पर
Discussion
8.

फलक `x^(3) - 2x^(2) + x + 6` का उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» माना `y = x^(3) - 2x^(2) + x + 6` ...(1)
` :. (dy)/(dx) = 3x^(2) - 4x + 1` ...(2)
तथा `(d^(2)y)/(dx^(2)) = 6x - 4` ...(3)
उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये
` (dy)/(dx) = 0 rArr 3x^(2)- 4x + 1 = 0` [समीकरण (2 ) से ]
` 3x^(2) - 3x - x + 1 = 0`
` rArr 3x(x-1) - (x-1) = 0`
` rArr (x-1)(3x-1) = 0`
` rArr x = 1 "या " x = 1/3`
x = 1 पर , `((d^(2)y)/(dx^(2)))_(x=1) = 6 xx 1 - 4 = 2`(धन राशि )
अतः x = 1 पर फलक निम्निष्ठ है
` x = 1/3` पर , `((d^(2)y)/(dx^(2))+)x=1/3) = 6 xx 1/3 - 4 = - 2` (ऋण राशि )
अतः `x = 1/3` पर फलक उच्चिष्ठ है ।
फलक का निम्निष्ठ मान
समीकरण (1) में x = 1 रखने पर ,
` y = (1)^(3) - 2 (1)^(2) + 1 + 6 = 1 - 2 + 1 +6 = 6`
फलक का उच्चिष्ठ मान
समीकरण (1) में ` x = 1/3` रखने पर
` y = (1/3)^(3) - 2 (1/3)^(2) + 1/3 + 6`
` = (1-6+9+162)/27 = 166/27 = 6 4/27`
फलक का निम्निष्ठ मान = 6, उच्चिष्ठ मान =` 64/27`
Discussion
9.

` f (x) = 1/(x^(2) + 2)` का उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - उच्चिष्ठ मान = `1/2 x = 0`पर
Discussion
10.

फलन ` f (x) = sin^(4) x + cos^(4) x `का उच्चिष्ठ बिंदु अथवा निम्निष्ठ बिंदु ज्ञात कीजिए जब ` 0 lt x lt pi/2`

Answer» Correct Answer - ` x = pi/4`
Discussion
11.

फलक `(x-1)(x-2)(x-3)` का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» माना ` y = (x -1)(x - 2)(x - 3)` ...(1)
` (dy)/(dx) = (x - 2) (x - 3) + ( x - 1) ( x - 2) `
या ` (dy)/(dx) = 3x^(2) - 12x + 11 ` ..(2)
तथा ` (d^(2)y)/(dx^(2)) = 6x - 12` ...(3)
फलक के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ` (dy)/(dx) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` 3 x^(2) - 12 x + 11 = 0`
` rArr x = (12 pmsqrt( 144 - 132))/6 = (12 pm 2 sqrt3)/6`
` rArr x = 2 pm 1/sqrt3 rArr x = 2 + 1/sqrt3 "या " x = 2 - 1/sqrt3`
` x = 2 + 1/sqrt3 ` पर , समीकरण (3) से ,
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = 6 (2 + 1/sqrt3) - 12 = 2 sqrt3 ` (धन )
अतः ` x = 2 + 1/sqrt3` पर फलक निम्निष्ठ है ।
` x = 2 - 1/sqrt3` पर , समीकरण (3) से
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = 6 (2 - 1/sqrt3) - 12 = - 2 sqrt 3 ` (ऋण )
अतः ` x = 2 - 1/sqrt3` पर फलक उच्चिष्ठ है ।
अतः समीकरण (1) में ` x = 2 - 1/sqrt3` रखने पर
फलक का उच्चिष्ठ मान ,
` y = (2 - 1/sqrt3 - 1) (2 - 1/sqrt3 - 2) (2 - 1/sqrt3 - 3)`
` = (1 - 1/sqrt3 ) (-1/sqrt3)(-1-1/sqrt3) = 2/(3sqrt3)`
अतः फलक का उच्चिष्ठ मान ` 2/(3sqrt3)`है ।
Discussion
12.

