InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
माना `A=[(0, -"tan" alpha/2),("tan" alpha/2,0)]` तथा I ,2 क्रम का तत्समक आव्यूह है, दर्शाइए की `(I+A)=(I-A)[(cos alpha,-sin alpha),(sin alpha,cos alpha)]` |
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Answer» `cos alpha =(1-tan^(2) (alpha//2))/(1+tan^(2) (alpha//2))=(1-t^(2))/(1+t^(2))`, `sin alpha=(2 tan (alpha//2))/(1+tan^(2) (alpha//2))=(2t)/(1+t^(2))` जहाँ `"tan" alpha/2=t` पुनः `(I+A)=[(1,0),(0,1)]+[(0-t),(t,0)]=[(1,-t),(t,1)]` `(I-A)=[(1,0),(0,1)]-[(0,-t),(t,0)]=[(1,t),(-t,1)]` अब `(I-A)[(cos alpha, -sin alpha),(sin alpha, cos alpha)]` `=[(1,t),(-t,1)][((1-t^(2))/(1+t^(2)),(-2t)/(1+t^(2))),((2t)/(1+t^(2)),(1-t^(2))/(1+t^(2)))]` `=[((1-t^(2))/(1+t^(2))+(2t^(2))/(1+t^(2)),(-2t)/(1+t^(2))+(t(1-t^(2)))/(1+t^(2))),((-t(1-t^(2)))/(1+t^(2))+(2t)/(1+t^(2)),(2t^(2))/(1+t^(2))+(1-t^(2))/(1+t^(2)))]` `=[(1,-t),(t,1)]=(I+A)` इस प्रकार `(I+A)=(I-A)[(cos alpha,-sin alpha),(sin alpha,cos alpha)]` |
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| 2. |
यदि समीकरण निकाय `[(1,2,4),(2,1,2),(1,2,alpha-4)][(x),(y),(z)]=[(6),(4),(alpha)]` का अद्वितीय हल विद्यमान है तो-A. `alpha in R`B. `alpha in Z`C. `alpha=8`D. `alpha ne 8` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 3. |
माना `A=[(5,5alpha,alpha),(0,alpha,5alpha),(0,0,5)]` यदि `|A|^(2)=25` तब `|alpha|` बराबर है-A. `5^(2)`B. `1`C. `1//5`D. `5` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 4. |
`3xx3` आव्यूह का अवयव `a_(ij)=1/2|-3i+j|` द्वारा परिभाषित है तब `a_(32)` का मान ज्ञात कीजिए। |
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Answer» यहां `a_(ij)=1/2|-3i+j|` `:.a_(32)=1/2|-3xx3+2|` `impliesa_(32)=1/2|-9+2|=7/2` |
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| 5. |
यदि `A=[{:(a,b),(b,a):}]` और `A^(2)=[{:(alpha,beta),(beta,alpha):}]` तो -A. `alpha=a^(2)-b^(2),beta=2ab`B. `alpha=2ab,beta=a^(2)+b^(2)`C. `alpha=a^(2)+,beta=2ab`D. `alpha=2ab,beta=a^(2)-b^(2)` |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 6. |
यदि `A=[{:(3,-2),(4,-2):}],I=[{:(1,0),(0,1):}]` और `A^(2)=K*A-2I` तो k मान है -A. 1B. `-1`C. 2D. इनमें से कोई नहीं । |
| Answer» Correct Answer - a | |
| 7. |
यदि `A=[a_(ij)]` जहां `a_(ij)={(i+j यदि igej),(i-j यदि iltj):}` तब `3xx3` आव्यूह की रचना कीजिए। |
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Answer» माना A कोटि `3xx3` का आव्यूह है तब `A=[(a_(11),a_(12),a_(13)),(a_(21),a_(22),a_(23)),(a_(31),(a_(32),a_(33))]` जहां `a_(ij)={(i+j “यदि” igej),(i-j “यदि”iltj):}` `:.a_(11)=1+1=2` `a_(12)=1-2=-1` `a_(13)=1-3=-2` `a_(21)=2+1=3` `a_(22)=2+2=4` `a_(23)=2-3=-1` `a_(31)=3+1=4` `a_(32)=3=2=5` `a_(33)=3+3=6` अभीष्ट आव्यूह `A=[(2,-1,-2),(3,4,-1),(4,5,6)]` |
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| 8. |
यदि `x[{:(2,3),(-1,5):}]+y[{:(4,),(19,):}]=[{:(4,),(19,):}]` तो x और y के मान हैं -A. `x=y,y=3`B. `x=6,y=8`C. `x=3,y=2`D. इनमें से कोई नहीं । |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 9. |
यदि `[{:(cos^(2)x,cosxsinx),(cosxsinx,sin^(2)x):}]`और x और y का अन्तर `(pi)/(2)` का विषम गुणक है तो F(x).F(y) है -A. शून्य आव्यूहB. इकाई आव्यूहC. विकर्ण आव्यूहD. इनमें से कोई नहीं । |
| Answer» Correct Answer - a | |
| 10. |
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए I. `3xx3` कोटि का आव्यूह `a_(ij) = (i-j)/(i+2j)` को सममित तथा विषम सममित आव्यूहों के योग में प्रदर्शित नहीं कर सकते है । II. `3xx3` कोटि का आव्यूह `a_(ij) = (i-j)/(i+2j)` सममित और न ही विषम सममित आव्यूह है उपरोक्त कथनों में से कौन- सा /से कथन सही है /है ?A. केवल IB. केवल IIC. I और II दोनोंD. न तो I और न ही II |
