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व्यापक पद ⁿC_r x^{n – r} a^r होगा ।

यदि प्रथम क्रिया n प्रकार से और दूसरी क्रिया n प्रकार से हो सकती हो तो दोनों क्रियाएँ एक साथ कुल m × n प्रकार से होगी । इस नियम को संयुक्त क्रिया की गणना का मौलिक सिद्धांत कहते है ।

सहगुणक ⁶C₀, ⁶C₁, ⁶C₂, ⁶C₃, ⁶C₄, ⁶C₅, ⁶C, अर्थात् 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 होगा ।

n भिन्न-भिन्न वस्तुओं में से r स्थानों पर वस्तुओं का गठन करना है अर्थात् ⁿP_r

क्रमचय nPr और संचय ⁿC_r के बीच गाणितिक संबंध ⁿC_r =\(\frac{ ^nP_r}{r!}\)

सही विकल्प है  (D) ⁿC_r = \(\frac{^nP_r}{r!}\)

यदि किसी एक समूह में m भिन्न वस्तुओं ओर दूसरे समूह में n भिन्न वस्तुओं हो तो दोनों समूह की कुल वस्तुओं में से किसी एक वस्तु का चयन m + n प्रकार से होगा उसे गणना का योग का नियम कहते है ।

सही विकल्प है (B) ⁿC_{n – r}

सहगुणक ⁿC₀, ⁿC₁, ⁿC₂ ………. ⁿC_n है ।

5 भिन्न-भिन्न पत्रों को 5 लिफाफे में रखने के कुल प्रकार ‘P, होगा।

∴ कुल प्रकार = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

प्रत्येक विषय की किताब साथ में आये इस प्रकार गठन करना है ।

∴ अंकशास्त्र की 6 किताबें गठन करने के प्रकार ⁶P₆ = 6!

लेखाशास्त्र की 5 किताबें गठन करने के प्रकार ⁵P₅ = 5!

अंग्रेजी की 4 किताबें कठन करने के प्रकार ⁴P₄ = 4!

तीनों भिन्न-भिन्न विषय के गठन के प्रकार ³P₃ = 3!

∴ टेबल पर किताबें गठन करने के प्रकार = (6! × 5! × 4!) × 3!

= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)

= 720 × 120 × 24 × 6 = 12441600

क्रमचय में क्रम का महत्त्व है जब कि संचय में क्रम को महत्त्व न देकर पसंदगी में समुच्चय या समूह को महत्त्व दिया जाता है ।

सही विकल्प है (C) 2

(2x+3y)³ = ³C₀ (2x)³ (3y)⁰ + ³C₁ (2x)² (3y)¹ + ³C₂ (2x)¹ (3y)² + ³C₃ (2x)⁰ (3y)³

= 1 × 8x³ × 1 + 3 × 4x² × 3y + 3 × 2x × 9y² + 1 × 1 × 27y³

= 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³

द्वि-पद विस्तार में निम्न लक्षण देखे जा सकती है ।

1. इस विस्तार में पदों की संख्या n + 1 होती है ।
2. विस्तार के पदों का सहगुणक क्रमशः ⁿC₀, ⁿC₁, ⁿC₂ …. ⁿC_n है ।
3. प्रथम पद xⁿ एवं अंतिम पद aⁿ होता है।
4. किसी पद में x की घात और a की घात का योग n होता है ।
5. मध्य के पद से समान अन्तर पर आये पदों के सहगुणक समान होते है ।

(x – \(\frac{1}x\))³ = ³C₀x³(\(\frac{1}x\))⁰ - ³C₁x²(\(\frac{1}x\))¹ + ³C₂x¹(\(\frac{1}x\))²  - ³C₃x⁰(\(\frac{1}x\))³

= 1 × x³ × 1 – 3 × x² x + \(\frac{1}x\) + 3 × x × \(\frac{1}{x^2}\) – 1 × 1 × \(\frac{1}{x^3}\)

= x³ – 3x + \(\frac{3}x−\frac{1}{x^3}\)

