InterviewSolution
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| 1. |
मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया `**, a**b = a ` तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है । निम्नलिखित ज्ञात कीजिए : (i) `5**7, 20**16` (ii) क्या संक्रिया `**` क्रमविनिमेय है? (iii) क्या `**` साहचर्य है ? (iv) N में `**` का तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए। (v) N के कौन से अवयव `**` संक्रिया के लिए व्युत्क्रमणीय हैं ? |
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Answer» (i) `5**7=5` और `7` का `L.C.M.=35` `20**16=20`और `16` का `L.C.M.=80` (ii) माना `a,b in N` `:.a**b=a` और `b` का L.C.M. `=b`और a का L.C.M. `=b**a` `:.` संक्रिया `**` क्रमविनिमेय है । (iii) माना `a,b,c in N` `:.a**(b**c)` `=a**(b "और" c " का " L.C.M.)=a,b`और c का L.C.M. `=(a "और"b " का " L.C.M.)**c` `=(a**b)**c` `:.` संक्रिया `**` साहचर्य है । (iv) हम जानते हैं कि a और 1 का L.C.M.= 1 और a का L.C.M. = a `:. N` में संक्रिया `**` का तत्समक अवयव = 1 (v) माना `a in N` तथा `b in N` इस प्रकार है कि `:.a ** b=b**a=1` `rArr a` और `b`का L.C.M.=1 अतः N में संक्रिया `**`के सापेक्ष व्युत्क्रमणीय अवयव 1 है । |
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| 2. |
यदि `f:R rarr R` इस प्रकार परिभाषित है कि `f(x)=2x+5` तथा यह व्युत्क्रमणीय है, तो `f^(-1)(x)` है -A. `(x-5)/(2)`B. `(x-2)/(5)`C. `(x+5)/(2)`D. इनमें से कोई नहीं । |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 3. |
एक सम्बन्ध `R={(x,y):x,y in A " और" x lt y}` समुच्चय A={1,2,3,4,5} पर परिभाषित है, सम्बन्ध R है -A. स्वतुल्यB. सममितC. संक्रमकD. तुल्यता |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 4. |
यदि R और S समुच्चय A पर दो अरिक्त सम्बन्ध हैं, तो असत्य कथन है -A. R और S स्वतुल्य हैं, तो `RuuS` भी स्वतुल्य हैB. R और S सममित हैं, तो `RuuS` भी सममित हैC. R और S संक्रमक हैं, तो `RnnS` भी संक्रमक हैD. R और S संक्रमक हैं , तो `RuuS`भी संक्रमक है |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 5. |
यदि `f(x)=(x-1)/(x+1)`, तो `f(2x)` बराबर है -A. `(1+f(x))/(3+f(x))`B. `(1+3f(x))/(3+f(x))`C. `(3+f(x))/(1+f(x))`D. `(1+3f(x))/(3-f(x))` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 6. |
`f:R rarr R` एक फलन है जहाँ `f(x)=2x-3` है । ज्ञात कीजिए क्या f एकैकी है ? |
| Answer» Correct Answer - हाँ | |
| 7. |
फलन `f : R to {0,1}` इस प्रकार है `f(x) = {{:(,1,"If x is rational"),(,0, "If x is irrational"):}` तब निम्न में से कौन -सा कथन सत्य है -A. फलन एकेकी आच्छादक हैB. फलन बहूएकी आच्छादक हैC. फलन एकेकी अंत :क्षेपि हैD. फलन बहूएकी अंत :क्षेपि है |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 8. |
यदि `n(A)=10`, तो A से A पर विभिन्न फलनों की कुल संख्या होगी -A. `|_10`B. `10^(10)`C. `2^(10)`D. `2^(10)-1` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 9. |
यदि `n(A)=3` और `n(B)=4`, तो A से B पर एकैकी फलनों की संख्या है -A. 12B. 24C. 36D. इनमें से कोई नहीं । |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 10. |
यदि `f(x) = {{:(,1, "x Is a rational number"),(,0, "x Is an irrational number"):}` तब `(fof)(sqrt(3))` का मान है - |
| Answer» Correct Answer - bb | |
| 11. |