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Answer» Correct Answer - B यदि `a_(ij) = (i-j)/(i+2j)`, तब ` A = [(0" "-1/5" "-2/7),(1/4" "0" "-1/8),(2/5" "1/7" "0)]` जो न तो सममित और न ही विषम सममित है लेकिन यह कारण नहीं जिसके लिए A सममित तथा विषम सममित आव्यूहों के योग में परिभाषित नहीं किया जा सकता है , परन्तु कोई भी वर्ग आव्यूह सममित तथा विषम सममित आव्यूहों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है । अतः कथन I असत्य है लेकिन कथन II सत्य है । |
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| 11. |
यदि A और B के सममित आव्यूह हैं तो (AB-BA) होगा -A. शून्य आव्यूहB. तत्समक आव्यूहC. विषम सममित आव्यूहD. सममित आव्यूह |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 12. |
किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान, 8 दर्जन भौतिक विज्ञान और 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य रू0 80, रू0 60 और रू0 40 प्रति पुस्तक है। आव्यूह बीजगणित के प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी। |
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Answer» विद्यायलय में पुस्तकों की संख्या इस प्रकार है रसायन विज्ञानः 10 दर्जन `=10xx12=120` पुस्तकें भौतिक विज्ञान 8 दर्जन `=8xx12=96` पुस्तकें अर्थशास्त्र 10 दर्जन `=10xx12=120` पुस्तकें माना पुस्तकों की संख्या का आव्यूह निरूपण A हो तो रसायन, भौतिक, अर्थशास्त्र A=[(120, 96, 120)]` माना पुस्तकों का विक्रय मूल्य का आव्यूह निरूपण B हो तो `B=[(80),(60),(40)]` रसायन, भौतिक, अर्थशास्त्र सभी पुस्तकें बेचने पर प्राप्त राशि `AB=[(120,96,120)][(80),(60),(40)]` `=[(120xx80+96xx60+120xx40)]` `=[(9600+5760+4800)]=[(20160)]` कुल प्राप्त राशि`=Rs. 20,160` |
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| 13. |
यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं , की AB =BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि `AB^(n)=B^(n)A` होगा । इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त `ninN` के लिए `(AB)^(n)=A^(n)B^(n)` होगा| |
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Answer» प्रथम भाग प्रश्नानुसार , AB = BA . . . (1) सिद्ध करना है `AB^(n)=B^(n)A` n = 1 के लिये `AB^(1)=B^(1)A` `rArrAB=BA` जो दिया है । अतः दिया कथन n =1 के लिये सत्य है । माना दिया कथन n = k के लिये सत्य है । `thereforeAB^(k)=B^(k)A` . . . (2) n = k +1 के लिये, `AB^(k+1)=A(B^(k)B)` `=(AB^(k))B` (गुणनफल के साहचर्य नियम से) `=(B^(k)A)B` (समीकरण (2) से) `=B^(k)(AB)` (गुणनफल के साहचर्य नियम से) `=B^(k)(BA)` (समीकरण(1) से) `=(B^(k)B)A` (गुणनफल के साहचर्य नियम से) `=B^(k+1)A` `rArr` दिया कथन n = k +1 के लिये भी सत्य है। `rArr` अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से `AB^(n)=B^(n)A,n` के सभी प्राकृतिक मानों के लिये सत्य है। दूसरा भाग सिद्ध करना है `(AB)^(n)=A^(n)B^(n)` n =1 के लिये, `(AB)^(1)=A^(1)B^(1)` `rArrAB=AB` जो सत्य है । `therefore` दिया कथन n =1 के लिये सत्य है। माना दिया कथन n =1 के लिये सत्य है । `therefore(AB)^(k)=A^(k)B^(k)` . . . (3) n = k + 1 के लिये `(AB)^(k+1)=(AB)^(k)(AB)` `=(A^(k)B^(k))(AB)` (समीकरण (3) से) `=A^(k)(B^(k)A)B` (गुणनफल के साहचर्य नियम से) `=A^(k)(AB^(k))B` (समीकरण (2) से) `=(A^(k)A)(B^(k)B)` (गुणनफल के साहचर्य नियम से) `=A^(k+1)B^(k+1)` `rArr` दिया कथन n= k+1 के लिये भी सत्य है । अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से `(AB)^(n)=A^(n)B^(n),n` के सभी प्राकृतिक मानों के लिये सत्य है। यही सिद्ध करना था। |
