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1.

4kg पियाज 3kg गेहू 2kg चावल का मुल्ये 60 है 2kg पियाज 4kg गेहू और 6kg चावल का मुल्ये 90 है 6kg पियाज 2kg गेहू और 3kg चावल का मूल्य 70 है आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति kg ज्ञात कीजिएः

Answer» माना 1 kg प्याज का मूल्य = ₹ x
1 kg गेहूँ का मूल्य = ₹ y
1 kg चावल का मूल्य = ₹ z
प्रश्नानुसार ,
` 4x + 3y + 2z = 60 `
` 2x + 4y + 6z = 90 `
` 6x + 2y + 3z = 70 `
आव्यूह रूप है -
` AX = B `
जहाँ ` A = [{:( 4, 3 , 2 ) , ( 2, 4 , 6 ) , ( 6, 2 , 3 ) :}] , X = [{:(x ), (y ) , (z) :}], B = [{:(60) , ( 90) ,( 70):}] `
अब, ` |A| = |{:( 4,3 , 2 ) , ( 2, 4, 6 ) , ( 6, 2, 3 ) :}| `
`rArr |A| = 4 ( 12 - 12 ) - 3 ( 6 - 36 ) + 2 ( 4 - 24 ) `
` rArr |A| = 0 + 90 - 40 = 50 ne 0 `
` rArr A^( - 1 ) ` का अस्तित्व है |
अतः समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है -
` X = A^( - 1 ) B`.
माना A में ` a _ ( ij ) ` का सहखण्ड ` A _ (ij) ` है, तब
` A _ (11 ) = ( - 1 ) ^( 1 + 1 ) |{:(4, 6 ) ,( 2, 3 ) :}| = ( 12 - 12 ) = 0 `
` A _ ( 12 ) = ( - 1 ) ^( 1 + 2 ) |{:( 2, 6 ) , ( 6, 3 ) :}| = - ( 6 - 36 ) = 30 `
` A _ (13 ) = ( - 1 ) ^( 1 + 3 ) |{:( 2, 4 ) , ( 6, 2 ) :}| = ( 4 - 24 ) = -20 `
` A_ ( 21 )= ( - 1 ) ^( 2 + 1 ) |{:( 3, 2 ) , ( 2, 3 ) :}| = - ( 9 - 4 ) = - 5 `
` A _ (22 ) = ( - 1 ) ^( 2 + 1 ) |{:(4, 2 ) ,( 6, 3 ) :}| = ( 12 - 12 ) = 0 `
` A_ ( 23 ) = ( - 1 )^( 2 + 3 ) |{:( 4, 3 ) , ( 6, 2 ) :}| = - ( 8- 18) = 10 `
` A _ ( 31 ) = ( - 1 ) ^( 3 + 1 ) |{:( 3 , 2 ) , ( 4 , 6 ) :}| = (18 - 8 ) = 10 `
` A_ ( 32 ) = ( - 1 ) ^ ( 3 + 2 ) |{:(4, 2 ) , ( 2, 6 ) :}| = - ( 24 - 4 ) = - 20 `
` A_ (33 ) = ( - 1 ) ^( 3 + 3 ) |{:( 4 , 3 ) /( 2, 4 ) :}| = 16 - 6 = 10 `
` therefore (adj A ) = [{:( 0 , 30 , -20 ) , ( - 5, 0 , 10 ) , ( 10 , - 20, 10 ) :}] `
` rArr ( adj A ) = [{:( 0 , - 5, 10 ) ,( 30 , 0 , -20 ) , ( -20, 10 , 10 ) :}] `
` therefore A^( -1 ) = ( adj A ) /( |A| ) = ( 1 ) /( 50 ) [{:(0 , - 5 , 10 ) , ( 30 , 0 , - 20 ) , ( -20, 10 , 10 ) :}] `
चूँकि ` X = A^( - 1 ) B `
` rArr [{:( x ) , ( y ) , ( z ) :}] = ( 1 ) /( 50 ) [{:( 0 , -5, 10 ) ,( 30 , 0 , - 20 ) , ( -20 , 10 , 10 ) :}][{:( 60) ,(90),(70):}] `
`rArr [{:(x) ,( y ) , ( z) :}] = ( 1 ) /( 50 ) [{:( 0 - 450 + 700) , ( 1800 + 0 - 1400) , ( -1200 +900 + 700):}] `
` rArr [ {:(x ) , ( y ) , ( z ) :}] = ( 1 ) /( 50 ) [{:( 250) ,( 400) ,( 400) :}] = [{:( 5 ) , ( 8 ) , ( 8) :}] `
` rArr x = 5, y = 8 , z = 8 `
अतः 1 kg प्याज का मूल्य ₹ 5
1 kg गेहूँ का मूल्य ₹ 8
1 kg गेहूँ का मूल्य ₹ 8
Discussion
2.