माना `f(x)=(x+1)^(2)-1,x ge -1` है । समुच्चय `S={x:f(x)=f^(-1)(x)}` है -A. `{0,-1,(-3pm I sqrt(3))/(2)}`B. {0,1,-1}C. {0,-1}D. { } |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 12. |
माना `f(x)=(ax+b)/(cx+d)`, तो `fof(x)=x` होगा , यदि -A. `a=b=c=d=1`B. `a=b=1`C. `a=d`D. `a=-d` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 13. |
यदि द्विआधारी संक्रिया `**` , प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N पर इस प्रकार परिभाषित है कि `a**b=a` और b का ल ० स० प० , तो `12**18` का मान है -A. 6B. 24C. 36D. इनमें से कोई नहीं । |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 14. |
माना N में एक द्विआधारी संक्रिया `**,a**b=a`और b का ल० स० प० द्वारा परिभाषित है । निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए - (i) `5**7, 20**16` (ii) क्या `**` संक्रिया , क्रमविनिमेय है ? (iii) क्या `**`साहचर्य है (iv) N में `**` का तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए । (v) N के कौन-से अवयव `**` संक्रिया के लिये व्युत्क्रमणीय हैं ? |
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Answer» `(i) 5 ** 7 = 35, 20**16=80 " " (ii)**` क्रमविनिमेय हैं । `" " (iii)**` साहचर्य है । (iv) 1 (v) 1 |
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| 15. |
यदि एक फलन `f : N to N,f(x)= x-1, x gt 2` द्वारा परिभाषित है तथा `f(1) = f(2)=1` है तो सही विकल्प होगा ।A. f एकेकी आच्छादक हैB. f बहूएक आच्छादक हैC. f एकेकी है परन्तु आच्छादक नहीं हैD. f बहूएक है परन्तु आच्छादक नहीं है |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 16. |
समुच्चय N में `R = {(x,y):x+2y=8}` द्वारा प्रदत्त सम्ब्न्ध R का परिसर निम्न में से कौन-सा है ?A. `{2,4,6}`B. `{2,4,6,8}`C. `{2,4,6}`D. `{1,2,3}` |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 17. |
समुच्चय `{1,2,3}` में `R= {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)}` द्वारा प्रदत्त सम्ब्न्ध -A. सममित हैB. स्वतुल्य हैC. सक्रामक हैD. तुच्छ है |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 18. |
यदि `R ={ (x,y): x,y in z,x^(2) + y^(2) le 4} ` द्वारा `z` पर परिभाषित एक सम्बन्ध है तो इसका प्रान्त निम्न में से कौन-सा है ? सही उत्तर चुनिए -A. {0,1,2}B. {2,4,6,8}C. `{0,pm, 1,pm 2}`D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 19. |
ज्ञात कीजिए की निम्नलिखित फलन किस प्रकार के हैं ? (i) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1), (e, 1)} (ii) {(3, 2), (6, 4), (9, 2), (12, 4)} (iii) {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4) }` |
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Answer» (i) प्रत्येक क्रमित युग्म का प्रथम अवयव, द्वितीय अवयव ( एक ही अवयव ) से सम्बन्धित है । अतः यह अचर फलन है । (ii) (3,2) और (9,2) क्रमित युग्मों में 3 और 9 एक ही अवयव 2 से सम्बन्धित हैं । अतः यह बहु-एकी फलन है । (iii) क्रमित यग्मों में एक अवयव केवल एक ही अवयव से सम्बन्धित है । अतः एक एकैकी फलन है । |
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| 20. |
जाँच कीजिए कि क्या R में `R={(a,b):ale b^(3)}`द्वारा परिभाषित सम्बन्ध स्वतुल्य , सममित अथवा संक्रमक है ? |