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| 14. |
यदि A और B दो समान कोटि के सममित आव्यूह है तो दर्शाइए कि (i) `AB-BA` एक विषम सममित आव्यूह है (ii) `AB+BA` एक सममित आव्यूह है। |
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Answer» चूंकि A और B दोनों सममित आव्यूह है। `:.A’=A` और `B’=B` (i) `(AB-BA)’=(AB)’-(BA)’` `implies(AB-BA)’=B’A’-A’B’` `implies(AB-BA)’=BA=AB` `implies(AB-BA)’=-(AB-BA)` `impliesAB=BA` एक विषम सममित आव्यूह है। (ii) `(AB+BA)’=(AB)’+(BA)’` `implies(AB+BA)’=B’A’+A’B’` `implies(AB+BA)’=BA+AB` `impliesAB+BA` एक सममित आव्यूह है। |
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| 15. |
यदि A एक विषम सममित आव्यूह है तथा n एक विषम धन पूर्णांक है ,तो `A^(n)` है -A. एक विषम सममित आव्यूहB. एक सममित आव्यूहC. एक शून्य आव्यूहD. इनमें से कोई नहीं । |
| Answer» Correct Answer - a | |
| 16. |
यदि A एक सममित आव्यूह है तथा n एक धन पूर्णांक है ,तो `A^(n)` है -A. यदि विषम सममित आव्यूहB. एक सममित आव्यूह ,C. एक शून्य आव्यूहD. इनमें से कोई नहीं । |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 17. |
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह `B’AB` सममित अथवा विषम सममित है यदि A सममित अथवा विषम सममित है। |
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Answer» स्थिति I माना A एक सममित आव्यूह है तब `A’=A` अब `(B’AB)’=B’A’(B’)’` `[ :’ (ABC)’=C’B’A]` `implies(B’AB)’=B’A’B, [ :’ (B’)’=B]` `implies(B’AB)’=B’AB` `impliesB’AB` एक सममित आव्यूह है। स्थिति II माना A एक विषम सममित आव्यूह है तब `A’=-A` अब `(B’AB)’=B’A(B’)’,` `[ :’ (ABC)’=C’B’A]` `implies(B’AB)’=B’A’B` `implies (B’AB)’=B’(-A)B` `implies(B’AB)’=-B’AB` `impliesB’AB` एक विषम सममित आव्यूह है। |
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| 18. |
सिद्ध कीजिए कि एक विषम सममित आव्यूह की विषम पूर्णांक घातें भी विषम सममित है। |
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Answer» माना A एक विषम सममित आव्यूह है। तब परिभाषा से `A’=-A`……1 माना `n` एक धनात्मक विषम पूर्णांक है तब `(A^(n))’=(“AAA”…………..n` पदों तक) `=A’A’A’…..n` पदों तक `-(-A)(-A)(-A)……..n` पदों तक `=(-1)^(n)A^(n)=-A^(n) [ :’n` विषम है`]` अतः `A^(n)` एक विषम सममित आव्यूह है। |
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| 19. |
यदि A और B दो वर्ग आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि `(A+B)^(2)=A^(2)+AB+BA+B^(2)` साथ ही `AB=BA` के लिए सिद्ध कीजिए कि `(A+B)^(2)=A^(2)+2AB+B^(2)` |
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Answer» (i)चूंकि A और B वर्ग आव्यूह हैं इसलिए `A+B` वर्ग आव्यूह है। `(A+B)^(2)=(A+B).(A+B)` `=A.(A+B)+B.(A+B),` [वितरण नियतम से] `=”AA”+ab+BA+BB` `=A^(2)+AB+BA+B^(2)` अतः `(A+B)^(2)=A^(2)+AB+BA+B^(2)` (ii) जब `AB=BA` तब `(A+B)^(2)=A^(2)+AB+AB+B^(2)` `=A^(2)+2AB+B^(2)` |
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| 20. |
यदि `A=[(a,b),(0,1)]` और `a!=1`, तो गणितीय आगमन के सिद्ध कीजिए कि `A^(n)-[(a^(n)(b(a^(n)-1))/(a-1)),(0,1)], n epsilon N` |
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Answer» हम इस परिणाम को गणितीय आगमन मे सिद्धांत से सिद्ध करेंगें। `n=1` के लिए `A^(1)=[(a^(1),b((a^(1)-1))/(a-1)),(0,1)]=[(a,(b(a-1))/(a-1)),(0,1)]=[(a,b),(0,1)]` `:.` अतः परिणाम `n=1` के लिए सत्य है। माना परिणाम `n=m` के लिए सज्य है। `A^(m)=[a^(m),(b(a^(m)-1))/(a-1)),(0,1)]` अब हम सिद्ध करेंगे कि परिणाम `n=m+1` के लिए सत्य है। `:.A^(m+1)=A^(m)A=[(a^(m)(b(a^(m)-1))/(a-1)),(0,1)][(a,b),(0,1)]` `=[(a^(m+1), a^(m)b+(b(a^(m)-1))/(a-1)),(0,1)]` `=[(a^(m+1), (a^(m)b(a-1)+b(a^(m)-1)),(0,1)]` `=[(a^(m+1),(a^(m+1)b-a^(m)b+a^(m)b-b)/(a-1)),(0,1)]` `=[(a^(m+1),(b(a^(m+1)-1))/(a-1)),(0,1)]` स्पष्टतः परिणाम `n=m+1` के लिए सत्य है। अतः गणितीय आगमन से `A^(n)=[(a^(n),(b(a^(n)-1)),(a-1)),(0,1)], n epsilon N` के लिए सत्य है। |
