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1.

XY - तल में x - अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में `30 ^(@ )` का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिए ।

Answer» माना XY - तल में OP ,X अक्ष से ` 30^(@)` ,Y - अक्ष से`60^(@)` तथा z - अक्ष से का कोण बनाता है ।
अंत OP सदिश की दिक् कोज्याएँ ` cos 30^(@) , cos 60^(@)` तथा ` cos 90^(@)` है |
अर्थात ` ( sqrt( 3))/( 2) ,(1)/(2) ,0` है
अंत : `vec(OP) = sqrt(sqrt(3))/(2) hati +(1)/(2) hatj`
` | vec(OP) |= sqrt( ((sqrt(3))/(2) )^(2) +((1)/(2))^(2) )=sqrt((3)/(4)+(1)/(4)) = sqrt(1) = 1`
जोकि XY - तल में अभीष्ट मात्रक सदिश ` ( sqrt(3))/(2)hati +(1)/(2) hatj` है
Discussion
2.

समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए ।

Answer» माना ` veca = hati + hatj + hatk` तथा ` vecb = 2 hati + 2 hatj + 2 hatk `
पहले सदिश ` veca = hati + hatj + hatk ` के लिए ` vecA = x hati + y hati + z hatk` से तुलना करने पर हम प्राप्त करते है।
` x=1 , y=1` तथा `z=1`
यदि l,m तथा n दिए हुए सदिश ` vec a ` की दिक् कोज्याएँ है तो
` l (1) /( sqrt( 1^(2) + 1^(2) + 1^(2) ))= (1) /( sqrt( 3))`,
` m = (1) /( sqrt( 1^(2) +1^(2) + 1^(2)))=(1)/( sqrt(3))`
तथा `n= (1) /( sqrt( 1^(2)+1^(2) +1^(2)))=(1)/( sqrt(3))`
इसी प्रकार , सदिश ` vecb ` की दिक् कोज्याएँ
`l= (2) /( sqrt(2^(2) +2^(2)+2^(2)))=(2)/(2sqrt(3))=(1)/( sqrt(3))` ,
`m= (2)/( sqrt( 2^(2) +2^(2)+2^(2)))=(2)/(2sqrt(3))=(1)/( sqrt(3))`
तथा ` n= (2)/( sqrt( 2^(2) +2^(2) +2^(2) ))=(2)/( sqrt(3))=(1)/(sqrt(3))`
अंत : दोनों सदिश की दिक् कोज्याएँ समान है ।
Discussion
3.

x और y के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश ` 2 hati + 3 hatj ` और ` x hati + y hati ` समान हो ।

Answer» माना ` veca = 2 hati + 3 hatj ` तथा ` vecb = x hati + yhati ` दिए गए दो सदिश है ।
दोनों सदिशों के तथा घटको के गुणांकों की तुलना करने पर ,
`implies x=2` तथा `y=3`
Discussion
4.

सदिश `hati + hatj+ hatk ` का सदिशों ` 2 hati + 4 hatj - 5 hatk` और ` lamda hati + 2 hatj + 3hatk ` के योगफल कि दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है तो ` lamda ` का मान ज्ञात कीजिए }

Answer» मान लीजिए ` veca = hati + hatj + hatk , vecb = 2 hati + 4 hatj - 5 hatk` तथा ` vecc = lamda hati + 2 hatj + 3 hatk`
अब ` vecb + vecc = 2 hati + 4 hatj - 5hatk + lamda hati + 2 hati + 3 hatk`
`= ( 2 + lamda ) hati + 6 hatj - 2 hatk`
`implies | vecb+ vecc| = sqrt( ( 2- lamda )^(2) +(6)^(2) +(-2)^(2))`
` =sqrt( 4+ lamda ^(2) + 4 lamda + 36+4)`
` = sqrt( lamda ^(2) + 4 lamda + 44)`
`( vecb + vecc)` के अनुदिश मात्रक सदिश
`= ( vecb + vecc) /( | vecb+ vecc|) =( 2 + lamda ) hati + 6 hatj - 2 hatk )/( sqrt( lamda ^(2) + 4 lamda + 44))`
उपरोक्त मात्रक सदिश का सदिश `( hati + hatj + hatk ) ` से अदिश गुणनफल 1 है ।
` therefore ( hati + hatj + hatk ) . ( vecb+ vecc)/(( | vecb+ vecc|)=1`
` implies ( hati + hatj + hatk ) .( ((2+ lamda )hati + 6hatj - 2hatk)/(sqrt(lamda^(2)+4 lamda+44)))=1`
`implies ( 2+ lamda + 6 -2 )/( sqrt(lamda^(2)+ 4lamda + 44))=1`
` implies lamda +6= sqrt(lamda^(2) + 4 lamda +44)`
` implies ( lamda + 6)^(2) = lamda ^(2) + 4 lamda +44`
`implies lamda^(2) + 12 + lamda + 36 = lamda ^(2) + 4 lamda + 44 `
`implies 8 lamda =8 implies lamda =1`
Discussion
5.

दर्शाइए कि OX ,OY avm OZ अक्षो के साथ बराबर झुके हुए कि दिक् - कोसाइन कोज्याएँ ` (1) /( sqrt( 3)) ,(1) /( sqrt( 3)),(1) /(sqrt(3)) ` है

Answer» माना एक सदिश जो अक्षो OX , OY तथा OZ के साथ बराबर झुका हुआ है तथा प्रत्येक के साथ समान कोण ` alpha ` बनाता है तो सदिश कि दिक् कोज्याएँ क्रमश : ` c cos alpha , cos alpha alpha `तथा ` cos alpha ` होगी ।
` therefore cos ^(2) alpha + cos ^(2) + cos ^(2) alpha =1`
` 3 cos ^(2) alpha =1`
` implies cos ^(2) alpha =(1)/(3) implies cos alpha =+- (1)/( sqrt(3))`
अंत : OX ,OY तथा OZ - अक्षो के साथ बराबर झुके हुए सदिश कि दिक् कोज्याएँ
` (1) /( sqrt(3)),(1)/( sqrt(3)),(1)/( sqrt( 3)) ` या `-(1) /( sqrt(3)), -(1)/( sqrt(3)) ,-(1)/(sqrt(3))` है
Discussion
6.

