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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

201.

cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।

Answer» (i) माना `f(x)=cosx` यदि `a in R` तो `x=a` पर
`underset(xrarra)(lim)f(x)=underset(xrarra)(lim)cosx=cosa=f(a)`
`therefore f(x),x=a` पर सतत है।
परन्तु a स्वेच्छ बिंदु है।
`therefore f(x)` प्रत्येक बिंदु पर सतत है।
(ii) `because "cosec x, x "=n pi, n in Z` पर परिभाषित नहीं है।
`therefore "cosec x, x "=npi, n in Z` सतत नहीं है।
(iii) `because secx, x = (2n+1)(pi)/(2),n in Z` पर परिभाषित नहीं है |
`therefore sec x, x = (2n+1)(pi)/(2), n in Z` सतत नहीं है
(iv) `because cot x, x=npi, n in Z` पर परिभाषित नहीं है |
`therefore cotx,x = n pi, n in Z` पर सतत नहीं है।
Discussion
202.

बिंदु x = 0 पर फलन `f(x)={{:((sin^(2)2x)/(x^(2))",",xne0),(" 1,",x=0):},` के लिये सांतत्य का परीक्षण कीजिए ।

Answer» Correct Answer - असतत
Discussion
203.

क्या `f(x)={{:(x",","यदि ",x le1),("5,","यदि ",xgt1):}` द्वारा परिभाषित फलन `f, x=0,x=1` तथा x = 2 पर सतत है?

Answer» `f(x)={{:(x",","यदि ",x le1),("5,","यदि ",xgt1):}`
x = 0 पर
`L.H.L.=underset(xrarr0^(-))(lim)f(x)" माना "x=0-h`
`=underset(hrarr0)(lim)f(0-h)" "rArr 0-h rarr0`
`=underset(hrarr0)(lim)(0-h)=0" "rArr" "hrarr0`
f(0)=0
`R.H.L.=underset(xrarr0^(+))(lim)f(x)" माना "x=0+h`
`=underset(hrarr0)(lim)f(0+h)" "rArr 0+h rarr0`
`=underset(hrarr0)(lim)(0+h)=0" "rArr" "hrarr0`
`because" L.H.L. "=f(0)=" R.H.L."`
`therefore" "f(x),x=0` पर सतत है |
`f(1)=1`
`L.H.L.=underset(xrarr1^(-))(lim)f(x)" माना "x=1-h`
`=underset(hrarr0)(lim)f(1-h)" "rArr1-h rarr1`
`=underset(hrarr0)(lim)(1-h)=1-0 =1" "rArr" "hrarr0`
`R.H.L.=underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)" माना "x=1+h`
`=underset(hrarr0)(lim)f(1+h)" "rArr1+h rarr1`
`=underset(hrarr0)(lim)5=5" "rArr" "hrarr0`
`because" "L.H.L. ne R.H.L.`
`therefore" "f(x),x = 1 ` पर सतत नहीं है।
x = 2 पर
f(2) = 5
`L.H.L. = underset(xrarr2^(-))(lim)f(x)" माना "x=2-h`
`=underset(hrarr0)(lim)f(2-h)" "rArr 2-h rarr2`
`=underset(hrarr0)(lim)5=5" "rArr" "hrarr0`
`R.H.L. = underset(xrarr2^(+))(lim)f(x)" माना "x=2+h`
`=underset(hrarr0)(lim)f(2+h)" "rArr 2+h rarr2`
`=underset(hrarr0)(lim)5=5" "rArr" "hrarr0`
`because R.H.L. = f(2) = R.H.L.`
`therefore f(x), x=2 `पर सतत है।
Discussion
204.

निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए : (a) `f(x)=sinx+cosx` (b) `f(x)=sinx-cosx` (c) `f(x)=sinx.cosx`

Answer» (a) sinx और cosx फलन सदैव सतत है।
`therefore sinx+cosx` भी सदैव फलन है।
(b) `f(x)=sinx-cosx`
`=sqrt2((1)/(sqrt2)sinx -(1)/(sqrt2)cosx)`
`=sqrt2(cos.(pi)/(4)sinx-sin.(pi)/(4)cosx)`
`=sqrt2 sin (x-(pi)/(4))`
हम जानते हैं कि sine फलन सदैव सतत होता है।
`therefore" "sin(x-(pi)/(4))` सतत फलन है।
`rArr" "sqrt2 sin(x-(pi)/(4))` सतत फलन है।
`rArr" "f(x)` सतत फलन है।
(c) `f(x)=sinx cos x`
`=(1)/(2).2sinxcosx=(1)/(2)sin2x`
हम जानते है कि sine फलन सदैव सतत होता है।
`therefore" "sin 2x` सतत फलन है।
`rArr" "(1)/(2)sin2x` सतत फलन है।
`rArr" "f(x)` सतत फलन है।
Discussion
205.

x = 0 पर फलन `f(x)={{:(3-x",",xle0),(" x,",xgt0):},` ले लिये सांतत्य का परीक्षण कीजिए ।

Answer» Correct Answer - असतत
Discussion
206.

