InterviewSolution
Saved Bookmarks
InterviewSolution
This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 51. |
सदिशों `3 hati- hatj +hatk` और `2 hati + 3 hatj - hatk` का योग ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» सदिशों का योग `=(3 hati- hatj +hatk)+(2 hati+3 hatj-hatk)` `=5 hati + 2 hatj` |
|
| 52. |
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए की त्रिभुज की मध्यिकाये एकबिंदुगामी होती है । |
|
Answer» माना O मूलबिंदु है तथा O के सापेक्ष `Delta ABC ` के शीर्षो A ,B ,C के स्थिति सदिश क्रमश : `veca ,vecb ,vecc ` है । माना BC भुजा का मध्य -बिंदु D है । ` therefore vec (OD ) =D ` का स्थिति सदिश `= (vec(OB )+vec(OC ))/(2)=(vecb+vecc)/(2)` माना माध्यिका AD को 2 :1 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु G है । `thererfore vec(OG ) ==(2 vec (OD )+1vec(OA))/(2+1)=(2((vecb+vecc)/(2))+1veca)/(3)` `=(veca+vecb+vecc)/(3)` इसी प्रकार `Delta ABC ` की अन्य दो माधियकाओ को 2 :1 के अनुपात में विभाजित करने बिन्दुओ के स्थिति सदिश भी `(veca+vecb+vecc)/(3)` होंगे अंत : :`Delta ABC`की मध्यिकाये एकबिंदुगामी होती है । |
|
| 53. |
यदि ` veca = hati - 7 hatj + 7 hatk ` और ` vecc = 3 hati - 2 hatj +2 hatk ` तो ` | veca xx vecb |` ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» दिया है `veca = hati - 7 hatj + 7 hatk ` तथा ` vecb = 3 hati - 2 hatj + 2 hatk + 2 hatk` ` veca xxvecb =|{:( hati, hatj , hatk),( 1,-7,7),( 3,-2,2):}|` ` =( -14 + 14) hati ( 2 - 21 ) hatj + ( -2 + 21 ) hatk` `=0 hati + 19 hatj +19 hatk` `=? |vecaxxvecb| = sqrt( 0^(2) +(19)^(2) + (19) ^(2))` ` = sqrt( 2xx(19) ^(2) )= 19 sqrt(2) ` |
|
| 54. |
यदि `veca = 3 hati - 2 hatj + 2 hatk , vec b = hati - hatj + hatk ` और ` vecc = 3 hati - hatj + 3 hatk ` तो ` veca .( vecb xx vec c)` ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» ` veca .( vecb xx vecc ) = [ vec a " " vec b" " vecc ]` ` =|{:( 3,-2,2),( 1,-1,1) ,( 3,-1,3):}|` ` = 3 (-3 +1) + 2 ( 3-3 ) + 2 (-1+3)` `=- 6 +0+ =-2` |
|
| 55. |
यदि ` veca = hati + hatj + hatk , vecb = 2 hati + hatj + 2 hatk ` और ` vecc = 3 hati + hatj + 3 hatk` तो ` [ veca " " vecb" "vecc]` का मान ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» ` [ veca " " vecb" " vecc] =|{:( 1,1,-1),( 2,1,2),( 3,1,3):}|` `= 1 ( 3-2 ) -1 ( 6-6) + (-1) ( 2-3)` `= 1-0+1 =2` |
|
| 56. |
यदि `veca = 2 hati + hatj + 3 hatk ` और ` vecb = hati - 4 hatj + hatk , `तो ` veca xx vecb` का मान ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» ` veca xx vecb = ( 2 hati + hatj + 3 hatk ) xx ( hati - 4 hatj + hatk )` `=|{:( hati , hatj , hatk ),( 2 ,1,3),( 1,-4,1):}|` ` = hati ( 1+ 12 ) - hatj ( 2-3) + hatk ( -8-1)` `=(13 hati + hatj -9 hatk )` |
