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1.

यदि `veca xx vecb = vecc xx vecd "तथा" veca xx vecc = vecb xx vecd` दिखाओ कि `veca - vecd, vecb - vecc` समान्तर है | दिया है कि `veca ne vecd . vecb ne vecd, vecb ne vecc` .

Answer» सिद्ध कीजिए कि `(veca - vecd) xx (vecb - vecc) = 0 `
Discussion
2.

यदि `(2hati + 6hatj + 14hatk) xx (hati - lambda hatj + 7hatk) = 0 , " तब" lambda ` का मान ज्ञात कीजिए |

Answer» Correct Answer - `lambda = - 3 `
Discussion
3.

5 इकाई मापांक वाला वह सदिश ज्ञात कीजिए हो प्रत्येक `(veca + vecb)` तथा `(veca - vecb)` के लम्बवत हो जहाँ `veca = hati+ hatj + hatk ` तथा ` vecb = hati + 2hatj + 3hatk ` है |

Answer» Correct Answer - `pm (5- hati + 2hatj - hatk)/(sqrt(6))`
Discussion
4.

5 इकाई मापांक वाला वह सदिश ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक ` (veca + vecb ) " तथा" (veca - vecb) ` से लम्बवत हो , जहाँ ` veca = (hati + hatj + hatk) " तथा" vecb = (hati + 2hatj + 3hatk) ` है |

Answer» यहां दिया है
`veca = (hati + hatj + hatk ) " तथा " vecb = (hati + 2hatj + 3hatk) ` , तब
`(veca + vecb )= (hati + hatj + hatk ) + (hati + 2hatj + 3hatk ) = (2hati + 3hatj + 4hatk)`
तथा `(veca - vecb )= (hati + hatj + hatk ) - (hati + 2hatj + 3hatk ) = ( -hatj + 2hatk)`
` therefore (veca + vecb )xx (veca - vecb )= |{:(hati , hatj , hatk),(2,3,4),(0, -1, -2):}|`
`= (-6 + 4)hati - (-4-0)hatj + (-2 -0)hatk`
` = (- 2hati + 4hatj - 2hatk)`
अब ` therefore (veca + vecb )xx (veca - vecb )| = sqrt((-2)^(2) + 4^(2) + (-2)^(2))`
` = sqrt(24) = 2sqrt(6)`
अतः अभीष्ट सदिश `=pm (5{(veca + vecb)xx(veca - vecb)})/(|(veca + vecb)xx(veca - vecb)|)`
`= pm (5 (-2hati + 4hatj - 2hatk))/(2sqrt(6))`
` = pm (5(-hati + 2hatj - hatk))/(sqrt(6))` .
Discussion
5.

इकाई मापांक वाले उस सदिश को ज्ञात कीजिए जो , सदिशों ` veca = 3hati + hatj - 4hatk " तथा" vecb = 6hati + 5hatj - 2hatk ` से लम्बवत हो |

Answer» माना सदिश `vecc= vecc_(1) hati + c_(2) hatj + c_(3) hatk ` है तथा मापांक = 3
इकाई , तब
`|vecc| = 3 `
` rArr sqrt(c_(1)^(2) + c_(2)^(2) + c_(3)^(2)) = 3 `
`rArr c_(1)^(2)+ c_(2)^(2) + c_(2)^(2) = 9` …(1)
तथा यह भी दिया है की `vecc , veca " तथा" vecb` से लम्बवत है तब
`vecc bot veca`
` rArr vecc. veca= 0 `
`rArr (c_(1)hati + c_(2)hatj + c_(3)hatk).(3hati + hatj - 4hatk) = 0 `
` rArr 3c_(1) + c_(2) - 4c_(3) = 0` ... (2)
तथा `vecc bot vecb`
`rArr (c_(1)hati + c_(2)hatj + c_(3) hatk). (6hati + 5hatj - 2hatk) = `
`rArr 6c_(1) + 5c_(2) - 2c_(3) = 0 ` ...(3)
समी (2) तथा (3) से
`(c_(1))/((-2+ 20))= (c_(2))/((-24 + 6)) = (c_(3))/((15-6)) = lambda`
`rArr (c_(1))/(18) = (c_(2))/(-18) = (c_(3))/(9) = lambda`
`rArr (c_(1))/(2) = (c_(2))/(-2) = (c_(3))/(1) = lambda`
`rArr c_(1) = 2lambda, c_(2) = - 2lambda " तथा" c_(2)= lambda `
यह मान समी (1) में रखने पर
`4lambda^(2) + 4lambda + lambda^(2) = 9`
`rArr lambda^(2) = 1`
`rArr lambda = 1`
`therefore c_(1) = 2, c_(2) = - 2 "तथा " c_(3) = 1`
अतः अभीष्ट सदिश `= (2hati - 2hati + hatk)` .
Discussion
6.

