InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
सिद्ध कीजिए कि - `((2n+1)!)/(n!) = 2^(n)[1.3.5"…."(2n-1).(2n+1)]` |
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Answer» बायाँ पक्ष `= ((2n+1)!)/(n!)` `= (1.2.3"….."(2n-2)(2n-1)2n(2n+1))/(n!)` `= ([(1.3.5)"…."(2n-1)(2n+1)].[(2.4.6.8)"…"(2n-2)(2n)])/(n!)` `= 2^(n) [1.3.5"…."(2n-1)(2n+1)] =` दायाँ पक्ष |
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| 2. |
सिद्ध कीजिए कि `((2n)!)/(n!) = {1.3.5"….."(2n-1)}2^(n)` |
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Answer» बायाँ पक्ष `= ((2n)!)/(n!) = (1.2.3.4"......"(2n-2)(2n-1)2n)/(n!)` `= ([1.3.5"….."(2n-1)][2.4.6"….."(2n-2)(2n)])/(n!)` `= ([1.3.5.7"….."(2n-1)]2^(n).[1.2.3"…"(n-1).n])/(n!)` ` ([1.3.5.7"….."(2n-1)]2^(n) . n!)/(n!)` `= [1.3.5.7"..."(2n-1)]2^(n) =` दायाँ पक्ष |
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| 3. |
यदि `""^(22)P_(r+1):""^(20)P_(r+2)=11:52`, तो r का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» प्रश्नानुसार, `""^(22)P_(r+1),""^(20)P_(r+2)=11:52` `rArr (""^(22)P_(r+1))/(""^(20)P_(r+2)) = (11)/(52)` `rArr (22!)/((22-r-1)!)((20-r-2)!)/(20!) = (11)/(52)` `rArr (22!)/((21-r)!).((18-r)!)/(20!) = (11)/(52)` `rArr(22.21.20!)/((21-r)(20-r)(19-r)(18-r)!).((18-r)!)/(20!) = 11/52` `rArr(22.21)/((21-r)(20-r)(19-r)(18-r)!).(18-r)=(11)/(52)` `rArr (22.21)/((21-r)(20-r)(19-r)) = 11/52` `rArr (21-r)(20-r)(19-r) =2.21.52` `rArr (21-r)(20-r)(19-r)=2.3.7.4.13` `rArr (21-r)(20-r)(19-r) = 12.13.14=(21-7)(20-7)(19-7)` `rArr r = 7` |
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| 4. |
5 सत्य/असत्य प्रश्नों के एक समूह हेतु, छात्र सभी उत्तर सही लिखता है और किन्हीं भी दो छात्रों के उत्तर क्रम से नहीं हैं ऐसा सम्भव होने के लिए कक्षा में छात्रों की अधिकतम संख्या कितनी होनी चाहिए ? |
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Answer» यहाँ प्रत्येक प्रश्न को दो प्रकार से हल किया जा सकता है , क्योकि वो या तो सत्य है या असत्य । अतः प्रत्येक प्रश्नों को हल करने की दो विधियाँ हैं । उत्तर के भिन्न अनुक्रमों की कुल संख्या `= 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2 = 2^(5) = 32` स्पष्टत: इस 32 अनुक्रमों में से केवल एक अनुक्रम सभी पाँच प्रश्नों के उत्तर सही रखता है लेकिन कोई भी छात्र सही उत्तर नहीं देता है और प्रत्येक छात्र भिन्न क्रम में उत्तर देते हैं । अतः कक्षा में छात्रों की अधिकतम संख्या = `32 - 1 = 21` |
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| 5. |
यदि `""^(2n+1)P_(r-1):""^(2n-1)P_(n)=3:5`, तब n का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» प्रश्नानुसार, `(""^(2n+1)P_(n-1))/(""^(2n-1)P_(n))=3/5` `rArr ((2n+1)!)/((n+2)!)xx((n-1)!)/((2n-1)!) = 3/5` `rArr ((2n+1)(2n)(2n-1))/((n+2)(n+1)n(n-1)!) xx((n-1)!)/((2n-1)!) =3/5` `rArr (2(2n+1))/((n+2)(n+1))=3/5` `rArr 10(2n+1)=3(n+2)(n+1)` `rArr 3n^(2) + 9n+ 6 = 20n+10` `rArr 3n^(2)-11n-4=0` `rArr (n-4)(3n+1) = 0` `n = 4` |
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| 6. |
यदि `1/(9!) + (1)/(10!) = (x)/(11!)` तब x का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया है - `1/(9!) + 1/(10!) =x/(11!)` `rArr 1/(9!) + 1/(10.9!) = (x)/(11.10.9!)` `rArr 1/(9!) (1 + 1/(10)) = x/((11.10)9!)` `rArr 1 + 1/10 = x/(11.10)` `rArr 11/10 = (x)/(11.10)` `rArr x = 121` |
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| 7. |
यदि `""^(r+s)P_(2) = 42` तथा `""^(r-s)P_(2) = 20`, तब r व s के मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» Correct Answer - r = 6, s = 1 `""^(r+s)P_(2) = 42 rArr ((r+s)!)/((r+s-2)!) = 42 rArr (r+s)(r+s-1) = 42"………."(i)` इसी प्रकार `""^(r-s)P_(2) =20 rArr (r-s) (r-s-1) = 20"……."(ii)` माना `r+s= x`, समीकरण (i) से, `x(x-1) = 42 = 7xx6rArr x = 7 rArr r+s= 7 "............"(iii)` माना `r-s = y`,समीकरण (ii) से, `y(y-1) = 0 rArr y(y-1) = 5 xx 4 rArr y = 5` `:. r - s = 5"..........."(iv)` समीकरण (iii) व (iv) से, `r = 6` तथा `s = 1` |
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| 8. |
