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51.

`int_(0)^(pi//2)x sin x dx ` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int_(0)^(pi//2)x sin x dx=[-x cos x]_(0)^(pi//2)-int_(0)^(pi//2)1.(-cos x)dx`
`" "` (खण्डशः समाकलन करने पर )
`=[-x cos x]_(0)^(pi//2)+int_(0)^(pi//2)cos xdx`
`=[-x cos x]_(0)^(pi//2)+[sinx]_(0)^(pi//2)`
`=[-(pi)/(2)cos.(pi)/(2)+0cos0]+[sin.(pi)/(2)-sin0]`
`=(-(pi)/(2)xx0+0xx1)+(-10)=1`
Discussion
52.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(a)(d)/(sqrt(a^(2)-x^(2)))`

Answer» माना `I=int_(0)^(a)(d)/(sqrt(a^(2)-x^(2)))=[sin^(-1)((x)/(a))]_(0)^(a)`
`=sin^(-1)((a)/(a))-sin^(-1)((0)/(a))`
`=sin^(-1)1-sin^(-1)0`
`=(pi)/(2)-0=(pi)/(2)`
Discussion
53.

सिद्ध कीजिये - `int_(0)^(-i//2)(sqrtcosx)/(sqrtsinx+sqrt(cosx))dx=(pi)/(4)`

Answer» `f(x)=(sqrt(cosx))/(sqrt(cosx)+sqrt(sinx))`
`rArrf((pi)/(2)-x)=(sqrt(cos((pi)/(2)-x)))/(sqrt(cos((pi)/(2)-x)+sqrt(sin((pi)/(2)-x))))=(sqrtsinx)/(sqrtsinx+sqrtcosx)`
f(x) तथा `f((pi)/(2)-x)` को जोड़ने पर
Discussion
54.

`int_(0)^(pi//4)sqrt(1+sin 2x)dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int_(0)^(pi//4)sqrt(1+sin2x)dx`
`=int_(0)^(pi//4)sqrt(sin^(@)x+cos^(2)x+2sin x cosx)`
`=int_(0)^(pi//4)sqrt((cosx+sinx)^(2))dx`
`(because 1=cos^(2)x+sin^(2)x, sin 2x=2sin x cosx)`
`=int_(0)^(pi//4)(cosx+sinx)dx=[sinx-cosx]_(0)^(pi//4)`
`=(sin.(pi)/(4)-cos.(pi)/(4))-(sin0-cos0)`
`=((1)/(sqrt2)-(1)/(sqrt2))-(0-1)=1`
Discussion
55.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi//4)sin 3x cosx dx`

Answer» माना `I=int_(0)^(pi//4)sin 3x cos x dx`
`=(1)/(2)int_(0)^(pi//4)(2sin 3x cos x)dx`
`=(1)/(2)int_(0)^(pi/4)[sin 4x+sin 2x]dx`
`" "[because 2sin A cos B=sin (A+B)+sin(A-B)]`
`=(1)/(2)[-(cos4x)/(4)-(cos 2x)/(2)]_(0)^(pi//4)`
`=-(1)/(2)[(cos 4x)/(4)+(cos2x)/(2)]_(0)^(pi//4)`
`=-(1)/(2)[((cospi)/(4)+(cospi//2)/(2))-((cos0)/(4)+(cos0)/(2))]`
`=-(1)/(2)[(-(1)/(4)+0)-((1)/(4)+(1)/(2))]`
`=-(1)/(2)[-(1)/(4)-(1)/(4)-(1)/(2)]=(1)/(2)`
Discussion
56.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(1)(e^(x)dx)/(1+e^(x))`

Answer» Correct Answer - `log((1+e)/(2))`
माना `1+e^(x)=t`
Discussion
57.