`f(x) = x^(3) - 3x` का उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - निम्निष्ठ मान = - 2, x = 1 पर ; उच्चिष्ठ मान = 2, x = - 1 पर
Discussion
13.

सिद्ध कीजिये कि `(1/x)^(x)` का उच्चिष्ठ मान `(e)^(1//e)`है ।

Answer» माना ` y = (1/x)^(x)`...(1)
` :. log y = x log 1/x = x log x^(-1)`
या ` log y = - x log x `
` :. 1/y (dy)/(dx) = - [x * 1/x + log x * 1 ]`
या ` 1/y (dy)/(dx) = - (1 + log x ) rArr (dy)/(dx) = - y (1 + log x )` ...(2) ltbr तथा `(d^(2)y)/(dx^(2)) = - [(1 + log x ) (dy)/(dx) + y (0 + 1/x)]`
` rArr (d^(2)y)/(dx^(2)) = - [(1 + log x ) (dy)/(dx) + y/x]` ...(3)
y के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ` (dy)/(dx) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` - y (1 + log x ) = 0 rArr y = 0`
या ` 1 + log x = 0 rArr log x = - 1`
` :. x = e^(-1) = 1/e`
समीकरण (3) में , ` x = 1/e` रखने पर
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = - [0+ey]`= ऋण राशि
अतः ` x = 1/e` पर फलक का मान उच्चिष्ठ है ।
अतः समीकरण (1) से ,
फलक का उच्चिष्ठ मान ` x = 1/e`रखने पर ` y = (e)^(1//e)`
Discussion
14.

` f (x) = sin 2 x`का उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए तब ` 0 lt x lt pi `|

Answer» Correct Answer - उच्चिष्ठ मान ` = 1, x = pi/4` पर ; निम्निष्ठ मान ` = - 1, x = (3 pi)/4` पर
Discussion
15.

सिद्ध कीजिये कि ` sin x + cos x ` का उच्चिष्ठ मान `sqrt2` है ।

Answer» माना ` y = sin x + cos x ` ...(1)
` :. (dy)/(dx) = cos x - sin x ` ...(2)
तथा ` (d^(2)y)/(dx^(2)) = - (sin x + cos x )` ...(3)
फलक के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ` (dy)/(dx) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` cos x - sin x = 0 rArr tan x = 1`
` :. x = pi //4`
समीकरण (3) से ,
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = - (1/sqrt2 + 1/sqrt2) = - sqrt2` ( ऋण राशि )
` :. x = pi//4` पर फलक उच्चिष्ठ है ।
फलक का उच्चिष्ठ मान , समीकरण (1) से ,
` y = sin pi/4 + cos pi/4 = sqrt2 `
अतः फलक का उच्चिष्ठ मान `sqrt2` है ।
Discussion
16.

`(log x)/x` का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिये यदि ` 0 lt x lt infty `

Answer» माना ` y = (log x)/x ` ...(1)
` :. (dy)/(dx) = (xd/(dx) log x - log x d/(dx) x)/x^(2)`
` rArr (dy)/(dx) = (x *1/x - log x)/x^(2) rArr (dy)/(dx) = (1-log x)/x^(2)` ....(2)
तथा ` (d^(2)y)/(dx^(2)) = (x^(2)d/(dx) (1-log x)-(1-log x)d/(dx) x^(2))/x^(4) `
` = (x^(2)(-1/x) - 2x(1 - log x))/x^(4) = - [(3 -2 log x)/x^(3) ] ` ....(3)
फलक के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये
` (dy)/(dx) = 0 rArr (1 - log x)/x^(2) = 0 rArr log x = 1 rArr x = e`
` x = e ` पर , ` (d^(2)y)/(dx^(2)) = - [(3-2 log _(e) e)/e^(3)] = (-1)/e^(3) ` ( ऋण राशि )
अतः x = e पर फलक उच्चिष्ठ है ।
फलक का उच्चिष्ठ मान , समीकरण (1) से
` y = (log_(e)e)/e = 1/e`
` :. ` फलक का उच्चिष्ठ मान ` 1/e`है ।
Discussion
17.

