InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
`(a_(1)+ib_(1))(a_(2)+ib_(2))=A+iB` तो सिद्ध कीजिए कि (i) `(a_(1)^(2)+b_(2)^(2))(a_(2)^(2)+b_(2)^(2))=A^(2)+B^(2)` (ii) `"tan"^(-1)(b_(1))/(a_(1))+"tan"^(-1)(b_(2))/(a_(2))="tan"^(-1)(B)/(A)` |
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Answer» (i) `(a_(1)+ib_(1))(a_(2)+ib_(2))=A+iB` `rArra_(1)a_(2)+ia_(1)b_(2)+ia_(2)b_(1)-b_(1)b_(2)=A+iB` `rArr(a_(1)a_(2)-b_(1)b_(2))+i(1_(1)b_(2)+a_(2)b_(1))=A+iB` `rArrA=a_(1)a_(2)-b_(1)*b_(2)` व `B=(a_(1)b_(2)+b_(1)a_(2))` अब, `A^(2)+B^(2)` में ये मान रखने पर |
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| 2. |
यदि `(a-ib)/(a+ib)=(1+i)/(1-i)`, तो सिद्ध कीजिए कि - a`+b=0` |
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Answer» `(a-ib)/(a+ib)=(1+i)/(1-i)rArr(a-ib)(a-i)=(a+ib)(1+i)` `rArra-i(a+b)=a+i(a+b)-b` `rArr(a-b)-i(a+b)=(a-b)+i(a+b)` `rArr2i(a+b)=0rArra+b=0` |
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| 3. |
निम्नलिखित संख्याओं का कोणांक ज्ञात कीजिए । (i) `sqrt(2)-sqrt(2)i` (ii) `(2+i)/(4i+(1+i)^(2))` (iii) `(1+i)/(1-i)` |
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Answer» Correct Answer - (i) `(7pi)/(4)` (ii) `2pi-tan^(-1)2` (iii) `(pi)/(2)` (iii) `(1+i)/(1-i)=((1+i)(1+i))/((1-i)(1+i))=(1-1+2i)/(2)=i` `a+ib` के साथ तुलना करने पर `a=0,b=1` तब `tantheta=(b)/(a)=(1)/(0)=oo rArrtheta=(pi)/(2)` |
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| 4. |
यदि ` 1- i, -2 + 4i ` क्रमशः ` z _ 1 ` और ` z _ 2 ` है तो ` Im ( ( z _ 1 z _ 2 ) /(barz _ 1 )) ` ज्ञात कीजिये | |
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Answer» ` ( z _ 1 z _ 2 ) /(bar z _ 1) = ( ( 1 - i) ( - 2 + 4i) ) /( 1+i) = ( - 2 + 2i + 4i + 4 ) /( 1 + i) ` `= ((2+6i)(1-i))/( 1 - i^ 2 ) = ( 2 + 6i -2i+6)/( 2 ) = ( 8 + 4i ) /( 2 ) = 4 + 2i ` ` therefore Im ( (z _ 1 z _ 2 ) /( bar z _ 1 ) ) = 2`. |
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| 5. |
` ( 1 ) / ( 1 - cos theta + 2 i sin theta ) ` को ` a + ib ` के रूप में व्यक्त कीजिये | |
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Answer» ` ( 1 ) /( 1 - cos theta + 2 isin theta ) ` ` = ( 1 ) /( 1 - cos theta + 2i sin theta )* (( 1 - cos theta - 2i sin theta )) /( ( 1 - cos theta -2i sin theta)) ` ` = ( 1 - cos theta - 2i sin theta ) /( ( 1 - cos theta ) ^ 2 + 4 sin ^ 2 theta ) ` ` ( 2 sin ^ 2 "" ( theta ) /(2 ) - 2i. 2 sin "" ( theta ) /(2) cos "" ( theta ) /(2 ) )/( ( 2 sin ^ 2 "" ( theta ) /(2) ) ^ 2 + 4 ( 2 sin "" ( theta ) /(2) cos "" ( theta ) /(2) )^ 2 ) = ( 2 sin ^ 2 "" ( theta ) / ( 2) ( 1 - 2i cot""( theta ) / (2)) ) / ( 2 sin^ 2 "" ( theta ) /(2) ( 2 sin ^ 2 "" ( theta ) /(2) + 8 cos^ 2 "" ( theta ) /(2)) ) ` ` = ( 1 -2i cot"" ( theta ) / ( 2)) /( 2 ( sin ^2 "" ( theta ) /(2) + cos ^ 2 "" ( theta ) / (2) ) + 6 cos^ 2 ""( theta ) / ( 2 )) = ( 1 - 2 i cot"" ( theta ) /(2)) /( 2 + 3 ( 1 + cos theta )) ` ` = ( 1 - 2i cot"" ( theta ) / ( 2 ) ) /( 5 + 3 cos theta ) = ( 1 ) /( 5 + 3 cos theta ) - i ( 2 cot"" ( theta ) /(2))/( 5 + 3 cos theta ) ` |
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| 6. |
` ((1)/(1 - 2 i ) + ( 3 ) /( 1 + i ) ) ( ( 3 + 4i)/(2 - 4i)) ` को A + iB के रूप में लिखिए | |
