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51.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए । `x^(y)+y^(x)=1`

Answer» `x^(y)+y^(x)=1`
`rArr" "u+v=1" जहाँ " u=x^(y) " तथा "v=y^(x)`
`rArr" "(du)/(dx)+(dv)/(dx)=0" …(1)"`
अब `u=x^(y)`
`rArr" "logu=log(x^(y))=y log x`
`rArr" "(1)/(u)(du)/(dx)=y.(d)/(dx)logx+logx.(d)/(dx)y`
`rArr (du)/(dx)=u[(y)/(x)+logx(dy)/(dx)]`
`=x^(y)[(y)/(x)+logx(dy)/(dx)]=y.x^(y-1)+x^(y)logx(dy)/(dx)`
तथा `v=y^(x)`
`rArr" "log v=logy^(x)=x log y`
`rArr" "(1)/(v) (dv)/(dx)=x(d)/(dx)logy+logy.(d)/(dx)x`
`rArr" "(dv)/(dx)=v[(x)/(y)(dy)/(dx)+logy.1]`
`=y^(x)[(x)/(y)(dy)/(dx)+logy]`
`=x.y^(x-1)(dy)/(dx)+y^(x)logy`
समीकरण (1 ) से
`y.x^(y-1)+x^(y)log x(dy)/(dx)+x.y^(x-1)(dy)/(dx)+y^(x)logy=0`
`rArr" "(dy)/(dx)(x^(y)logx+x.y^(x-1))`
`=-(yx^(y-1)+y^(x)logy)`
`rArr" "(dy)/(dx)=-(y.x^(y-1)+y^(x)logy)/(x^(y)logx+x.y^(x-1))`
Discussion
52.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए : `x^(2)+xy+y^(2)=100`

Answer» `x^(2)+xy+y^(2)=100`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`2x+(x(dy)/(dx)+y.1)+2y(dy)/(dx)=0`
`rArr" "(x+2y)(dy)/(dx)=-(2x+y)`
`rArr" "(dy)/(dx)=-(2x+y)/(x+2y)`
Discussion
53.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए| `x.cosx`

Answer» माना `y=x.cosx`
`rArr" "(dy)/(dx)=(d)/(dx)(x cosx)`
`" "=cosx.1+x(-sinx)=cosx-x sinx`
`rArr" "(d^(2)y)/(dx^(2))=(d)/(dx)cosx-(d)/(dx)(x sinx)`
`" "=-sinx-(x cosx+sinx.1)`
`" "=-x cosx-2 sinx`
Discussion
54.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए । `y^(x)=x^(y)`

Answer» `y^(x)=x^(y)`
`rArr" "log(y^(x))=log(x^(y))`
`rArr" "xlogy=ylogx`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`x.(d)/(dx)logy+logy.(d)/(dx)x`
`y.(d)/(dx)logx+logx.(d)/(dx)y`
`rArr" "(x)/(y)(dy)/(dx)+logy.1=(y)/(x)+logx(dy)/(dx)`
`rArr" "((x)/(y)-logx)(dy)/(dx)=(y)/(x)+logx(dy)/(dx)`
`rArr" "(x-ylogx)/(y)(dy)/(dx)=(y-xlogy)/(x)`
`rArr" "(dy)/(dx)=(y)/(x).(y-xlogy)/(x-ylogx)`
Discussion
55.

