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101.

प्रदर्शित कीजिए कि आव्यूह `A=[{:(2,3),(1,2):}]` समीकरण `A^(2)-4A+I=0,` जहाँ `I,2xx2` कोटि का एक स्तस्माक आव्यूह है और `O,2xx2` कोटि का एक शुन्य आव्यूह है। इसकी सहयता से A^(-1)` ज्ञात कीजिए।

Answer» `A=[{:(2,3),(1,2):}]`
`A^(2)=AxxA=[{:(2,3),(1,2):}][{:(2,3),(1,2):}]-[{:(4+3,6+6),(2+2,3+4):}]`
`=[{:(7,12),(4,7):}]`
`4A=4[{:(2,3),(1,2):}]=[{:(8,12),(4,8):}]`
अतः `A^(2)-4A+I=[{:(7,12),(4,7):}]-[{:(8,12),(4,8):}]+[{:(1,0),(0,1):}]`
`=[(7-81,12-12+0),(4-4+0,7-8-1):}]`
`=[{:(0,0),(0,0):}]=0`
`becauseA^(2)-4A+I=0`
`A^(2)-4A=-I`
`A.A.A^(-I)-4A.A^(-I)=-IA^(-I)" "(A^(-1)`का दोनों पक्षों में गुणा करने पर)
`A.(A.A^(-I))-4(A.A^(-I))=-A^(-I)`
`A.I-4I=-A^(-I)`
`A^(-I)=4I-A`
`=[{:(4,0),(0,4):}]-[{:(2,3),(1,2):}]=[{:(2,-3),(-1,2):}].`
Discussion
102.

निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए: `2x+5y=1` `3x+2y=7`

Answer» दिए हुए समीकरणों को आव्यूह समीकरण
`AX=B`
के रूप में लिखने पर,
`[{:(2,5),(3,2):}][{:(x),(y):}]=[{:(1),(7):}]`
जहाँ `A=[{:(2,5),(3,2):}],X=[{:(x),(y):}]` तथा `B=[{:(1),(7):}]`
अतः `|A|=4-15=-11ne0.`
A के सह्गुणनखण्ड ज्ञात करेंगे।
`A_(11)=2,A_(12)=-3,A_(21)=-5,A_(22)=2`
अतः सह्गुणनखंडो से प्राप्त आव्यूह `[{:(2,-3),(-5,2):}]`
`thereforeadj A=[{:(2,-5),(-3,2):}]`
और `A^(-1)=(1)/(|A|)adjA=1/11[{:(2,-5),(-3,2):}]`
`X=A^(-1)B=-1/11[{:(2,-5),(-3,2):}][{:(1),(7):}]`
`[{:(x),(y):}]=-1/11[{:(2-35),(-3+14):}]=1/11[(-33),(11):}][{:(x),(y):}]=[{:(3),(-1):}]`
Discussion
103.

`{:(2x+y+z=1),(x-2y-3z=1),(3x+2y+4z):}`का हल आव्यूह विधि से ज्ञात कीजिए।

Answer» `[{:(2,1,1),(1,-2,-3),(3,2,4):}][{:(x),(y),(z):}]=[{:(1),(1),(5):}]`उक्त समीकरणों का आव्यूह समीकरण है।
`|A|=|{:(2,1,1),(1,-2,-3),(3,2,4):}|`
`=2(-8+6)-1.(4+9)+1.(2+6)=-413+8=-9ne0`
`A^(-1)=|{:(2,1,1),(1,-2,-3),(3,2,4):}|`
`=(adj A)/(|A|)=(1)/(-9)[{:(-2,-2,-1),(-13,5,7),(8,-1,-5):}]`
`becauseX=A^(-1)B`
`therefore[{:(x),(y),(z):}](1)/(-9)[{:(-2,-2,-1),(-13,5,7),(8,-1,5):}][{:(1),(1),(5):}]=-1/9[{:(-9),(27),(-18):}]=[{:(1),(-3),(2):}]`
अतः `x=1,y=-3,z=2.`
Discussion
104.

निम्नलिखित समीकरण को आव्यूह विधि से हल कीजिए: `{:(2x-y+3z=9),(x+y+z=6),(x-y+z=2.):}`

Answer» दिये हुए समीकरणों को आव्यूह रूप `AX=B` में लिखने पर,
`[{:(2,-1,3),(1,1,1),(1,-1,1):}][{:(x),(y),(z):}]=[{:(9),(6),(2):}]`
जहाँ A राशियों `x,y,z` के गुणकों का आव्यूह है।
`|A|=-2`तथा `A^(-1)=[{:(-1,1,2),(0,1/2,-1/2),(1,-1/2,-3/2):}],`(हल करने पर)
`therefore` समीकरण `X=A^(-1)B` में मान रखने पर,
`[{:(x),(y),(z):}]=[{:(-1,1,2),(0,1/2,-1/2),(1,-1/2,-3/2):}][{:(9),(6),(2):}]`
`=[{:(-9+6+4),(0+3-1),(9-3-3):}]=[{:(1),(2),(3):}]`
अतः `{:(x=1","),(y=2","),(z=3.):}`
Discussion
105.

