InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
`x=2` पर वक्र `y=x^3-x` की ढाल ज्ञात करें | |
| Answer» Correct Answer - `11` | |
| 2. |
`theta=pi/4` पर वक्र `x=1 - cos theta, y=theta-sin theta ` के स्पर्श रेखा का समीकरण निकालें | |
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Answer» दिया गए वक्र के प्राचलिक समीकरण है, `x=1-cos theta" ...(1)"` तथा `(dy)/(d theta)=1-cos theta" ...(2)"` `:." "(dy)/(d theta)-1-cos theta" ...(3)"` तथा `(dx)/(d theta)= sin theta" ...(4)"` अब, `(dy)/(dx)=((dy)/(d theta))/((dy)/(d theta))=(1-cos theta)/(sin theta)" ...(5)"` `theta=pi/4` पर, `(dy)/(dx)=(1-cos""pi/4)/(sin""pi/4)=(1-1/sqrt2)/(1/sqrt2)=sqrt2-1` जब `theta = pi/4, x=1 -cos ""pi/4=1-1/sqrt2` और `y=pi/4-sin "" pi/4=pi/4-1/sqrt2` `theta=pi/4` अर्थात `(1-1/sqrt2, pi/4-1sqrt2)` पर स्पर्श रेखा का समीकरण होगा, `y-pi/4+1/sqrt2=(sqrt2-1)(x-1+1/sqrt2)` या `y-pi/4+1/sqrt2=(sqrt2-1)x-(sqrt2-1)+((sqrt2-1)/sqrt2)` या `y-pi/4+1/sqrt2=(sqrt2-1)x+2-3/sqrt2` या `y=(sqrt2-1)x+pi/4+2-2sqrt2` |
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| 3. |
रेखा `y=mx+1` वक्र `y^2=4x` पर स्पर्श रेखा है यदि m का मान है ,A. `1`B. `2`C. `3`D. `1/2` |
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Answer» Correct Answer - A दिए गए वक्र का समीकरण है `y^2=4x" ...(1)"` दी गई रेखा है, `y=mx+1` माना की रेखा (2) वक्र के `P(alpha, beta)` बिंदु पर स्पर्श रेखा है | (1) से, `2y(dy)/(dx)=4:." " (dy)/(dx)=2/y=2/beta, P(alpha, beta)` पर `P(alpha, beta)` पर स्पर्श रेखा का समीकरण है, `y-beta=2/beta(x-a)" ...(3)"` या, `2x-betay+beta^2-2alpha=0` लेकिन `P(alpha, beta)` वक्र (1) पर है, `:." "beta^2=4alpha" ...(4)"` `:." "(3)` से बिंदु `P(alpha, beta)` पर स्पर्श रेखा का समीकरण है, `2x-betay+2a=0` या `y=2/betax+(2alpha)/beta" ...(5)"` लेकिन समीकरण (2) तथा (5) दोनों वक्र के बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण है इसलिए समीकरण (2) तथा (5) समान होंगे, `:." "2/beta=m " and "(2alpha)/beta=1` `:." "2/beta=a alpha` लेकिन `beta^2=4alpha :. 4alpha^2=4alpha` `:." "4alpha( alpha - 1) = 0 :. alpha = 0.1` `because beta = 2 alpha :. beta=0.2 ` लेकिन जब `beta = 0, m = 2/beta= 2/0` |
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| 4. |
यदि वक्र `y=(ax)/(b-x)` की ढाल बिंदु `(1,1)` पर 2 है तो a और b का मान निकलें | |
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Answer» दिया गया वक्र का समीकरण है, `y=(ax)/(b-x)" ...(1)"` चूँकि बिंदु `(1, 1)` वक्र (1) पर है,`" ":." "1-a/(b-1)" ...(2)"` अब, `("dy")/("dx")=((b-x)a-ax(-1))/((b-x)^2)=(ab)/((b-x)^2)` `:." "(("dx")/("xy"))_((1,1)"पर")=(ab)/((b-1)^2)" ...(3)"` लेकिन `(("dy")/("dx"))_((1,1)"पर",)=2" ...(4)"` `:." "(ab)/((b-1)^2)=2` या `b/(b-1)=2" "{because(2)"से" a/(b-1)=1}` या `2b-2=b` या `b=2, " ":." "(2)`से, `a=1` अतः `a=1, b=2`. |
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| 5. |
