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1.

ताश के 52 पत्तो की एक गड्डी में से एक पत्ता यादचया निकला जाता है। माना कि इ : निकला गया पत्ता काला पान है F : निकला गया पत्ता एक्का है क्या घटनाएँ E और F स्वतंत्र है?

Answer» माना कि S प्रतिदर्श समष्टि है।
दिया है : E = निकले गए पत्ता के काला पान होने कि घटना
F = निकले गए पत्ता के एक्का होने कि घटना
तो `EnnF=` निकाले गए पत्ता के काला पान का एक्का होने की घटना
कुल पत्तो की संख्या = 52 काला पान की संख्या =13
एक्का की संख्या =4 काला पान की एक्का की संख्या =1
अब `n(S)=""^(52)C_(1)=52`
`n(E)=""^(13)C_(1)=13,n(F)=""^(4)C_(1)=4,n (EnnF)=1`
`thereforeP(EnnF)=(n(EnnF))/(n(S))=1/52`
`P(E)=(n(E))/(n(E))=(13)/(52)=1/4," "P(F)=(n(F))/(n(S))=4/52=1/13`
स्पष्टत: `P(EnnF)=P(E)। P(F)`
अतः E तथा F स्वतंत्र घटनाएँ है।
Discussion
2.

यदि E और फ इस प्रकार की घटनाएँ है कि `P(E)=0।6, P(F)=0।3` और `(and)P(EnnF)=0।2` तो (then find ) `P(E//F)` और `(and)P(F//E) ` निकाले ।

Answer» परिभाषा से, `P(E//F)=(P(EnnF))/(P(F))=(0.2)/(0.3)=2/3`
पुनः `P(F//E)=(P(EnnF))/(P(E))=(0.2)/(0.6)=2/6=1/3.`
Discussion
3.

A `60 %` स्थितियों में सत्य बोलता है तथा `B, 90%` स्थितियों में सत्य बोलता है एक ही तथ्य में दोनों में विरोधाभास होने की प्रतिशतता है ?

Answer» यहाँ यादृच्छ प्रयोग है : एक ही तथ्य के बारे में A और B का कथन
`E=A` के सत्य बोलने की घटना
तथा `F=B` के सत्य बोलने की घटना
तो `P(E)=(60)/(100)=3/5` तथा `P(F)_=(90)/(100)=9/10.`
अभीष्ट प्रायिकता P (A और B के कथनो में विरोधाभास होने)
`=P(E barF`या `barEF)=P(E barF)+P(barEF)`
`=P(E)*P(barF)+P(barE)*P(F)`
`=P(E)*[1-P(F)]+[1-P(E)]*P(F)`
`=3/5(1-(9)/(10))+(1-(3)/(5))*(9)/(10)=(21)/(50)`
`therefore` अतः A और B में विरोधाभास होने की प्रतिशतता `=21/50xx100=42`
Discussion
4.

यदि E और F दो घटनाएँ इस प्रकार है कि `P(E)=3/5, P(F)=3/10` और `P(EnnF)=1/5.` का E तथा F स्वतंत्र है?

Answer» `P(E)*P(F)=3/5*3/10=9/50` तथा `P(EnnF)=1/5`
इस प्रकार `P(EnnF)ne P(E)*P(F)`
अतः E तथा F स्वतंत्र नहीं है।
Discussion
5.

यदि `(lf)P(A)=3/5, P(B)=1/5` और A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ है तो `P(AnnB)` ज्ञात कीजिए

Answer» चूँकि A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ है,
`thereforeP(A nnB)=P(A)P(B)=3/5*1/5=3/25`
Discussion
6.

यदि दो घटनाएँ A और B इस प्रकार है कि `P(A)=1/2,P(B)=1/3` तथा `P(AuuB)=2/3,` क्या A और B परस्पर स्वतंत्र घटनाएँ है ?

Answer» प्रायिकता के योग सिद्धांत से, `P(AuuB)impliesP(AnnB)=1/6`
स्पष्टत: `P(PnnB)=1/6=(1)/(2)।(1)/(3)=P(A)।P(B)`
`thereforeA` तथा B परस्पर स्वतंत्र घटनाएँ है।
Discussion
7.