सिद्ध कीजिए कि सदिश `3hati + hatj + 2hatk "व्" 2hati - 2hatj + 4hatk` के मध्य कोण की `(2)/(sqrt(7)` ज्या है |

Answer» ` sin theta = (|veca xx vecb|)/(|veca|.|vecb|)` का प्रयोग कीजिए |
Discussion
7.

यदि `veca` एक इकाई सदिश है जो `veci , vecj "तथा" veck ` के साथ क्रमशः `(pi)/(4) , (pi)/(3) "तथा" theta ` न्यूनकोण कोण बनता है तब का मान ज्ञात कीजिए | अक्षो के सापेक्ष `veca` के अदिश तथा सदिश अवयव भी ज्ञात कीजिए |

Answer» माना यहाँ a एक इकाई सदिश है तब
` (a_(1)^(2) + a_(2)^(2) + a_(3) ^(2)) = 1`
अब ` vec a hati = a_(1) rArr |veca||hati| cos (pi)/(4) a_(1) rArr a_(1) = (1)/(sqrt(2))`
जहाँ `|veca| = 1, |hati | = 1`
` hata . hatj = a_(2) rArr |veca||vecj| cos (pi)/(3) = a_(2) = (1)(2)`
जहाँ `|veca| = 1 , |vecj|= 1`
`veca. hatk = a_(3) rArr |veca| |hatk|cos theta = a_(3) rArr a_(3) = cos theta `
जहाँ `|veca | = 1 , |veck| = 1`
तथा अब ` |veca| = 1 rArr|veca|^(2) = 1`
` rArr a_(1)^(2) + a_(2)^(2) + a_(3)^(2) = 1`
` rArr (1)/(2) + (1)/(4) + cos^(2) theta = 1`
` rArr cos^(2) theta = (1)/(4)`
` rArr cos theta = (1)/(2) rArr theta = (pi)/(3)`
अतः `veca` के अदिश अवयव ` (1)/(sqrt(2)) , (1)/(2) " तथा" (1)/(2) ` है |
तथा सदिश अवयव `(1)/(sqrt(2)) hati , (1)/(2) hatj " तथा" (1)/(2) hatk` है |
Discussion
8.

माना `vecA = 2hati + 2hatj + 3hatk , vecB = - hati + 2hatj + hatk " व् " vecC = 3hati + hatj ` , तब ` vecA + t vecB , vecc ` पर लांब होगा यदि t=

Answer» Correct Answer - A::C::D
Discussion
9.

यदि ` veca = hati + 4 hatj + 2hatk , vecb = 3hati - 2hatj + 7hatk ` तथा ` vec c = 2hati - hatj + 4hatk ` , तब उस सदिश `vecp` को ज्ञात कीजिए जो दोनों ` veca " व् " becb` से लम्बवत हो तथा ` vecp . vecc = 18 `.

Answer» माना `vecp = (xhati + yhatj + zhatk) ` तथा दिया है, ` vecp bot veca , vecp bot vecb` तथा ` vecp . Vecc = 18`
`rArr vecp . veca = 0 , vecp . vecb= 0 " तथा" vecp . Vecc = 18`
अब , `(xhati + yhatj + zhatk).(hati + 4 hatj + 2hatk) = 0 `
`rArr x + 4y + 2z = 0 ` ...(1)
`(xhati + yhatj + zhatk).(3 hati - 2 hatj + 7hatk) = 0 `
`rArr 3x + 2y + 7z = 0 ` ...(2)
`(xhati + yhatj + zhatk).(2 hati - hatj + 4hatk) = 18 `
`rArr 2x - y + 4z = 18` ...(3)
समी (1) व् (2) से
`(x)/(28 +4) = (y)/(6-7) = (z)/(-2 -12) = lambda`
` rArr x =32lambda , y= - lambda " तथा" z = - 14lambda `
यह मान समी में रखने पर ` 64 + lambda - 56 lambda = 18`
` rArr 9lambda = 18 rArr lambda = 2`
` x = 64 , y= -2, z =- 28`
अतः अभीष्ट सदिश ` = 64 hati - 2hatj - 28hatk` .
Discussion
10.

एक कण पर तीन बल , जिनके परिमाण 5 , 3 , 1 न्यूटन है , बी सदिशों (6, 2, 3), (3, -2, 6), (2, -3, -6) कि दिशा में क्रमशः कार्य कर रहे है | ये बल कम को बिन्दु A (2, -1, -3) से बिन्दु B (5, -1,1) तक विस्थापित करते है तथा स्थिर रहते है | यदि लम्बाई की इकाई मीटर है , तो बलों के द्वारा किये गये कुल कार्य की गणना कीजिए |

Answer» Correct Answer - (UP 2001)
Discussion
11.