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Answer» ` (( 1 )/( 1- 2i ) + (3 ) /( 1 + i)) (( 3 + 4i ) /( 2 - 4i)) = ( 1 + i + 3 ( 1 - 2i ) ) /( ( 1 - 2i ) ( 1 + i )) (( 3 + 4i )/( 2 - 4i )) ` ` =(( 4 -5i) ( 3 + 4i ) ) /( (1 -i - 2i ^ 2 ) ( 2 - 4i )) = (12 + i -20 i ^ 2 ) /( (3 - i ) ( 2 - 4i )) = ( 32 + i ) / ( 6 - 14i + 4 i ^ 2 ) ` ` = ((32 + i) /( 2 - 14 i )) (( 2 + 14 i ) /( 2 + 14 i ) ) = ( 64 + 450i + 14 i ^ 2 ) /( 2 ^ 2 + 14 ^ 2 ) = ( 50 + 450 i ) /( 200) = ( 1 ) /( 4 ) + ( 9) /( 4) i `. |
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| 7. |
` ( ( 1 + i ) ^ 3)/( 4 + 3i) ` को ` a + i b ` के रूप में व्यक्त कीजिये | |
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Answer» ` ((1 + i) ^ 3 )/( 4 + 3 i ) = (1 ^ 3 + 3. 1 ^ 2 . i + 3 . 1 + i ^ 2 + i ^ 3 ) /( 4 + 3i ) = ( 1 + 3i - 3 - i ) /( 4 + 3i ) ` ` = ( - 2 + 2 i ) /( 4 + 3 i ) = (( - 2 + 2 i ) ( 4 - 3 i ) ) /( ( 4 + 3i ) ( 4 - 3i)) ` ` = ( - 8 + 8i + 6i - 6i ^ 2 ) /( 4 ^ 2 - 9 i^ 2 ) = ( - 2 + 14 i ) /( 25 ) = - ( 2 ) /( 25 ) + i ( 14 ) /( 25 ) ` |
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| 8. |
` 7- 30sqrt ( - 2 ) ` का वर्गमूल निकालिये | |
| Answer» `{:( 7 - 30 sqrt(-2)=7-30sqrt(2i) ),( = 5^ 2 (3sqrt2i)^2 - 2.5.3 sqrt2i ) ,( = (5-3sqrt2i)^2 ) ,( therefore sqrt(7-30sqrt(-2)) = pm ( 5-3sqrt2i) ) , ( ):} :| {:("Rough" = (30sqrt2)/(2) = 15sqrt2) , ( 3"," 5 sqrt2 to 3i"," 5sqrt2 to 9 i ^ 2 + 50 = 41 ) , ( 5"," 3sqrt2 to 3sqrt2i "," 5 to 25 + 18 i^2 = 7 ) , (1"," 15 sqrt2to 1"," 15 sqrt2i ):}` | |
| 9. |
निकालिये ` sqrti + sqrt ( - i ) ` |
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Answer» `{:(i = 0 + i = ( 1 ) / ( 2 ) ( 0 + 2i ) ) , ( = ( 1 ) / (2 ) ( 1^ 2 + i ^ 2 + 2i ) = ( 1 ) /(2) ( 1 + i) ^ 2 ) , ( therefore sqrti = pm (1 ) / (sqrt2) ( 1 + i) ) :}:| {:("Rough: " ( 2 ) /(2) = (1 ) = 1 xx 1 , i ^ 2 + 1 = 0 ) , ("यहाँ real part" = 0 ) , ( therefore "बराबर गुणनखण्ड 1 और 1 लें | "):} `...(i) दोनों तरफ conjugates लेने पर, ` sqrt ( - i ) = pm ( 1 ) /( sqrt2 ) ( 1 - i ) " " `...(ii) अब ` sqrt ( i + ) sqrt ( - i ) = pm ( 1 ) /( sqrt 2 ) ( 1 + i + 1 ) = pm ( 2 ) / ( sqrt2 ) = pm sqrt 2 ` |
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| 10. |
इन को ज्ञात करे | ` ( 1 ) /(i) ` |
| Answer» ` (1) /(i) = ( i) /( ixx i ) = ( i ) / ( i^ 2 ) = ( i) / (- 1 ) = ( - i ) ` | |
| 11. |
इन को ज्ञात करे | ` ( - sqrt ( - 1 ) ) ^( 31) ` |
| Answer» ` ( - sqrt ( - 1 ) ) ^( 31) = ( - i ) ^ ( 31) = ( - 1 ) ^ ( 31 ) .i ^ ( 31 ) = - i ^ ( 4. 7 + 3 ) = - i ^ ( 3 ) = - ( - i ) = i ` | |
| 12. |
वर्गमूल निकालिये ` ( x ^ 2 ) /( y^ 2 ) + ( y ^ 2 ) /( x ^ 2 ) + (1 ) /( 2i ) (( x )/( y ) + ( y ) / ( x )) + (31 ) /( 16 ) ` |
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Answer» `{:( (x ^ 2 ) /( y ^ 2 ) + ( y ^2 )/ ( x ^ 2 ) + ( 1 ) /( 2i) ( (x ) /( y ) + ( y ) /(x) ) + (31) /(16)) , ( = (x^ 2 ) /( y ^2) + ( y ^ 2 ) /( x ^2 ) + (31 ) /(16 ) - (i) /(2) ((x ) /( y ) + (y ) /( x)) ):}:|{:("Rough" : ((1 ) /(2) ((x)/(y) + (y)/(x)))/(2) = ( 1 ) /(4 ) xx ((x)/(y) + ( y ) / ( x ))),("और " ((x)/(y) + (y) /(x))^2 + ((i)/(4))^2 = (x^2)/(y^2) + (y^2)/(x^2) + (31)/(16)):}` ` = ((x ) /( y ) + ( y ) /( x ) ) ^ 2 + ((i)/(4))^2 - 2 (( x ) /(y ) + ( y ) / ( x ) ) ( i ) / (4 ) = (( x ) /(y) + (y) /(4) - (i) /( 4 )) ^ 2 ` ` therefore ` अभीष्ट वर्गमूल ` = pm ((x)/(y) + ( y) /( x ) - ( i) /(4)) ` |
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| 13. |
इन को समिश्र संख्या के रूप में लिखिए | ` 5 - 7 sqrt ( - 21 ) ` |
