Explore topic-wise InterviewSolutions in .

This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

201.

बिना विस्तार किये सिद्ध कीजिए कि `|{:(x+y,z,1),(y+z,x,1),(z+x,y,1):}|=0.`

Answer» यदि सरणिक का मान D हो, तो
`D=|{:(x+y,z,1),(y+z,x,1),(z+x,y,1):}|`
`=|{:(x+y+z,z,1),(x+y+z,x,1),(x+y+z,y,1):}|,C_(1)+C_(2)`से
`=(x+y+z)|{:(1,z,1),(1,x,1),(1,y,1):}|`
`x+y+z` क्रमशः `R_(1),R_(2)` तथा `R_(3)` से अभयनिष्ठ लेने पर,
`=(x+y+z)xx0" "(C_(1)=C_(3))=0.`
Discussion
202.

आव्यूह `A=[{:(2,3),(1,4):}]` आव्यूह का सहखंडन आव्यूह ज्ञात कीजिए।

Answer» `A=[{:(2,3),(1,4):}]`
यहाँ `a_(11)=4,a_(12)=-1,1_(21)=-3,a_(22)=4`
इन तत्वों के सह्गुणनखंड से निम्रत आव्यूह,
`B=[{:(4,-1),(-3,4):}]`
अब `adj A=B` का परिवर्तित आव्यूह `B=[{:(4,-3),(-1,4):}].`
Discussion
203.

यदि `Delta_(1)=|(1,1,1),(x^2,y^2,z^2),(x,y,z)|` और `Delta_(2)=|(1,1,1),(xz,zx,xy),(x,y,z)|Delta_(1)=Delta_(2)`. प्रसार किए बिना सिद्ध कीजिए -

Answer» संक्रियाओं `C_1toC_1(x),C_2toC_2(y)` और `C_3toC_3(z)` से ,
`Delta_(2)=(1)/(xyz)|(1,1,1),(xz,zx,xy),(x^2,y^2,z^2)|`
`rArrDelta_(2)=(xyz)/(xyz)|(x,y,z),(1,1,1),(x^2,y^2,z^2)|`
`rArrDelta_(2)=-|(1,1,1),(x,y,z),(x^2,y^2,z^2)|`
`rArrDelta_(2)=|(1,1,1),(x^2,y^2,z^2),(x,y,z)|`
`rArr Delta_(2)=Delta_(1)`.
(संक्रिया `R_2harrR_3` से)
Discussion
204.

`|{:(1//a,a^(2),bc),(1//b,b^(2),ca),(1//c,c^(2),ab):}|`=A. abcB. 4abcC. `4a^(2)b^(2)c^(2)`D. `a^(2)b^(2)c^(2)`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
205.

`|{:(sqrt(13)+sqrt(3),2sqrt(5),sqrt(5)),(sqrt(15)+sqrt(26),5,sqrt(10)),(3+sqrt(65),sqrt(15),5):}|` का मूल्यांकन किजिये ।

Answer» यहाँ `Delta=|{:(sqrt(13)+sqrt(3),2sqrt(5),sqrt(5)),(sqrt(15)+sqrt(26),5,sqrt(10)),(3+sqrt(65),sqrt(15),5):}|`
`=|{:(sqrt(13),2sqrt(5),sqrt(5)),(sqrt(15),5,sqrt(10)),(3,sqrt(15),5):}|+|{:(sqrt(3),2sqrt(5),sqrt(5)),(sqrt(26),5,sqrt(10)),(sqrt(65),sqrt(15),5):}|`
`=sqrt(5)*sqrt(5)|{:(sqrt(13),2,1),(sqrt(15),sqrt(5),sqrt(2)),(3,sqrt(3),sqrt(5)):}|+sqrt(5)*sqrt(5)|{:(sqrt(3),2,1),(sqrt(26),sqrt(5),sqrt(2)),(sqrt(65),sqrt(3),sqrt(5)):}|`
`=5|{:(sqrt(13)-2sqrt(3),2,1),(0,sqrt(5),sqrt(2)),(0,sqrt(3),sqrt(5)):}|+5|{:(sqrt(3)-sqrt(13),2,1),(0,sqrt(5),sqrt(2)),(0,sqrt(3),sqrt(5)):}|`
`=5(sqrt(13)-2sqrt(3)(5-sqrt(6))+5(sqrt(3)-ssqrt(13))(5-sqrt(6))`
`=5(5-sqrt(6))(sqrt(13)-2sqrt(3)+sqrt(3)-sqrt(13))`
`=5(5-sqrt(6))(-sqrt(3))`
`=-5(5-sqrt(6))sqrt(3)`
Discussion
206.

`|{:(a-b-c,2a,2a),(2b,b-c-a,2b),(2c,2c,c-a-b):}|`A. `(a+b+c)^(2)`B. `(a+b+c)^(3)`C. `(a+b+c)(ab+bc+ca)`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion
207.

`|{:(b^(2)-ab,b-c,bc-ac),(ab-a^(2),a-b,b^(2)-ab),(bc-ac,c-a,ab-a^(2)):}|`=A. `abc(a+b+c)`B. `3a^(2)b^(2)c^(2)`C. 0D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - C
Discussion
208.

`Sin((13pi)/(12))=`A. `(1+sqrt3)/(sqrt2)`B. `(sqrt3-1)/(2sqrt2)`C. `(1+sqrt3)/(2sqrt2)`D. `(1-sqrt3)/(2sqrt2)`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
209.

आव्यूह `[{:(1,0,-1),(3,4,5),(0,-6,-7):}]` का सहखंडज आव्यूह ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि `A(adj A)A=|A|I.`

Answer» प्रथम भाग : यहाँ `|A|` के तत्वों के सह्गुणनखंड ३`A_(11),A_(12),…..` आदि के लिए
`A_(11)=|{:(4,5),(-6,-7):}|=2,A_(12)=-|{:(3,5),(0,-7):}|=21`
`A_(13)=|{:(1,-1),(0,-6):}|=-18,A_(21)=-|{:(0,-1),(-6,-7):}|=6`
`A_(22)=|{:(1,-1),(0,-7):}|=-7,A_(23)=-|{:(1,0),(0,-6):}|=6`
`A_(31)=|{:(0,-1),(4,5):}|=4,A_(32)=-|{:(1,-1),(3,5):}|=-8`
`A_(33)=|{:(1,0),(3,4):}|=4.`
अतः `adj A=[{:(A_(11),A_(21),A_(31)),(A_(12),A_(22),A_(32)),(A_(13),A_(23),A_(33)):}]=[{:(2,6,4),(21,-7,-8),(-18,6,4):}]`
द्वितीय भाग : यहाँ `|A|=[{:(1,0,-1),(3,4,5),(0,-6,-7):}]=1.(-28+30)-3.(0-6)=2+18=20`
`A(adjA)=[{:(1,0,-1),(3,4,5),(0,-6,-7):}][{:(2,6,4),(21,-7,-8),(-18,6,4):}]`
`=[{:(2+0+18,6+0-6,4+0+ -4),(6+84-90,18-28+30,12-32+20),(0-126+126,0+42-42,0+48-28):}]`
`=[{:(20,0,0),(0,20,0),(0,0,20):}]=20[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]=|A|I`
इसी प्रकार `(adjA)=|A|I.`
अतः `A(adjA)=(adjA)A=|A|I.`
Discussion
210.

