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\(\frac{2^{0}+8^{0}}{6^{0}}\) = \(\frac{1+1}1=\frac21=2\)

हाँ x² = 2

∴ x = (2)^1/2

∴ x³ = [(2)^1/2]³ = (2)^3/2 

= \(\sqrt{2 \times 2 \times 2}=2 \sqrt{2}\)

(16)^2x+3 = (64)^x+3

⇒ (2⁴)^2x+3 = (2⁶)^x+3

(2)^8x+12 = (2)^6x+18

दोनों पक्षों में 2 के घातांकों की तुलना से

8x + 12 = 6x + 18

⇒ 8x – 6x = 18 – 12

⇒ 2x = 6

⇒ x = 6/2 = 3
∴ 4^2x-2 = 4^2×3-2 

= 4^6-2 = 4⁴ = 256

3^x-1 = 9

∴ 3^x-1 = 3²

घातांकों की तुलना करने से

x – 1 = 2

इसी प्रकार x = 3

4^y+2 = 64

4^y+2 = 4³

घातांकों की तुलना करने से

y + 2 = 3

∴ y = 3 – 2 = 1

∴ \(\frac{x}{y}=\frac{3}{1}\) = 3

हाँ 2⁶ = 4^x

⇒ 2⁶ = (2)^2x

दोनों पक्षों के घातांकों की तुलना से

2x = 6

x = = 3

∴ x³ = (3)³ = 27

चूँकि 22/7 , p/q (जहाँ q ≠ 0) के रूप की होती है। 

अतः यह एक परिमेय संख्या है।

(x^-2/3 y^-1/2)²

= x^{-2/3 x 2} y ^{-1/2 x 2}

= x^-4/3 y^-1 = \(\frac1{x^{4/3}y}\)

L.H.S. =  x^{(a-b)(a+b) + (b-c)(b+c) + (c-a)(c+a)}

 = \(x^{a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2}\)

= x⁰

= 1

= R.H.S.

∵ अभीष्ट संख्या को 245 तथा 1029 को विभाजित करने पर प्रत्येक

स्थिति में शेषफल 5 आता है।

∴ 245 – 5 = 240 और 1029 – 5 = 1024

दोनों अभीष्ट संख्या से पूर्णतयाः विभाजित हो जाते हैं।

अब हम 240 तथा 1024 का म०स० ज्ञात करेंगे

अतः 240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 3

1024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

अतः अभीष्ट संख्या HCF (240, 1024) = 16

दो अपरिमेय संख्याओं की गुणा परिमेय भी हो सकती है तथा अपरिमेय भी हो सकती है।

माना, x = 3 +√p एक अपरिमेय संख्या है।
x − 3 = √p
वर्ग करने पर, x² + 9 – 6x = p ……………..(1)
x² भी परिमेय संख्या होगी परन्तु x अपरिमेय संख्या है।
समीकरण (1) से,
p एक अपरिमेय संख्या है समीकरण (1) से सिद्ध होता है कि अपरिमेय संख्या p के लिए ही 3 + √p अपरिमेय होगा।

माना x = \(0.\overline{32}\) 

= 0.323232… …(1) 

⇒ 10x = 3.23232… ..(2)

⇒ 1000x = 323.232… …(3)

समी० (2) तथा (3) का प्रयोग करने पर,

990 x = 320

⇒ x = \(\frac{320}{990}=\frac{32}{99}\)

अतः \(0.\overline{32}=\frac{32}{29}\)

(3 - √7) (3 + √7) = (3)² - (√7)²

= 9 - 7 = 2  प्राकृतिक और परिमेय

दी गई संख्या \(3.\overline{35}\) 

= 3.353535… की प्रवृत्ति सांत व आवर्ती है।

अतः यह एक परिमेय संख्या होगी।

संख्या = 2√5 

चूँकि √5 एक अपरिमेय संख्या है जिसका मान 2.236067977… 

जोकि असांत व अनावर्ती है तथा 2√5 का मान भी असांत व अनावर्ती होगा।

अतः संख्या 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

संख्या = \(1.23\overline{48}\)

= 1.23484848…

का विस्तार सांत तथा आवर्ती है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

1/9 = 0.1111111... = \(0.\overline 1\)

2/9 = 0.22222... = \(0.\overline 2\)

4/9 = 0.44444... = \(0.\overline 4\)