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Answer» ` 5- 7 sqrt ( -21) = 5 - 7 sqrt (21 ( - 1 )) ` ` = 5 - 7 sqrt (21 ) sqrt ( - 1 ) ` ` = 5 - 7 sqrt (21 ) I" "[ because sqrt ( - 1 ) = i] ` |
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| 14. |
इन को समिश्र संख्या के रूप में लिखिए | ` ( sqrt 3 ) /( 2 ) - ( sqrt ( - 2 ))/( sqrt 7 ) ` |
| Answer» ` (sqrt 3 )/ ( 2 ) - (sqrt ( - 2 ))/(sqrt7 ) = (sqrt 3 )/( 2 ) - (sqrt (2i)) / ( 7 ) = (sqrt 3 ) / ( 2 ) - i ( sqrt 2 )/(7 ) ` | |
| 15. |
इन को समिश्र संख्या के रूप में लिखिए | ` sqrt x , ( x gt 0 ) ` |
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Answer» ` sqrt x = sqrt x + 0 i " " [ because x gt 0 therefore sqrt x ` वास्तविक है ] |
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| 16. |
` ( 2 + i ) /( 4i + ( 1 + i ) ^ 2 ) ` का संयुग्मी तथा कोणाक निकालिये | |
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Answer» माना कि ` z = ( 2 + i) /( 4i + ( 1 + i ) ^ 2) = ( 2 + i ) /( 4i + 1 + i ^ 2 + 2i ) = ( 2 + i ) /( 6i ) ` ` = ((2 + i ) /( 6i)) (( - 6i )/( -6i)) = ( 6 - 12 i ) /( 36 ) = ( 1 ) /( 6 ) - ( 1 ) / ( 3 ) i ` ` therefore bar z = ( 1 ) /( 6 ) + ( 1 ) / ( 3 ) i ` पुनः ` z = ( 1 ) /( 6 ) - ( 1 ) /( 3 ) i `, यहाँ ` x = ( 1 ) /( 6 ) , y = - ( 1 )/ ( 3 ) ` ` tan theta = | ( y ) / ( x ) || (- ( 1 ) / ( 3 )) / ( ( 1 ) / ( 6 )) | = | - 2 | = 2 therefore theta = tan ^( -1) 2, 0 le theta le ( pi ) / ( 2 ) ` ` because x = ( 1 ) /( 6 ) gt 0 ` तथा ` y = - ( 1) / ( 3 ) lt 0 ` अतः z चतुर्थ पाद में होगा | ` therefore arg z = 2pi - theta = 2pi - tan ^( - 1) 2 ` Note : Principal value of arg z = ` ( 2pi - tan ^ ( - 1 ) 2 ) - 2 pi = - tan ^( - 1) 2 ` |
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| 17. |
` sin 30 ^@ + icos 30 ^ @ ` को ध्रुवीय रूप व्यक्त कीजिये | |
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Answer» ` sin 30 ^ @ = cos 60 ^@ and cos 30 ^@ = sin 60 ^@ ` अब, ` z = sin 30 ^@ + i cos 30 ^@ = cos 60 ^@ + isin 60 ^@ ` ` = 1 ( cos 60 ^@ + i sin 60 ^ @) ` ` = 1* ( cos "" ( pi ) /( 3 ) + i sin "" ( pi ) /( 3) ) ` अतः ` r = 1 ` तथा ` theta = (pi ) /( 3 ) ` . इसलिए , z का ध्रुवीय रूप है ` 1 * ( cos "" (pi ) / ( 3) + i sin"" ( pi ) /( 3 )) ` |
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| 18. |
यदि ` [If]|z| = 1, ` साबित कीजिये कि (prove that ) ` ( z - 1 ) /( z + 1 ) ( z ne - 1 ) ` एक विशुद्ध अवास्तविक संख्या है z =1 ? |
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Answer» माना कि ` z = x +iy ` Given, ` |z| = 1 rArr |z|^ 2 = 1 rArr x ^ 2 + y^ 2 = 1 " " `...(1) अब ` ( z- 1 ) /( z + 1 ) = ( x + iy - 1 ) /( x +iy + 1 ) = ( x -1 + iy )/( x + 1 + iy ) ` ` = (( x - 1 + iy ) ( x + 1 - i y ) ) /( ( x + 1 + iy ) ( x + 1-iy ) )` ` = ( x ^ 2 - 1 + y^ 2 + iy ( x + 1 - x + 1 )) /( ( x + 1 ) ^ 2 + y^ 2 ) ` ` = ( x ^ 2 + y ^ 2 - 1 ) /( ( x + 1 ) ^ 2 + y ^ 2 ) + i ( 2y ) /( ( x + 1 ) ^2 + y^ 2 ) ` ` = i ( 2y ) /( ( x + 1 ) ^ 2 + y^ 2) " "[ because x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ]` = विशुद्ध अवास्तविक संख्या Second part : यदि z = 1 तो ` ( z- 1 ) /( z + 1 ) = 0` , जो विशुद्ध वास्तविक तथा विशुद्ध अवास्तविक दोनों है | |
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| 19. |
यदि ` 1, omega , omega ^ 2 ` इकाई के तीन घन मूल है तो ` ( x - 1 ) ^3 + 8 = 0 ` के मूल निकाले | |
