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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

`(1+x)^(n+1)` का द्विपद प्रसार लिखिए, जब x = 8. सभी `n in N` के लिए दिखलाइए कि `9^(n+1)-8n-9`, 64 से विभाज्य है |

Answer» `(1+x)^(n+1)=""^(n+1)C_(0)+^(n+1)C_(1)x+^(n+1)C_(2)x^(2)+""^(n+1)C_(3)x^(3)+...+""^(n+1)C_(n+1)x^(n+1)`
x = 8 रखने पर, हम पाते हैं
`(1+8)^(n+1)=""^(n+1)C_(0)+^(n+1)C_(1)8+""^(n+1)C_(2)8^(2)+""^(n+1)C_(3)8^(3)+...+""^(n+1)C_(n+1)8^(n+1)" "...(1)`
यदि `(1+x)^(n+1)` का अभीष्ट द्विपद प्रसार है जब x = 8
Second part : (1) से,
`9^(n+1)=1+(n+1)8+""^(n+1)C_(2)8^(2)+""^(n+1)C_(3)8^(3)+...+""^(n+1)C_(n+1)8^(n+1)`
`(because""^(n+1)C_(0)=1" तथा """^(n+1)C_(1)=n+1)`
`implies9^(n+1)-8n-9=64(""^(n+1)C_(2)+""^(n+1)C_(3)8+...+""^(n+1)C_(n+1)8^(n-1))`
= 64 k, जहाँ k कोई पूर्णांक है
अत: सभी `n in N` के लिए `9^(n+1)-8n-9`, 64 से विभाज्य है |
Discussion
2.

साबित कीजिए कि `(x+(1)/(x))^(2n)` के विस्तार में मध्य पद `(1.3.5...(2n-1))/(n!)2^(n)` है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है |

Answer» यहाँ घात = 2n = एक सम संख्या
अत : `((2n)/(2)+1)` वाँ अर्थात `(n+1)` वाँ पद मध्य पद होगा
अब `(x+(1)/(x))^(2n)` के विस्तार में मध्य पद,
`t_(n+1)=""^(2n)C_(n)x^(2n-n)((1)/(x))^(n)=""^(2n)C_(n)x^(n).(1)/(x^(n))=""^(2n)C_(n)`
`=((2n)!)/(n!n!)=(2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)...4.3.2.1)/(n!n!)`
`=([(2n-1)(2n-3)...3.1][2n(2n-2)(2n-4)...4.2])/(n!n!)`
`=([1.3.5...(2n-1)]2^(n)[n(n-1)(n-2)...2.1])/(n!n!)`
`[because2n.(2n-2)(2n-4)...4.2=(2.n){2(n-1)}{2(n-2)}...(2.2).(2.1)]`
`=(1.3.5...(2n-1)2^(n)n!)/(n!n!)=(1.3.5...(2n-1).2^(n))/(n!)`
Discussion
3.

द्विपद प्रमेय का प्रयोग कर `(99)^(5)` को परिकलित कीजिए |

Answer» `(99)^(5)=(100-1)^(5)=""^(5)C_(0)(100)^(5)-""^(5)C_(1)(100)^(4)+""^(5)C_(2)(100)^(3)-""^(5)C_(3)(100)^(2)+""^(5)C_(4)(100)^(1)-""^(5)C_(5)(100)^(0)`
`=(100)^(5)-5xx(100)^(4)+10xx(100)^(3)-10xx(100)^(2)+5xx100-1`
`=10^(10)-5xx10^(8)+10^(7)-10^(5)+5xx10^(2)-1`
`=(10^(10)+10^(7)+5xx10^(2))-(5xx10^(8)+10^(5)+1)`
`=10010000500-500100001=9509900499`
Discussion
4.

`(x-2x^(2))^(7)` के विस्तार में `x^(10)` का गुणांक हैA. `-8.""^(7)C_(3)`B. `8.""^(7)C_(3)`C. `-5.""^(7)C_(3)`D. `5.""^(7)C_(3)`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
5.

`(x+(1)/(x))^(20)` को x के बढ़ते हुए घात में विस्तारित करने पर अंत से 10 वाँ पद होगाA. `(20!)/(9!11!).(1)/(x^(2))`B. `(20!)/(10!10!)`C. `(20!)/(9!11!).x^(2)`D. `(20!)/(10!10!).x`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
6.