`(sinx)^(x)+sin^(-1)sqrtx`

Answer» माना `y=(sinx)^(x)+sin^(-1)sqrtx`
माना `u=(sinx)^(x)` तथा `v=sin^(-1)sqrtx`
`therefore" "y=u+v`
`rArr" "(dy)/(dx)=(du)/(dx)+(dv)/(dx)" …(1)"`
अब `u(sinx)^(x)`
`rArr" "logu=log(sinx)^(x)=xlog sin x`
`rArr" "(1)/(u)(du)/(dx)=x(d)/(dx)logsinx+log sin x(d)/(dx)x`
`rArr" "(du)/(dx)=u[x.(cosx)/(sinx)+log sinx.1]`
`rArr" "(du)/(dx)=(sinx)^(x)[x cot x+log sin x]`
तथा `v=sin^(-1)sqrtx`
`rArr" "(dv)/(dx)=(d)/(dx)sin^(-1)sqrtx`
`=(1)/(sqrt(1-(sqrtx))^(2))(d)/(dx)sqrtx=(1)/(2sqrtx(1-x))`
समीकरण (1 ) से `(dy)/(dx)=(sinx)^(x)[x cot x+log sin x]+(1)/(2sqrtx(1-x))`
Discussion
56.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए । `xy=e^((x-y))`

Answer» `xy=e^(x-y)" …(1)"`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`x(dy)/(dx)+y.1=(d)/(dx)e^((x-y))`
`rArr" "x(dy)/(dx)+y=e^((x-y)).(d)/(dx)(x-y)`
`rArr" "x(dy)/(dx)+y=xy(1-(dy)/(dx))" "` समीकरण (1 ) से
`rArr" "x(dy)/(dx)+xy(dy)/(dx)=xy-y`
` rArr" "(dy)/(dx)=(y(x-1))/(x(1+y))`
Discussion
57.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए । `(cosx)^(y)=(cosy)^(x)`

Answer» `(cosx)^(y)=(cosy)^(x)`
`rArr" "log(cosx)^(y)=log(cosy)^(x)`
`rArr" "ylog cos x=x log cos y`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`y.(d)/(dx)log cos x+log cos x (d)/(dx)y`
`=x(d)/(dx)log cos y+log cos y (d)/(dx)x`
`rArr" "y.((-sinx))/(cosx)+log cos x. (dy)/(dx)`
`=(x(-siny))/(cosy)(dy)/(dx)+log cos y.1`
`rArr" "-y tan x+log cos x(dy)/(dx)`
`=-x tany (dy)/(dx)+log cos y`
`rArr" "(log cos x+x tany)(dy)/(dx)=log cos y+y tanx`
`rArr" "(dy)/(dx)=(logcos y+y tanx)/(log cos x+x tany)`
Discussion
58.

`x^(8)` का `x^(4)` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `2x^(4)`
Discussion
59.

dy/dxज्ञात कीजिए y=`cot^(-1)[(sqrt(1+sinx)+sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx)-sqrt(1-sinx))]`

Answer» माना `y=cot^(-1)[(sqrt(1+sinx)+sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx)-sqrt(1-sinx))]`
अब `" "sqrt(1+sinx)=sqrt(sin^(2).(x)/(2)cos^(2).(x)/(2)+2sin.(x)/(2)cos.(x)/(2))`
`" "=sqrt((sin.(x)/(2)+cos.(x)/(2))^(2))=sin.(x)/(2)+cos.(x)/(2)`
`sqrt(1-sinx)=sqrt(sin^(2).(x)/(2)+cos^(2).(x)/(2)-2sin.(x)/(2)cos.(x)/(2))`
तथा `" "=sqrt((cos.(x)/(2)-sin.(x)/(2))^(2))=cos.(x)/(2)-sin.(x)/(2)`
`" "(because 0 lt xlt (pi)/(2))`
`therefore" "y=cot^(-1)[((sin.(x)/(2)+cos.(x)/(2))+(cos.(x)/(2)-sin.(x)/(2)))/((sin.(x)/(2)+cos.(x)/(2))-(cos.(x)/(2)-sin.(x)/(2)))]`
`=cot^(-1)((2cos.(x)/(2))/(2sin.(x)/(2)))=cot^(-1)(cot.(x)/(2))=(x)/(2)`
`rArr" "(dy)/(dx)=(d)/(dx)((x)/(2))=(1)/(2)`
Discussion
60.