वक्र `x^2+y^2-4y-=0` के किन बिन्दुओ पर स्पर्श रेखा y-अक्ष के समांतर है ? |
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Answer» दिया गया वक्र है , `x^2+y^2-2x-4y+1=0" ...(1)"` (1) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित ( differentiate ) करने पर हमे मिलता है, `2x+2y*("dy")/("dx")-2-4("dy")/("dx")=0` `rArr" "(y-2)("dy")/("dx")=1-x" "rArr" "("dy")/("dx")=(1-x)/(y-2)" ...(2)"` स्पर्श रेखा के y-अक्ष के समांतर होने के लिए `("dy")/("dx")` अपरिभाषित है, `rArr" "y=2` y का मान (1) में रखने पर हमे मिलता है, `x^2+4-2x-8+1=0rArrx^2-3=0rArrx=3,-1` `:." "` बिंदुओं `(3,2)` तथा `(-1, 2)` पर वक्र की स्पर्श रेखाएं y-अक्ष के समांतर है | |
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| 6. |
सिद्ध करें की वक्र `y^2=2x` के उन बीनउदो पर जहां `x=1/2,` स्पर्श रेखाएं परस्पर लम्ब है | |
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Answer» दिया गया वक्र है, `y^2=2x` दिया गया बिंदु है, `x=1/2` (1) से जब `x=1/2,y^2=2*1/2=1," ":." "y= -= 1` `:." "` दिए हुवे बिंदु है , `(1/2,1)` तथा `(1/2,-1)` (1) के दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित ( differentiate ) करने पर हमे मिलता है, `2y("dy")/("dx")=1/1=1=m_(1)`(माना) तथा `(1/2,-1)` पर, `("dy")/("dx")=1/(-1)=-1=m_(2)` ( माना ) `m_(1)m_(2)=1(-1)=-1` अतः दोनों स्पर्श रेखाएं पास्पर लम्ब है | |
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| 7. |
वक्र `y^2=x` के बिंदु `x=1` पर ढाल निकालें | |
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Answer» दिए गए वरक का समीकरण है, `y^2=x" ...(1)"` दिया हुआ बिंदु है, `x=1` (1) से जब `x=1, y^2=1" ":." "y= -=1` `:." "` दिया हुआ `(1,1)` तथा `(1, -1)` है | (1) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमे मिलता है, `2y("dy")/("dx")=1" ":." "("dy")/("dx")=1/(2y)" ...(2)"` `:." "(1,1)` पर, `("dy")/("dx")=1/(2xx1)=1/2" तथा "(1,-1)" पर, "("dy")/("dx")=1/(2(-1))=-1/2` अतः बिंदुओं `(1,1)` तथा `(1,-1)` पर दाल क्रमशः `1/2` तथा `-1/2` है | |
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| 8. |
वक्र `y=4x^3-2x^5` के लिए उन सभी बिन्दुओ को निकाले जिसपर स्पर्श रेखा मूल बिंदु से गूजती है | |
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Answer» `y=4x^3-2x^5" ...(1)"` `rArr" "(dy)/(dx)=12x^2-10X^4` बिंदु `P(alpha, beta)` पर स्पर्श रेखा का समीकरण होगा `y-beta=((dy)/(dx))_(P)(x-alpha)` or `y-(4alpha^(3)-2alpha^5)=(12alpha^2-10alpha^4)(x-alpha)` [ ` because ( alpha, beta)` वक्र (1) पर स्थित है | ] माना की तयह स्पर्श रेखा मूल बिंदु `(0,0)` से गुजरती है | तो `0-(4alpha^3-2alpha^5)=(12alpha^2-10alpha^4)(0-alpha)` `rArr" "-4alpha^3+2alpha^5=-12alpha^3=0` `rArr" "alpha=0,1-1` चूँकि `(alpha,beta)` वक्र (1) पर है, `:." "beta=4alpha^3-2alpha^5` जब `alpha= 1, beta=2` जब `alpha=-1, beta=-2` `:." "` अभीष्ट बिंदुये `(0,0), (1,2)` तथा `(-1, -2)` है | |
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| 9. |