यदि ` veca . Vecb, vecc` समान परिमाणों वाले परस्पर लम्बवत सदिश है तो दर्शाइए कि सदिश ` veca + vecb + vecc ` सदिशों ` veca , vecb ` तथा ` vecc ` के साथ बराबर झुका हुआ है ।

Answer» माना` | veca| = | vecb| = | vecc| = a`
प्रश्नानुसार ` veca"." vecb = vecb "." vecc = vecc "." veca =0`
अब `( veca + vecb) + vecc)^(2)`
`=|veca|^(2) +|vecb|^(2) +| vecc|^(2) + 2 ( veca "." vecv+ vecb "." vecc + vecc "." veca)`
` = a^(2) + a^(2) +0 = 3 a^(2)`
`implies | veca + vecb+ vecc| = sqrt( 3)a `
माना ` veca ` और ` veca + vecb + vecc)` के बीच कोण` thete_(1)` है
` therefore veca .( veca + vecb + vecc) =|veca||veca+ vecb+ vecc | cos theta_(1)`
`implies veca ."" veca+ veca.""vecb+veca."" vecc = a ( a sqrt(3)) cos theta_(1)`
` implies a^(2) + 0 +0 = a^(2) sqrt(3)cos theta_(1)`
`implies cos theta_(1) =(a^(2))/(a^(2)sqrt(3))=(1)/( sqrt(3))`
`theta = cos ^(-1) ((1)/(sqrt(3)))`
इसी प्रकार,
` vecb ` और ` veca + vecb + vecc` के बीच कोण ` cos ^(-1) (1)/( sqrt(3))`
और ` vecc ` और ` veca + vecb + vecc` के बीच कोण ` = cos ^(-1) (1)/( sqrt(3))`
अंत : ` veca + vecb vecc` सदिशों ` veca , vecb ` और ` vecc` के साथ बराबर कोण बनाता है ।
Discussion
7.

सदिशों ` veca = 2 hati + 3 hatj - hatk ` और ` vecb = hati - 2 hattj +hatk` के परिणामी के समान्तर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 5 इकाई है ।

Answer» दिए गए सदिश ` veca = 2 hati + 3 hatj - hatk`
तथा ` vecb = hati - 2 hatj + hatk ` है|
माना ` vecc` सदिश ` veca` तथा ` vecb` सदिश का परिणामी सदिश है
` therefore vecc = veca + vecb = ( 2 hati + 3 hatj - hatk ) +(hati - 2 hatj + hatk)`
` implies | vecc| = sqrt 3^(2) +1^(2))= sqrt(9+1)= sqrt(10)`
` vecc` के अनुदिश मात्रक सदिश ` hatc = ( vecc )/( | vecc| )=( 3 hati + hatj ) /( sqrt(10))`
अंत : सदिश व` veca ` व ` vecb` के परिणामी के सामन्तर सदिश जिसका परिणाम 5 इकाई है ,
`+- 5 hatc =+- (1)/( sqrt(10))( 3 hati + hatj ) =+- ( 3 sqrt(10))/(2) hati +- ( sqrt(10))/(2) hatj `
Discussion
8.

यदि ` veca = vec0` अथवा ` vecb = vec0` तब ` veca ."" vecb =0` परन्तु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है । एक उदहारण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए ।

Answer» यदि ` veca = vec0 = 0 hati + 0 hatj + 0 hatk ` तथा ` vecb ` एक शून्येतर सदिश है
अर्थात ` vecb = x hati + yhatj +z hatk`
` therefore a . b =(0 hati +0 hatj +0 hatk ) .( x hati + y hatj + z hatk)`
`= (0 xx x) + (0 xxy)+ (0 xx z) =0`
परन्तु इसका विलोम सत्य होना आवश्यक नहीं है इसके लिए हम दो शून्येतर सदिश का गुणनफल शून्य दिखाएँगे ।
मान लीजिए ` veca =- 2 hati + 4 hatj + 3hat k ` तथा ` vecb = 4 hati + 4 hatj - 8 hatk `
तब ` veca "." vecb = 8 + 16 - 24=0`
अब हम देखते है कि
` | veca | = sqrt( 2^(2) + 4^(2) + 3^(2)) = sqrt( 29) implies veca ne 0`
` | vecb | = sqrt( 4 ^(2) + 4^(2) +(-8)^(2))= sqrt( 96)`
` therefore vecb ne 0`
अंत : दिए गए कथन का विलोम सत्य नहीं हो सकता
Discussion
9.

यदि ` veca = hati + 2 hatj + 3 hatk ` और ` vecb = 3 hati - 2 hatj + 2 hatk ` तो ` veca ` और `vecb` दोनों लंबवत एकांक सदिश ज्ञात कीजिए ।

Answer» ` veca xx vecb =( hati + 2 hatj + 3 hatk ) xx( 3 hati - 2 hatj + 2 hatk )`
` =|{:( hati , hatj , hatk) ,( 1,2,3) ,( 3,-2,2):}|`
`= hati (4+ 6 ) - hatj ( 2- 9 ) + hatk ( -2 6)`
` = 10 hati + 7 hatj - 8 hatk `
और ` | veca xx vecb |= | 10 hati + 7 hatj - 8 hatk | `
` =sqrt( 10^(2) + 7^(2) +(-8)^(2) )`
`= sqrt( 100+49+64 ) = sqrt( 213)`
` therefore veca ` और ` vecb` दोनों सदिशों के लंबवत एकांक सदिश
` =( veca xx vecb ) /( | veca xx vecb|)=( 10 hati + 7 hatj - 8 hatk )/( sqrt( 213))`
Discussion
10.

मान लीजिए सदिश ` veca ` और `vecb` इस प्रकार है प्रकार है कि ` | veca | = 3 ` और ` | vecb |= ( sqrt( 2))/( 3) ` तब ` veca xx vecb ` एक मात्रक सदिश है यदि ` veca ` और ` vecb ` के बीच का कोण है : ` (a) (pi)/( 6) " "(b) (pi) /(4) " " (c )(pi)/(3) " " (d) (pi)/( 2)`

Answer» दिया है , ` |veca | = 3 ` तथा ` | vecb|= (sqrt(2))/( 3)`
मान लीजिए तथा के बीच का कोण ` theta ` है
तथा ` | veca xx vecb| =1 `
`| a| |b| sin theta =1`
`implies 3xx(sqrt(2))/(3)xx sin theta =1`
` implies sin theta =(1)/( sqrt(2)) implies theta =(pi)/(4)`
Discussion
11.