बिना प्रसार किये सिद्ध कीजिए कि `|(a+b,b+c,c+a),(p+q,q+r,r+p),(x+y,y+z,z+x)|=2|(a,b,c),(p,q,r),(x,y,z)|`

Answer» L.H.S=`|(a+b,b+c,c+a),(p+q,q+r,r+p),(x+y,y+z,z+x)|=2|(a,b,c),(p,q,r),(x,y,z)|`
`=|(2(a+b+c),b+c,c+a),(2(p+q+r),q+r,r+p),(2(x+y+z),y+z,z+x)|`
`C_(1S)toC_(1)+C_(2)+C_(3)`
`=2|(a+b+c,b+c,c+a),(p+q+r,q+r,r+p),(x+y+z,y+z,z+x)|`
`=2|(a,b+c,c+a),(p,q+r,r+p),(x,y+z,z+x)|C_(1)rarrC_(1)-C_(2)`
`=2|(a,b+c,c),(p,q+r,r),(x,y+z,z)|C_(3)toC_(3)-C_(1)`
`=2|(a,b,c),(p,q,r),(x,y,y)|C_(2)toC_(2)-C_(3)`
`=R.H.S`
Discussion
211.

`{5pi}/12 + 15^o=`A. `45^o +pi/4`B. `pi/6 + 75^o`C. `105^o-pi/10`D. None

Answer» Correct Answer - A
Discussion
212.

यदि `A=[{:(costheta,sintheta),(-sintheta,costheta):}]`, प्रमाणित करो `(A^(-1))^(-1)=A`

Answer» ज्ञात है `A=[{:(costheta,sintheta),(-sintheta,costheta):}]`
अब `|A|=|{:(costheta,sintheta),(-sintheta,costheta):}|=cos^(2)theta+sin^(2)theta=1ne0`
इस प्रकार `A^(-1)` का अस्तित्व है।
अब `A_(11)=(-1)^(1+1)costheta=costheta`
`A_(12)=(-1)^(1+2)(-sintheta)=sintheta`
`A_(21)=(-1)^(2+1)sintheta=-sintheta`
`A_(22)=(-1)^(2+2)costheta=costheta`
अब `adjA=[{:(A_(11),A_(21)),(A_(12),A_(22)):}]=[{:(costheta,-sintheta),(sintheta,costheta):}]`
`A^(-1)=(adjA)/(|A|)=(adjA)/(1)=[{:(costheta,-sintheta),(sintheta,costheta):}]`
तथा `|A^(-1)|=|{:(costheta,-sintheta),(sintheta,costheta):}|=cos^(2)theta+sin^(2)theta=1`
`adj(A^(-1))=[{:(costheta,-(-sintheta)),(-sintheta,costheta):}]`
`(A^(-1))^(-1)=(adj(A^(-1)))/(|A^(1)|)=(adjA^(-1))/(1)`
`=[{:(costheta,sintheta),(-sintheta,costheta):}]=A`
इस प्रकार `(A^(-1))^(-1)=A`
Discussion
213.

यदि `|{:(y+z,x,y),(z+x,z,x),(x+y,y,z):}|=k(x+y+z)(x-z)^(2)`, तब k=A. 2xyzB. 1C. xyzD. `x^(2)y^(2)z^(2)`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
214.

यदि `|{:(x+1,3,5),(2,x+2,5),(2,3,x+4):}|=0`, तब x=A. 1,9B. `-1,9`C. `-1-9`D. `1,-9`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
215.

सारणिक `|(sqrt(13)+2sqrt(3),2sqrt(5),sqrt(5)),(sqrt(26)+sqrt(15),5,sqrt(10)),(sqrt(65)+3,sqrt(15),sqrt(5))|` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `|(sqrt(13)+2sqrt(3),2sqrt(5),sqrt(5)),(sqrt(26)+sqrt(15),5,sqrt(10)),(sqrt(65)+3,sqrt(15),sqrt(5))|`
`=|(sqrt(13),2sqrt(5),sqrt(5)),(sqrt(26),5,sqrt(10)),(sqrt(65),sqrt(15),5)|+|(2sqrt(3),2sqrt(5),sqrt(5)),(sqrt(15),5,sqrt(10)),(3,sqrt(15),5)|`
`=sqrt(13)xxsqrt(5)xxsqrt(5)|(1,2,1),(sqrt(2),sqrt(5),sqrt(2)),(sqrt(5),sqrt(3),sqrt(5))|`
`+sqrt(3)xxsqrt(5)xxsqrt(5)|(2,2,1),(sqrt(5),sqrt(5),sqrt(2)),(sqrt(3),sqrt(3),sqrt(5))|`
`=0+0=0`
Discussion
216.

आव्यूह समीकरण को संतुष्ट करते हुए आव्यूह A का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `B=[{:(2,1),(3,2):}]` तथा `C=[{:(-3,2),(5,-3):}]`
अब `|B|=|{:(2,1),(3,2):}|=(4-3)=1ne0`
`|C|=|{:(-3,2),(5,-3):}|=(9-10)=-1ne0`
इस प्रकार `B^(-1)` तथा `C^(-1)` का अस्तित्व है ।
`therefore` ज्ञात आव्यूह समीकरण `BAC=I_(2)` हो है|
`BAC=I_(2)`
`rArrB^(-1)(BAC)C^(-1)=B^(-1)I_(2)C^(-1)`
`rArr(B^(-1)B)A(C C^(-1))=B^(-1)I_(2)C^(-1)`
`rArrI_(2)AI_(2)=B^(-1)I_(2)C^(-1)`
`rArrA=B^(-1)C^(-1)` . . . (1)
अब B के अवयवों के सहखण्ड हैं ।
`B_(11)=2,B_(12)=-3,B_(21)=-1,B_(22)=2`
`adjB=[{:(2,-3),(-1,2):}]` का परिवर्त = `[{:(2,-1),(-3,2):}]`
`B^(-1)=(1)/(|B|)adjB=[{:(2,-1),(-3,2):}]`
पुनः C के अवयवों के सहखण्ड निम्न हैं -
`C_(11)=-3,C_(12)=-5,C_(21)=-2,C_(22)=-3`
`adjC=[{:(-3,-5),(-2,-3):}]` का परिवर्त `=[{:(-3,-2),(-5,-3):}]`
`C^(-1)=(adjC)/(|C|)=[{:(3,2),(5,3):}]`
अब (1) से, `A=B^(-1)C^(-1)`
`=[{:(2,-1),(-3,2):}][{:(3,2),(5,3):}]=[{:(1,1),(1,0):}]`
Discussion
217.