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Answer» `R = { (a,b) : a le b^(3)}` स्वतुल्य सम्बन्ध के लिये, `(x,x) in R cancelrArr x le x^(3)` (यदि `x=1/3`है ) `:.R`स्वतुल्य नहीं है । सममित सम्बन्ध के लिये, `(x,y) in R rArr x le y^(3)` `cancelrArr y le x^(3)` ( यदि `x=1` तथा `y=2` ) `cancelrArr (y,x) in R` `:. R`सममित नहीं है । संक्रमक के लिये, `x=3,y=3/2` तथा `z=6/5` तो `(x,y) in R ` तथा `(y,z) in R cancelrArr (x,z) in R` `:. R` संक्रमक नहीं है । अतः सम्बन्ध R न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न संक्रमक है । |
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| 21. |
मान लीजिए कि `f(x) = 3x` द्वारा परिभषित फलन `f : R to R ` है । तब fA. एकेकी आच्छादक हैB. बहूएक आच्छादक हैC. एकेकी है परन्तु आच्छादक नहीं है ।D. न तो एकेकी है और न आच्छादक है |
| Answer» Correct Answer - a | |
| 22. |
पूर्णांकों के समुच्चय I पर एक सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि - `._(a)R_(b) hArr (a-b), 6` से विभाज्य है जहाँ `a, b in I`, सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है । |
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Answer» (i) प्रत्येक `a in I` के लिये `a-a=0=0xx6` `rArr a-a,6` से विभाज्य है `rArr._(a)R_(a)`, सभी `a in I` के लिये अतः R स्वतुल्य है । (ii) माना `a,b in I` इस प्रकार है कि `._(a)R_(b)` `:.._(a)R_(b)rArra-b,6` से विभाज्य है । `rArr-(b-a),6` से विभाज्य है । `rArr(b-a),6` से विभाज्य है । `rArr._(b)R_(a)` अतः सम्बन्ध R सममित है । (iii) माना `a,b,c in I` इस प्रकार है कि `._(a)R_(b)` और `._(b)R_(c)` अब `._(a)R_(b)` और `._(b)R_(c)` `rArra-b,6` से विभाज्य है और `b-c,6` से विभाज्य है । `rArr[(a-b)+(b-c)],6` से विभाज्य है । `rArr(a-c),6`से विभाज्य है | `rArr._(a)R_(c)` अतः सम्बन्ध R संक्रमक है । इस प्रकार सम्बन्ध R स्वतुल्य , सममित और संक्रमक है । अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है । यही सिद्ध करना था । |
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| 23. |
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य , सममित तथा संक्रमक हैं (i) समुच्चय `A={1,2,3,..., 13,14}` में सम्बन्ध R , इस प्रकार परिभाषित है कि `R={(x,y):3x-y=0}` (ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में `R{(x,y):y=x+5 " तथा " x lt 4}` द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R. (iii) समुच्चय `A={1,2,3,4,5,6}` में R={(x,y):y भाज्य है x से } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है । (iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R={(x,y):x-y एक पूर्णांक है } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R . (v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित सम्बन्ध R (a) R={(x,y):x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं } (b) R={(x,y):x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं } (c) R={(x,y):x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है } (d) R={(x,y):x,y कि पत्नी है} (e) R={(x,y):x,y के पिता हैं } |