यदि `veca , vecb , vecc` एकांक सदिश है और `veca + vecb+ vecc=vec0` . तो `veca . vecb . vecc+vecc. ""veca`का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» ` veca , vecb `और `vecc` एकांक सदिश है ।
`therefore |veca|= |vecc|=1`
और ` veca + vecb + vecc= vec0`
`implies ( veca+vecb + vecc).( veca + vecb+ vecc) = vec0 . vec0`
`implies |veca|^(2) +|vecb|^(2) +|vecc|^(2)+2( veca . vecb + vecb . vecc + vecc. veca )=0`
`implies 1+1+1+2( veca . vecb + vecb . vecc + vecc. veca) =0`
` implies veca . vecb + vecb . vecc + vecc . veca = -(3)/(2)`
Discussion
12.

सिद्ध कीजिए कि ` ( veca + vecb) .( veca + vecb)=|veca|^(2) +|vecb|^(2)` यदि और केवल यदि ` veca , vecb`लम्बवत है यह दिया हुआ है कि ` veca ne vec0 ne vec0`

Answer» ` ( veca + vecb) .( veca + vecb)=|veca|^(2) +|vecb|^(2)`
`implies | veca|^(2) + |vecb|^(2) + 2 veca ."" vecb = | veca |^(2) + |vecb|^(2)`
` implies 2 veca ."" vecb =0implies veca."" vecb =0`
`implies veca ` और ` vecb ` परस्पर लम्बवत है ।
Discussion
13.

एक सामन्तर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ `3 hati - 2 hatj + hatk ` और `hati +2hatj + 3 hatk`है । इसका क्षेत्रफल है -A. `2sqrt(3)`वर्ग मात्रकB. `8sqrt(3)`वर्ग मात्रकC. `6sqrt(3)`वर्ग मात्रकD. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion
14.

यदि `veca, vecb, vecc` तीन असमतलीय एकांक सदिश है तथा `veca xx(veccxxvecb) =(vecb+vecc)/(sqrt(2))` तो `veca` और `vecb` के मध्य कोण है -A. `45^(@)`B. `90^(@)`C. `135^(@)`D. `180^(@)`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
15.

यदि `hata ,vecb, hatc` तीन एकांक सदिश इस प्रकार है कि `hatb` और `hatc` समान्तर नहीं है तथा ` hata xx( vecbxxhatc)=(1)/(2)hat b,` तो `hata`और `hatc` के मध्य कोण है -A. `30^(@)`B. `45^(@)`C. `60^(@)`D. `90^(@)`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
16.

यदि `|veca|=sqrt(26),|vecb|=sqrt(7)` तथा `|veca xxvecb|=13`, तो `veca. vecb`का मान -A. 13B. `sqrt(13)`C. 9D. 4

Answer» Correct Answer - B
Discussion
17.

यदि तीन बिन्दुओ A , B और C के स्थिति सदिश क्रमश `hati + hatj + hatk , 2hati+3hatj-4hatk`: और `7hati + 4hatj+9hatk` है , तो `Delta ABC ` के समतल के लंबवत एकांक सदिश है -A. `(31hati -38hatj-9hatk)/(sqrt(2486))`B. `(31 hati +18 hatj +9hatk)/(sqrt(2486))`C. `31 hati - 18 hatj - 9 hatk`D. इनमे से कोई नहीं ।

Answer» Correct Answer - A
Discussion
18.

यदि `veca + vecb+ vecc=vec0,|veca|=5,|vecb|=3,|vecc||=7,` तो `veca`और `vecb` के मध्य कोण है -A. `30^(@)`B. `45^(@)`C. `60^(@)`D. इनमे से कोई नहीं ।

Answer» Correct Answer - C
Discussion
19.

सदिश ` veca ` के लिये `। vecaxxhati ।+ । veca xx hatj ।^(2 )+ ।veca xx hatk ।^(2 )` बराबर है -A. `|veca|^(2)`B. `2|veca|^(2)`C. `3 |veca|^(2)`D. `4 |vaca|^(2)`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
20.

यदि `veca=3 hati+2hatj+9hatk` और `vecb=hati+phatj+3hatk` एक - दूसरे के समान्तर है - p का मान है -A. `(2)/(3)`B. 2C. 6D. इनमे से कोई नहीं ।

Answer» Correct Answer - A
Discussion
21.

निम्निलिखित का उत्तर सत्य अथवा असत्य के रूप में दीजिए । (i ) ` veca ` तथा `- veca ` संरेख है । (ii ) दो संरेख सदिशों का परिमाण सदैव समान होता है । (iii ) समान परिमाण वाले दो सदिश संरेख होते है । (iv ) समान परिमाण वाले दो संरेख सदिश समान होते है ।

Answer» (i ) सत्य , सदिश ` veca ` तथा ` - veca ` एक ही रेखा के समान्तर है , अंत : यह संरेख है ।
(ii ) असत्य , संरेख सदिश होते है जो एक ही रेखा के समांतर हो किन्तु यह आवश्यक नहीं है कि उनके परिमाण बराबर हो ।
(iii ) असत्य , यह आवश्यक नहीं है कि दो सदिश जिनके परिमाण बराबर हो , तो संरेख हो ।
(iv ) असत्य , दो सदिश समान सदिश कहलाते है जब उनका परिणाम व दिशा समान हो जबकि उनके आरम्भिक बिंदु की स्थिति कुछ भी हो , अंत : समान परिमाण वाले दो संरेख सदिश समान नहीं होते है ।
Discussion
22.

निम्नलिखित मापो को अदिश और सदिश के रूप में वर्गीकृत कीजिए - (i ) 10 किग्रा (ii ) 150 मीटर / सेकेण्ड (iii ) 15 सेकण्ड (iv ) 25 किमी / घण्टा , उत्तर की और

Answer» (i ) 10 किग्रा , द्रव्यमान को व्यक्त करता है जो एक अदिश राशि है ।
(ii ) 150 मीटर / सेकण्ड , चाल को व्यक्त करता है जो एक अदिश राशि है ।
(iii ) 15 सेकण्ड , चाल को व्यक्त करता है , जो अदिश राशि है
(iv ) 25 किमी / घण्टा , उत्तर की और वेग को व्यक्त करता है जो एक सदिश राशि है ।
Discussion
23.