फलन f (x ) को निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है `f(x)={{:(4x+a",",xlt1),(" 6,",x=1),(3x-b",",xgt1):}` यदि `f(x),x=1` पर सतत है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» x = 1 पर
`f(1)=6`
`R.H.L.=underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(1+h)`
`=underset(hrarr0)(lim){3(1+h)-b}=3-b`
और `" L.H.L."=underset(xrarr1^(-))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(1-h)`
`=underset(hrarr0)(lim){4(1-h)+a}=4+a`
`because f(x),x=1` पर सतत है ।
`therefore R.H.L.=f(1)=L.H.L.`
`rArr" "3-b=6=4+a`
`rArr" "b=-3` और `a=2`
Discussion
207.

f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है: `f(x)={{:(x^(10)-1",","यदि ", xle1),(x^(2)",","यदि ",xgt1):}`

Answer» `f(x)={{:(x^(10)-1",","यदि ", xle1),(x^(2)",","यदि ",xgt1):}`
यदि `x lt 1` तो `f(x)=x^(10)-1` बहुपदी फलन है।
यदि `x gt1` तो `f(x)=x^(2)` एकपदी फलन है।
बहुपदी फलन सदैव सतत होता है।
x = 1 पर
`f(1)=1^(10)-1=1=1-1=0`
`R.H.L. = underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)" माना "1+h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)f(1+h)" "rArr 1+h rarr1`
`=underset(hrarr0)(lim)(1+h)^(2)=(1+0)^(2)=1`
`because" "f(1) ne R.H.L.`
`therefore" "f(x),x=1` पर असतत है।
अतः `f(x),` केवल x= 1 पर असतत है।
Discussion
208.

निम्न फलन के लिये x = 1 और 2 पर सांतत्य का परीक्षण कीजिए `f(x)={{:(5x-1",",xle1),(4x^(2)-3x",",1ltxlt2),(3x+4",",xge2):}`

Answer» x = 1 पर सतत और x = 2 पर सतत
Discussion
209.

फलन `f(x)={{:((sinx)/(x)",",xlt0),(x+2",",xge0):}` की सततता की जाँच कीजिए।

Answer» x lt 0 के लिये
`f(x)=(sinx)/(x)`
हम जानते हैं `sinx` तथा x दोनों सदैव सतत हैं।
`therefore" "(sinx)/(x)` भी x lt 0 में सतत है।
`x gt 0` के लिये
`f(x)=x+2` बहुपदीय फलन है जो `xgt0` में सतत है।
x = 0 पर
`L.H.L. = underset(xrarr0^(-))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(0-h)`
`=underset(hrarr0)(lim)(sin(-h))/((-h))=1`
`R.H.L.=underset(xrarr0^(+))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(0+h)`
`=underset(hrarr0)(lim)(h+2)=2`
`thereforeL.H.L. ne R.H.L.`
`therefore f(x),x=0` पर सतत नहीं है।
अतः `f(x),R-{0}` में सतत है।
Discussion
210.

क्या `f(x)={{:(x+5",","यदि ",xle1),(x-5",","यदि ",xgt1):}` द्वारा परिभाषित फलन, एक सतत फलन है?

Answer» `f(x)={{:(x+5",","यदि ",xle1),(x-5",","यदि ",xgt1):}`
`x=1` पर
`f(1)=1+5=6`
`R.H.L. = underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)" माना "1+h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)f(1+h)" "rArr1+h rarr1`
`=underset(hrarr0)(lim)(1+h)-5" "rArr" "hrarr0`
`=(1+0)-5=-4`
`because" "f(1) ne R.H.L.`
`therefore" "f(x), x=1`पर असतत है।
Discussion
211.

f के सभी सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है। `f(x)={{:(-2",","यदि ",xle-1),(2x",","यदि ",-1ltxle1),("2,","यदि ",xgt1):}`