(i) यदि `""^(17)C_(r)= ""^(17)C_(r-3),` तो r व `""^(r ) C_(8)` के मान ज्ञात कीजिए । (ii) यदि `""^(13)C_(r) = ""^(13)C_(2r-5)`, तो व r के `""^(6)C_(r)` मान ज्ञात कीजिए । (iii) यदि `""^(n) P_(r) = 30240` तथा `""^(n)C_(r)=252`, तो r का मान ज्ञात कीजिए । (iv) यदि `""^(n)C_(r-1) = ""^(n)C_(3r)`, तो r का मान ज्ञात कीजिए । (v) यदि `""^(10)C_(r), = ""^(10)C_(r+4)` हो , तो `""^(6)C_(r )` का मान ज्ञात कीजिए । (vi) यदि `""^(n)P_(r ) = 720` तथा `""^(n)C_(r ) = 120` हो , तो r का मान ज्ञात कीजिए |
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Answer» (i) `""^(17)C_(r) = ""^(17)C_(r-3) rArr ""^(17)C_(17 - r) = ""^(17)C_(r-3) rArr 17 - r = r - 3` `rArr r = 100` `:. ""^(r )C_(8) = ""^(10)C_(8) = (10!)/(8!.2!) = 45` |
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| 9. |
100 से 1000 के मध्य ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिसमें प्रत्येक अंक 2 या 9 हैं ? |
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Answer» हम जानते हैं कि 100 से 1000 के मध्य कि संख्या में हमेशा 3 अंक होते हैं । यहाँ हम ऐसी संख्या प्राप्त करना चाहते हैं जिससे प्रत्येक अंक या तो 2 हो या 9 हो । स्पष्टत: इकाई , दहाई व सैकड़े का स्थान दो विधियों से भरा जा सकता है । इस प्रकार कुल संख्याएँ `= 2 xx 2 xx 2 = 8` |
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| 10. |
100 व 1000 के मध्य ऐसी कितनी संख्याएँ हैं सभी अंक भिन्न होते हैं ? |
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Answer» हम जानते हैं की 100 से 1000 के मध्य की संख्या में हमेशा अंक होते हैं । अतः सभी संभावित 3 अंकों वाली संख्या जिसमें तीन अंक भिन्न हैं को प्राप्त करेंगे तथा 0 को सैकड़े के स्थान पर नहीं रख सकते , अतः सैकड़े का स्थान 9 अंकों अर्थात, `1, 2 , 3, "...."9` से भरा जायेगा । इस प्रकार सैकड़े के स्थान चयन की कुल 9 विधियाँ है । अब 9 अंक शेष है जिनमें 0 भी शामिल है । इसलिए दहाई अंक का स्थान इस 9 अंकों से भरा जायेगा तथा शेष इकाई स्थान को 8 अंकों से भरा जायेगा । इस प्रकार कुल संख्याएँ `= 9 xx 9 xx 8 = 648` |
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| 11. |
यदि तब का मान है -A. 360B. 192C. 96D. 48 |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 12. |
100 व 4000 के बीच `0,1,2,3,4` के कितनी संख्याएँ बनायी जा सकती है ? यदि (i) अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव है । (ii) अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव नहीं हैं । |
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Answer» हम जानते हैं कि 1000 व 4000 के बीच की सभी संख्याएँ 4 अंकों कि होती है हजारवें स्थानपर हम 1, 2 व 3 को रख सकते हैं 4 को नहीं । इसलिए हजारवाँ स्थान भरने कि कुल विधियाँ `= 3` क्योकि अंकों कि पुनरावृत्ति सम्भव है, इसलिए सैकड़े , दहाई व इकाई के स्थान 5-5 प्रकार से भरे जा सकते हैं । इसलिए 1000 व 4000 के बीच ( 4000 को छोड़कर) कुल संख्याएँ `= 3xx5 xx 5 xx 5 = 375` परन्तु हमें 1000 से बड़ी तथा 4000 से छोटी संख्या ज्ञात करनी है । `:.` वांछित संख्या `= 375 + 1` (400के लिए)`-1` (1000के लिए) `= 375` (iii) हजारवाँ स्थान 3 तरीको से भरा जा सकता है । यहाँ अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव नहीं है इसलिए यहाँ सैकड़े का स्थान शेष 4 अंकों द्वारा भरा जा सकता है । अब 3 अंक बचे हुए हैं इसलिए दहाई का स्थान 3 प्रकार से भरा जा सकता है । इस प्रकार इकाई का स्थान 2 प्रकार से भरा जा सकता है । अतः वांछित संख्याओं की कुल संख्या `= 3xx4 xx 3 xx 2 = 72` |
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| 13. |
1000 से छोटी तथा अंक `0,2,5,7` से कितनी विषम संख्याएँ बनायी जा सकती है , जबकि अंकों की पुनरावृत्ति होती है । |
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Answer» हमें 1000 से छोटी विषम संख्याएँ ज्ञात करनी है इसलिए ये संख्याएँ 1 अंक, 2 अंक, तथा 3 अंक की भी हो सकती है। एक अंक वाली संख्या - एक अंक वाली संख्या केवल 5 तथा 7 होगी । दो अंक वाली संख्या - दो अंक वाली विषम संख्या बनाने के लिए 5 या 7 को इकाई के स्थान पर रखेंगे । अतः इकाई का स्थान भरने के 2 प्रकार होंगे । अब 0 का प्रयोग दहाई के स्थान पर नहीं कर सकते । अंकों की पुनरावृत्ति होने की दशा को `2,5,7` से भरा जा सकता है । इसलिए दहाई के अंक को भरने के 3 प्रकार होंगे । इसलिए दो अंकों की संख्याएँ `= 2 xx 3 = 6` तीन अंक वाली संख्या - 3 अंकों की विषम संख्या बनाने के लिए इकाई के स्थान पर 5 या 7 रखते है इसलिए इकाई के स्थान को भरने के 2 प्रकार होंगे । दहाई का स्थान `0,2,5,7` से भरा जा सकता है , अतः इकाई का स्थान भरने के 4 प्रकार होंगे । अब, सैकड़े के स्थान पर 0 नहीं रख सकते । अतः सैकड़े के स्थान को `2,5,7` या 3 प्रकार से भर सकते हैं । अतः 3 अंकों की संख्याएँ `= 2 xx 4 xx 3 = 24` अतः कुल आवश्यक संख्याएँ `= 2 + 6 + 24 = 32` |
