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51.

`|(cos alpha cos beta, cos alpha sin beta,-sin alpha),(-sin beta, cos beta, 0),(sin alpha cos beta,sin alpha sin beta, cos alpha)|` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `|(cos alpha cos beta, cos alpha sin beta,-sin alpha),(-sin beta, cos beta, 0),(sin alpha cos beta,sin alpha sin beta, cos alpha)|`
`=cos alphas cos beta(cos alpha cos beta-0)-cos alpha sin beta(-sin beta cos alpha-0)-sin alpha (-sin^(2) beta sin alpha-sin alpha cos^(2)beta)`
`=cos^(2) alpha cos^(2)beta+sin^(2)beta cos^(2)alpha`
`+sin^(2) alpha(sin^(2)beta+cos^(2)beta)`
`=cos^(2)alpha(cos^(2)beta+sin^(2)beta)+sin^(2)alpha`
`=cos^(2)alpha+sin^(2)alpha=1`
Discussion
52.

सारणिक `|(1,-2),(4,3)|` के सभी अवयवों के उपसारणिक व सहखंड ज्ञात कीजिए |

Answer» माना `a_(ij)` का उपसारणिक `M_(ij)` है , तब `M_(11)=1` का उपसारणिक `=3`
`M_(12)=-2` का उपसारणिक `=4`
`M_21-4` का उपसारणिक `=-2`
`M_22=3` का उपसारणिक `=1`
अब `a_(ij)` का सहखंड `A_(ij)` है , इसलिए `A_(11)=(-1)^(1+1)M_(11)=3`
`A_(12)=(-1)^(1+2)M_(12)=-4`
`A_(12)=(-1)^(2+1)M_(21)=-(-2)=2`
`A_22=(-1)^(2+2)M_(22)=1`.
Discussion
53.

यदि दर्शाओ कि `|{:(a^(2),(s-a)^(2),(s-a)^(2)),((s-a)^(2),b^(2),(s-b)^(2)),((s-c)^(2),(s-c)^(2),c^(2)):}|=2s^(3)(s-a)(s-b)(s-c)`

Answer» माना `alpha=s-a,beta=s-b,gamma=s-c` तब
`beta+gamma=2s-(b+c)=a`
इसी प्रकार `gamma+alpha=b,alpha+beta=c`
`alpha+beta=gamma=3s-(a+b+c)=3s-2s=s`
अब बायाँ पक्ष `=|{:((beta+gamma)^(2),alpha^(2),alpha^(2)),(beta^(2),(gamma+alpha)^(2),beta^(2)),(gamma^(2),gamma^(2),(alpha+beta)^(2)):}|`
`=2alphabetagamma(alpha+beta+gamma)^(3)`
`=2(s-a)(s-b)(s-c)s^(3)`
`=2s^(3)(s-a)(s-b)(s-c)=` दायाँ पक्ष
Discussion
54.

यदि a,b, और c वास्तविक संख्याएं हों और सारणिक `Delta=|(b+c,c+a,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a)|=0` हो दर्शाइए कि या तो `a+b+c=0` या `a=b=c` है।

Answer» `|(b+c,c+a,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a)|=0`
`implies|(2a+2b+2c,c+a,a+b),(2a+2b+2c,a+b,b+c),(2a+2b+2c,b+c,c+a)|=0` ltbgt `(C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3))`
`implies (2a+2b+2c)|(1,c+a,a+b),(1,a+b,b+c),(1,b+c,c+a)|=0`
`implies2(a+b+c)|(0,c-b,a-c),(0,a-c,b-a),(1,b+c,c+a)|=0`
`(R_(1)toR_(1)-R_(2),R_(2)toR_(2)-R_(3))`
`implies2(a+b+c).1|(c-b,a-c),(a-c,b-a)|=0`
(`C_(1)`से विस्तार करने पर)
`implies 2(a+b+c)[(c-b)(b-a)-(a-c)^(2)]=0`
`implies2(a+b+c)(bc-b^(2)-ac+ab-a^(2)-c^(2)+2ac)=0`
`implies2(a+b+c)(-a^(2)-b^(2)-c^(2)+ab+bc+ca)=0`
`implies2(a+b+c)(-a^(2)-b^(2)-c^(2)+ab+bc+ca)=0`
`implies-(a+b+c)(2a^(2)+2b^(2)+2c^(2)-2ab-2bc-2ca)=0`
`implies(a+b+c)[(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)]=0`
`impliesa+b+c=0` या `(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)=0`
`impliesa+b+c=0` या `a-b=0,b-c=0,c-a=0`
`impliesa+b+c=0`या `a=b=c`.
Discussion
55.

सिद्ध कीजिए कि `|{:(a-b-c,2b,2c),(2a,b-c-a,2c),(2a,2b,c-a-b):}|=(a+b+c)^(3)`

Answer» बायाँ पक्ष `=|{:(a-b-c,2b,2c),(2a,b-c-a,2c),(2a,2b,c-a-b):}|`
`=|{:(a+b+c,2b,2c),(a+b+c,b-c-a,2c),(a+b+c,2b,c-a-b):}|C_(1)toC_(1)+(C_(2)+C_(3))`
`=(a+b+c)|{:(1,2b,2c),(1,b-c-a,2c),(1,2b,c-a-b):}|`
`=(a+b+c)|{:(1,2b,2c),(0,-(a+b+c),0),(0," "0,-(a+b+c)):}| (R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(1))`
`=(a+b+c)[1(a+b+c)^(2)-0]`
`=(a+b+c)(a+b+c)^(2)=(a+b+c)^(3)`
= दायाँ पक्ष
Discussion
56.

निम्न सारणिक का मान ज्ञात करो । `|{:(5,9,3),(4,1,6),(7,2,8):}|`

Answer» `Delta=5(1xx8-6xx2)-4(9xx8-3xx2)+7(9xx6-3xx1)`
`=-20-264+357=73`
Discussion
57.