यदि ` vec a = 3hati + 2hatj + 2hatk " तथा " vec b = 2 hati + 4hatj + 3hatk " है तो " (vec a xx vec b) "व्" |veca xx vecb | ` का मान ज्ञात कीजिए |

Answer» ` vec a xx vecb = |{:(hati , hatj , hatk ),(3,2,2),(2, 4, 3 ):}|`
` = hati (6-8) - hatj (9-4) + hatk (12 - 4) = - 2 hati - 5hatj + 8hatk `
तथा ` |vec a xx vecb| = sqrt((-2)^(2) +(-5)^(2) + (8)^(2))`
` = sqrt(4 + 25 + 64 )= sqrt(93)`
Discussion
12.

यदि ` vec a = hati + 2 hatj + 3hatk, hatb = 2 hati - 3hatj + hatk " तो" vec a xx vecb` का मान सारणिक में लिखिए |

Answer» ` vec a xx vecb = |{:(hati , hatj , hatk ),(1,2,3),(2, -3, 1 ):}|`
Discussion
13.

दो बल `vecP = 2hati - 3hatj + hatk "व्" vecQ = hati + 5hatj - 3hatk` किसी कण को बिन्दु A से B तक हटाने का कार्य करते है जहाँ `A = - 2hati + 5hatj + 7hatk " व्" B - 3hati + 6hatj + 2hatk` सिद्ध कीजिए की बलों द्वारा किया गया कार्य 29 इकाई है |

Answer» `vecF = vecP + vecQ = (2hati - 3hatj + hatk) + (hati + 5hatj - 3hatk)`
` = 5hati + 2hatj - 2hatk`
अब ` vecd = vec(AB) = (3hati + 7hatj + 2hatk) - (-2hati + 5hatj + 7hatk)`
` 5hati + 2hatj - 5hatk`
अतः किया गया सम्पूर्ण कार्य ` = vecF . vecd` .
Discussion
14.

बिंदु A पर स्थित एक कण पर दो बल `vecP = 3hati - 2hatj + hatk " तथा" vecQ = hati + 3hatj - 5hatk ` क्रिया करते हुये उसे बिंदु A से B तक हटा देते है | सिद्ध कीजिए की बलो द्वारा किया गया कार्य 25 इकाई है , जबकि A तथा B के स्थिति सदिश क्रमशः ` - 2hati + 5hatk " तथा " 3hati - 7hatj + 2hatk ` है

Answer» परिणामी ` vec R = vecP + vecQ `
` (3hati - 2hatj + hatk ) + (hati + 3hatj - 5hatk )`
` (4hati + hatj - 4hatk)`
तथा विस्थापन ` vec(AB) = vecd`
` therefore "कार्य " = vecR . d = (4hati + hatj - 4hatk ) . (5hati - 7hatj - 3hatk)`
` = 20 - 7 + 12 = 25 ` इकाई
Discussion
15.

सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए - ` 3hati + 8hatj - 2hatk "व्" 5hati + hatj + 2hatk `

Answer» Correct Answer - 19
Discussion
16.

यदि किसी त्रिभुज के शीर्षो के सदिश ` 7hatj + 10 hatk, -hati + 6 hatj " तथा" - 4hati + 9 hatj + 6hatk ` है , तो सिद्ध कीजिए की वह एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है |

Answer» माना मुलबिन्दु के सापेक्ष त्रिभुज ABC के शीर्षो की स्थिति सदिश निम्न है |
` vec(OA) = 7hatj + 10hatk , vec(OB) = - hati + 6hatj + 6hatk ,`
` vec(OC) = - 4hati + 9hati + 6hatk `
` therefore vec(AB) = vec(BO) - vec(OA) = (-hati + 6hatj + hatk) - (7hatj + 10 hatk)`
` = - hati - hatj - 4hatk `
` vec(BC) = vec(OC) -vec(OB) = (-4hati + 9hatj + 6hatk ) -(-hati + 6hatj + 6hatk ) `
` = - 3hati + 3hatj `
तथा ` vec(CA) = vec(OA) - vec(OC) = (7hatj + 10hatk) - (-4hati + 9hatj + 6hatk )`
` = 4hati - 2hati + 4hatk`
` |vec(AB)| = sqrt({(-1)^(2) + (-1)^(2) + (-4)^(2)}) = sqrt(18)`
`|vec(BC)|= sqrt({(-3)^(2) + (3)^(2)}) = sqrt(18)`
`|vec(CA)| = sqrt({(4)^(2) + (-2)^(2) + (4)^(2)}) = sqrt(36) = 6`
` |vec(AB)| = |vec(BC)|`
अतः त्रिभुज समद्विबाहु है |
पुनः ` AB^(2) + BC^(2) = 18 + 18 = 36 = (6)^(2) = CA^(2)`
अतः समकोणीय त्रिभुज है |
Discussion
17.

सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक - दूसरे को लम्ब काटते है |

Answer» समचतुर्भुज ABCD में , AB = BC ` rArr (AB)^(2) = (BC) ^(2)`
` rArr |vec(AB)|^(2) = |vec(BC)|^(2) ` …(1)
चित्रानुसार ,
` vec(AC) = vec(AB) + vec(BC) `
तथा ` vec(BD) = vec(BC) + vec (CD) `
` vec(BD) = vec(BC) - vec(DC) `
`vec(BD) = vec(BC) - vec(AB)`
अब, ` vec(AC) . vec(BD) = (vec(AB) + vec(BC)). (vec(BC) - vec(AB) ) `
` = (vec(BC))^(2) - (vec(AB))^(2) = 0 `
` because vec(AC) . vec(BD) = 0 `
अतः ` vec(AC) bot vec(BD)`
Discussion
18.

a के किस मान की लिए `2 hati - 3hatj + 4hatk "तथा" ahati + 6hatj - 8hatk ` सरीख है ?

Answer» सदिश `(2 hati - 3hatj + 4hatk) "व् " ( ahati + 6hatj - 8hatk)` सरीख होंगे यदि इनका सदिश गण शून्य होगा |
` therefore (2hati - 3hatj + 4hatk ) xx (ahati + 6hatj - 8hatk) = 0 `
` rArr |{:(hati , hatj , hatk ),(2, -3, 4),(a , 6, -8):}| = vec0 `
` rArr hati (24 - 24) - hatj (-16 - 4 a) + hatk (12 + 3a)`
` = 0hati + 0hatj + 0hatk `
` rArr hatj (16 + 4a) + hatj (12 + 3a) = 0hatj + 0hatk`
` rArr 16 + 4a = 0 `
` rArr a = - 4 ` .
Discussion
19.

सदिशों ` hati + hatj + hatk "व् " 2 hati + 3hatj - hatk ` के लम्बवत एकांक सदिश ज्ञात कीजिए | इन सदिशों के बिच कोणों कि ज्या का मान भी ज्ञात कीजिए |

Answer» माना ` veca = hati + hatj + hatk " तथा" vecb = 2hati + 3hatj - hatk `
दोनों सदिशों के लम्बवत सदिश
`= veca xx vecb |{:(hati , hatj , hatk ),(1,1,1),(2,3,-1):}|`
` = (-1 - 3) hati - (-1-2)hatj + (3 - 2) hatk `
` = - 4 hati + 3 hatj + hatk `
` rArr | veca xx vecb| = | - 4 hati + 3 hatj + hatk | = sqrt( 16 + 9 + 1 ) = sqrt( 26)`
` therefore ` एकांक सदिश ` = (veca xx vecb) /(|veca xx vecb|) = (4hati + 3 hatj + hatk )/( sqrt( 26))`
यही दोनों सदिशों के लम्बवत एकांक सदिश है |
अब ` |vec a| = hati + hatj + hatk | = sqrt(1 ^(2) + 1^(2) + 1^(2)) = sqrt(3)`
व् ` |vecb| = |2hati + 3hatj - hatk |`
` = sqrt(2^(2) + 3^(2) + (-1)^(2) ) = sqrt(14)`
यदि `veca " व्" becb ` के बीच कोण ` theta ` हो तब
` sin theta = (|veca xx vecb|)/(|veca| . |vecb|) = (sqrt(26))/(sqrt(3).sqrt(14)) = sqrt((13)/(21))` .
Discussion
20.

सिद्ध कीजिए की उस समान्तर चतुभुर्ज का क्षेत्रफल विकर्ण ` 2vec hati + 4hatj - 5hatk "तथा" hati + 2hatj + 3hatk " है ", (11)/(2) sqrt(5)` वर्ग इकाई होगा |

Answer» `veca xx vecb= |{:(hati, hatj, hatk),(2, 4, -5),(1, 2, 3):}| = 22hati - 11 hatj `
` therefore "अभीष्ट क्षेत्रफल "= (1)/(2) |vecaxxvecb|`
Discussion
21.

सदिश `vecB = 3hatj + 4hatk ` को सदिशों `vec B_(1) (vecA = hati + hatj)` के समान्तर तथा ` vecB_(2) " ( जो" vecA ` पर लम्ब है ) के योगफल के रूप में लिखना है तो तब ` vecB_(1) = `A. `(3)/(2) (hati + hatj)`B. `(2)/(3) (hati + hatj)`C. `(1)/(2) (hati + hatj)`D. `(1)/(3) (hati + hatj)`

Answer» Correct Answer - A::C::D
Discussion
22.