5000 की धनराशि को क्रमश: 6%, 7% और 8% प्रतिवर्ष बियाज की दर से तीन भागो में निवेश किया जाता 358 है। प्रतिवर्ष कुल बियाज से आय है। यदि प्रथम दो निवेश से प्राप्त बियाज, तीसरी निवेश के बियाज का 70 अधिक है, तो प्रत्येक निवेश की धनराशि आव्यूह विधि से ज्ञात कीजिएः।

Answer» माना ₹ x, ₹ y व ₹ z क्रमशः 6%, 7% व 8% वार्षिक ब्याज दर से निवेश की गई राशियाँ है , तब
प्रश्नानुसार,
कुल निवेश = ₹ 5000
अब ₹ x के निवेश से ब्याज = ₹ ` ( 6x ) / (100) `
₹ y के निवेश के ब्याज = ₹ ` ( 7y ) /( 100) `
₹ z के निवेश से ब्याज = ₹ ` ( 8z ) /( 100) `
` therefore ` कुल वार्षिक ` = ₹ ((6x ) / (100) + ( 7y ) / (100) + ( 8z ) /(100)) `
` rArr ( 6x ) /(100) + ( 7y ) / (100) + + (8z ) / ( 100) = 358 " " [ because ` ब्याज से आय = ₹ 358 ]
` rArr 6x + 7y + 8z = 35800 ` और ` (6x ) / ( 100) + ( 7y ) / ( 100) = 70 + (8z ) / (100) `
` rArr 6x + 7y - 8z = 7000 `
अतः हमे निम्न समीकरण निकाय प्राप्त होता है -
` x + y + z = 5000`
` 6 x + 7y + 8z = 35800 `
` 6 x + 7y - 8z = 7000 `
समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर,
` [{:( 1, 1, 1 ) , ( 6, 7, 8) , ( 6, 7 , - 8) :}][{:( x) , ( y ) , ( z ) :}] = [{:(5000) , ( 35800) ,( 7000) :}] `
या ` AX = B `,
जहाँ `A = [{:(1, 1, 1 ) , ( 6, 7 , 8 ) , ( 6, 7, - 8 ) :}], X = [{:(x) , ( y ) , ( z ) :}] ` और ` B = [{:(5000 ), ( 35800) , ( 7000) :}] `
अब, `|A| = |{:( 1,1, 1 ) , ( 6, 7,8 ) , ( 6, 7 , - 8 ) :}| `
` = 1 ( - 56 - 56 ) - ( - 48 - 48 ) + ( 42 - 42 ) = - 16 ne 0 `.
` therefore A^( - 1 ) ` का अस्तित्व है और निकाय का हल है -
` X = A^( - 1 ) B `.
माना A में ` a _ ( ij ) ` का सहखण्ड ` A _ ( ij ) ` है , तब
`A _ (11 ) = ( - 1 ) ^( 1 + 1 ) |{:(7, 8 ) , ( 7, - 8 ) :}| = ( - 56 - 56 ) = - 112 `
` A _ (12 ) = ( - 1 ) ^ ( 1 + 2 ) |{:(6, 8 ) , ( 6, - 8 ) :}| = - ( - 48 - 48 ) = 96 `
` A _ ( 13 ) = ( - 1 ) ^( 1 + 3 ) |{:( 6, 7 ) , ( 6, 7 ) :}| = ( 42 - 42 ) = 0`
`A _ ( 21 ) = ( - 1 ) ^( 2 + 1 ) |{:( 1 , 1 ) ,( 7 , - 8 ) :}| = - ( - 8 - 7 ) = 15 `