निम्नलिखित समीकरण निकाय `{:(3x-2y+3z=8),(2x+y-z=1),(4x-3y+2z=4):}` को आव्यूह विधि से हल कीजिए।

Answer» दिए हुए समीकरणों को आव्यूह रूप `AX=B` में लिखने पर,
`[{:(3,-2,3),(2,1,-1),(4,-3,2):}][{:(x),(y),(z):}]=[{:(8),(1),(4):}]`
यहाँ `A=[{:(3,-2,3),(2,1,-1),(4,-3,2):}]`
`therefore|A|=3(2-3)+2(4+4)+3(-6-4)`
`=3(-1)+2(8)+3(-10)`
`=-3+16-30=-17ne0.`
अब A के सह्गुणनखण्ड प्राप्त करने है।
`A_(11)=|{:(1,-1),(-3,2):}|=2-3=-1," "A_(12)=-|{:(2,-1),(4,2):}|=-(4+4)=-8`
`A_(13)=|{:(2,1),(4,-3):}|=-6-4=-10," "A_(21)=-|{:(-2,3),(-3,2):}|=-(-4+9)=-5`
`A_(22)=|{:(3,3),(4,2):}|=6-12=-6," "A_(23)=-|{:(3,-2),(4,-3):}|=-(-9+8)=1`
`A_(31)=|{:(-2,3),(1,-1):}|=6-3=-1," "A_(32)=-|{:(3,3),(2,-1):}|=-(-3-6)=9`
`A_(33)=|{:(3,-2),(2,1):}|=3+4=7`
अतः A के सह्गुणनखंडो से प्राप्त आव्यूह `[{:(-1,-8,-10),(-5,-6,1),(-1,9,7):}]`
` thereforeadj A=[{:(-1,-5,-1),(-8,-6,9),(-10,1,7):}]`
`thereforeA^(-1)=(1)/(|A|)adjA=-(1)/(17)[{:(-1,-5,-1),(-8,-6,9),(-10,1,7):}]`
अब `X=A^(-1)B`
`[{:(x),(y),(z):}]=-(1)/(17)[{:(-1,-5,-1),(-8,-6,9),(-10,1,7):}][{:(8),(1),(4):}]`
`=-1/17[{:(-8-5-4),(-64-6+36),(-80+1+28):}]=-1/17[{:(-17),(-34),(-51):}]=[{:(1),(2),(3):}]`
अतः `x=1,y=2` तथा `z=3.`
Discussion
106.

निम्नलिखित प्रश्न तक प्रत्येक समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए। `2x=3y+3z=5,x-2y+z=-4,3x-y-2z=3`

Answer» दिया समीकरण निकाय
`2x=3y+3z=5`
`x-2y+z=-4`
`3x-y-2z=3`
`implies[(2,3,3),(1,-2,1),(3,-1,-2)][(x),(y),(z)]=[(5),(-4),(3)]impliesAX=B`……………1
`:.A=[(2,3,3),(1,-2,1),(3,-1,-2)]`
`implies|A|=|(2,3,3),(1,-2,1),(3,-1,-2)|`
`=2(4+1)-3(-2-3)+3(-1+6)`
`=10+15+15=40!=0`
`:.A` व्‍युत्‍क्रमणीय है।
अब `A_(11)=5,A_(12)=5,A_(13)=5`
`A_(21)=3,A_(22)=-13,A_(23)=11`
`A_(31)=9,A_(32)=1,A_(33)=-7`
`:.adjA[(5,5,5),(3,-13,11),(9,1,-7)]=[(5,3,9),(5,-13,1),(5,11,-7)]`
तथा `A^(-1)=1/(|A|)adjA=1/40[(5,3,9),(5,-13,1),(5,11,-7)]`
समीकरण 1 से `AX=BimpliesX=A^(-1)B`
`implies[(x),(y),(z)]=1/40[(5,3,9),(5,-13,1),(5,11,-7)][(5),(-4),(3)]`
`=1/40[(25-12+27),(25+52+3),(25-44-21)]=[(1),(2),(-1)]`
`impliesx+1,y=2,z=-1`
Discussion
107.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके मूल्यांकन कीजिए - `|(265,240,219),(240,225,198),(219,198,181)|`

Answer» यहाँ `Delta=|(265,240,219),(240,225,198),(219,198,181)|=|(46,21,219),(42,27,198),(38,17,181)|`
संक्रियाओं `C_1toC_1-C_3` और `C_2toC_2-C_3` से )
`=|(4,21,9),(-12,27,-72),(4,17,11)|` संक्रियाओं `C_1toC_1-2C_2` और `C_3toC_3-10C_2` से )
`=|(0,4,-2),(0,78,-39),(4,17,11)|` ( संक्रियाओं `R_1toR_1-R_3` और `R_2toR_2+3R_3` से )
`=2xx39|(0,2,-1),(0,2,-1),(4,17,11)|`
(`R_1` से 2 और `R_2` से 39 उभयनिष्ट लेने पर )
`=78xx0=0`,
`(because R_1` और `R_2` सर्वसम है)
Discussion
108.

निम्नलिखित को सरल कीजिए - `|{:(1,x,y),(0,cosx,siny),(0,sinx,cosy):}|`

Answer» Correct Answer - `cos(x+y)`
दी गयी सारणिक को `C_(1)` के सापेक्ष विस्तार करने पर
Discussion
109.

सिद्ध कीजिए - `|(1+sin^2x,cos^2x,4sin2x),(sin^2x,1+cos^2x,4sin2x),(sin^2x,cos^2x,1+4sin2x)|=2+4sin2x`.

Answer» L.H.S`=|(1+sin^2x,cos^2x,4sin2x),(sin^2x,1+cos^2x,4sin2x),(sin^2x,cos^2x,1+4sin2x)|`
`=|(1+sin^2x+cos^2x,cos^2x,4sin2x),(1+sin^2x+cos^2x,1+cos^2x,4sin2x),(sin^2x+cos^2x,cos^2x,1+4sin2x)|`
`=|(2,cos^2x,4sin2x),(2,1+cos^2x,4sin2x),(1,cos^2x,1+4sin2x)|`
`=|(1,0,-1),(1,1,-1),(1,cos^2x,1+4sin2x)|`
`=|(1,0,0),(1,1,0),(1,cos^2x,2+4sin2x)|`
`=(2+4sin2x)|(1,0),(1,1)|`
`=2+4sin2x`
R.H.S.
Discussion
110.