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| 21. |
यदि `A=[(3,-4),(1,-1)]` तो सिद्ध कीजिए कि `A^(n)=[(1+2n,-4n),(n,1-2n)]` जहां `n` एक धन पूर्णांक है। |
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Answer» हम इस परिणाम को गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध करेंगें। जब `n=1` तब `A^(1)=[(1+2.1,-4.1),(1,1-2.2)]=[(1+2,-4),(1,1-2)]=[(3,-4),(1,-1)]` `:.` अतः परिणाम `n=1` के लिए सत्य है। जब `n=2` तब `A^(2)=A.A=[(3,-4),(1,-1)][(3,-4),(1,-1)]` `=[(3xx3-4xx1,3xx(-4)+(-4)xx(-1)),(1xx3+(-1)xx1,1xx(-4)+(-1)xx(-1))]` `=[(5,-8),(2,-3)]` `=[(1+2.2,-4.2),(2,1-2.2)]` `:.` अतः परिणाम `n=2` के लिए सत्य है। माना परिणाम `n=k` के लिए भी सत्य है। `A^(k)=[(1+2k,-4k),(k,1-2k)]` अब हम सिद्ध करेंगें कि परिणाम `n=k+1` के लिए भी सत्य है। `:.A^(k+1)=A.A^(k)` `[(3,-4),(1,-1)][(1+2k,-4k),(k,1-2k)]` `=[(3+6k-4k,-12k-4+8k),(1+2k-k,-4k-1+2k)]` `=[(3+2k,-4k-4),(k+1,-1-2k)]` `=[(1+2(k+1),-4(k+1)),(k+1,1-2(k+1))]` स्पष्टतः परिणाम `n=k+1` के लिए सत्य है। अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से `A^(n)=[(1+2n,-4n),(n,1-2n)], n epsilon N` |
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| 22. |
यदि `A=[(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)]` तो सिद्ध कीजिए कि- `A^(n)=[(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)),(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)),(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1))], n epsilon N`. |
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Answer» हम इस परिणाम को गणितीय आगमन के सिद्धांत से सिद्ध करेंगें। जब `n=1` आव्यूह के पूर्णांक घात की परिभाषा से `A^(1)=A=[(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)]=[(3^(1-1),3^(1-1),3^(1-1)),(3^(1-1),3^(1-1),3^(1-1)),(3^(1-1),3^(1-1),3^(1-1))]` अतः परिणाम `n=1` के लिए सत्य है। माना परिणाम `n=m` के लिए सत्य है। `A^(m)=[(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1)),(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1)),(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1))]`……1 अब हम सिद्ध करेंगें कि परिणाम `n=m+1` के लिए सत्य है। अर्थात `A^(m+1)=[(3^(m),3^(m),3^(m)),(3^(m),3^(m),3^(m)),(3^(m),3^(m),3^(m))]` आव्यूह के पूर्णांक घात की परिभाषा से `A^(m+1)=A^(m)A` `impliesA^(m+1)=[(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1)),(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1)),(3^(m-1),3^(m-1),3^(m-1))][(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)]` [समी 1 से] `impliesA^(m+1)=[(3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),(3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1)),(3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),(3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1)),(3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1),(3^(m-1)+3^(m-1)+3^(m-1))]` `impliesA^(m+1)=[(3xx3^(m-1),3xx3^(m-1),3xx3^(m-1)),(3xx3^(m-1),3xx3^(m-1),3xx3^(m-1)),(3xx3^(m-1),3xx3^(m-1),3xx3^(m-1))]` `[(3^(m),3^(m),3^(m)),(3^(m),3^(m),3^(m)),(3^(m),3^(m),3^(m))]` स्पष्टतः परिणाम `n=m+1` के लिए सत्य है जबकि यह `n=m` के लिए सत्य है। अतः परिणाम गणितीय आगमन के सिद्धांत से प्रत्येक `n epsilon N` के लिए सत्य है। |