सिद्ध कीजिये कि ` xy (y - x) = 2a^(3)` का मान निम्निष्ठ है जब x = a

Answer» ` xy (y - x) = 2a^(3)`
` rArr (xy + y) (y -x) + xy(y -1) = 0`
` rArr (dy)/(dx) = (2xy - y^(2))/(2xy - x^(2))`
तथा `(d^(2)y)/(dx^(2)) = ((y^(2) -x^(2))2(xy + y) - (2xy -x^(2))*2 yy + (2 xy - y^(2) )2x)/((2xy - x^(2))^(2))`
अब ,`(dy)/(dx) = 0 rArr y = 2x`
तब दी गयी समीकरण से ,
` x = a "व " y = 2a`
` (a, 2a)"पर "(d^(2)y)/(dx^(2))` धनात्मक है ।
Discussion
18.

सिद्ध कीजिये कि ` x = pi/3` पर फलन ` sin x (1 + cos x)` का मान उच्चिष्ठ है । फलन का उच्चिष्ठ मान भी ज्ञात कीजिये ।

Answer» Correct Answer - ` (3 sqrt3)/4`
` y = sin x (1 + cos x)`
` rArr (dy)/(dx) = cos x (1 + cos x) + sin x ( - sin x ) = cos x + cos 2 x `
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = - sin x - 2 sin 2 x`
` (dy)/(dx) = 0 rArr cos x + cos 2 x = 0`
` rArr cos x = - cos 2 x = cos ( pi - 2 x)`
` rArr x = pi - 2x rArr x = pi/3`
` x = pi/3` पर ,` (d^(2)y)/(dx^(2))` = ऋणात्मक
Discussion
19.

सिद्ध कीजिये कि ` x/(1 + x tan x) ` का मान उच्चिष्ठ है यदि ` x = cos x `

Answer» फलक `x/(1 + x tan x )` उच्चिष्ठ होगा यदि इसका व्युत्क्रम अर्थात ` (1 + x tan x)/x` निम्निष्ठ है ।
माना ` y = 1/x + tan x ` ...(1)
` (dy)/(dx) = - 1/x^(2) + sec^(2) x ` ...(2)
तथा ` (d^(2) y)/(dx^(2)) = 2/x^(3) + 2 sec^(2) x tan x` ...(3)
फलक के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये `(dy)/(dx) = 0`
` rArr - 1/x^(2) + sec^(2) x = 0 " " rArr sec^(2) x = 1/x^(2)`
` rArr cos^(2) x = x^(2) " " rArr x = cos x`
समीकरण (3) में ` x = cos x ` रखने पर ,
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = 2/(cos^(3) x) + 2 sec^(2) x tan x`
` = 2 sec^(2) x (sec x + tan x ) `
यह राशि धन राशि है अतः ` x = cos x ` पर yमान निम्निष्ठ है
अतः इस फलक का व्युत्क्रम अर्थात प्रदत्त फलक ` x = cos x ` पर उच्चिष्ठ है ।
Discussion
20.

सिद्ध कीजिये कि ` sin ^(p) theta cos^(q) theta` का मान उच्चिष्ठ होगा यदि ` theta = tan^(-1) sqrt(p/q)`

Answer» ` y = sin ^(p) theta cos^(q) theta`
` rArr (dy)/(d theta) = y ( - q tan theta + p cot theta)`
` (dy)/(d theta) = 0 rArr theta = tan^(-1) sqrt(p/q)`
तथा ` (d^(2)y)/(d theta^(2)) = y ( -q sec^(2) theta - p cosec^(2) theta) + (dy)/( d theta) ( -q tan theta + p cot theta)`
` (d^(2) y)/(d theta ^(2)), theta = tan ^(-1) sqrt( p/q) ` पर ऋणात्मक
Discussion
21.