दिखाएँ कि `|{:((b+c)^(2),a^(2),a^(2)),(b^(2),(c+a)^(2),b^(2)),(c^(2),c^(2),(a+b)^(2)):}|=2abc(a+b+c)^(3)`

Answer» `Delta=|{:((b+c)^(2)-a^(2),0,a^(2)),(b^(2)-(c+a)^(2),(c+a)^(2)-b^(2),b^(2)),(0,c^(2)-(a+b)^(2),(a+b)^(2)):}|" "{:[(C_(1)toC_(2)-C_(2)","),(C_(2)toC_(2)-C_(3))]:}`
`=|{:((a+b+c)(b+c-a),0,a^(2)),((b+c+a)(b-c-a),(c+a+b)(c+a-b),b^(2)),(0,(c+a+b)(c-a-b),(a+b)^(2)):}|`
`=(a+b+c)^(2)|{:(b+c-a,0,a^(2)),(b-c-a,c+a-b,b^(2)),(0,c-a-b,(a+b)^(2)):}|" "[C_(1)" तथा "C_(2)" से (a+b+c) common लेने पर"]`
`=(a+b+c)^(2)|{:(b+c-a,0,a^(2)),(b-c-a,c+a-b,b^(2)),(2a-2b,-2a,2ab):}|" "[R_(3)toR_(3)-R_(1)-R_(2)]`
`=(a+b+c)^(2)|{:(b+c-a,0,a^(2)),(0,c+a-b,b^(2)),(-2b,-2a,2ab):}|" "[C_(1)toC_(1)+C_(2)]`
`=((a+b+c)^(2))/(ab)|{:(a(b+c),a^(2),a^(2)),(b^(2),b(c+a),b^(2)),(0,0,2ab):}|" "{:[(C_(1)toaC_(1)+C_(3)","),(C_(2)tobC_(2)+C_(3))]:}`
`=((a+b+c)^(2))/(ab)*ab*2ab|{:(b+c,a,a),(b,c+a,b),(0,0,1):}|`
`R_(1),R_(2),R_(3)" से क्रमशः a,b तथा 2ab common लेने पर"]`
`=2ab(a+b+c)^(2)[(b+c)(c+a)-ab]" "[R_(3)" के अनुदिश विस्तार करने पर"]`
`=2ab(a+b+c)^(2)*[bc+c^(2)+ab+ac-ab]`
`=2abc(a+b+c)^(3)`
Discussion
111.

निम्नलिखित में सारणिक का मान निकाले । (i) `|{:(5,-10),(0,3):}|` (ii) `|{:(1,0,4),(3,5,-1),(0,1,2):}|` (III)`|{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}|`

Answer» (i) `M_(11)=3," "M_(12)=0" "M_(21)=-10" "M_(22)=5,`
`A_(11)=3," "A_(12)=0," "A_(21)=10" "A_(22)=5," "Delta=15`
(ii) `M_(11)=11," "M_(12)=6," "M_(13)=3," "M_(21)=-4," "M_(22)=2`
`M_(23)=1," "M_(31)=-20," "M_(32)=-13" "M_(33)=5,`
`A_(11)=11," "A_(12)=-6," "A_(13)=3," "A_(21)=4," "A_(22)=2`
`A_(23)=-1," "A_(31)=-20" "A_(32)=13," "a_(33)=5," "Delta=23`
(iii) `M_(11)=-40," "M_(12)=-10," "M_(13)=35," "M_(21)=16,`
`M_(22)=8," "M_(23)=-4," "M_(31)=8," "M_(32)=14," "M_(33)=-17`
`A_(11)=-40," "A_(12)=10," "A_(13)=35," "A_(21)=-16`,
`A_(22)=8," "A_(23)=4," "A_(31)=8," "A_(32)=-14`,
`A_(33)=-17,Delta=-80`
(iv) `M_(11)=1," "M_(12)=0," "M_(13)=0," "M_(21)=0," "M_(22)=1`
`M_(23)=0," "M_(31)=0," "M_(32)=0," "M_(33)=1,`
`A_(11)=1," "A_(12)=0," "A_(13)=0," "A_(21)=0," "A_(22)=1`,
`A_(23)=0," "A_(31)=0," "A_(32)=0," "A_(33)=1," "Delta=1`
Discussion
112.

(1,2) तथा (3,6) को मिलानेवाली रेखा का समीकरण सारणिक का प्रयोग कर निकाले ।

Answer» माना कि `A-=(1,2),B-=(3,6)`
माना कि बिन्दुओ A(1,2) तथा B(3,6) को मिलाने वाली रेखा पर P(x,y) कोई स्वच्छेच बिंदु है तो बिंदुएँ P,A,B संरेख होगी ।
`:." "|{:(x,y,1),(1,2,1),(3,6,1):}|=0`
या, `x(2-6)-y(1-3)+1(6-6)=0` [पहले row के अनुदिश विस्तार करने पर]
या, `4x-2y=0` या, `2x-y=0` s
Discussion
113.

निम्नलिखित का मान निकाले `|{:(1,1,1),(1,1+x,1),(1,1,1+y):}|`

Answer» Correct Answer - (i) xy (ii) `(a-b)(b-c)(c-a)` (iii) `lamda^(2)(3x+lamda)` (iv) 0 (v) `(alpha-beta)(beta-gamma)(gamma-alpha)` (vi) `(a-1)^(3)`
(vii) `(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)`
(viii) `abc(a-b)(b-c)(c-a)` (ix) 0 (x) `2a^(3)b^(3)c^(3)` (x i) xy
`C_(1),C_(2),C_(3)` के क्रमशः a,b,c ले |
Discussion
114.

साबित करे कि `|{:(a^(2),a^(2)-(b-c)^(2),bc),(b^(2),b^(2)-(c-a)^(2),ca),(c^(2),c^(2)-(a-b)^(2),ab):}|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)(a^(2)+b^(2)+c^(2))`

Answer» `C_(2)to(C_(2)-C_(1))` और तब `C_(2)toC_(2)-C_(1)-2C_(3)` का प्रयोग करें
Discussion
115.