यदि बिन्दुओ A ,B ,C , D के स्थिति सदिश क्रमश `vec (a ) ,vec (b ),vec (c ),vec (d )` है और `vec (b )-vec (a )=vec (c )- vec (d ) ` तो सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है ।

Answer» माना O , मुलबिन्दु है
प्रश्नानुसार
`vec(OA ) - vec(a) , vec(OB)=vec(b),vec(OC)=vec( c)` और `vec (OD )=vec(d)`
दिया है `vec(b) -vec(a)=vec(c ) -vec(d)`
`implies vec(OB)-vec(OA)=vec(OC)-vec(OD)`
`impliesvec(AB ) =vec (DC )`
`implies AB ` और DC सामन्तर और बराबर है
अंत : ABCD एक सामन्तर चतुर्भुज है
Discussion
24.

यदि बिन्दुओ A और B के मूलबिंदु O के सापेक्ष स्थिति सदिश क्रमश : `veca+vecb` और `veca-vecb` है , तो AB को 2 :3 में बाहा विभाजित करने वाले बिंदु P का सदिश ज्ञात कीजिए ।

Answer» यहाँ
`vec(OA )=veca+vecb` और `vec(OB)=veca-vecb`
`therefore vec(OP) = vec(OP)=(2 vec(OB )-3 vec(OA))/(2-3 )`
`=(2(veca-vecb)-3(veca+vecb))/(-1 )`
`=(veca+5vecb)`
Discussion
25.

दो बिन्दुओ ` P ( 2 veca + vecb)` और ` Q ( veca - 3 vecb)` को मिलाने वाली रेखा को 1 :2 के अनुपात में बाहा विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए ।यह भी दर्शाइए कि बिंदु P रएकखण्ड RQ का मध्य - बिंदु है ।

Answer» दिया है कि ` vec(OP) = 2 veca + vecb ,vec(OQ) = veca - 3 vec b`
यदि एक बिंदु तथा से मिलाने वाली रेखा को m :n के अनुपात में बाहा विभाजित करता है , तब बिंदु R का स्थिति सदिश
` =( m " ( बिंदु Q का स्थिति सदिश )-n ( बिंदु P का स्थिति सदिश )")/(m-n )`
` therefore ` बिंदु R का स्थिति सदिश
`=(( veca - 3 vecb) xx 1 -(2 veca + vecb)xx2)/( 1-2)`
`= ( veca - 3 vecb - 4 veca - 2 vecb )/( -1) = (-3 veca - 5 vecb)/(-1) = 3 veca + 5 vecb `
अब ,RQ के मध्य - बिंदु का स्थिति सदिश
` =( vec(OQ) + vec(OR) )/( 2) =((3 veca + 5 vecb)+ ( veca - 3 vecb))/( 2)`
`=( 4 veca + 2 vecb) /(2)=2 veca + vecb`
जोकि बिंदु प का भी स्थिति सदिश है ।
`implies` रेखाखण्ड RQ का मध्य - बिंदु P है ।
Discussion
26.

दर्शाइए कि सदिश ` 2 hati - hatj + hatk , hati - 3 hatj - 5 hatk` और ` 3 hati - 4 hatj - 4 hatk ` एक समकोण त्रिभुज के शीर्षो कि रचना करते है ।

Answer» मान लीजिए ` vecA = 2 hati - hatj + hatk , vecB = hati - 3 hatj - 5 hatk` तथा ` vecC = 3 hati - 4 hatj - 4 hatk`
` therefore vec(AB)=B ` का स्थिति सदिश -A का स्थिति सदिश
`=( hati - 3hatj - 5hatk) -( 2 hati - hatj + hatk)`
`=- hati - 2 hatj - 6 hatk`
` | vec(AB) | sqrt( (1)^(2) +(-2)^(2)+(-6)^(2))`
` = sqrt( 1+4+36) = sqrt(41)`
` vec( BC) =C ` का स्थिति सदिश -B का स्थिति सदिश ` =( 3 hati - 4 hatj - 4hat k) -( hati -3 hatj - 5 hatk )`
` = 2 hati - ahatj + hatk `
` | vec(BC)|= sqrt(2^(2) +(-1) ^(2) +(1)^(2))`
`= sqrt( 4+1+1)= sqrt(6)`
तथा `vec(AC )=C ` का स्थिति सदिश -A का सदिश
` =( 3 hati - 4 hatj - 4 hatk )-(2 hati - hatj + hatk)`
`= hati - 3 hatj - 5 hatk`
तथा ` | vec(AC) | = sqrt( 1^(2)+(-3)^(2)+(-5)^(2))`
` = sqrt( 1+9+25) = sqrt( 35)`
अब ` | vec (BC) |^(2) +|vec(AC)|^(2)`
जो यह प्रदर्शित करता है कि ABC एक समकोण त्रिभुज है ।
Discussion
27.

सिद्ध कीजिए कि `2 hati - hatj + + hatk , hati - 3 hatj - 5 hatk , 3 hati - 4 hatj - 4 hatk` एक समकोण त्रिभुज कि भुजाएँ है । त्रिभुज के शेष दो कोण भी ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `veca = 2 hati - hatj + hatk , vecb = hati - 3 hatj - 5 hatk`
और `vecc = 3 hati - 4 hatj - 4 hatk ` है
अब ` vaca + vecb = 2 hati - hatj + hatk + hati - 3 hatj - 5 hatk `
`= 3 hati - 4 hatj - 4 hatk = vecc`
अंत : दिये गये सदिश एक त्रिभुज की भुजाएँ है ।
अब ` vec a . vecb = ( 2 hati - hatj + hatk ).( hati - 3 hatj - 5 hatk )`
`= 2+3-5=0`
`implies ` सदिश ` veca` और सदिश ` vecb` परस्पर लम्ब है ।
`implies veca , vecb , vecc`एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ है।
माना `vecb` और ` vecc`के बीच `theta ` कोण है ।
`therefore cos theta =( vecb. vecc)/( | vecb||vecc|)`
`=((hati - 3 hatj - 5 hatk ). ( 3 hati - 4 hatj - 4 hatk ))/( sqrt( 1+9+25)sqrt(9+16+16))`
` =( 3 +2+20)/( sqrt(35) sqrt(41))=sqrt((35)/(41))`
`implies theta = cos ^(-1) (sqrt((35)/(41)))`
इसी प्रकार माना ` veca `और `vecc` के बीच `phi` कोण है
`therefore cos phi =( veca.vecc) /(|veca||vecc|)=((2hati - hatj + hatk ).(3 hati - 4 hatj - 4 hatk )) /( sqrt(4+1+)sqrt(9+16+16))`
`=(6+4-4)/( sqrt(6)sqrt(41))=sqrt((6)/(41))`
`implies phi = cos^(-1) ""sqrt((6)/(41))`
अंत : त्रिभुज के शेष दो कोण ` cos ^(-1) sqrt((6)/(41))`और `cos ^(-1) sqrt((35)/(41))` है
Discussion
28.

