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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

` c^(2) ` के क्षेत्रफल वाले धातु के चादरों से वर्गाकार आधार वाला ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है| दिखाई की संदूक का महत्तम आयतन `(c^(3))/(6sqrt(3))` |

Answer» माना की वर्गाकार आधार के भुजा की लम्बाई x है तथा संदूक की ऊंचाई y है माना की संदूक का आयतन V है|
प्रश्न से संदूक के पृष्ट का क्षेत्रफल =`c^(2)`
` therefore " "x^(2) +4xy =c^(2) " "...(1)`
अब V = संदूक का आयतन
` " "=x^(2) y= x^(2) x(c^(2) -x^(2))/( 4x ) " "[ (1) से ,y= (c^(2)-x^(2))/( 4x )]`
` =(1)/(4) (c^(2) x- x^(3)) " "...(2)`
` therefore (dV)/(dx) =(1)/(4) (c^(2) -3x^(2) ) ` तथा ` (d^(2)V)/(dx^(2) ) =- (3)/(2) x " "...(3)`
V के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए
` (dV)/(dx) =0 rArrc^(2) -3x^(2) =0 rArr x= +-(c)/(sqrt(3))`
चूँकि ` xgt0:" " therefore " "x= (c)/(sqrt(3))" "...(4)`
(4) से x के इस मान के लिए
` (d^(2)V)/(dx^(2)) =-(3)/(2) * ( c)/(sqrt(3)) clt 0" " [because cgt0]`
` therefore ` V महत्तम होगा जब `x= (c)/(sqrt(3) )`
(2) से, V का महत्तम मान `= (1)/(4) [ c^(2) *(c)/(sqrt(3) )- ((c)/(sqrt(3)) ) ^(3)] =(c^(3))/( 6sqrt(3)) `
Discussion
2.

दिखाइए की दिए हुए परिमिति वाले आयतों में महत्तम क्षेत्रफल वाला आयन वर्ग होता है|

Answer» माना की ABCD अचर परिमिति k वाला एक आयत है जिसका क्षेत्रफल y है माना की AB =x , BC =z
दिया है `2x +2z =k =` अचर
या ` " "z= (k)/(2) -x " "...(1)`
अब ` " "y= xz = x ((k)/(2) -x) =(kx )/(2) -x ^(2) " "...(2)`
` therefore" "(dy)/(dx) =(k)/(2) -2x " "...(3)`
y के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए ` (dy)/(dx) =0`
`therefore (k)/(2) -2x =0 " "` या ` 2x =(k)/(2) " "therefore x= (k)/(4)`
(3 ) से ` ( d^(2)y)/(dx^(2) )=- 2lt0`
अतः y का मान महत्तम है जब `x= ( k)/(4)`
(1) से, जब `x= (k)/(4) `
`(1) ` से जब ` x= ( k)/(4) ,z =(k)/( 2)- (k)/(4) =(k)/(4) `
` therefore" " x=z`
अतः महत्तम क्षेत्रफल के लिए आयत एक वर्ग होगा|
Discussion
3.

यदि दी चर राशियाँ x और y ऐसी हो की `xgt 0` तथा xy =1 तो x +y का निम्नतम मान निकालें|

Answer» दिया है `xy = 1" " therefore " "y =(1)/(x)" "....(1)`
माना की `u=x + y =x +(1)/(x) " " ...( 2) `
इस प्रकार x केवल एक चर x का फलन है|
अब ` " "(du)/(dx)=1 - (1)/(x^(2)) `
u के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए ` (du)/(dx) =0`
` therefore 1- (1)/(x^(2) )=0 " "therefore " "x^(2) =1` या ` x= ne 1`
` because x gt 0," "therefore x= 1 `
(3 ) से ` (d^(2)u)/( dx^(2))= (2)/(x^(3))`
जब ` x=1 , (d^(2)u)/( dx ^(2) )=2gt 0`
अतः u का मान महत्तम है जब x =1
u का महत्तम मान `= x+(1)/( x)= 1+( 1)/(1) =2`
Discussion
4.