विस्तार कीजिए `(x+(1)/(x))^(6)`

Answer» `(x+(1)/(x))^(6)=x^(6)+(6)/(1)x^(5)((1)/(x))^(1)+(6xx5)/(2)x^(4)((1)/(x))^(2)+(15xx4)/(3),x^(3)((1)/(x))^(3)+(20xx3)/(4)x^(2)((1)/(x))^(4)+(5xx2)/(5)x^(1)((1)/(x))^(5)+((1)/(x))^(6)`
`=x^(6)+6x^(4)+15x^(2)+20+(15)/(x^(2))+(6)/(x^(4))+(1)/(x^(6))`
Discussion
7.

द्विपद प्रमेय का प्रयोगकर `(10-1)^(5)` का सही मान निकालिए |

Answer» `(10.1)^(5)=(10+0.1)^(5)`
`=10^(5)+""^(5)C_(1)10^(4)(cdot1)+""^(5)C_(2)10^(3)(cdot1)^(2)+""^(5)C_(3)10^(2)(cdot1)^(3)+""^(5)C_(4)10(cdot1)^(4)+""^(5)C_(5)(cdot1)^(5)`
`=100000+5xx10^(4)(cdot1)+10xx10^(3)(cdot01)+10xx10^(2)(cdot001)+5xx10(cdot0001)+0.00001`
`=100000+5000+100+1+0.005+0.00001=105101.00501`
Discussion
8.

यदि n एक धन पूर्णांक हो तो साबित कीजिए कि `(x+(1)/(x))^(2n)` के विस्तार में महत्तम गुणांक `(1.3.5...(2n-1))/(n!)2^(n)` होगा |

Answer» यहाँ घात = 2n = एक सम संख्या
अत : `((2n)/(2)+1)` वाँ अर्थात `(n+1)` वाँ पद मध्य पद होगा |
चूँकि मध्य पद का गुणांक महत्तम होता है | अत: महत्तम गुणांक `=(n+1)` वें पद का गुणांक `=""^(2n)C_(n)=(2n!)/(n!n1)`.
`=(1.3.5...(2n-1))/(n!).2^(n)" "["Ex "(18)" से"]`
Discussion
9.

`(x-(3)/(x))^(18)` के विस्तार में `x^(12)` का गुणांक हैA. `-9.""^(18)C_(3)`B. `-8.""^(18)C_(3)`C. `-27.""^(18)C_(3)`D. `-25.""^(18)C_(3)`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
10.

`(1+4x+6x^(2)+4x^(3)+x^(4))^(5)` के विस्तार में पदों की संख्या होगीA. 25B. 20C. 21D. 24

Answer» Correct Answer - C
Discussion
11.

यदि `(x+a)^(n)` के विस्तार में सम तथा विषम पदों का योगफल क्रमश: A तथा B हों तो साबित कीजिए कि `A^(2)-B^(2)=(x^(2)-a^(2))^(n)`

Answer» `(x+a)^(n)=""^(n)C_(0)x^(n)+""^(n)C_(1)x^(n-1)a^(1)+""^(n)C_(2)x^(n-2)a^(2)+""^(n)C_(3)x^(n-3)a^(3)+... ...+""^(n)C_(n)x^(n)`
`=(""^(n)C_(0)x^(n)+""^(n)C_(2)x^(n-2)a^(2)+...)+(""^(n)C_(1)x^(n-1)a^(1)+""^(n)C_(3)x^(n-3)a^(3)+...)`
`=A+B" "...(i)`
`(x-a)^(n)=""^(n)C_(0)x^(n)-""^(n)C_(1)x^(n-1)a^(1)+""^(n)C_(2)x^(n-2)a^(2)-""^(n)C_(3)x^(n-3)a^(3)+......+""^(n)C_(n)(-1)^(n)a^(n)`
`=(""^(n)C_(0)x^(n)+""^(n)C_(2)x^(n-1)a^(2)+...)-(""^(n)C_(1)x^(n-1)a^(1)+""^(n)C_(3)x^(n-3)a^(3)+......)`
`=A-B" "...(ii)`
L.H.S. `=A^(2)-B^(2)=(A+B)(A-B)=(x+a)^(n)(x-a)^(n)=(x^(2)-a^(2))^(n)`
Discussion
12.