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Answer» (i) `A={1,2,3,...,13,14}` तथा `R={(x,y):3x-y=0}` स्वतुल्य के लिये `(x,x) in R AA x in A` परन्तु `3x-y=0rArry=3x` `:.(x,x)cancelin R` यदि `x=2in A` `rArr R` स्वतुल्य नहीं है । सममित के लिये,`(x,y) in R rArr(y,x) in R AA x, y in R` अब `(x,y) in R rArr 3x-y=0` `rArr 3y-x!=0` `rArr (y,x)cancelin R` `:.R` सममित नहीं है । उदाहरणार्थ `(1,3)in R` तथा `(3,1) cancelin R` संक्रमक के लिये `(x,y) in R, (y,z) in R rArr (x,z) in R` `:.(1,3)in R ` तथा `(3,9)in R cancelrArr(1,9) in R` `rArr R` संक्रमक नहीं है । `(ii) R={(x,y):y=x+5 "तथा " x lt 4}` तथा N प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है । `rArr R={(1,6),(2,7),(3,8)}` स्वतुल्य के लिये `(1,1)cancelin R` `rArr R` स्वतुल्य नहीं है । सममित के लिये,`(1,6) in R " " cancelrArr(6,1)in R` `rArr R` सममित नहीं है । संक्रमक के लिये,`(x,y) in R, (y,z) in R rArr (x,z) in R` कोई भी युग्म इस प्रतिबन्ध को संतुष्ट नहीं करता है । `:.R` संक्रमक नहीं है । `(iii) A = {1,2,3,4,5,6}` तथा `R={(x,y):y" भाज्य है" x " से"}` `rArrR={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}` प्रत्येक`x in A` के लिये `(x,x) in R` है । `:. R` स्वतुल्य है । प्रत्येक `x,y in R` के लिये, `(x,y) in R cancelrArr(y,x)in R` उदाहरणार्थ `(1,2)in R " " cancelrArr(2,1) in R` `:. R` सममित नहीं है । प्रत्येक `x, y, z in A ` के लिये, यदि `(x,y) in R, (y,z) in R` तो `(x,z) in R` है । `:.R` संक्रमक है । (iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में `R={(x,y):x-y "एक पूर्णांक है"}` स्वतुल्य के लिये `(x,x)in R rArr x-x`,एक पूर्णांक है । `rArr 0`, एक पूर्णांक है । जो सत्य है । `:.R` स्वतुल्य है । सममित के लिये`(x,y)in R rArr (x-y)` एक पूर्णांक है | `rArr (y-x)` एक पूर्णांक है । `rArr (y,x) in R` `:.R`सममित है । `:.` संक्रमक के लिये , `(x,y) in R` तथा `(y,z) in R` `rArr (x-y) ` तथा `(y-z)` एक पूर्णांक है । `rArr (x-y) + (y-z)` एक पूर्णांक है । `rArr (x-z)` एक पूर्णांक है ।`rArr(x,z) in R` `:. R` संक्रमक है । (v)(a) {(x,y : x और x एक ही स्थान पर कार्य करते हैं } यह सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रमक है । gt (b) R={(x,y) : x, और y एक ही मोहल्ले में रहते हैं } यह सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रमक है । (c) R ={(x,y):x,y से ठीक - ठीक 7 सेमी लम्बा है ।} `(x,x)cancelin R`क्योंकि x,x से 7 सेमी लम्बा नहीं हो सकता । `:. R ` स्वतुल्य नहीं है । `(x,y) in R rArr x,y ` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है । `cancel rArr y,x` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है । `rArr (y,x) in R ` `:. R` सममित नहीं है । `:.(x,y) in R` तथा `(y,z)in R rArr x, y` से तथा `y,z` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है । `cancelrArr x,z` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है । `cancelrArr (x,y) in R` `:.R` संक्रमक नहीं है । (d) R={(x,y): x,y कि पत्नी है } `(x,x) cancelin R` क्योंकि `x,x` कि पत्नी नहीं हो सकती है । `:.R` स्वतुल्य नहीं है । `(x,y) in R rArr x,y` कि पत्नी है । `cancelrArr y,x` कि पत्नी है । `cancelrArr (y,x) in R` `:. R` सममित नहीं है । `(x,y)in R`तो `(y,z)cancelin R` क्योंकि यदि `x,y` कि पत्नी है तो `y` पुरुष है । `:.`R संक्रमक नहीं है (e) R={(x,y): x,y के पिता हैं } `(x,x)cancel R`क्योंकि `x,x` का पिता नहीं हो सकता है । `:.R` स्वतुल्य नहीं है । `(x,y) in R rArr x,y` के पिता हैं । `cancelrArr y,x` के पिता हैं । `cancel rArr (y,x) in R` `:.R` सममित नहीं है । `(x,y) in R` तथा `(y,z) in R rArr x,y`के तथा `y,z` के पिता है । `cancelrArr x,z` के पिता है । `cancelrArr(x,z) in R` `:. R` संक्रामक नहीं है । |