यदि `A=[{:(0,-2,-3),(1,1,-4),(0,-2,-1):}]` तथा `I=[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]` तब `(I-A)^(-1)` ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `[{:(4//5,-1//5,-4//5),(-1//5,-1//5,7//10),(1//5,1//5,-1//5):}]`
Discussion
218.

`|(3x+2,-3x), (1,x)|=0 implies`A. `3x^2+2x+3=0`B. `3x^2-x=0`C. `3x^2+2x-3=0`D. `3x^2+5x=0`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
219.

`A^(-1)` ज्ञात कीजिए यदि `A=[{:(1,3,3),(1,4,3),(1,3,4):}]`

Answer» Correct Answer - `[{:(7,-3,-3),(-1,1,0),(-1,0,1):}]`
Discussion
220.

यदि `A=[{:(1,-1,1),(2,3,0),(18,2,10):}]` है ,तो {A(adjA)} ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `[{:(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0):}]`
Discussion
221.

सारणिक `[{:(2,3,4),(-3,4,7),(3,-6,10):}]` के सभी सहखंडो को ज्ञात करके सहखंडज आव्यूह ज्ञात कीजिए।

Answer» यहाँ `[{:(2,3,4),(-3,4,7),(3,-6,10):}]`
अब `|A|` के तत्वों के सह्गुणनखंड `A_(11),A_(12),……` आदि के लिए,
`A_(11)=|{:(4,7),(-6,10):}|=40+42=82,`
`A_(12)=-|{:(-3,7),(3,10):}|=-(-30-21)=51,`
`A_(13)=|{:(-3,4),(3,06):}|=(18-12)=6,`
`A_(21)=-|{:(3,4),(-6,10):}|=-(30+24)=-54,`
`A_(22)=-|{:(2,4),(3,10):}|=(20-12)=8`
`A_(23)=-|{:(2,3),(3,10):}|=-(12-9)=21,`
`A_(31)=|{:(3,4),(4,7):}|=21=16=5,`
`A_(32)=-|{:(2,4),(-3,7):}|=-(14+12)=-26,`
`A_(33)=|{:(2,3),(-3,4):}|=8+9=17`
`therefore|A|` के तत्वों के सह्गुणनखंडो से निर्मित आव्यूह B अर्थात
`B=[{:(82,51,6),(-54,8,21),(5,-26,17):}]`
`therefore" "adjA=B` का परिवर्त आव्यूह
`[{:(82,51,6),(-54,8,21),(5,-26,17):}].`
Discussion
222.

यदि `A=[{:(2,3),(1,-4):}],B=[{:(1,-2),(-1,3):}],` तो सत्यापित कीजिए कि `(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)` है।

Answer» `AB=[{:(2,3),(1,-4):}]` तथा `B=[{:(1,-2),(-1,3):}]`
`AB=[{:(2,3),(1,-4):}][{:(1,-2),(-1,3):}]=[{:(2-3,-4+9),(1+4,-2-12):}]`
`=[{:(-1,5),(5,-14):}]`
`|AB|=14-25=-11ne0.`
AB के सह्गुणनखंड है:
`A_(11)=-14,A_(12)=-5,A_(21)=-5,A_(22)=-1`
माना AB के सह्गुणनखंडो से निर्मित आव्यूह X हो, तब
`X=[{:(-14,-5),(-5,-1):}]`
`adjAB=X` का परिवर्त, आव्यूह
`=[{:(-14,-5),(-5,-1):}]`
अब बाये पक्ष के लिए,
`(AB)^(-1)=(1)/(|AB|)adj AB`
`=-1/11[{:(-14,-5),(-5,-1):}]=1/11[{:(14,5),(5,1):}]`
`B=[{:(1,-2),(-1,3):}]`
`|B|=3-2=1`
B के सह्गुणनखंड है :
`B_(11)=3,B_(12)=1,B_(21)=2,B_(22)=1`
माना B के सह्गुणनखंडो से निर्मित आव्यूह य हो, तब
`Y=[{:(3,2),(1,1):}]`
`adjB=Y`का परिवर्त आव्यूह
`=[{:(3,2),(1,1):}]`
`becauseA=[{:(2,3),(1,-4):}]`
`thereforeA=-8-3=-11ne0.`
A के सह्गुणनखंड है :
`A_(11)=-4,A_(12)=-1,A_(21)=-3,A_(22)=2`
माना A के सह्गुणनखंडो से निर्मित आव्यूह Z हो, तब
`Z=[{:(-4,-1),(-3,2):}]`
`adjA=Z`का परिवर्त आव्यूह
`=[{:(-4,-3),(-1,2):}]`
अतः दाये पक्ष के लिए,
`B^(-1).A^(-1)=(1)/(|B|).adjB.(1)/(|A|).adjA`
`=1/2[{:(3,2),(1,1):}].(1)/(-11)[{:(-4,-3),(-1,2):}]`
`=-(1)/(11)[{:(3,2),(1,1):}][{:(-4,-3),(-1,2):}]`
`=-1/11[{:(-12-2,-9+4),(-4-1,-3+2):}]`
`=1/11[{:(-14,-5),(-5,1):}]`
`=-1/11[{:(-14,-5),(5,1):}]`
अतः बायाँ पक्ष=दायाँ पक्ष।
Discussion
223.

सिद्ध कीजिए कि `[{:(5,3,13),(1,-2,0),(-6,4,-8):}]` एक अव्युक्तिक्रमणीय आव्यूह है।

Answer» दिए गए आव्यूह का सारणिक
`=[{:(5,3,13),(1,-2,0),(-6,4,-8):}]`
`=[{:(5,13,13),(1,0,0),(-6,-8,-8):}]" "C_(2)toC_(2)+2C_(1)`
`=0." "[becauseC_(2)=C_(3)]`
अतः दिया हुआ आव्यूह आयुत्क्रमणीय है।
Discussion
224.

`f(x)=x^2/{4-|x|}` हैA. समB. विषमC. ना सम नहीं विषमD. N.O.T.

Answer» Correct Answer - A
Discussion
225.

दिखाइये कि आव्यूह `A=[{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}]` समीकरण `A^(3)-6A^(2)+9A-4I=0` को संतुष्ट करता है अतएव या अन्यथा `A^(-1)` ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `A^(-1)=(1)/(4)[{:(3,1,-1),(1,3,1),(-1,1,3):}]`
Discussion
226.