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Answer» प्रश्न से , ` ( x - 1 ) ^ ( 3 ) + 8 = 0 ` or ` ( x - 1 ) ^ 3 = - 8 = - 2^ 3 ` ` therefore x - 1 = - 2 , - 2 omega , - 2 omega ^ 2 ` ` therefore x = - 1 , 1 - 2 omega , 1 - 2 omega ^ 2 ` नोट : यदि किसी संख्या का एक घन मूल a हो तो बाकी दो घनमूल ` a omega ` तथा ` a omega ^ 2 ` होंगे | |
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| 20. |
वास्तविक ` theta ` ज्ञात कीजिये ताकि ` ( 3 + 2i sin theta ) /( 1 - 2i sin theta ) ` विशुद्ध वास्तविक है | |
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Answer» माना कि ` z = ( 3 + 2i sin theta ) /( 1 - 2i sin theta ) ` तो , ` z = ((3 + 2i sin theta ) ( 1 + 2i sin theta ) ) /( (1 - 2i sin theta ) ( 1 + 2i sin theta )) ` ` = (3 + 2i sin theta + 6i sin theta - 4 sin ^ 2 theta )/( 1 + 4 sin ^ 2 theta ) ` ` = ( 3 - 4 sin ^ 2 theta ) /( 1 + 4 sin^ 2 theta ) + i ( 8 sin theta ) /( 1 + 4 sin ^ 2 theta ) ` z को विशुद्ध वास्तविक होने के लिए I (z) = 0 ` therefore ( 8 sin theta ) /( 1 + 4 sin ^ 2 theta ) = 0 rArr sin theta = 0 ` ` rArr theta = n pi , n in I ` |
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| 21. |
किन्ही दो सम्मिश्र संख्याएँ ` z _ 1 ` तथा ` z _ 2 ` के लिए साबित कीजिये कि ` |z _ 1 + z _ 2 |^ 2 + | z _ 1 - z _ 2 |^ 2 = 2 [|z _ 1 |^ 2 + | z _ 2 |^ 2 ] ` |
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Answer» LHS = ` | z _ 1 + z _ 2 |^ 2 + | z _ 1 - z _ 2 |^ 2 ` ` = ( z _ 1 + z _ 2 ) ( bar ( z _ 1 + z _ 2 ) ) + ( z _ 1 - z _ 2 ) ( bar ( z _ 1 - z _ 2 )) " " [ because |z|^ 2 = z bar z] ` = ` ( z _ 1 + z _ 2) ( bar z _ 1 + bar z _ 2 ) + ( z _ 1 - z _ 2 ) ( bar z _ 1 - bar z _ 2 ) ` ` = ( z _ 1 bar z _1 + z _ 2 bar z _ 1 ) + z _ 1 bar z _ 2 + z _ 2 bar z _ 2 ) + (z _ 1 bar z _1 - z _ 2 bar z _ 1 - z_ 1 bar z _ 2 + z _ 2 bar z _ 2 ) ` ` = 2 ( z _ 1 bar z _ 1 + z _ 2 bar z _ 2 ) = 2 (| z _ 1 | ^ 2 + | z _ 2|^2 ) ` |
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| 22. |
यदि ` [If] x + ( 1 ) / ( x ) = 1, ` तो ` x ^( 20000) + ( 1 ) /( x ^(20000) ) ` का मान निकाले | |
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Answer» प्रश्न से, ` x + ( 1 ) /( x ) = 1 ` or ` x ^ 2 - x + 1 = 0 therefore x = ( 1 pm sqrt 3 i ) /( 2 ) = - omega , - omega ^ 2 ` ` therefore x ^( 2000) + ( 1 ) /( x ^( 2000) ) = {{:( omega ^(2000) + ( 1 ) / ( omega^(2000) ) = omega ^ 2 + ( 1 ) / ( omega^ 2 ) = omega ^ 2 + omega = - 1 ) , ( omega ^( 4000) + ( 1 ) /( omega^(4000)) = omega + ( 1 ) / ( omega ) = omega + omega ^ 2 - 1 ) :} ` |
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| 23. |
यदि ` |z - 4 + 3i | le 2 ` तो `|z|` का न्यूनतम एवं महत्तम मान ज्ञात करे | |
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Answer» दिया है , ` 2 ge |z - 4 + 3i| ` ` rArr 2 le | z - ( 4 - 3 i ) | ` `ge{{:(|z| -| 4 - 3i| ) , (| 4-3i| - |z| ) :}" "[{:( therefore |z _ 1 - z _ 2 | ge |z _ 1 | - |z _ 2 | ) , (" "|z _ 1 - z _ 2 | ge |z _2| - |z _ 1 | ) :}] ` ` rArr 2 ge {{:(|z| le 7 ),(|z| ge 3) :} ` ` rArr {{:(|z| le 7 ) , ( |z| ge 3 ) :} ` ` rArr 3 le |z| le 7 ` अतः `|z| ` का न्यूनतम मान = 3 तथा ` |z| ` का महत्तम मान = 7 |
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| 24. |
` - 5+ 12sqrt ( - 1) ` का वर्गमूल ... होगा | |
| Answer» `{:("Explanation: " -5 + 12 sqrt(-1) = - 5 + 12 i ) , ( = 2 ^ 2 + ( 3i ) ^ 2 + 2.2.3i = ( 2+ 3i) ^ 2 ), ( therefore sqrt( - 5 + 12sqrt(-1)) = pm ( 2 + 3 i) ) :}:| {:("Rough : " ( 12 ) / ( 2 ) =6 ) , ( 2"," 3 to 2"," 3i ) :}` | |
| 25. |
` ( 3 + 4 i ) /( 4 - 5 i ) ` का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए | |