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| 14. |
यदि `""^(n)C_(8) = ""^(n)C_(6)` तो `""^(n)C_(2)` का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया है - `""^(n)C_(8) = ""^(n)C_(6)` `p = 8, q = 6` हम जानतें हैं कि `""^(n)C_(p) = ""^(n)C_(q) rArr p = q` या `p+q = n` यहाँ `p ne q ` इसलिए `p+ q = n rArr n = 8 + 6 = 14` `:. ""^(n)C_(2) = ""^(14)C_(2) = (14.13)/(2!) = 91` |
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| 15. |
100 से 1000 के मध्य ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनमें कम से कम एक अंक 7 हो । |
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Answer» हम जानते है कि 100 से 1000 के मध्य की संख्याओं में अंकों की संख्या 3 होती है । इसलिए तीन अंकों वाली संख्या जिसमें कम से कम अंक 7 हो = तीन अंकों वाली कुल संख्याएँ - तीन अंकों वाली संख्याएँ जिसमें 7 नहीं हैं `"....."(1)` तीन अंकों की संख्या में सैकड़े का स्थान 9 विधियों द्वारा दहाई इकाई का स्थान 10 विधियों द्वारा भरा जा सकता है । इसलिए तीन अंकों वाली संख्या =` 9 xx 10 xx 10 = 900"....."(2)` तथा 3 अंकों वाली संख्या जिसमें 7 नहीं है इसे 0 से 9 के अंकों से बनाया जा सकता है । जिसमें 7 शामिल न हो । अतः सैकड़े का स्थान 8 विधियों से,दहाई तथा इकाई का स्थान 9 विधियों से भरा जा सकता है। इसलिए 3 अंकों वाली संख्या इस जिसमें 7 न हो `= 8 xx 9 xx 9"......"(3)` समीकरण (2) व (3) से मान समीकरण (1) में रखने पर वांछित तीन अंकों वाली संख्या जिनमें कम से कम एक अंक 7 हो `= 900 - 8 xx 9 xx 9` `= 900 - 648 = 252 ` |
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| 16. |
अंकों व का प्रयोग करके अंकों की कितनी संख्याएँ लिखी जा सकती है ?A. `""^(10)C_(1) + ""^(9)C_(2)`B. `2^(10)`C. `""^(10)C_(2)`D. `10!` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 17. |
3,5,6,7,7,8 अंकों से 4 अंकों वाली कितनी संख्याएँ बनायी जा सकती हैं ? |
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Answer» दिये गये 6 अंकों में 7 का अंक दो बार आया हैं , बाकी सभी अंक एक-एक आये हैं । स्थिति I. यदि सभी अंक भिन्न हो इस स्थिति में हमारे पास 5 अंक (3,5,6,7,8) हैं । जिनमें से हमें 4 का चयन करना है । `:.` कुल संचयों की संख्या `= ""^(5)C_(4) = ""^(5)C_(1) = 5` इस तरह का प्रत्येक संचय `= ""^(4)P_(4) = 4!` क्रमचय बनाता है । `:.` कुल क्रमचयों की संख्या`= 5 xx 4! = 5 xx 24 = 120` स्थिति II.यदि दो अंक समान तथा दो भिन्न हो । इस स्थिति में समान अंक 7,7 तथा 3,5,6,8 में से कोई दो अंक चुनने हैं । जिनके कुल प्रकार `= ""^(4)C_(2) = 12` यहाँ प्रत्येक संचय `(4!)/(2!) = 12` क्रमचय बनाता है । इसलिए क्रमचयों की कुल संख्या `=120 + 72 = 192` |
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| 18. |
1,3,5,7,9 के अंकों से 3 अंकों की कितनी संख्याएँ बनायी जा सकती हैं , जब (i) एक अंक की पुनरावृत्ति कितनी भी बार हो सकती है ? (ii)अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव नहीं हैं ? |
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Answer» (i) यदि अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव हो, तो इकाई, दहाई व सैकड़े प्रत्येक स्थान पर ये पाँचों अंक आ सकते हैं । इसलिए 3 अंकों की कुल संख्याओं की संख्या `= 5^(3) = 125` यदि अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव न हो, तब `3` अंकों से बनने वाली संख्याओं की संख्या `= ""^(5)P_(3) = (5!)/(2!) = 60` |
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| 19. |
कितने प्रकार से पाँच अलग प्रकार की रिंग चार अंगुलियों में पहनी जा सकती है ? |
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Answer» पहली रिंग चारों में से किसी एक अँगुली में पहनी जा सकती है । इस प्रकार इसे पहनने के कुल प्रकार = 4 इसी प्रकार, बची हुई शेष रिंग भी 4-4 प्रकार से पहनी जा सकती है । अतः कुल प्रकार `= 4 xx 4 xx 4 xx 4 xx 4 = 4^(5)` |