यदि `A=[{:(1,3,3),(1,4,3),(1,3,4):}]` हो, तो सत्यापित कीजिए कि `A.adjA=|A|.I` और `A^(-1)` ज्ञात कीजिए।

Answer» दिया है:`A=[{:(1,3,3),(1,4,3),(1,3,4):}]`
|A| के तत्वों सह्गुणनखंड :
`A_(11)=|{:(4,3),(3,4):}|=16-19=7" "A_(12)=-|{:(1,3),(1,4):}|=-(4-3)=-1`
`A_(13)=|{:(1,4),(1,3):}|=3-4=-1," "A_(21)=-|{:(1,3),(3,4):}|=-(12-9)=-3`
`A_(22)=|{:(1,3),(1,4):}|=4-3=-1," "A_(23)=-|{:(1,3),(1,3):}|=-(3-3)=0,`
`A_(31)=|{:(3,3),(4,3):}|=9-12=-3," "A_(32)=-|{:(1,3),(1,3):}|=-(3-3)=0,`
`A_(33)=|{:(1,3),(1,4):}|=4-3=1`
`|A|` के तत्वों के शगुणनखंडो से निर्गीत आव्यूह,
`B=[{:(7,-1,-1),(-3,1,0),(-3,0,1):}]`
`adjA=B` का परिवर्त आव्यूह
`=[{:(7,-3,-3),(-1,1,0),(-1,0,1):}]`
`A.adjA=[{:(1,3,3),(1,4,3),(1,3,4):}][{:(7,-3,-3),(-1,1,0),(-1,0,1):}]`
`=[{:(7-3-3,-3+30,-3+0+3),(7-4-3,-3+4+0,-3+0+3),(7-3-4,-3+3+0,-3+0+4):}]`
`[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]`
`A=[(1,3,3),(1,4,3),(1,3,4):}]`
`|A|=1(16-9)-3(4-3)+3(3-4)=7-3-3=1`
`therefore|A|.I=1.[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]=[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]`
अब `A^(-1)=(1)/(|A|)adfA`
`=1/1[{:(7,-3,-3),(-1,1,0),(-1,0,1):}]`
`=[{:(7,-3,-3),(-1,1,0),(-1,0,1):}].`
Discussion
227.

यदि `A+B+C=pi`, तो सिद्ध कीजिए - `|(sin(A+B+C),sin(A+C),cosC),(-sinB,0,tanA),(cos(A+B),tan(B+C),0)|=0`.

Answer» यहाँ `A+B+C=pi` , तब
`A+C=pi-B,A+B=pi-C,B+C=pi-A`.
`therefore sin (A+B+C)=sin pi = 0`.
`sin (A+C)=sin(pi-B)=sinB`,
`cos (A+B)=cos (pi-C)=-cos C`,
`tan (B+C)=tan(pi-A)=-tanA`.
अब , L.H.S.`=|(sin(A+B+C),sin(A+C),cosC),(-sinB,0,tanA),(cos(A+B),tan(B+C),0)|`
`=|(0,sin,cosC),(-sinB,0,tanA),(-cosC,tanA,0)|`
`=sin B|(sinB,cosC),(-tanA,0)|-cosC|(sinB,cosC),(0,tanA)|`.
(`C_1` के सापेक्ष प्रसार करने पर )
`=sinB(0+tanAcosC)-cosC(sinBtanA-0)`
`=sinBtanA cos C-sinB tan A cos C`
`=0=R.H.S`.
Discussion
228.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध कीजिएः (i) `|(a-b-c,2a,2a),(2b,b-c-a,2b),(2c,2c,c-a-b)|` `=(a+b+c)^(3)` (ii) `|(x+y+2z,x,y),(z,y+z+2x,y),(z,x,z+x+2y)|` `=2(x+y+z)^(3)`

Answer» (i) L.H.S `=|(a-b-c,2a,2a),(2b,b-c-a,2b),(2c,2c,c-a-b)|`
`=|(-(a+b+c),0,2a),(a+b+c,-(a+b+c),2b),(0,a+b+c,c-a-b)|`
`(C_(1)toC_(1)-C_(2),C_(2)toC_(2)-C_(3))`
`=(a+b+c)^(2)|(-1,0,2a),(1,-1,2b),(0,1,c-a-b)|`
`=(a+b+c)^(2)|(-1,0,2a),(0,-1,2b+2a),(0,1,c-a-b)|`
`(R_(2)toR_(2)+R_(1))`
`=(a+b+c)^(2).(-1)|(-1,2b+2a),(1,c-a-b)|`
(`C_(1)`से विस्तार करने पर)
`=(a+b+c)^(2)(-a)(-c+a+b-2a-2b)`
`=(a+b+c)^(2)(-1)(-a-b-c)`
`=(a+b+c)^(2)(a+b+c)`
`=(a+b+c)^(3)=R.H.S`
(ii) `L.H.S=|(x+y+2z,x,y,),(z,y=z+2x,y),(z,x,z+x+2y)|`
`=|(2x+2y+2z,x,y),(2x+2y+23z,y+z+2x,y),(2x+2y+2z,x,z+x+2y)|`
`(C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3))`
`=(2x+2y+2z)|(1,x,y),(1,y+z+2x,y),(1,x,z+x+2y)|`
`=2(x+y+z)|(1,x,y),(0,x+y+z,0),(0,0,x+y+z)|`
`(R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(1))`
`=2(x+y+z).1|(x+h+z,0),(0,x+y+z)|`
(`C_(1)`से विस्तार करने पर)
`=2(x+y+z)^(3)=R.H.S`
Discussion
229.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध कीजिएः `|(1,x,x^(2)),(x^(2),1,x),(x,x^(2),1)|=(1-x^(3))^(2)`

Answer» L.H.S `=|(1,x,x^(2)),(x^(2),1,x),(x,x^(2),1)|=|(1+x+x^(2),x,x^(2)),(x^(2)+1+x,1,x),(x+x^(2)+1,x^(2),1)|`
`(C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3))`
`=(1+x+x^(2))|(1,x,x^(2)),(1,1,x),(1,x^(2),1)|`
`=(1+x+x^(2))|(1,x,x^(2)),(0,1-x,x-x^(2)),(0,x^(2)-x,1-x^(2))|`
`(R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(1))`
`=(1+x+x^(2))|(1,x,x^(2)),(0,1-x,x(1-x)),(0,-x(1-x),(1-x)(1+x))|`
`=(1+x+x^(2))(1-x)(1-x)|(1,x,x^(2)),(0,1,x),(0,-x,1+x)|`
`=(1+x+x^(2))(1-x)^(2).1|(1,x),(-x,1+x)|`
`=(1+x+x^(2))(1-x)^(2)(1+x+x^(2))`
`=[(1+x+x^(2))(1-x)]^(2)=(1-x^(3))^(2)`
`=R.H.S`
Discussion
230.