` A _ ( 22 ) = ( - 1 ) ^( 2 + 2 ) |{:( 1,1 ) ,( 6, - 8 ) :}| = ( - 8 - 6 ) = - 14 `
` A _ ( 23 ) = ( - 1 ) ^( 2 + 3 ) |{:( 1 , 1 ) , ( 6, 7 ) :}| = - ( 7 - 6 ) = - 1 `
` A _ ( 31 ) = ( - 1 ) ^( 3 + 1 ) |{:( 1 , 1 ) , ( 7, 8 ) :}| = ( 8 - 7 ) = 1 `
` A _ ( 32 ) = ( - 1 ) ^( 3 + 2 ) |{:( 1 , 1 ) , ( 6, 8 ) :}| = - ( 8 - 6 ) = - 2 `
` A_ (33 ) = ( - 1 ) ^( 3 + 3 ) |{:( 1, 1 ) ,( 6, 7 ) :}| = ( 7 - 6 ) = 1 `
` therefore ( adj A ) =[{:( - 112, 96, 0 ) , ( 15, -14, - 1 ) , ( 1, - 2 , 1 ) :}] `
` rArr (adj A ) = [{:(-112, 15, 1 ) , ( 96, - 14, - 2 ) , ( 0 , - 1, 1 ) :}]`
` therefore A^( - 1 ) = ( adj A ) / ( | A| ) = - ( 1 ) /( 16 ) [{:( - 112, 15 , 1 ) , ( 96, - 14, - 2 ) , ( 0 , - 1, 1 ) :}]`
abhisht हल है -
` X = A^( - 1 ) B `
` rArr [{:(x), (y) , ( z ) :}] = - ( 1 ) /( 16 ) [{:( - 112, 15 , 1 ) , ( 96, - 14, - 2), ( 0 , - 1, 1 ) :}][{:(5000) , ( 35800) , ( 7000) :}] `
` rArr [{:(x) , ( y ) , ( z ) :}] = - ( 1 ) /( 16 ) [{:( - 56000 + 537000 + 7000) , ( 480000 - 501200 - 14000) , ( 0 - 35800 + 7000) :}] `
` rArr [{:( x) , ( y ) , ( z ) :}] = - ( 1 ) /( 16 ) [{:( - 16000) , ( - 35200) , ( - 28800) :}] `
` rArr [{:(x) , ( y ) , ( z ) :}] = [{:( 1000) , ( 2200) , ( 1800) :}] `
` rArr x = 1000 , y = 2200, z = 1800`
अतः तीन निवेश ₹ 1000, ₹ 2200 और ₹ 1800 है |
Discussion
3.

निम्नलिखित समघात समीकरण निकाय हो हल कीजिएः `2x+3y-z=0` x-y-2z=0 3x+y+3z=0

Answer» दिए गए समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में निम्नानुसार लिख सकते है
`[{:(,2,3,-1),(,1,-1,-2),(,3,1,3):}]=[{:(,0),(,0),(,0):}]`
`Rightarrow AX=O`
`"जहॉ A=|{:(,2,3,-1),(,1,-1,2),(,3,1,3):}|,X=[{:(,x),(,y),(,z):}],O=[{:(,0),(,0),(,0):}]`
`"अब "|A|=|{:(,2,3,-1),(,1,-1,-2),(,3,1,3):}|`
`Rightarrow |A|=2(-3+2)-3(3+6)-1(1+3)`
`Rightarrow |A|=-2-27-4=-33`
`Rightarrow |A|ne 0`
अंत: दिए गए समीकरण का केवल तुच्छ x=0, y=0, z=0 हल होगा|
Discussion
4.