यदि ` y = x^(3) - 2x^(2) + x + 8`, तब y का उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» Correct Answer - x = 1पर निम्निष्ठ , निम्निष्ठ मान ` = + 8, x = 1/3` पर उच्चिष्ठ , उच्चिष्ठ मान ` = 8 4/27`
` y = x^(3) - 2x^(2) + x + 8`
` rArr (dy)/(dx) = 3 x ^(2) - 4 x + 1 , (d^(2) y)/(dx^(2)) = 6x - 4`
उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ के लिए ` (dy)/(dx) = 0`
` rArr 3x^(2) - 4x + 1 = 0 rArr x = 1 , 1/3`
x = 1 पर , ` (d^(2)y)/(dx^(2)) = 2 (+ve)`
` rArr f (x)` निम्निष्ठ है x = 1 पर तथा निम्निष्ठ मान = 8
` x = 1/3` पर , ` (d^(2)y)/(dx^(2)) = - 2 (-ve)`
` rArr f (x)` उच्चिष्ठ है `x = 1//3` पर
तथा उच्चिष्ठ मान ` = 8 4/27`
Discussion
22.

सिद्ध कीजिये कि `x^(x)` का मान ` x = 1/e` पर निम्निष्ठ है ।

Answer» ` y = x^(x) rArr log y = x log x`
`rArr 1/y (dy)/(dx) = x * 1/x + 1 * log x `
` rArr (dy)/(dx) = y (1 + log x) = x^(x) (1 + log x)`
व `(d^(2)y)/(dx^(2)) = x^(x) [1/x + ( 1 + log x)^(2)] `
उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ के लिए , ` (dy)/(dx) = 0`
` rArr x^(x) (1 + log x) = 0`
` rArr log x = log . 1/e rArr x = 1/e`
स्पष्ट रूप से ` x = 1/e` पर ,` (d^(2)y)/(dx^(2))`= धनात्मक
Discussion
23.

एक खुला आयताकार डिब्बा जिसका आधार वर्ग व पाशर्व फलक (Side face) उर्ध्वाधर है क आयतन 256 घन सेमी है यदि उसके बनाने में कम से कम चादर लगानी है तो उसकी विमायें ज्ञात कीजिये ।

Answer» माना वर्गाकार आधार की प्रत्येक भुजा की लम्बाई = x सेमी
व डिब्बे की ऊँचाई = h सेमी
दिया है : डिब्बे का आयतन = 256 घन सेमी
` rArr x^(2) h = 256`
` rArr h = (256)/x^(2) ` ...(1)
अब , डिब्बे को बनाने में लगी चादर का क्षेत्रफल
S = आधार का क्षेत्रफल + चारों पाशर्व फलकों का क्षेत्रफल
` = ( x * x) + 4 ( x * h) = x ^(2) + 4 xh`
` = x^(2) + 4x * (256)/x^(2) = x^(2) + (1024)/x ` ..(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
` (dS)/(dx) = 2 x - (1024)/x^(2) ` ....(3)
S के उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मान के लिए
` (dS)/(dx) = 0`
` rArr 2x - (1024)/x^(2) = 0 rArr 2x^(3) = 1024`
` rArr x^(3) = 512 = (8)^(3) `
` :. x = 8`
समीकरण (3) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर
` (d^(2)S)/(dx^(2)) = 2 + 2 * (1024)/x^(3)`
` ((d^(2)S)/(dx^(2)))_(x = 8) = 2 + ( 2 xx 1024)/((8)^(3)) ` (धन राशि )
` rArr x = 8 ` पर S का मान निम्निष्ठ होगा ।
अतः समीकरण (1) में x = 8 रखने पर
` h = (256)/8^(2) = (256)/64 = 4`
` rArr डिब्बे में कम से कम चादर लगाने के लिए आधार की भुजा की लम्बाई 8 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी होगी ।
Discussion
24.