यदि `(If) P(A)=6/11, P (B)=5/11` और (and)`P(AuuB)=7/11` तो ज्ञात कीजिए `(i)P(AnnB)" "(ii)P(A//B)" "(iii)P(B//A)`

Answer» (i ) प्रायिकता के योग प्रमेय से, `P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)`
`therefore(7)/(11)=(6)/(11)+(5)/(11)-P(AnnB)" "impliesP(AnnB)=1-(7)/(11)=(4)/(11)`
(ii) परिभाषा से, `P (A//B)=(P(AnnB))/(P(B))=(4//11)/(5//11)=4/5`
(iii) फिर `P (B//A)=(P(AnnB))/(P(B))=(4//11)/(6//11)=2/3.`
Discussion
8.

`P(AuuB)` ज्ञात कीजिए यदि `2P(A)=P(B)=5/13` और (and) `P(A//B)=2/5`

Answer» सूत्र से `P (A//B)=(P(AnnB))/(P(B))implies2/5=(P(AnnB))/(5//13)`
`implies2/5xx5/13=P(A nn B)" "impliesP(A nn B)=2/13`
अब प्रायिकता के योग प्रमेय से, `P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)`
`=P(A)+2 P(A)-P(AnnB)=3P(A)-P(AnnB)`
`=3xx(5)/(26)-(2)/(13)=(15-4)/(26)=(11)/(26).`
Discussion
9.

यदि `(If) P(A)=0.8, P(B)=0.5` और (and) `P(B//A)=0.4` तो ज्ञात कीजिए `(i) P(A nnB)" "(ii)P(A//B)" "(iii)P(AuuB)`

Answer» परिभाषा से,
`P(B//A)=(P(AnnB))/(P(A))implies0.4=(P(AuuB))/(0.8)impliesP(AnnB)=0.32`
(ii) पुनः `P (A//B)=(P(AnnB))/(P(B))=(0.32)/(5)=0.64`
(iii) प्रतिक्रिया के योग प्रमेय से, `P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)`
`therefore P(AuuB)=0.8+0.5-0.32=1.3-0.32=0.98`
Discussion
10.

A और B ऐसी घटनाएँ दी गई है जहाँ `P(A)=1/2, P(A uuB)=3/5` तथा `P(B)=p।` p का मान ज्ञात कीजिए यदि (i ) घटनाएँ परस्पर अपवर्जी है। (ii ) घटनाएँ स्वतंत्र है।

Answer» जब घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी हो, तो
`P(AuuB)=P(A)+P(B)`
`implies3/5=1/2+pimplies3/5-1/2=p implies 1/10=p`
(ii) जब घटनाएँ A और B स्वतंत्र हो, तो `P(AnnB)=P(A)P(B)" "...(1)`
अब प्रायिकता के योग प्रमेय में, `P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)`
`implies3/5=1/2+p-P(AnnB)impliesP(AnnB) impliesP(A nnB) =p+1/2 -3/5=p-1/10`
(i) से, `{:(p-1/10=1/2.p,implies=-p/2=1/10),(impliesp/2=1/10,thereforep=1/5):}`
Discussion
11.

थैला A में 5 सफ़ेद और 8 लाल गेन्द है थैला B में 7 सफ़ेद और 6 लाल गेन्द है तथा थैला C में 6 सफ़ेद और 5 लाल गेन्द है। एक गेन्द प्रत्येक थैले में यादृचया निकला जाता है। एक गेन्द प्रत्येक थैले से यादृचया निकला जाता है। सभी गेन्द के समान रंग के होने की प्रतिक्रिया ज्ञात करे।

Answer» `{:("गेन्द"," लाल"(R), "सफ़ेद"(R)),("थैलाA"," "8," "5),("थैला"B," "6," "7):}`
अब दो परस्पर अपवर्जी स्थितियाँ है।
Case I जब प्रत्येक थैले से निकला गया गेन्द लाल रंग का हो :
इस स्थिति में प्रायिकता `=(8)/(8+5)xx(6)/(6+7)xx(5)/(5+6)`
`=8/13xx6/13xx5/11=(240)/(1859)" "...(1)`
Case II.जब प्रत्येक ठेलो से निकला गया गेन्द सफ़ेद रंग का हो :
इस स्थिति में प्रायिकता `=(5)/(8+5)xx(7)/(6+7)xx(6)/(5+6)`
`=5/13xx7/13xx6/11=(210)/(1859)" "...(2)`
(1 ) तथा (2 ) से,
अभीष्ट प्रायिकता `=(240)/(1859)+(210)/(1859)=(450)/(1859).`
Discussion
12.