एक आयत के शीर्षो `A ,B ,C ` और D जिनके स्थिति क्रमश : ` - hati +(1) /(2) hatj + 4 hatk , hati +(1)/(2) hatj +4 hatk hati -(1)/(2) hatj ` और `0 hati -(1)/(2) hatj + 4 hatk `, का क्षेत्रफल है : `(a) (1)/(2) " " (b) 1 " " (c ) 2 " " (d) 4`

Answer» ` vec(AB) =B`का स्थिति सदिश -A का स्थिति सदिश
` =( hati +(1)/(2) hatj +4 hatk ) -( hati +(1)/(2) hatj +4 hatk )`
` = 2 hati `
तथा ` vec(AD) =D ` का स्थिति सदिश -A का स्थिति सदिश
` =( hati - (1)/(2) hatj + 4 hatk ) -( hati +(1)/(2) hatj + 4 hatk )`
`=- hatj`
` therefore vec (AB) xx vec(AD) =|{:( hati , hatj , hatk),( 2,0,0),( 0,-1,0):}|=- 2 hatk`
` therefore` आयत ABCD का क्षेत्रफल ` =|vec(AB) xx vec(AD)|`
` =sqrt( (-2)^(2) )=2` वर्ग इकाई
Discussion
29.

सदिश `veca = 2 hati + 3 hatj + 5 hatk ` का सदिश ` vecb =- hati + hatj + 2 hatk ` की दिशा में प्रक्षेप ज्ञात कीजिए ।

Answer» सदिश `veca ` का `vecb ` की दिशा में प्रक्षेप
`=( veca . Vecb) /( |vecb|)=((2 hati + 3 hatj + 5hatk ).( - hati + hatj + 2 hatk ))/( sqrt((-1)^(2)+(1)^(2) +(2) ^(2)))`
`=(-2+3+10)/(sqrt(6))=(11)/(sqrt(6))` मात्रक
Discussion
30.

त्रिभुज ABC ( आकृति ) , के लिए निम्निलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है ? `(a) vec(AB) + vec(BC) + vec(CA) = vec0` ` (b) vec(AB) + vec(BC) - vec(AC) =vec0` ` (c ) vec(AB) + vec(BC) - vec(CA) = vec0` `(d) vec(AB) - vec( CB ) + vec(CA ) = vec0`

Answer» सदिश योग के त्रिभुज नियम से
` vec(AB) + vec(BC)= vec(AV)` या ` vec(AB) + vec(BC ) =- vec(CA)`
Discussion
31.

यदि ` veca = 3 hati - hatj + 5 hatk ` और ` vecb = hati + 2 hatj - hatk` तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाओ को ` veca `और ` vecb` से प्रदर्शित किया गया है ।

Answer» ` veca x vecb = ( 3 hati - hatj + 5 hatk )xx ( hati + 2 hatj - hatk )`
`=|{:( hati, hatj , hatk ),( 3,-1, 5) ,( 1,2,-1):}|`
` = hati ( 1-10 ) - hatj ( -3 -5) + hatk ( 6+ 1)`
` =-9 hati +8 hatj + 7 hatk `
अब ` | veca xx vecb|= | -9 hati + 8 hatj + 7 hatk |`
` = sqrt( (-9)^(2) . +8^(2) + 7^(2))`
`=sqrt( 81+64 + 49 ) = sqrt( 194)`
अब ` Delta ` का क्षेत्रफल ` =(1)/(2) |vecaxxvec b |=(1)/(2) . sqrt( 194)` वर्ग मात्रक
Discussion
32.

यदि ` veca "." veca =0` और ` veca "." vecb =0` तो सदिश ` vecb`के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है ?

Answer» यह दिया गया है कि ` veca "." veca =0 implies | veca|^(2)=0implies | veca|=0implies veca = vec0 ,` अंत : ` veca ` एक शून्य सदिश है अंत: ` veca "." vecb =0`
अंत ` vecb` कोई भी सदिश हो सकता है ।
Discussion
33.

सदिश ` veca = hati -2 hatj + hatk , vecb =- 2 hati + 4 hatj + 5 hatk ` और ` vecc = hati - 6 hatj - 7 hatk `का योगफल ज्ञात कीजिए ।

Answer» `veca + vecb + vecc`
`=( hati - 2 hatj+ hatk ) + (- 2 hati + 4 hatj + 5 hatk ) +( hati -6 hatj - 7 hatk)`
` = 0 hati - 4 hatj - hatk =- 4 hatj - hatk `
Discussion
34.

एक सदिश का प्रांरभिक बिंदु(2 ,1 ) है और अंतिम बिंदु `(-5 ,7 )` है । इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए ।

Answer» एक सदिश , जिसका प्रारंम्भिक बिंदु `A (2 ,1 )` है और अन्तिम बिंदु ` B (-5 ,7 )` है , को निम्न प्रकार लिख सकते है
` vec(AB ) = ( x_(2) - x_(1) ) hati +( y _(2) - y_(1)) hatj`
`= ( -5 -2 ) hati + (7-1) hatj =(-7) hati + 6 hatj`
अंत : दिए गए सदिश के अदिश घटक `hati `तथा ` hatj` के गुणांक -7तथा 6 है , जबकि इनके सदिश घटक `-7 hati ` तथा ` 6 hatj` है ।
Discussion
35.