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Answer» ` ( 3 + 4i) /( 4 - 5 i ) ` का गु ० प्रति ० ` = ( 4- 5i ) /( 3 + 4i ) = ( 4- 5 i ) /( 3 + 4i ) xx ( 3 - 4i ) /( 3-4i ) = ((4-5i)(3-4i))/((3+4i)(3-4i)) ` ` = ((12 - 20) + i ( -15 - 16 )) /( 9+ 16) = - ( 8 ) /( 25 ) - i ( 31) /(25) `. |
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| 26. |
` 3 + 2 i ` का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना कि ` 3 + 2 i ` का गुणात्मक प्रतिलोम z है तो ` ( 3 + 2 i ). z = 1 ` ` therefore z = ( 1 ) / ( 3 + 2i ) = ( 1 ) / ( 3 + 2 i ) xx ( 3 - 2 i ) /( 3-2i) = ( 3 - 2i ) /( 3 ^ 2 - 4i ^ 2) = ( 3 - 2i) /( 9 + 4 ) = ( 3 ) /( 13) - i ( 2 )/ (13 )` |
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| 27. |
इन सम्मिश्र संख्याओं के वास्तविक और अवास्तविक भागो को लिखिए | ` sqrt(37) + sqrt(-19) ` |
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Answer» माना कि ` z = sqrt (37) + sqrt(-19) ` तो, ` z = sqrt(37) + sqrt ( 19) sqrt ( - 1 ) ` ` = sqrt (37) + sqrt ( 19) sqrt ( -1 ) ` ` = sqrt(37) + sqrt ( 19) i ` ` = sqrt (37) + i sqrt ( 19) ` ` therefore Re (z) = sqrt(37) ` और Im (z)= ` sqrt ( 19) ` |
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| 28. |
यदि ` ( z - 1 ) / ( z + 1 ) ` विशुद्ध काल्पनिक हो तोA. ` |z| gt 1`B. ` | z | lt 1 `C. `| z | = 1 `D. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Explanation : Let ` ( z - 1 ) / (z + 2 ) = iy, ` जहाँ y real है | ` rArr ( z + 1 ) /( z - 1 ) = ( 1 ) /( iy ) rArr ( 2z ) /( 2 ) = ( 1 + i y ) / ( 1 - i y ) ` [componendo और dividendo से ] ` rArr z = ( 1 + iy ) /( 1 - iy ) rArr |z| = (sqrt ( 1 + y^ 2)) /( sqrt(1 + y ^ 2 )) = 1 ` |
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| 29. |
निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं के वास्तविक तथा काल्पनिक मानो को ज्ञात कीजिए । (i) `sqrt(37)+sqrt(-19)` (ii) `(23+2i)/(41)` |
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Answer» (i) माना `z=sqrt(37)+sqrt(-19)` `=sqrt(27)+sqrt(19(-1))=sqrt(37)+sqrt(19*i^(2))=sqrt(37)+isqrt(19)` `:." "` वास्तविक मान `=sqrt(37)`, काल्पनिक मान `=sqrt(19)` (ii) `z=(23+2i)/(41)=(23)/(41)+(2)/(41)i` इसकी वास्तविक मान `=(23)/(41)` काल्पनिक मान `=(2)/(41)` |
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| 30. |
x तथा y के किन मानो के लिए निम्नलिखित संख्याएं सामान है `x^(2)-7x+9yi` तथा `y^(2)i+20i-12` |
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Answer» दिया है : `x^(2)-7x+9yi=y^(2)i+20i-12` `rArr" "(x^(2)-7x)+i(9y)=(-12)+i(y^(2)+20)` `rArr" "x^(2)-7x=-12` तथा `9y=y^(2)+20` `rArr" "x^(2)-7x+12=0` तथा `y^(2)-9y+20=0` हल करने पर, `x=4,3` तथा `y=5,4` |
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| 31. |
यदि ` (If) z = (| 2 + 3i |) ^ 2 (| 3 - 4i | ) ^ 3 ` तो |z| =A. 1625B. 125C. ` ( 1625 ) ^ 2 `D. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Explanation ` |z| = | 2 + 3 i | ^ 2 | 3- 4i | ^ 3 ` ` = ( sqrt ( ( 4 + 9 ) ^ 2) (sqrt( ( 9 + 16 ) ^ 3 ) = 13 xx 125 = 1625 ` |
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| 32. |
arg ` ( - 1 - i ) = `A. ` ( pi ) / ( 4 ) `B. ` ( 5pi ) / ( 4 ) `C. ` ( 3pi ) / ( 4 ) `D. ` ( 7 pi ) / ( 4 ) ` |
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Answer» Explanation : Let ` z = - 1 - i ` , यहाँ ` x = - 1 , y = - 1 ` ` therefore tan theta = | ( y ) / ( x ) | = | ( - 1 )/ ( - 1 ) | = 1 therefore theta = ( pi ) /( 4 ) " " [ 0 ` से ` 90 ^ @ ` के बीच ] चूँकि ` x lt 0 , y lt 0 ` अतः z तृतीय पाद में है ` therefore arg z = pi + theta = pi + ( pi ) /( 4 ) = ( 5pi ) / ( 4 ) ` |