10 विद्यालयों को तीन पारितोषिक ¹⁰P₃ रीति से बाँट सकते है ।

कुल प्रकार ¹⁰P₃ = \(\frac{10!}{(10−3)!}=\frac{10×9×8×7!}{7! }\)= 720

सही विकल्प है (D) ⁸P₃

सही विकल्प है (B) 4

सही विकल्प है (D) 4

(1+a)⁶ = ⁶C₀ (1)⁶ (a)⁰ + ⁶C₁ (1)⁵ (a)¹ + ⁶C₂ (1)⁴ (a)² + ⁶C₃ (1)³ (a)³ + ⁶C₄ (1)² (a)⁴ + ⁶C₅ (1)¹ (a)⁵ + ⁶C₅ (1)⁰ (a)⁶

= 1 × 1 × 1 + 6 × 1 × a + 15 × 1 × a² + 20 × 1 × a³+ 15 × 1 × a⁴ + 6 × 1 × a⁵ + 1 × 1 × a⁶

= 1 + 6a + 15a² + 20a³ + 15a⁴ + 6a⁵ + a⁶

a = 2 रखने पर

LHS = (1 + a)⁶ = (1 + 2)⁶ = (3)⁶ = 729

RHS = 1 + 6a + 15a² + 20a³ + 15a⁴ + 6a⁵ + a⁶

= 1 + 6 × 2 + 15 × (2)² + 20 (2)³ + 15 (2)⁴ + 6 (2)⁵ + (2)⁶

= 1 + 12 + 60 + 20 × 8 + 15 × 16 + 6 × 32 + 64

= 1 + 12 + 60 + 160 + 240 + 192 + 64

= 729

इसलिए LHS = RHS

8 आवेदकों में से 2 का चयन ⁸C₂ विधि से होगा ।

ⁿC_r =\(\frac{ n!}{r!(n−r)!}\)

∴ ⁸C₂ = \(\frac{8!}{2!(8−2)!}=\frac{8!}{2!×6!} = \frac{8×7×6!}{2×1×6!}\) = 28

3.(n + 3) (n + 3 – 1) (n + 3 – 2) (n + 3 – 3) = 5 (n + 2) (n + 2 – 1) (n + 2 – 2) (n + 2 – 3)

∴ 3 (n + 3) (n + 2) (n + 1) (n) = 5 (n + 2) (n + 1) (n) (n – 1)

∴ 3 (n + 3) = 5 (n – 1) (दो ओर समान मूल्य कट जायेंगे )

3n + 9 = 5n – 5 |

∴ 5n – 3n = 9 + 5

2n = 14

∴ n = \(\frac{14}2\)

n = 7

(1) ¹¹C₄

ⁿC_r =\( \frac{n!}{r!(n−r)!}\)

¹¹C₄ \(\frac{11!}{4!(11−4)!}=\frac{11×10×9×8×7!}{4×3×2×1×7! }\)= 330

(2) ⁹C₀

ⁿC₀ = 1 परिणाम के अनुसार

∴ ⁹C₀ = 1

वैकल्पिक रीति ⁿC_r = \(\frac{n!}{r!(n−r)!}=\frac{9!}{0!(9−0)!}=\frac{9!}{1×9!}\)

∴ = 1

(3) ²⁵C₂₃

ⁿC_r = \(\frac{n!}{r!(n−r)!}\)

²⁵C₂₃ \(\frac{25!}{23!(25−23)!}=\frac{25×24×23}{23!×2×1}\)= 300

(4) ⁸C₈

ⁿC_n = 1

∴ ⁸C₈

वैकल्पिक रीति ⁸C₈ = \(\frac{8!}{8!(8−8)!}=\frac{8!}{8!×0!}\) = 1

सही विकल्प है (A) mn

200 इकाई के 5% = 10 दोषयुक्त है । यदि तीन का चयन करना हो तो r = 3, n = 10
सभी दोषयुक्त इकाई ¹⁰C₃ होगा ।

ⁿC_r = \(\frac{n!}{r!(n−r)!}\)

¹⁰C₃ = \(\frac{10!}{3!(10−3)!}=\frac{10×9×8×7!}{3×2×1×7!}\)