दर्शाइए की संघात समीकरण निकाय x-2y+z=0, x+y-z=0 ,3x+6y-5z=0 का अच्छ हल है। साथ ही हल ज्ञात कीजिएः

Answer» दिए गए समघात निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर, `[{:(,1,-2,1),(,1,1,-1),(,3,6,-5):}],X=[{:(,x),(,y),(,z):}]`
या AX=O, जहॉ `A=[{:(,1,-2,1),(,1,1,-1),(,3,6,-5):}],X=[{:(,x),(,y),(,z):}]"और " O=[{:(,0),(,0),(,0):}]` अब `|A|=|{:(,1,-2,1),(,1,1,-1),(,3,6,-5):}|`
`=1(-5+6)+2(-5+3)+1(6-3)`
`1-4+3=0`
अंत: दिए गए समीकरण निकाय का अच्छ हल है यही सिद्ध करना था
हल ज्ञात करने के लिए प्रथम दो समीकरणों में z=k रखने पर और निमनुसार लिखने पर
x-2y=-k और x+y=k
या `[{:(,1,-2),(,1,1):}] [{:(,x),(,y):}] =[{:(,-k),(k):}]`
या AX=B, जहॉ `A=[{:(,1,-2),(,1,1):}], X=[{:(,x),(,y):}]" और "B=[{:(,-k),(,k):}]`
अब `|A|=|{:(,1,-2),(,1,1):}|=3 ne 0`, इसलिए `A^(-1)` का अस्तित्व है स्पष्ट `adj A=[{:(,1,2),(,-1,1):}]`
`therefore A^(-1)=1/|A|adj A=1/3[{:(,1,2),(,-1,1):}]`
अब `X=A^(-1)B`
`Rightarrow [{:(,x),(,y):}]=1/3[{:(,1,2),(,-1,1):}][{:(,-k),(,k):}] =[{:(,k/3),(,(2k)/(3)):}]`
`Rightarrow x=k/3,y=(2k)/(3)`
उपरोक्त x,y तथा z के मान तीसरे समीकरण को संतुष्ट करते है `therefore x=k/3 ,y=(2k)/(3)" और"z=k" जहॉ k कोई वास्तविक संख्या है "`
Discussion
5.

आव्यूह विधि के प्रयोग से निम्नलिखित समीकरण निकाय हो हल कीजिएः `(2)/(x)+(3)/(y)+(10)/(z)= 4` `(4)/(x)-(6)/(y)+(5)/(z)= 1` `(6)/(x)+(9)/(y)-(20)/(z)= 2,x,y,z,!= 0.`