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| 20. |
`1,2 , 3, 4 , 5` से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनायी जा सकती है , यदि अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव है ? |
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Answer» स्पष्टत: इकाई , दहाई व सैकड़े के स्थान `5-5` प्रकारों से भरे जा सकती हैं । इसलिए वांछित संख्याओं की कुल संख्या `= 5 xx 5 xx 5 = 125` |
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| 21. |
`1,2,3,4,5,6` अंकों का प्रयोग करते हुए तीन अंकों को कितनी विषम संख्याएँ बनायी जा सकती हैं ?? (i) अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव नहीं है । , (ii) अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव है । |
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Answer» हम जानते हैं की किसी भी विषम संख्या के लिए इकाई के स्थान पर 1, 3 या 5 के अंक के चाहिए । इस प्रकार इकाई के स्थान को भरने के कुल प्रकार = 3 (i) अब क्योकि अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव नहीं है , इसलिए दहाई का स्थान शेष पाँच अंकों से प्रकार से भरा जा सकता है । अब 4 अंक शेष हैं इसलिए सैकड़े का स्थान 4 प्रकार से भरा जा सकता है । इसलिए वांछित संख्याओं की कुल संख्या `= 3 xx 5 xx 4 = 60` (iii) यदि कुल अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव है तब सैकड़े व दहाई के स्थान 6-6 प्रकारों से भरा जा सकता है । इसलिए वांछित संख्याओं की कुल संख्या `= 3 xx 5 xx 4 = 60` |
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| 22. |
तीन विभिन्न अंकों कि कुल कितनी संख्या सम्भव है यदि किसी भी अंक की पुनरावृत्ति न हो ? |
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Answer» कुल अंक `= 0,1,2,"….."9=10 = n` स्पष्टत: `r = 3` `:.` कुल तीन अंकों की संख्याओं की संख्या `= ""^(n)P_(r) = ""^(10)P_(3)` लेकिन हम जानते हैं कि सैकड़े के स्थान पर 0 नहीं हो सकता । `:.` कुल वांछित संख्याओं की संख्या `= ""^(10)P_(3) - ""^(9)P_(2)` `= (10!)/(7!) - (9!)/(7!) = (10 xx9 xx 8 xx 7!)/(7!) - (9xx8xx7!)/(7!)` `= 10 xx 9 xx 8 - 9 xx 8 = 648` |
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| 23. |
25 खिलाडियों जिनमें 10 बल्लेबाज़ , 8 बॉलर , 5 ऑलरॉउंडर , 2 विकेट कीपर हैं । यह मानते हुए कि 11 खिलाडियों में 5 बल्लेबाज 3 ऑलरॉउंड, 2 बॉलर व कीपर की आवश्यकता है, टीम का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है ? |
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Answer» टीम का चयन निम्न प्रकार किया जा सकता है- (i) 10 बल्लेबाजों में से 5 बल्लेबाज । इसके कुल प्रकार `= ""^(10)C_(5)` (ii) 5 ऑलराउंडर में से 3 ऑलराउंडर। इसके कुल प्रकार `= ""^(5)C_(3)` (iii) 8 बॉलर में से 2 बॉलर का चयन । कुल प्रकार `= ""^(8)C_(2)` (iv) 2 में से 1 विकेट कीपर का चयन, कुल प्रकार `= ""^(2)C_(1)` `:.` टीम चयन के कुल प्रकार `= ""^(10)C_(5) xx ""^(5)C_(3) xx ""^(8)C_(2) xx ""^(2)C_(1)` `= 141120` |
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| 24. |
10 लाख से बड़ी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं यदि हम 0,1,2,2,2,3,3 अंकों का प्रयोग करें ? |
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Answer» स्पष्टत : 10 लाख से बड़ी किसी भी संख्या में कम से कम 7 अंक होंगे। इसलिए दिये गये अंकों को 7 अंकों में इस तरह से व्यवस्थित करना है कि जिनमें 2 का अंक तीन बार, 3 का अंक 2 बार तथा 0 व 1 एक-एक बार आये । `:.` कुल व्यवस्थाओं की संख्या `= (7!)/(3!2!) = 420` इन संख्याओं में वो संख्याएँ भी शामिल हैं जिनमें 0 दस लाखवें स्थान पर होगी । `:. 0` को दस लाखवें स्थान पर रखकर शेष अंकों से बनने वाली कुल व्यवस्थाएँ `= (6!)/(3!2!) = 60` `:. 10` लाख से बड़ी वांछित संख्याओं की संख्या `= 420 - 60 = 360` |
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| 25. |
भारत के 22 राज्यों के मुख्यमंत्री दिल्ली में एक मीटिंग में मिलते हैं । इनको बैठाने की कुल व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि हिमाचल प्रदेश, गुजरात, राजस्थान तथा उत्तर प्रदेश के मुख्यमंत्री एक साथ बैठे । |