यदि `(If) P(B)=1/3` तथा `(and) P (A nnB)=1/4` तो (then find ) P (A /B ) ज्ञात करे।

Answer» `P(A//B)=(P(AnnB))/(P(B))=((1)/(4))/((1)/(3))=3/4`
Discussion
13.

एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और सभी आठ अपरिणामो को सम-समभावी माना जाता है। यदि E और F घटनाएँ इस प्रकार हो कि E : पहले उछाल में चित आने कि घटना तथा F : अंतिम उछाल में पैट आने कि घटना। दिखाएँ कि E और F स्वतंत्र घटनाएँ है।

Answer» यहाँ यादृच्छ प्रयोग है : एक सिक्के को तीन बार उछालना माना कि S = प्रतिदर्श (sample space ) है।
तो `{HHH, HHT, HTH, THH, HT T, THT, T T T}`
`therefore n(S)=8`
पुनः `E={HHH, HHT, HTH, HT T}" "thereforen(E)=4`
तथा `F={HHT, HT T, THT,T T T}" "thereforen(F)=4`
स्पष्टत: `E nnF={HHT, HT T}" "thereforen(EnnF)=2`
अब `P(EnnF)=(n(EnnF))/(n(S))=2/8=1/4`
`P(E)=(n(E))/(n(S))=4/8=1/2` तथा `P(F)=(n(F))/(n(S))=4/8=1/2`
स्पष्टत: `P(E nnF)=1/4=P(E)*P(F)`
अतः E और F स्वतंत्र घटनाएँ है।
Discussion
14.

A और B बारी-बारी से एक सिक्का उछालते है जब तक उनमे से कोई एक चित प्राप्त कर खेल को जीत नहीं लेता। यदि A खेल शुरू तो B के जितने जितने कि प्रायिकता ज्ञात करे।

Answer» माना कि E = A के चित प्राप्त करने की घटना
तथा F = B के चित प्राप्त करने की घटना
`P(E)=1/2,P(F)1/2,P(barE)=1-1/2=1/2=P(barF)`
चूँकि A खेल शुरू करता है, इसलिए B खेल जीतेगा यदि वह दूसरे या चौथे या छठे उछाल में चित प्राप्त करे
`therefore P(B ` जीतता है) `=P(barEF or bar E barFbarEF` या `barEbarFbarFbarEF`या)
`=P(barEF)+P(barEbarF barEF)+P(barEbarFbarEbarFbarEF)+...`
`=P(barE)P(F)+P(barE)P(barF)P (barE)P(F)`
`+P(barE)P (barF)P(barE)P(barF)P(barE)P(F)+...`
`=1/2xx1/2+1/2xx1/2xx1/2+1/2xx1/2xx1/2xx1/2xx1/2xx1/2xx1/2+...`
(यह एक अनन्त श्रेणी (G P ) है जिसके लिए `a=1/4` तथा `r=1/4`
`=((1)/(4))/(1-(1)/(4))=1/3.`
Discussion
15.

एक पासे को दो बार फेका जाता है तथा ऊपर आए संख्याओं का योगफल 8 पाया जाता है। संख्या 5 के कम-से-कम एक बार आने कि सप्रतिबन्धित प्रायिकता क्या है।

Answer» माना कि A = संख्या 5 के कम-से-कम एक बार आने कि घटना
B= आये अंको का योगफल 8 होने की घटना
तो `A={(5,1), (5,2), (5,3),(5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5),(3,5), (4,5),(6,5)}`
तथा `B={(2,6), (3,5),(4,4), (5,3), (6,2)}`
`therefore A nnB={(3,5), (5,3)}`
`thereforeP (A)=(11)/(36),P(B)=(P(AnnB))/(P(B))=(2//36)/(5//36)=2/5.`
Discussion
16.

एक वर्ग में `30 %` विधार्थी अंग्रेजी में फेल होते है `20 %` विधार्थी हिंदी में फेल होते है तथा `10 %` विधार्थी अंग्रेजी और हिंदी दोनों में फेल होते है । एक विधार्थी यादृच्छया चुना जाता है, तो उसके अंग्रेजी में फेल होने की क्या प्रायिकता है यदि वह हिंदी में फेल है?