वक्र `x=t^2+3t-8, y=2t^2-2t-5` के बिंदु `(2, -1)` पर स्पर्श रेखा का ढाल hei,A. `22/7`B. `6/7`C. `7/6`D. `-6/7` |
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Answer» Correct Answer - B दिए गए वक्र का प्रचल ( parametric ) समीकरण है | `x=t^2+3t-8" ...(1)"` `y=2t^2-2t-5" ...(2)"` माना की `P-=(2, -1)` जब `x=2, (1)` से, `t^2+3t-8=2rArr t^2+3t-10=0` `:." "t=-5, 2" ...(3)"` `:." "2t^2-2t-4=0` `rArrt^2-t-2=0" ":." "t=2, -1" ...(4)"` (3) तथा (4) से, t का उभयनिष्ठ मान = 2 (1) से, `(dx)/(dx)=2t+3=4+3=T` [ सब t = 2 ] से, `(dy)/(dx)=4t-2=4xx2-2=6` [ t = 2 पर ] `:." "` जब `t=2, (dy)/(dx)=(dy)/(dt)l(dx)/(dt)=6/7` |
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| 10. |
वक्र `y=x^2+4x+1` के उस बिंदु पर स्पर्श रेखा और अभलंब का समीकरण निकलें जिसका x-नियामक 3 है | |
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Answer» दिए गए वक्र का संकरण है, `y=x^2+4x+1` जब `x=3, y=3^2+4xx3+1=22` वक्र (1)के बिंदु `P(3,22)` पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब का समीकरण निकालना है | (1) को x के सापेक्ष अवकलित ( differentiate ) करने पर हमे मिलता है, `(dy)/(dx)=2x+4` `:." "` वक्र (1) के बिंदु `P(3,22)` पर स्पर्श रेखा का समीकरण है, `y-22=10(x-3)` या `y=1`0x-8` वक्र (1) की बिंदु P पर अभिलम्ब का समीकरण है, `y-22=1/(10)(x-3)` या `10y-220=-x+3` या `x+10y=233` |
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| 11. |
`x=4` पर वक्र `y=3x^4 -4x` के स्पर्श रेखा की ढाल निकाले | |
| Answer» Correct Answer - `764` | |
| 12. |
वक्र `y=x^3-x^2-x+3` के उन बिन्दुओ को ज्ञात करें जहां स्पर्श जहां स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है | |
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Answer» दिया गया वक्र का समीकरण है, `y=x^3-x^2-x+3" ...(1)"` `:." "("dy")/("dx")=3x^(2)-2-1" ...(2)"` चूँकि स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है, `:." "("dy")/(dx")=tan 0^@=0" ...(3)"` (2) तथा (3) से, `3x^2-2x-1=0` या `3x^2-3x+x-1=0` या `(3x+1)(x-1)=0" ...(4)"` `:." "x=1, - 1/3` (1) में x का मान रखने पर, जब `x=1, y = I^3-I^2-+3=2,` जब `x=-1/3, y=-1/27-1/9+1/3+3=3""5/27` अतः अभीष्ट बिंदुये है, `(1,2)` तथा `(-1/3, 3""5/27)` |
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| 13. |
उन सभी सरल रेखाओ के समीकरण नकाले जिसका ढाल -2 है तथा जो वक्र `y=1/(x-3), x ne 3` स्पर्श रेखा है | |
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Answer» दिया गया वक्र है `y=1/(x-3), x ne 3" ...(1)"` `:." "(dy)/(dx)=-1/((x-3)^(2))" ...(2)"` प्रशन से, `(dy)/(dx)=-2" "rArr" "(x-3)^2=1/2` `:." "x-3=-= 1/ sqrt2" या " x = 3 0-=1/sqrt2` (1) से, `y=sqrt2,` जब `x=3+ 1/sqrt2` `=-sqrt2,` जब `x=3-1/sqrt2` अतः वक्र पर दो बिंदु है, `(3+1/sqrt2,sqrt2)` तथा `(3-1/sqrt2, -sqrt2)` है, जहां स्पर्श रेखा की ढाल -2 है | सबहिश्त स्पर्श रेखाओ का समीकरण है, `y-sqrt2=-2(x-3-=1/sqrt2)` या `y-sqrt2=-2x+- 1/sqrt2` या `2x+y=6+sqrt2+- 1/sqrt2` |
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| 14. |