= 120 विकल्प

SHLOKA शब्द में कुल 6 अक्षर है ।

A और O तो स्वर है उसे ²P₂ रीति से एकसाथ रख सकते है ।

दो स्वर को एक अक्षर गिनने पर 4 + 1 = 5 अक्षर की रचना की जाएगी ।

स्वर एकसाथ आये ऐसे शब्दों की कुल संख्या = ²P₂ × ⁵P₅ = 2! × 5! = 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 2 × 120 = 240 इसलिए स्वर एकसाथ हो ऐसे कुल 240 शब्द बन सकते है ।

आमंत्रण के निम्न प्रकार बनेगे ।

कम से कम एक मित्र को आमंत्रण देना है ।

एक मित्र को अथवा दो मित्र को अथवा 3 मित्र को अथवा 4 मित्र को अथवा 5 मित्र को अथवा 6 मित्र को आमंत्रण दे सकता है। आमंत्रण के कुल प्रकार = ⁶C₁ + ⁶C₂ + ⁶C₃ + ⁶C₄ + ⁶C₅ + ⁶C₆

= 6 + \(\frac{6×5}{2×1} +\frac{ 6×5×4}{3×2×1} + \frac{6×5}{2×1}\) + 6 + 1

= 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63

∴ कम से कम एक मित्र के आमंत्रण 63 प्रकार से दे सकता है ।

प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 होगी ।

(1) सभी संख्याओं का उपयोग करना है। ∴ n = 5 ∴ r = 5
कुल क्रमचय = ⁵P₅ = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

(2) 30000 से बड़ी संख्या के लिए प्रथम स्थान पर 3 अथवा 4 अथवा 5 का अंक होना चाहिए । प्रथम स्थान पर 3, 4, 5 में से कोई एक अंक का चयन ³P₁ रीति से और शेष चार अंक का उपयोग ⁴P₄ रीति से होगा ।
कुल क्रमचय = ³P₁ × ⁴P₄ = 3 × 4! = 3 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 × 24 = 72

(3) 5 से निःशेष विभाज्य संख्या के लिए इकाई के स्थान पर 5 का अंक ¹P₁ रीति से और शेष 4 अंक का उपयोग ⁴P₄ रीति से होगा ।
5 द्वारा निःशेष भाज्य हो ऐसी संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 4! = 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24

(1) दोनों लड़कियों का एक समूह गीनने पर 3 लड़के + 1 लड़की = 4 का गठन ⁴P₄ रीति से और 2 लड़कियों का आंतरिक गठन ²P₂ रीति से

∴ दोनों लड़कियाँ पास पास में आने के प्रकार = ⁴P₄ × ²P₂

= 4! × 2! = 24 × 2 = 48

(2) लड़के और लड़कियाँ बारी बारी से आये उसे निम्न क्रम से गठित कर सकते है । B G B G B

∴ कुल प्रकार = ³P₃ × ²P₂

= 3! × 2! = 6 × 2 = 12

(3) तीनों लड़के एकसाथ हो उसे एक समूह गिनने पर 2 लड़की + 1 लड़कों का समूह = 3 का गठन ³P₃ और 3 लड़कों का आंतरिक गठन ³P₃ रीति से होगा ।

∴ तीनों लड़के एकसाथ आये उसके प्रकार = ³P₃ × ³P₃

= 3! × 3! = 6 × 6 = 36

कम से कम एक व्यक्ति पुरुष हो उसके विकल्प निम्नलिखित है ।

(1) एक पुरुष और 2 स्त्री
अथवा
(2) दो पुरुष और 1 स्त्री
अथवा
(3) तीन पुरुष 0 स्त्री

चुनाव के कुल प्रकार = ⁵C₁ × ³C₂ + ⁵C₂ × ³C₁ + ⁵C₃ × ³C₀

= 5 × \(\frac{3×2}{2×1}\) + \(\frac{5×4}{2×1}\) × 3 +\(\frac{ 5×4×3}{3×2×1}\) × 1 = 5 × 3 + 10 × 3 + 10 × 1

= 15 + 30 +10 = 55

1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 में अयुग्म अंक 1, 3, 3, 1 चार अंक है जिसमें 1 दो बार और 3 दो बार है इसलिए अयुग्म स्थान पर गठन के कुल प्रकार

= \(\frac{4!}{2!×2!}=\frac{4×3×2×1}{2×1×2×1 }\)= 6

समअंक 2, 4, 2 है जिस में 2 का 2 बार पुनरावर्तन होता है इसलिए समस्थान पर 3 अंक के कुल प्रकार