यदि सदिश `(hati + hatj + hatk)` का उस इकाई सदिश के साथ सदिश गुणनफल , जो की सदिशों `(2 hati + 4hatj - 5hatk) "तथा" (lambda hati + 2hatj + 3hatk)` के योगफल के समान्तर है , एक के बराबर हो तो `lambda` का मान है |

Answer» माना `vec a = (hati + hatj + hatk) , vecb = (2hati + 4hatj - 5hatk)`
तथा ` vecc = (lambda hati + 2hatj + 3hatk)` , तब
`(vecb + vecc) = 2hati + 4hatj - 5hatk) + (lambda hati + 2hati + 3hatk)`
` = (2xx lambda ) hati + 6hatj + hatk `
अब , ` (vecc + vecc)` के सापेक्ष इकाई सदिश
`= ((vecb + vecc))/(|vecb + vecc|) = ((2 + lambda) hati + 6hatj- 2hatk)/(sqrt((2 + lambda)^(2) + (6)^(2) + (-2)^(2)))`
` ((2 + lambda)hati + 6hatj - 2hatk)/(sqrt(lambda^(2) + 4lambda+ 44))`
दिया है , `((vecb + vecc))/(|vecb + vecc|). veca = 1`
` rArr ((2 + lambda) hati + 6hatj - 2hatk)/(sqrt(lambda^(2) + 4lambda + 44)) .(hati + hatj + hatk) = 1`
`rArr [(2+ lambda)i + 6j - 2k] . (hati + hatj + hatk) = sqrt(lambda^(2) + 4lambda + 44)`
` rArr (2 + lambda) + 6 - 2 = sqrt(lambda^(2) + 4lambda + 44)`
`rArr (6 + lambda= sqrt(lambda^(2) + 4lambda+ 44)`
` rArr lambda^(2) + 4lambda + 44 = (6 + lambda)^(2)`
`rArr lambda^(2) + 4lambda + 44 = 36 + lambda^(2) + 12lambda`
` rArr 8 labda = 8 `
` rArr lambda = 1`
Discussion
23.

सदिश `(2hati - 3hatj + hatk )` पर सदिश `(hati + 3hatj + 7hatk)` का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए

Answer» माना `veca = (hati + 3hatj + 7hatk) " और " vecb = (2hati - 3hatj + 6hatk)`
अब , ` vecb " पर" veca ` का प्रक्षेप ` = ((veca. vecb))/(|vecb|)`
` = ((hati + 3 + 7hatk ). (2hati - 3hatj + 6hatk))/(sqrt(4 + 9 + 36))`
` (2 - 9 + 42)/(sqrt(49)) = (35)/(7) = 5 ` .
Discussion
24.

उस सदिश को ज्ञात कीजिए जिसका बिन्दु गुण सदिशों तथा के साथ क्रमशः 4 , 0 तथा 2 है |

Answer» माना अभीष्ट सदिश ` (xhati + yhatj + zhatk) `
तब `(xhati + yhatj + zhatk) . (hati - hatj + hatk) =4 `
` rArr x - y+ z = 4 ` ...(1)
`(xhati + yhatj + zhatk) . (2hati + hatj - 3hatk) = 0`
` rArr 2x + y- 3z = 0 ` ...(2)
`(xhati + yhatj + zhatk) . (hati + hatj + hatk) = 2`
` rArr x + y+ z = 2 ` ...(3)
समी (1)व् (2) को जोड़ने पर , ` 3x - 2z = 4 `
समी (1)व् (3) को जोड़ने पर , ` 2x + 2z = 6`
समी (4) व् (5) को जोड़ने पर , ` x = 2 " व्" z = 1 `
समी (3)में से (1) हो घटाने पर , y = - 1
अतः अभीष्ट सदिश ` ( 2hati - hatj + hatk)` है |
Discussion
25.

यदि ` vec a . vecb = 0 " तथा" vec a xx vecb = 0 ` तब सिद्ध कीजिए कि a = b या ` vecb = 0 `

Answer» माना ` vec a . vecb = 0 " व् " vec a xx vecb = 0 `
सिद्ध कीजिए करना है कि या तो ` veca = 0 " या " vecb = 0 `
` (veca . vecb) = 0 rArr (veca = 0 " या " vecb = 0 " या " veca bot vecb)`
` (veca xx vecb = 0 rArr (veca = 0 " या " vecb = 0 " या "veca || vecb)`
` because vec a bot vecb " या " veca || vecb` एक साथ नहीं हो सकते , इसलिए
` veca = 0 " या " vecb = 0 ` .
Discussion
26.