|
| 57. |
यदि `veca=5 hati+ 3 hatj-hatk` और`vecb=2 hati - hatj+ 3 hatk` तो `veca- vecb` ज्ञात कीजिए |
|
Answer» `veca-vecb=(5hati+3hatj-hatk)-(2hati-hatj+3hatk)` `=5 hati + 3 hatj - hatk - 2hati + hatj-3 hatk ` `=3 hati + 4 hatj - 4 hatk` |
|
| 58. |
एक सदिश `vecr` का x-अक्ष के झुकाव `45^(@)` और y - अक्ष से झुकाव `60^(@)` है यदि`|vecr|=8 ,` तो `vecr` ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» यहाँ ` alpha = 45^(@) , beta = 60^(@)` हम जानते है कि `l = cos alpha , m= cos 60^(@)` `implies l= cos 45^(@), m= cos 60^(@)` `implies l=(1)/(sqrt(2)), m=(1)/(2)` और `l^(2)+m^(2)+n^(2)=1` `implies (1)/(2)+(1)/(4)+n^(2)=1` `implies(1)/(2)+(1)/(4)+n^(2)=1` `implies n^(2)=(1)/(4)` `implies n=+- (1)/(2)` `therefore hatr = l hati +m hatj+nhatk =(1)/(sqrt(2))hati+(1)/(2)hatj +- (1)/(2) hatk` प्रश्नानुसार `|vecr|=8` ` therefore vecr = 8 hatr` `=8((1)/(sqrt(2))hati + (1)/(2) hatj +- (1)/(2) hatk )=4 ( sqrt(2) hati + hatj + hatk)` |
|
| 59. |
यदि `veca= 2 hati + hatj - 3 hatk ` और `vecb = hati + 4 hatj - hatk ` तो `veca . vecb`का मान ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» `veca. Vecb=(2 hati +hatj -3hatk ).( hati +4hatj - hatk )` `=2+4+3=9` |
|
| 60. |
सदिश ` hati + 2 hatj + 3 hatk` की दिक् cosine ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» माना ` veca = hati + 2 hatj + 3hatk ` तब ` |veca| = sqrt( 1^(2) +2^(2) + 3^(2) )= sqrt(14) ` ` therefore hata =( veca )/( |veca |) implies hata =(1) /( sqrt(14)) ( hati + 2 hatj + 3 hatk)` `implies hata =(1)/( sqrt(14)) hati +(2) /( sqrt(14)) hatj +(3) /( sqrt(14) ) hatk ` अंत : दिए गए सदिश की दिक् किज्याएँ ` (1) /( sqrt(14)), (2) /( sqrt(14))`तथा ` (3) /( sqrt(14))` है । |
|
| 61. |
यदि `|veca|ne 0 , |vecb|ne 0 ` और `|veca +vecb |= |veca- vecb|,` तो दिखाइए कि सदिश `veca` और `vecb` परस्पर लम्ब है । |
|
Answer» `|veca +vecb |=|veca- vecb|` `implies |veca + vecb|^(2) =|veca- vecb |^(2)` `implies ( veca + vecb ).(veca+vecb)=(veca - vecb ).( veca - vecb)` ` implies |veca|^(2) +|vecb|^(2) + 2 veca . Vecb =|veca |^(2) +|vecb|^(2) - 2 veca . vecb` `implies 4 veca . vecb =0` `implies veca . vecb =0` `implies veca `और `vecb`परस्पर लम्ब है । |
|
| 62. |
सदिश `3 hati + 2 hatj + 6 hatk ` का परिमाण और दिक् - कोज्याएँ ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» माना `vecr=3 hati+2 hatk + 6 hatk` `implies |vecr|=sqrt(3^(2)+2^(2)+6^(2))=7` `therefore ` दिये गये सदिश का परिमाण =7 मात्रक `hatr =(vecr)/(|vecr|)=(3)/(7)hati+(2)/(7)hatj+(6)/(7)hatk` `therefore ` दिक् - कोज्याएँ `=(3)/(7),(2)/(7),(6)/(7)` |