5/9 = 0.55555 = \(0.\overline 5\)

3\(\frac18\) = \(\frac{25}8\) = 3.125

यहाँ संख्या का हर \(\frac{43}{2^2\times5}\) के अभाज्य गुणनफल 2^m × 5ⁿ के रूप का है। 

अतः यह सांत प्रसार है।

जोकि 2 {= अधिकतम (2, 1)} स्थान के बाद सांत होगा।

संख्या 14753/1250 = 11.8024

अर्थात् दी गई संख्या दशमलव के चार स्थान बाद स्थगित होगी।

यदि सम्भव हो तो माना कि 2 + √3 एक परिमेय संख्या है तथा हम जानते हैं कि 2 एक परिमेय संख्या है। हम यह भी जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय संख्या होती है।

∴ (2 – √3 – 2) भी एक परिमेय संख्या है।

अर्थात् √3 एक परिमेय संख्या है जो कि एक विरोधाभास है क्योंकि √3 एक अपरिमेय संख्या है।

अतः (2 – √3) एक अपरिमेय संख्या है।

√2 = 1.4142135 से 1.4142136

∵ अभीष्ट संख्या को दी गई संख्याओं से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 7, 11 व 15 आता है।

अतः 398 – 7 = 391

436 – 11 = 425

तथा 542 – 15 = 527

अतः अभीष्ट संख्या तीनों संख्याओं को पूर्णतया विभाजित करती है।

अतः हम तीनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे

391 = 17 × 23

425 = 5 × 5 × 17

527 = 17 × 31

म०स० (391, 425, 527) = 17

अतः अभीष्ट संख्या = 17

∵ अभीष्ट संख्या को 285 तथा 1249 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल क्रमश: 9 व 7 प्राप्त होते हैं।

अतः 285 – 9 = 276 तथा 1249 – 7 = 1242

दोनों संख्याएँ, अभीष्ट संख्या से पूर्णतया विभाजित हो जाते हैं, इसलिए

अभीष्ट संख्या दोनों संख्याओं का एक गुणनखण्ड होगी।

अतः हम दोनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे

276 = 2 × 2 × 3 × 23

1242 = 2 × 3 × 3 × 3 × 23

अतः अभीष्ट संख्या HCF (276, 1242) = 2 × 3 × 23 = 138

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,

963 = 657 × 1 + 306

657 = 306 × 2 + 45

306 = 45 × 6 + 36

45 = 36 × 1 + 9

36 = 9 × 4 + 0

अत: HCF (657, 963) = 9

प्रश्नानुसार, HCF = 657x + 963x – 15

⇒ 9 = 657x – 14445

⇒ 9 + 14445 = 657x

⇒ 14454 = 657x

⇒ 14454/657 = x

⇒ x = 2

दी गयी संख्या = \(\frac{2\sqrt{45}+3\sqrt{20}}{2\sqrt{5}}\)

\(=\frac{2\times3\sqrt{5}+3\times2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\)

\(=\frac{3\times2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}+\frac{3\times2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\)

= 3 + 3 = 6

चूँकि 6 एक परिमेय संख्या है। इसलिए प्राप्त संख्या 6 एक परिमेय संख्या है।

माना a = 0.232332333233332……..

b = 0.2525525552555552…….

a तथा b दोनों अपरिमेय संख्या है।

a व b में दशमलव के बाद का पहला स्थान एक ही (2) है परन्तु दूसरा स्थान a में 3 व b में 5 है।

∴ c = 0.25 तथा d = 0.2525 ऐसी परिमेय संख्या होगी।

जिससे a < c < d < b

दिया है, 

2³ × 3 × 5 तथा 2⁴ × 5 × 7

अतः LCM = 2⁴ × 5 × 3 × 7

= 1680

 क्या शून्य (0) एक परिमेय संख्या है? क्या इसे p/q, q ∈ Z, q ≠ 0 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

0 = \(\frac01=\frac02=\frac pq\)

0.5 व 0.6 के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ = 0.515115111……

= 0.535335333……

= 0.575775777……

सभी परिमेय संख्याएँ तथा अपरिमेय संख्याएँ साथ ली गई हैं जो वास्तविक संख्याओं से ली गई है सभी परिमेय एवं अपरिमेय संख्या, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। सभी परिमेय व अपरिमेय संख्या, संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याएं निरूपित है इसलिए इसे संख्या रेखा के स्थान पर वास्तविक संख्या रेखा कहते हैं।