यदि `(1+x)^(18)` के विस्तार में `(2r+4)` वों पद तथा `(r-2)` वों पद के गुणांक समान हैं, तो r का मान हैA. 4B. 5C. 6D. 7

Answer» Correct Answer - C
Discussion
13.

`(2x-(3)/(x^(2)))^(9)` के विस्तार में अचर पद हैA. `3^(3).""^(9)C_(3)`B. `-3^(3).""^(9)C_(3)`C. `2^(6).3^(3).""^(9)C_(3)`D. `-2^(6).3^(3).""^(9)C_(3)`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
14.

k का मान निकालिए ताकि `(sqrt(x)+(k)/(x^(2)))^(10)` के विस्तार में x से स्वतंत्र पद 405 हो |

Answer» माना कि `(sqrt(x)+(k)/(x^(2)))^(10)` के विस्तार में r th पद x से स्वतंत्र है |
अब `(sqrt(x)+(k)/(x^(2)))^(10)=""^(10)C_(r-1)(sqrt(x))^(10-r+1)((k)/(x^(2)))^(r-1)`
`=""^(10)C_(r-1)(sqrt(x))^(11-r)(k^(r-1))/(x^(2r-2))`
`=""^(10)C_(r-1)(11-r)/(x^(2))xx(k^(r-1))/(k^(2r-2))=""^(10)C_(r-1)x^((11-r)/(2)-2r+2)k^(r-1)`
`:." "t_(r)=""^(10)C_(r-1)x^((15-5r)/(2))k^(r-1)" "...(1)`
`because" ""r th पद x से स्वतंत्र है ":.(15-5r)/(2)=0:.r=3`
(1) में r = 3 रखने पर `t_(3)=""^(10)C_(2)k^(2)`
लेकिन प्रश्न से `""^(10)C_(2)k^(2)=405:.45k^(2)=405" or "k^(2)=9:.k=+-3`
Discussion
15.

`(x^(2)-(1)/(x^(2)))^(10)` के विस्तार में अचर पद हैA. `""^(10)C_(5)`B. 0C. `-""^(10)C_(5)`D. `""^(10)C_(6)`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
16.

यदि `(1+x)^(43)` के विस्तार में `(2r+1)` वें तथा `(r+2)` वें पदों के गुणांक बराबर हैं तो r का मान निकालिए |

Answer» प्रश्न से `(1+x)^(43)` के विस्तार में
`(2r+1)` वें पद का गुणांक `=(r+2)` वें पद का गुणांक
`:.""^(43)C_(2r)=""^(43)C_(r+1)[because(a+x)^(n)" के विस्तार में r वें पद का गुणांक "=""^(n)C_(r-1)]`
`:." "2r=r+1impliesr=1`
या `2r+r+1=43impliesr=14`
r = 1 लेने पर दोनों गुणांक एक ही पद अर्थात तीसरे पद के गुणांक होंगे |
अत: r = 14
Discussion
17.

`(""^(3)sqrt(x)+(1)/(2sqrt(x)))^(18),x gt0`. के प्रसार में x से स्वतंत्र पद ज्ञात कीजिए |

Answer» `(r+1)` वाँ पद `t_(r+1)=""^(18)C_(r)(""^(3)sqrt(x))^(18-r)((1)/(2""^(3)sqrt(x)))^(r)`
`=""^(18)C_(r).(x^(1//3))^(18-r)((1)/(2^(r)))((1)/(x^(1//3)))^(r)`
`=""^(18)C_(r).(1)/(2^(r)).x^((18-r)/(3)).x^(-(r)/(3))`
`=""^(18)C_(r).(1)/(2^(r)).x^((18-r)/(3)-(r)/(3))`
`=""^(18)C_(r).(1)/(2^(r)).x^((18-2r)/(3))`
यदि x से कोई स्वतंत्र पद है तो
`(18-2r)/(3)=0implies18-2r=0impliesr=9`.
अत: 10 वाँ पद x से स्वतंत्र है और इसका मान `""^(18)C_(9).(1)/(2^(9))` है |
Discussion
18.

