InterviewSolution
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| 101. |
यदि u , v तथा w , x के फलन हैं, तो दो विधियों अर्थात प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय- लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि `(d)/(dx)(u.v.w)=(du)/(dx)v.w+u.(dv)/(dx).w+u.v(dw)/(dx)` |
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Answer» `y=uvw` (i) `(dy)/(dx)=(d)/(dx){(uv)w}` `=w.(d)/(dx)(uv)+uv.(d)/(dx)(w)` `=w[v(du)/(dx)+u(dv)/(dx)]+uv(dw)/(dx)` `=vw(du)/(dx)+uw(dv)/(dx)+uv(dw)/(dx)` (ii) `y=uvw` `rArr logy=log (uvw)` `=logu+logv+logw` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `(1)/(y)(dy)/(dx)=(1)/(u)(du)/(dx)+(1)/(v)(dv)/(dx)+(1)/(w)(dw)/(dx)` `rArr" "(dy)/(dx)=(y)/(u)(du)/(dx)+(y)/(v)(dv)/(dx)+(y)/(w)(dw)/(dx)` `=(uvw)/(u)(du)/(dx)+(uvw)/(v)(dv)/(dx)+(uvw)/(w)(dw)/(dx)` `=vw(du)/(dx)+uw(dv)/(dx)+uv(dw)/(dx)` अतः दोनों स्थितियों में परिणाम समान है। यही दर्शाना था । |
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| 102. |
`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए| `x =a cos theta, y = b cos theta` |
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Answer» `x=acos theta" "y=b cos theta` `rArr" "(d x)/(d theta)=- a sin theta" "rArr (dy)/(d theta)- b sin theta` `therefore " "(dy)/(dx)=(dy//d theta)/( dx// d theta)=(-b sin theta)/(-a sin theta)=(b)/(a)` |
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| 103. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `tan^(-1)(a+x)/(1-ax)` |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(1+x^(2))` | |
| 104. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `e^(ax).sin^(-1)bx` |
| Answer» `(b.e^(ax))/(sqrt(1-b^(2)x^(2)))+a.e^(ax).sin^(-1)bx` | |
| 105. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `sqrt(ax^(2)+bx+c)` |
| Answer» `(2ax+b)/(2sqrt(ax^(2)+bx+c))` | |
| 106. |
गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग द्वारा, सिद्ध कीजिए कि सभी धन पूर्णांक n के लिए `(d)/(dx)(x^(n))=nx^(n-1)` है। |
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Answer» माना `P(n):(d)/(dx)(x^(n))=n.x^(n-1)` n = 1 के लिये `P(1):(d)/(dx)(x)=1.x^(1-1)=1` जो सत्य है । `therefore" "P(n),n=1` के लिये सत्य है। माना `P(n),n=k` के लिये सत्य है। `therefore" "P(k):(d)/(dx)(x^(k))=k.x^(k-1)" ...(1)"` `n=k+1` के लिये `P(k+1):(d)/(dx)(x^(k+1))=(d)/(dx)(x^(k).x)` `=x.(d)/(dx)(x^(k))+x^(k).(d)/(dx)(x)` `=x.k.x^(k-1)+x^(k).1" "` समीकरण (1 ) से `=kx^(k)+x^(k)=(k+1)x^(k)` `rArr" "P(n),n=k+1` के लिये भी सत्य है। अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से `P(n), n` के सभी प्राकृतिक मानों के लिये सत्य है। |
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| 107. |
`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए| `x=2at^(2),y=at^(4)` |
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Answer» `x=2at^(2)" "y=at^(4)` `(dx)/(dt)=4at" "rArr (dy)/(dt)=4at^(3)` `therefore" "(dy)/(dx)=(dy//dt)/(dx//dt)=(4a^(3))/(4at)=t^(2)` |
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| 108. |