= \(\frac{3!}{2!}=\frac{3×2×1}{2×1 }\)= 3

अब अयुग्म स्थान पर अयुग्म अंक का गठन से बनती संख्या = 6 × 3 = 18

MANGO शब्द में कुल 5 अक्षर है जिसमें स्वर A, O है । दोनों स्वर साथ में ²P₂ रीति से आ सकते है । दो का एक समूह गिनने पर 3 व्यंजन + 1 स्वर का समूह = 4 का गठन ⁴P₄ और दोनों स्वर का आंतरिक गठन ²P₂ रीति से होगा ।

दोनों स्वर साथ में आने के प्रकार = ⁴P₄ × ²P₂ = 4! × 2!

= 24 × 2 = 48

अब MANGO शब्द के सभी अक्षरों का गठन ⁵P₅ रीति से होगा । ⁵P₅ = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

∴ कुल प्रकार = 120

दोनों स्वर एकसाथ न आने के प्रकार = कुल प्रकार – साथ में आने के प्रकार

= 120 – 48 = 72

ड्राईवर की सीट्स पर 3 में से किसी 1 व्यक्ति को ³P₁ रीति से और शेष 4 सीट्स पर 9 व्यक्तियों में से 4 को ⁹P₄ रीति से बैठा सकते है ।

∴ कुल क्रमचय = ³P₁ × ⁹P₄

= 3 × 9 × 8 × 7 x 6 = 3 x 3024

= 9072

TUESDAY में कुल 7 अक्षर है । सभी अक्षरों का उपयोग करना है ।

∴ n = 7 r = 7

= ⁷P₇ शब्द बन सकते है । = 7!

= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

∴ = 5040

∴ नये शब्दों की संख्या = 5040 – 1 = 5039

(1) पति-पत्नी हो अर्थात् 4 में से किसी एक युगल का चयन ⁴C₁ होगा ।
कुल प्रकार = ⁴C₁ = 4 प्रकार

(2) एक पुरुष और एक स्त्री हो 4 पुरुष में से 1 पुरुष ⁴C₁ और 4 स्त्री में से 1 स्त्री ⁴C₁ रीति से चयन होगा ।

कुल प्रकार = ⁴C₁ × ⁴C₁= 4 × 4 = 16 प्रकार

(3) एक पुरुष और एक स्त्री का चयन हो लेकिन पति-पत्नी न हो अर्थात् एक पुरुष और एक स्त्री होने के प्रकार में से .. पति-पत्नी होने का प्रकार घटाने पर एक पुरुष और एक स्त्री होंगे लेकिन पति-पत्नी नहि होंगे ।

∴ प्रकार = 16 – 4 = 12 प्रकार

(1) PINTU शब्द के अक्षर PINTU ऐसे पाच है ।

अक्षरों को क्रमानुसार INPTU होगा ।

प्रथम स्थान पर I हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार

प्रथम स्थान पर N हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24

प्रकार प्रथम स्थान पर P तथा दूसरे स्थान पर 1 तथा तीसरे स्थान पर N तथा चौथे स्थान पर T और

पाँचवे स्थान पर U हो ऐसे शब्दों के प्रकार ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ = 1 प्रकार

शब्द PINTU का क्रम = 24 + 24 + 1 = 49 वा होगा ।

(2) NURI शब्द में अक्षर ·N.U.R.I. ऐसे चार है ।

अक्षरों को क्रमानुसार I, N, R, U होगा ।

प्रथम स्थान पर I हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ³P₃ = 1 × 6 = 6 प्रकार

प्रथम स्थान पर N तथा दूसरे स्थान I और शेष 2 अक्षरों का गठन = ¹P₁ × ¹P₁ × ²P₂ = 1 × 1 × 2 = 2 प्रकार

प्रथम स्थान पर N तथा दूसरे स्थान पर R और शेष दो अक्षरों का गठन = ¹P₁ × ¹P₁ × ²P₂ = 1 × 1 × 2 = 2 प्रकार