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Answer» चार मुख्यमंत्रियों को एक साथ बैठाने पर ये चारों एक ही संख्या में गिने जायेंगे। इन चारों को एक साथ बैठाने के कुल प्रकार `= 4! = 24` शेष `19=(22-4 + 1)` को बैठने के कुल प्रकार `= (19-1)! = 18!` `:.` वांछित प्रकारों की कुल संख्या `= 24 xx 18` |
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| 26. |
चार अंगुलियों में तीन रिंग (हर अंगुली में अधिकतम एक) कितनी प्रकार से पहनी जा सकती है ? |
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Answer» कुल अंगुलियाँ `= 4 = n` कुल रिंग `= 3 = r` `:. ""^(4)P_(3)= (4!)/((4-3)!) = (4!)/(1!) = 24` `rArr 24` प्रकार से चार अंगुलियों में तीन रिंग पहनी जा सकती हैं। |
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| 27. |
एक महिला जिसके पास 10 पैसे के तीन, 25 पैसे के चार तथा 50 पैसे के दो सिक्के हैं , भिखारियों के घर के पास खड़ी है। 9 भिखारियों को ये सिक्के कितनी प्रकार से बाँटे जा सकती हैं, कि प्रत्येक भिखारी को केवल एक सिक्का मिले ? |
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Answer» कुल भिखारियों की संख्या `= 9` 10 पैसे के सिक्कों की संख्या `= 3` 25 पैसे के सिक्कों की संख्या = 4 50 पैसे के सिक्कों की संख्या `= 2` `:.` कुल वांछित तरीकों की संख्या `= (9!)/(3!4!2!) = 1260` |
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| 28. |
कितने प्रकार से 7 हिन्दुस्तानी तथा 6 पाकिस्तानी एक गोल मेज पर इस प्रकार बैठ सकते हैं कि कोई दो पाकिस्तानी एक साथ न बैठे ? |
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Answer» सबसे पहले हम 7 भारतीयों को गोल मेज पर बैठाने की व्यवस्था करेंगे । जो कि `(7-1)! = 6!` प्रकार से की जा सकती है । हम 6 पाकिस्तानी P निशानी लगी कुर्सी पर बैठेंगे, इस प्रकार की कुल 7 सीटें हैं| इसलिए इस व्यवस्था के कुल प्रकार `= ""^(7)P_(6) = 7!` `:.` वांछित व्यवस्थाओं को कुल संख्या `= 6! xx 7!` |
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| 29. |
एक मीटिंग में 13 सदस्य कितने प्रकार से बैठाये जा सकते हैं कि उपाध्यक्ष एवं महामन्त्री हमेशा अध्यक्ष के पास बैठे ? |
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Answer» क्योकि हम उपाध्यक्ष व महामन्त्री को हमेशा अध्यक्ष के पास बैठाने चाहते हैं । इसलिए इन तीनों को एक इकाई मानते हुए हमें `11(13-3+11)` सदस्यों को बैठना हैं । जिनको बैठाने के कुल प्रकार `= (11-1) ! =10!` अध्यक्ष , उपाध्य्क्ष व महामन्त्री को बैठाने के कुल प्रकार `= (3-1)! = 2! = 2` इसलिए कुल प्रकारों की संख्या `= 2 xx 10!` |
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| 30. |
6 पुरुषों तथा 4 महिलाओं में से 5 सदस्यौं की एक समिति गठन की जानी है । यह कितने प्रकार से गठित की जा सकती है जब - (i) अधिक से अधिक दो महिलाएँ शामिल हो ? (ii) कम से कम दो महिलाएँ इसमें शामिल हो ? |
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Answer» (i) 5 सदस्यों की एक समिति जिसमें अधिकतम दो महिलाएं शामिल हो निम्न प्रकार से गठित की जा सकती है - (a) 6 में से 5 पुरुषों का चयन। कुल प्रकार `= ""^(6)C_(5)` (b) 6 में से 4 पुरुषों का चयन, तथा 4 में से 1 महिला का चयन कुल प्रकार `= ""^(6)C_(4) xx ""^(4)C_(1)` (c ) 6 में से 3 पुरुषों का चयन, चार में से 2 महिलाओं का चयन कुल प्रकार `= ""^(6)C_(3) xx ""^(4)C_(2)` `:.` समिति गठित करने के कुल प्रकार `= ""^(6)C_(5) + ""^(6)C_4 xx""^(4)C_(1) + ""^(6)C_(3) xx ""^(4)C_(2)` `= 6 + 60 + 120 = 186` (ii) 5 व्यक्तियों की एक समिति जिसमें कम से कम दो महिलाएँ हो, निम्न प्रकार से गठित की जा सकती है - (a) 4 महिलाओं में से 2,6 पुरुषों में से 3 के चयन की कुल विधियाँ `= ""^(4)C_(2) xx""^(6)C_(3)` (b) 6 महिलाओं में से 3,6 पुरुषों में से 2 के चयन की कुल विधियाँ `= ""^(4)C_(3) xx ""^(6)C_(2)` (c ) 4 महिलाओं में से 4,6 पुरुषों में से एक के चयन की कुल विधियाँ `= ""^(4)C_(4) xx ""^(6)C_(1)` इस प्रकार समिति के गठन के कुल प्रकार `= ""^(4)C_(2) xx ""^(6)C_(3) + (""^(4)C_(3) xx ""^(6)C_(2)) + ""^(4)C_(4) xx ""^(6)C_(1)` `= 120 + 60 + 6 = 186` |
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| 31. |
12 लड़के और 10 लड़कियों की एक कक्षा में, 10 विद्यार्थियों का चयन इस प्रकार किया जाना है कि कम से कम 4 लड़के तथा 4 लड़कियों अवश्य इसमें रहे। पिछले वर्ष पुरस्कार जितने वाली दो लड़कियाँ इसमें अवश्य रहेंगी। कितने प्रकार से यह चयन सम्भव है ? |