यदि `y=logsinx,` तो `(d^(3)y)/(dx^(3))` ज्ञात कीजिए। |
| Answer» `2"cosec"^(2)x.cotx` | |
| 109. |
`sin^(-1)(xsqrtx),0le x le1` |
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Answer» माना `y=sin^(-1)(xsqrtx)` `rArr" "(dy)/(dx)=(d)/(dx)sin^(-1)(xsqrtx)` `" "=(1)/(sqrt(1-(xsqrtx)^(2))(d)/(dx)(xsqrtx)` `" "=(1)/(sqrt(1-x^(3)))(d)/(dx)(x^(3//2))` `" "=((3)/(2)x^(1//2))/(sqrt(1-x^(3)))=(3sqrtx)/(2sqrt(1-x^(3)))` |
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| 110. |
यदि `x=a(cost+t sint)` और `y=a(sint-t cost),` तो `(d^(2)y)/(dx^(2))` ज्ञात कीजिए । |
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Answer» `x=a(cost+t sint)` `rArr" "(dx)/(dt)=a(-sint+sint+t cos t)=at cost` तथा `y=a(sint-t cost)` `rArr" "(dy)/(dx)=a[cost-(-t sin t+cost)]=at sint` `therefore" "(dy)/(dx)=(dy//dt)/(dx//dt)=(at sin t)/(at cost)=tant` `" "(d^(2)y)/(dx^(2))=(d)/(dx)((dy)/(dx))=(d)/(dx)(tant)` `rArr" "=(d)/(dt(tant).(dt)/(dx)` `" "=sec^(2)t.(1)/(at cost)=(1)/(at)sec^(3)t` |
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| 111. |
यदि `x=at^(2),y=2at,` तो `(d^(2)y)/(dx^(2))` ज्ञात कीजिए | |
| Answer» Correct Answer - `(-1)/(2at^(3))` | |
| 112. |
`(5x)^(3cos2x)` |
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Answer» माना `y=(5x)^(3cos2x)` `rArr" "logy=log[(5x)^(3cos2x)]` `" "=3 cos 2x log(5x)` दोनों पक्षों का x सापेक्ष अवकलन करने पर `(1)/(y)(dy)/(dx)=3[cos2x.(d)/(dx)log(5x)+log(5x).(d)/(dx)cos2x]` `rArr" "(dy)/(dx)=3y[cos2x.(5)/(5x)+log(5x).(-2 sin 2x)]` `rArr" "(dy)/(dx)=3.(5x)^(3cos2x)` `" "[(cos2x)/(x)-2sin2xlog(5x)]` |
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| 113. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `log(sinx^(2))` |
| Answer» Correct Answer - `2x.cotx^(2)` | |
| 114. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `(e^(x)+e^(-x))/(e^(x)-e^(-x))` |
| Answer» `(-4)/((e^(x)-e^(-x))^(2))` | |
| 115. |
लैगरेंज मध्यमान प्रमेय के प्रयोग से वक्र `y=x^(3)` पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जिन पर खींची गई स्पर्श रेखा, बिंदुओं (1, 1) और (3, 27) को मिलाने वाली जीवा के समांतर है। |
| Answer» `((sqrt(39))/(3),(13sqrt(39))/(9))` | |
| 116. |
लैगरेंज मध्यमान प्रमेय के प्रयोग से वक्र `y=x^(3)` पर उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिन पर खींची गई स्पर्शरेखा बिंदुओं (2 ,0 ) और (3 ,1 ) को मिलाने वाली जीवा के समांतर है । |
| Answer» Correct Answer - `((9)/(4),(1)/(2))` | |
| 117. |
यदि `x=a(t-sint),y=a(1-cost),` तो `(d^(2)y)/(dx^(2))` ज्ञात कीजिए । |
| Answer» `-(1)/(4a)"cosec"^(4)(t)/(2)` | |
| 118. |
रोले के प्रमेय के प्रयोग से वक्र `y=x^(2),x in [-1,1]` पर उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए , जहाँ पर वक्र की स्पर्श रेखा X - अक्ष के समांतर है। |
| Answer» Correct Answer - (0, 0) | |
| 119. |
`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए|`sin^(3)x+cos^(6)x` |
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Answer» माना `y=sin^(3)x+cos^(6)x` `rArr" "(dy)/(dx)=(d)/(dx)(sin^(3)x+cos^(6)x)` `" "=(d)/(dx)(sinx)^(3)+(d)/(dx)(cosx)^(6)` `" "=3(sinx)^(2)(d)/(dx)(sinx)+6(cosx)^(5)(d)/(dx)(cosx)` `" "=3sin^(2)xcosx-6cos^(5)xsinx` `" "=3sinx cos (sinx-2cos^(4)x)` |