साबित करे कि `|{:(a-b-c,2a,2a),(2b,b-c-a,2b),(2c,2c,c-a-b):}|=(a+b+c)^(3)`

Answer» `R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3)` का प्रयोग करें
Discussion
116.

साबित करे कि `|{:(-a^(2),ab,ac),(ab,-b^(2),bc),(ac,bc,-c^(2)):}|=4a^(2)b^(2)c^(2)`.

Answer» `Delta=|{:(-a^(2),ab,ac),(ab,-b^(2),bc),(ac,bc,-c^(2)):}|=(abc)*|{:(-a,a,a),(b,-b,b),(c,c,-c):}|" "[C_(1),C_(2),C_(3)" से क्रमशः a,b,c common लेने पर"]`
`=(abc)=|{:(0,0,a),(2b,-2b,b),(0,2c,-c):}|" "[C_(1)to(C_(1)+C_(3))" तथा "C_(2)to(C_(2)-C_(3))]`
`=(abc)*c*|{:(2b,-2b),(0,2c):}|" "[R_(1)" के अनुदिश विस्तार करने पर"] `
`=(a^(2)bc)(4bc)=4a^(2)b^(2)c^(2)`
Discussion
117.

निम्नलिखित का मान निकाले `|{:(a,b+c,a^(2)),(b,c+a,b^(2)),(c,a+b,c^(2)):}|`

Answer» Correct Answer - (i) `-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)` (ii) `3abc-a^(3)-b^(2)-c^(3)` (iii) 0 (iv) 0 (v) 0 (vi) `-2(x^(2)+y^(3))`
(i) `C_(2)toC_(2)+C_(1)` और तब दूसरे column से (a+b+c) common ले
(ii) `C_(1)toC_(1)+C_(3)` और तब पहले column से (a+b+c) common ले
(iv) `I+omega+omega^(2)=0`
(v) `R_(1)toR_(1)+R_(3)-2R_(2)` का प्रयोग करे
Discussion
118.

(i) यदि x,y,z असमान हो तथा `Delta=|{:(x,x^(2),1+x^(2)),(y,y^(2),1+y^(2)),(z,z^(2),1+z^(2)):}|=0`साबित करे |(ii) यदि x,y,z असमान हो तथा `|{:(x,x^(3),x^(3)-1),(y,y^(3),y^(3)-1),(z,z^(3),z^(3)-1):}|=0`, साबित करे |

Answer» दिए हुए सारणिक को दो सारणिक के योग के रूप में लिखे ।
Discussion
119.

साबित करे कि `|{:(a+b+c,-c,-b),(-c,a+b+c,-a),(-b,-a,a+b+c):}|=2(a+b)(b+c)(c+a)`

Answer» `C_(1)to(C_(1)+C_(3))` तथा `C_(2)to(C_(2)+C_(3))` का प्रयोग करे
Discussion
120.

साबित करे कि `|{:(a,b-c,c+b),(a+c,b,c-a),(a-b,a+b,c):}|=(a+b+c)(a^(2)+b^(2)+c^(2))`

Answer» `C_(1)toaC_(1)+bC_(2)+cC_(3)` का प्रयोग करे
Discussion
121.

यदि `|{:(2,-3,5),(6,0,4),(1,5,-7):}|` के अवयवों का गुणनखण्ड `a_(ij)` है ,तब `(a_(32)*A_(32))` का मान लिखिये।

Answer» Correct Answer - 110
Discussion
122.

साबित करे कि `|{:((b+c)^(2),a^(2),bc),((c+a)^(2),b^(2),ca),((a+b)^(2),c^(2),ab):}|=(a-b)(b-a)(c-a)(a+b+c)(a^(2)+b^(2)+c^(2))`

Answer» `C_(2)to(C_(1)+C_(2)-2C_(3))` का प्रयोग करे
Discussion
123.

साबित करे कि `|{:(1,a^(2)+bc,a^(3)),(1,b^(2)+ca,b^(3)),(1,c^(2)+ab,c^(3)):}|=-(a-b)(b-c)(c-a)(a^(2)+b^(2)+c^(2))`

Answer» `R_(2)to(R_(2)-R_(1))` तथा `R_(3)to(R_(3)-R_(1))` का प्रयोग करे
Discussion
124.

मान निकालें `:Delta=|{:(1+a_(1),a_(2),a_(3)),(a_(1),1+a_(2),a_(3)),(a_(1),a_(2),1+a_(3)):}|`

Answer» `Delta=|{:(1+a_(1)+a_(2)+a_(3),a_(2),a_(3)),(1+a_(1)a_(2)+a_(3),1+a_(2),a_(3)),(a+a_(1)+a_(2)+a_(3),a_(2),1+a_(3)):}|" "[C_(1)toC_(1)+C_(1)+C_(3)]`
`=(1+a_(1)+a_(2)+a_(3))|{:(1,a_(2),a_(3)),(1,1+a_(2),a_(3)),(1,a_(2),1+a_(3)):}|`
`=(1+a_(1)+a_(2)+a_(3))|{:(0,-1,0),(0,1,-1),(1,a_(2),1+a_(3)):}|" "{:[(R_(1)toR_(1)-R_(2)),(R_(2)toR_(2)-R_(3))]:}`
`=(1+a_(1)+a_(2)+a_(3))|{:(-1,0),(1,-1):}|" "[C_(1)" के अनुदिश विस्तार करने पर"]`
`=(1+a_(1)+a_(2)+a_(3))(1-0)=1+a_(1)+a_(2)+a_(3)`
Discussion
125.