यदि एक समलम्ब चतुर्भुज के आधार के अतिरिक्त तीनो भुजाओं की लम्बाई 10 cm है तब समलम्ब चतुर्भुज का अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|

Answer» माना की समलम्ब चतुर्भुज ABCD है|
दिया है ` AB= DC =BC =10 cm `
` DL bot AB ` तथा ` CMbot AB ` खिंचा|माना की AL =x cm तो MB =x cm माना की समलम्ब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल y है
तो ` y= (1)/(2) (AB+ DC) *DL`
` =(1)/(2) (2x+ 20) sqrt(10^(2)-x^(2))" "[because DL =sqrt(AD^(2) -AL^(2))]`
` " "= (x+ 10 ) sqrt(100-x^(2))" " ...(i)`
` therefore (dy)/(dx) =[1*sqrt( 100-x^(2) )+ (x+10 )((-2x)/(2sqrt(100-x^(2))))]`
` " "=[sqrt(100-x^(2))-(x(x+ 10))/(sqrt(100-x^(2)))]`
` " " =((100-x^(2) -x^(2) --10x)/(sqrt(100-x^(2))))`
` " "=(2)/(sqrt( 100-x^(2)))(-x^(2) -5x +50) " "...(2)`
` (dy)/(dx)` अर्थात `(-x^(2)-5x+50) ` का चिन्ह योजना:
यहाँ ` ALlt AD therefore xlt 10 `
` -x^(2) -5x +50 =0`
` rArr " "x= (5+-15)/(-2) =-10.5`
`=5 " " [because xgt 0]`
` (dy)/(dx) ` के चिन्ह योजना से यह स्पष्ट है की y का मान महत्तम (यहां निरपेक्ष महत्तम )होगा जब x =5 ltBrgt (1) से महत्तम क्षेत्रफल `y= (5+10) sqrt( 100-5^(2))`
` " " =15xx5sqrt(3) =75sqr t(3) cm ^(2) `
Discussion
5.

मान लीजिए बिंदु A और B पर क्रमशः AP तथा BQ दो ऊर्ध्वाधर स्तम्भ है|यदि ltBrgt ` AP= 16 m.BQ =22m ` AB =20 m हों तो AB पर एक ऐसा बिंदु R ज्ञात कीजिए ताकि ` RP^(2)+ RQ^(2)` निम्नतम हो|

Answer» माना की AR =x मीटर
दिया है ` AP = 16m ,BQ =22m = AB= 20 m`
` therefore RB =(20 -x)m`
माना की ` y= RP^(2)+RQ^(2) ` तो
` y= (x^(2) +16^(2))+(20-x)^(2) +22^(2)`
` = x^(2) +(20-x)^(2) +16^(2) +22^(2...(1)`
t`therefore " "(dy)/(dx) =2x -2 (20-x) =2 (x-20+x)`
`= 2(2x-20 ) =4 (x-10)" "...(2)`
y के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए ` (dy)/(dx) =0`
` therefore 4(x-10) =0rArr x=10 `
(2) से, ` (d^(2)y)/(dx^(2))=4gt 0`
अतः y न्यूनतम (यहाँ निरपेक्ष न्यूनतम होगा जब x =10
अतः ` RP^(2) +RQ^(2) ` के न्यूनतम मान के लिए ` AR =x=10m`
Discussion
6.

x के उन मानों का पता लगाएं जिनके लिए फलन `x^(5) -5x ^(4) +5x^(3) -1` का मान उच्छिष्ट या निम्निष्ट या इनमें से कोई न हो|उच्छिष्ट या निम्निष्ट मानों को भी निकालें|