एक महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है और `-1 le x lt 0,0leylt1,1lez lt 2`, तब निम्न सारणिक का मान ज्ञात कीजिए - `Delta=|{:([x]+1,[y],[z]),([x],[y]+1,[z]),([x],[y],[z]+1):}|`.

Answer» दिया गया है - `-1le x lt 0 rArr [x]=-1`
`rArr 0 le y lt 1 rArr [y]=0`
`rArr 1le z lt 2rArr [x]=1` अब,
`Delta=|{:([x]+1,[y],[z]),([x],[y]+1,[z]),([x],[y],[z]+1):}|`
`therefore Delta=|{:(1+1,0,1),(-1,0+1,1),(-1,0,1+1):}|`
`rArr Delta=|{:(0,0,1),(-1,1,1),(-1,0,2):}|`
`rArr Delta=0|(1,1),(0,2)|-0|(-1,1),(-1,2)|+1|(-1,1),(-1,0)|`
(`R_1` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`rArr Delta =0(2-0)-0(-2+1)+1(0+1)`
`rArr Delta = 1`.
Discussion
58.

सिद्ध करो कि `|{:(1+a,1,1),(1,1+b,1),(1,1,1+c):}|=(abc)((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)` `=(bc+ca+ab+abc)`

Answer» माना `Delta=|{:(1+a,1,1),(1,1+b,1),(1,1,1+c):}|`
`=abc|{:((1)/(a)+1,(1)/(a),(1)/(a)),((1)/(b),(1)/(b)+1,(1)/(b)),((1)/(c),(1)/(c),(1)/(c)+1):}|`
`(R_(1),R_(2)` तथा `R_(3)` से क्रमशः a,b,c उभयनिष्ठ लेने पर)
`=(abc)((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)|{:(1,1,1),((1)/(b),(1)/(b)+1,(1)/(b)),((1)/(c),(1)/(c),(1)/(c)+1):}|`
`(R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3)` क्रिया द्वारा तथा `R_(1)` से `((1)/(a)+(1)/(b)=(1)/(c)+1)` उभयनिष्ठ लेने पर)
`=(abc)((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)|{:(0,0,1),(0,1,(1)/(b)),(-1,-1,(1)/(c)+1):}|(C_(1)toC_(1)-C_(3)"तथा"C_(2)toC_(2)-C_(3))`
`=(abc)((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)1`
`=(abc)((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+1)`
`=(ab+bc+ca+abc)`
Discussion
59.

सिद्ध कीजिए - `|(-a^2,ab,ac),(ba,-b^2,bc),(ac,bc,-c^2)|=4a^2b^2c^2`

Answer» L.H.S`=|(-a^2,ab,ac),(ba,-b^2,bc),(ac,bc,-c^2)|`
`=abc|(-a,b,c),(a,-b,c),(a,b,-c)|`
(`R_1,R_2` और `R_3` से क्रमशः a,b,c उभयनिष्ट लेने पर )
`=a^2b^2c^2|(-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)|`
(`C_1,C_2`और `C_3` से क्रमशः a,b,c उभयनिष्ट लेने पर )
`=a^2b^2c^2|(-1,0,0),(1,0,2),(1,2,0)|`
( संक्रियाओं `C_2toC_2+C_1,C_2toC_3+C_1` से )
`=a^2b^2c^2xx(-1)xx|(0,2),(2,0)|`
(`R_1` के सापेक्ष प्रसार करने पर )
`=a^2b^2c^2(-1)(0-4)`
`=4a^2b^2c^2`.
Discussion
60.

निम्न सारणिक को हल करो - `|{:(x,-6,-1),(2,-3x,x-3),(-3,2x,x+2):}|=0`

Answer» `(C_(1)+C_(3))` का प्रयोग करने पर
`|{:(x-1,-6,-1),(x-1,-3x,x-3),(x-1,2x,x+2):}|=0`
या `(x-1)|{:(1,-6,-1),(1,-3x,x-3),(1,2x,x+2):}|=0`
अब `(R_(1)-R_(2))` तथा `(R_(2)-R_(3))` का प्रयोग करने पर
`(x-1)|{:(0,3x-6,-x+2),(0,-5x,-5),(1,2x,x+2):}|=0`
`rArr(x-1)[(3x-6)xx(-5)-(-x+2)xx(-5x)]=0`
`rArr-5(x-1)[3x-6+x^(2)-2x]=0`
`rArr-5(x-1)(x^(2)+x-6)=0`
`rArr(x-1)(x-2)(x+3)=0`
x=1,2,-3
Discussion
61.

मूल्यांकन कीजिए- `Delta=|{:(1,sintheta,1),(-sintheta,1,sintheta),(-1,-sintheta,1):}|` दर्शाइए कि `2 le Delta le 4`.

Answer» यहाँ `Delta=|{:(1,sintheta,1),(-sintheta,1,sintheta),(-1,-sintheta,1):}|`
`rArr Delta=1|(1,sintheta),(-sintheta,1)| -sintheta|(sintheta,sintheta),(-1,1)|+1|(-sintheta,1),(-1,-sintheta)|`,(`R_1` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`rArr Delta= (1+sin^2theta)-sin(-sintheta)+sintheta)+(sin^2theta+1)`
`rArr Delta=1+sin^2theta-sinthetaxx0+sin^2theta+1`
`rArr Delta=2+2sin^2theta`
`rArr Delta = 2(1+sin^2theta)` .
हम जानते है कि,
`-1 le sin theta le 1 forall theta`
`rArr 0 le sin ^2theta le 1 forall theta `
`rArr 1+0le 1 +sin^2thetale 1+1 `
`rArr 1 le 1 + sin^2theta le 2 forall theta `
`rArr 2 le 2 (1+ sin ^2theta)le 4 forall theta `
`rArr 2 le Delta le 4 forall theta` .
Discussion
62.