यदि (If) `Delta=|{:(sinalpha,cosalpha,sin(alpha+delta)),(sinbeta,cosbeta,sin(beta+delta)),(singamma,cosgamma,sin(gamma+delta)):}|` तो साबित करें कि `Delta,alpha,beta,gamma` तथा `delta` से स्वतन्त्र है (ii) साबित करें कि `|{:(x,sintheta,costheta),(-sintheta,-x,1),(costheta,1,x):}|,theta` से स्वतन्त्र है

Answer» (i) `C_(3)toC_(3)-cosdelta*C_(1)-sindelta*C_(2)` का प्रयोग करें
Discussion
231.

सिद्ध कीजिए `Delta=Delta_(1)`, जहाँ `Delta=|(Ax,x^2,1),(By,y^2,1),(Cz,z^2,1)|और Delta_(1)=|(A,B,C),(x,y,z),(zy,zx,xy)|`.

Answer» यहाँ `Delta=|(Ax,x^2,1),(By,y^2,1),(Cz,z^2,1)|`
`=xyz|(A,x,(1)/(x)),(B,y,(1)/(y)),(C,z,(1)/(c))|`
`=(xyz)/(xyz)|(A,x,yz),(B,y,zx),(C,z,xy)|`.
`=|(A,x,yz),(B,y,zx),(C,z,xy)|`.....(1)
`Delta_(1)=|(A,B,C),(x,y,z),(xy,zx,xy)|`
`Delta_(1)=|(A,x,zy),(B,y,zx),(C,z,xy)|`.....(1) (पंक्तियों और स्तम्भों का विनियम करने पर ) सभी (1) और (2) से,
`Delta=Delta_(1)`.
Discussion
232.

दर्शाइये कि `|{:(Ax,x^(2),1),(By,y^(2),1),(Cz,z^(2),1):}|=|{:(A,B,C),(x,y,z),(zy,zx,xy):}|`

Answer» बायाँ पक्ष =`=|{:(Ax,x^(2),1),(By,y^(2),1),(Cz,z^(2),1):}|`
`=|{:(Ax,By,Cz),(x^(2),y^(2),z^(2)),(1,1,1):}|`
( पंक्तियों को स्तम्भों में परिवर्तित करने पर)
`=xyz|{:(A,B,C),(x,y,z),(1//x,1//y,1//z):}|`
`[C_(1)to(1)/(x)C_(1),C_(2)to(1)/(y)C_(2),C_(3)to(1)/(z)C_(3)` तथा xyz से गुणा करने पर]
`=(xyz)/(xyz)|{:(A,B,C),(x,y,z),(yz,zx,xy):}|`
`(R_(3)toxyzR_(3)` तथा सारणिक को xyz से भाग करने पर)
`=|{:(A,B,C),(x,y,z),(zy,zx,xy):}|=` दायाँ पक्ष
Discussion
233.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध कीजिएः `|(x,x^(2),yz),(y,y^(2),zx),(z,z^(2),xy)|=(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)`

Answer» L.H.S `=|(x,x^(2),yz),(y,y^(2),zx),(z,z^(2),xy)|`
`=|(x-y,x^(2)-y^(2),yz-zx),(y-z,y^(2)-z^(2),zx-xy),(z,z^(2),xy)|`
`(R_(1)toR_(1)-R_(2),R_(2)toR_(2)-R_(3))`
`=|(x-y,(x-y)(x+y),-z(x-y)),(y-z,(y-z)(y+z),-x(y-z)),(z,z^(2),xy)|`
`=(x-y)(y-z)|(1,x+y,-z),(1,y+z,-x),(z,z^(2),xy)|`
`=(x-y)(y-z)|(1,x+y,-z),(0,z-x,z-x),(0,-yz,xy+zx)|`
`(R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-zR_(2))`
`=(x-y)(y-z)(z-x)|(1,x+y,-z),(0,1,1),(0,-yz,x+yz)|`
`=(x=y)(y-z)(z-x).1|(1,1),(-yz,xy+zx)|`
(`C_(1)`से विस्तार करने पर)
`=(x-y)(y-z)(z-x)(xy+zx+yz)`
`=(x=y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)`
Discussion
234.

सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए कि - `|((b+c)^2,a^2,a^2),(b^2,(c+a)^2,b^2),(c^2,c^2,(a+b)^2)|=2abc(a+b+c)^3`.

Answer» माना `Delta=|((b+c)^2,a^2,a^2),(b^2,(c+a)^2,b^2),(c^2,c^2,(a+b)^2)|`
[ संक्रियाओं `C_1toC_1-C_3` और `C_2toC_2-C_3` से ] ,
`Delta=|((b+c)^2-a^2,a^2,a^2),(0,(c+a)^2-b^2,b^2),(c^2-(a+b)^2,c^2-(a+b)^2,(a+b)^2)|`
`rArr Delta=(a+b+c)^2Delta=|(b+c-a,0,a^2),(0,c+a-b,b^2),(c-a-b,c-a-b,(a+b)^2)|`
[`C_1` और `C_2` से (a+b+c) उभयनिष्ट लेने पर ]
`rArr Delta=(a+b+c)^2|(b+c-a,0,a^2),(0,c+a-b,b^2),(-2b,-2a,2ab)|`
[ संक्रिया `R_3toR_3-(R_1+R_2)` से ]
`rArr Delta=((a+b+c)^2)/(ab)|(ab+ac-a^2,0,a^2),(0,bc+ba-b^2,b^2),(-2b,-2ab,2ab)|`
[ संक्रिया `C_1toC_1+C_3,C_2toC_2+C_3` से ]
`rArr Delta =((a+b+c)^2)/(ab)xxabxx2ab|(b+c,a,a),(b,c+a,b),(0,0,1)|`
`rArr Delta=2ab(a+b+c)^2xx1xx|(b+c,a),(b,c+a)|`
(`R_3` के सापेक्ष प्रसार करने पर)
`rArr Delta=2ab(a+b+c)^2{(b+c)(c+a)-ab}`
`rArr Delta=2abc(a+b+c)^3`.
Discussion
235.

सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए कि - `|(alpha,beta,gamma),(alpha^2,beta^2,gamma^2),(beta+gamma,gamma+alpha,alpha+beta)|=(alpha - beta ) (beta -gamma ) `

Answer» माना L.H.S. `=|(alpha,beta,gamma),(alpha^2,beta^2,gamma^2),(beta+gamma,gamma+alpha,alpha+beta)|`
`=|(alpha,beta,gamma),(alpha^2,beta^2,gamma^2),(alpha+beta+gamma,alpha+beta+gamma,alpha+beta+gamma)|`
संक्रिया `R_3toR_3+R_1` से)
`=(alpha+beta+gamma)|(alpha,beta,gamma),(alpha^2,beta^2,gamma^2),(1,1,1)|`
[`R_3` से `(alpha+beta+gamma)` उभयनिष्ट लेने पर)
`=(alpha+beta+gamma)|(alpha-beta,beta-gamma,gamma),(alpha^2-beta^2,beta^2-gamma^2,gamma^2),(0,0,1)|`
संक्रियाओं `C_1toC_1-C_2` और `C_2toC_2-C_3` से)
`=(alpha+beta+gamma)(alpha+beta)(beta-gamma)|(1,1,gamma),(alpha+beta,beta+gamma,gamma^2),(0,0,1)|`
[`C_1` से `(alpha-beta)` और `C_2` से `(beta-gamma)` उभयनिष्ट लेने पर]
`=(alpha+beta+gamma)(alpha-beta)(beta-gamma)|(1,1),(alpha+beta,beta+gamma)|`
(`R_3` के सापेक्ष प्रसार करने पर)
`=(alpha+beta+gamma)(alpha-beta)(beta-gamma)(beta+gamma-alpha-beta)`
`=(alpha+beta+gamma)(alpha-beta)(beta-gamma)(gamma-alpha)`
R.H.S.
Discussion
236.

सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए कि - `|(1,x,x^2),(x^2,1,x),(x,x,1)|=(1-x^3)^2`

Answer» माना L.H.S.`=|(1,x,x^2),(x^2,1,x),(x,x^2,1)|`
`=|(1+x+x^2,x,x^2),(1+x+x^2,1,x),(1+x+x^2,x^2,1)|`
संक्रिया `C_1toC_1+C_2+C_3` से)
`=(1+x+x^2)|(1,x,x^2),(1,1,x),(1,x^2,1)|`
(`C_1`से `(1+x+x^2)` उभयनिष्ट लेने पर)
`=(1+x+x^2)|(1,x,x^2),(0,1-x,x-x^2),(0,x^2-x,1-x^2)|`
संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1` और `R_3toR_3-R_1` से)
`=(1+x+x^2)|(1,x,x^2),(0,1-x,x(1-x)),(0,x(x-1),(1-x)(1+x))|`
`=(1+x+x^2)(1-x)(1-x)|(1,x,x^2),(0,1,x),(0,-x,1+x)|`
[`R_2` और `R_3` से (1-x) उभयनिष्ट लेने पर]
`=(1-x^3)(1-x)xx|(1,x),(-x,1+x)|`
(`C_1` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`=(1-x^3)(1-x)(1+x+x^2)`
`=(1-x^3)(1-x^3)=(1-x^3)^2`
=R.H.S.
Discussion
237.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए - `|(1,1,1),(1,1+x,1),(1,1,1+y)|=xy`

Answer» [ संक्रिया `C_2toC_2-C_1,C_3toC_3-C_1`से ]
Discussion
238.

सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए कि - `|((y+z)^2,xy,zx),(xy,(x+z)^2,yz),(xz,yz,(x+y)^2)|=2xy(x+y+z)^3`

Answer» माना `Delta=|((y+z)^2,xy,zx),(xy,(x+z)^2,yz),(xz,yz,(x+y)^2)|`
`Delta=(1)/(xyz)|((y+z)^2,x^2y,z^2x),(xy^2,y(x+z)^2,y^2z),(xz^2,yz^2,z(x+y)^2)|`
`C_1,C_2` और `C_3` से x,yz उभयनिष्ट लेने पर,
`Delta=(xyz)/(xyz)|((y+z)^2,x^2,x^2),(y^2,(x+z)^2,y^2),(z^2,z^2,(x+y)^2)|`
संक्रिया `C_2toC_2-C_1toC_3-C_1` से,
`Delta|((y+z)^2,x^2-(y+z)^2,x^2-(y+z)^2),(y^2,(x+z)^2-y^2,0),(z^2,0,(x+y)^2-z^2)|`
`C_2` और `C_3` से (x+y+z) उभयनिष्ट लेने पर,
`Delta=(x+y+z)^2|((y+z)^2,x-(y+z),x-(y+z)),(y^2,(x+z)-y,0),(z^2,0,(x+y)-z)|`
संक्रिया `R_1toR_1-(R_1+R_3)` से,
`Delta=(x+y+z)^2|(2yz,-2z,-2y),(y^2,x-y+z,0),(z^2,0,x+y-z)|`
संक्रियाओं `C_2to(C_2+(1)/(y)C_1)` और `C_3to(C_3+(1)/(z)C_1)` से,
`Delta=(x+y+z)^2|(2yz,0,0),(y^2,x+z,(y^2)/(z)),(z^2,(z^2)/(y),x+y)|`
`Delta=(x+y+z)^2xx2yzxx|(x+z,,),(,,(y^2)/(z)),((z^2)/(y),,x+y)|`
(`R_1` के अनुदिश प्रसरण करने पर)
`=(x+y+z)^2xx2yzxx[(x+z)(x+y)-yz]`
`=(x+y+z)^2xx2yzxx(x^2+xy+xz+zy-yz)`
`=(x+y+z)^2xx2yzxx x (x+y+z)`
`=2xyz(x+y+z)^3`
R.H.S.
Discussion
239.

दर्शाइए कि सरणिक `Delta=|{:((y+z)^(2),xy,zx),(xy,(x+z)^(2),yz),(xz,yz,(x+y)^(2)):}|=2xyz(x+y+z)^(3)`