`((3)/(2)x^(2)-(1)/(3x))^(9)` के विस्तार में x से स्वतंत्र पद ज्ञात कीजिए |

Answer» माना कि r th पद x से स्वतन्त्र है
अब r वाँ पद `t_(r)=""^(9)C_(r-1)((3)/(2)x^(2))^(9-r+1)(-(1)/(3x))^(r-1)`
`=""^(9)C_(r-1)((3)/(2))^(10-r).(x^(2))^(10-r)(-(1)/(3))^(r-1)((1)/(x))^(r-1)`
`=(-1)^(r-1).""^(9)C_(r-1)((3)/(2))^(10-r)(1)/(3^(r-1))x^(21-3r)" "...(1)`
चूँकि r वाँ पद x से स्वतंत्र है `:.21-3r=0 :. r=7`
(1) में r = 7 रखने पर `t_(7)=(-1)^(6).""^(9)C_(6)((3)/(2))^(10-7).(1)/(3^(6))`
`=""^(9)C_(6)(3^(3))/(2^(3)).(1)/(3^(6))=(9.8.7)/(1.2.3).(1)/(8.3^(3))=(7)/(18)`
अत: x से स्वतंन्त्र पद `=(7)/(18)`
Discussion
19.

`(1+3x+3x^(2)+x^(3))^(15)` के विस्तार में `x^(9)` का गुणांक निकालिए |

Answer» `(1+3x+3x^(2)+x^(3))^(15)=[(1+x)^(3)]^(15)=(1+x)^(45)`
`:." ""co-efficient of "x^(9)" in "(1+3x+3x^(2)+x^(3))^(15)`
`="co-eff. of "x^(9)" in "(1+x)^(45)`
`=""^(45)C_(9)" "[because(1+x)^(n)" के विस्तार में "x^(r)" का गुणांक "=""^(n)C_(r)]`
`=(45!)/(9!36!)`
Discussion
20.

`(x+2y)^(9)` के प्रसार में `x^(6)y^(3)` का गुणांक ज्ञात कीजिए |

Answer» माना कि `(x+2y)^(9)` के प्रसार में `x^(6)y^(3),(r+1)` वें पद में आता है |
अब `" "t_(r+1)=""^(9)C_(r)x^(9-r)(2y)^(r)=""^(9)C_(r)2^(r).x^(9-r).y^(r)`
`t_(r+1)` तथा `x^(6)y^(3)` में x और y के घातांकों की तुनला करने पर हमें प्राप्त होता है,
`r=3`
अत:, `" "x^(6)y^(3)` का गुणांक `=""^(9)C_(3)2^(3)=(9!)/(3!6!).2^(3)=(9.8.7)/(3.2).2^(3)=672.`
Discussion
21.

यदि `(1+a)^(n)` के प्रसार में `a^(r-1),a^(r)` तथा `a^(r+1)` के गुणांक समांतर श्रेणी में हों तो सिद्ध करें कि `n^(2)-n(4r+1)+4r^(2)-2=0`

Answer» `(1+a)^(n)` के प्रसार में,
`a^(r-1)` का गुणांक `=""^(n)C_(r-1)` तथा `a^(r)` का गुणांक `=""^(n)C_(r)`
प्रश्न से, `""^(n)C_(r-1),""^(n)C_(r),""^(n)C(r+1)A. P.` में है |
`:." "2.""^(n)C_(r)=""^(n)C_(r-1)+""^(n)C_(r+1)`
`implies" "2(n!)/((n-r)!r!)=(n!)/((n-r+1)!(r-1)!)+(n!)/((r+1)!(n-r-1)!)`
`implies" "(2)/((n-r)(n-r-1)!r(r-1)!)=(1)/((n-r+1)(n-r)(n-r-1)!(r-1)!)+(1)/((n-r-1)!(r+1)r(r-1)!)`
`implies" "(2)/(r(n-r))=(1)/((n-r+1)(n-r))+(1)/((r+1)r)`
`implies" "(2)/(r(n-r))=(r(r+1)+(n-r)(n-r+1))/((n-r+1)(n-r)r(r+1))`
`implies" "2[(n-r+1)(r+1)]=r(r+1)+(n-r)(n-r+1)`
`implies" "2nr-2r^(2)+2n+2=r^(2)+r+n^(2)-2nr+r^(2)+n-r`
`implies" "n^(2)-4nr-n+4r^(2)-2=0`
`implies" "n^(2)-n(4r+1)+4r^(2)-2=0`.
Discussion
22.