सिद्ध कीजिये कि यदि `theta + phi`= अचर , तब `sin theta sin phi` का मान उच्चिष्ठ होगा यदि `theta = phi`

Answer» ` y = sin theta sin phi = 1/2 [2 sin theta sin phi]`
` = 1/2 [cos(theta- phi) - cos (theta+ phi)]`
`rArr (dy)/(d theta) = 1/2 [-sin (theta - phi)] - 0`
व ` (d^(2)y)/(d theta^(2)) = - 1/2 cos (theta - phi)`
उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान के लिए
` (dy)/(d theta) = 0`
` rArr 1/2 - sin (theta - phi) = 0 rArr theta = phi`
` rArr theta = phi "पर" , (d^(2)y)/(d theta^(2))=`ऋणात्मक
Discussion
25.

सिद्ध कीजिए कि दिये गये वक्रपृष्ठ वाले बेलन जो ऊपर से खुला है , का आयतन अधिकतम तब होगा जब उसकी ऊँचाई उसके आधार की त्रिज्या के बराबर हो ।

Answer» माना एक खुले बेलन की त्रिज्या r, ऊँचाई h तथा सम्पूर्ण पृष्ठ S है । तब
` S = ( pi r^(2) + 2 pi r h ) " या " h = ((S - pi r^(2))/(2 pi r))`
व ` V = pi r^(2) h = pi r^(2) ((S - pi r^(2))/(2 pi r))`
` V = ((rS - pi r^(3))/2)`
r के सापेक्ष अवकलन करने पर
`(dV)/(dr) = ((S - 3 pi r^(2))/2)` ...(1)
` rArr (d^(2)V)/(dr^(2)) = - 3 pi r` ...(2)
अब , माना `(dV)/(dr) = 0`,
` (S- 3pi r^(2))/2 = 0 rArr S - 3 pi r^(2) = 0`
` rArr pi r^(2) + 2 pi r h - 3 pi r^(2) = 0 rArr h = r`
अब r = h समीकरण (2) में रखने पर
` ((d^(2)V)/(dr^(2)))_(r = h) = - 3 pi h lt 0`
अतः r = h पर Vउच्चिष्ठ है तथा r उच्चिष्ठ बिंदु है ।
Discussion
26.

सिद्ध कीजिये कि `sec x + log cos^(2) x ` का उच्चिष्ठ मान 1 व निम्निष्ठ मान ` 2 ( 1 - log_(e) 2)`होगा ।

Answer» ` y = sec x + log cos^(2) x rArr (dy)/(dx) = sec x tan x - 2 tan x`
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = sec^(3) x + sec x tan^(2) x - 2 sec^(2) x `
` (dy)/(dx) = 0 rArr tan x = 0`
तथा ` sec x - 2 = 0 rArr x = 0, 60^(@)`
x = 0 पर `(d^(2)y)/(dx^(2))`= ऋणात्मक `rArr y` उच्चिष्ठ है ।
`x = 60^(@)` पर `(d^(2) y)/(dx^(2))`= धनात्मक `rArr y` निम्निष्ठ है ।
निम्निष्ठ मान ` = sec 60^(@) + log cos^(2) 60^(@)`
` = 2 + log (1/2)^(2) = 2 + 2 log (1/2) = 2 (1 - log_(e )2)`
Discussion
27.

सिद्ध कीजिये कि फलन `x^(3) - 3x^(2) + 6x + 7` का कोई उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान नहीं है ।

Answer» ` y = x^(3) - 3x^(2) + 6x + 7`
` rArr (dy)/(dx) = 3x^(2) - 6x + 6, (d^(2)y)/(dx^(2)) = 6x - 6`
` (dy)/(dx) = 0 rArr x = 1 pm I , x ` की वास्तविक संख्याएँ नहीं है ।
Discussion
28.