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| 120. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `log(x+(1)/(x))` |
| Answer» `(x^(2)-1)/(x(x^(2)+1))` | |
| 121. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `sin^(3)(ax+b)` |
| Answer» `3asin^(2)(ax=b)cos(ax+b)` | |
| 122. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `sin^(-1)ax` |
| Answer» `(a)/(sqrt(1-a^(2)x^(2)))` | |
| 123. |
`sin^(-1)(2xsqrt(1-x^(2)))` का `sin^(-1)x` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - 2 | |
| 124. |
`tan^(-1).(2x)/(1-x^(2))` का `sin^(-1).(2x)/(1+x^(2))` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - 1 | |
| 125. |
रोले के प्रमेय के प्रयोग से वक्र `y=x(x-4), x in [0,4]` पर उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए , जहाँ पर वक्र की स्पर्श रेखा X - अक्ष के समांतर है। |
| Answer» Correct Answer - `(2,-4)` | |
| 126. |
जाँच कीजिये कि क्या निम्नलिखित फलनों के लिये दिये गये अंतरालों में रोले की प्रमेय लागु होती है - (i) `f(x)=(x-2)(2x-1),` अंतराल `[1,2]` में (ii) `f(x)=tanx,` अंतराल `[0,pi]` में (iii) `f(x)=sin.(1)/(x)`, अंतराल `[-2,2]` में (iv) `f(x)=|x|,` अंतराल `[-2,2]` में (v) `f(x)=x^(1//3)`, अंतराल `[-2,2]` में |
| Answer» किसी भी भाग में लागु नहीं है । | |
| 127. |
यदि फलन `f(x)=x^(3)+bx^(2)+ax+5` के लिये अंतराल `[1,3]` में `c=2+(1)/(sqrt3)` के लिए रोले की प्रमेय सत्यापित होती है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - a = 11, b = `-6` | |
| 128. |
`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए|`(3x^(2)-9x+5)^(9)` |
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Answer» माना `y=(3x^(2)-9x+5)^(9)` `rArr" "(dy)/(dx)=(d)/(dx)(3x^(2)-9x+5)^(9)` `" "=9(3x^(2)-9x+5)^(8)(d)/(dx)(3x^(2)-9x+5)` `" "=9(3x^(2)-9x+5)^(8)(6x-9)` `" "27(3x^(2)-9x+5)^(8)(2x-3)` |
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| 129. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `log(sqrtx+(1)/(sqrtx))` |
| Answer» Correct Answer - `(x-1)/(2x(x+1))` | |
| 130. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `(1)/(sqrt(x+1)+sqrtx)` |
| Answer» `(1)/(2)[(1)/(sqrt(x+1))-(1)/(sqrtx)]` | |
| 131. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `tan^(-1)((2x)/(1-x^(2)))` |
| Answer» Correct Answer - `(2)/(1+x^(2))` | |
| 132. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `cot^(-1)sqrtx` |
| Answer» `(-1)/(2sqrtx(1+x))` | |
| 133. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `logsqrt((1-cosx)/(1+cosx))` |
| Answer» Correct Answer - `"cosec x"` | |
| 134. |
`tan^(-1)((sqrt(1+x^(2))-1)/(x))` का `tan^(-1)x` के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(7)` | |
| 135. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `sec^(-1)((x)/(a))` |
| Answer» `(a)/(sqrt(x^(2)-a^(2)))` | |
| 136. |