Answer» माना `(1)/(x)=u, (1)/(y)=v,(1)/(z)=w,` तब
`2u+3v+10w= 4`
`4u-6v+5w= 1`
`6u+9v-20w= 2`
उपरोक्त समीकरण निकाय का आव्यूह रूप है
`AX=B.`
जहाँ `|A| =|{:(2,3,10),(4,-6,5),(6,9,-20):}|,X =[{:(u),(v),(w):}],B=[{:(4),(1),(2):}]`
अब `|A| =|{:(2,3,10),(4,-6,5),(6,9,-20):}|`
`Rightarrow""|A|= 2xx(120-45)-3(80-30)+10(36+36)`
`Rightarrow""|A| = 150+330+720= 1200`
`Rightarrow""|A| ne 0 "अर्थार्त A व्यक्रामणिये है"`
अंत: समीकरण निकाय संगत है और अद्वितीय हल निम्न है
`X= A^(-1)B .........(1)`
माना A में अवयव `a_(ij)` का सहखण्ड `A_(ij)` है तब
`A_11=(-1)^(1+1) |{:(,-6,5),(,9,-20):}|= (120-45)= 75`
`A_12=(-1)^(1+2) |{:(,4,-5),(,6,-20):}|= -(80-30)= 110`
`A_13=(-1)^(1+3) |{:(,4,-6),(,6,9):}|= -(36-36)= 72`
`A_21=(-1)^(2+1) |{:(,3,10),(,9,-20):}|= -(-60-90)= 150`
`A_22=(-1)^(2+2) |{:(,2,10),(,6,-20):}|= (-40-60)= -100`
`A_23=(-1)^(2+3) |{:(,2,3),(,6,9):}|= -(-18-18)= 0`
`A_31=(-1)^(3+1) |{:(,3,10),(,-6,5):}|= (15+60)= 75`
`A_32=(-1)^(3+2) |{:(,2,10),(,4,5):}|= -(10-40)= 30`
`A_33=(-1)^(3+3) |{:(,2,3),(,4,-6):}|= (-12-12)= -24.`
`:. adj A =[{:(75,110,72),(150,-100,0),(75,30,-24):}]^(,)`
`Rightarrowadj A =[{:(75,110,72),(150,-100,0),(75,30,-24):}]`
`:. A^(-1) =(adj A)/(|A|) =(1)/(1200)[{:(75,150,75),(110,-100,30),(72,0,-24):}]`
समी (1) से `[{:(u),(v),(w):}](1)/(1200)[{:(75,150,75),(110,-100,30),(72,0,-24):}][{:(4),(1),(2):}]`
`Rightarrow" "[{:(u),(v),(w):}](1)/(1200)[{:(300+150+150),(400-100+60),(288+0-48):}]`
`Rightarrow[{:(u),(v),(w):}]=(1)/(1200)[{:(600),(400),(240):}]` अवयवों की समानता से
`u=(600)/(1200)=(1)/(2), v=(400)/(1200)=(1)/(3), w=(240)/(1200)=(1)/(5)`
परतनु `(1)/(x)=u,(1)/(y)=v "और" (1)/(z)=w`
`Rightarrow(1)/(x)=(1)/(2)," "(1)/(y)=(1)/(3) "और " (1)/(z)=(1)/(5)`
`Rightarrow" "x=2, y=3 z=5.` यह अभीष्ट हल है
Discussion
6.

इन समीकरण निकाय का सांगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिएः x+3y=5, 2x+6y=8`

Answer» दिया गया समीकरण निकाय है
`x+3y+=5`
`2x6y=8`
इस निकाय का आव्यूह रूप है
`AX=B`
जहाँ `A=[{:(1,3),(3,6):}],X=[{:(x),(y):}],B=[{:(5),(8):}]`
अब `|A|=[{:(1,3),(2,6):}]=6-6=0.`
अंत: समीकरण निकाय सांगत या असंगत हो सकता है जबकि (adj A)B=0 या (adj A) B!=0.
माना अवयव `(aij)` का सहखण्ड `A_(ij)` है तब
`A_(11)=6, A_(12) =-2, A_(21) =-3, A_(22) =1`
`therefore" "adj A=[{:(6,-2),(-3,1):}]^(,)=[{:(6,-3),(-2,3):}]`
अब, `(adj A)B =[{:(6,-3),(-2,1):}][{:(5),(8):}]=[{:(30,-24),(-10,+8):}]=[{:(,6),(,-2):}]!=0.`
अंत: समीकरण निकाय असंगत है
Discussion
7.