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| 24. |
माना N धन पूर्णांकों का समुच्चय है । यदि कोई सम्बन्ध `R, NxxN` पर इस प्रकार परिभाषित है कि `(a, b) R (c,d) hArr a +d = b+c` जहाँ `(a, b), (c, d) in N xx N` तो सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है । |
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Answer» (i) माना, `(a,b)in N xx N` हम जानते हैं कि `a+b=b+arArr._((a","b))R_((a","b))` `rArrR` स्वतुल्य है । (ii) माना `(a,b),(c,d)in N xx N` और `._((a","b))R_((c","d))` `rArra+b=b+crArrb+c=a+d` `rArrc+b=d+arArr._((c","d))R_((a","b))` `:.R` सममित है । (iii) माना `(a,b),(c,d),(e,f)in N xxN` और `._((a","b))R_((c","d))` और `._((c","d))R_((e","f))` `rArra+d=b+c" और " c+f=d+e` `rArr a+d+c+f=b+c+d+e` `rArra+f=b+erArr ._((a","b))R_((e","f))` `rArr R ` संक्रमक है । इस प्रकार R स्वतुल्य, सममित और संक्रमक है । अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है । `" "` यही सिद्ध करना था । |
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| 25. |
यदि सम्बन्ध `R` इस प्रकार है कि `R={(4,5),(1,4),(4,6),(7,6),(3,7)}`, तो निम्नलिखित सम्बन्ध ज्ञात कीजिए - `(a) R o R` `(b)R^(-1) o R` |
| Answer» (a) `{(1,5), (1,6),(3, 6)} " " (b) {(1,1),(3,3),(4,4),(4,7),(7,4),(7,7)}` | |
| 26. |
फलन f और g निम्नवतृ दिय जाते है - `f={1,2),(3,5),(4,1)}` और ` g = {(2,3),(5,1),(1,3)}` तब `(gof)(4)` का मान है ।A. 1B. 2C. 3D. 4 |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 27. |
मान लीजिए कि `f:{1,3,4}rarr{1,2,5}` तथा `g:{1,2,5}rarr {1,3},f={(1,2),(3,5),(4,1)}` तथा `g={(1,3),(2,3),(5,1)}` द्वारा प्रदत्त हैं । gof ज्ञात कीजिए । |
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Answer» `f:{1,3,4}rarr{1,2,5}` तथा `g:{1,2,5} rarr {1,3}` और `f={(1,2),(3,5),(4,1)}` `:.(gof)(1)=g{f(1)}=g(2)=3` `(gof)(3)=g{f(3)}=g(5)=1` `(gof)(4)=g{f(4)}=g(1)=3` `:.gof={(1,3),(3,1),(4,3)}` तथा |
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| 28. |
यदि `A={1, 2, 3, 5},B={2, 4, 6, 8}` और `C={4, 16, 36, 39}` तीन समुच्चय है तथा R, A से B में एवं S, B से C में दो सम्बन्ध इस प्रकार हैं कि `._(a)R_(b)hArrb=2a` जहाँ `a inA, b in B` `._(b)S_(c)hArr c=b^(2)` जहाँ `b in B, c in C` `:. SoR` ज्ञात कीजिए । |
| Answer» `[(1,4),(2,16),(3,36)}`. | |
| 29. |
`a**b=a^(3)+b^(3)` प्रकार से परिभाषित N में के द्विआधारी संक्रिया `**` पर विचार कीजिए । अब निम्नलिखित में से सही उत्तर का चयन कीजिए : (a) `**` साहचर्य तथा क्रमविनिमेय दोनों है (b) `**`क्रमविनिमेय है किन्तु साहचर्य नहीं है (c) `**` साहचर्य है किन्तु क्रमविनिमेय नहीं है (d) `**`न तो क्रमविनिमेय है और न साहचर्य है |
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Answer» N में, `a**b=a^(3)+b^(3)` माना `a, b in N` `:.a**b=a^(3)+b^(3)` `=b^(3)+a^(3)=b**a` `:.` संक्रिया `**` क्रमविनिमेय है । पुनः माना `a,b,c in N` `:.a**(b**c)=a(b^(3)+c^(3))^(3)` तथा `(a**b)**c=(a^(3)+b^(3))**c` `=(a^(3)+b^(3))^(3)+c^(3)` `:. a**(b**c)!=(a**b)**c` `rArr` संक्रिया `**`साहचर्य नहीं है । |
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| 30. |
सिद्ध कीजिए कि `f(x)=x^(3)` द्वारा प्रदत्त फलन `f:R rarr R` एकैक (Injective) है । |