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Answer» 10 विद्यार्थियों के चयन में पिछले वर्ष की विजेता दो लड़कियाँ हमेशा शामिल होगी । इसलिए अब हमें 8 विद्यार्थियों का चयन 12 लड़के तथा 8 लड़कियों में से करना है तथा कम से कम 4 लड़के तथा 2 लड़कियाँ इस चयन में रखनी है। कुल सम्भावनाएँ इस प्रकार हैं - (i) 4 लड़के, 4 लड़की , (ii) 5 लड़के, 3 लड़की (iii) 6 लड़के, 2 लड़की `:.` चयन के कुल प्रकार `= ""^(12)C_(4).C_(4)^(8) + ""^(12)C_(5).""^(8)C_(3)+""^(12)C_(3).""^(8)C_(2)` `= 495xx 70 + 792 xx 56 + 924xx28` `= 34650 + 44352 + 25872 = 104872` |
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| 32. |
25 विद्यार्थियों की एक कक्षा में से 10 विद्यार्थियों का चयन किया जाता है । उनमें से 3 विद्यार्थी ऐसे हैं जो या तो एक साथ चयनित होंगे या नहीं होंगे । कितने प्रकार से इनका चयन किया जा सकता है ? |
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Answer» निम्न सम्भावनाएँ हैं - (i) तीनों विधार्थी चयनित किये जाते हैं । इस स्थिति में शेष 22 विधार्थियों में से 7 का चयन करना हैं जिसके कुल प्रकार `= ""^(22)C_7` (ii) तीनों विद्यार्थी चयनित नहीं किये जाते हैं । इस स्थिति में शेष 22 विद्यार्थियों में से 10 का चयन करना है, जिसके कुल प्रकार `= ""^(22)C_(10)` `:.` चयन के कुल वांछित संख्या `= ""^(22)C_(7) + ""^(22)C_(10)` `= (22!)/(7! xx 5!) + (22!)/(10! xx 12!) = 817190` |
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ज्ञात कीजिए कि DAUGHTER के अक्षरों से कितने ऐसे आठ अक्षरों के शब्द बनाये जा सकते हैं? जिसमें (i) सभी स्वर सदैव एक साथ आते हैं । , (ii) स्वर कभी एक साथ नहीं आते । |
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Answer» (i) यदि सभी स्वर एक साथ आते हैं । DAUGHTER शब्द में 3 स्वर A,E,U हैं तथा शेष 5 अक्षर भिन्न-2 हैं । यदि तीनो स्वर एक साथ आते हैं तो उन्हें एक अक्षर मानने पर हमारे पास 6 अक्षर रह जाते हैं । इन छः अक्षरों से बनने वाले भिन्न-2 शब्दों की संख्या `= ""^(6)P_(6) = 6!` परन्तु 3 स्वरों के क्रम बदलकर `3!` प्रकार से रखा जा सकता है | अतः इस दशा में बनने वाले शब्दों की कुल संख्या = `6! xx 3! = 4320` (ii) 8 विभिन्न अक्षरों से बने शब्दों की संख्या `= ""^(8)P_(8) xx 8!` `= 40320` ऐसे शब्दों की संख्या जिनमें सभी स्वर एक साथ नहीं आते हैं `= 4032 - 4320 = 36000` |
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| 34. |
21 व्यंजनों तथा 5 स्वरों को मिलाकर ऐसे कितने शब्द बनाये जा सकता हैं जिनमें 2 व्यंजन तथा 3 स्वर हमेशा रहे? |
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Answer» हमें 21 व्यंजनों में से 2 व्यंजन तथा 5 स्वरों में से 3 स्वरों का चयन करना है । `:.` चयन के कुल प्रकार `= ""^(21)C_(2).""^(5)C_(3) = (21 xx 20)/(2xx11) xx (5xx4xx3)/(3xx2xx1) = 210 xx 10 = 2100` यह कुल 2 व्यंजनों व 3 स्वरों का समूह हैं । प्रत्येक समूह में 5 अक्षर हैं । इनको व्यवस्थित करने के कुल प्रकार `= 5! = 120` `:.` वांछित शब्दों की कुल संख्या `= 2100 xx 120 = 252000` |
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| 35. |
एक चुनाव में एक मतदाता कितने ही उम्मीदवारों के लिए मत डाल सकता है , लेकिन चुने जाने वाले उम्मीदवारों की संख्या से अधिक नहीं ? चुनाव में दस उम्मीदवार हैं जिनमें से चार चुने जाने हैं । उन तरीकों की संख्या जिनमें मतदाता कम से कम एक उम्मीदवार के लिये मत डाल सकता हैं -A. 6210B. 385C. 1110D. 5040 |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 36. |
6 लड़कों तथा 4 लड़कियों में से 5 विद्यार्थी किसी कोर्स में प्रवेश के लिए चुने जाते हैं । कितने प्रकार से इनका चयन किया जा सकता है यदि इनमें दो लड़कियाँ ही हों |
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Answer» हमें 5 विद्यार्थी का चयन इस प्रकार करना है कि इनमें दो लड़कियाँ अवश्य हों । `:.` चुने जाने वाले लड़कों की संख्या `= 5 - 2 = 3` `6` लड़कों में से 3 लड़के चुनने के प्रकार `= ""^(6)C_(3)` 4 लड़कियों में से 2 लड़कियाँ चुनने के प्रकार `= ""^(4)C_(2)` `:.` कुल वांछित प्रकार `= ""^(6)C_(3)xx ""^(4)C_(2) = (6.5.4)/(3.2.1) xx (4.3)/(2.1) = 120` |
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| 37. |