दो प्रतिरोधों `R_(1)` व `R_(2)`का संयुक्त प्रतिरोध सूत्र ` 1/R = 1/R_(1) + 1/R_(2)` द्वारा ज्ञात किया जाता है । यदि `R_(1) + R_(2)` = अचर हो तो सिद्ध कीजिये कि R के महत्तम मान के लिए `R_(1) = R_(2)`

Answer» `R_(1)+R_(2) = C, 1/R = 1/R_(1) + 1/R_(2) , P = 1/R_(1) + 1/(C - R_(1))`
` (dP)/(dR_(1)) = - 1/R_(1)^(2)+1/((C - R_(1))^(2))`
` (dP)/(dR_(1)) = 0 rArr R_(1) = C/2 "अतः" R_(2) = C/2`
इस बिंदु पर `(d^(2)P)/(dR_(1)^(2)) gt 0`
Discussion
29.

यदि फलन `f(x) = x^(4) + kx^(2) - 2, x = 1` पर निम्निष्ठ है तो k का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» Correct Answer - `-2`
`y = x^(4) + Kx^(2) - 2`
` rArr (dy)/(dx) = 4x^(3) + 2 Kx = 4 + 2K, x = 1` पर
` (dy)/(dx) = 0 rArr 2K + 4 = 0 rArr K = - 2`
Discussion
30.

18 सेमी भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित के संदूक बनाना है । काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो ?

Answer» Correct Answer - 3 सेमी
Discussion
31.

28 मीटर लम्बे तार के दो टुकड़े करके एक को वर्ग तथा दूसरे को वृत्त के रूप में मोडा जाता है दोनों टुकड़ो की लम्बाई ज्ञात कीजिये यदि उनसे बनी आकृतियों का संयुक्त क्षेत्रफल न्यूनतम हो ।

Answer» Correct Answer - `(392)/25"मी ", (308)/25 "मी "`
` 28 = 4x + 2pi y , 14 = 2x + pi y`
यदि क्षेत्रफलों का योग `A = x^(2) + pi y^(2) = x^(2) + pi ((14 - 2x)/pi)^(2)`
अब Aपर उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ का सिद्धांत प्रयोग करने पर
Discussion
32.

45 सेमी `xx` 24 सेमी की टिन की आयताकार चादर के कोनो पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है । काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो ?

Answer» Correct Answer - x=5 सेमी
Discussion
33.

एक 28 cm लम्बे तार को दो टुकड़ो में विभक्त किया जाना है । एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है , दोनों दुकड़ो की लम्बाईयाँ कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो ?

Answer» Correct Answer - `(112)/(pi+4)` सेमी, `(28pi)/(pi+4) ` सेमी
Discussion
34.

ऐसी दो धन संख्याएँ x तथा y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल `x ^(2) y^(5)` उच्चतम हो ।

Answer» Correct Answer - 25,10
Discussion
35.

किसी समलम्ब चतुर्भुज की तीन भुजायें आपस में बराबर है तथा प्रत्येक की माप 6 सेमी है । समलम्ब चतुर्भुज के उच्चिष्ठ क्षेत्रफल का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» Correct Answer - `27sqrt3`वर्ग सेमी ।
Discussion
36.

एक आयत का परिमाप 100 सेमी है अधिकतम क्षेत्रफल के लिए आयत की भुजायें ज्ञात कीजिये ।

Answer» Correct Answer - 25 सेमी, 25 सेमी
Discussion
37.

सिद्ध कीजिए कि दिये गये क्षेत्रफल वाले आयतों में वर्ग का परिमाप निम्नतम होता है ।

Answer» माना आयत का क्षेत्रफल A तथा भुजाएँ x तथा y है तथा P आयत का परिमाप है ।
`A = xy " तथा " y = A/x`
तथा ` P = 2x + 2y = 2x + (2A)/x`
अब ,`(dP)/(dx) = (2 - (2A)/x^(2))`
` rArr (d^(2)P)/(dx^(2)) = (4A)/x^(3)`
अब , माना `(dP)/(dx) = 0`, तब
` 2 - (2A)/x^(2) = 0`
` x = sqrtA`
अब ,` x = sqrtA` पर उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान
` [(d^(2)P)/(dx^(2))]_(x = sqrtA) = (4A)/(A^(3//2)) = 4/sqrtA gt 0`
अतः ` x = sqrtA` उच्चिष्ठ बिंदु है ।
अब ,` x = sqrtA`
` y = A/x rArr A/sqrtA = sqrtA = x`
अतः आयत एक वर्ग है ।
Discussion
38.