सिद्ध कीजिएः की निम्नलिखित समीकरण निकाय संगत है `2x-y+3z= 5` `3x+2y-z= 7` `4x+5y-5z= 9` साथ ही हल ज्ञात कीजिएः

Answer» दिए गए समीकरण निकाय का अवव्यूह रूप है
`AX=B`
जहाँ `A=[{:(2,-1,3),(3,2,-1),(4,5,-5):}], X =[{:(x),(y),(z):}],B=[{:(5),(7),(9):}]`
अब `|A|=|{:(2,-1,3),(3,2,-1),(4,5,-5):}|`
`Rightarrow|A|=2(-10+5)=1(-15+14)+3(15-8)`
`Rightarrow|A|=-10-11+21`
`Rightarrow|A|= 0`
`RightarrowA` अव्युक्रमणीये है
अंत: दिया गया समीकरण निकाय संगत या असंगत हो सकता है जबकि, (adj A).b=0 या `(adj A).B ne 0`
`A_(11) =(-1)^(1+1)|{:(2,-1),(5,-5):}|= -(-10+5)= -5`
`A_(12) =(-1)^(1+2)|{:(3,-1),(4,-5):}|= -(-15+4)=11`
`A_(13) =(-1)^(1+3)|{:(3,2),(4,5):}|= 15-8= 7`
`A_(21) =(-1)^(2+1)|{:(-1,3),(5,-5):}|= -(5-15)= 10`
`A_(22) =(-1)^(2+2)|{:(2,3),(4,-5):}|= -10-12= 22`
`A_(23) =(-1)^(2+3)|{:(2,-1),(4,5):}|= -(10+4)= -14`
`A_(31) =(-1)^(3+1)|{:(-1,3),(2,-1):}|= (1-6)= -5`
`A_(32) =(-1)^(3+2)|{:(2,3),(3,-1):}|= -(-2-9)= 11`
`A_(33) =(-1)^(3+3)|{:(2,-1),(3,2):}|= (4+3)= 7`
`therefore" "(adjA)= [{:(-5,11,7),(10,-22,-14),(-5,11,7):}]`
`Rightarrow" "(adjA)=[{:(-5,10,-5),(11,-22,11),(7,-14,7):}]`
`therefore (adj A).B=[{:(,15,10,-5),(,11,-22,11),(,7,-14,7):}] [{:(,5),(,7),(,9):}]`
`therefore (adj A).B=[{:(,-25+70-45),(,55-154+99),(,35-98+63):}]`
`therefore (adj A).B=[{:(,0),(,0),(,0):}]`
`therefore (adj A).B=0`
अंत: दिया गया समीकरण निएक्य संगत है और अन्त हल है
अब प्रथम दो समीकरण में z=k रखने पर
2x-y+3k=5
या 2x-y=5-3k ....(1)
और 3x+2y-k=7
या 3x+2y=7+k .....(2)
समी और का अवव्यूह रूप है
`[{:(,2,-1),(,3,2):}][{:(,x),(,y):}]=[{:(,5-3k),(,7+k):}]`
या AX=B
जहाँ `A=[{:(,2,-1),(,3,2):}],X=[{:(,x),(,y):}], B=[{:(,5-3k),(,7+k):}]`
अब `|A|=|{:(,2,-1),(,3,2):}|=4+3=7 ne 0"इसलिए "A^(-1)` का अस्तित्व है और `adj A=[{:(,2,1),(,-3,2):]`
`therefore A^(-1) =("adj A")/|A|=1/7 [{:(,2,1),(,-3,2):}]`
अब `X=A^(-1)B`
`Rightarrow [{:(,x),(,y):}]=1/7 [{:(,2,1),(,-3,+2):}] [{:(,5-3k),(,7+k):}]`
`Rightarrow [{:(,x),(,y):}]1/7 [{:(,10-6k+7+k),(,-15+9k+2k+14):}]`
`Rightarrow [{:(,x),(,y):}]=[{:(,(17-5k)/(7)),(,(11k-1)/(7)):}]`
और `Rightarrow x=(17-5k)/(7) "और y=(11k-1)/(7)`
`therefore x=(17-5k)/(7), y=(11k-1)/(7),z=k`
उपरोक्त मनो को समीकरण में रखने पर
`4x+5y-5z=4 ((17-5k)/(7))+5((11k-1)/(7))-5k`
`=((68-20k)+(55k-5)-35k)/(7)`
`=(63)/(7)=9`
अंत: `x=(17-5k)/(7), y=(11k-1)/(7)" और " z=k` जहाँ कोई वास्तविक संख्या है
Discussion
8.