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| 33. |
यदि ` x = 1 + 2i , ` तो ` x ^ 2 - 2 x + 5 = ?`A. 1B. -1C. 0D. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Explanation : प्रश्न से, ` x = 1 + 2i rArr x - 1 = 2i ` ` rArr ( x - 1 ) ^ 2 = 4i ^ 2 rArr x^ 2 - 2x + 1 = -4 rArr x ^ 2 - 2x + 5 = 0 ` |
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| 34. |
x व y के मान ज्ञात कीजिए यदि `(3x-2iy)(2+i)^(2)=10(1+i)` |
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Answer» दिया है : `(3x-2iy)(2+i)^(2)=10(1+i)` `rArr" "(3x-2iy)(4+4i+i^(2))=10+10i` `rArr" "(3x-2iy)(3+4i)=10+10i` `rArr" "(9x-6yi+12 x i-8i^(2)y)=10+10i` `rArr" "9x+8y+i(12x-6y)=10+i10` दोनों ओर से वास्तविक व काल्पनिक भागो की तुलना करने पर `9x+8y=10` . . .(i) `12x-6y=10` . . . (ii) समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर `x=(14)/(15),y=(1)/(5)` |
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| 35. |
सिद्ध कीजिए `x^(4)+4=(x+1+i)(x+1-i)(x-1+i)(x-1-i)` |
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Answer» दायाँ पक्ष `=(x+1+i)(x+1-i)(x-1+i)(x-1-i)` `=[(x+1)^(2)-i^(2)][(x-1)^(2)-i^(2)]` `=(x^(2)+2x+1+1)(x^(2)-2x+1+1)` `=[(X^(2)+2)+2x][(x^(2)+2)-2x]` `=(x^(2)+2)^(2)-(2x)^(2)=x^(4)+4x^(2)+4-4x^(2)=x^(4)+4` = बायाँ पक्ष |
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| 36. |
सम्मिश्र संख्याओं `-sqrt(3)+sqrt(-2)` तथा `2sqrt(3)-i` का योग तथा गुणनफल ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना `z_(1)=-sqrt(3)+sqrt(-2)` तथा `z_(2)=2sqrt(3)-i` `rArrz_(1)+z_(2)=(-sqrt(3)+isqrt(2))+(sqrt(3)-i)` `=(-sqrt(3)+2sqrt(3))+i(sqrt(2)-1)` `=sqrt(3)+i(sqrt(2)-1)` तथा `z_(1)*z_(2)=(-sqrt(3)+isqrt(2))*(2sqrt(3)-i)` `=(-6+sqrt(2))+i(sqrt(3)+2sqrt(6))` |
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| 37. |
दी गयी संख्याओं को `x+iy` के रूप में लिखे । (i) `z=(2+i)/((1+i)(1-2i))` (ii) `((1+i)^(3))/(4+3i)` |
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Answer» (i) `z=(2+i)/((1+i)*(1-2i))=(2+i)/(3-i)=((2+i)(3+i))/((3-i)(3+i))=(5+5i)/(10)=(1)/(2)+(i)/(2)` (ii) `z=((1+i)^(3))/(4+3i)=(1^(3)+3*1^(2)*i+3+i^(2)+i^(3))/(4+3i)=(1+3i-3-i)/(4+3i)` `=(-2+2i)/(4+3i)=((-2+2i)(4-3i))/((4+3i)(4-3i))` `=(-8+8i+6i-6i^(2))/(4^(2)-9i^(2))=(-2+14i)/(25)=-(2)/(25)+i(14)/(25)` |
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| 38. |
`-2+3i` का योगात्मक प्रतिलोम (additive inverse) ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना `x+iy` दी गयी संख्या `-2+3i` का योगात्मक प्रतिलोम है तब `(x+iy)+(-2+3i)=0+i0` `rArr" "x+iy=2-3i` इसलिए `2-3i,-2+3i` का योगात्मक प्रतिलोम होगा । |
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| 39. |
`3-4i` का वर्गमूल ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना `sqrt(3-4i)=x+iy` दोनों ओर का वर्ग करने पर, `3-4i=(x+iy^(2))=(x^(2)-y^(2))+i(2xy)` वास्तविक तथा काल्पनिक मानो तुलना करने पर `x^(2)-y^(2)=3` तथा `2xy=-4rArrxy=-2` इसलिए `(x^(2)+y^(2))^(2)=(x^(2)-y^(2))^(2)+4x^(2)y^(2)` `=3^(2)+4(4)=25` `rArr" "x^(2)+y^(2)=5` `x^(2)-y^(2)=3` तथा `x^(2)+y^(2)=5` को करने पर, `x=pm2,y=pm1` `becausexy=-2` जोकि ऋणात्मक है इसलिए x व y विपरीत चिन्ह रखेंगे अर्थात, जब `x=2,y=-1` तथा जब `x=-2,y=1` इसलिए `sqrt(3-4i)=2-i` या `-2+i` |
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| 40. |