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Answer» `f:R rarr R` तथा `f(x)=x^(3)` माना `x,y in R` तथा `f(x)=f(y)` `rArr x^(3)=y^(3)` `rArr x=y` `:.f` एकैकी है । `" "` यही सिद्ध करना था । |
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| 31. |
मान लीजिए कि `f:R rarr R, f(x)=10x+7` द्वारा परिभाषित फलन है । एक ऐसा फलन `g:R rarr R` ज्ञात कीजिए जिसके लिए `gof=fog=I_(R)` हो । |
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Answer» `f:R rarr R` में , `f(x)=10x+7` माना `x,y in R` तथा `f(x)=f(y)` `rArr 10x+7=10y+7` `rArr10x=10y` `rArrx=y` `:.f` एकैकी है । पुनः माना `f(x)=y` जहाँ `y in R` `rArr10x+7=y rArr x=(y-7)/(10) in R` `:.f` आच्छादक है । अब माना `g:R rarr R,g(y)=(y-7)/(10)` से परिभाषित है । `:.(gof)(x)=g[f(x)]=g(10x+7)` `=((10x+7)-7)/(10)=(10x)/(10)=x` तथा `(fog)(y)=f[g(y)]=f((y-7)/(10))` `=10((y-7)/(10))+7=y` `:.gof=I_(R)`तथा `fog=I_(R)` `:.g:R rarr R,g(y)=(y-7)/(10)`द्वारा परिभाषित है । |
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| 32. |
gof तथा fog ज्ञात कीजिए , यदि (i) `f(x)=|x|` तथा `g(x)=|5x-2|` (ii) `f(x)=8x^(3)` तथा `g(x)=x^(1//3)` |
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Answer» (i) `f(x)=|x|` तथा `g(x)=|5x-2|` `:.(gof)(x)=g{f(x)}=g{|x|}=|5|x|-2|` तथा `(fog)(x)=f{g(x)}=f{|5x-2|}` `=||5x-2||=|5x-2|` (ii) `f(x)=8x^(3)` तथा `g(x)=x^(1//3)` `(gof)(x)=g{f(x)}=g(8x^(3))=g(8x^(3))^(1//3)=2x` तथा `(fog)(x)=f{g(x)}=f(x^(1//3))=8(x^(3))^(1//3)=8x` |
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| 33. |
यदि X={1,2,3,4,5} और Y={1,3,5,7,9} तो ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित फलन किस प्रकार के हैं ? (i) {(1,1),(2,1),(3,3),(4,3),(5,5)} (ii) {(1,3),(2,5),(4,7),(5,9),(3,1)} |
| Answer» (i) बहु-एकी अन्तःक्षेपी (ii) एकैकी आच्छादक | |
| 34. |
यदि A = { 1, 2,3} हो तो अवयव (1,2) वाले तुल्यता सम्बन्धों की संख्या है :A. 1B. 2C. 3D. 4 |
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Answer» Correct Answer - B `A={1,2,3}` (1,2) को समाहित करने वाला तुल्यता सम्बन्ध `R_(1)={(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),(1,2)}` तथा `R_(2)={(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),(1,2),(3,1),(1,3)}` |
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| 35. |
समुच्चय {a,b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है :A. 10B. 16C. 20D. 8 |
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Answer» Correct Answer - B समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या `=2^(4)=16` |
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| 36. |
यदि परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q तथा फलन `f:Q rarr Q` सम्बन्ध `f(x)=5x-4,x in Q` से परिभाषित है, तो सिद्ध कीजिए कि f एकैकी और आच्छादक फलन है । `f^(-1)` को भी परिभाषित कीजिए । |
| Answer» `f^(-1):Q rarr Q, f^(-1)(y)=(y+4)/(5)` | |
| 37. |
सिद्ध कीजिए कि `f:R rarr {x in R : -1 lt x lt 1}` जहाँ `f(x)=(x)/(1+|x|),x in R`द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है । |