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| 23. |
यदि `A=[{:(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1):}]`, तो सिद्ध कीजिए कि `A^(n)=[{:(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)),(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)),(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)):}],ninN`. |
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Answer» यहाँ `A^(n)=[{:(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)),(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)),(3^(n-1),3^(n-1),3^(n-1)):}]` n = 1 के लिये , `A=[{:(3^(0),3^(0),3^(0)),(3^(0),3^(0),3^(0)),(3^(0),3^(0),3^(0)):}]=[{:(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1):}]` जो सत्य है । `thereforeA^(n),n=1` के लिये सत्य है । माना `A^(n),n=k` के लिये सत्य है । `thereforeA^(k)=[{:(3^(k-1),3^(k-1),3^(k-1)),(3^(k-1),3^(k-1),3^(k-1)),(3^(k-1),3^(k-1),3^(-1)):}]` n = K +1 के लिये, `A^(k+1)=A^(k)*A` `=[{:(3^(k-1),3^(k-1),3^(k-1)),(3^(k-1),3^(k-1),3^(k-1)),(3^(k-1),3^(k-1),3^(k-1)):}][{:(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1):}]` `=[{:(3^(k-1)+3^(k-1)+3^(k-1),3^(k-1)+3^(k-1)+3^(k-1),3^(k-1)+3^(k-1)+3^(k-1)),(3^(k-1)+3^(k-1)+3^(k-1),3^(k-1)+3^(k-1)+3^(k-1),3^(k-1)+3^(k-1)+3^(k-1)),(3^(k-1)+3^(k-1)+3^(k-1),3^(k-1)+3^(k-1)+3^(k-1),3^(k-1)+3^(k-1)+3^(k-1)):}]` `=[{:(3*3^(k-1),3*3^(k-1),3*3^(k-1)),(3*3^(k-1),3*3^(k-1),3*3^(k-1)),(3*3^(k-1),3*3^(k-1),3*3^(k-1)):}]=[{:(3^(k),3^(k),3^(k)),(3^(k),3^(k),3^(k)),(3^(k),3^(k),3^(k)):}]` `therefore^(n),n = k+1` के लिये भी सत्य है । अतः `A^(n),n` के सभी प्राकृतिक मानों के लिये सत्य है । यही सिद्ध करना था । |
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| 24. |
यदि `A=[(0,1),(0,0)]` हो तो दिखाइए कि सभी `n epsilon N` के लिए `(aI+bA)^(n)=a^(n)I+na^(n-1)bA`, जहां `I` कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है। |
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Answer» हम इस परिणाम को गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध करेंगें। जब `n=1` आव्यूह के पूर्णांक घात की परिभाषा से `(aI+bA)^(1)=aI+bA=a^(1)I+Ia^(2)bA=a^(1)I+1a^(1-1)bA` अतः परिणाम `n=1` के लिए सत्य है। माना परिणाम `n=m` के लिए सत्य है तब `(aI+bA)^(m)=a^(m)I+ma^(m-1)bA`…………1 अब हम सिद्ध करेंगें कि परिणाम `n=m+1` के लिए सत्य है अर्थात `(aI+bA)^(m+1)=a^(m+1)I+(m+1)a^(m)bA` आव्यूह के पूर्णांक घात की परिभाषा से `(aI+bA)^(m+1)=(aI+bA)^(m)(aI+bA)` `implies(aI+bA)^(m+1)=(a^(m)I+ma^(m-1)bA)(aI+bA)` [ समी. 1 से] `implies(aI+bA)^(m+1)=(a^(m)I)(aI)+(a^(m)I)(bA)` `+(ma^(m-1)bA)(aI)+(ma^(m-1)bA)(bA)` `+(ma^(m-1)bA)(aI)+(ma^(m-1)bA)(bA)` `implies(aI+bA)^(m+1)=(a^(m)a)(I.I)+a^(m)b(IA)` `+ma^(m)b(AI)+ma^(m-1)b^(2)(AA)` `implies(aI+bA)^(m+1)=a^(m+1)I+a^(m)bA+ma^(m)bA` `+ma^(m-1)b^(2)A^(2)` `[ :’ IA=AI=A,I.I=I]` `implies(aI+bA)^(m+1)=a^(m+1)I+(ma^(m)b+a^(m)b)A+ma^(m-1)b^(2)A^(2)` `implies(aI+bA)^(m+1)=a^(m+1)I+(m+1)a^(m)bA+ma^(m-1)b^(2)O` `[:’ A=[(0,1),(0,0)]impliesA^(2)=[(0,1),(0,0)][(0,1),(0,0)]=[(0,0),(0,0)]` `implies(aI+bA)^(m+1)=a^(m+1)I+(m+1)a^(m)bA` स्पष्टतः परिणाम `n=m+1` के लिए सत्य है अतएव गणितीय आगमन के सिद्धांत से प्रत्येक `n epsilonN` के लिए सत्य है। |
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| 25. |
मान लीजिए कि `A=[{:(0,1),(0,1):}]` हो तो दिखाइए कि सभी `n in N` के लिए `(al+bA)^(n)=a^(n)I+na^(n-1)bA`, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है । |