मान लीजिए `A(0,a)` तथा `B(0,b)` दो स्थिर बिंदु है तथा `P(x,0)` एक चर बिंदु है । तब `angleAPB` अधिकतम होगा जबकि `x^(2)` बराबर होगा -A. `a + b`B. abC. `sqrt(ab)`D. `a - b`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
39.

एक दिये गये गोले के अंतर्गत बने शंकु का वक्रपृष्ठ महत्तम होगा यदि h का मान होगा -A. `4/3 a`B. `2/5 a`C. `3/4 a`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
Discussion
40.

फलन `f(x) = {{:((2+x)^(3)","-3 le xle -1),(x^(2//3)", "-1lexlt2):}` के कुल उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ बिंदुओं कि संख्या है -

Answer» Correct Answer - C
Discussion
41.

मान लीजिए घन `x^(3) - px + q`के तीन विभिन्न मूल है जहाँ `p, q gt 0`,तब निम्न में से वैध है -A. `sqrt(p/3)"व" -sqrt(p/3)` दोनों पर घनीय उच्चिष्ठ है ।B. ` sqrt(p/3)`पर निम्निष्ठ व `-sqrt(p/3)` पर उच्चिष्ठ है ।C. ` - sqrt(p/3)`पर निम्निष्ठ व `sqrt(p/3)` उच्चिष्ठ है ।D. दोनों `sqrt(p/3)"व "-sqrt(p/3)` पर निम्निष्ठ है ।

Answer» Correct Answer - B
Discussion
42.

यदि `a^(2) x^(4) + b^(2) y^(4) = c^(6)` तो xy का महत्तम मान है -A. `c^(3)/sqrt(ab)`B. `c^(3)/sqrt(2ab)`C. `c^(3)/(ab)`D. `c^(3)/(2ab)`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
43.

यदि दो संख्याओं का योग 6 है , तब उनके व्युत्क्रमों के योग का निम्निष्ठ मान होगा -A. `6/5`B. `3/4`C. `2/3`D. `1/2`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
44.

` sin^2x` का मान निम्निष्ठ है जबकि x बराबर होगा -A. `(4n + 3 ) pi//2, n in Z`B. `(4n + 1) pi//2, n in Z`C. `n pi , n in Z`D. `n pi //2, n in Z`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
45.

`e^((2x^(2)-2x-1)) sin^(2) x` का निम्निष्ठ मान होगा -A. eB. 1/eC. 1D. 0

Answer» Correct Answer - C
Discussion
46.

बिंदु (0, 5)वक्र `x^(2) = 2y` के किस बिंदु के सबसे निकट होगा ?A. `(2sqrt2, 0)`B. (0, 0)C. (2, 2)D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - D
Discussion
47.

`x^(3) - 3x^(2) + 6x + 7` का -A. उच्चिष्ठ मान विद्यमान है पर निम्निष्ठ नहींB. निम्निष्ठ मान विद्यमान है पर उच्चिष्ठ नहींC. उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ दोनों मान विद्यमान है ।D. उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ में से कोई विद्यमान नहीं है ।

Answer» Correct Answer - D
Discussion
48.

`sin^(3) x + cos^(3) x ` का उच्चिष्ठ मान होगा -A. 1B. 2C. `3//2`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
Discussion
49.

वक्र`x = y^(2)` व रेखा ` y - x = 1` के बीच की न्यूनतम दूरी है -A. ` (3 sqrt2)/8`B. `(2 sqrt3)/8`C. ` (5 sqrt2)/8`D. `sqrt3/4`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
50.

`(log x)/x ` का उच्चिष्ठ मान है -A. eB. 2eC. `1/e`D. `2/e`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
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