साबित करे कि `|{:(1+a,1,1),(1,1+b,1),(1,1,1+c):}|=(abc)((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)=(bc+ca+ab+abc)`

Answer» माना कि `Delta=|{:(1+a,1,1),(1,1+b,1),(1,1,1+c):}|` तो, `Delta=(abc)|{:((1)/(a)+1,(1)/(a),(1)/(a)),((1)/(b),(1)/(b)+1,(1)/(b)),((1)/(c),(1)/(c),(1)/(c)+1):}|" "[R_(1),R_(2)" तथा "R_(3)" से क्रमशः a,b,c common लेने पर"]`
`=(abc)((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)*|{:(1,1,1),((1)/(b),(1)/(b)+1,(1)/(b)),((1)/(c),(1)/(c),(1)/(c)+1):}|" "[R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3)" का प्रयोग करने तथा " R_(1) "से "((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)" common लेने पर"]`
`=(abc)((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)|{:(0,0,1),(0,1,(1)/(b)),(-1,-1,(1)/(c)+1):}|" "[C_(1)to(C_(1)-C_(3))" तथा "C_(2)to(C_(2)-C_(3))]`
`=(abc)((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)*(1)*|{:(0,1),(-1,-1):}|" "[R_(1)"के अनुदिश विस्तार करने पर"]`
`=(abc)((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)*1=(abc)((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)=(bc+ca+ab+abc)`
Discussion
126.

मान निकालें `|{:(b+c,a,a),(b,c+a,b),(c,c,a+b):}|`

Answer» `Delta=|{:(0,-2c,-2b),(b,c+a,b),(c,c,a+b):}|" "[R_(1)toR_(1)-R_(2)-R_(3)]`
`=(1)/(c)|{:(0,-2c,-2b),(0,c(c+a-b),b(c-a-b)),(c,c,a+b):}|" "[R_(2)tocR_(2)-bR_(3)]`
`=(1)/(c)c(-2bc)[c-a-b-(c+a-b)]=(-2bc)(-2a)=4abc`
Discussion
127.

साबित करे कि `|{:(a^(2)+1,ab,ac),(ab,b^(2)+1,bc),(ac,bc,c^(2)+1):}|=1+a^(2)+b^(2)+c^(2)`

Answer» `Delta=(1)/(abc)|{:(a(a^(2)+1),ab^(2),ac^(2)),(a^(2)b,b(b^(2)+1),bc^(2)),(a^(2)c,b^(2)c,c(c^(2)+1)):}|" "[C_(1)toaC_(1),C_(2)tobC_(2),C_(3)tocC_(3)]`
`=(abc)/(abc)|{:(a^(2)+1,b^(2),c^(2)),(a^(2),b^(2)+1,c^(2)),(a^(2),b^(2),c^(2)+1):}|" "` [पहले, दूसरे तथा तीसरे कतार से क्रमशः a,b,c common लेने पर]
`=|{:(1+a^(2)+b^(2)+c^(2),b^(2),c^(2)),(1+a^(2)+b^(2)+c^(2),b^(2)+1,c^(2)),(1+a^(2)+b^(2)+c^(2),b^(2),c^(2)+1):}|" "[C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3)]`
`=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2))|{:(1,b^(2),c^(2)),(1,b^(2)+1,c^(2)),(1,b^(2),c^(2)+1):}|`
`=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2))|{:(1,b^(2),c^(2)),(0,1,0),(0,0,1):}|" "[R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(1)]`
`=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2))*1|{:(1,0),(0,1):}|" "` [पहले column के अनुदिश विस्तार करने पर]
`=1+a^(2)+b^(2)+c^(2)`
Discussion
128.

मूल्यांकन कीजिए- `2|{:(7,-2),(-10,5):}|`

Answer» दिया गया है- `Delta=2 |{:(7,-2),(-10,5):}|`
`=2[(7xx5)-(-10)xx(-2)]`
`=2(35-20)`
`=2xx15=30` .
Discussion
129.

मूल्यांकन कीजिए- `|{:(2,4),(-5,-1):}|`

Answer» दिया गया है- `Delta=|{:(2,4),(-5,-1):}|`
`=2xx(-1)-(-5)xx4`
`=-2+20=18`.
Discussion
130.

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो जिसके शीर्ष - (i) (2,7),(1,1),(10,8) (ii) (-2,-3),(3,2)(-1-,8) (iii) (1,4),(2,3),(-5,-3) (iv) (3,8),(-4,2),(5,1)

Answer» Correct Answer - (i) 23.5 वर्ग इकाई ,(ii) 15 वर्ग इकाई , (iii) 6.5 वर्ग इकाई , (iv) 30.5 वर्ग इकाई
Discussion
131.

यदि a,b,c वास्तविक संख्याएँ है तथा `|(b+c,c+a,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a)|=0`, तब दर्शाइये कि तो `a+b+c=0` या `a=b=c`.

Answer» यहाँ `Delta=|(b+c,c+a,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a)|`
`rArrDelta=|(2(a+b+c),c+a,a+b),(2(a+b+c),a+b,b+c),(2(a+b+c),b+c,c+a)|`
संक्रिया `C_1toC_1+C_2+C_3` से)
`rArrDelta=2(a+b+c)|(1,c+a,a+b),(1,a+b,b+c),(1,b+c,c+a)|`
(`C_1` से 2(a+b+c) उभयनिष्ट लेने पर]
`rArrDelta=2(a+b+c)|(1,c+a,a+b),(0,b-c,c-a),(0,b-a,c-b)|`
( संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1` और `R_3toR_3-R_1` से)
`rArr Delta=2(a+b+c)xx1xx |(b-c,c-a),(b-c,c-b)|`
(`C_1` के अनुदिश प्रसरण करने पर)
`rArr Delta=2(a+b+c)[(b-c)(c-b)-(c-a)(b-a)]`
`rArr Delta=2(a+b+c)[-a^2-b^2-c^2+ab+bc+ca]`
`rArr Delta = -2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)`
अतः `Delta` के गुणनखंड `a+b+c` और `a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca` है।
दिया गया है -
`Delta = 0`
`rArr - 2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`rArr (a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)=0`
`rArr (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0`
`rArr a+b+c=0`
या `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
`rArr a+b+c=0`
या `a-b=b-c=c-a=0`
`rArr a+bc=0`
या `a=b=c`.
Discussion
132.