`cos(sqrtx)`

Answer» माना `y=cos(sqrtx)`
`rArr (dy)/(dx)=(d)/(dx)cos (sqrtx)`
`=-sin(sqrtx).(d)/(dx)sqrtx=-(sin (sqrtx))/(2sqrtx)`
Discussion
61.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए । `(cosx)^(y)=(cosy)^(x)`

Answer» `(cosx)^(y)=(cosy)^(x)`
`rArr" "log(cosx)^(y)=log(cosy)^(x)`
`rArr" "ylog cos x=x log cos y`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`y.(d)/(dx)log cos x+log cos x (d)/(dx)y`
`=x(d)/(dx)log cos y+log cos y (d)/(dx)x`
`rArr" "y.((-sinx))/(cosx)+log cos x. (dy)/(dx)`
`=(x(-siny))/(cosy)(dy)/(dx)+log cos y.1`
`rArr" "-y tan x+log cos x(dy)/(dx)`
`=-x tany (dy)/(dx)+log cos y`
`rArr" "(log cos x+x tany)(dy)/(dx)=log cos y+y tanx`
`rArr" "(dy)/(dx)=(logcos y+y tanx)/(log cos x+x tany)`
Discussion
62.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए : `xy+y^(2)=tanx+y`

Answer» `xy+y^(2)=tanx+y`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`(x(dy)/(dx)+y.1)+2y(dy)/(dx)=sec^(2)x+(dy)/(dx)`
`rArr" "(dy)/(dx)(x+2y-1)=sec^(2)x-y`
`rArr" "(dy)/(dx)=(sec^(2)x-y)/(x+2y-1)`
Discussion
63.

`e^(x)` का `sqrtx` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `2sqrtx.e^(x)`
Discussion
64.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए : `2x+3y=sinx`

Answer» `2x+3y=sinx`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`2+3(dy)/(dx)=cosx`
`rArr" "3(dy)/(dx)=cos x-2" "rArr (dy)/(dx)=(cos x-2)/(3)`
Discussion
65.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए : `ax+by^(2)=cosy`

Answer» `ax+by^(2)cosy`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`a+2by(dy)/(dx)=-siny(dy)/(dx)`
`rArr (2by+siny)(dy)/(dx)=-a rArr (dy)/(dx)=(-a)/(2by+sin y)`
Discussion
66.

`x^(3).e^(6x)` का x सापेक्ष द्वितीय अवकलन ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `y=x^(3).e^(6x)`
`rArr" "(dy)/(dx)=(d)/(dx)(x^(3).e^(6x))`
`" "x^(3).(d)/(dx)e^(6x)+e^(6x).(d)/(dx)x^(3)`
`" "=x^(3).6e^(6x)+e^(6x).3x^(2)`
`" "=6.x^(3).e^(6x)+3.x^(2).e^(6x)`
`rArr" "(d^(2)y)/(dx^(2))=6.(d)/(dx)(x^(3).e^(6x))+3.(d)/(dx)(x^(2).e^(6x))`
`" "=6[x^(3).6.e^(6x)+e^(6x).3x^(2)]+3[x^(2).6.e^(6x)+e^(6x).2x]`
`" "=e^(6x)[36x^(3)+18x^(2)+18x^(2)+6x]`
`" "6x.e^(6x)(6x^(2)+6x+1)`
Discussion
67.

`x sin^(-1)x` का `cos^(-1)x` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए ।

Answer» `-(x+sqrt(1-x^(4))sin^(-1)x)`
Discussion
68.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए : `2x+3y=siny`

Answer» `2x+3y=siny`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`2+3(dy)/(dx)=cosy(dy)/(dx)`
`rArr 2=(cosy-3)(dy)/(dx) rArr (dy)/(dx) rArr (dy)/(dx)=(2)/(cosy-3)`
Discussion
69.

`log(tanx)` का `tanx` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `cotx`
Discussion
70.

`tanx^(@)` का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।

Answer» माना `y=tanx^(@)`
हम जानते हैं कि `180^(@)=pi^(c)`
`rArr" "x^(@)=((pix)/(180))^(c)`
अब `" "y=tan x^(@)=tan((pix)/(180))`
`rArr" "(dy)/(dx)=(d)/(dx)tan((pix)/(180))`
`=sec^(2)((pix)/(180)).(d)/(dx)((pix)/(180))`
`=(pi)/(180).sec^(2)((pix)/(180))`
Discussion
71.