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Answer» यहाँ `A=[{:(0,0),(0,1):}]` माना `P(n):(al+bA)^(n)=a^(n)I+na^(n-1)bAn=1` के लिये, `P(1)=(al+bA)^(1)=a^(1)*I+1*a^(1-1)*bA=al+bA` जो सत्य है । `thereforeP(n),n=1` के लिये सत्य है । `thereforeP(k):(al+bA)^(k)=a^(k)I+ka^(k-1)bA` . . . (1) n = k +1 के लिये, `P(k+1):(al+bA)^(k+1)=(al+bA)^(k)*(al+bA)` `=(a^(k)I+ka^(k-1)bA)*(al+bA)` समीकरण (1) से `=a^(k)+1I+a^(k)IbA+ka^(k)bAI+ka^(k-1)b^(2)A^(2)` `=a^(k+1)I+a^(k)bA+ka^(k)bA+0` `{because a^(2)=[{:(0,1),(0,0):}][{:(0,1),(0,0):}]=[{:(0,0),(0,0):}]=0}` `=a^(k+1)I+(k+1)a^(k)bA` `rArrP(n),n=k+1` के लिये भी सत्य है । अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से P(n),n के सभी प्राकृतिक मानों के लिये सत्य है । |
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| 26. |
आव्यूह `A=[{:(2,5,19,-7),(35,-2,(5)/(2),12),(sqrt(3),1,-5,17):}]`, के लिये ज्ञात कीजिए : (i) आव्यूह की कोटि (ii) अवयवों की संख्या (iii) अवयव `a_(13),a_(21),a_(33),a_(24),a_(23)` |
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Answer» (i) दिये आव्यूह में 3 पंक्तियों और 4 स्तम्भ हैं । `therefore` आव्यूहों की कोटि `=3xx4` (ii) अवयवों की संख्या `=3xx4=12` (iii) `a_(13)=19,a_(21)=35,a_(33)=-5,a_(24)=12,a_(23)=(5)/(2)` |
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| 27. |
आव्यूह A = `[{:(2,,5,,19,,-7), (35,,-2,,(5)/(2),,12), (sqrt3,,1,,-5,,17):}] `, के लिए ज्ञात कीजिए : (i) आव्यूह की कोटि (ii) अवयवों की संख्या (iii) अवयव `a_(13), a_(21), a_(33), a_(24), a_(23)` |
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Answer» Correct Answer - (i) `3xx4` (ii) 12 (iii) `19,35,-5, 12,(5)/(2)` |
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| 28. |
यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं , तो इसकी सम्भव कोटियाँ क्या हैं ? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा ? |
| Answer» यदि आव्यूह में 18 अवयव हैं तो आव्यूह की सम्भव कोटियाँ `1xx18,2xx9,3xx6,6xx3,9xx2,18xx1` यदि आव्यूह में 5 अवयव हैं तो आव्यूह की सम्भव कोटियाँ `1xx5,5xx1` | |
| 29. |
यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी सम्भव कोटियाँ क्या हैं ? यदि इसमें 13 अवयव हों , तो कोटियाँ क्या होंगी? |
| Answer» यदि आव्यूह में 24 अवयव हैं तो आव्यूह की सम्भव कोटियाँ `1xx24,2xx12,3xx8,4xx6,6xx4,8xx3,12xx2,24xx1` यदि आव्यूह में 13 अवयव हैं तो आव्यूह की सम्भव कोटियाँ `1xx13,13xx1` | |
| 30. |
यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव है तो इसकी संभव कोटियां क्या हैं ? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी ? |
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Answer» Correct Answer - `1xx 24, 2xx 12, 3xx 8, 4xx 6, 6xx4, 8xx 3, 12xx2, 24xx 1; 1xx 13, 13xx1` |
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| 31. |
x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूह निम्नलिखित युग्म समान हैं ? `[{:(3x+7,5),(y+1,2-3x):}],[{:(0,y-2),(8," "4):}]`A. `x=(-1)/(3),y=1`B. ज्ञात करना सम्भव नहीं हैC. `y=7,x=(-2)/(3)`D. `x=(-1)/(3),y=(-2)/(3)` |
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Answer» Correct Answer - b माना `[{:(3x+7,5),(y+1,2-3x):}]=[{:(0,y-2),(8," "4):}]` `therefore3x+7=0rArrx=-(7)/(3)` `5=y-2rArry=7` `y+1=8rArry=7` `2-3x=4rArrx=(-2)/(3)` x के दोनों मान समान नहीं हैं| अतः x और y ज्ञात करना सम्भव नहीं है । |
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| 32. |
यदि `A=[(1,0),(-1,7)]` और `I=[(1,0),(0,1)]` तब `k` का मान ज्ञात कीजिए जबकि `A^(2)=8A+kI`. |