यदि हो इकाई सदिशों `veca " तथा" vecb ` के बीच का कोण `theta ` हो तो सिद्ध कीजिए की - ` sin (theta)/(2) = (1)/(2) |veca - vecb|`

Answer» `because |veca| = 1 "तथा " |vecb| = 1`
` therefore vec a . vecb = (1)(1) costheta = cos theta ` …(1)
` |veca - vecb|^(2) = (veca - vecb)^(2)`
` = (veca)^(2) + (vecb)^(2) - 2(hata . hatb)`
`= |veca|^(2) + |vecb|^(2) - 2cos theta ` (समीकरण (1) से )
`= 1 + 1 - 2costheta = 2 - 2 (1 - sin^(2) (theta)/(2))`
` 4sin^(2) (theta)/(2)`
` therefore 2sin (theta)/(2) = |veca - vecb|`
` rArr sin (theta)/(2) = (1)/(2) |veca - vecb|` .
Discussion
27.

सिद्ध कीजिए की युग्मो में सदिश परस्पर लम्ब है - `hati + 4hatj + 3hatk "व् " 4hati + 2hatj - 4hatk `

Answer» लम्बवत होने के लिए सिद्ध कीजिए ` vec a. vec b = 0 `
Discussion
28.

सदिशों तथा के लिए सिद्ध कीजिए कि ` | veca xx vecb |^(2) = |{:(veca. veca , veca . vecb),(veca .vecb, veca. vecb):}|`

Answer» ` (veca xx vecb)^(2) = a^(2) b^(2) - (beca. vecb)^(2)`
` = |veca|^(2) |vecb|^(2) - (veca . vecb)^(2)`
` = (veca. veca) (vecb. vecb) - (veca. vecb)(veca.vecb)`
`|{: (veca. veca , veca. vecb) , (veca. vecb , vecb.vecb):}|`
Discussion
29.

यदि `|veca + vecb| = |veca|` तो सिद्ध कीजिए की सदिश `2veca + vecb "सदिश" vecb ` पर लम्ब होगा |

Answer» `|veca +vecb| = |veca|`
` (veca+ vecb) . (veca + vecb) = veca. veca`
` rArr a^(2) + b^(2) + 2veca. vecb = a^(2) rArr b^(2) 2veca . vecb = 0 `
` (2veca + vecb) " तथा " vecb` के लम्बवत होने के लिए
` (2veca + vecb) . vecb = 2veca. vecb + b^(2) = 0 ` .
Discussion
30.

माना बिन्दुओ है P , A तथा B के स्थिति सदिश `vecr , hati + hatj + hatk " तथा" - hati + hatk ` है । यदि PA , PB से लम्बवत है लेकिन ` vecr , vecr - (hatj + 2hatk)` से लम्बवत नहीं है तब ` vect = `A. `hati + 2hatk `B. `hati + 2hatj`C. `hatj - 2hatk `D. `hatj + 2hark`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
31.

तीन सदिशों ` vec a , vecb " व् " vec c ` के लिए सिद्ध कीजिए कि ` (veca - vecb) xx (veca + vecb) = 2 (veca xx vecb)`

Answer» बायां पक्ष ` = (veca - vecb) xx (veca + vecb)`
` = veca xx veca + veca xx vecb - vecb xx veca - vecb xx vecb `
` veca xxvecb - vec b xx veca " "(because veca xx veca = veca xx vecb = 0)`
` (veca xx vecb) - [ -(veca xx vecb)]`
` = (veca xx vecb) + (veca xx vecb)`
` 2 (vec xx vecb) ` = दायां पक्ष
Discussion
32.

यदि तो `veca,veci +2vecj + 3hatk,vecb=2hatj-3hatj+hatj " तो " veca,vecb` का मान ज्ञात कीजिए

Answer» `veca. vecb = (hati + 2hatj + 3hatk).(2hati -3hatj + k)`
`=2(hati.hati)-6(hatj.hatj) +(hatk.hatk)`
` = 2(1) -6(1) + 3(1) = 2 - 6 + 3 =- 1`
Discussion
33.

यदि ` veca , vecb, vecc` एकांक सदिश है तथा ` vec a + vecb + vecc = 0 "तो" (veca . vecb vecb. vecc + veca veca)` का मान ज्ञात कीजिए

Answer» ` bacause veca , vecb "व् " vecc` एकांक सदिश है इसलिए
` |veca| = 1, |vecb| = 1, |vecc| = 1`
अब ` a + b + c = 0`
` rArr (veca + vecb + vecc) . (veca + vecb + vec) = 0 `
` rArr (veca . vec + vecb . vecb + vecc . vecc + 2 (veca . vecb + vecb . vecc + vecc . veca) = 0 `
`rArr |veca|^(2) + |vecb|^(2) + |vecc|^(2) + 2 (veca . vecb+ vecb . vecc + vecc . veca) = 0 `
` rArr 1 + 1 + 1 + 2(veca . vecb + vecb . vecc + vecc . veca) = - (3)/(2)` .
Discussion
34.