प्रथम स्थान पर N तथा दूसरे स्थान पर U तथा तीसरे स्थान पर 1 हो ऐसे शब्दों का गठन
= ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ = 1 प्रकार

प्रथम स्थान पर N तथा दूसरे स्थान पर U तथा तीसरे स्थान पर R तथा चौथे स्थान पर I हो ऐसे शब्दों का गठन

= ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1 प्रकार

शब्द NURI का क्रम = 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 12 वा क्रम होगा ।

(3) NIRAL शब्द के अक्षर N.I.R.A.L. ऐसे पाँच है ।

अक्षरों को क्रमानुसार A, I, L, N, R होगा ।

प्रथम स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार

प्रथम स्थान पर I हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार

प्रथम स्थान पर L हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार

प्रथम स्थान पर N, दूसरे स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ³P₃ = 1 × 1 × 6 = 6 प्रकार

प्रथम स्थान पर N, दूसरे स्थान पर I, तीसरे स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या

= ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ²P₂

= 1 × 1 × 1 × 2 = 2 प्रकार

प्रथम स्थान पर N, दूसरे स्थान पर I, तीसरे स्थान पर L हो ऐसे शब्दों की संख्या

= ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ²P₂

= 1 × 1 × 1 × 2 = 2 प्रकार

प्रथम स्थान पर N, दूसरे स्थान पर I, तीसरे स्थान पर R, चौथे स्थान पर A और पाँचवे स्थान पर L हो

ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 प्रकार

शब्द NIRAL का क्रम = 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 2 + 1 = 83 वा क्रम होगा ।

(4) SUMAN शब्द के अक्षर SUMAN ऐसे पाँच है । शब्दों के क्रमानुसार A M N S U होगा ।

प्रथम स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार

प्रथम स्थान पर M हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁× ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार

प्रथम स्थान पर N हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार

प्रथम स्थान पर S तथा दूसरे स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ³P₃ = 1 × 1 × 6 = 6 प्रकार

प्रथम स्थान पर S तथा दूसरे स्थान पर M हो ऐसे शब्दों की संख्या ¹P₁ × ¹P₁ × ³P₃ = 1 × 1 × 6 = 6 प्रकार

प्रथम स्थान पर S तथा दूसरे स्थान पर N हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ³P₃ = 1 × 1 × 6 = 6 प्रकार

प्रथम स्थान पर S तथा दूसरे स्थान पर U तथा तीसरे स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या

= ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ²P₂

= 1 × 1 × 1 × 2 = 2 प्रकार

प्रथम स्थान पर S तथा दूसरे स्थान पर U तथा तीसरे स्थान पर M तथा चौथे स्थान पर A तथा पाँचवे स्थान पर N हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 प्रकार

SUMAN शब्द का क्रम = 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 1 = 93 वा क्रम

ROLLS शब्द में 5 अक्षर है जिसमें L का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।

∴ कुल क्रमचय = \(\frac{5!}{2!}=\frac{5×4×3×2×1}{2×1}\)

DOLLS शब्द में 5 अक्षर है जिस में L का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।

∴ कुल क्रमचय = \(\frac{5!}{2!}=\frac{5×4×3×2×1}{2×1}\)

दोनों का अनुपात 60 : 60 = 1 : 1 होगा ।

अनुत्तीर्ण के लिए निम्न विकल्प होंगे ।

एक विषय में अनुत्तीर्ण अथवा 2 विषय में अनुत्तीर्ण, अथवा 3 विषय में अनुत्तीर्ण अथवा 4 विषय में अनुत्तीर्ण, अथवा 5 विषय में अनुत्तीर्ण, अथवा 6 विषय में अनुत्तीर्ण अथवा 7 विषय में अनुत्तीर्ण

कुल प्रकार = ⁷C₁ + ⁷C₂ + ⁷C₃ + ⁷C₄ + ⁷C₅ + ⁷C₆ + ⁷C₇

= 7 + \(\frac{7×6}{2×1} + \frac{7×6×5}{3×2×1} +\frac{ 7×6×5}{3×2×1}+\frac{7×6}{2×1}\) + 7 + 1