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Answer» यहां `A=[(1,0),(-1,7)]` `:.A^(2)=A.A=[(1,0),(-1,7)][(1,0),(-1,7)]=[(1,0),(-8,49)]` और `8A+kI=8[(1,0),(-1,7)]+k[(1,0),(0,1)]` `[(8,0),(-8,56)]+[(k,0),(0,k)]=[(8+k,0),(-8,56+k)]` `:.A^(2)=8A+kI` brgt `=[(1,0),(-8,49)]=[(8+k,0),(-8,56+k)]` `implies1=8+k` और `56+k=49impliesk=-7` |
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| 33. |
K का मान इस प्रकार ज्ञात कीजिये की `A^(2)=8A+KI`, जहाँ `A=[(1,0),(-1,7)]` |
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Answer» दिया है- `A=[(1,0),(-1,7)]` इस प्रकार `A^(2)=A.A=[(1,0),(-1,7)].[(1,0),(-1,7)]` `=[(1-0,0+0),(-1-7,0+49)]=[(1,0),(-8,49)]` एवं `8A+KI=8[(1,0),(-1,7)]+K[(1,0),(0,1)]` `=[(8,0),(-8,56)]+[(K,0),(0,K)]` `=[(8+K,0),(-8,56+K)]` अब, `A^(2)=8A+KI` `implies [(1,0),(-8,49)]=[(8+K,0),(-8,56+K)]` दोनों पक्षों के संगत अवयवों की तुलना करने पर `8+K=1` `56+K=49` `implies K=-7` |
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| 34. |
आव्यूह विधि से निम्न समीकरण निकाय को हल कीजिए - ` " " x+ y+ z=9 ,2x + 5y +7z =52,2 x + y-z =0` |
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Answer» Correct Answer - ` therefore x=1 ,y=3 ,z=5` |
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| 35. |
आव्यूह विधि से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए- ` " " 4x+ 3y +2z =60` ` " "x+ 2y +3z =45` ` " "6x +2 y +3z =70` |
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Answer» Correct Answer - `rArr x= 5 ,y=18 ` और ` z=8` |
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| 36. |
यदि ` A =[{:( 3,3,5),( 4,4,4) :}]` तथा ` [{:( -3,4),(2,-5) ,(1,1) :}]` हो ,तो AB का मान ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - ` = [{:( 2,2),( 0,0):}]` |
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| 37. |
यदि ` A = [1,2,3] ` और ` B= [{:(4),(5),(6) :}]` हो तो AB तथा BA का मान ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - ` rArr " " BA =[{:( 4,8,12),( 5,10,15) ,( 6,12,18) :} ] _ (3xx3) ` |
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| 38. |
x, y, z तथा a ज्ञात करो, जिनके लिए `[(x+3,2y+x),(z-1,4a-6)]=[(0,-7),(3,2a)]` |
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Answer» ज्ञात है `[(x+3,2y+x),(z-1,4a-6)]=[(0,-7),(3,2a)]` `{:(x+3=0,implies,x=-3),(2y+x=-7,implies ,y=-2),(z-1=3,implies ,z=4),(4a-6=2a,implies,a=3):}` |
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| 39. |
यदि `[(3x-2,4y-8),(z-2, a+11)]=[(10,8),(11,9)]` हो तो x ,y ,z तथा a का मान बताओ। |
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Answer» संगत अवयवों की तुलना करने पर `{:(3x-2=10,implies,x=4),(4y-8=8,implies,y=4),(z-2=11,implies,z=13),(a+11=9,implies,a=-2):}` |
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| 40. |
यदि `A=[(2,3,-1),(0,-1,5)]` तथा `B=[(1,2,-6),(0,-1,3)]` तब (i) `5A+2B` (ii) `3A-4B` का मान बताओ। |
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Answer» (i) `5A=5[(2,3,-1),(0,-1,5)]=[(10,15,-5),(0,-5,25)]` तथा `2B=2[(1,2,-6),(0,-1,3)]=[(2,4,-12),(0,-2,6)]` `5A+2B=[(10,15,-5),(0,-5,25)]+[(2,4,-12),(0,-2,6)]` `=[(12,19,-17),(0,-7,31)]` (ii) `3A=3 [(2,3,-1),(0,-1,5)]=[(6,9,-3),(0,-3,15)]` तथा `4B=4[(1,2,-6),(0,-1,3)]=[(4,8,-24),(0,-4,12)]` `3A-4B=[(6,9,-3),(0,-3,15)]-[(4,8,-24),(0,-4,12)]` `=[(2,1,21),(0,1,3)]` |
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| 41. |
यदि `A=[(2,-1),(3,2)]` तथा `B=[(0,4),(-1,7)]` तब `(3A^(2)-2B+I)` का मान ज्ञात कीजिये। |
| Answer» Correct Answer - `[(4,-20),(38,-10)]` | |
| 42. |