Answer» यहाँ यादृच्छ प्रयोग एक विधार्थी को चुनना है:
माना कि S = प्रतिदर्श समिष्टि (sample space )
A = चुने गए विधार्थी के अंग्रेजी में फेल होने कि घटना
तथा B = चुने गए विधार्थी के हिंदी में असफल होने कि घटना
तो `A nn B =` चुने गए विधार्थी के अंग्रेजी तथा हिंदी दोनों में असफल होने कि घटना माना कि `n(S)=100,` तथा `n(B)=20` तथा `n(AnnB)=10`
`thereforeP (B)=(n(B))/(n(S))=(20)/(100)=1/5`
तथा `P(AnnB)=(n(AnnB))/(n(S))=(10)/(100)=1/10`
`therefore` अभीष्ट प्रायिकता `P (A//B)=(P(AnnB))/(P(B))=((1)/(10))/((1)/(5))=1/2`
Second method : `P(A//B)=(n(AnnB))/(n(B))=(10)/(20)=1/2`
Discussion
17.

एक पासे को फेकने पर विषम संख्या ऊपर आती है, तो उसके 1 से बड़ी होने कि प्रायिकता क्या है?

Answer» एक पासे को फेकने पर माना कि S = प्रतिदर्श समिष्ट
A= पासे पर विषम संख्या के आने कि घटना
B= पाए पर 1 से बड़ी संख्या के आने कि घटना
तो `S={1,2,3,4,5,6}`
`A={1,3,5},B={2,3,4,5,6}" "therefore A nnB={3,5}`
`therefoe n(A)=3, n (A nnB)=2` तथा `s(S)=6`
अब `P(A)=(n(A))/(n(S))=3/6=1/2, P (AnnB)=2/6=1/3`
सूत्र से B के घटने कि प्रतिक्रिया जब A घटित हो चुकी है,
`P (B//A)=(P(AnnB))/(P(A))=((1)/(3))/((1)/(2))=2/3`
Second method : `P(B//A)=(n(AnnB))/(n(A))=2/3`
Discussion
18.

दो पासो को फेका जाता है। पहले पर एक विषम संख्या तथा दूसरे पर 3 का अपवर्त आने की प्रायिकता ज्ञात करे।

Answer» माना कि A = पहले पास पर एक विषम संख्या के आने की घटना तथा B= दूसरे पास पर 3 का अपवर्त आने की घटना।
तो `A={1,3,5}` तथा `B={3,6}`
`thereforeP(A)=3/6=1/2` तथा `P(B)=2/6=1/3`
अब अभीष्ट प्रायिकता `=P(AmmB)=P(A)*P(B)[becauseA` तथा B स्वतंत्र घटनाएँ है]
`(1)/(2).(1)/(3)=(1)/(6)`
Discussion
19.

दो सिक्के उछाले जाते है। दो चित्त आने कि प्रायिकता क्या है यदि यह मालूम है कि कम-से-कम एक चित्त आता है।

Answer» माना कि जब दो सिक्के उछाले जाते है तो प्रतिदर्श समिष्टि S है।
माना कि A = दो चित्त आने कि घटना
तथा B = कम-से-कम एक चित्त आने की घटना
तो `S={(H,H), (H, T), (T, H), (T, T)}`
`A={(H, H)}` तथा `P(AnnB)=(n(AnnB))/(n(S))=1/4`
`therefore` अभीष्ट प्रायिकता `P(A//B)=(P(AnnB))/(P(B))=((1)/(4))/((3)/(4))=1/3`
Second method : `P(A//B)=(n(AnnB))/(n(B))=1/3`
Discussion
20.

यह दिया गया है कि दो पासो को फेकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न है। दोनों संख्याओं का योग 4 होने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना कि A = दोनों पासो को फेकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न होने कि घटना हो, तो
`A={(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),`
`(3,1),(3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),`
`(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1), (6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}`
`thereforen(A) =30`
माना कि B = दोनों पासो पर प्राप्त संख्याओं का योगफल 4 होने कि घटना तो `B={(1,3),(3,1)}`
स्पष्टत: `AnnB={(1,3), (3,1)}`
` thereforen(AnnB)=2`
अब `P(B//A)=(n(AnnB))/(n(A))=(2)/(30)=(1)/(15).`
Discussion