वक्र `x^2/a^2+y^2/b^2=1` के बिंदु `(a, 0)` तथा `(0,b)` पर स्पर्श रेखाओ के बिच का कोण ज्ञात करें | |
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Answer» दिए गए वक्र का समीकरण है, `x^2/a^2+y^2/b^2=1` दिए गए बिंदु है, `(a,0)` तथा `(0, b)` माना की `A-=(a, 0)` तथा `B-=(0, b)` (1) के दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित ( differentiate ) करने पर हमे मिलता है, `(2x)/a^2+(2y)/b^2("dy")/("dx")=0" ":." "("dy")/("dx")=-b^2/a^2*x/y` `A(a,0)` पर, `("dy")/("dx")=-b^2/a^2*a/0`( अपरिभाषित ) `B(0, b)` पर, `("dy")/("dx")=-b^2/a^2*0/b=0=tan0^@` `:." A" ` और B पर स्पर्श रेखाओ के बिच का कोण, `theta=|90^@-0^@|=90^@` |
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| 15. |
वक्र `y=(x-2)^2` पर एक बिंदु ज्ञात कीजिय जिस पर स्पर्श रेखा, बिन्दुओ `(2,0)` और `(4,4)` को मिलने वाली रेखा के समांतर है | |
| Answer» Correct Answer - `(3,1)` | |
| 16. |
दिखाइए की रेखा `x/a+y/b=1` वका `y=be^(-x//a)` के उस बिंदु पर स्पर्श रेखा है जहां वक्र y-अक्ष को काटता है | |
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Answer» दिए गए वक्र का समीकरण है, `y=be^(-x//a)" ...(1)"` `:." "(1)` से, `y=be^(0)=b` अतः वक्र (1), y-अक्ष को बिंदु `P(0,b)` पर काटता है| (1)से, `(dy)/(dx)=be^(-x//a) (-1/a)=-b/ae^(-x//a)" ...(2)"` `P(0,b)` पर, `(dy)/(dx)=-b/a` बिंदु `P(0,b)` पर स्पर्श रेखा का समीकरण होगा, `y-b=-b/a(x-0)` या `ay-ab=-bx` या `bx+ay=ab` या `x/a+y/b=1" ...(3)"` अतः रेखा `x/a+y/b=1` वक्र `y=be^(-x//a)` को उस बिंदु पर स्पर्श करता है जहां यह y-अक्ष को काटता है | |
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| 17. |
वक्र `y=2x^2+3 sin x` का `x=0` पर अभिलम्ब का समीकरण निकाले | |
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Answer» दिए गए वक्र का समीकरण है, `y=2x^2+3 sin x" ...(1)"` जब `x=0` तो `y=0` `:." "`दिया गया बिंदु है, `P(0,0)` (1) से, `(dy)/(dx)=0+3cos 0 =3cosx" ...(2)` `x=0` पर, `(dy)/(dx)=0+3 cos 0 = 3` `:." "P(0,0)` पर स्पर्श रेखा का ढाल ( slope )= 3 तथा `P(0,0)` पर अभिलम्ब का ढाल `=-1/3` वक्र के `P(0,0)` बिंदु पर अभिलम्ब का समीकरण `y-0=-1/3(x-0)` या `x+3y=0` |
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| 18. |
वक्रों के निदिर्ष्ट बिदुओ पर स्पर्श रेख और अभिलम्ब का समीकरण निकालें : `x=cos t, y =" sin t at t"=pi/4` |
| Answer» `x+y-sqrt2=0, x -y=0` | |
| 19. |
प्रवणता - 1 वाली सभी रेखाओ का समीकरण ज्ञात कीजिये जो वरक `y=1/(x-1), x ne -1` को स्पर्श करती है | |
| Answer» Correct Answer - `y=1/2` | |
| 20. |
प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओ का समीकरण का समीकरण ज्ञात कीजिय जो वरक `y+2/((x-3))=0` को स्पर्श करती है | |
| Answer» `x+y+1=0` तथा `x+y-3=0` | |
| 21. |
वक्र `ay^2=x^3` के लिए बिंदु `(am^2, am^3)` पर अभिलम्ब का समीकरण निकाले | |