यदि `A=[{:(1,3),(-2,4):}]` और `B=[{:(3,0),(-1,2):}]` तो 5A-2B का मान ज्ञात कीजिए | |
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Answer» `5A=5[{:(1,3),(-2,4):}]=[{:(5,15),(-10,20):}]` और `2B=2[{:(3,0),(-1,2):}]=[{:(6,0),(-2,4):}]` `therefore5A-2B=[{:(5,15),(-10,20):}]-[{:(6,0),(-2,4):}]` `=[{:(5-6,15-0),(-10+2,20-4):}]=[{:(-1,15),(-8,16):}]` |
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| 43. |
यदि `A=[(cos^(2) alpha,sin^(2) alpha),(cos alpha,sin alpha)]` तथा `B=[(sin^(2) alpha,cos^(2) alpha),(sin alpha,cos alpha)]` हैं, तो `(A+B)` ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `[(1,1),(cos alpha+sin alpha,cos alpha+sin alpha)]` | |
| 44. |
यदि ` A = [{:( 2,3,4),( -1,2,-3):}]` और ` B = [{:( -3,5),( 1,-4),( 2,1) :}]` हो, तो AB तथा BA का मान ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - ` [{:( -11, 1,-27),( 6,-5,16) ,( 3,8,5) :}]` |
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| 45. |
यदि ` [{:( 4,3) ,( x,5) :}] =[{:( y,z) ,( 1,5) :}]` तब ` x,y,z` के मान ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - ` therefore 31` एक अदिश आव्यूह होगा| |
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| 46. |
निम्नलिखित को सरल कीजिये- `cos theta [(cos theta,sin theta),(-sin theta,cos theta)]+sin theta[(sin theta,-cos theta),(cos theta,sin theta)]` |
| Answer» Correct Answer - `[(1,0),(0,1)]` | |
| 47. |
सरल कीजिए, ` cos theta [{:( cos theta,, sin theta ), (-sin theta,, cos theta ):}] + sin theta [ {:(sin theta ,, - cos theta ), (cos theta ,, sin theta ):}]` |
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Answer» Correct Answer - `[{:(,1,0),(,1,1):}]` |
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| 48. |
सरल कीजिए- `cos theta[(cos theta, sin theta),(-sin theta, cos theta)]+sin theta [(sin theta, -cos theta),(cos theta, sin theta)]` |
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Answer» यहां `cos theta[(cos theta, sin theta),(-sin theta, cos theta)]+sin theta [(sin theta, -cos theta),(cos theta, sin theta)]` `=[(cos^(2)theta, cos theta sin theta),(-cos theta sin theta,cos^(2)theta)]` `+[(sin^(2) theta, -sin theta cos theta),(sin theta cos theta, sin^(2) theta)]` `=[(cos^(2) theta+sin^(2) theta, sin theta cos theta -sin theta cos theta),(-sin theta cos theta+sin theta cos theta,cos^(2) theta+sin^(2) theta)]` `=[(1,0),(0,1)]` |
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| 49. |
सरल कीजिए| ` cos theta |{:( cos theta , sintheta ),(-sin theta , costheta ):}| +sin theta |{:( sin theta ,-costheta ),( cos theta , sin theta ):}|` |
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Answer» Correct Answer - `cos theta + sin theta` |
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| 50. |
सरल कीजिए : `costheta[{:(costheta,sintheta),(-sintheta,costheta):}]+sintheta[{:(sintheta,-costheta),(costheta,sintheta):}]` |
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Answer» `costheta[{:(costheta,sintheta),(-sintheta,costheta):}]+sintheta[{:(sintheta,-costheta),(costheta,sintheta):}]` `=[{:(cos^(2)theta,sinthetacostheta),(-sinthetacostheta,costheta):}]+[{:(sin^(2)theta,-sinthetacostheta),(sinthetacostheta," "sin^(2)theta):}]` `=[{:(cos^(2)theta+sin^(2)theta,sinthetacostheta-sinthetacostheta),(-sinthetacostheta+sinthetacostheta," "cos^(2)theta+sin^(2)theta):}]` `[{:(1,0),(0,1):}]` |
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