तीन सदिशों ` veca , vecb "व् " vec c ` के लिए सिद्ध कीजिए कि ` vec a xx (vecb + vec c ) + vecb xx (vecc + veca ) + veca xx (veca + vecb) = 0`

Answer» बायां पक्ष ` = veca xx (vec a + vec c) + vec b xx (vec c + veca ) + vec c xx (veca + vecb)`
` = (veca xx vecb ) + (veca xx vecc) + (vecb xx veca) + (vecc xx veca ) + (vecc xx veca)+ (vecc xx vecb)`
` = (vec a xx vecb) + (vec a xx vecc) + (vecb xx vecc) - (veca xx vecb) - (veca xx vecc) - (vecb xx vecc)`
= 0 = बायां पक्ष
Discussion
35.

यदि ` vec a xx vecb = veca xx vecc ` तब सिद्ध कीजिए कि `vecb " तथा" vecc ` का अन्तर सदिश के समान्तर सदिश है |

Answer» दिया है :
` veca xx vecb = veca xx vecc`
` rArr (veca xx veb) - (veca xx vecc) = 0 `
`rArr vec a xx (veca - vecc) = 0 `
`rArr (vec b - vecc ) "सदिश " vec a ` के समान्तर है |
Discussion
36.

यदि `vec xx vecb = vecc " तथा " vecb xx vecc = veca ` , तब -A. `veca , vecb , vecc ` युग्म में लम्बवत है लेकिन ` |veca | = |vecc|`B. `veca , vecb , vecc ` परस्पर लम्बवत नहीं है ।C. `veca , vecb , vecc ` युग्मो में लम्बवत है तथा ` |veca| = |vecb| = |vecc| = 1`D. `veca , vecb , vecc ` लम्बवत है लेकिन ` |vecb| ne 1`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
37.

यदि ` vec . vecb = veca vecc , vec a xx vecb = vec a xx vecc , vec ne 0 ` तब सिद्ध कीजिए कि

Answer» दिया है :
` vec a . vecb = veca. vecc " व् " veca ne vec0`
` rArr veca . vecb - veca . vecc " व् " vec a ne vec0 `
` rArr veca. (vecb - vecc ) = vec0 " व् " veca ne vec0 `
` rArr vec b - vec c = vec 0 " या " veca bot (vecb - vecc) `
` rArr vecb = vecc " या" veca bot (vecb - vecc)`
यह भी दिया है कि
` veca xx vecb = veca xx vecc "तथा " vec a bot (vecb - vecc) `
` rArr (veca xx vecb) - (veca xx vecc) = vec0 "तथा " veca ne vec0 `
` rArr veca xx (vec b - vecc) = 0 "तथा " vec a ne vec0 `
` rArr vecb - vecc = 0 "या " veca "||" (vecb - vec c)`
`rArr vecb = vecc "या " vec a "||" (vec b - vecc )`
उपरोक्त से स्पष्ट है कि
` vec b = vecc`
Discussion
38.

यदि ` vec a xx vecb = vecb xx vecc ne 0 ` , तब सिद्ध कीजिए कि ` vec a + vecc = t vecb ` , जहाँ t एक अदिश राशि है |

Answer» दिया है ` veca xx vecb = vecb xx vecc `
` rArr veca xx vecb - vec b xx vecc = 0 `
` rArr (veca xx vecb) + (vecc xx vecb) = 0 `
`rArr (veca + vecc) xx vecb = 0 `
` rArr (veca + vecc) "तथा " vecb ` समान्तर अदिश है |
इसलिए ` (veca + vecc) = t vecb ` जहाँ t एक अदिश राशि है |
Discussion
39.

x के किस मान के लिए `xhati - 2xhatj + 3hatk " व्" -hati +hatj + hatk` परस्पर लम्बवत होंगे ?

Answer» Correct Answer - 1
Discussion
40.

माना ` vec a " व्" vec b ` दो सदिश है , तब सिद्ध कीजिए कि समीकरण ` vec r xx vecb = vec a xx vecb "का हल" vec r = veca + t vecb ` होगा

Answer» दिया गया समीकरण
` vec r xx vecb = vec a xx vec b `
` rArr (vec r - veca ) xx vecb = 0 `
` rArr (vecr - veca) "व् " vecb ` एक - दूसरे के समान्तर है |
` therefore vecr - veca = t vecb `
` rArr vecr = veca + t vecb`, जहाँ t एक सदिश राशि है |
यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है |
Discussion
41.

`lambda ` के किस मान के लिए `veca = 15hati - lambdahatj + 30hatk " व्" vecb = 16hati + 12hatj - 2hatk` परस्पर लम्बवत होंगे ?

Answer» Correct Answer - 15
Discussion
42.