`int_(1)^(3)(logx)/(x)dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `log x= t rArr (1)/(x)dx=dt`
`{:("जब "x = 1,"तब ",t=log1=0),("जब "x=3,"तब ",t=log3):}`
`therefore" "int_(1)^(3)(logx)/(x)dx=int_(0)^(log3)t dt`
`=[(t^(2))/(2)]_(0)^(log3)=((log3)^(2))/(2)-(0)/(2)=((log3)^(2))/(2)`
Discussion
58.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi)x sin x cos^(2) x dx`

Answer» Correct Answer - `(pi)/(3)`
`I=int_(0)^(pi)x sin x cos^(2) x dx`
`=int_(0)^(pi)(pi-x)sin(pi-x)cos^(2)(pi-x)dx`
`=pi int_(0)^(pi)sinx cos^(2) x dx -int_(0)^(pi)x sin x cos^(2)xdx`
`rArr 2I=pi int_(0)^(pi) sin x cos^(2)xdx`
अब `cos x= t` रखने पर
Discussion
59.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(pi//4)^(pi//2)sqrt((1-sin2x))dx`

Answer» माना `I=int_(pi//4)^(pi//2)sqrt((1-sin2x))dx`
`=int_(pi//4)^(pi//2)sqrt((sin^(2)x+cos^(2)x-2sin x cosx))dx`
`=int_(pi//4)^(pi//2)[cosx-sinx]dx=[sinx+cosx]_(pi//4)^(pi//2)`
`=[sin.(pi)/(2)+cos.(pi)/(2)]-[sin.(pi)/(4)+cos.(pi)/(4)]`
`=(1+0)-((1)/(sqrt2)+(1)/(sqrt2))=1-sqrt2`
Discussion
60.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi//4)(sin(cos 2x))/("cosec 2x")dx`

Answer» Correct Answer - `(1)/(2)(1-cos 1)`
माना `cos2x=t`
Discussion
61.

`int_(-2)^(2)(x^(2))/(1+5^(x))dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `I=int_(-2)^(2)(x^(2))/(1+5^(x))dx" …(1)"`
`=int_(-2)^(2)((2-2-x)^(2))/(1+5^(2-2-x))dx`
`" "[because int_(1)^(b)f(a+b-x)dx]`
`=int_(-2)^(2)(x^(2))/(1+5^(-x))dx`
`rArr" "I=int_(-2)^(2)(5^(x)x^(2))/(5^(x)+1)dx" ...(2)"`
समीकरण (1 ) व (2 ) को जोड़ने पर
`2I=int_(-2)^(2)((1+5^(x))/(5^(x)+1))x^(2)dx`
`rArr" "2I=2int_(0)^(2)x^(2)dx`
[`because x^(2)` सम है, अतः `int_(-2)^(2)x^(2)d2int_(0)^(2)x^(2)dx]`
`rArr" "I=[(x^(3))/(3)]_(0)^(2)=(1)/(3)(2^(3)-0)=(8)/(3)`
Discussion
62.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi//2)(cos x dx)/(sqrt(sinx))`

Answer» Correct Answer - 2
माना `sin x = t`
Discussion
63.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(1//sqrt2)(sin^(-1)x)/((1=x^(2))^(3//2))dx`

Answer» Correct Answer - `(pi)/(4)-(1)/(2)log2`
माना `sin^(-1)x=t`
Discussion
64.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(1)(dx)/(sqrt((1-x^(2))))`

Answer» Correct Answer - `(pi)/(2)`
Discussion
65.

`int_(-1)^(2)|x^(3)-x|dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `I=int_(-1)^(2)|x^(3)-x|dx`
तथा `f(x)=|x^(3)-x|=|x(x^(2)-1)|=|x||x-1||x+1|`
`={{:(-x xx-(x-1)xx(x+1)",","यदि ",-1lt xle0),(x xx(1-x)xx(x+1)",","यदि ",0lt x le1),(x(x-1)(x+1)",","यदि ",1ltxle2):}`
`={{:(x^(3)-x",","यदि ",-1lt x le0),(x-x^(3)",","यदि ",0lt x le1),(x^(3)-x",","यदि ",1ltxle2):}`
`therefore" "I=int_(-1)^(0)f(x)dx+int_(0)^(1)f(x)dx+int_(1)^(2)f(x)dx`
`=int_(-1)^(0)(x^(3)-x)dx+int_(0)^(1)(x-x^(3))dx+int_(1)^(2)(x^(3)-x)dx`
`=[(x^(4))/(4)-(x^(2))/(2)]_(1)^(0)+[(x^(2))/(2)-(x^(4))/(4)]_(0)^(1)+[(x^(4))/(4)-(x^(2))/(2)]_(1)^(2)`
`=[0-0-{(1)/(4)-(1)/(2)}]+[(1)/(2)-(1)/(4)-0]+[(16)/(4)-(4)/(2)-{(1)/(4)-(1)/(2)}]`
`=[(1)/(4)]+[(1)/(4)]+[4-2-(-(1)/(4))]`
`=(1)/(4)+(1)/(4)+2+(1)/(4)=(11)/(4)`
Discussion
66.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi//2)(dx)/(1+2 cos x)`