|
| 63. |
सिद्ध कीजिए कि सदिश `hati + 3 hatj + 4 hatk` और `4 hati - 4 hatj +2hatk ` में परस्पर लम्ब है । |
|
Answer» माना `veca= hati +3 hatj + 4 hatk ` और `vecb= 4 hati - 4 hatj + 2 hatk ` अब `veca . ""vecb =( hati +3 hatj +4hatk ).(4 hati - 4 hatj +2hatk )` `implies veca`और `vecb` सदिश परस्पर लम्ब है |
|
| 64. |
सदिश `2 hati - hatj + 2 hatk` के अनुदिश 2 इकाई लम्बाई का सदिश ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» माना `veca= 2 hati - hatj + 2 hatk` `implies | veca|=|2 hati - hatj+2 hatk |= sqrt(4+1+4)=3` सदिश `veca`के अनुदिश एकांक सदिश `=(veca)/(|veca|)=(2 hati - hatj +2 hatk )/(3)` `implies ` सदिश `veca` के अनुदिश दो इकाई लम्बाई का सदिश `=(2)/(3)(2hati- hatj+2 hatk)` |
|
| 65. |
सदिशों `hati - 2 hatj + 3 hatk`और ` 3 hati - 2 hatj + hatk` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» माना ` veca = hati - 2 hatj + 3 hatk ` तथा ` vecb = 3 hati - 2 hatj + hatk ` है । ` therefore | veca| = sqrt( 1^(2) +(-2)^(2) +3^(2) )` `= sqrt( 1+4+9) = sqrt(14)` ` | vecb| = sqrt( 3^(2) +(-2) ^(2) + 1^(2) )` ` = sqrt( 9+4+1) = sqrt(14)` अब ` , veca . vecb = ( hati - 2 hatj + 3 hatk ).( 3 hati - 2 hatj + hatk )` `= 3 + 4+3=10` मान लीजिए ` theta ` सदिश ` veca ` तथा ` vecb ` के बीच का कोण है ` cos theta ""=( veca . vecb) /(| veca||vecb|) =( 10)/( sqrt(14) sqrt(14))=(10)/( 14) =(5)/(7)` ` implies theta = cos ^(-1) ((5)/(7))` |
|
| 66. |
निम्नलिखित सदिशों के बीच कोण ज्ञात कीजिए - `(i) hati + 3 hatj + 2hatk` और `3 hati + 4 hatj ` `(ii) hati ` और `2 hati + 3 hatj` |
|
Answer» माना `veca = hati + 3 hatj + 2 hatk ` और `vecb = 3 hati + 4hatj` `implies |veca| = sqrt(1+9+4)` और `|vecb|= sqrt( 9+16)` `implies |veca|=sqrt(14)` और `|vecb|=5` तथा `veca . vecb= ( hati + 3 hatj + 2 hatk ). (3 hati + 4 hatj)` `=3+12=15` अब `cos theta =( veca. vecb)/(|veca||vecb|)` जहाँ`theta , veca` और `vecb` के बीच कोण है `implies cos theta =(15)/(sqrt(14).5)=(3)/(sqrt(14))` `implies theta = cos ^(-1) ((3)/(sqrt(14)))` (ii) माना `veca = hati `और `vecb = 2 hati + 3hatj` `implies |vec |= sqrt(1^(2)+0+0)`और `|vecb|=sqrt(2^(2))+3^(2))` `implies |veca|=1` और `|vecb|=sqrt(13)` तथा `veca . vecb= hati .( 2 hati +3hatj)=2` अब `cos theta = ( veca . vecb)/(|veca||vecb|)=(2)/(1xxsqrt(13))=(2)/(sqrt(13))` जहाँ `theta , veca `और `vecb` के बीच कोण है । `implies theta = cos ^(-1) ((2)/(sqrt(13)))` |
|