निम्नलिखित में दिए गए प्रत्‍येक आव्यूहों के व्युत्‍क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।`[(1,-1,2),(0,2,-3),(3,-2,4)]`

Answer» माना `A=[(1,-1,2),(0,2,-3),(3,-2,4)]`
`implies|A|=|(1,-1,2),(0,2,-3),(3,-2,4)|`
`=1(8-6)-(-1)(0+9)+2(0-6)`
`=2+9-12=-1`
`A_(11)=(-1)^(2)(8-6)=2,A_(12)=(-1)^(3)(0+9)=-9`
`A_(13)=(-1)^(4)(0-6)=-6`
`A_(21)=(-1)^(3)(-4+4)=0,A_(22)=(-1)^(4)(4-6)=-2`
`A_(23)=(-1)^(5)(-2+3)=-1`
`A_(31)=(-1)^(4)(3-4)=-1,A_(32)=(-1)^(5)(-3-0)=3`
`A_(33)=(-1)^(6)(2-0)=2`
`:.adjA=[(2,-9,-6),(0,-2,-1),(-1,3,2)]=[(2,0,-1),(-9,-2,3),(-6,-1,2)]`
अब `A^(-1)=1/(|A|).adjA=1/(-1)[(2,0,-1),(-9,-2,3),(-6,-1,2)]`
`=[(-2,0,1),(9,2,-3),(6,-1,-2)]`
Discussion
133.

निम्नलिखित में दिए गए प्रत्‍येक आव्यूहों के व्युत्‍क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।`[(2,1,3),(4,-1,0),(-7,2,1)]`

Answer» माना `A=[(2,1,3),(4,-1,0),(-7,2,1)]`
`|A|=|(2,1,3),(4,-1,0),(-7,2,1)|`
`=2(-1-0)-1(4-0)+3(8-7)`
`-2-4+3=-3!=0`
`A_(11)=(-1)^(2)(-1-0)=-1,A_(12)=(-1)^(3)(4-0)=-4`
`A_(13)=(-1)^(4)(8-7)=1`
`A_(21)=(-1)^(3)(1-6)=5,A_(22)=(-1)^(4)(2+21)=23`
`A_(23)=(-1)^(5)(4+7)=-11`
`A_(31)=(-1)^(4)(0+3)=3,A_(32)=(-1)^(5)(0-12)=12`
`A_(33)=(-1)^(6)(-2-4)=-6`
`:.adjA=[(-1,-4,1),(5,23,-11),(3,12,-6)]=[(-1,5,3),(-4,23,12),(1,-11,-6)]`
अब `A^(-1)=1/(|A|).adjA=-1/3[(-1,5,3),(-4,23,12),(1,-11,-6)]`
Discussion
134.

निम्नलिखित में दिए गए प्रत्‍येक आव्यूहों के व्युत्‍क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए। `ख्‍(-1,5),(-3,2)]`

Answer» माना `A=[(-1,5),(-3,2)]`
`implies|A|=|(-1,5),(-3,2)|=-2-(-15)=13!=0`
`:.A^(-1)` का अस्‍त‌ित्‍व है।
अब `A_(11)=(-1)^(2)2=2,A_(12)=(-1)^(3)(-3)=3`
`A_(21)=(-1)^(3)5=-5,A_(22)=(-1)^(4)(-1)=-1`
`:.adjA=[(2,3),(-5,-1)]=](2,5),(3,-1)]`
अब `A^(-1)=1/(|A|).adjA=1/13[(2,-5),(3,-1)]`
Discussion
135.

निम्नलिखित में दिए गए प्रत्‍येक आव्यूहों के व्युत्‍क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।`[(1,0,0),(0,cos alpha,sin alpha),(0, sin alpha,-cos alpha)]`

Answer» माना `A=[(1,0,0),(0,cos alpha,sin alpha),(0,sin alpha,-cos alpha)]`
`implies|A|=+|(1,0,0),(0,cos alpha,sin alpha),(0, sin alpha, -cos alpha)|`
`=1(-cos^(2)alpha-sin^(2)alpha)-0+0=-1!=0`
`A_(11)=(-1)^(2)(-cos^(2)alpha-sin^(2)alpha)=-1`
`A_(12)=(-1)^(3)(0-0)=0`
`A_(13)=(-1)^(4)(0-0)=0`,
`A_(21)=(-1)^(3)(0-0)=0`
`A_(22)=(-1)^(4)(-cos alpha-0)=-cos alpha`
`A_(23)=(-1)^(5)(sin alpha-0)=-sin alpha`
`A_(31)=(-1)^(4)(0-0)=0`
`A_(32)=(-1)^(5)(sin alpha-0)=-sin alpha`
`A_(33)-(-1)^(6)(cos alpha -0)=cos alpha`
`:. adj A=[(-1,0,0),(0,-cos alpha, -sin alpha),(0,-sin alpha, cos alpha)]`
`=[(-1,0,0),(0,-cos alpha, -sin alpha),(0,-sin alpha,cos alpha)]`
अब `A^(-1)=1/(|A|)adjA=1/(-1)[(-1,0,0),(0,-cos alpha,-sin alpha),(0,-sin alpha, cos alpha)]`
`=[(1,0,0),(0, cos alpha, sin alpha),(0,sin alpha, -cos alpha)]`
Discussion
136.