यदि `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...C_(n)x^(n)` तो साबित कीजिए कि `C_(0).C_(2)+C_(1).C_(3)+...+C_(n-2)C_(n)=((2n)!)/((n+2)!(n-2)!)`

Answer» `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(n)x^(n)` और `(x+1)^(n+1)=""^(n+1)C_(0)x^(n+1)+""^(n+1)C_(1)x^(n)+...+""^(n+1)C_(n+1)`
Discussion
23.

यदि `C_(r),""^(n)C_(r)` को सूचित करें तो साबित कीजिए कि `(C_(1))/(C_(0))+2.(C_(2))/(C_(1))+3.(C_(3))/(C_(2))+...+n.(C_(n))/(C_(n-1))=(n(n+1))/(2)`

Answer» `t_(r)"(r वाँ पद)"=r.(""^(n)C_(r))/(""^(n)C_(r-1))`
`=r(n!)/(r!(n-r)!).((r-1)!(n-r+1)!)/(n!)=n-r+1`
L.H.S.`=t_(1)+t_(2)+...+t_(n)=n+(n-1)+(n-2)+...+1=(n(n+1))/(n)`
Discussion
24.

यदि `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+.....+C_(n)x^(n)`. साबित कीजिए कि `C_(0)""^(2)+C_(1)""^(2)+C_(2)""^(2)+......+C_(n)""^(2)=((2n)!)/(n!n!)=(1.3.5...(2n-1).2^(n))/(n!)`

Answer» समीकरण (C) तक (i) कि तरह लाइए,
`(C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+......+C_(n)x^(n))`
`(C_(0)x^(n)+C_(1)x^(n-1)+......+C_(n))=(1+x)^(2n)" "...(C)`
दोनों तरफ से `x^(n)` का गुणांक बराबर करने पर,
`C_(0)""^(2)+C_(1)""^(2)+......+C_(n)""^(2)=""^(2n)C_(n)=(2n!)/(n!n1)`
Discussion
25.

यदि `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(n)x^(n)` तो साबित कीजिए कि `C_(0)-(C_(1))/(2)+(C_(2))/(3)-......+(-1)^(n)(C_(n))/(n+1)=(1)/(n+1)`

Answer» दिया गया श्रेणी है : `C_(0)-(C_(1))/(2)+(C_(2))/(3)-...+(-1)^(n).(C_(n))/(n+1)`
r वाँ पद, `t_(r)=(-1)^(r-1)(""^(n)C_(r-1))/(r)`
अब, `C_(0)-(C_(1))/(2)+(C_(2))/(3)-...+(-1)^(n).(C_(n))/(n+1)`
`=underset(r=1)overset(n+1)sum(-1)^(r-1).(""^(n)C_(r-1))/(r)=underset(r=1)overset(n+1)sum(-1)^(r-1).(""^(n+1)C_(r))/(n+1)" "[because (""^(n)C_(r-1))/(r)=(""^(n+1)C_(r))/(n+1)]`
`=(1)/(n+1)[""^(n+1)C_(1)-""^(n+1)C_(2)+""^(n+1)C_(3)-...+(-1)^(n).""^(n+1)C_(n+1)]`
`=(1)/(n+1)[-""^(n+1)C_(0)+""^(n+1)C_(1)-""^(n+1)C_(2).+""^(n+1)C_(3)-...+(-1)^(n).""^(n+1)C_(n+1)+""^(n+1)C_(0)]`
`=(1)/(n+1)[-{""^(n+1)C_(0)-""^(n+1)C_(1)+...+(-1)^(n+1).""^(n+1)C_(n+1)}+""^(n+1)C_(0)]`
`=(1)/(n+1)[-(1-1)^(n+1)+""^(n+1)C_(0)]=(1)/(n+1)`
Discussion
26.