`sqrt((1-x)/(1+x))` का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना `y=sqrt((1-x)/(1+x))=((1-x)/(1+x))^(1//2)` `rArr" "logy=log((1-x)/(1+x))^(1//2)=(1)/(2)log((1-x)/(1+x))` `" "=(1)/(2)[log(1-x)-log(1+x)]` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(1)/(y)(dy)/(dx)=(1)/(2)[(1-)/(1-x)-(1)/(1+x)]` `=(1)/(2)[(-1-x-1+x)/(1-x^(2))]=(-1)/(1-x^(2))` `rArr" "(dy)/(dx)=-(y)/(1-x^(2))=-(1)/(1-x^(2))sqrt((1-x)/(1+x))` `=(-1)/((1-x)^(1//2)(1+x)^(3//2))` |
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| 137. |
जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं? (i) `f(x)=[x]` के लिए `x in [5,9]` (ii) `f(x)=[x]` के लिए `x in [-2,2]` (iii) `f(x)=x^(2)-1` के लिए `x in [1,2]` |
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Answer» (i) `f(x)=[x]," "x in [5,9]` `f(x),` पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है। अतः रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है। (ii) `f(x)=[x]," "x in [-2,2]` `f(x),` पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है। अतः रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है। (iii) `f(x)=x^(2)-1," "x in [1,2]` `f(x)` एक बहुपदी फलन है। `therefore f(x), [1,2]` में सतत तथा (1 ,2 ) में अवकलनीय है। `f(1)=1^(2)-1=0` तथा `" "f(2)=2^(2)-1=3` `therefore" "f(1) ne f(2)` अतः रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है। रोले की प्रमेय का विलोम सत्य नहीं है। |
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| 138. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `sin((1+x^(2))/(1-x^(2)))` |
| Answer» `(4x)/((1-x^(2))^(2))cos((1+x^(2))/(1-x^(2)))` | |
| 139. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `cos^(-1)(2x^(2)-1)` |
| Answer» `(-2)/(sqrt(1-x^(2)))` | |
| 140. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `"cosec"sqrtx` |
| Answer» `(-"cosec"sqrtx cotsqrtx)/(2sqrtx)` | |
| 141. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `sec^(-1)((1+tan^(2)x)/(1-tan^(2)x))` |
| Answer» Correct Answer - 2 | |
| 142. |
`sqrt((x+1)(x+2)(x+3))` का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना `y=sqrt((x+1)(x+2)(x+3))` `rArr" "logy=log[sqrt((x+1)(x+2)(x+3))]` `" "=(1)/(2)log[(x+1)(x+2)(x+3)]` `" "=(1)/(2)[log(x+1)+log(x+2)+log(x+3)]` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर `" "(1)/(y)(dy)/(dx)=(1)/(2)[(1)/(x+1)+(1)/(x+2)+(1)/(x+3)]` `rArr" "(dy)/(dx)=(1)/(2)y((1)/(x+1)+(1)/(x+2)+(1)/(x+3))` `" "=(1)/(2)sqrt((x+1)(x+2)(x+3))` `" "((1)/(x+1)+(1)/(x+2)+(1)/(x+3))` |
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| 143. |
यदि `y=500e^(7x)+6007x^(-7x)` है, तो दर्शाइए कि `(d^(2)y)/(dx^(2))=49y` है। |
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Answer» `y=500e^(7x)+600e^(-7x)` `rArr" "(dy)/(dx)=(d)/(dx)(500e^(7x)+600e^(-7x))` `" "=3500 e^(7x)-4200 e^(-7x)` `rArr" "(d^(2)y)/(dx^(2))=(d)/(dx)(3500e^(7x)-4200e^(-7x))` `" "=24500e^(7x)+29400e^(-7x)` `" "=49(500e^(7x)+600e^(-7x))=49y` `rArr" "(d^(2)y)/(dx^(2))=49y` यही दर्शाना था । |
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| 144. |
यदि `y=(tan^(-1)x)^(2)` है, तो दर्शाइए कि `(x^(2)+1)^(2)y_(2)+2x(x^(2)+1)y_(1)=2` है। |