`7x_(1)-x^(2)-x_(3)=0` `10x_(1)-2x_(2)+x_(3)=0` `6x_(1)+x_(2)-2x_(3)=7`

Answer» Correct Answer - `x_(1)=(7)/(9),x_(2)=(119)/(27)`
Discussion
63.

सिद्ध कीजिए कि `|{:(1,1,1),(a,b,c),(a^(3),b^(3),c^(3)):}|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)`

Answer» `C_(1)toC_(1)-C_(2)` तथा `C_(2)toC_(2)-C_(3)` लगाने पर तथा तब `R_(1)` के सापेक्ष विस्तार करने पर
Discussion
64.

सिद्ध करो कि `|{:(a^(2),bc,ac+c^(2)),(a^(2)+ab,b^(2),ac),(ab,b^(2)+bc,c^(2)):}|=4a^(2)b^(2)c^(2)`

Answer» स्तम्भों से a,b,c उभयनिष्ट लेने पर
`Delta=abc|{:(a,c,a+c),(a+b,b,a),(b,b+c,c):}|`
अब `(C_(1)+C_(2)-C_(3))` का प्रयोग करने पर
`Delta=abc|{:(0,c,a+c),(2b,b,a),(2b,b+c,c):}|`
`=2ab^(2)c|{:(0,c,a+c),(1,b,a),(1,b+c,c):}|`
और `(R_(3)toR_(3)-R_(2))` का प्रयोग करने पर
`Delta=2ab^(2)c|{:(0,c,a+c),(1,b,a),(0,c,c-a):}|`
`=-2ab^(2)c[c(c-a)-c(a+c)]`
`=-2ab^(2)c(-2ac)=4a^(2)b^(2)c^(2)`
Discussion
65.

यदि `omega` इकाई का घनमूल हो , तो सिद्ध कीजिए कि - `|(1,omega,omega^2),(omega,omega^2,1),(omega^2,1,omega)|`

Answer» `L.H.S=|(1,omega,omega^2),(omega,omega^2,1),(omega^2,1,omega)|`
`=|(1+omega+omega^2,omega,omega^2),(1+omega+omega^2,omega^2,1),(1+omega+omega^2,1,omega)|`
संक्रिया `C_1toC_1+C_2+C_3` से)
`=|(0,omega,omega^2),(0,omega^2,1),(0,1,omega)|(because 1 + omega + omega^2=0)`
`=0=R.H.S`.
Discussion
66.

सिद्ध कीजिए कि सारणिक `3A=|{:(x,sintheta,costheta),(-sintheta,-x,1),(costheta,1,x):}|, theta` से स्वतंत्र है |

Answer» यहाँ `Delta=|{:(x,sintheta,costheta),(-sintheta,-x,1),(costheta,1,x):}|`
`|(-x" "1),(1" "x)|-sintheta|(-sintheta" "1),(costheta" "x)|+costheta|(-sintheta" "-x),(costheta" "1)|` (`R_1` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`rArr Delta=x(-x^2-1)-sintheta(-xsintheta-costheta)+costheta(-sintheta+x cos theta)`
`rArr Delta=-x^3-x+xsin^2theta+sinthetacostheta-costhetasintheta+x cos^2theta`
`rArr Delta=x^3-x+x(sin^2theta+cos^2theta)`
`rArr Delta=-x^3-x+x`
`rArr Delta=-x^3`
अतः दिया गया सारणिक `theta` से स्वतंत्र है .
Discussion
67.

`x+2y-z=0` `3x+y+z=7` `2z-y+2x=7`

Answer» Correct Answer - `x=1,y=1,=z=3`
Discussion
68.

यदि a,b,c समान्तर श्रेणी में है तो दिखाएँ कि `|{:(x+1,x+2,x+a),(x+2,x+3,x+b),(x+3,x+4,x+c):}|=0`

Answer» दिया है a,b,c, A.P. में है माना कि इस A.P. का पदान्तर (c.d.)d है
तो, `b-a=d` तथा `c-b=d`
अब, `L.H.S.=|{:(x+1,x+2,x+a),(x+2,x+3,x+b),(x+3,x+4,x+c):}|=|{:(x+1,x+2,x+a),(1,1,b-a),(1,1,c-b):}|" "[R_(3)toR_(3)-R_(2),R_(2)toR_(2)-R_(1)]`
`=|{:(x+1,x+2,x+a),(1,1,d),(1,1,d):}|=0" [चूँकि " R_(2)" तथा "R_(3)"समान है]"`
दूसरी विधि : चूँकि a,b,c A.P. में है `:.2b=a+c` . . . (1)
अब `L.H.S=|{:(x+1,x+2,x+a),(x+2,x+3,x+b),(x+3,x+4,x+c):}|=|{:(2(x+2),2(x+3),2(x+b)),(x+2,x+3,x+b),(x+3,x+4,x+c):}|" "[R_(1)toR_(1)+R_(3)" तथा " a+c=2b "का प्रयोग करने पर"]`
`=2[{:(x+2,x+3,x+b),(x+2,x+3,x+b),(x+3,x+4,x+c):}]=0" [चूँकि "R_(1)" तथा "R_(2)" समान है]"`
Discussion
69.