दो वास्तविक संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ होती हैं|

अपरिमेय संख्या, जिसे p/q (जहाँ p व q पूर्णांक तथा q ≠ 0) है, के रूप में व्यक्त नही किया जा सकता है।
परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण सांत तथा आवर्ती होता है। इसके विपरीत अपरिमेय संख्या का दशमलव निरूपण न तो सांत और ना ही आवर्ती होते हैं। जैसे- √3, √5, √7, √11 आदि अपरिमेय संख्याएँ जो परिमेय नहीं है, दशमलव के रूप में प्रदर्शित करने पर वे न तो सांत होती हैं और न ही आवर्ती।

दी गयी संख्या = \(\frac{441}{2^2\times5^7\times7^2}\)

चूँकि हर 2^m × 5ⁿ के रूप का नहीं है इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत है।

संख्या p/q का प्रसार सांत जब होगा, तब q का अभाज्य गुणनखण्ड 2^m × 5ⁿ के रूप का हो।

(i) यदि n कोई पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है तो √n परिमेय संख्या नहीं होती है।

∴ √n \(\neq\)\( \frac{p}{q}\) जहाँ p व q पूर्णांक है तथा q ≠ 0
जैसे- √2, √3,√5 आदि

(ii) यदि n कोई पूर्ण वर्ग संख्या है तो √n एक परिमेय संख्या होती है।
√n=\( \frac{p}{q}\) जहाँ p व q पूर्णांक है तथा q ≠ 0
जैसे- √4, √9, √16, √25 आदि

माना x एक परिमेय संख्या है तथा y एक अपरिमेय संख्या है।

तब हमें दिखाना है कि (x + y) एक अपरिमेय संख्या है।

माना x + y परिमेय संख्या है।

∵ दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी परिमेय ही होता है।

∴ (x + y) – x भी एक परिमेय संख्या है।

∴ y एक परिमेय संख्या है परन्तु y एक अपरिमेय संख्या है।

∴ हमारी परिकल्पना हैं कि x + y एक परिमेय संख्या है, गलत है

अत: x + y एक अपरिमेय संख्या है।

∵ 3.142678 =\(\frac{3142678}{1000000}=\frac{1571339}{500000}\)
जिसे \(\frac{p}{q}\)लिखा जा सकता है यह एक परिमेय संख्या है।

परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण करने पर दशमलव के बाद अंकों की संख्या सीमित है

जैसे- 3/4 = 0.75 या 5/8= 0.625

परन्तु यदि अंको की संख्या सीमित नहीं है और अंको के एक समूह की क्रमानुसार पुनरावृत्ति हो तो उसे आवर्ती 

शमलव कहते हैं। जैसे-

1/3 = 0.3333...

2/9 = 0.222...

माना 7, एक परिमेय संख्या x का घन है।
7 = x³
0 = x³ -7
∴ x. एक परिमेय संख्या नही है
∴ हमारी परिकल्पना x एक परिमेय संख्या है,
गलत है .:. x परिमेय संख्या नहीं है
∴ 7, एक परिमेय संख्या का घन नहीं है।
वास्तविक संख्याएँ

144 का अभाज्य गुणनफल = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

अतः संख्या 144 के अभाज्य गुणनफल में 2 की घात 4 होगी।

संख्या 196 का अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 7 × 7

= 2² × 7²

अतः इस गुणनखण्ड की घातों का योग = 2 + 2 = 4

दिया है, p = ab² = a × b × b तथा

q = a²b = a × a × b 

अतः LCM (p, q) = a × b × b × a

= a² b²

दिया है, संख्यायें a तथा 18

LCM = 36 तथा HCF = 2

हम जानते हैं कि LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल

⇒ 36 × 2 = a × 18

⇒ a = \(\frac{36\times2}{18}\) = 4

⇒ a = 4

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,

72 = 56 × 1 + 16

56 = 16 × 3 + 8

16 = 8 × 2 + 0

अत: HCF (56, 72) = 8 = d

∵ दिया है, d = 56x + 72y

8 = 56x + 72y

8 = 56 × 4 + 72 × ( – 3)

8 = 224 – 216

अतः x व y के मान क्रमशः 4 तथा – 3 हैं।