Answer» Correct Answer - `(1)/(sqrt3)log(2+sqrt3)`
`int_(0)^(pi//2)(dx)/(1+2 cos x)=int_(0)^(pi//2)(dx)/(1+2((1-tan^(2)x//2)/(1+tan^(2)x//2)))`
`=int_(0)^(pi//2)(sec^(2)x//2)/(3-tan^(2)x//2)dx`
अब माना `tan.(x)/(2)=t`
Discussion
67.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi//2)cos x e^(sin x)dx`

Answer» Correct Answer - `e-1`
`I=int_(0)^(pi//2)cos x e^(sinx).dx`
माना `sin x = t rArr cos x dx = dt`
`rArr" "I=int_(0)^(1)e^(t)dt=|e^(t)|_(0)^(1)=e^(1)-e^(0)=e-1`
Discussion
68.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(1)sin^(-1)((2x)/(1+x^(2)))dx`

Answer» Correct Answer - `(pi)/(2)-log2`
`sin^(-1).(2x)/(1+x^(2))=2 tan^(-1)x` का प्रयोग करने पर
Discussion
69.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(-1)^(1)2^(x)dx`

Answer» Correct Answer - `(3)/(2(log_(e)2))`
`int_(-1)^(1)2^(x)dx=[(2^(x))/(log_(e)2)]_(-1)^(1)`
Discussion
70.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(1)x sqrt(((1-x^(2))/(1+x^(2))))dx`

Answer» Correct Answer - `((pi)/(4)-(1)/(2))`
`int_(0)^(1)x sqrt((1-x^(2))/(1+x^(2)))dx`
माना `x^(2)=cos 2 theta" "rArr" " 2x dx = -2 sin 2 theta d theta`
Discussion
71.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi//3)(cos x dx)/(3+4 sin x)`

Answer» Correct Answer - `(1)/(4)log[(3+2sqrt3)/(3)]`
Discussion
72.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi//2)cos^(2)x dx`

Answer» Correct Answer - `(pi)/(4)`
Discussion
73.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(a)sqrt((a^(2)-x^(2)))dx`

Answer» Correct Answer - `(pia^(2))/(4)`
Discussion
74.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi//6)cos 3x dx`

Answer» Correct Answer - `(1)/(3)`
Discussion
75.

योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(1)^(3)(2x^(2)+5)dx`

Answer» Correct Answer - `27(1)/(3)`
Discussion
76.

योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(1)^(b)sinx dx`

Answer» Correct Answer - `cosa-cosb`
Discussion
77.

योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(-1)^(1)e^(x)dx`

Answer» Correct Answer - `(e^(2)-1)/(e)`
Discussion
78.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(1)^(sqrt3)(dx)/(1+x^(2))`

Answer» Correct Answer - `(pi)/(12)`
Discussion
79.

निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(1)^(4)(x^(2)-x)dx`

Answer» Correct Answer - `(27)/(2)`
Discussion
80.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi//2)sin x sin 2x dx`

Answer» Correct Answer - `(2)/(3)`
Discussion
81.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(1)xe^(2x)dx`

Answer» Correct Answer - `(e^(2)+1)/(4)`
Discussion
82.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(1)x^(2)e^(2x)dx`

Answer» Correct Answer - `(e^(2)-1)/(4)`
Discussion
83.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(3)^(5)(x^(2)dx)/(x^(2)-4)`

Answer» Correct Answer - `2+log((15)/(7))`
Discussion
84.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(1)^(2)x^(3)dx`