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Answer» `f:R rarr R` तथा `f(x)=(x)/(1+|x|)` माना `x,y in R`तथा `f(x)=f(y)` `rArr (x)/(1+|x|)=(y)/(1+|y|)` यदि x धनात्मक और y ऋणात्मक है तो `x gt y rArr x-y gt 0` तथा `2xy lt 0` `:.(x)/(1+x)=(y)/(1-y)` `rArr y+xy=x-xy` `rArr 2xy=x-y` जो असम्भव है । इसी प्रकार `x` ऋणात्मक तथा `y` धनात्मक नहीं हो सकता । यदि `x` और `y` दोनों धनात्मक है तो `f(x)=f(y) rArr (x)/(1+x)=(y)/(1+y)` `rArr x+xy=y+xy` `rArr x=y` यदि x और y दोनों ऋणात्मक है तो `f(x)=f(y) rArr (x)/(1-x)=(y)/(1-y)` `rArrx-xy=y-xy` `rArrx=y` अतः f एकैकी है । माना `y in R`इस प्रकार है कि `-1 lt y lt 1` यदि y ऋणात्मक है तो `x=(y)/(1+y)in R` इस प्रकार है कि `f(x)=f((y)/(1+y))=((y)/(1+y))/(1+|(y)/(1+y)|)=((y)/(1+y))/(1-(y)/(1+y))=y` यदि y धनात्मक है तो `x=(y)/(1-y)in R `इस प्रकार है कि `f(x)=f((y)/(1-y))=((y)/(1-y))/(1+((y)/(1-y)))=((y)/(1-y))/(1+(y)/(1-y))=y` `:.` फलन f आच्छादक है । अतः f एकैकी आच्छादक है । `" "`यही सिद्ध करना था । |
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| 38. |
सिद्ध कीजिए कि `f(x)=|x|`, द्वारा प्रदत्त मापांक फलन `f:R rarr R` न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ |x| बराबर x, यदि x धन या शून्य है तथा |x| बराबर -x, यदि x ऋण है । |
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Answer» `f:R rarr R` तथा `f(x)=|x|` माना `x,y in R` तथा `f(x)=f(y)` `rArr f(x)=f(y)` `rArr |x|=|y|` `rArr x=pm y` `:.f` एकैकी नहीं है । पुनः `-1 in R` तथा इसके संगत कोई अवयव `x,R` में नहीं है जिसके लिये `f(x)=-1` है । `:.f` आच्छादक नहीं है । अतः f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है । `" "` यही सिद्ध करना था । |
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| 39. |
मान लीजिए कि A = R - {3} तथा B = R - {1} हैं । `f(x)=((x-2)/(x-3))` द्वारा परिभाषित फलन `f:A rarr B` पर विचार कीजिए । क्या f एकैकी तथा आच्छादक है ? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए । |
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Answer» यहाँ `A=R-{3},B=R-{1}` अब `f:A rarr B` में, `f(x)=(x-2)/(x-3)` माना `x,y in A`तथा `f(x)=f(y)` `rArr (x-2)/(x-3)=(y-2)/(y-3)` `rArr (x-2)(y-3)=(x-3)(y-2)` `rArr xy-3x-2y+6=xy-2x-3y+6` `rArr x=y` `:.f` एकैकी है । `rArr` पुनः माना `f(x)=y` जहाँ `y in B (y!=1)` `rArr (x-2)/(x-3)=y` `rArr x-2=xy-3y` `rArr x(1-y)=2-3y` `rArr x=(2-3y)/(1-y) in A` अब `f(x)=f((2-3y)/(1-y))=((2-3y)/(1-y)-2)/((2-3y)/(1-y)-3)` `=(2-3y-2+2y)/(2-3y-3+3y)=y` `:.f` आच्छादक है । अतः f एकैकी आच्छादक फलन है । |
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| 40. |
मान लीजिए कि `f:R rarr R` है तब निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित चिह्न फलन (Signum Function ) है : `f(x)={:{(1",",x gt 0),(0",",x=0),(-1",",x lt 0):}` तथा `g:R rarr R, g(x)=[x]`,द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन है, जहाँ [x], x से कम या x के बराबर पूर्णांक है, तो क्या fog तथा gof अंतराल [0, 1] में संपाती [ coincide]हैं ? |
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Answer» `f:(R rarrR)` में, `f(x)={:{(1",",x gt0),(0",",x=0),(-1",",xlt0):}` तथा `g:R rarr R` में, `g(x)=[x]` माना `x in [0,1]` तो `[x]={:{(1,"यदि "x=1),(0," यदि "0lt x lt 1):}` `:.(fog)(x)=f{g(x)}=f{[x]}` `={:{(f(1)",","यदि " x=1),(f(0)",", " यदि " 0 lt x lt 1):}` `={(1",", "यदि " x=1),(0",", "यदि " 0 lt x lt 1):}` तथा `(gof)(x)=g[f(x)]=g(1)=[1]=1` अतः `(fog)(1)!=(gof)(1)` `rArr gof` और `fog, [0,1]`में संपाती नहीं है । |