सिद्ध कीजिए कि `|{:(a^(2),bc.,ac+c^(2)),(a^(2)+ab,b^(2),ca),(ab,b^(2)+bc,c^(2)):}|` एक पूर्ण वर्ग है।

Answer» प्रथम स्तम्भ से a , द्वितीय स्तम्भ में से b तथा तृतीया स्तम्भ में से c बाहर लेने पर
`Delta=abc|{:(a,c,a+c),(a+b,b,a),(b,b+c,c):}|`
`=abc|{:(-2c,c,a+c),(0,b,a),(-2c,b+c,c):}|C_(1)toC_(1)-(C_(2)+C_(3))`
`=abc|{:(-2c,c,a+c),(0,b,a),(0,b,-a):}|" " (R_(3)toR_(3)-R_(1))`
`=abc(-2c)|{:(b,a),(b,-a):}|`
`=-2abc^(2)(-ab-ab)=4a^(2)b^(2)c^(2)`
`=(2abc)^(2)=` पूर्ण वर्ग
Discussion
70.

सिद्ध कीजिए कि `|{:(x+y,y,z),(y+z,z,x),(z+x,x,y):}|=3xyz-x^(3)-y^(3)-z^(3)`

Answer» `C_(1)toC_(1)-C_(2)+C_(3)` लगाने पर तथा तब `(x+y+z)` उभयनिष्ठ लेने पर `R_(1)toR_(1)-R_(2)` तथा `R_(2)toR_(2)-R_(3)` लगाते हुये ।
Discussion
71.

सिद्ध कीजिए कि `|{:(a^(2)+1,ab,ac),(ab,b^(2)+1,bc),(ac,bc,c^(2)+1):}|=1+a^(2)+b^(2)+c^(2)`

Answer» प्रथम ,द्वितीय तथा तृतीया स्तम्भ को क्रमशः a,b,c से गुणा करने पर
`Delta=(1)/(abc)|{:(a(a^(2)+1),ab^(2),ac^(2)),(a^(2)b,b(b^(2)+1),bc^(2)),(a^(2)c,b^(2)c,c(c^(2)+1)):}|`
`=(1)/(abc)xxabc|{:(a^(2)+1,b^(2),c^(2)),(a^(2),b^(2)+1,c^(2)),(a^(2),b^(2),c^(2)+1):}|`
`=|{:(1+a^(2)+b^(2)+c^(2),b^(2),c^(2)),(1+a^(2)+b^(2)+c^(2),b^(2)+1,c^(2)),(1+a^(2)+b^(2)+c^(2),b^(2),c^(2)+1):}| "क्रिया"C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3)`
`rArrDelta=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2))|{:(1,b^(2),c^(2)),(1,b^(2)+1,c^(2)),(1,b^(2),c^(2)+1):}|`
`=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2))|{:(0,-1,0),(0,1,-1),(1,b^(2),c^(2)+1):}|(R_(1)toR_(1)-R_(2),R_(2)toR_(3))`
`=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2))[1{(-1)(-1)-1xx0}]`
`=1+a^(2)+b^(2)+c^(2)`
Discussion
72.

`2x+y-z=2` `x-3y+4z=11` `5x+y-3z=2`

Answer» Correct Answer - `x=2,y=1,z=3`
Discussion
73.

सिद्ध कीजिए कि `|(a,b,c),(a^(2),b^(2),c^(2)),(b+c,c+a,a+b)|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)`

Answer» L.H.S`=|(a,b,c),(a^(2),b^(2),c^(2)),(b+c,c+a,a+b)|`
`=|(a+b+c,a+b+c,a+b+c),(a^(2),b^(2),c^(2)),(b+c,c+a,a+b)|`
`R_(1)toR_(1)+R_(3)`
`=(a+b+c)|(1,1,1),(a^(2),b^(2),cC^(2)),(b+c,c+a,a+b)|`
`=(a+b+c)|(0,0,1),(a^(2)-b^(2),b^(2)-c^(2),c^(2)),(b-a,c-b,a+b)|`
`C_(1)toC_(1)-C_(2),C_(2)toC_(2)-C_(3)`
`=(a+b+c)(a-b)(b-c)|(0,0,1),(a+b,b+c,c^(2)),(-1,-1,a+b)|`
`=(a+b+c)(a-b)(b-c).1|(a+b,b+c),(-1,-1)|`
( `R_(1)` से विस्तार करने पर)
`=(a+b+c)(a-b)(b-c){-(a+b)+(b+c)}`
`=(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)=R.H.S`
Discussion
74.

समीकरण `|(x+2,1,-3),(1,x-3,-2),(-3,-2,1)|=0` को हल कीजिए

Answer» `|(x+2,1,-3),(1,x-3,-2),(-3,-2,1)|=0`
`implies|(x-2,1,-3),(-(x-2),x-3,-2),(0,-2,1)|=0`
`C_(1)toC_(1)-C_(2)+C_(3)` से
`implies(x-2)|(1,1,-3),(-1,x-3,-2),(0,-2,1)|=0`
`implies(x-2)|(1,1,-3),(0,x-2,-5),(0,-2,1)|=0 R_(2)toR_(2)` से
`implies(x-2).1|(x-2,-5),(-2,1)|=0`
( `C_(1)` से विस्तार करने पर)
`implies(x-2)(x-2-10)=0`
`implies(x-2)(x-12)=0`
`impliesx=2` या `x=12`
Discussion
75.

सिद्ध कीजिए: `|{:(x+a,b,c),(a,x+b,c),(a,b,x+c):}|=x^(2)(x+a+b+c).`

Answer» बायाँ पक्ष `=|{:(x+a,b,c),(a,x+b,c),(a,b,x+c):}|,C_(1)+C_(2)+C_(3)`से
`=|{:(x+a+b+c,b,c),(x+a+b+c,x+b,c),(x+a+b+c,b,a+c):}|`
`=(x+a+b+c)|{:(1,b,c),(1,x+b,c),(1,b,x+c):}|`
`=(x+a+b+c)|{:(0,-x,0),(1,x+b,c),(1,b,x+c):}|R_(1)-R_(2)` से
`=(x+a+b+e)[x(x+c-c)]`
`=(x+a+b+c)(x^(2))`
`=x^(2)(x+a+b+x)`
=दायाँ पक्ष।
Discussion
76.