बिन्दुओ `A( 1,2,-3)` एवं` B(-1,-2,1)` को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश की दिक् cosine ज्ञात कीजिए ।

Answer» दिए गए बिंदु `A (1,2,-3)` तथा ` B(-1 ,-2 ,1)` है |
अर्थात ` x_(1) = 1, y_(1) = 2 , z_(1) =-3`
तथा ` x_(2) =-1 , y_(2)=-2 , z_(2) =1`
सदिश ` vec(AB) = ( x_(2) - x_(1) ) hati +(y_(2) -y_(1) ) hatj +( z_(2) - z_(1)) hatk`
` =(-1-1) ) hati +( -2 - 2 ) hatj + [ 1- (-3) ] hatk `
` vec(AB )` का परिमाण ` ,|vec(AB) |= sqrt((-2)^(2) + (-4) ^(2) +4^(2))`
अंत : सदिश ` vec(AB)` की दिक् कोज्याएँ ` (-2) /( 6) ,(-4) /(6),(4)/(6)` या `-(1)/(3) ,-(2)/(3) ,(2)/(3)` है ।
Discussion
36.

बिंदु `P( x_(1) ,y_(1) ,z_(1))` और ` Q ( x_(2) , y_(2) , z_(2))` को मिलाने वाले सदिश के अदिशा घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए ।

Answer» ` P( x_(1) , y_(1) , z_(1) )` तथा ` Q ( x_(2) , y_(2) , z_(2))` को मिलाने वाले सदिश
` vec(PQ) =Q ` का स्थिति सदिश -P का स्थिति सदिश
` =( x_(2)hati +y_(2) hatj + z_(2) hatk)-( x_(1) hati +y_(1) hatj +y_(1)+z_(1) hatk)`
`=( x_(2) hati + y_(2) hatj + z_(2) hatk ) -( x_(1) hati +y_(1) hatj + z_(1) hatk)`
` =( x_(2) - x_(1) ) hati +( y_(2) - y_(1)) hatj +( z_(2) -z_(1))hatk`
`vec(OP) ` के अदिश घटक ` x_(2) - x_(1), y_(2) - y_(1) , z_(2) - z_(1)` है
` vec(PQ)` का परिमाण
` |vec(PQ) |= sqrt( (x_(2) - x_(1))^(2) +(y_(2) y_(1)) ^(2) +(z_(2) -z_(1))^(2))`
Discussion
37.

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण `vecd _(1) = 3 hati + 2 hatj - hatk` और है` vecd_(2) = hati - 3 hatj + 2 hatk ` है ।

Answer» ` vecd_(1) xx vecd_(2) =( 3 hati + 2 hatj - hatk ) xx ( hati - 3 hatj + 2 hatk)`
`=|{:(hati , hatj , hatk ),( 3,2,-1),(1,-3,2):}|`
` = hati (4-3) - hatj (6+1)+ hatk (-9-2)`
`= hati - 7 hatj - 11hatk`
`implies | vecd_(1)xx vecd_(2) |= | hati - 7 hatj - 11 hatk |`
` = sqrt((1)^(2) +(-7)^(2)+(-11)^(2))`
` = sqrt( 1+46+121)= sqrt( 171)`
`therefore ` समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
` =(1)/(2) |vecd_(1) xx vecd_(2) |=(1)/(2) sqrt( 171) =(3)/(2) sqrt( 19)` वर्ग मात्रक
Discussion
38.

बिन्दुओ `P ( hati + 2 hatj - hatk )` और `Q (- hati + hatj + hatk )` को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में (i ) अंत : (ii ) बाहा विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए ।

Answer» दो बिन्दुओ P तथा Q को मिलाने वाली रेखा को m :n के अनुपात में विभाजन करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश इस प्रकार प्राप्त करते है ।
(i ) अंत : विभाजन `( m vecb+ n veca)/( m+n)`
(ii ) बाहा विभाजन `( m vecb- n veca ) /( m-n)`
P तथा Q का स्थिति स्थिति सदिश ` vec(OP) = hati + 2 hatj - hatk ` तथा ` vec(OQ) =- hati + hatj + hatk `है |
R का स्थिति सदिश ( जब R , PQ को m :n के अनुपात में अंत विभाजित करता है )
`=( m(Q"का स्थिति सदिश")+n(P" का स्थिति सदिश ")/(m+n))`
`=(2(Q" का स्थिति सदिश "+1(" P का स्थिति सदिश " ) )/( 2+1))`
` =(1)/(3) (2 - hati + hatj + hatk ) + 1( hati + 2 hatj - hatk)`
`=(1)/(3) (- hati + 4 hatj + hatk )=(-(1)/(3))hati +((4)/(3))hatj +((1)/(3)) hatk`
R का स्थिति सदिश ( जब R , PQ को m : n के अनुपात में बाहा विभाजित करता है । )
`=(m(Q" का स्थिति सदिश " -n (p " का स्थिति सदिश " ))/( m-n))`
`=(2 (Q " का स्थिति सदिश "-1(" P का सदिश " )) /( 2-1))`
` = 2 ( - hati + hatj + hatk ) +(-1) ( hati + 2 hatj - hatk )`
` =(-3) hati + 0 hatj + 3 hatk =- 3 hati + 3 hatk`
Discussion
39.

दो बिन्दुओ P ( 2 ,3 ,4 ) और `Q ( 4 ,1 -2 ) ` को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए ।

Answer» PQ के मध्य बिंदु का स्थिति सदिश
` =(1)/(2)`(P का स्थिति सदिश +Q का स्थिति सदिश )
`=(1) /(2) [( 2 hati + 3 hatj + 4 hatk )+( 4 hati + hatj - 2 hatk )]`
`=(1)/(2) ( 6 hati + 4 hatj + 2 hatk )=3 hati + 2 hatj + hatk`
Discussion
40.

यदि बिंदु A का स्थिति सदिश `( veca +2 vecb )` और B का स्थिति सदिश `(2 veca +vecb )` है तथा बिंदु P , रेखा AB को 3 :5 के अनुपात में अन्त : विभाजित करता है , तो P स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना O मूलबिंदु है ।
`therefore vec(OA )= veca +2 vecb , vec(OB ) = 2 veca + vecb`
`therefore vec(OP)=(3vec(OB)+5vec(OA ))/(3+5 )`
`=(3(2veca+vecb)+5(veca+2 vecb))/(8)`
` =(1)/(8) (11veca+13vecb)`
Discussion
41.