Answer» माना की `y=x ^(5) -5x^(4) +5x^(3) -1" "...(i)`
`therefore " "(dy)/(dx) =5x^(4) -20x^(3) +15x ^(2) =5x^(2) (x^(2)-4x+3)`
` " "=5x^(2) (x-1) (x-3)" "...(2)`
अब `5x^(2) (x-1) (x-3) =0 rArr x=0 ,0,1,3` यहाँ ` 0` दो बार आता है|
`(dy)/(dx)` अर्थात `5x^(2) (x-1) (x-3)` का चिन्ह योजना
y का मान x =1 पर महत्तम तथा x =3 पर न्यूनतम है|
` x=0` पर y का न तो महत्तम मान है और न न्यूनतम मान है|
(1) से ,y का महत्तम मान `= 1 -5+5 -1=0`
y का न्यूनतम मान `= 243 -5 xx81 +5 xx27 -1=-28`
दूसरी विधि
माना की `y =x^(5) -5x^(4) +5x^(3) -1 " "...(1)`
` therefore " "(dy)/(dx) =5x^(4) -20 x ^(3) +15x^(2)" "....(2)`
y के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए ` (dy)/(dx) =0`
` therefore x^(4) -4x^(3) +3x^(2) =0" "rArr x^(2) (x^(2) -4x +3) =0`
` rArr " "x^(2) (x-1) (x-3)=0 " "therefore x=0 ,1,3`
से ` (d^(2)y)/(dx^(2))=20x ^(3) -60x ^(2)+ 30x " "...(3)`
(3 ) से, x =1 पर, ` (d^(2)y)/(dx^(2)) =20 -60+ 30=50 -60 =-10 lt 0 `
अतः y का मान x =1 पर महत्तम है|
` (1)` से, y का यह महत्तम मान `y =1^(5) -5xx 1^(4) +5xx1^(3) -1=0`
` (3)` से ` x=3 ` पर ` (d^(2)y)/(dx^(2) )=20xx3^(3) -60xx3^(3)-60xx3^(2) +30xxxx=90gt0`
अतः y का मान x =3 पर न्यूनतम है
`(1)` से y का यह न्यूनतम मान ` =3^(3) -5 xx 3^(4) +5xx3^(3) -1 =-28`
`x=0` पर `(d^(2)y)/(dx^(2))=20xx0-60 xx0 +30xx0=0`
` (3) ` से ` (d^(3)y)/(dx^(3)) =60x ^(2) -120x +30`
` x=0` पर ` (d^(3)y)/(dx^(3) )= 30 ne 0`
अतः x =0 पर y का न तो महत्तम मान है और न न्यूनतम मान है|
Discussion
7.

दिखाइए की `x+(1)/(x)` का महत्तम मान इसके न्यूनतम मान से छोटा है|

Answer» माना की `y= x+(1)/(x)" "...(i)`
`therefore " "(dy)/(dx) =1 -(1)/(x^(2)) " "...(2)`
या ` " "(dy)/(dx) =(x^(2) -1) /(x^(2)) " "...(3)`
चूँकि `x^(2) gt0` इसलिए
` (dy)/(dx)` का चिन्ह व्ही होगा जो`(x^(2) -1) ` का
अब ` x^(2)-1 =0rArr x = pm 1 `
y का मान x =-1 पर स्थानीय महत्तम है|
(1) से, y का महत्तम मान =-2
y का मान x =1 स्थानीय मान =2
स्पष्टतः y का स्थानीय मान y के स्थानीय न्यूनतम मान से छोटा है|
दूसरी विधि
माना की ` y=x +(1)/(x)" "...(1)`
`therefore " "(dy)/(dx) =1 -(1)/(x^(2)) " "...(2)`
y के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए ` (dy)/(dx) =0`
` therefore " "1- (1)/(x^(2) )=0` या ` x^(2) =1 . " "therefore x=1 ,-1 `
`(2) ` से, ` (d^(2)y)/(dx^(2) )= (2)/(x^(2))" "...(3)`
` x =1 ` पर ` (d^(2)y)/(dx^(2) )= ( 3)/(1^(3))=2gt 0`
` therefore =y` का मान x =1 पर न्यूनतम है|
तथा y का न्यूनतम मान `= 1 +(1)/(1) =2`
` x=-1 ` पर, ` (d^(2) y)/(dx^(2))=(2)/((-1)^(3))=-2lt 0`
अतः y का मान x =1 पर महत्तम है|
y का महत्तम मान = `-1+(1)/(-1) =-2`
चूँकि महत्तम मान -2 है तथा न्यूनतम मान 2 है अतः महत्तम मान न्यूनतम मान से कम है|
Discussion
8.