Answer» Correct Answer - `(15)/(4)`
Discussion
85.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिए - `int_(0)^(pi//2)(dx)/(a^(2)cos^(2)x+b^(2)sin^(2)x)`

Answer» माना `I=int_(0)^(pi//2)(dx)/(a^(2)cos^(2)x+b^(2)sin^(2)x)`
अंश व हर को `cos^(2)x` से भाग देने पर,
`I=int_(0)^(pi//2)(Sec^(2)xdx)/(a^(2)+b^(2)tan^(2)x)`
`=(1)/(a^(2))int_(0)^(pi//2)(sec^(2)xdx)/(1+((b tanx)/(a))^(2))`
`=(1)/(a^(2))(a)/(b)[tan^(-1)((b tanx)/(a))]_(0)^(pi//2)`
`=(1)/(ab)[tan^(-1)oo-tan^(-1)0]=(pi)/(2ab)`
Discussion
86.

`int_(0)^(1)(x tan^(-1)x)/((1+x^(2))^(3//2))dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int_(0)^(1)(xtan^(-1)x)/((1+x^(2))^(3//2))dx`
यदि `tan theta= x rArr sec^(2)theta d theta = dx` तथा सीमायें हैं।
`theta=0` पर `x=0` व `theta=pi//4` पर `x = 1,` तब
`int_(0)^(1)(x tan^(-1))/((1+x^(2))^(3//2))dx=int_(0)^(pi//4)(theta tan theta)/(sec^(3)theta).sec^(2) theta d theta`
`=int_(0)^(pi//4)theta sin theta d theta`
खण्डशः समाकलन करने पर ,
`=[-theta cos theta]_(0)^(pi//4)-int_(0)^(pi//4)(-cos theta) d theta`
`=[-theta-cos theta]_(0)^(pi//4)+[sinx theta]_(0)^(pi//4)`
`=-(pi)/(4)cos.(pi)/(4)+sin.(pi)/(4)`
`=((-pi)/(4sqrt2)+(1)/(sqrt2))=((4-pi))/(4sqrt2)=(sqrt2(4-pi))/(8)`
Discussion
87.

`int_(0)^(pi//2)(dx)/((4sin^(2)x+5cos^(2)x))` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int_(0)^(pi//2)(dx)/((4sin^(2)x+5cos^(2)x))`
अंश व हर को `cos^(2)x` से भाग देने पर,
`int_(0)^(pi//2)(dx)/((4sin^(2)x+5cos^(2)x))=int_(0)^(pi//2)(sec^(2)x)/((4tan^(2)x+5))dx`
यदि `tanx=t rArr sec^(2) xdx = dt` व `x=0 rArr t = 0`
व `x=(pi)/(2)rArr t=oo,` तब
`=int_(0)^(oo)(dt)/((4t^(2)+5))`
`=(1)/(4)int_(0)^(oo)(dt)/(t^(2)+((sqrt5)/(2))^(2))=(1)/(4).(2)/(sqrt5)[tan^(-1).(2t)/(sqrt5)]_(0)^(oo)`
`=(1)/(2sqrt5[tan^(-1)(oo)-tan^(-1)(0)])`
`=(1)/(2sqrt5)((pi)/(2)-0)=(pi)/(4sqrt5)`
Discussion
88.

`int_(1)^(sqrt(3))(1)/(1+x^(2))dx` का मान हैA. `(pi)/(3)`B. `(2pi)/(3)`C. `(pi)/(6)`D. `(pi)/(12)`

Answer» `int_(1)^(sqrt(3))(dx)/(1+x^(2))=int_(1)^(sqrt(3))(dx)/(1^(2)+(x)^(2))=[(1)/(1)tan^(-1)((x)/(1))]_(1)^(sqrt(3))=tan^(-1)sqrt(3)-tan^(-1)1=(pi)/(3)-(pi)/(4)=(pi)/(12)`
Discussion
89.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिए - `int_(0)^(pi//2)theta sin theta cos theta d theta `

Answer» माना `I=(1)/(2)[thetaint_(0)^(pi//2)sin 2 theta d theta - int_(0)^(pi//2){(d)/(d theta)theta int sin 2 theta d theta}]d theta`
`theta` को प्रथम फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर,
`=(1)/(2)[(-theta cos 2 theta)/(2)]_(0)^(pi//2)+(1)/(4)int_(0)^(pi//2)cos 2 theta d theta`
`=-[(theta cos 2 theta)/(4)]_(0)^(pi//2)+(1)/(8)[sin 2 theta]_(0)^(pi//2)`
`=-[(pi//2cos(pi))/(4)-(0 cos 0)/(4)]+(1)/(8)[sin pi-sin0]`
`=(pi)/(8)`
Discussion
90.