Answer» `Delta=|{:((y+z)^(2),xy,zx),(xy,(x+z),yz),(xz,yz,(x+y)^(2)):}|`
`R_(1),R_(2)`
और `R_(3)` में क्रमशः x,y तथा z का गुना करने zyz से भाग करने पर,
`=(1)/(xyz)|{:(x(y+z)^(2),x^(2)y,zx^(2)),(xy^(2),y(x+z)^(2),y^(2)z),(xz^(2),z^(2),z(x+y)^(2)):}|`
`C_(1),C(2)` और `R_(3)` से xyz तथा z अभयनिष्ठ लेने पर,
`=(1)/(xyz),xyz|{:(x(y+z)^(2),x^(2),zx^(2)),(xy^(2),y(x+z)^(2),y^(2)z),(z^(2),z^(2),(x+y)^(2)):}|`
`=|{:((c+z)^(3),x^(2),x^(2)),(y^(2),(x+z)^(2),y^(2)),(z^(2),z^(2),(x+y)^(2)):}|`
`=|{:((y+z)^(2-x^(2)),0,x^(2)),(0,(x+z)-y^(2),y^(2)),(z^(2)-(x+y)^(2),z^(2)-(x+y)^(2),(x+y)^(2)):}|`
`C_(1)to C_(1)-C_(3)` और `C_(2)toC_(2)-C_(3)` के प्रयोग से
`|{:((y+z+x)(y+z-x),0,x^(2)),(0,(x+z+y)(z-x-y),y^(2)),((z+x+y)(z-x-y),(z+x+y)(z-x-y),(x+y)^(2)):}|`
`=(x+y+z)=|{:(y+z-x,0,y),(0,x+z-y,y^(2)),(z-x-y,z-x-y,(x+y)^(2)):}|`
[`C_(1)` और `C_(2)` से `(x+y+z)` अभियनिष्ठ लेने पर]
`=(x+y+z)^(2)|{:(x+z-x,0,x^(2)),(0,y+z-t,y^(2)),(-2y,-2x,2xy):}|`
`R_(3)to R_(3)-(R_(1)+R_(2))` के प्रयोग से
`=((x+y+z)^(2))/(xy)|{:(xy+xz-x^(2),0,x^(2)),(0,xy+zy-y^(2),y^(2)),(-2xy,-2xy,2xy):}|`
`C_(1)toxC_(1)` तथा `C_(2)toyC_(2)` के प्रयोग से
`=((x+y+z)^(2))/(xy)|{:(xy+xz,x^(2),x^(2)),(y^(2),zy+zy,y^(2)),(0,0,2xy):}|`
`C_(1)toC_(1)+C_(3)` तथा `C_(2)toC_(2)+C_(3)` के प्रयोग से
`=((x+y+x)^(2))/(xy)xx xy xx 2xy|{:(x+z,x,x),(y,x+z,y),(0,0,1):}|`
`R_(1),R_(2)` तथा `R_(3)` के क्रमशः x,y तहत 2xy अभयनिष्ठ लेने पर,
`=2xy(x+y+x)^(2)|{:(y+z,x,x),(y,x+z,y),(0,0,1):}|`
`R_(1)` के अनुदिश प्रयास करने पर,
`=2xy(x+y+z)^(2)[1(y+z)(x+z)-xy]`
`=2xy(x+y+z)^(2)[xy+zx+yz+z^(2)-xy]`
`=2xy(x+y+z)^(2)[zx+yz+z^(2)]`
`=2xyz(x+y+z)^(2)[x+y+z]`
`=2xyz(x+y+z)^(2).`
Discussion
240.

दिखाईए की सार्धिक `|{:(,(y+z)^(2),xy,zx),(,xu,(x+z)^(2),yz),(,xz,yz,(x+y)^(2)):}|=2xyz(x+y+z)^(3)`

Answer» माना
`Delta=|((y+z)^(2),xy,zx),(xy,(x+z)^(2),yz),(xz,yz,(x+y)^(2))|`
संक्रियाओं `R_(1)rarrxR_(1),R_(2)rarryR_(2),R_(3)rarrzR_(3)` से हम पाते है
`Delta=(1)/(xyz)|(x(y+z)^(2),x^(2)y,x^(2)z),(xy^(2),y(x+z)^(2),y^(2)z),(xz^(2),yz^(2),z(x+y)^(2))|`
`C_(1),C_(2),C_(3)` से क्रमशः x, y, z उभयनिष्ठ बाहर लेने पर, हम पाते है
`Delta=(xyz)/(xyz)|((y+z)^(2),x^(2),x^(2)),(y^(2),(x+z)^(2),y^(2)),(z^(2),z^(2),(x+y)^(2))|`
`|((y+z)^(2),x^(2),x^(2)),(y^(2),(x+z)^(2),y^(2)),(z^(2),z^(2),(x+y)^(2))|`
संक्रियाओं `C_(1)rarrC_(1)-C_(3)` और `C_(2)rarrC_(2)-C_(3)` से, हम पाते है
`Delta=|((y+z)^(2)-x^(2),0,x^(2)),(0,(x+z)^(2)-y^(2),y^(2)),(z^(2)-(x+y)^(2),z^(2)-(x+y)^(2),(x+y)^(2))|`
`=|((y+z+x)(y+z-x),0,x^(2)),(0,(x+z+y)(x+z-y),y^(2)),((z+x+y)(z-x-y),(z+x+y)(z-x-y),(x+y)^(2))|`
`C_(1)` और `C_(2)` प्रत्येक से (x+y+z) उभयनिष्ठ बाहर लेने पर, हम पाते है
`=(x+y+z)^(2) |(y+z-x,0,x^(2)),(0,x+z-y,y^(2)),(z-x-y,z-x-y,(x+y)^(2))|`
संक्रिया `R_(3)rarrR_(3)-R_(1)-R_(2)` से, हम पाते है
`=(x+y+z)^(2) |(y+z-x,0,x^(2)),(0,x+z-y,y^(2)),(-2y,-2x,2xy)|`
संक्रियाओं `C_(1)rarrC_(1)+(1)/(x)C_(3),C_(2)rarrC_(2)+(1)/(y)C_(3)` से, हम पाते है
`=(x+y+z)^(2)|(y+z,(x^(2))/(y),x^(2)),((y^(2))/(x),x+z,y^(2)),(0,0,2xy)|`
`R_(3)` के अनुदिश विस्तार करने पर, हम पाते है
`=(x+y+z)^(2)2xy|(y+z,(x^(2))/(y)),((y^(2))/(x),x+z)|`
`=2xy(x+y+z)^(2)[(y+z)(x+z)-(y^(2))/(x)(x^(2))/(y)]`
`=2xy(x+y+z)^(2)(yz+zx+z^(2))`
`=2xyz(x+y+z)^(2)(x+y+z)`
`=2xyz(x+y+z)^(3)`
Discussion
241.

सिद्ध कीजिए कि `|{:((x+y)^(2),zx,zy),(zx,(z+y)^(2),xy),(zy,xy,(z+x)^(2)):}|=2xyz(x+y+z)^(3)`