निम्नलिखित फलन का महत्तम तथा न्यूनतम मान निकालें| ltBrgt ` " "2x^(3) -15x^(2) + 36x +11`

Answer» माना की
`" "y= 2x^(3) -15x^(2) +36x +11" "...(i)`
` therefore " "(dy)/(dx) =6x^(2) -30x +36 =6 (x^(2) -5x +6) `
` " "=6 (x-2) (x-3) " "...(2)`
` (dy)/(dx) ` अर्थात ` (x-2) (x-3)` के लिए चिन्ह योजना|
y का मान x =2 पर महत्तम है|
(1) से, y का संगत महत्तम मान ` 2*2 ^(3) -15*2 ^(2)+ 36*2+ 11=39`
` " "y` का मान x =3 पर न्यूनतम है|
`(1) ` से, y का संगत न्यूनतम मान `=2*3^(3) -15*3^(2) +36*3+11=38`
दूसरी विधि
माना की ` y =2x^(3) -15x^(2) +36x +11" "...*(i)`
` therefore " "(dy)/(dx) =6x^(2) -30x +36 `
` " "=6 (x^(2) -5x +6) " "...(2)`
y के महत्तम और न्यूनतम मान के लिए `(dy)/(dx) =0`
` therefore " "x^(2) -5x +6=0rArr x=2 ,3 `
` (2)` से , ` " "(d^(2)y)/(dx^(2) )=6 (2x -5)" "...(3)`
` x=2` पर, ` (d^(2) y)/( dx^(2))=6(2xx2-5) =-6lt 0 `
अतः y का x =2 पर महत्तम मान है|
(1 ) से y का संगत महत्तम मान
` " "= 2*2^(3) -15*2^(2) +36*2 +11=39`
` x=3` पर, ` (d^(2) y)/(dx^(2) )=6(2xx3-5) =6gt0`
अतः y का मान x =3 पर न्यूनतम है|
(1 ) से y संगत मान ` =2*3^(3) -15*3^(2) +11=38`
Discussion
9.

यदि ` y=a log x + bx ^(2) +x ` का ` x=-1 ` तथा ` x=2` पर चरम मान है तो a तथा b निकालें|

Answer» `y=a log x +bx^(2) +x " "....(1)`
` therefore " "(dy)/(dx) =a * (1)/(x) +2bx +1" "....(2)`
y के चरम मान के लिए `(dy)/(dx)=0" "...(3)`
चूँकि `x= -1 ` तथा x =2 पर y का चरम मान है|
` therefore x=-1 ` पर ` (dy)/(dx) =0" "therefore -a - 2b+ 1=0 " "...(3)`
साथ ही `x=2 ` पर ` (dy)/(dx)=0`
` therefore " "(a)/(2) +4b +1=0 ` या ` a+8b +2=0" "....(4)`
(3 ) तथा (4 ) को जोड़ने पर हमें मिलता है , `6b +3=0 " "therefore b= -(1)/(2) `
(3 ) से ` -a +1+ 1=0 rArra=2`
` therefore " "a=2` तथा `b= -(1)/(2)`
Discussion
10.

दिखाएँ की एक दिए हुए नियत वृत के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है|