| 67. |
xy - समतल और सदिश `2 hati + 2 hatj + hatk ` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» हम जानते है कि xy - समतल के लम्बवत सदिश `hatk ` है माना `veca= hatk`और `vecb= 2 hati +2 hatj +hatk` `implies |veca|=1` और `|vecb|=sqrt(2^(2)+2^(2)+1^(2))=3` और `veca . Vecb = hatk .( 2 hati+2hatj +hatk )=0+0+1=1` `therefore cos theta =(veca. vecb)/(|veca||vecb|)=(1)/(1xx3)=(1)/(3)` `implies theta = cos ^(-1)((1)/(3))` अब xy - समतल और सदिश `2hati + 2hatj + hatk` के बीच कोण `=90^(@) - cos ^(-1)((1)/(3))` |
|
| 68. |
यदि एक त्रिभुज के शीर्षो के स्थिति सदिश `7 hatj +10 hatk , -hati +6hatk , -4 hati +9hatj +6hatk` है , तो सिद्ध कीजिए कि यह त्रिभुज एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है । |
|
Answer» माना O मूलबिंदु है तथा `therefore OvecA = 7 hatj + 10 hatk ` ` vec(OB) = - hati + 6 hatj + 6 hatk ` `vec(OC) =- 4 hati + 9 hatj + 6 hatk ` `vec(AB)= vec(OB) - vec(OA) =- hati - hatj - 4 hatk ` `vec(BC) = vec(OA) - vec(OC) = 4 hati - 2 hatj + 4hatk` अब `vec(AB) .vec(BC) =(-hati -hatj- 4hatk )` `=3-3=0` `implies vec(AB), vec(BC)` पर लम्ब है । अब `|vec(AB)|=sqrt(1+1+16)=3sqrt(2)` `|vec(BC)|=sqrt(9+9)=3sqrt(2)` `|vec(AC) |= sqrt( 16+4+16)=6` `therefore |vec(AB)|=|vec(BC)|` `implies Delta ABC ` समद्विबाहु है । अंत : त्रिभुज समकोण समद्विबाहु है । |
|
| 69. |
यदि A ,B ,C ,D के स्थिति सदिश क्रमश : `2 hati + 4 hatk , 5 hati + 3 sqrt(3)hatj + 4 hatk ,-2sqrt(3)hatj + hatk , 2 hati + hatk ` है , तो सिद्ध कीजिए की रेखा AB ,CD के समान्तर है । |
|
Answer» माना O मूलबिंदु है । `therefore vec (OA)=2 hati+ 4 hatk," " vec(OB)=5 hati+sqrt(3) hatj + 4 hatk` `vec(OC)=-2sqrt(3)hatj+ hatk ,vec(OD)= 2 hati + ahatk` अब `vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)` `=(5 hati +3 sqrt(3)hatj+ 4 hatk )-(2hati+4 hatk )` `=3 hati + 3sqrt(3)hatj = 3( hati+ sqrt(3) hatj)` और `vec(CD)=vec(OD)-vec(OC) =(2 hati + hatk )-(-2 sqrt(3)hatj+ hatk )` `=2 ahati+ 2 sqrt(3) hatj = 2( hati + sqrt(3) hatj )=(2)/(3)vec(AB)` ` therefore vec(CD) ||vec(AB)` |
|
| 70. |
यदि ` ( veca + vecb) . ( veca - vecb)=8` और ` | veca| = 8 |vecb|` हो तो ` | veca|` एवं ` | vecb|` ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» दिया है , `( veca + vecb) .( veca - vecb ) = 8` ` implies veca "." veca - veca "." vecb + vecb "." veca - vecb "." vecb =8` `implies | veca|^(2) -|vecb}|^(2) =8` `implies (8 |vecb| )^(2) -|vecb|^(2)=8` `implies |vecb|=sqrt((8)/(63))=(2)/(3)sqrt((2)/(7))` तथा ` | veca| = 8 | vecb|=8 ((2)/(3)sqrt((2)/(7)))=(16)/(3) sqrt((2)/(7))` |
|