1.

4kg पियाज 3kg गेहू 2kg चावल का मुल्ये 60 है 2kg पियाज 4kg गेहू और 6kg चावल का मुल्ये 90 है 6kg पियाज 2kg गेहू और 3kg चावल का मूल्य 70 है आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति kg ज्ञात कीजिएः

Answer» माना 1 kg प्याज का मूल्य = ₹ x
1 kg गेहूँ का मूल्य = ₹ y
1 kg चावल का मूल्य = ₹ z
प्रश्नानुसार ,
` 4x + 3y + 2z = 60 `
` 2x + 4y + 6z = 90 `
` 6x + 2y + 3z = 70 `
आव्यूह रूप है -
` AX = B `
जहाँ ` A = [{:( 4, 3 , 2 ) , ( 2, 4 , 6 ) , ( 6, 2 , 3 ) :}] , X = [{:(x ), (y ) , (z) :}], B = [{:(60) , ( 90) ,( 70):}] `
अब, ` |A| = |{:( 4,3 , 2 ) , ( 2, 4, 6 ) , ( 6, 2, 3 ) :}| `
`rArr |A| = 4 ( 12 - 12 ) - 3 ( 6 - 36 ) + 2 ( 4 - 24 ) `
` rArr |A| = 0 + 90 - 40 = 50 ne 0 `
` rArr A^( - 1 ) ` का अस्तित्व है |
अतः समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है -
` X = A^( - 1 ) B`.
माना A में ` a _ ( ij ) ` का सहखण्ड ` A _ (ij) ` है, तब
` A _ (11 ) = ( - 1 ) ^( 1 + 1 ) |{:(4, 6 ) ,( 2, 3 ) :}| = ( 12 - 12 ) = 0 `
` A _ ( 12 ) = ( - 1 ) ^( 1 + 2 ) |{:( 2, 6 ) , ( 6, 3 ) :}| = - ( 6 - 36 ) = 30 `
` A _ (13 ) = ( - 1 ) ^( 1 + 3 ) |{:( 2, 4 ) , ( 6, 2 ) :}| = ( 4 - 24 ) = -20 `
` A_ ( 21 )= ( - 1 ) ^( 2 + 1 ) |{:( 3, 2 ) , ( 2, 3 ) :}| = - ( 9 - 4 ) = - 5 `
` A _ (22 ) = ( - 1 ) ^( 2 + 1 ) |{:(4, 2 ) ,( 6, 3 ) :}| = ( 12 - 12 ) = 0 `
` A_ ( 23 ) = ( - 1 )^( 2 + 3 ) |{:( 4, 3 ) , ( 6, 2 ) :}| = - ( 8- 18) = 10 `
` A _ ( 31 ) = ( - 1 ) ^( 3 + 1 ) |{:( 3 , 2 ) , ( 4 , 6 ) :}| = (18 - 8 ) = 10 `
` A_ ( 32 ) = ( - 1 ) ^ ( 3 + 2 ) |{:(4, 2 ) , ( 2, 6 ) :}| = - ( 24 - 4 ) = - 20 `
` A_ (33 ) = ( - 1 ) ^( 3 + 3 ) |{:( 4 , 3 ) /( 2, 4 ) :}| = 16 - 6 = 10 `
` therefore (adj A ) = [{:( 0 , 30 , -20 ) , ( - 5, 0 , 10 ) , ( 10 , - 20, 10 ) :}] `
` rArr ( adj A ) = [{:( 0 , - 5, 10 ) ,( 30 , 0 , -20 ) , ( -20, 10 , 10 ) :}] `
` therefore A^( -1 ) = ( adj A ) /( |A| ) = ( 1 ) /( 50 ) [{:(0 , - 5 , 10 ) , ( 30 , 0 , - 20 ) , ( -20, 10 , 10 ) :}] `
चूँकि ` X = A^( - 1 ) B `
` rArr [{:( x ) , ( y ) , ( z ) :}] = ( 1 ) /( 50 ) [{:( 0 , -5, 10 ) ,( 30 , 0 , - 20 ) , ( -20 , 10 , 10 ) :}][{:( 60) ,(90),(70):}] `
`rArr [{:(x) ,( y ) , ( z) :}] = ( 1 ) /( 50 ) [{:( 0 - 450 + 700) , ( 1800 + 0 - 1400) , ( -1200 +900 + 700):}] `
` rArr [ {:(x ) , ( y ) , ( z ) :}] = ( 1 ) /( 50 ) [{:( 250) ,( 400) ,( 400) :}] = [{:( 5 ) , ( 8 ) , ( 8) :}] `
` rArr x = 5, y = 8 , z = 8 `
अतः 1 kg प्याज का मूल्य ₹ 5
1 kg गेहूँ का मूल्य ₹ 8
1 kg गेहूँ का मूल्य ₹ 8


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