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Answer» `y=(tan^(-1)x)^(2)` `rArr" "(dy)/(dx)=2 tan^(-1)x.(1)/(1+x^(2))` `rArr (1+x^(2))(dy)/(dx) = 2 tan^(-1)x` पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(1+x^(2))(d^(2)y)/(dx^(2))+2y(dy)/(dx)=(2)/(1+x^(2))` `rArr" "(1+x^(2))^(2)(d^(2)y)/(dx^())+2x(1+x^(2))(dy)/(dx)=2` `rArr (1+x^(2))^(2)(d^(2)y)/(x^(2))+2x(1+x^(2))(dy)/(dx)-2=0` यही दर्शाना था । |
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| 145. |
यदि `e^(y)(x+1)=1` है, तो दर्शाइए कि `(d^(2)y)/(dx^(2))=((dy)/(dx))^(2)` है। |
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Answer» `e^(y)(x+1)=1` `rArr" "e^(y)=(1)/(x+1)" …(1)"` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर `e^(y)(dy)/(dx)=(-1)/((x+1)^(2))` `rArr" "(1)/(x+1)(dy)/(dx)=-(1)/((x+1)^(2))` समीकरण (1 ) से `rArr" "(dy)/(dx)=-(1)/(x+1)` `rArr (d^(2)y)/(dx^(2))=(d)/(dx)(-(1)/(x+1))=(1)/((x+1)^(2))=(-(1)/(x+1))^(2)=((dy)/(dx))^(2)` यही दर्शाना था । |
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| 146. |
यदि `y=cos^(-1)x` है, तो `(d^(2)y)/(dx^(2))` को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए । |
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Answer» `y=cos^(-1) rArr x=cosy` `rArr" "(dy)/(dx)=-siny` `rArr" "(dy)/(dx)=-(1)/(siny)=-"cosec"y` `rArr" "(d^(2)y)/(dx^(2))=(d)/(dx)(-"cosec y")` `" "=-"cosec"^(2)y cot y` |
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| 147. |
यदि `y=Ae^(mx)+Be^(nx)` है, तो दर्शाइए कि `(d^(2)y)/(dx^(2))-(m+n)(dy)/(dx)+mny=0`. |
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Answer» `y=Ae^(mx)+Be^(nx)` `rArr" "(dy)/(dx)=Ame^(mx)+Bn e^(nx)` `rArr" "(d^(2)y)/(dx^(2))=Am^(2)e^(mx)+Bn^(2)e^(nx)` L.H.S. `=(d^(2)y)/(dx^(2))-(m+n)(dy)/(dx)+mny` `" "=[Am^(2)e^(mx)+Bn^(2)e^(nx)]-(m+n)` `" "[Ame^(mx)+Bn e^(nx)]+mn[Ae^(mx)+Be^(nx)]` `" "=Am^(2)e^(mx)+Bn^(2)e^(nx)-Am^(2)e^(mx)-Bmn e^(nx)-Amn e^(mx)-Bn^(2)e^(nx)+Amn e^(mx)+Bmn e^(nx)=0`=R.H.S. |
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| 148. |
यदि `y=e^(a cos^(-1)x),-1 le xle 1,` तो दर्शाइए कि `(1-x^(2))(d^(2)y)/(dx^(2))-x(dy)/(dx)-a^(2)y=0` |
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Answer» `y=e^(a cos^(-1)x)` `rArr" "(dy)/(dx)=e^(a cos^(-1)x).(d)/(dx)(a cos^(-1)x)` `rArr" "(dy)/(dx)=y.(-a)/(sqrt(1-x^(2)))` `rArr" "sqrt(1-x^(2))(dy)/(dx)=-ay` `rArr" "(1-x^(2))((dy)/(dx))^(2)=a^(2)y^(2)` दोनों पक्षों का x का सापेक्ष अवकलन करने पर `(1-x^(2))2(dy)/(dx).(d^(2)y)/(dx^(2))+((dy)/(dx))^(2)(-2x)=a^(2).2y(dy)/(dx)` `2(dy)/(dx)` से भाग देने पर `(1-x^(2))(d^(2)y)/(dx^(2))-x(dy)/(dx)=a^(2)y` `rArr" "(1-x^(2))(d^(2)y)/(dx^(2))-x(dy)/(dx)-a^(2)y=0` यही दर्शाना था । |
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| 149. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `cos^(-1)(sqrt((1+cosx)/(2)))` |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(2)` | |
| 150. |
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `tan^(-1)((sinx)/(1+cosx))` |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(2)` | |