`x^(7)` का `x^(2)` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कजिए ।

Answer» माना `y_(1)=x^(7)` और `y_(2)=x^(2)`
`therefore" "(dy_(1))/(dx)=(d)/(dx)x^(7)=7x^(6)`
और `" "(dy_(2))/(dx)=(d)/(dx)(x^(2))=2x`
अब `" "(dy_(1))/(dy_(2))=(dy_(1)//dx)/(dy_(2)//dx)=(7x^(6))/(2x)=(7)/(2)x^(5)`.
Discussion
72.

`tan^(-1)((2x)/(1-x^(2)))` का `cos^(-1)((1-x^(2))/(1+x^(2)))` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कजिए ।

Answer» माना `y_(1)=tan^(-1).(2x)/(1-x^(2))`
`=2tan^(-1)x`
`rArr" "(dy_(1))/(dx)=2.(d)/(dx)tan^(-1)x=(2)/(1+x^(2))`
माना `y_(2)=cos^(-1)((1-x^(2))/(1+x^(2)))`
माना `x=tan theta`
`therefore" "y_(2)=cos^(-1)((1-tan^(2)theta)/(1+tan^(2)theta))`
`=cos^(-1)(cos2 theta)=2 theta=2tan^(-1)x`
`rArr" "(dy_(2))/(dx)=2(d)/(dx).tan^(-1)x=(2)/(1+x^(2))`
अब `" "(dy_(1))/(dy_(2))=(dy_(1)//dx)/(dy_(2)//dx)=(2//(1+x^(2)))/(2//(1+x^(2)))=1`
Discussion
73.

निम्नलिखित फलनों से `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `(cosx)^(y)=(siny)^(x)`

Answer» `(log siny+y tanx)/(log cos x-x cot y)`
Discussion
74.

`e^(tanx)` का `sinx` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कजिए ।

Answer» माना `y_(1)=e^(tanx)` और `y_(2)sinx`
`therefore" "(dy_(1))/(dx)=(d)/(dx)e^(tanx)`
`=e^(tanx).(d)/(dx)tanx=e^(tanx).sec^(2)x`
और `" "(dy_(2))/(dx)=(d)/(dx)sinx=cosx`
अब `" "(dy_(1))/(dy_(2))=(dy_(1)//dx)/(dy_(2)//dx)`
`=(e^(tanx).sec^(2)x)/(cosx)=e^(tanx).sec^(3)x`
Discussion
75.

निम्नलिखित फलनों से `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `y=x^(sinx)+a^(sinx)`

Answer» `x^(sinx)[(sinx)/(x)+cosx.logx]+a^(sinx)loga.cosx`
Discussion
76.

निम्नलिखित फलनों से `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `y=(log_(e)x)^(sinx)`

Answer» `(log_(e)x)^(sinx)[(sinx)/(xlog_(e)x)+cosx.log_(e)(log_(e)x)]`
Discussion
77.

निम्नलिखित फलनों से `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `y=x^(tanx)`

Answer» `x^(tanx).((tanx)/(x)+logx.sec^(2)x)`
Discussion
78.

निम्नलिखित फलनों से `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `y=(sinx)^(logx)`

Answer» `(sinx)^(logx)[logx.cotx+(1)/(x)log sinx]`
Discussion
79.

निम्नलिखित फलनों से `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `y=(1+x)^(x)`

Answer» `(1+x)^(x).[(x)/(1+x)+log(1+x)]`
Discussion
80.

निम्नलिखित फलनों से `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `y=(sinx)^(cosx)+(cosx)^(sinx)`

Answer» `(sinx)^(cosx)[cotx.cosx-sinx log(sinx)]+(cosx)^(sinx)[cosx.log(cosx)-sinx.tanx]`
Discussion
81.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `sqrt(secx)`

Answer» `(1)/(2)sqrt(secx).tanx`
Discussion
82.