`int_(0)^(pi//2)sqrt(costheta)sin^(3)thetad theta` का मान हैA. `(8)/(21)`B. `-(8)/(21)`C. `-(20)/(21)`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
`I=int_(0)^(pi//2)sqrt(costheta)(1-cos^(2)theta)sin thetad theta`
माना `costheta=t`, तो `-sinthetad theta=dt`
`thereforeI=-int_(1)^(0)sqrt(t)(1-t^(2))dt`
`=int_(0)^(1)(sqrt(t)-t^(5//2))dt`
`=[(2)/(3)t^(3//2)-(2)/(7)t^(7//2)]_(0)^(1)=(2)/(3)-(2)/(7)=(8)/(21)`
Discussion
91.

`int_(-1)^(15)sin({x})dx` जहाँ { } एक भिन्नात्मक फलन को निरूपित करता है, का मान है-A. 8B. 16C. 24D. 0

Answer» Correct Answer - B
Discussion
92.

फलन `f(x)=xg(x)` और `g(x)=[(1)/(x)]`, जहाँ `[*]`,अधिकतम पूर्णांक फलन है , पर विचार कीजिए । `int_(1//3)^(1)f(x)dx` किसके बराबर है ?A. `37//72`B. `2//3`C. `17//72`D. `37//144`

Answer» Correct Answer - A
दिया है, f(x) =xg(x) तथा g(x) `=[(1)/(x)]`,
तब, `f(x)=x[(1)/(x)]`
दी गई सीमा को दो भागों में बाँटने पर , जब ,`((1)/(x)ltxlt(1)/(2))rArr2lt(1)/(x)lt3rArr[(1)/(x)]=2`
`thereforef(x)=xg(x)=2x`
जब `(1)/(2)ltxlt1`
`rArr1lt(1)/(x)lt2rArr[(1)/(x)]=1`
`thereforef(x)=xg(x)=x`
अतः `f(x)={{:(2x","(1)/(3)lexlt(1)/(2),),(x","(1)/(2)lexlt1,):}`
अब, `int_(1//3)^(1)f(x)dx=int_(1//3)^(1//2)2xdx+int_(1//2)^(1)xdx`
`=2[(x^(2))/(2)]_(1//3)^(1//2)+[(x^(2))/(2)]_(1//2)^(1)`
`=(2)/(2)[((1)/(2))^(2)-((1)/(3))^(2)]+(1)/(2)[(1)^(2)-((1)/(2))^(2)]`
`=[(1)/(4)-(1)/(9)]+(1)/(2)[1-(1)/(4)]`
`=(9-4)/(36)+(1)/(2)[(4-1)/(4)]=(5)/(36)+(3)/(8)`
`=(10+27)/(72)=(37)/(72)`
Discussion
93.

समाकलन `I_(m)=int_(0)^(pi)(sin2mx)/(sinx)dx` जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है , पर विचार कीजिए। `I_(2)+I_(3)` किसके बराबर है ?A. 4B. 2C. 1D. 0

Answer» Correct Answer - D
दिया है , `I_(m)=int_(0)^(pi)(sin2mx)/(sinx)dx`
जहाँ, m एक धनात्मक पूर्णांक है ।
हम जानते हैं की यदि m एक धनात्मक पूर्णांक है ,तब `(sin2mx)/(sinx)=2[cosx+cos3x+...+cos(2m-1)x]`
`thereforeI_(m)=int_(0)^(pi)2[cosx+cos3x+...+cos(2m-1)x]dx`
`=2[sinx+(sin3x)/(3)+...+(sin(2m-1)x)/(2m-1)]_(0)^(pi)`
`=2[(sinpi+"sin"(3pi)/(3)+...+"sin"((2m-1)pi)/(2m-1))-(sin0+(sin0)/(3)+...+(sin0)/(2m-1))]`
`=2(0-0)=0(becausesinnpi=0,AAninZ=0]`
`rArrI_(1)=0,I_(2)+I_(3)=0`,
`I_(m)-I_(m-1)=0` तथा `I_(2m)=I_(m)`
Discussion
94.