यदि गुणोत्तर श्रेणी में p वें , q वें तथा r वें पद क्रमशः a,b,c हो तो सिद्ध कीजिए - `|{:(log,p,1),(log,q,1),(log,r,1):}|=0`

Answer» मान लो गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद x तथा सर्वानुपात y है ।
p वाँ पद `=xy^(p-1)=a`
q वाँ पद `=xy^(q-1)=b`
r वाँ पद `=xy^(r-1)=c`
लघुगणक लेने पर,
`loga=logx+(p-1)logy`
`logb=logx+(q-10logy`
`logc=logx+(r-1)logy`
अब `|{:(loga,p,1),(logb,q,1),(logc,r,1):}|=|{:(logx+(p-1)logy,p,1),(logx+(q-1)logy,q,1),(logx+(r-1)logy,r,1):}|`
`=|{:((p-1)1logy,p,1),((q-1)logy,q,1),((r-1)logy,r,1):}|[C_(1)toC_(1)-logx*C_(3)]`
`=logy|{:((p-1),p,1),((q-1),q,1),((r-1),r,1):}|`
`=logy|{:(p,p,1),(q,q,1),(r,r,1):}|[C_(1)toC_(1)+C_(3)]`
`=0[becauseC_(1)` तथा `C_(2)` समान है]
Discussion
77.

यदि `|{:(x+1,x+2,x+a),(x+2,x+3,x+b),(x+3,x+4,x+c):}|=0` तो सिद्ध कीजिए कि a,b,c समान्तर श्रेणी में हैं ।

Answer» `R_(1)toR_(1)-R_(2),R_(2)toR_(2)-R_(3)` का प्रयोग तथा तब `C_(1)` के सापेक्ष विस्तार करते हुये ।
Discussion
78.

सिद्ध कीजिए की `|{:(,a+b,b,c),(,b+c,c,a),(,c+a,a,b):}|=3abc-a^(3)-b^(3)-c^(3)`

Answer» माना `Delta=|{:(a+b,b,c),(b+c,c,a),(c+a,a,b):}|`
संक्रिया `C_(1)+C_(3)` से,
`Delta=|{:(a+b+c,b,c),(a+b+c,c,a),(a+b+c,a,b):}|`
या `Delta = (a+b+c)|{:(1,b,c),(1,c,a),(1,a,b):}|`
संक्रियाओं `R_(2)-R_(1), R_(3) - R_(1)` से,
`Delta=(a+b+c)|{:(1,b,c),(0,c-b,a-c),(0,a-b,b-c):}|`
`C_(1)` के अनुदिश विस्तार करने पर,
`Delta=(a+b+c)|{:(c-a,a-c),(a-b,b-c):}|`
या `Delta=(a+b+c){(c-b)(b-c)-(a-b)(a-c)}`
या `Delta = (a+b+c)(-c^(2)-b^(2)+2bc-a^(2)+ac+ab-bc)`
या `Delta=-(a+b+c)(a^(2)+b^(2)+c^(2) -ab-bc-ca)`
या `Delta =-(a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc)`
या `Delta = 3abc-a^(3)-b^(3)-c^(3)`
Discussion
79.

(i) `x+y+z=0` `-2x+y-3z=1` `2x+3y+4z=5` (ii) `2x+5y+3z=3` `-x+3y+3z=-4` `3x+y-2z=11`

Answer» Correct Answer - (i) `x=-3,y=1,z=2`
(ii) `x=1,y=2,z=-3`
Discussion
80.

सिद्ध कीजिए कि `|(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b)|=(3abc-a^(3)-b^(3)-c^(3))`

Answer» L.H.S `=|(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b)|`
`=|(a+b+c,b,c),(a+b+c,c,a),(a+b+c,a,b)|C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3)`
`=(a+b+C)|(1,b,c),(1,c,a),(1,a,b)|`
`=(a+b+c){1|(c,a),(a,b)|-1|(b,c),(a,b)|+1|(b,c),(c,a)|}`
(`C_(1)` से विस्तार करने पर)
`=(a+b+c)(bc-a^(2)-b^(2)+ac+ab-c^(2))`
`=(a+b+c)(ab+bc+ca-a^(2)-b^(2)-c^(2))`
`=3abc-a^(3)-b^(3)-c^(3)=`R.H.S
Discussion
81.

सिद्ध करो कि `|{:(b+c,a-b,a),(c+a,b-c,b),(a+b,c-a,c):}|=3abc-a^(3)-b^(3)-c^(3)`

Answer» बायाँ पक्ष `=|{:(b+c,a-b,a),(c+a,b-c,b),(a+b,c-a,c):}|`
`=|{:(b+c,a,a),(c+a,b,b),(a+b,c,c):}|+|{:(b+c,-b,a),(c+a,-c,b),(a+b,-a,c):}|`
`=0+|{:(b+c,-b,a),(c+a,-c,b),(a+b,-a,c):}|`
`=|{:(b,-b,a),(c,-c,b),(a,-a,c):}|+|{:(c,-b,a),(a,-c,b),(b,-a,c):}|`
`=0+|{:(c,-b,a),(a,-c,b),(b,-a,c):}|`
`=c|{:(-c,b),(-a,c):}|-(-b)|{:(a,b),(b,c):}|+a|{:(a,-c),(b,-a):}|`
`=c(-c^(2)+ab)+b(ac-b^(2))+a(-a^(2)+bc)`
`=3abc-a^(3)-b^(3)-c^(3)`
= दायाँ पक्ष
Discussion
82.