यदि `y=secx+tanx` तो सिद्ध कीजिए कि `(d^(2)y)/(dx^(2))=(cosx)/((1-sinx)^(2))`.

Answer» `y=secx+tanx`
`=(1)/(cosx)+(sinx)/(cosx)=(1+sinx)/(cosx)`
`rArr" "(dy)/(dx)=(d)/(dx)((1+sinx)/(cosx))`
`" "=(cosx.(d)/(dx)(1+sinx)-(1+sinx)(d)/(dx)cosx)/(cos^(2)x)`
`" "=(cosx.cosx+(1+sinx).sinx)/(cos^(2)x)`
`" "=(cos^(2)x+sinx+sin^(2)x)/(cos^(2)x)`
`" "=(1+sinx)/(1-sin^(2)x)=(1)/(1-sinx)`
`rArr" "(d^(2)y)/(dx^(2))=(d)/(dx)((1)/(1-sinx))`
`" "=((1-sinx).(d)/(dx)(1)-1(d)/(dx)(1-sinx))/((1-sinx)^(2))`
`" "=(0+cosx)/((1-sinx)^(2))=(cosx)/((1-sinx)^(2))` यही सिद्ध करना था ।
Discussion
83.

निम्नलिखित फलनों से `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `y=e^(sinx)+(tanx)^(x)`

Answer» `e^(sinx).cosx+(tanx)^(x)[log(tanx)+2x."cosec"2x]`
Discussion
84.

निम्नलिखित फलनों से `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `(tanx)^(y)=(tany)^(x)`

Answer» `(log tany-2y "cosec "2x)/(log tan x-2y "cosec "2y)`
Discussion
85.

निम्नलिखित फलनों से `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `y=(sinx)^(tanx)+(cosx)^(secx)`

Answer» `(sinx)^(tanx)[1+log(sinx).sec^(2)x]+(cosx)^(secx).secx tanx[log(cosx)-1]`
Discussion
86.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `cosx^(@)`

Answer» `-(pi)/(180)sin((pix)/(180))`
Discussion
87.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `sinx^(@)`

Answer» `(pi)/(180)cos((pix)/(180))`
Discussion
88.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `cos(x^(4))`

Answer» Correct Answer - `-4x^(3)sin(x^(4))`
Discussion
89.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `log(x^(2)+3)`

Answer» Correct Answer - `(2x)/(x^(2)+3)`
Discussion
90.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `tan(x^(2))`

Answer» Correct Answer - `2x.sec^(2)(x^(2))`
Discussion
91.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `e^((x^(2)+1))`

Answer» Correct Answer - `2x.e^(x^(2)+1)`
Discussion
92.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `sin^(4)x`

Answer» Correct Answer - `4sin^(3)xcosx`
Discussion
93.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `cot^(2)x`

Answer» `-2cotx."cosec"^(2)x`
Discussion
94.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `e^(x//a)`

Answer» Correct Answer - `(1)/(a).e^(x//a)`
Discussion
95.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `tan^(-1)((5x)/(1-6x^(2)))`

Answer» `(3)/(1+9x^(2))+(2)/(1+4x^(2))`
Discussion
96.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `e^(5x)`

Answer» Correct Answer - `5.e^(5x)`
Discussion
97.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `tan^(-1)((3-5x)/(1+15x))`

Answer» Correct Answer - `(-5)/(1+_25x^(2))`
Discussion
98.

निम्नलिखित फलन का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `tan^(-1)((3a^(2)x-x^(3))/(a^(3)-3ax^(2)))`

Answer» (i) `(a)/(2(1+a^(2)x^(2)))` (ii) `(3a)/(a^(2)+x^(2))`
Discussion
99.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `cos^(-1)((x-x^(-1))/(x+x^(-1)))`

Answer» Correct Answer - `(-2)/(1+x^(2))`
Discussion
100.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `cos^(-1)((x)/(sqrt(1+x^(2))))`

Answer» Correct Answer - `(-1)/(1+x^(2))`
Discussion