सदिश `3hati - 2hat j + hatk " तथा " 2hati + 3 hat j ` के परिमाण तथा इनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए |

Answer» माना ` a vec = 2hati - 2 hatj + hatk " तथा " vec b = 2hati + 3hati`
` |veca| = |3hati - 2hati+hatk|= sqrt((3)^(2) + (-2)^(2) + (1)^(2)) = sqrt(14)`
तथा ` |vecb| = |2hati + 2hati+0hatk+ |= sqrt( (2)^(2) + (3)^(2)) = sqrt(13)`
` vec a . vecb = (3hati + 2hatj + 0hatk). (2hati + 3hatj + 0hatk)`
`= (hati. hati) - 6(hatj.hatj)+0(hatk.hatk)`
` = 6-6+ 0 = 0 `
अतः दोनों सदिश परस्पर लम्ब है |
` therefore theta = 90^(2)` .
Discussion
43.

किस दशा में `( veca. vecb)^(2) = a^(2) v^(2)` होगा ?

Answer» `(veca . vecb)^(2) = a^(2) b^(2)`
` rArr (ab cos theta )^(2) = a^(2) b^(2)`
` rArr a^(2) b^(2) cos^(2) theta = a^(2) b^(2)`
` rArr cos^(2) theta - 1 rArr cos theta = pm 1`
`rArr theta = 0^(@) , 180^(@)`
यह तभी सत्य है जबकि दोनों सदिश परस्पर समान्तर हो |
Discussion
44.

दो सदिश ` vec a = 2hati + hatj + 3hatk " तथा" vec b = 3hati - 2hatj + hatk ` है | सिद्ध कीजिए की इनके बिच का कोण `60^(@)` है |

Answer» ` vec a . vecb = (2hati + hatj + 3hatk). (3hati - 2hatj + hatk)`
`= 6(hati.hati) -2 (hatj . hatj) +3(hatk . hatk )`
` = 6 - 2 + 3 = 7`
`|veca| = |2hati + hatj + 3hatk = sqrt((2)^(2) + (1)^(2) + (3)^(2)] = sqrt(14)`
तथा ` |vec b| = |3hati - 2 hatj + hatk | = sqrt([(3)^(2) +(-2 )^(2)(1)^(2)]) = sqrt(14)`
अब , `cos theta = (veca.vecb)/(|veca|. |vecb|) = (7)/(sqrt(14) xx sqrt(14)) = (7)/(14) = (1)/(2)`
` rArr theta = cos^(-1) ((1)/(2)) rArr theta = 60^(2)` .
Discussion
45.

यदि `veca = hati + hatj - hatk "तथा " vecb = hati - hatj + hatk "तो " veca . vecb` का मान ज्ञात कीजिए |

Answer» Correct Answer - -1
Discussion
46.

दो सदिशों ` 2 hati + 3hatj + 4hatk "तथा" 2hati + 4hatj - 4hatk ` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए |

Answer» माना ` vec a = 2hati + 3hatj + 4hatk `
तथा ` vecb = 2hati + 4hatj - 4hatk `
` rArr vec a , cecb = 4 + 12 - 16 = 0 `
तथा ` | veca| = sqrt(4 + 9 + 16) = sqrt(29)`
तथा `|vecb| = sqrt(4 + 16 +16) = 6`
` therefore cos theta = (veca. vecb)/(|veca|.|vecb|) = (0)/(sqrt(29) xx6) = 0 `
`rArr theta 90^(@)`
Discussion
47.

यदि सदिश `veca , vecb " तथा" vecc ` त्रिभुज ABC की भुजा BC , CA तथा AB बनाते है तब -A. `veca . vecb + vecb . vecc + vecc . veca = 0 `B. `veca xx vecb = vecb xx vecc = vecc xx veca`C. `veca . vecb = vecb . vecc = vecc . veca `D. `veca xx vecb + vecb xx vecc + vecc xx veca = 0 `

Answer» Correct Answer - B
Discussion
48.

सदिश `veca , vecb " तथा" vecc` समान लम्बाई के है और इनको युग्मवार लेने पर वे बराबर कोण बनाते है । यदि `veca = hati + hatj " व " vecb = hatj + hatk "तो " vecc = `A. `hati + hatk`B. `hati + 2hatj + 3hatk `C. `-hati + hatj + 2hat k`D. `(1)/(3) (-hati + 4hatj - hatk)`

Answer» Correct Answer - A::D
Discussion
49.

सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए - ` 3hati + hatj "व्" 5hatj - 10hatk `

Answer» Correct Answer - 20
Discussion
50.

यदि `vec alpha = 2hati + 3hatj - hatk , vecbeta = - hati + 2hatj - 4hatk , vecgamma = hati + hatj + hatk`, तब ` (vec alpha xx vec beta) . (vec alpha xx vec gamma ) ` का मान होगा -A. 60B. 64C. 74D. -74

Answer» Correct Answer - D
Discussion