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| 41. |
मान लीजिए कि `A={-1,0,1,2},B={-4,-2,0,2}` और `f,g:A rarr B`, क्रमशः `f(x)=x^(2)-x, x in A` तथा `g(x)=2|x-(1)/(2)|-1, x in A` द्वारा परिभाषित फलन हैं । क्या f तथा g समान हैं ? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए । (संकेत : नोट कीजिए कि दो फलन `f:A rarr B` तथा `g:A rarr B` समान कहलाते हैं यदि `f(a)=g(a) AA a in A` हो । ) |
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Answer» यहाँ `A={-1,0,1,2}` तथा `B={-4,-2,0,2}` `f,g:A rarr B` में `f(x)=x^(2)-x` तथा `g(x)=2|x-(1)/(2)|-1,x in A` अब `f(-1)=(-1)^(2)-(-1)=1+1=2` तथा `g(-1)=2|-1-(1)/(2)|-1=3-1=2` `:.f(-1)=g(-1)` `f(0)=0^(2)-0=0` तथा `g(0)=2|0-(1)/(2)|-1=1-1=0` `:.f(0)=g(0)` `f(1)=1^(2)-1=1-1=0` तथा `g(1)=2|1-(1)/(2)|-1=2(1/2)-1=0` `:.f(1)=g(1)` `f(2)=2^(2)-2=4-2=2` तथा `g(2)=|2-(1)/(2)|-1=3-1=2` `:.f(2)=g(2)` अतः `AA a in A`, `f(a)=g(a)` `rArr f` और g समान हैं । |
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| 42. |
फलन `f:R rarr R` और `g:R rarr R` निम्न प्रकार परिभाषित है - `f(x)=sin x` और `g(x)=e^(x) (gof) (x)` और (fog) (x)ज्ञात कीजिए । |
| Answer» `(gof)(x)=e^(sin x),(fog)(x)=sin e^(x)` | |
| 43. |
फलन f निम्न प्रकार परिभाषित है - `{:{(1",",x gt 0),(0",",x=0),(-1",",x lt 0):}` f का परिसर है -A. {1,0}B. {0,-1}C. {1,-1}D. {1,0,-1} |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 44. |
यदि `f:R rarr R` एक फलन है जो `f(x)=3x+7` द्वारा परिभाषित है, तो `f^(-1)(-2)`ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - `{-3}` | |
| 45. |
यदि फलन `f:A rarr B` एकैकी आच्छादक तथा `g:B rarr A`, फलन f का व्युत्क्रम है, तो fog बराबर है -A. fB. gC. `I_(A)`D. `I_(B)` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 46. |
यदि `f:NN rarr NN` इस प्रकार परिभाषित है कि `f(n)={:{((n+1)/(2) ,n" "is" "odd ),((n)/(2), n" "is" "even ):}` तो फलन `f` है -A. एकैकी अन्तःक्षेपीB. एकैकी आच्छादकC. बहुएकी अन्तःक्षेपीD. बहुएकी आच्छादक |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 47. |
यदि `f(x)=(ax^(2)+b)^(3)` तथा `f{g(x)}=g{f(x)}`, तो फलन g(x) है -A. `((x^(1//3)-b)/(a))^(1//2)`B. `(1)/((ax^(2)+b)^(3))`C. `(1)/((ax^(2)+b)^(1//3))`D. इनमें से कोई नहीं । |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 48. |
समुच्चय {1,2,3,....,n} से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों कि संख्या ज्ञात कीजिए । |
| Answer» समुच्चय {1,2,3,....n} से स्वयं तक कि समस्त आच्छादक फलनों की संख्या 1,2,3 ......n के कुल क्रमचयों `.^(n)P_(n)=lfloorn ` के बराबर होगी । | |
| 49. |
यदि `A={x,y,z}` और `B={1,2,3}` तथा `R={(x,2), (y,3), (z,1), (z,2)}` हो, तो `R^(-1)` ज्ञात कीजिए । |
| Answer» `R^(-1)={(2,x),(3,y),(1,z),(2,z)}` | |
| 50. |
यदि `A = { a, b, c, d}`, तो A पर (i) तत्समक सम्बन्ध `I_(A)` लिखिए । (ii) एक रेखा सम्बन्ध लिखिए जो स्वतुल्य है परन्तु तत्समक सम्बन्ध नहीं है । |
| Answer» (i) `{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)} " " (ii) {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(b,d)}` | |