सिद्ध कीजिए की `|{:(,a,b,c),(,a-b,b-c,c-a),(,b-c,c+a,a+b):}|=a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc`

Answer» माना `Delta=|(a,b,c),(a-b,b-c,c-a),(b+c,c+a,a+b)|`
संक्रिया `C_(1)+C_(2)+C_(3)` से,
`Delta=|(a+b+c,b,c),(0,b-c,c-a),(2(a+b+c),c+a,a+b)|`
`=(a+b+c)|(1,b,c),(0,b-c,c-a),(2,c+a,a+b)|`
संक्रिया `R_(3)-2R_(1)` से,
`Delta=(a+b+c)|(1,b,c),(0,b-c,c-a),(0,c+a-2b,a+b-2c)|`
`=(a+b+c)|(b-c,c-a),(c+a-2b,a+b-2c)|`
`=(a+b+c){(b-c)(a+b-2c)-(c-a)(c+a-2b)}`
`=(a+b+c){ab+b^(2)-2bc-ca-bc+2c^(2)-c^(2)-ca+2bc+ac+a^(2)-2ab}`
`=(a+b+c)(a^(2)+b^(2)+c^(2)-ab-bc-ca)`
`=a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc`
Discussion
83.

यदि a,b,c धनात्मक और भिन्न है तो दिखिए कि सरणिक `Delta=|{:(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b):}|` का मान त्राणात्मक है।

Answer» दिया है
`Delta=|{:(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b):}|`
`Delta=|{:(a+b+c,b,c),(a+b+c,c,a),(a+b+c,a,b):}|,C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3)` के प्रयोग से
`C_(1)`
`=(a+b+c)|{:(1,b,c),(1,c,a),(1,a,b):}|`
`=(a+b+c)|{:(1,b,c),(0,c-b,a-c),(0,a-b,b-c):}|,R_(2)toR_(2)-R_(1)` तथा `R_(3)toR_(3)-R_(1)` के प्रयोग से
`C_(1)` के अनुदिश प्रसार करने पर,
`=(a+b+c)[1(c-b)(b-c)-(a-b)(c-a)]`
`=(a+b+c)[bc-b^(2)-c^(2)+bc-(a^(2)-ab-ac+bc)]`
`=(a+b+c)[-b^(2)-c^(2)-a^(2)+ab+bc+ac]`
`=-(a+b+c)[b^(2)+c^(2)+a^(2)-ab-bc-ac]`
जो कि त्राणात्मक मान प्राप्त हुआ।
Discussion
84.

निम्न समीकरणों के क्रेमर बिधि से हल कीजिए। `{:(x+y=5),(2x+3y=10):}`

Answer» `D=|{:(1,1),(2,2):}|=2-2=0`
`Dx=|{:(5,1),(10,2):}|=10-10=0`
`Dy=|{:(1,5),(2,10):}|=10-10=0`
`therefore D=Dx=Dy=0` अतः समीकरण के अनन्त हल होंगे।
हल प्राप्त करने के लिए `y=k` रखने पर
जहाँ `k=1,2,3,4.............` आदि मन रखने पर अन्नंत हल प्राप्त किये जा सकते है।
Discussion
85.

यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी के pवे qवे तथा rवे क्रम्स x,y,z है तो सिद्ध कीजिये की `|{:(,log x,p,1),(,log y,q,1),(,log z,r,1):}|=0`

Answer» माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा पदानुसार R है, तब
`x=aR^(p-1),y=aR^(q-1),z=aR^(r-1)`
`therefore logx=loga+(p-1)logR`
`logy=loga+(q-r)logR`
`logz=loga+(r-1)logR`
अब `|(logx, p,1),(logy,q,1),(logz,r,1)|`
`=|(loga+(p-1)logR,p,1),(loga+(q-1)logR,q,1),(loga+(r-1)logR,r,1)|`
`=|((p-1)logR,p,1),((q-1)logR,q,1),((r-1)logR,r,1)|`
[संक्रिया `C_(1)-log a C_(3)` से]
`=log R|(p-1,p,1),(q-1,q,1),(r-1,r,1)|`
`=logR|(p,q,1),(q,q,1),(r,r,1)|` [संक्रिया `C_(1)+C_(3)` से]
`logR(0) " "[becauseC_(1)वC_(2)सर्वसम है]`
= 0
Discussion
86.

`x+2y+z=1` `x+y+z=2` `x+y+2z=4`

Answer» Correct Answer - `x=1,y=-1,z=2`
Discussion
87.

सिद्ध कीजिए कि: `|{:(a+b,b,c),(b+c,c,a),(c+a,a,b):}|=3abc-a^(3)-b^(3)-c^(3).`

Answer» `|{:(a+b,b,c),(b+c,c,a),(c+a,a,b):}|`
`=|{:(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b):}|" "C_(1)to(C_(1)-C_(3))`
`=a(bc-a^(2))-b(b^(2)-ac)+c(ab-c^(2))`
`=abc -a^(3)-b^(3)+abc+abc-c^(3)`
`=3abc-a^(3)-b^(3)-c^(3)`
= दायां पक्ष
Discussion
88.

(i) `x+y+z=4` `2x-y+2z=5` `x-2y-z=-3` (ii) `3x-2y+3z=8` `2x+y-z=1` `4x-3y+2z=4`

Answer» Correct Answer - (i) `x=1,y=1,z=2`
(ii) `x=1,y=2,z=3`
Discussion
89.

निम्न समीकरणों को क्रेमर के नियन से हल कीजिए : `{:(3x-2y=5),(4x+y=14):}`

Answer» दिये समीकरणों के गुणकों से गुणांक सारणिक
`D=|{:(3,-2),(4,1):}|D=3+8=11`
`Dx=|{:(5,-2),(14,1):}|=5+28=33`
`Dx=|{:(3,5),(4,14):}|=42-20=22`
`becausex=(Dx)/(D)=22/11=2`
तथा `y=(Dy)/(D)=22/11=2`
अतः `x=3,y=2`
Discussion
90.