आव्यूह `A=[(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3)]` के लिए दर्शाइए कि `A^(3)-6A^(2)+5A+11I=O` इसकी सहायता से `A^(-1)` ज्ञात कीजिए।

Answer» `A^(2)=A.A`
`=[(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3)][(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,-3)]`
`=[(1+1+2,1+2-1,1-3+3),(1+2-6,1+4+3,1-6-9),(2-1+6,2-2-3,2+3+9)]`
`=[(4,2,1),(-3,8,-14),(7,-3,14)]`
और `A^(3)=A^(2).A`
` =[(4,2,1),(-3,8,-14),(7,-3,14)][(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3)]`
`=[(4+2+2,4+4-1,4-6+3),(-3+8-28,-3+16+14,-3-24-42), (7-3+28,7-6-14,7+9+42)]`
`=[(8,7,1),(-23,27,-69),(32,-13,58)]`
अब L.H.S `=A^(3)-6A(3)+5A+11I`
`=[(8,7,1),(-23,27,-690),(32,-13,58)]-6[(4,2,1),(-3,8,14),(7,-3,14)]`
`+5[(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3)]+11[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
`=[(8-24+5+11,7-12+5+0,1-6+5+0),(-23+18+5+0,27-48+10+11,-69+84-15+0),(32-42+10+0,-13+18-5+0,58-84+15+11)]`
`[(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0)]=O=R.H.S`
अब `|A|=|(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3)|`
`=1(6-3)-1(3+6)+1(-1-4)`
`=3-9-5=-11!=0`
`:.A^(-1)` का अस्‍त‌ित्‍व है।
अब `A^(3)-6A^(2)+5A+11I=O`
`impliesA^(-1)(A^(3)-6A^(2)+5A+11I)=A^(-1).O`
`impliesA^(2)-6A+5I+11A^(-1)=O`
`implies-11A^(-1)=A^(2)-6A+5I`
`=[(4,2,1),(-3,8,-14),(7,-3,14)]-6[(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3)]+5[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
`=[(4-6+5,2-6+0,1-6+0),(-3-6+0,8-12+5,-14-18+0),(7-12+0,-3+6+0,14-18+5)]`
`=[(3,-4,-5),(-9,1,4),(-5,3,1)]`
`=A^(-1)=-1/11[(3,-4,-5),(-9,1,4),(-5,3,1)]`
Discussion
137.

यदि `A=[(2,-1,1),(-1,2,-1),(1-1,2)]`, तो सत्यापित कीजिए कि `A^(3)-6A^(2)+9A-4I=O` है तथा इसकी सहायता से `A^(-1)` ज्ञात कीजिए।

Answer» `A=[(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)]`
`:.A^(2)=A.A[(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)][(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)]`
`=[(4+1+1,-2-2-1,2+1+2),(-2-2-1,1+4+1,-1-2-2),(2+1+2,-1-2-2,1+1+4)]`
`=[(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6)]`
`=A^(3)=A^(2).A=[(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6)][(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)]`
`[(12+5+5,-6-10-5,6+5+10),(-10-6-5,5-12+5,-5-6-10),(10+56,-5-10-6,5+5+12)]`
`=[(22,-21,21),(-21,22,-21),(21,-21,22)]`
अब L.H.S `=A^(3)-6A^(2)+9A-4I`
`=[(22,-21,21),(-21,22,-21),(21,-21,22)]-6[(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6)]`
`+9[(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)]-4[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
`=[(22,-21,21),(-21,22,-21),(21,-21,22)]+[(-39,30,-30),(30,-36,30),(-30,30,-36)]`
`+[(18,-9,9),(-9,18,-9),(9,-9,18)]+[(-4,0,0),(0,-4,0),(0,0,-4)]`
`=[(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0)]=0=R.H.S`
अब `|A|=|(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)|`
`=2(4-1)-(-1)(-2+1)+1(1-2)`
`=6-1-1=4!=0`
`:.A^(-1)` का अस्‍त‌ित्‍व है।
हम सिद्ध कर चुके हैं कि `A^(3)-6A^(2)+9A-4I=0`
`impliesA^(-1)(A^(3)-6A^(2)+9A-4I)=A^(-1)0`
`impliesA^(2)-6A+9I-4A^(-1)=0`
`implies4A^(-1)=A^(2)=6A+9I`
`[(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6)]-6[(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)]+9[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
`=[(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6)]+[(-12,6,-6),(6,-12,6),(-6,6,-12)]+[(9,0,0),(0,9,0),(0,0,9)]`
`=[(3,1,-1),(1,3,1),(-1,1,3)]`
`impliesA^(-1)=1/4[(3,1,-1),(1,3,1),(-1,1,3)]`
`(adjA).A=|A|.I_(3)=|A|[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
`=[(|A|,0,0),(0,|A|,0),(0,0,|A|)]`
`implies|(adjA).A|=|(|A|,0,0),(0,|A|,0),(0,0,|A|)|=|A|^(3)`
`implies |adjA|=|A|^(2)`
Discussion
138.

आव्यूह `A=[(3,2),(1,1)]` के लिए `a` और `b` ऐसी संख्याएं ज्ञात कीजिए ताकि `A^(2)+aA+bI=O`हो।

Answer» `A=(3,2),(1,1)]`
`:.A^(2)=A.A=[(3,2),(1,1)][(3,2),(1,1)]`
`=[(9+2,6+2),(3+1,2+1)]=[(11,8),(4,3)]`
प्रश्‍नानुसार `A^(2)+a A+bI=0`
` implies[(11,8),(4,3)]+a[(3,2),(1,1)]+[(1,0),(0,1)]=0`
`implies[(11+3a+b,8+2a),(4+a,3+a+b)]=[(0,0),(0,0)]`
तुलना करने पर `4+a=0impliesa=-4`
`3+a+b=0`
`implies3-4+b=0`
`implies b=1`
`:.a=-4,b=1`
Discussion
139.