`[{:(-4,4,4),(-7,1,3),(5,-3,-1):}][{:(1,-1,1),(1,-2,-2),(2,1,3):}]` का गुणनफल ज्ञात कीजिएः तथा इसकी सहायता से समीकरण निकाय हो हल कीजिएः x-y+z=4 x-2y-2z=9 2x+y+3z=1

Answer» माना `B=[{:(,-4,4,4),(,-7,1,3),(,5,-3,-1):}]` और `A=[{:(,1,-1,1),(,1,-2,-2),(,2,1,3):}]`
`therefore BA=[{:(,-4,4,4),(,-7,1,3),(,5,-3,-1):}] [{:(,1,-1,1),(,1,-2,-2),(,2,1,3):}]`
`=[{:(,-4+4+8,4-8+4,-4-8+12),(,-7+1+6,7-2+3,-7-2+9),(,5-3-2,-5+6-1,5+6-3):}]` `=[{:(,8,0,0),(,0,8,0),(,0,0,8):}]`
`Rightarrow BA=8I`
`Rightarrow (1/8B)A=I`
`Rightarrow A^(-1)=1/8B` [प्रतिलोम आव्यूह की परिभाषा से]
`Rightarrow A^(-1)=1/8[{:(,-4,4,4),(,-7,1,3),(,5,-3,-1):}].......(1)`
दिए गए समीकरण निएक्य को आव्यूह रूप में लिखने पर
AX=C
जहॉ `A=[{:(,1,-1,1),(,1,-2,2),(,2,1,3):}],X=[{:(,x),(,y),(,z):}],C=[{:(,4),(,9),(,1):}]`
`X=A^(-1)C`
`Rightarrow [{:(,x),(,y),(,c):}]=1/8[{:(,-4,4,4),(,-7,1,3),(,5,-3,1):}] [{:(,4),(,9),(,1):}]`
`Rightarrow [{:(,x),(,y),(,c):}]=1/8[{:(,-16+36+4),(,-28+9+3),(,20-7-1):}]`
`Rightarrow [{:(,x),(,y),(,c):}]=1/8 [{:(,24),(,-16),(,-8):}]`
`Rightarrow [{:(,x),(,y),(,z):}]=[{:(,3),(,-2),(,-1):}]`
`Rightarrow x=3,y=-2, z=-1`
Discussion
9.

ज्ञात कीजिएः जहॉ `A=[{:(1,2,-3),(2,3,-3),(3,-3,-4):}]` `A^(-1)` ज्ञात कीजिये जहाँ इसकी सहायता से निम्न समीकरण निकाय हो हल कीजिएः x+2y-3z=-4 2x+3y+2z=2 3x-3y-4z=11.