निम्न समीकरणों को क्रेमर के नियम से हल कीजिए। `{:(x+y+z=6),(x-y+z=2),(2x+y-z=1):}`

Answer» दिये समीकरणों के गुणकों से गुणांक सरणिक
`D=|{:(1,1,1),(1,-1,1),(2,1,-1):}|`
`=1(1-1)-1(1-1-2)+1(1+2)`
`=0+3+3D=6`
D के प्रथम स्तम्भ को अचर पदों से विस्थापित करने पर
`Dx=|{:(61,1,),(2,-1,1),(1,1,-1):}|`
`=6(1-1)-1(-2-1)+(2+1)=0+3+3Dx=6`
D के द्वितीय स्तम्भ को अचर पदों से विस्थापित करने पर
`Dy=|{:(1,6,1),(1,2,1),(2,1,-1):}|`
`=1(-2-1)-6(-1-2)+1(1-4)=-3+18-3Dy=12`
D के तृतीय स्तम्भ को अचर पदों से विस्थापित करने पर
`Dz|{:(1,1,6),(1,-1,2),(2,1,1):}|`
`=1(-1-2)-1(1-4)+6(1+2)=-3+3+18`
`Dz=18`
`x=(Dx)/(D)=6/6=1`
`y=(Dy)/(D)=12/6=2`
`z=(Dz)/(D)=18/6=3`
अतः `x=1,y=2,z=3.`
Discussion
91.

सरिदिको के गुणों का प्रयोग करकरे सिद्ध कीजिएः की दर्शाइए की `|{:(,1+a,1,1),(,1,1+b,1),(,1,1,1+c):}|=abc+bc+ca+ab`

Answer» `Delta=|(1+a,1,1),(1,1+b,1),(1,1,1+c)|`
`=abc|((1)/(a)+1,(1)/(a),(1)/(a)),((1)/(b),(1)/(b)+1,(1)/(b)),((1)/(c),(1)/(c),(1)/(c)+1)|`
[`R_(1), R_(2)` व `R_(3)` में क्रमशः से भाग देने पर]
संक्रिया `R_(1)rarrR_(1)+R_(2)+R_(3)` से,
`=abc|(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c),1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c),1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)),((1)/(b),(1)/(b)+1,(1)/(b)),((1)/(c),(1)/(c),(1)/(c)+1)|`
`R_(1)` से `(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c))` बाहर लेने पर,
`=abc(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c))|(1,1,1),((1)/(b),(1)/(b)+1,(1)/(b)),((1)/(c),(1)/(c),(1)/(c)+1)|`
संक्रियाएँ `C_(2)rarrC_(2)-C_(1)` तथा `C_(3)rarrC_(3)-C_(1)` लगाने पर,
`=abc(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c))|(1,0,0),((1)/(b),1,0),((1)/(c),0,1)|`
`=abc(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c))|(1,0),(0,1)|`
[`R_(1)` के अनुदिश विस्तार करने पर]
`=abc(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c))`
`=abc+bc+ca+ab`
Discussion
92.

निम्न समीकरणों के क्रेमर के नियम का प्रयोग कर हल कीजिए: `x+y+z=9,2x+5y+7z=52` तथा `2x+y-z=0.`

Answer» दिए गए समीकरणों के जिनको से गुणांक सरणिक ,
`D=|{:(1,1,1),(2,5,7),(2,1,-1):}|`
`=1(-5-7)-1(-2-14)+1(12-10)`
`=-12+16-8=-4`
D के प्रथम स्तम्भ को अचार पदों से विस्थापित करने पर,
`Dx=|{:(9,1,1),(52,5,7),(0,1,-1):}|`
`=9(-5-7)-1(-52-0)+1(52-0)`
`=-108+52+52=-4`
D के द्वितीय स्तम्भ को सचर पदों से विस्थापित करने पर,
`Dy=|{:(1,9,1),(2,52,7),(2,0,-1):}|`
`=1(-52-0)-9(-2-14)+1(0-104)`
`=-52+144-104=-12`
D के तृतीय स्तम्भ को अचार पदों से बिस्थपित करने पर,
`Dz=|{:(1,1,9),(2,5,52),(2,1,0):}|`
`=1(0-52)-1(0-104)+9(2-10)`
`=-52+104-72=-20`
`thereforex=(Dx)/(D)=(-4)/(-4)=1`
`y=(Dy)/(D)=(-12)/(-4)=3`
`z=(Dz)/(D)=(-20)/(-4)=5`
अतः `x=1,y=3`तथा`z=5.`
Discussion
93.

`x+y+2z=4` `x+2y+z=1` `x+y+z=2`

Answer» Correct Answer - `x=1,y=-1,z=2`
Discussion
94.

निम्नलिखित समीकरणों को क्रेमर के नियम से हल कीजिए: `{:(x+3y+z=5),(2x-y+3z=4),(x-2y+5z=4):}`

Answer» दिए समीकरणों के गुणकों से प्राप्त सारणिक:
`D=|{:(1,3,1),(2,-1,3),(1,-2,5):}|`
`=1(-5+6)-3(10-3)+1(-4+1)=1-21-3=-23`
D के प्रथम स्तम्भ के अचर पदों में विस्थापित करने पर,
`Dx=|{:(5,3,1),(4,-1,3),(4,-2,5):}|`
`=5(-5+6)-3(20-12)+1(-8+4)=5-24-4=-23`
D के द्वितीय स्तम्भ को पदों के अचर पदों में विस्थापित करने पर,
`Dy=|{:(1,5,1),(2,4,3),(1,4,5):}|`
`=1(20-12)-5(10-3)+1(8-4)=8-35+4=-23`
D के तृतीय स्तम्भ के अचर पदों में विस्थापित करने पर,
`Dz=|{:(1,3,5),(2,-1,4),(1,-2,4):}|`
`=1(-4+8)-3(8-4)+5(-4+1)=4-12-15=-23`
`x=(Dx)/(D)=(-23)/(-23)=1`
`y=(Dy)/(D)=(-23)/(-23)=1`
`z=(Dz)/(D)=(-23)/(-23)=1`
अतः `x=1,y=1` तथा `z=1.`
Discussion
95.