= 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 127

ASHOK शब्द के सभी अक्षरों का गठन ⁵P₅ रीति से होगा ।

⁵P₅ = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

GEETA शब्द में 5 अक्षर है जिस में E का 2 बार पुनरावर्तन है ।

∴ कुल क्रमचय = \(\frac{5!}{2!} = \frac{5×4×3×2×1}{2×1}=\frac{120}2 \)= 60

ASHOK और GEETA शब्द का अनुपात 120 : 60 = 2 : 1 का होगा ।

8 भिन्न-भिन्न समाचारपत्रों में से 3 समाचारपत्रों का चयन ⁸C₃ और 5 भिन्न-भिन्न सामायिकों में से 2 का चयन ⁵C₃ रीति से होगा ।

कुल प्रकार = ⁸C₃ + ⁵C₃ = \(\frac{8!}{3!(8−3)!}×\frac{5!}{3!(5−3)!}\)

= \(\frac{8×7×6×5!}{3×2×1×5!} = \frac{5×4×3!}{3!×2×1}\) = 56 × 10 = 560

⇒ यदि निश्चित समाचारपत्र का चयन करना हो तो और निश्चित सामायिक का चयन न करना हो तो चयन ¹C₁ × ⁴C₂ और सामायिक का चयन न करना हो तो ⁴C₂ रीति से चयन होगा ।

∴ कुल प्रकार = ¹C₁ × ⁷C₂ × ⁴C₂

= 1 × \(\frac{7×6}{2×1}×\frac{4×3}{2×1}\) = 1 × 21 × 6 = 126

(1) STATISTICS शब्द में 10 अक्षर है जिस में S का 3 बार, T का 3 बार, I का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।

∴ कुल क्रमचय = \(\frac{10!}{3!×3!×2!}\)

= \(\frac{10×9×8×7×6×5×4×3×2×1}{3×2×1×3×2×1×2×1} = \frac{3628800}{72}\) = 50400

(2) BOOKKEEPER में 10 अक्षर है जिस में 0 का 2 बार, K का 2 बार, E का 3 बार पुनरावर्तन होता है ।

∴ कुल क्रमचय = \(\frac{10!}{2!×2!×3!}\)

= \(\frac{10×9×8×7×6×5×4×3×2×1}{2×1×2×1×3×2×1} = \frac{3628800}{24}\) = 151200

(3) APPEARING में 9 अक्षर है जिस में A का 2 बार, P का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।

∴ कुल क्रमचय = \(\frac{9!}{2!×2!}\)

= \(\frac{9×8×7×6×5×4×3×2×1}{2×1×2×1} = \frac{362880}4 \)= 90720

सबसे बड़ी चोकलेट सबसे छोटे बालक को ¹P₁ रीति से और शेष चार चोकलेट 4 बालक को ⁴P₄ रीति से बाँटने पर

कुल क्रमचय = ¹P₁ × ⁴P₄

= 1 × 4! = 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24

यदि प्रथम स्थान पर 0 का उपयोग किया जाय तो वह संख्या 6 अंकोंवाली नहि कहलाती इसलिए प्रथम स्थान पर (1, 2, 3, 7, 9) में से कोई एक अंक का गठन 5P, प्रकार से और शेष 5 अंक शून्य सहित 5P, रीति से गठित किया जायेगा ।

∴ 6 अंकों की कुल संख्याओं का क्रमचय

= ⁵P₁ × ⁵P₅

= 5 × 5! = 5 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 120 = 600

∴ 6 अंकोंवाली कुल संख्या 600 होगी ।

(1) तीनों गुडिया ³C₃ रीति से चयन होगा ।

∴ कुल प्रकार = ³C₃ = \(\frac{3!}{3!(3−3)!}\) = 1

(2) तीनों भिन्न-भिन्न अर्थात् 1 गुडिया, 1 किचन सेट और 1 कार के चयन की रीति ³C₁, ⁴C₁, ³C₁ होगा ।

∴ कुल प्रकार = ³C₁ × ⁴C₁ × ³C₁ = 3 × 4 × 3 = 36

(3) दो गुडिया का चयन ³C₂ और एक किचन सेट का चयन ⁴C₁ रीति से होगा ।

∴ कुल प्रकार = ³C₂ × ⁴C₁ = \(\frac{3×2!}{2!(3−2)!}\) × 4 = 3 × 4 = 12