किसी परीक्षा में 6 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं । उत्तरों के कितने अनुक्रम प्राप्त किये जा सकता हैं यदि पहले तीन प्रश्नों में 4 विकल्प हैं तथा अगले तीन में विकल्पों की संख्या 5 है ? |
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Answer» पहले तीन प्रश्नों को चुनने के लिए कुल प्रकार `= 4 xx 4 xx 4` अगले तीन प्रश्नों को चुनने के कुल प्रकार `= 5 xx 5 xx 5` इसलिए कुल 6 विकल्पों को चुनने के कुल प्रकार `= 4 xx 4 xx 4 xx 5 xx 5 xx 5 = 8000` |
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| 38. |
एक मासिक परीक्षा में एक अध्यापक ने यह सुनिश्चित किया कि कुल 3 अर्थात प्रत्येक अभ्यास 7, 8 ,9 से एक - एक प्रश्न दिया जाएगा । यदि अभ्यास 7 में कुल प्रश्नों की संख्या 12 , अभ्यास 8 में 18 तथा अभ्यास 9 में कुल प्रश्नों की संख्या 9 हों तो प्रश्नों के चयन की कुल कितनी विधियाँ हो सकती है ? |
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Answer» क्योकि अभ्यास 7 में कुल प्रश्नों की संख्या 12 हैं । इसलिए प्रत्येक अभ्यास को चुनने के कुल प्रकार= 12 इसी प्रकार अभ्यास से प्रश्न को चुनने के कुल प्रकार = 18 तथा अभ्यास 9 से प्रश्न को चुनने के कुल प्रकार = 9 इसलिए तीन प्रश्न चुनने के कुल प्रकार `= 12 xx 18 xx 9 = 1944` |
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एक प्रश्नपत्र के दो भाग A व B हैं । प्रत्येक भाग में 10 प्रश्न हैं । विद्यार्थी को यदि A भाग से 8 तथा B भाग से 5 प्रश्नों का चुनाव करना है । कितनी प्रकार से वह इन प्रश्नों का चयन करता है ? |
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Answer» A भाग में 10 प्रश्न है जिनमें से 8 प्रश्नों का चुनाव करना हैं । `:.` इनके चुनाव के कुल तरीके `= ""^(10)C_(8)` इसी प्रकार भाग B के 10 प्रश्नों में से 5 के चुनाव कुल प्रकार `= ""^(10)C_(5)` `:.` कुल वांछित संचयों की संख्या `= ""^(10)C_(8) xx ""^(10)C_(5)` `= (10!)/(8!2!) xx (10!)/(5!5!)` `= 11340` |
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| 40. |
एक व्यक्ति के 6 दोस्त हैं । दो या अधिक दोस्तों को वह दावत में कितने प्रकार से बुला सकता है ? |
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Answer» वह `2,3,4,5` या 6 दोस्तों को दावत में बुला सकता है । `:.` चयन के कुल प्रकार `=""^(6)C_(2) + ""^(6)C_3 + ""^(6)C_(4) +""^(6)C_(5) + ""^(6)C_(6)` ` = ""^(6)C_0 + ""^(6)C_(1) + ""^(6)C_(2) + ""^(6)C_(3) + ""^(6)C_(4) + ""^(6)C_(5) + ""^(6)C_(6) - (""^(6)C_(0) + ""^(6)C_(1))` `= 2^(6) - (1+6) = 64 - 7 = 57` |
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| 41. |
एक स्कूल में प्रतिदिन 6 घंटे लगते हैं । 5 विषयों को इन 6 घण्टों में कितनी प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है कि प्रतिदिन प्रत्येक विषय को कम से कम एक घंटा अवश्य मिले ? |
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Answer» 6 घण्टों में 5 विषयों को व्यवस्थित करने के कुल प्रकार `= ""^(6)P_(5)` एक घण्टा शेष है, यह 5 विषयों में से किसी भी एक को दिया जा सकता है । जिसका कुल प्रकार = 5 `:.` कुल व्यवस्थाओं के प्रकार = `""^(6)P_(5) xx 5 = (6!)/((6-5)!) xx 5 = 3600` |
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| 42. |
6 विभिन्न नॉवल व 3 विभिन्न शब्दकोष से 4 नॉवल व 1 शब्दकोश को चयनित किया जाता है तथा एक अलमारी में एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं कि शब्दकोष सदैव मध्य में हो । इस प्रकार की व्यवस्थाओं की संख्या है -A. कम से कम 500 परन्तु 750 से कमB. कम से कम 750 परन्तु 1000C. कम से कम 1000D. 500 से कम |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 43. |
n विषयों की n किताबें, एक अलमारी में कितने प्रकार से व्यवस्थित की जा सकती है कि किसी भी विषय की दो पुस्तकें एक साथ न हों ? |
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Answer» n प्रकार की पुस्तकों को व्यवस्थित करने के कुल प्रकार `= ""^(n)P_(n) = n!` दो विशिष्ट पुस्तकों को एक मानने पर हमारे पास (n- 1) पुस्तकें बचेगी जिनकों व्यवस्थित करने के कुल प्रकार `= ""^(n-1)P_(n-1) = (n-1)!` इस व्यवस्था में एक साथ ली गयी दो पुस्तकों को व्यवस्थित करने के कुल प्रकार `= ""^(2)P_(2) = 2! = 2` `rArr 2` किताबें एक साथ लेने के कुल प्रकार `= 2(n-1)!` इसलिए किताबें लगाने के ऐसे प्रकार जिनमें कोई दो विशिष्ट किताब एक साथ नहीं हैं । `= n! -2(n-1)! = (n-2) (n-1) !` |