दर्शाइए कि बिंदु ` A(1,-2,-8),B(5,0,-2)` और `C ( 11,3,7)` संरेख है और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए ।

Answer» ` vec(AB) =B ` का स्थिति सदिश -A का स्थिति सदिश
` = ( 5 hati +0 hatj - 2 hatk)- ( hati - 2 hatj - 8 hatk )`
` = 4 hati + 2 hatj + 6 hatk`
`|vec(AB)|= sqrt( 4^(2)+2^(2)+6^(2))`
` =sqrt(16+4+36) = sqrt(56)= 2 sqrt(14)`
` vec(BC) =C ` का स्थिति सदिश -B का स्थिति सदिश
` =( 11 hati +3 hatj + 7 hatk) -(5 hati +0 hatj - 2 hatk)`
`= 6 hati + 3hatj + 9 hatk`
`|vec(BC)| = sqrt(6^(2)+3^(2)+9^(2))`
` = sqrt(36+9+8)= sqrt( 126) = 3 sqrt( 14)`
` vec(AC)= C` का स्थिति सदिश -A A का स्थिति सदिश
` =(11 hati + 3 hatj + 7 hatk ) -(hati - 2 hatj - 8 hatk)`
`=10 hati + 5 haj + 15 hatk`
`|vec(AC) |= sqrt(10^(2)+5^(2)+15^(2))`
` sqrt(100+25+225)= sqrt(350)= 5 sqrt(14)`
` therefore | vec(AC) |=|vec(AB)|+|vec(BC)|`
अंत : दिए गए बिंदु A ,B तथा C संरेख है ।
माना रेखा AC पर बिंदु B इस प्रकार है कि वह ।AC । को के अनुपात में विभक्त करता है , तब
B का स्थिति सदिश
`=( lamda xxC " का स्थिति सदिश "+ 1 xx A " का स्थिति सदिश ")/( lamda +1)`
` =(1) /( lamda +1) {lamda (11hati + 3 hatj + 7 hatk )+1(hati - 2 hatj - 8 hatk)}`
`=((11 lamda +1)/( lamda +1))hati +((3 lamda - 2) /( lamda +1)) hatj +((7 lamda -8 ) /( lamda +1))hatk`
` = 5 hati +0 hatj -2 hatk`
`implies ( 11 lamda +1)/( lamda +1)=5,( 3 lamda - 2 )/(lamda +1)=0` तथा `( 7 lamda - 8) /( lamda +1)=-2`
` implies 11 lamda + 1 = 5 lamda + 5, 3 lamda = , 7 lamda -8 =- 2 lamda - 2`
` implies 6 lamda = 4, lamda =(2)/(3) , 9 lamda = 6 implies lamda =(2)/(3)`
अंत : A ,B व C बिंदु संरेख है तथा बिंदु B , AC को `2 //3 : 1 ` के अनुपात में अर्थात 2 : 3 के अनुपात में विभक्त करता है ।
Discussion
42.

दर्शाइए कि सदिश ` 2 hati - 3 hatj + 4 hatk ` और ` -4 hati + 6 hatj - 8 hatk` संरेख है ।

Answer» माना ` veca = 2 hati - 3 hatj + 4 hatk` तथा ` vecb =- 4 hati + 6 hatj + 6 hatj - 8 hatk `
` =- 2 ( 2 hati - 3 hatj + 4 hatk )=- 2 veca `
` vecb = lamda hata` जहाँ ` lamda =-2`
`implies `सदिश ` veca ` तथा ` vecb` की दिशा समान है अंत : ये संरेख है ।
Discussion
43.

यदि एक मात्रक सदिश ` veca ` , के लिए ` ( vecx - veca ) "." ( vecx+ veca)=12` हो तो ` | vecx|` ज्ञात कीजिए ।

Answer» दिया है , ` | veca | =1 `
तथा ` ( vecx - veca) "." ( vec x "." veca ) = 12 `
`implies vecx . Vecx + vecx "." veca - veca "." vecx - veca "." veca = 12`
`implies | vecx|^(2) - 1 ^(2) =12`
` implies | vecx|^(2) = 13 implies | vecx |= sqrt(13)`
Discussion
44.

यदि `| veca|=a` और `|vecb|=b`, तो सिद्ध कीजिए कि `((veca )/(a^(2))-(vecb)/(b^(2)))^(2) =((veca - vecb)/(ab))^(2)`

Answer» L.H.S `=((veca )/(a^(2))-(vecb)/(b^(2)))^(2) =( (veca)/(a^(2))-(vecb)/(b^(2))).((veca)/(a^(2))-(vecb)/(vecb^(2)))`
`=( veca . veca)/( a^(4))-(veca . vecb)/(a^(2)b^(2))-( vecb. veca)/(b^(2)a^(2))+(vecb.vecb)/(b^(4))`
`=(a^(2))/(a^(4))=(veca . vecb)/(a^(2) b^(2))-(vecb . veca)/( b^(2)a^(2))+(b^(2))/(b^(4))`
`=(1)/(a^(2) ) -( veca . vecb) /( a^(2) b^(2)) -(vecb . veca ) /( b^(2) a^(2))+(1)/(b^(2))`
`=( b^(2) - veca . vecb - vecb . vecb . veca + a^(2))/( a^(2) b^(2) )`
`=( vecb. vec b - veca . veca . vec b - vecb . veca + veca . veca)/( a^(2) b^(2))`
`=(( veca - vecb)/( ab))^(2) =R.H .S `यही सिद्ध करना था ।
Discussion
45.

सिद्ध कीजिए कि -

Answer» ` veca .{( vecb + vecc ) xx ( veca + vecb + vecc )} =0`
` L .H.S = veca . {( vecb + vecc ) xx ( veca + vecb +vecc )}`
` = veca . { vecb xx veca + vecb xx vecb xx vecb + vecb xx vec c + veca + vecc xx vec b + vecc xx vecc }`
` = veca . { vecb xx veca +0 + vecb xx vec c + vecc xx vec a + vecc xx vec b +0}`
`= veca * (vecb xx veca ) + veca * (vecb xx vec c) + vec a * (vec c xx veca) + veca * (vec c xx vec b)`
`= [veca vecb veca] + [veca vecb vec c ] + [vec a vec c vec a ] + [vec a vec c vec b]`
`= 0 + [veca vec b vec c ] + 0 - [vec a vec b vec c ]`
= 0= R.H.S.
Discussion
46.

