InterviewSolution
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सिद्ध कीजिएः की निम्नलिखित समीकरण निकाय संगत है `2x-y+3z= 5` `3x+2y-z= 7` `4x+5y-5z= 9` साथ ही हल ज्ञात कीजिएः |
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Answer» दिए गए समीकरण निकाय का अवव्यूह रूप है `AX=B` जहाँ `A=[{:(2,-1,3),(3,2,-1),(4,5,-5):}], X =[{:(x),(y),(z):}],B=[{:(5),(7),(9):}]` अब `|A|=|{:(2,-1,3),(3,2,-1),(4,5,-5):}|` `Rightarrow|A|=2(-10+5)=1(-15+14)+3(15-8)` `Rightarrow|A|=-10-11+21` `Rightarrow|A|= 0` `RightarrowA` अव्युक्रमणीये है अंत: दिया गया समीकरण निकाय संगत या असंगत हो सकता है जबकि, (adj A).b=0 या `(adj A).B ne 0` `A_(11) =(-1)^(1+1)|{:(2,-1),(5,-5):}|= -(-10+5)= -5` `A_(12) =(-1)^(1+2)|{:(3,-1),(4,-5):}|= -(-15+4)=11` `A_(13) =(-1)^(1+3)|{:(3,2),(4,5):}|= 15-8= 7` `A_(21) =(-1)^(2+1)|{:(-1,3),(5,-5):}|= -(5-15)= 10` `A_(22) =(-1)^(2+2)|{:(2,3),(4,-5):}|= -10-12= 22` `A_(23) =(-1)^(2+3)|{:(2,-1),(4,5):}|= -(10+4)= -14` `A_(31) =(-1)^(3+1)|{:(-1,3),(2,-1):}|= (1-6)= -5` `A_(32) =(-1)^(3+2)|{:(2,3),(3,-1):}|= -(-2-9)= 11` `A_(33) =(-1)^(3+3)|{:(2,-1),(3,2):}|= (4+3)= 7` `therefore" "(adjA)= [{:(-5,11,7),(10,-22,-14),(-5,11,7):}]` `Rightarrow" "(adjA)=[{:(-5,10,-5),(11,-22,11),(7,-14,7):}]` `therefore (adj A).B=[{:(,15,10,-5),(,11,-22,11),(,7,-14,7):}] [{:(,5),(,7),(,9):}]` `therefore (adj A).B=[{:(,-25+70-45),(,55-154+99),(,35-98+63):}]` `therefore (adj A).B=[{:(,0),(,0),(,0):}]` `therefore (adj A).B=0` अंत: दिया गया समीकरण निएक्य संगत है और अन्त हल है अब प्रथम दो समीकरण में z=k रखने पर 2x-y+3k=5 या 2x-y=5-3k ....(1) और 3x+2y-k=7 या 3x+2y=7+k .....(2) समी और का अवव्यूह रूप है `[{:(,2,-1),(,3,2):}][{:(,x),(,y):}]=[{:(,5-3k),(,7+k):}]` या AX=B जहाँ `A=[{:(,2,-1),(,3,2):}],X=[{:(,x),(,y):}], B=[{:(,5-3k),(,7+k):}]` अब `|A|=|{:(,2,-1),(,3,2):}|=4+3=7 ne 0"इसलिए "A^(-1)` का अस्तित्व है और `adj A=[{:(,2,1),(,-3,2):]` `therefore A^(-1) =("adj A")/|A|=1/7 [{:(,2,1),(,-3,2):}]` अब `X=A^(-1)B` `Rightarrow [{:(,x),(,y):}]=1/7 [{:(,2,1),(,-3,+2):}] [{:(,5-3k),(,7+k):}]` `Rightarrow [{:(,x),(,y):}]1/7 [{:(,10-6k+7+k),(,-15+9k+2k+14):}]` `Rightarrow [{:(,x),(,y):}]=[{:(,(17-5k)/(7)),(,(11k-1)/(7)):}]` और `Rightarrow x=(17-5k)/(7) "और y=(11k-1)/(7)` `therefore x=(17-5k)/(7), y=(11k-1)/(7),z=k` उपरोक्त मनो को समीकरण में रखने पर `4x+5y-5z=4 ((17-5k)/(7))+5((11k-1)/(7))-5k` `=((68-20k)+(55k-5)-35k)/(7)` `=(63)/(7)=9` अंत: `x=(17-5k)/(7), y=(11k-1)/(7)" और " z=k` जहाँ कोई वास्तविक संख्या है |
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