यदि `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(n)x^(n)`, साबित कीजिए कि `C_(0)+2.C_(1)+3.C_(2)+…+(n+1).C_(n)=2^(n-1)(n+2)`

Answer» दिया गया श्रेणी है : `C_(0)+2.C_(1)+3.C_(2)+...+(n+1).C_(n)`
`=[(r-1)+1].""^(n)C_(r-1)=(r-1).""^(n)C_(r-1)+""^(n)C_(r-1)`
`=n.""^(n-1)C_(r-2)+""^(n)C_(r-1)" "[because (r-1).""^(n)C_(r-1)=n.""^(n-1)C_(r-2)]`
अब `" "C_(0)+2.C_(1)+3.C_(2)+.....+(n+1).C_(n)=underset(r=1)overset(n+1)sum t_(r)`
`=underset(r=1)overset(n+1)sumn.""^(n-1)C_(r-2)+underset(r=1)overset(n+1)sum""^(n)C_(r-1)=n underset(r=1)overset(n+1)sum""^(n-1)C_(r-2)+underset(r=1)overset(n+1)""^(n)C_(r-1)`
`=n[""^(n-1)C_(0)+""^(n-1)C_(1)+...+""^(n-1)C_(n-1)]+(""^(n)C_(0)+""^(n)C_(1)+...+""^(n)C_(n))`
`=n.2^(n-1)+2^(n)=2^(n-1)(n+2)`
Discussion
27.

`((x)/(3)+9y)^(10)` के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए |

Answer» यहाँ घात n = 10 (सम संख्या)
`:." ""मध्य पद"=((10)/(2)+1)` वाँ पद
= 6 वाँ पद
`=""^(10)C_(5)((x)/(3))^(10-5)(9y)^(5)`
`=(10.9.8.7.6)/(5!)(x^(5))/(3^(5)).9^(5)y^(5)`
`=252xx3^(5)x^(5)y^(5)=61236x^(5)y^(5)`
Discussion
28.

`(a+b)^(4)-(a-b)^(4)` ज्ञात कीजिए | इसका प्रयोग करके `(sqrt(3)+sqrt(2))^(4)-(sqrt(3)-sqrt(2))^(4)` का मान ज्ञात कीजिए |

Answer» प्रश्न से,
`(a+b)^(4)=a^(4)+4a^(3)b+6a^(2)b^(2)+4ab^(3)+b^(4)`
`(a-b)^(4)=a^(4)-4a^(3)b+6a^(2)b^(2)-4ab^(3)+b^(4)`
घटाने पर, हम पाते हैं
`(a+b)^(4)-(a-b)^(4)=8a^(3)b+8ab^(3)`.
अब `" "a=sqrt(3)" तथा "b=sqrt(2)` रखने पर, हमें मिलता है
`(sqrt(3)+sqrt(2))^(4)-(sqrt(3)-sqrt(2))^(4)`
`=8(sqrt(3))^(3)(sqrt(2))+8(sqrt(3))(sqrt(2))^(3)`
`=8(3sqrt(3))(sqrt(2))+8(sqrt(3))(sqrt(2))`
`=24sqrt(6)+16sqrt(6)=40sqrt(6)`.
Discussion
29.

यदि `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(n)x^(n)`, साबित कीजिए कि `C_(1)+2.C_(2)+3.C_(3)+…+n.C_(n)=n2^(n-1)`

Answer» दिया गया श्रेणी है : `C_(1)+2.C_(2)+3.C_(3)+...+n.C_(n)`,
श्रेणी का r वाँ पद `t_(r)=t.""^(n)C_(r)=n.""^(n-1)C_(r-1)[because r.""^(n)C_(r)=n.^(n-1)C_(r-1)]`
अब `C_(1)+2.C_(2)+3.C_(3)+......+n.C_(n)=underset(r=1)overset(n)sumr.""^(n)C_(r)`
`=underset(r=1)overset(n)sumn.""^(n-1)C_(r-1)=n underset(r=1)overset(n)sum ""^(n-1)C_(r-1)`
`=n[""^(n-1)C_(0)+""^(n-1)C_(1)+""^(n-1)C_(2)+......+""^(n-1)C_(n-1)]`
`=n(1+1)^(n-1)=n.2^(n-1)`
Discussion
30.