समाकलन `I_(m)=int_(0)^(pi)(sin2mx)/(sinx)dx` जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है , पर विचार कीजिए। `I_(1)` किसके बराबर है ?

Answer» Correct Answer - A
दिया है , `I_(m)=int_(0)^(pi)(sin2mx)/(sinx)dx`
जहाँ, m एक धनात्मक पूर्णांक है ।
हम जानते हैं की यदि m एक धनात्मक पूर्णांक है ,तब `(sin2mx)/(sinx)=2[cosx+cos3x+...+cos(2m-1)x]`
`thereforeI_(m)=int_(0)^(pi)2[cosx+cos3x+...+cos(2m-1)x]dx`
`=2[sinx+(sin3x)/(3)+...+(sin(2m-1)x)/(2m-1)]_(0)^(pi)`
`=2[(sinpi+"sin"(3pi)/(3)+...+"sin"((2m-1)pi)/(2m-1))-(sin0+(sin0)/(3)+...+(sin0)/(2m-1))]`
`=2(0-0)=0(becausesinnpi=0,AAninZ=0]`
`rArrI_(1)=0,I_(2)+I_(3)=0`,
`I_(m)-I_(m-1)=0` तथा `I_(2m)=I_(m)`
Discussion
95.

यदि `int_(-1)^(1) f(x) dx=`0, तब -A. `f(-x)=-f(x)`B. `f(-x)=f(x)`C. `f(1-x)=f(x)`D. `f(-1-x)=f(x)`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
96.

`int_(0)^(pi//4)sec^(7)theta*sin^(3)d theta` का मान हैA. `(3)/(12)`B. `(5)/(12)`C. `(3)/(4)`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
`I=int_(0)^(pi//4)sec^(7)thetasin^(3)thetad theta`
`=int_(0)^(pi//4)sec^(4)thetatan^(3)theta d theta`
`=int_(0)^(pi//4)(1+tan^(2)theta)tan^(3)thetasec^(2)thetad theta` माना `tan theta =trArrsec^(2)thetad theta=dt`
`thereforeI=int_(0)^(1)(1+t^(2))t^(3)dt=[(t^(4))/(4)+(t^(6))/(6)]_(0)^(1)`
`=(1)/(4)=(1)/(6)=(5)/(12)`
Discussion
97.

`int_(0)^(pi)[cotx]dx,` जहाँ [ ] महत्तम पूर्णांक फलन को निरूपित करता है, का मान है -A. `(pi)/(2)`B. 1C. `-1`D. `-(pi)/(2)`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
98.

`int_(0)^(pi//2) (sqrt(cotx))/(sqrt(cot x)+sqrt(tan x))dx=`A. `pi`B. `pi/2`C. `pi/4`D. `pi/3`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
99.

`int_(0)^(pi//2)sin2xlog(cotx)dx` किसके बराबर है ?

Answer» Correct Answer - A
`I=int_(0)^(pi//2)sin2x*log(cotx)dx` . . . (i)
निश्चित समाकलन के गुण से ,
`int_(0)^(a)f(x)dx=int_(0)^(a)f(a-x)dx`
`=int_(0)^(pi//2)sin2((pi)/(2)-x)*log{cot((pi)/(2)-x)}dx`
`=int_(0)^(pi//2)sin(pi-2x)*log(tanx)dx`
`=int_(0)^(pi//2)sin2x*log(cotx)^(-1)dx`
`=-int_(0)^(pi//2)sin2x*logcotx dx` [समी (i) से ]
=-I
`rArr2I=0rArrI=0`
Discussion
100.

निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए - (vi) `int_(0)^(pi//2)sqrt(1+sinx)dx`

Answer» Correct Answer - 2
Discussion