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Answer» दिए गए वक्र का समीकरण है, `ay^2=x^2` बिंदु `(am^2, am^2)` पर स्पर्श रेखा की ढाल `=[(dy)/(dx)]_((am^(2)),am^(3))=3/2*(a^2m^4)/(a^2m^3)=(3m)/2` `rArr" "`बिंदु `(am^2,am^3)` पर अभिलम्ब का ढाल `=-2/(3m)` `:." "` बिंदु `(am^2, am^3)`, पर अभिलम्ब का समीकरण है, `y-am^3=(-2)/(3m)(x-xm^2)` या `3my-3am^(4)=-2x+2am^2` या `2x+3my-am^2(3m^2+2)=0`. |
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| 22. |
वक्र `y=x^3-x+1` के उस बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल निकाले जिसका x- नियामक 2 है | |
| Answer» Correct Answer - `11` | |
| 23. |
वक्र `y=x^3-3x+2` के उस बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल निकाले जिसका x-नियम 3 है | |
| Answer» Correct Answer - `24` | |
| 24. |
परवलय `y^2=8x` के स्पर्श रेखा का समीकरण निकले जो सरल रेखा `4x-y+3=0` के समांतर है |
| Answer» Correct Answer - `8x-2y+1=0` | |
| 25. |
वक्र `y=x^3-11x+5` पर उस बिंदु को ज्ञात कीजिय जिस पर स्पर्श रेखा `y=x-11` है | |
| Answer» Correct Answer - `(2, -9)` | |
| 26. |
साबित करें की सरल रेखा `x/a+y/b=2` वक्र `(x/a)^n +(y/b)^n=2` को बिंदु `(a, b)` पर स्पर्श करता है | |
| Answer» Correct Answer - `x-y+10,x +y-3=0` | |
| 27. |
`x=pi/4` पर वक्र `y=cot^2x -2cotx +1` के स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करें | |
| Answer» Correct Answer - `y=1` | |
| 28. |
वक्रों के बन्दुओ पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब का समीकरण निकालें : `x^(2/3)+y^(2/3)=2"at"(1, 1)` |
| Answer» Correct Answer - `x+y-2=0, x-y=0` | |
| 29. |
वक्रों के बन्दुओ पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब का समीकरण निकालें : `y=x^3"at"(1,1)` |
| Answer» Correct Answer - `y=3x-2,+3y-4=0` | |
| 30. |
वक्र `x^3+y^3=6xy` के बिंदु `(3,3)` पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब का समीकरण निकाले | |
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Answer» दिए गए वक्र का समीकरण है, `x^3+y^3=6xy" ...(1)"` दोनों पक्ष्हो को x के सापेक्ष अवकलित ( differentiate ) करने पर हमे मिलता है, `3x^2+3y^2(dy)/(dx)=6(1*y+x(dy)/(dx))` या `(3y^2-6x)(dy)/(dx)=6y-3x^2` `:." "(dy)/(dx)=(6y-3x^2)/(3y^2-6x)=(2y-x^2)/(y^2-2x)" ...(2)"` `(3,3)` पर, `(dy)/(dx)=(2*3-3^2)/(3^2-2*3)=(-3)/3=-1` `:." "`बिंदु `(3,3)` पर स्पर्श रेखा की ढाल `m=-1` `:." "` बिंदु `(3,3)` पर स्पर्श रेखा का समीकरण होगा, `y=3=-1(x-3)` या `x+y=0` बिंदु `(3,3)` पर अभिलम्ब की ढाल `=-1/m=-1/((-1))=1` `:." "` बिंदु `(3,3)` पर अभिलम्ब का समीकरण होगा, `y-3=1 (x-3)` या `x-y=0` |
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| 31. |
परवलय `y^2=4ax` के बिंदु `(at, 2at)` पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिय | |
| Answer» `yt=x+at^2, y = -tx+2at+at^3` | |
| 32. |
वक्र `x^2/9+y^2/16=1` पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिय जिन पर स्पर्श रेखाएं y-अक्ष के समान्तर है |
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Answer» Correct Answer - `(+-4)` `[(dy)/(dx)=-16/9""x/y]` `(dy)/(dx)" Is undefineed "rArr y = 0 :. X=+-3` |
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