Answer» माना की दिए गए वृत की त्रिज्या a तथा केंद्र O है| मान की ABCD वृत के अंतर्गत एक आयत है| माना की L तथा M क्रमशः AB और CD के मध्य है|
माना की ` angle AOL =theta `
अब ` AB= 2AL =2a sin theta `
तथा ` AD= 2OL =2a cos theta `
माना की आयत ABCD का क्षेत्रफल =y, to
`y = AB*AD =2a sin theta * 2a cos theta =2a^(2) sin 2theta ...(1)`
चूँकि `2a^(2)` अचर है इसलिए (1 ) से स्पष्ट है की y का मान महत्तम ( यहाँ निरपेक्ष महत्तम ) होगा |
जब ` sin 2theta =1` या ` 2 theta =(pi)/( 2)` या ` theta =( pi )/(4) `
जब ` theta =(pi)/(4) , AB =AD =sqrt(2a) `
दूसरी विधि
(1) से, ` (dy)/(d theta ) =2a^(2) *2cos 2theta =4a^(2) cos theta " "....(2)`
y के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए `(dy)/(d theta) =0`
`therefore " "4a^(2) cos 2theta =0 " " ` या ` cos 2theta =0 =cos ""(pi)/( 2)`
` therefore " " 2theta ""( pi)/(2) " "` या `theta = ( pi)/( 4)" "[because 0lt theta lt (pi)/(2)] `
(2) से, `(d^(2)y)/( dx^(2) )=-4a ^(2) (-2sin 2theta ) =-8a ^(2) sin 2theta " "...(3)`
` theta =(pi)/(4) ` पर, ` (d^(2)y)/(d theta )=-8a ^(2) sin ""(pi)/( 4) * 2a*( 1)/(sqrt(2) ) =sqrt(2a)`
तथा ` " "AD =2a cos theta =2a cos ""(pi)/(4) =2a *( 1)/(sqrt(2)) =sqrt(2a)`
` therefore " "AB =AD `
अतः y का मान महत्तम है जब ` theta = (pi)/(4) ` अर्थात जब ` AB= AD ` इसलिए आयत एक वर्ग है|
Discussion
11.

दिखाएँ की दिए हुए परिमिति k वाले सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल महत्तम होता है| महत्तम क्षेत्रफल निकालें जब k =16

Answer» उदाहरण (10 ) से महत्तम क्षेत्रफल
` " "=xz =(k)/(4) ,(k)/(4) ,(k^(2) )/(16) `
जब ` k=16 ` तो महत्तम क्षेत्रफल ` =(16^(2))/(16)=16` वर्ग इकाई
Discussion
12.

दिखाएं की `((1)/(x) )^(x)` का महत्तम मान `e^(1//e)` है|

Answer» माना की `y= ((1)/(x) )^(x)" "...(1)`
स्पष्टतः `((1)/(x))^(x)` के परिभाषित होने के लिए `xgt 0`
`(1)` से, ` log y =x log ((1)/(x))=-xlog x `
दोनों तरफ x के सापेक्ष (differentiate ) करने पर हमें मिलता है|
` (1)/(y) (dy)/(dx)=- log x -x *( 1)/(x) =- ( 1+ logx )`
` (dy)/(dx) =-y (1+log x ) =- ((1)/(x))^(x) (1+log x) " "...(2)`
चूँकि `xgt 0" "therefore ((1)/(x))^(x) gt0`
`therefore " "(dy)/(dx) ` का चिन्ह वही होगा जो `-(1+ log_ex )` का
` " "1+ log _e x =0 rArr log _ex =-1 rArr x=e^(-1) =(1)/(3)`
`(dy)/(dx)` अर्थात ` -( 1+log _ex )` का चिन्ह योजना:
y का मान ` x = (1)/(e) ` महत्तम है|
(1)से, y का महत्तम मान ` e^(1//e)`
दूसरी विधि ltBrgt `" "(dy)/(dx) =-((1)/(x))^(x) (1+log x ) " "...(2)`
` therefore " "(d^(2)y)/(dx^(2) )=- [( (1)/(x))^(x)*(1)/(x) (1+ log x )*{-((1)/(x))^(x) (1+log x ) } ]" "...(3)`
` x =(1)/(e) ` पर ` (d^(2) y)/(dx^(2) )=- e^(1//e) *( 1)/(e) lt 0 " "[ because x=(1)/(e) "पर " ,1 +log x=0]`
अतः y का मान `x= (1)/(e) ` पर महत्तम है| ltBrgt y का संगत महत्तम मान `= e^(1//e)`
Discussion
13.