`-7-24i` का वर्गमूल ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना `sqrt(-7-24i)=x+iy` दोनों ओर का वर्ग करने पर, `-7-24i=x^(2)-y^(2)+2ixy` दोनों ओर वास्तविक तथा काल्पनिक मानो की तुलना करने पर `x^(2)-y^(2)=-7` . . . (i) व `2xy=-24` . . . (ii) अब `(x^(2)+y^(2))^(2)=(x^(2)-y^(2))^(2)+4x^(2)y^(2)` `=(-7)^(2)+(-24)^(2)=625` `rArr" "x^(2)+y^(2)=pm25` `rArr" "x^(2)+y^(2)=25" "(becausex^(2)+y^(2)` ऋणात्मक नहीं हो सकता) उपरोक्त समीकरण का (i) में प्रयोग करने पर, `2x^(2)=18rArrx^(2)=9rArrx=pm3` समीकरण (i) में x का मान रखने पर, `y^(2)=9+7=16rArr" "y=pm4` समीकरण (ii) से xy ऋणात्मक है इसलिए x व y विपरीत चिन्ह के होंगे | अर्थात जब `x=3,y=-4` तथा जब `x=-3,y=4` अतः `sqrt(-7-24i)=x+iy=3-4i,-3=-(3-4i)` `=pm(3-4i)` |
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| 41. |
यदि `x=-5+2sqrt(-4)` तब `x^(4)+9x^(3)+35x^(2)-x+4` का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया है : `x=-5+2sqrt(-4)` `rArr" "x+5=2sqrt(-4)` दोनों ओर का वर्ग करने पर `(x+5)^(2)=4(-4)` `rArr" "x^(2)+10x+25=-16` `rArr" "x^(2)+10x+41=0` तब `x^(2)+9x^(3)+35x^(2)-x+4=x^(2)(x^(2)+10x+41)-x(x^(2)+10x+41)+4(x^(2)+10x+41)-160` `=x^(2)*0-x*0+4*0-160` (समीकरण (i) का प्रयोग करने पर) `=0-+0-160=-160` |
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| 42. |
यदि (if)` x+ iy =sqrt( ( a+ ib ) /( c+id) ` तो साबित कीजिए की (then prove that) ` (x^(2) +y^(2))^(2) =(a^(2)+ b^(2))/( c^(2) +d^(2))` |
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Answer» प्रश्न से ,`x+ iy =sqrt(( a+ib)/(c+id) ) rArr (x+ iy)^(2) =(a+ ib)/( c+id) ` दोनों तरफ मापांक लेने पर ,`|( x+iy) ^ 2 | = | ( a + ib ) / ( c + id ) | ` `rArr | x + i y | ^ 2 = ( | a + ib| ) /(| c + id | ) [ because |z ^ n | = | z |^n ` तथा ` | ( z _ 1 ) /( z _ 2 ) | = ( | z _ 1| ) /( | z _ 2 | )] ` ` rArr ( sqrt ( x ^ 2 + y ^ 2 ) ) ^ 2 = (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2 )) /( sqrt ( c ^ 2 + d ^ 2 )) rArr x ^ 2 + y ^ 2 = ( sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2 ) ) /( sqrt ( c ^ 2 + d ^ 2 )) ` ` rArr ( x ^ 2 + y^ 2 )^ 2 = ( a ^ 2 + b ^ 2 ) /( c ^ 2 + d ^ 2 ) ` |
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| 43. |
निम्नलिखित संख्या का वर्गमूल ज्ञात कीजिए । `((2+3i)/(5-4i)+(2-3i)/(5+4i))` |
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Answer» `((2+3i)/(5-4i)+(2-3i)/(5+4i))=((2+3i)(5+4i)+(2-3i)(5-4i))/((5-4i)(5+4i))` `=((10+8i+15i+12i^(2))+(10-8i-15i+12i^(2)))/(25-16i^(2))` `=((10+23i-12)+(10-23i-12))/(25+16)` `=((-2+23i)+(-2-23i))/(41)=-(4)/(41)` इसलिए दी गयी संख्या का वर्गमूल `= sqrt(-(4)/(41))=(2i)/(sqrt(41))` |
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| 44. |
`-27` का घनमूल ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना `x=(-27)^(1//3)` `rArr" "x^(3)=-27` `rArr" "x^(3)+27=0rArr(x)^(3)+(3)^(3)=0` `rArr" "(x+3)(x^(2)-3x+9)=0` `rArr" "x+3=0` या `x^(2)-3x+9=0` `x+3=0rArrx=-3` तथा `x^(2)-3x+9=0` `rArr" "x=(3pmsqrt(9-36))/(2)=(3pmsqrt(-27))/(2)=(3+3sqrt(-3))/(2)` `=-3((1-+sqrt(-3))/(2)),-3((-1-sqrt(-3))/(2))=-3omega,-3omega^(2)` अतः `-27` के घनमूल निम्न है - `-3,-3omega,-3omega^(2)` |
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| 45. |
a और b को ज्ञात कीजिए ताकि 2a + i4b तथा 2i एक ही सम्मिश्र संख्या को व्यक्त करते है | |
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Answer» प्रश्न से , ` 2a + i 4b = 0 + i2 ` वास्तविक तथा अवास्तविक भाग को बराबर करने पर हमे मिलता है ` 2a = 0 ` तथा ` 4b = 2 ` ` rArr a = 0 ` तथा ` b = (1)/ (2) ` |