Answer» बायाँ पक्ष `|{:((x+y)^(2),zx,zy),(zx,(z+y)^(2),xy),(zy,xy,(z+x)^(2)):}|`
`=(1)/(xyz)|{:(z(x+y)^(2),z^(2)x,z^(2)y),(zx^(2),x(z+y)^(2),x^(2)y),(zy^(2),xy^(2),y(z+x)^(2)):}| (R_(1)tozR_(1),R_(2)toxR_(2)` तथा `R_(3)toyR_(3))`
`=(xyz)/(xyz)|{:((x+y)^(2),z^(2),z^(2)),(x^(2),(z+y)^(2),x^(2)),(y^(2),y^(2),(z+x)^(2)):}|C_(1)to(1)/(z)C_(1),C_(2)to(1)/(x)C_(2)` तथा `C_(3)to(1)/(y)C_(3)`
`=|{:((x+y)^(2)-z^(2),0,z^(2)),(0,(z+y)-x^(2),x^(2)),(y^(2)-(z+x)^(2),y^(2)-(z+x)^(2),(z+x)^(2)):}|(C_(1)toC_(1)-C_(3),C_(2)toC_(2)-C_(3))`
`=|{:((x+y+z)(x+y-z),0,z^(2)),(0,(z+y+x)(z+y-x),x^(2)),((y+z+x)(y-z-x),(y+z+x)(y-z-x),(z+x)^(2)):}|`
अब ,प्रथम व द्वितीय स्तम्भ में से `(x+y+z)` बाहर लेने पर,
`=(x+y+z)^(2)|{:(x+y-z,0,z^(2)),(0,z+y-x,x^(2)),(-2x,-2z,2xz):}|(R_(3)toR_(3)-(R_(1)+R_(2))`
`=(x+y+z)^(2)|{:((x+y),(z^(2))/(x),z^(2)),((x^(2))/(z),(z+y),x^(2)),(0,0,2xz):}|(C_(1)toC_(1)+(1)/(z)C_(3),C_(2)toC_(2)+(1)/(x)C_(3))`
`=(x+y+z)^(2)[2xz{(x+y)(z+y)-(x^(2))/(z)xx(z^(2))/(x)}]`
`=(x+y+z)^(2)[2xz(xz+xy+yz+y^(2)-xz)]`
`=(x+y+z)^(2)[2xz(xy+yz+y^(2))]`
`=(x+y+z)^(2)[2xzy(x+z+y)]=2xyz(x+y+z)^(3)`
Discussion
242.

दिखाएँ कि `|{:((y+z)^(2),xy,zx),(xy,(x+z)^(2),yz),(xz,zy,(x+y)^(2)):}|=xyz(x+y+z)^(3)`

Answer» `R_(1)toxR_(1),R_(2)toyR_(2),R_(3)tozR_(3)` का प्रयोग करें तथा तथा `C_(1),C_(2),C_(3)` से क्रमशः x,y,z common ले
Discussion
243.

`5x-3y+2z=0` `2x-4y+7z=0` `3x+2y+5z=19`

Answer» Correct Answer - `x=13//9,y=31//9,z=14//9`
Discussion
244.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए - `|(1,omega^n, omega^(2n)),(omega^n,omega^(2n),1),(omega^(2n),1,omega^n)|=0,n in N`

Answer» `1=(omega^3)^n=omega^(3n)`
Discussion
245.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए - `|(a^2,2ab,b^2),(b^2,a^2,2ab),(2ab,b^2,a^2)|=(a^3+b^3)^2`

Answer» ` R_1toR_1+R_2+R_3 `
Discussion
246.

निम्नलिखित समीकरणों को सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से हल कीजिए - `|(x,-6,-1),(2,-3x,x-3),(-3,2x,x+2)|=0`

Answer» दिया गया समीकरण है -
`|(x,-6,-1),(2,-3x,x-3),(-3,2x,x+2)|=0`
`rArr |(x,-6,-1),(2-x,-3x+6,x-2),(-3-x,2x+6,x+3)|=0`
संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1` और `R_3toR_3-R_1` से)
`rArr |(x,-6,-1),(-(x-2),-3(x-2),(x-2)),(-(x+3),2(x+3),(x+3))|=0`
`rArr(x-2)(x+3)|(x,-6,-1),(-1,-3,1),(-1,2,1)|=0`
[`R_2`से (x-2) और `R_3` से (x+3) उभयनिष्ट लेने पर]
`rArr (x-2)(x+3)xx(x-1)xx|(-3,1),(2,1)=0`,
(`C_1`के अनुदिश प्रसार करने पर)
`rArr (x-2)(x+3)(x-1)(-5)=0`
`rArr x=2,-3,1`.
Discussion
247.

सारणिक `|{:(1,1,1),(1,2,3),(1,3,6):}|` बराबर नहीं है -A. `|{:(2,1,1),(2,2,3),(2,3,6):}|`B. `|{:(2,1,1),(3,2,3),(4,3,6):}|`C. `|{:(1,2,1),(1,5,3),(1,9,6):}|`D. `|{:(3,1,1),(6,2,3),(10,3,6):}|`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
248.

निम्नलिखित समीकरणों को सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से हल कीजिए - `|(a+x,a-x,a-x),(a-x,a+x,a-x),(a-x,a-x,a+x)|=0`

Answer» दिया गया समीकरण है -
`|(a+x,a-x,a-x),(a-x,a+x,a-x),(a-x,a-x,a+x)|=0`
`rArr|(3a-x,a-x,a-x),(3a-x,a+x,a-x),(3a-x,a-x,a+x)|=0`
संक्रिया `C_1to C_1+C_2+C_3` से)
`rArr(3a-x)|(1,a-x,a-x),(1,a+x,a-x),(1,a-x,a+x)|=0`
[`C_1` से `(3a-x)` उभयनिष्ट लेने पर]
`rArr(3a-x)|(1,a-x,a-x),(0,2x,a-x),(0,0,2x)|=0`
संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1` और `R_3toR_3-R_1` से)
`rArr (3a-x)xx1xx|(2x,0),(0,2x)|=0`.
(`C_1`के अनुदिश प्रसार करने पर)
`rArr (3a-x)xx 2x xx 2x =0`
`rArr 4x^2(3a-x)=0`
`rArr x=0,x=3a`.
Discussion
249.

निम्नलिखित समीकरणों को सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से हल कीजिए - `|(x+a,x,x),(x,x+a,x),(x,x,x+a)|=0,ane0`.

Answer» दिया गया समीकरण है -
`|(x+a,x,x),(x,x+a,x),(x,x,x+a)|=0`
`rArr|(3x+a,x,x),(3x+a,x+a,x),(3x+a,x,x+a)|=0`
( संक्रिया `C_1toC_1+C_2=C_3` से)
`rArr(3x+a)|(1,x,x),(1,x+a,x),(1,x,x+a)|=0`
[`C_1`से `(3x+a)` उभयनिष्ट लेने पर]
`rArr(3x+a)|(1,x,x),(0,a,0),(0,0,a)|=0`
( संक्रियाओं `R_2toR_2-R_2,R_3toR_3-R_1` से)
`rArr (3x+a)xx a xx |(1,x),(0,a)|=0`
(`R_3` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`rArr (3x+a)a^2=0`
`rArr 3a +a=0,a^2ne0`
`rArr x=-(a)/(3)`.
Discussion
250.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए - `|((b+c)^2,a^2,bc),((c+a)^2,b^2,ca),((a+b)^2,c^2,ab)|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)`

Answer» `[ C_1toC_1-2C_3 स ]`
Discussion