Answer» यहाँ `A Rightarrow[{:(,x),(,y),(,z):}]=(1)/(67)[{:(24,+34,+143),(-56,+10,-88),(60,+18,-11):}]`
`Rightarrow[{:(,x),(,y),(,z):}]=(1)/(67)[{:(24,+34,+143),(-56,+10,-88),(60,+18,-11):}]=[{:(1,2,-3),(2,3,2),(3,-3,-4):}]`
`therefore|A|=|{:(1,2,-3),(2,3,2),(3,-3,-4):}|`
`Rightarrow|A|=1(-12+6)-2(-8-6)-3(-6-9)`
`Rightarrow|A|=-6+28+45=67`
`Rightarrow|A|ne 0`
`RightarrowA^(-1)` का अस्तित्व है
माना A में अवयव `a_(ij)` का सहखण्ड `A_(ij)` है तब `A_(11)=(-1)^(1+1)|{:(3,2),(-3,-4):}|=(-12+6)=-6`
`A_(12)=(-1)^(1+2)|{:(2,2),(3,-4):}|=-(-8-6)=14`
`A_(13)=(-1)^(1+3)|{:(2,3),(3,-3):}|=(-6-9)=-15`
`A_(21)=(-1)^(2+1)|{:(2,-3),(-3,-4):}|=-(-8-9)=17`
`A_(22)=(-1)^(2+2)|{:(1,-3),(3,-4):}|=(-4+9)=5`
`A_(23)=(-1)^(2+3)|{:(1,2),(3,-3):}|=(4+9)=13`
`A_(33)=(-1)^(3+3)|{:(1,2),(2,3):}|=(3-4)=-1`
`therefore(adjA)=[{:(-6,14,-15),(17,5,9),(13,-8,-1):}]`
`Rightarrow(adjA)=[{:(-6,17,13),(14,5,-8),(-15,9,-1):}]`
`thereforeA^(1)=(adj.A)/(|A|)=(1)/(67)[{:(-6,17,13),(14,5,-8),(-15,9,-9):}]" "...(1)`
दिया गया समीकरण निकाय है `x+2y-3z=-4`
`2x+3y-2z=-2`
`3x-3y-4z=11`
इस समीकरण निकाय का आव्यूह रूप है
जहॉ `A=[{:(1,2,-3),(2,3,2),(3,-3,-4):}],X=[{:(,x),(,y),(,z):}],B=[{:(,-4),(,2),(,11):}]`
`X=A^(-1)B`
`Rightarrow[{:(,x),(,y),(,z):}]=(1)/(67)[{:(-6,17,13),(14,5,-8),(-15,9,-9):}][{:(,-4),(,2),(,11):}]`
`Rightarrow[{:(,x),(,y),(,z):}]=(1)/(67)[{:(24,+34,+143),(-56,+10,-88),(60,+18,-11):}]`
`Rightarrow[{:(,x),(,y),(,z):}]=(1)/(67)[{:(,201),(,-134),(,67):}]`
`Rightarrow[{:(,x),(,y),(,z):}]=][{:(,3),(,-2),(,1):}],` [आव्यूह की समानता से]
`Rightarrowx=3,y=-2,z=1`
Discussion
10.

आव्यूह विधि से निम्नलिखित निकाय हो हल कीजिएः 2x+5y=1 3x+2y=7

Answer» दिए गए समीकरण निकाय का आव्यूह रूप है
`A X=B.`
जहाँ `A =[{:(2,5),(3,2):}],X =[{:(x),(y):}],B =[{:(1),(7):}]`
अब `|A|=|{:(2,5),(3,2):}|=4-15=-11`
`rarr |A| ne 0` अर्थार्त A व्यक्रामणिये है
अंत: समीकरण निकाय संगत है और द्वितीय हल निम्न है
`X=A^(-1)B` .....(1)
माना A में अवयव `a_(ij)` का सहखण्ड `A_(ij)` है तब
`A_(11) =2, A_(12), A_(21)=-5, A_(22) =2`
`:. adj A = [{:(2,-3),(-5,2):}]^(,)=[{:(2,-5),(-3,2):}]`
`:." "A^(-1) = (adj A )/(|A|)=-(1)/(11) [{:(2,-5),(-3,2):}]`
समी (1) से
`[{:(x),(y):}]=(-1)/(11) [{:(2,-5),(-3,2):}] [{:(1),(7):}]`
`Rightarrow" "[{:(x),(y):}]=(-1)/(11)[{:(2-35),(-3+14):}]`
`Rightarrow" "[{:(x),(y):}]=(-1)/(11)[{:(-33),(11):}]`
`Rightarrow" "[{:(x),(y):}] =[{:(3),(-1):}]`
`Rightarrow" "x=3, y=1`
`x=3 y=-1 `
अंत: x=3 और y=-1 अभीष्ट हल है
Discussion