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कितनी प्रकार से 5 लडके तथा 3 लड़कियाँ एक पंक्ति में बैठायी जा सकती है कि कोई दो लड़कियाँ एक साथ न बैठ पाये? |
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Answer» पाँच लड़कों को एक पंक्ति में बैठाने के कुल प्रकार `= ""^(5)P_(5) = 5!` यहाँ पर निम्न प्रकार से बैठने की 6 जगह बनेगी `xx B xx Bxx B xx B xx` क्योकि कोई दो लड़कियां एक साथ नहीं बैठ सकती इसलिए 3 लड़कियों को 6 स्थानों पर बैठाने के कुल प्रकार `= ""^(6)P_(3)` `:.` बैठाने की व्यवस्था के कुल प्रकार `= ""^(5)P_(5).""^(6)P_(3) = 5!.(6!)/(3!)` `= 5 xx 4xx 3 xx 2 xx 6 xx 5 xx 4 = 14400` |
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| 45. |
सिद्ध कीजिए कि - (i) `""^(n-1)C_(r-1) + ""^(n-1)C_(r) = ""^(n)C_(r)` , (ii) `""^(n)C_(r ) + ""^(n-1)C_(r-1) + ""^(n-1)C_(r-2) = ""^(n+1)C_(r )` (iii) `""^(n)C_(r-2) + 2.""^(n)C_(r-1) + ""^(n)C_(r) = ""^(n+2)C_(r )` |
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Answer» बायाँ पक्ष `""^(n-1)C_(r-1) + 1 ""^(n-1)C_(r ) = ((n-1)!)/((r-1)!(n-r)!) + ((n-1)!)/(r!(n-r-1)!)` `= ((n-1)!)/((r-1)!(n-r)(n-r-1)!) + ((n-1)!)/(r(r-1)!(n-r-1)!)` `= ((n-1)!)/((r-1)!(n-r-1)!) [1/(n-r) +1/r]` `= ((n-1)!n)/((r-1)!(n-r-1)!) [(r+n-r)/(r(n-r))]` `= ((n-1)!n)/(r(r-1)!(n-r)(n-r-1)!) ` `= (n!)/(r!(n-r)!) = ""^(n)C_(r)` दायाँ पक्ष |
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| 46. |
सिद्ध कीजिए कि- (i) `""^(n)P_(r) = (n-r+1) . ""^(n)P_(r-1)` , (ii) `""^(n)P_(r) = ""^(n-1)P_(r) +r , ""^(n-1)P_(r-1)` (iii) `(""^(n)P_(r))/(""^(n)P_(r-2)) = (n-r+2) (n-r+1)` (iv) `""^(2n)p_(n) = 2^(n)[1.3.5"...."(2n-1)]` |
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Answer» (i) दायाँ पक्ष `= (n-r+1) .""^(n)P_(r-1)` `= (n-r+1).(n!)/((n-r+1)!)` `=(n-r+1).(n!)/((n-r+1)(n-r)!)` `rArr = (n!)/((n-r)!) = ""^(n)P_(r) =` बायाँ पक्ष (ii) दायाँ पक्ष `=""^(n-1)P_(r)+r.""^(n-1)P_(r-1)` `=((n-1)!)/((n-1-r)!) +r.((n-1)!)/((n-1-r+1)!)` `= (n-1)![(1)/((n-r-1)!) +(r)/((n-r)!)]` `(n-1)![(n-r)/((n-r)(n-r-1)!)+(r)/((n-r)!)]` `= (n-1)![(n-r+r)/((n-r)!)]=((n-1)!n)/((n-r)!)` `= (n!)/((n-r)!) = .^(n)P_(r)=` बायाँ पक्ष (iii) बायाँ पक्ष `=(""^(n)P_(r))/(""^(n)P_(r-2))` `=(n!)/((n-r)!) xx ((n-r+2)!)/(n!)` `= ((n-r+2)!)/((n-r)!) = ((n-r+2)(n-r+1)(n-r)!)/((n-r)!)` `= (n-r+2)(n-r+1) = ` दायाँ पक्ष (iv) बायाँ पक्ष `= ""^(2n)p_(n) = (2n!)/((2n-n)!) = (2n!)/(n!)` `= (1.2.3"..."(2n-2)(2n-1)(2n))/(n!)` `= ({1.3.5"..."(2n-1)}.{2.4.6.8"...."(2n-2)(2n)})/(n!)` `=({1.3.5.7 "...."(2n-1)}.2^(n).n!)/(n!)` `= 2^(n) {1.3.5"..."(2n-1)}` `=`दायाँ पक्ष |
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| 47. |
यदि `""^(n)P_(4) : ""^(n)P_(5) = 1 : 2` तो सिद्ध कीजिए `n = 6` |
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Answer» `""^(n)P_(4):""^(n)P_(5)=1:2 rArr (""^(n)P_(4))/(""^(n)P_(5)) = 1/2` `rArr (n!)/((n-4)!) = ((n-5)!)/((n-4)!) = 1/2` `rArr ((n-5)!)/((n-4)(n-5)!) = 1/2 rArr 1/((n-4)) = 1/2` `rArr n = 6` |
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| 48. |
सिद्ध कीजिए कि : - `n! +(n+1)! = (n+2) n!` |
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Answer» बायाँ पक्ष `= n! + (n+1) !` `= n! + ( n+1) .n!` `= n!(1+n+1) = n! (n+2) =`दायाँ पक्ष |
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| 49. |
यदि `P(n,4) = 20 P(n,2)` ,तो n का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» प्रश्नानुसार `P(n,4) = 20(n,2)` `rArr (n!)/((n-4)!) = 20 .(n!)/((n-2!)` `rArr (n-2)! =20(n-4)!` `rArr (n-2) (n-3) (n-4) ! = 20(n-4) !` `rArr (n-2) (n-3) = 20` `rArr n = 7` |
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| 50. |
r का मान ज्ञात कीजिए यदि `""^(10)P_r= 5040` |
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Answer» `""^(10)P_(r) = 5040` `rArr (10!)/((10-r)!) = (10 xx 504)` `rArr (10!)/((10-r)!) = 10 .9.8.7` `= (10.9.8.7xx6!)/(6!)` `rArr (10-r)! = 6!` `rArr 10-r = 6` `rArr r = 10-6 = 4` |
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