सिद्ध कीजिए की दिए हुए पृष्ट और महत्तम आयतन वाले लम्ब वृतिये शंकु अर्ध शीर्ष कोण ` sin ^(-1) ((1)/(3)) ` hota है|

Answer» माना की ` BD = r, AD =h, AB =l`
` " " angle BAD =theta `
दिया है| ` " "pir^(2) +pirl =` अचर =k (माना )
` " "therefore " "l =(k-pir^(2))/( pi )" "...(1)`
माना की शंकु का आयतन y है तो
` " "y= (1)/(3) pir^(2) h= (1)/(3) pir^(2) sqrt(l^(2) -r^(2))`
माना की z ` z= (1)/(9)pi^(2)r^(4) (l^(2) -r^(2))`
` =(1)/(9) pi^(2)r^(2) [ ( (k-pir^(2)) /( pir )) ^(2) -r^(2)] [(1)"से "]`
` =(pi^(2))/(9) (r^(4))/( pi^(2)r^(2)) [(k- pir^(2))-pi^(2) r^(4) ] =(1)/(9) r^(2) (k^(2) -2kpir^(2))`
` (1)/(9) (k^(2) r^(2) -2kpir^(4) ) " "...(2)`
` therefore(dz)/( dr) =(1)/(9) (k^(2) 2r -8pir^(3)) =(2)/(9) kr (k- 4pir^(2)) " "...(3)`
स्पष्ट्तः `(2)/( 9) krgt 0`
` (dz) /(dr)` अर्थात `(k-4pir ^(2)) ` का चिन्ह योजना:
` therefore z ` का महत्तम है और इसलिए y महत्तम है जब `r= sqrt((k)/( 4pi ))`
`(1)`से ` " "l=( k-pi (k)/( 4pi ) )/( pi sqrt((k)/( 4pi ))) =(3k)/( 4) *( 2)/(sqrt(pik )) =(3)/(2) sqrt((k)/(pi)) `
अतः अब ` sin theta =(r)/(l) =(1)/(2) sqrt((k) /(pi)) *(2)/(3) sqrt((k)/(pi) )=(1)/(3) therefore theta =sin ^(-1) ""(1)/(3) `
Discussion
14.

किसी फॉर्म का लाभ फलन` C(x) =300x -10x^(2) +(1)/(3) x^(3)` से प्रदत है, जहाँ उत्पादन x इकाई है|इकाई की संख्या का परिकलन करें जिस पर सीमांत लागत न्यूनतम है|

Answer» प्रश्न से `C(x) =300x -10x^(2)+(1)/(3)x^(3)" "...(1)`
`therefore " "MC = (dC)/(dx) =300-20 x +x^(2)`
अब ` (d)/(dx) (MC) =-20 +2x (d^(2))/(dx^(2) )(MC) =2`
`MC ` के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए
`(d)/(dx) (MC) =0rArr -20+ 2x =0rArr x=10`
x के इस मान के लिए `(d^(2))/(dx^(2))(MC) =2gt0 `
`rArr MC` न्यूनतम मान यही जब x =10
Discussion
15.

किसी फॉर्म का लागत फलन ` C= 200x -(20)/(3) x ^(2)+ (2)/(9) x^(3)` से प्रदत है जहाँ उत्पाद x इकाई है|इकाई की संख्या को निकालें जिसपर

Answer» दिया है `C= 200x -(20)/(3) x ^(2)+ (2)/(9) x^(3)" "...(1)`
(1 ) औसत लागत ` AC =(C)/(x) =200-(20)/(3) x +(2)/(9) x^(2) `
` rArr (d)/(dx) (AC)=(4)/(9) gt 0`
AC के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए `(d)/(dx) (AC) =0`
`rArr x= (20)/(3)xx(9)/(4) =15`
`rArr x= (20)/(3)xx(9)/(4) =15 `
`rArr AC ` न्यूनतम है जब उत्पादन 15 इकाई है
(ii ) सीमांत लागत ` MC= (dC)/(dx) =200-(40)/(3)x + (2)/(3) x^(2)`
`rArr(d)/(dx) (MC) =-(40)/(3) +(4)/(3) x `
तथा ` (d^(2))/(dx^(2))(MC) =(4)/(3)gt0`
MC के न्यूनतम या महत्तम मान होने के लिए
`(d)/(dx) (MC) =0rArrx=(40)/(3) xx(3)/(4) =10 `
` therefore " "MC` न्यूनतम है जब उत्पादन 10 इकाई है|
Discussion