यदि `A=[{:(3,4),(1,2):}]`, तब `3|A|` का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» Correct Answer - 6
Discussion
140.

यदि `|{:(2x,+5),(8,x):}|=|{:(6,-2),(7,3):}|` , तब x का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» Correct Answer - `+-6`
Discussion
141.

x के किस मान के लिये ,दिया गया आव्यूह `A=[{:(3-2x,x+1),(2,4):}]` आव्यूत्क्रमीय है ?

Answer» Correct Answer - 1
Discussion
142.

सारणिक द्वारा हल कीजिये : `3x-4y=1,2x-7y=3`

Answer» Correct Answer - `x=(-5)/(13),y=(-7)/(13)`
Discussion
143.

यदि a+b+c=0, तब `|{:(a-x,c,b),(c,b-x,a),(b,a,c-x):}|=0` का हल है -

Answer» Correct Answer - C
Discussion
144.

हल कीजिये : `3x+ay=4,2x+ay=2,ane0`

Answer» Correct Answer - `x=2,y=(-2)/(a)`
Discussion
145.

सिद्ध कीजिए - `|(1,a,a^2),(1,b,b^2),(1,c,c^2)|=(a-b)(b-c)(c-a)`

Answer» L.H.S.`=|(1,a,a^2),(1,b,b^2),(1,c,c^2)|`
`=|(1,a,a^2),(0,b-a,b^2-a^2),(0,c-a,c^2-a^2)|`
संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1` और `R_3toR_3-R_1` से )
`=(b-a)(c-a)|(1,a,a^2),(0,1,b+a),(0,1,c+a)|`
(`R_2` और `R_3` से (b-a) और (c-a) उभयनिष्ट लेने पर )
`=(b-a)(c-a)|(1,a,a^2),(0,1,b+a),(0,0,c-a)|`
संक्रिया `R_3toR_3-R_2` से)
`=(b-a)(c-a)(c-b)|(1,a,a^2),(0,1,b+a),(0,0,1)|`
[`R_3` से (c-a) उभयनिष्ट लेने पर]
`=(b-a)(c-a)(c-b)xx|(1,b+a),(0,1)|`
`=(b-a)(c-a)(c-b)`
`=(a-b)(b-c)(c-a)`
=R.H.S.
Discussion
146.

सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए - `|(1,a,a^3),(1,b,b^3),(1,c,c^3)|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)`.

Answer» L.H.S.`=|(1,a,a^3),(1,b,b^3),(1,c,c^3)| `
`=|(1,a,a^3),(0,b-a,b^3-a^3),(0,c-a,c^3-a^3)| `
संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1` और `R_3toR_3-R_1` से)
`=|(1,a,a^3),(0,b-a,(b-a)(b^2+a^2+ab)),(0,c-a,(c-a)(c^2+a^2+ac))|, [because x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy]`
`=(b-a)(c-a)|(1,a,a^3),(0,1,b^2+a^2+ab),(0,1,c^3+a^2+ac)|` , [`R_2` और `R_3` से (b-c) और (c-a) उभयनिष्ट लेने पर]
`=(b-a)(c-a)xx|(1,b^2+a^2+ab),(1,c^2+a^2+ac)|`
`=(b-a)(c-a)xx(c^2+a^2+ac-b^2-a^2-ab)`
`=(b-a)(c-a)[(c^2-b^2)+a(c-b)]`
`=(b-a)(c-a)(c-b)[(c+b)+a]`
`=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)`.
R.H.S.
Discussion
147.

यदि `|{:(,2x,5),(,8,x):}|=|{:(,6,-2),(,7,3):}|` तो x का मान ज्ञात कीजिएः

Answer» `|{:(2x,5),(8,x):}|=|{:(6,-2),(7,3):}|`
`rArr 2x^(2)-40 = 18 -(-14)`
`rArr 2x^(2) - 40 = 32`
`rArr 2x^(2) = 72`
`rArr x^(2) = 36`
`rArr x = +- 6`
Discussion
148.

यदि `|{:(,3x,7),(,-2,4):}|=|{:(,8,6),(,7,4):}|` तो x का मान ज्ञात कीजिएः

Answer» `|{:(3x,7),(-2,4):}|=|{:(8,7),(6,4):}|`
`rArr" "12x + 14 = 32-42`
`rArr" "12x + 14 =-10`
`rArr" "12x = -24`
`rArr" "x=-2`
Discussion
149.

`Delta=|{:(,x+y,y+z,z+x),(,z,x,y),(,-3,-3,-3):}|` तो x का मान ज्ञात कीजिएः

Answer» `Delta=|{:(x+y,y+z,z+x),(" "z," "x," "y),(-3,-3,-3):}|`
संक्रियाओं `C_(2) rarr C_(2) - C_(1)` व `C_(3) rarr C_(3) - C_( 1)` को लगाने पर,
`Delta=|{:(x+y,y+z,z+x),(" "z,x-z,y-z),(-3," "0," "0):}|`
`=(-3)|{:(z-x,z-y),(x-z,y-z):}|" "[R_(3) "के अनुदिश विस्तार करने पर"]`
`=(-3)(z-x)(z-y) |{:(1,1),(-1,-1):}|`
`=(-3)(z-x)(z-y){(-1)-(-1)}`
= 0
Discussion
150.

यदि `x in N` और `|{:(,x+3,-2),(,-3x,2x):}|` तो x का मान ज्ञात कीजिएः

Answer» `|{:(x+3,-2),(-3x,2x):}|=8`
`rArr" "(x+3)(2x)-(-3x)(-2)=8`
`rArr" "2x ^(2)+6x-6x=8`
`rArr" "2x^(2)=8`
`rArr" "x^(2)=4`
`rArr" "x = +- 2`
Discussion