यदि n कोई धन पूर्णांक हो, तो सिद्ध कीजिए कि `6^(2n)-35n-1,1225` से विभाज्य है |

Answer» दिया गया व्यंजक `=6^(2n)-35n-1`
`=(6^(2))^(n)-35n-1=(36)^(n)-35n-1`
[यहाँ 36 में 1 घटाने पर 35 मिलता है जिसका घात 2 अर्थात `35^(2),1225` से विभाज्य है]
अब `(36)^(n)-35n-1=(1+35)^(n)-35n-1`
`=1+n35+""^(n)C_(2).35^(2)+""^(n)C_(3).35^(3)+...+35^(n)-35n-1`
`[because""^(n)C_(1)=n" और """^(n)C_(0)=1]`
`=35^(2)[""^(n)C_(2)+""^(n)C_(3).35+...+35^(n-2)]+[1+n35-35n-1]`
`=1225[""^(n)C_(2)+""^(n)C_(3).35+......+35^(n-2)]`
`=1225[""^(n)C_(2)+""^(n)C_(3).35+......+35^(n-2)]`
`=1225xx["एक पूर्णांक, यदि "n ge 2]`
यदि n = 1 तो `6^(25)-35n-1=36-35-1=0` जो कि 1225 से विभाज्य है |
अत: n के धनात्मक पूर्णांक मान के लिए `6^(2n)-35n-1,1225` से विभाज्य है |
Discussion
31.

यदि n धनात्मक पूर्णांक है तो साबित कीजिए कि `2^(4n)-2^(n)(7n+1)`, 14 के वर्ग से विभाज्य है |

Answer» `2^(4n)-2^(n)(7n+1)=(16)^(n)-2^(n)(7n+1)`
`=(2+14)^(n)-2^(n).7n-2^(n)`
`=(2^(n)+""^(n)C_(1)2^(n-1).14+""^(n)C_(2)2^(n-2).14^(2)+...+14^(n))-2^(n).7n-2^(n)`
`=14^(2)(""^(n)C_(2)2^(n-2)+""^(n)C_(3)2^(n-3)14+...+14^(n-2))+(2^(n)+""^(n)C_(1).2^(n-1).14-2^(n).7n-2^(n))`
`=14^(2)(""^(n)C_(2)2^(n-2)+""^(n)C_(3)2^(n-3).14+...+14^(n-2))+(2^(n)+n2^(n-1).2^(1).7-2^(n).7n-2^(n))`
`=14^(2)(""^(n)C_(2).2^(n-2)+""^(n)C_(3).2^(n-3).14+......+14^(n-2))" "...(1)`
जो कि 14 के वर्ग से विभाज्य है |
Note : यदि n = 1 तो (1) में ब्रैकेट के अन्दर वाली संख्या = 0
`because""^(1)C_(2),""^(1)C_(3)...,` शून्य हो जायेगा और तब व्यंजक = 0, जो कि `14^(2)` से विभाज्य है
Discussion
32.

यदि `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(n)x^(n)` तो साबित कीजिए कि `C_(0)+(C_(1))/(2)+(C_(2))/(3)+...+(C_(n))/(n+1)=(2^(n+1)-1)/(n+1)" or "sum+(k=0)^(n)(C_(k))/(k+1)=(2^(n+1)-1)/(n+1)`

Answer» दिया गया श्रेणी है : `C_(0)+(C_(1))/(2)+(C_(2))/(3)+...+(C_(n))/(n+1)`
r वाँ पद `t_(r)=(""^(n)C_(r-1))/(r)`
अब, `C_(0)+(C_(1))/(2)+(C_(2))/(3)+...+(C_(n))/(n+1)`
`=underset(r=1)overset(n+1)sum(""^(n)C_(r-1))/(r)=underset(r=1)overset(n+1)sum(""^(n+1)C_(r))/(n+1)[because(""^(n)C_(r-1))/(r)=(""^(n+1)C_(r))/(n+1)]`
`=(1)/(n+1)(""^(n+1)C_(1)+""^(n+1)C_(2)+...+""^(n+1)C_(n+1))`
`=(1)/(n+1)(""^(n+1)C_(0)+""^(n+1)C_(1)+""^(n+1)C_(2)+...+""^(n+1)C_(n+1)-""^(n+1)C_(0))`
`=(1)/(n+1)(2^(n+1)-1)=(2^(n+1)-1)/(n+1)" "[because""^(n+1)C_(0)=1]`
Discussion
33.