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| 46. |
निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं के वास्तविक व काल्पनिक मान ज्ञात कीजिए - (i) `3-4i` (ii) `-2+sqrt(3)*i` (iii) `-3-4sqrt(-1)` (iv) `-9` |
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Answer» (i) `3-4i=a+bi` वास्तविक मान `=3` काल्पनिक मान `=-4` (ii) वास्तविक मान `=-2` काल्पनिक मान `=sqrt(3)` (iii) वास्तविक मान `=-3` काल्पनिक मान `=-4` (iv) वास्तविक मान `=-9` काल्पनिक मान `=0` |
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| 47. |
इन सम्मिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में लिखिए | ` 12 (cos 150 ^@ + i sin 150 ^@) ` तथा ` 3 ( cos 60 ^@ + i sin 60 ^@) ` का गुणनफल |
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Answer» माना कि ` z _ 1 = 12 ( cos 150 ^@ + i sin 150 ^@) ` तथा ` z _ 2 = 3 ( cos 60 ^@ + i sin 60 ^@) ` अब, ` ( z _ 1 )/( z _ 2) = ( 12 ) /( 3 ) (( cos 150 ^@ + isin 150 ^@ ) ) /( ( cos 60^@ + i sin 60^@) ) xx ( cos 60 ^@ - i sin 60 ^@) /( cos 60 ^@ - i sin 60 ^@) ` ` = 4[ cos (150 ^@ - 60 ^@) + isin ( 150 ^@- 60 ^@) ] ` ` = 4 ( cos 90 ^@ + i sin 90 ^@ ) ` ` = 4 ( cos "" ( pi ) / ( 2 ) + i sin "" ( pi ) /( 2 )) ` ` ( z _ 1 ) /( z _ 2 ) ` का ध्रुवीय रूप ` = 4 ( cos "" ( pi ) / ( 2 ) + i sin"" ( pi ) / ( 2 ) ) ` |
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| 48. |
इन सम्मिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में लिखिए | ` 2 (cos 30 ^@ + isin 30 ^@) ` तथा ` 3 ( cos 90 ^ @ + isin 90 ^@) ` का गुणनफल |
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Answer» माना कि ` z _ 1 = 2 ( cos 30 ^@ + i sin 30 ^@) ` तथा ` z _ 2 = 3 ( cos 90 ^@ + i sin 90 ^@) ` अब ` z _ 1 z _ 2 = 2 xx 3 [ cos ( 30 ^@ + 90^ @ ) + i sin ( 30 ^@ + 90^ @) ` ` = 6 [ cos 120 ^@ + i sin 120 ^@] ` ` = 6 ( cos "" ( 2pi ) /( 3 ) + i sin "" ( 2pi ) / ( 3 ) ) ` ` z _ 1 z _ 2 ` का यह ध्रुवीय ` = 6 ( cos "" ( 2 theta ) /( 3 ) + i sin"" ( 2 theta ) /( 3 ) ) ` |
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| 49. |
निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में लिखे । (i) `sin30^(@)+icos30^(@)` (ii) `1+i` (iii) `-4+i4sqrt(3)` (iv) `((2+i)/(3-i))^(2)` (v) `(-16)/(1+isqrt(3))` (vi) `(i-1)/("cos"(pi)/(3)+i "sin"(pi)/(3))` (vii) `(i-sqrt(3))^(13)` (viii) `-1-isqrt(3)` (ix) `(-1-sqrt(2)i)` (x) `3-4i` |
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Answer» Correct Answer - (i) `"cos"(pi)/(3)+i"sin"(pi)/(3)` (ii) `sqrt(2)("cos"(pi)/(4)+i "sin"(pi)/(4))` (iii) `8("cos"(2pi)/(3)+i "sin"(2pi)/(3))` (iv) `(1)/(2)("cos"(pi)/(2)+i "sin"(pi)/(2))` (v) `8("cos"(2pi)/(3)+i "sin"(2pi)/(3))` (vi) `sqrt(2)("cos"(5pi)/(12)+i "sin"(5pi)/(12))` (vii) `8192(cos 150^(@)+i sin150^(@))` (viii) `2(cos240^(@)+isin240^(@))` (ix) `sqrt(3)(costheta+isintheta),theta=tan^(-1)sqrt(2)` (x) `5(costheta-isintheta)` (xi) `sqrt(2)("cos"(pi)/(4)-i"sin"(pi)/(4))` (ii) `+i=r(costheta+isintheta)rArrrcostheta=1,rsintheta=1` `rArr" "tantheta=1,theta=(pi)/(4)` तथा `r=sqrt(2)` `:.` ध्रुवीय रूप `=sqrt(2)("cos"(pi)/(4)+i "sin"(pi)/(4))` |
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| 50. |
सम्मिश्र संख्या ` 4 - 3i ` का गुणन विलोम हैA. ` ( 4 ) / ( 5 ) + ( 3 )/( 5 ) i `B. ` ( 4 ) /( 25 ) + (3 ) /( 25 ) i`C. ` ( 3 )/( 25 ) -( 4 )/( 25 ) i`D. ` ( 3 )/ ( 5 ) + ( 4 )/ ( 5) i` |
| Answer» Correct Answer - b | |