`|{:(,I_(1),m_(1),n_(1)),(,I_(2),m_(2),n_(2)),(,I_(3),m_(3),n_(3)):}|` का मान ज्ञात कीजिएः, जहाँ `I_(1)^(2)+m_(1)^(2)+n_(1)^(2)=1` और `I_(1)I_(2)+m_(1)m_(2)+n_(1)n_(2)=0` आदि

Answer» हम पाते है। `|(l_(1),m_(1),n_(1)),(l_(2),m_(2),n_(2)),(l_(3),m_(3),n_(3))|^(2)`
`|(l_(1),m_(1),n_(1)),(l_(2),m_(2),n_(2)),(l_(3),m_(3),n_(3))||(l_(1),m_(1),n_(1)),(l_(2),m_(2),n_(2)),(l_(3),m_(3),n_(3))|`
`=|(l_(1)^(2)+m_(1)^(2)+n_(1)^(2),l_(1)l_(2)+m_(1)m_(2)+n_(1)n_(2),l_(1)l_(3)+m_(1)m_(3)+n_(1)n_(3)),(l_(1)l_(2)+m_(1)m_(2)+n_(1)n_(2),l_(2)^(2)+m_(2)^(2)+n_(2)^(2),l_(2)l_(3)+m_(2)m_(3)+n_(2)n_(3)),(l_(3)l_(1)+m_(3)m_(1)+n_(3)n_(1),l_(2)l_(3)+m_(2)m_(3)+n_(2)n_(3),l_(3)^(2)+m_(3)^(2)+n_(3)^(2))|`
`=|(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)|` ।दिए अनुसार]
`=1|(1,0),(0,1)=1(1)=1`
`implies |(l_(1),m_(1),n_(1)),(l_(2),m_(2),n_(2)),(l_(3),m_(3),n_(3))|=pm1`
Discussion
96.

क्रैमर नियम कि सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए । `(a+b)x-(a-b)y=4ab` `(a-b)x+(a+b)y=2(a^(2)-b^(2))`

Answer» Correct Answer - x=a+b,y=a-b
Discussion
97.

निम्न समीकरण निकायों को क्रैमर नियम से हल कीजिए - `x+y+2z=1` `3x+2y+z=7` `2x+y+3z=2`

Answer» Correct Answer - `x=2,y=1,z=-1`
Discussion
98.

समीकरण निकाय `x+y+z=6` `x-y+z=2` `3x+2y-4z=-5` को क्रेमर नियम से हल कीजिए|

Answer» `Delta=|{:(1,1,1),(1,-1,1),(3,2,-4):}|=|{:(1,0,0),(1,-2,0),(3,-1,-7):}|=14`
`Deltax=|{:(6,1,1),(2,-1,1),(-5,2,-4):}|=|{:(6,1,1),(-4,-2,0),(19,6,0):}|=14`
`Deltay=|{:(1,6,1),(1,2,1),(3,-5,-5):}|=|{:(1,6,1),(0,-4,0),(0,-23,-7):}|=28`
`Deltaz=|{:(1,1,6),(1,-1,2),(3,2,-5):}|=|{:(1,1,6),(0,-2,-4),(0,-1,-23):}|=42`
क्रैमर नियम से `x=(Deltax)/(Delta)=1,y=(Deltay)/(Delta)=2` तथा `z=(Deltaz)/(Delta)=(42)/(14)=3`
Discussion
99.

सारणिक निकाय 2x-y=7, 3x+5y=6 को कैमर विधि से हल कीजिएः

Answer» `Delta=|(2,-1),(3,5)|`
`10+3=13`
`Delta_(1)=|(7,-1),(6,5)|`
`=35+6=41`
`Delta_(2)=|(2,7),(3,6)|=12-21=-9`
क्रैमर विधि द्वारा,
`x=(Delta_(1))/(Delta)=(41)/(13),y=(Delta_(2))/(Delta)=(-9)/(13)`
`thereforex=(41)/(13),y=(-9)/(13)`
Discussion
100.

निम्नलिखित समीकरण निकाय को क्रैमर के नियम से हल कीजिए - `5x-7y+z=11` `6x-8y-z=15` `3x+2y-6z=7`

Answer» दिया गया समीकरण निकाय `5x-7y+z=11`
`6x-8y-z=15`
`3x+2y-6z=7`
`Delta=|{:(5,-7,1),(6,-8,-1),(3,2,-6):}|`
`=5(48+2)+7(-36+3)+1(12+24)`
`=250-231+36=55`
`Deltax=|{:(11,-7,1),(15,-8,-1),(7,2,-6):}|`
`=11(48+2)+7(-90+7)+1(30+56)`
`=550-581+86=55`
`Deltay=|{:(5,11,1),(6,15,-1),(3,7,-6):}|`
`=5(-90+7)-11(-36+3)+1(42-45)`
`=-415+363-3=-55`
`Deltaz=|{:(5,-7,11),(6,-8,15),(3,2,7):}|`
`=5(-56-30)+7(42-45)+11(12+24)`
`=-430-21+396=-55`
`therefore` क्रैमर के नियम से, `x=(Deltax)/(Delta)=(55)/(55)=1,y=(Deltay)/(Delta)=(-55)/(55)=-1`,
`z=(Deltaz)/(Delta)=(-55)/(55)=-1`
Discussion