यदि `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(n)x^(n)` तो साबित कीजिए कि `(C_(1))/(2)+(C_(3))/(4)+(C_(5))/(6)+(C_(7))/(8)+......=(2^(n))/(n+1)`

Answer» दिया गया श्रेणी है : `(C_(1))/(2)+(C_(3))/(4)+(C_(5))/(6)+......`
इसका r वाँ पद `t_(r)=(""^(n)C_(2r-1))/(2r)=(""^(n)C_(2r-1))/((2r-1)+1)=(""^(n+1)C_(2r))/(n+1)`
अब `(C_(1))/(2)+(C_(3))/(4)+(C_(5))/(6)+...`
`=underset(r=1)sumt_(r)=(1)/(n+1)underset(r=1)sum""^(n+1)C_(2r)`
`=(1)/(n+1)[""^(n+1)C_(2)+""^(n+1)C_(4)+""^(n+1)C_(6)+...]`
`=(1)/(n+1)[(""^(n+1)C_(0)+""^(n+1)C_(2)+""^(n+1)C_(4)+.......)-""^(n+1)C_(0)]`
`=(1)/(n+1)(2^(n)-1)" "[because""^(n)C_(0)+""^(n)C_(2)+""^(n)C_(4)+...=2^(n-1)]`
`=(2^(n)-1)/(n+1)`
Discussion
34.

यदि `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+.....+C_(n)x^(n)`. साबित कीजिए कि `C_(0).C_(1)+C_(1).C_(2)+..…+C_(n-1).C_(n)=((2n)!)/((n+1)!(n-1)!)`

Answer» समीकरण (C) तक (i) कि तरह लाइए
`(C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+......+C_(n)x^(n))`
`(C_(0)x^(n)+C_(1)x^(n-1)+......+C_(n))=(1+x)^(2n)" "...(C)`
दोनों तरफ से `x^(n+1)` का गुणांक बराबर करने पर,
`C_(0)C_(1)+C_(1)C_(2)+......+C_(n-1)C_(n)=""^(2n)C_(n+1)=(2n!)/((n+1)!(n-1)!)`
Discussion
35.

यदि `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+.....+C_(n)x^(n)`. साबित कीजिए कि `C_(0).C_(r)+C_(1).C_(r+1)+…+C_(n-r).C_(n)=((2n)!)/((n+r)!(n-1)!)`

Answer» `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+......+C_(n)x^(n)" "...(A)`
`:." "(x+1)^(n)=""^(n)C_(0)x^(n)+""^(n)C_(1)x^(n-1)+""^(n)C_(2)x^(n-2)+......+""^(n)C_(n)`
या `" "(x+1)^(n)=C_(0)x^(n)+C_(1)x^(n-1)+C_(2)x^(n-2)+......+C_(n)" "....(B)`
(A) और (B) को गुणा करने पर,
`(C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(r)x^(r)+...+C_(n)x^(n))`
`(C_(0)x^(n)+C_(1)x^(n-1)+...+C_(n-r)x^(r)+...+C_(n))=(1+x)^(2n)....(C)`
L.H.S. में `x^(n+r)` का गुणांक `=C_(0)C_(r)+C_(1)C_(r+1)+...+C_(n-r)C_(n)`
R.H.S. `=(1+x)^(2n)=""^(2n)C_(0)+""^(2n)C_(1)x+""^(2n)C_(2)x^(2)+...+""^(2n)C_(r)x^(r)+...+""^(2n)C_(2n)x^(2n)`
`:." "` R.H.S. में `x^(n+r)` का गुणांक `=""^(2n)C_(n+r)`
`:.` (C) के दोनों पक्षों से `x^(n+r)` का गुणांक बराबर करने पर,
`C_(0)C_(r)+C_(1)C_(r+1)+...+C_(n-r)C_(n)=""^(2n)C_(n+r)=((2n)!)/((n+r)!(n-r)!)`
Discussion
36.

यदि `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...C_(n)x^(n)` तो साबित कीजिए कि `""^(n)C_(0)""^(n+1)C_(1)+""^(n)C_(1).""^(n+1)C_(2)+...+""^(n)C_(n).""^(n+1)C_(n+1)=((2n+1)!)/((n+1)!n!)`

Answer» `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(n)x^(n)` और `(x+1)^(n+1)=""^(n+1)C_(0)x^(n+1)+""^(n+1)C_(1)x^(n)+...+""^(n+1)C_(n+1)`
Discussion
37.

बहुपद `(1+x-3x^(2))^(2163)` में गुणांकों का योगफल हैA. 1B. `-1`C. 2D. 3

Answer» Correct Answer - B
Discussion