यदि ` veca = 2 hati + 2 hatj + 3 hatk , vecb =- hati + 2 hatj + hatk` और ` vecc = 3 hati + hatj ` इस प्रकार है कि ` veca + lamda vecb , vecc` पर लम्ब है , तो `lamda ` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» दिए गए सदिश ` veca = 2 hati + 2hatj + 3 hatk , vecb =- hati + 2 hatj + hatk ` तथा ` vecc = 3 hati = 3 hati + hatj` है
अब ,` ( veca + lamda vecb bot vecc`( दिया है )
` implies ( veca + lamda vecb ) "." vecc= 0`
` implies [ ( 2 hati + 2 hatj + 3 hatk )+ lamda (- hati + 2hatj + 3hatk ) + lamda ( - hati + 2 hatj + hatk) ].( 3 hati + hatj) =0`
`implies [(2- lamda ) hati+(2 + 2 lamda ) hatj +(3 + lamda hatk ]. ( 3 hati + hatj )=0`
`implies (2- lamda ) 3 +( 2 + 2 lamda ) 1+ (3 lamda )0=0`
`implies 6-3 lamda +2 +2 lamda =0`
`8-lamda =0 =8`
`implies lamda =8`
Discussion
47.

` lamda `और ` mu` ज्ञात कीजिए , यदि ` ( 2 hati + 6 hatj + 27 hatk ) xx ( hati + lamda hatj + mu hatk )= vec0`

Answer» दिया है ,` ( 2 hati + 6 hatj + 27 hatk ) xx ( hati + lamda hatj + mu hatk )= 0`
`implies |{:( hati , hatj , hatk ) ,( 2,6,27),( 1 , lamda , mu ):}|=0`
` implies hati ( 6 mu - 27 lamda )- hatj ( 2 mu - 27 )+ hatk ( 2 lamda - 6)`
` = 0 hati + 0 hatj + 0 hatk `
`implies 6 mu - 27 lamda =0 , 2 lamda - 6 =0`
`implies 2mu = 9 lamda , mu = ( 27) /( 2) ` तथा ` lamda = 3`
अंत ` lamda =3 ` तथा ` mu = ( 27) /(2)`
Discussion
48.

दर्शाइए कि बिंदु `A ( 1,2,7) ,B ( 2,6,3)` और ` C ( 3,10,-1)` संरेख है ।

Answer» दिए गए बिंदु ` A (1,2,7) ,B ( 2,,3)` तथा ` C ( 3,6,3)` है
` therefore vec( AB) =B ` का स्थिति सदिश -A का स्थिति सदिश
`= ( 2 hati + 6 hatj + 3 hatk )-( hati + 2hatj + 7 hatk)`
` ( = hati + 4 hatj - 4 hatk)`
तथा ` | vec(AB) |= sqrt( (1)^(2 )+ (4) ^(2) +(-4)^(2))`
` = sqrt( 1+16+16)= sqrt(33)`
` vec( BC) =C ` का स्थिति सदिश -B का स्थिति सदिश
` =( 3 hati + 10 hatj - 1 hatk )- ( 2 hati + 6 hatj + 3hatk)`
`= hati + 4 hatj - 4 hatk `
तथा ` | vec( BC) | = sqrt((1)^(2) +(4)^(2) +(-4)^(2))`
`=sqrt( 1+16+16)= sqrt(33)`
` vec( AC) = C ` का स्थिति सदिश -A का स्थिति सदिश
` = ( 3 hati + 10 hatj - 1 hatk) -(1 hati + 2 hatj + 7 hatk)`
`= 2 hati +89 hatj - 8hatk`
तथा `| vec(AC) | = sqrt( 2^(2) +8^(2) +(-8)^(2))=sqrt( 4+64+64)`
` = sqrt(132) = 2 sqrt( 33)= sqrt(33) + sqrt(33)`
` | vec( AC) |= | vec(AB) |+|vec(BC )|`
अंत : बिंदु A ,B तथा C संरेख है ।
Discussion
49.

` hati . ( hatj xx hatk )+ ( hatk xx hati ) + hatk . ( hati xx hatj )` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» ` hati .( hatj xx hatk)+ hatj .( hatk xx hati ) + hatk .( hati x hatj )`
` = hati . hati + hatj . hatj + hatk . hatk `
` =1 +1+1=3`
Discussion
50.

`Delta ABC`एक क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो तीन बिन्दुओ ` A (1 ,2,3) , B ( 2,3 ,1 ) ` और `C ( 3,1,2)` के द्वारा बनता है ।

Answer» माना O मूलबिंदु है ।
`therefore vec(OA) = hati + 2 hatj + 3 hatk` ,
` vec(OB ) = 2 hati + 3 hatj + hatk , vec(OC) = 3 hati + hatj + 2 hatk`
अब ` vec(AB) = vec (OB) - vec (OA)`
` =(2 hati + 3 hatj + hatk ) -( hati + 2 hatj + 3 hatk)`
`= hati + hatj - 2 hatk`
और ` vec(BC) = vec(OC) - vec(OB)`
`=( 3 hati + hatj + 2 hatk ) xx ( hati - 2 hatj + hatk)`
`= hati - 2 hatj + hatk `
अब ` vec(AB) xx vec(BC) = ( hati + hatj - 2 hatk ) xx ( hati - 2 hatj + hatk ) `
` =|{:( hati , hatj , hatk ) ,( 1,1,-2),( 1,-2,1)`
` = hati ( 1-4) - hatj ( 1+2) + hatk (-2 -1) `
` = -3 hati - 3 hatj - 3 hatk `
`implies |vec(AB)xx vec(BC) | =| -3 hati - 3 hatj - 3 hatk |`
`= sqrt( 9+9+9) = 3 sqrt(3)`
` therefore Delta ABC ` का क्षेत्रफल ` =(1)/(2) | vec(AB) xx vec(BC) |`
वर्ग मात्रक
Discussion