Answer» `f(x)={{:(-2",","यदि ",xle-1),(2x",","यदि ",-1ltxle1),("2,","यदि ",xgt1):}`
यदि `x lt -1` तो `f(x0=-2` बहुपदी फलन है जो सतत है।
यदि `-1ltx lt1` तो `f(x)=2x` बहुपदी फलन है तो सतत है।
यदि `xgt1` तो `f(x)=2` बहुपदी फलन है जो सतत है।
अब `x=-1` पर
`f(-1)=-2`
`L.H.L.=underset(xrarr1^(-))(lim)f(x)" माना "-1-h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)f(-1-h)" "rArr -1-h rarr-1`
`=underset(hrarr0)(lim)(-2)=-2" "rArr h rarr0`
`R.H.L.=underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)" माना "-1+h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)2(-1+h)" "rArr - 1 +hrarr-1`
`=underset(hrarr0)(lim)2(-1+h)" "rArr" "hrarr0`
`=2(-1+0)=-2`
`because" "L.H.L. = f(-1)=R.H.L.`
`therefore" "f(x),x=-1` पर सतत है।
x= 1 पर
`f(1)=2xx1=2`
`L.H.L.=underset(xrarr1^(-))(lim)f(x)" माना "1-h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)f(1-h)" "rArr 1-hrarr1`
`=underset(hrarr0)(lim)2(1-h)=2(1-0)=2" "rArr hrarr0`
`R.H.L.=underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)" माना "1+h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)f(1+h)" "rArr 1+hrarr1`
`=underset(hrarr0)(lim)2 =2" "rArr hrarr0`
`because" "L.H.L. = f(1)=R.H.L.`
`therefore" "f(x),x=1` पर सतत है ।
अतः`f(x),x` के सभी मानों के लिए सतत है।
Discussion
212.

फलन `f(x)={{:((|x|)/(x)",",xne0),("0,",x=0):}` की सततता की जाँच कीजिए।

Answer» Correct Answer - `R-{0}` में सतत
Discussion
213.

फलन `f(x)={{:((sinx)/(x)",",xlt0),(2x+3",",xge0):}` की सततता की जाँच कीजिए।

Answer» Correct Answer - `R-{0}` में सतत
Discussion
214.

फलन `f(x)={{:(2x-1",",xlt1),(3x-2",",xge1):}` के लिये सततता की जाँच कीजिए ।

Answer» x lt 1 के लिये
`f(x)=2x-1 `जो एक बहुपदीय फलन है।
`therefore f(x),xlt1` में सतत है।
`x gt 1 ` के लिये
`f(x)=3x-2` जो एक बहुपदीय फलन है।
`therefore f(x),x gt 1` में सतत है ।
x = 1 पर
`L.H.L.=underset(xrarr1^(-))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(1-h)`
`=underset(hrarr0)(lim)2(1-h)-1=2-1=1`
`R.H.L. =underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(1+h)`
`=underset(hrarr0)(lim)3(1+h)-2=3-2=1`
तथा `" "f(1)=3xx1-2=1`
`because underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)=f(1)=underset(xrarr1^(-))(lim)f(x)`
`therefore f(x),x=1` पर सतत है|
अतः `f(x)` एक सतत फलन है।
Discussion
215.

क्या `f(x)=x^(2)-sinx+5` द्वारा परिभाषित फलन `x=pi` पर सतत है ?

Answer» `f(x)=x^(2)-sin x+5`
`x=pi` पर
`f(pi)=pi^(2)-sin pi+5 =pi^(2)+5`
`L.H.L.=underset(xrarrpi^(-))(lim)f(x)" माना "pi-h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)f(pi-h)" "rArrpi-h rarrpi`
`=underset(hrarr0)(lim)(pi-h)^(2)-sin(pi-h)+5" "rArr" "hrarr0`
`=underset(hrarr0)(lim)(pi-h)^(2)-sin h+5`
`=(pi-0)^(2)-sin0+5=pi^(2)+5`
`R.H.L.=underset(xrarrpi^(+))(lim)f(x)" माना "pi+h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)f(pi+h)" "rArrpi+h rarrpi`
`=underset(hrarr0)(lim)(pi+h)^(2)-sin(pi-h)+5" "rArr" "hrarr0`
`=underset(hrarr0)(lim)(p+h)^(2)+sin h+5`
`=(pi+0)^(2)+sin0+5=pi^(2)+5`
`because" L.H.L. "=f(pi)="R.H.L."`
`therefore" "f(x),x=pi` पर सतत है ।
Discussion
216.

`lambda` के किस मान के लिए `f(x)={{:(lambda(x^(2)-2x)",","यदि ",xle0),(4x+1",","यदि ",xgt0):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर सतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए ।

Answer» `f(x)={{:(lambda(x^(2)-2x)",","यदि ",xle0),(4x+1",","यदि ",xgt0):}`
x= 0 पर
`f(0)=lambda(0-0)=0`
`R.H.L.=underset(hrarr0^(+))(lim)f(x)" माना "x=0+h`
`=underset(hrarr0)(lim)f(0+h)" "rArr 0+h rarr0`
`=underset(hrarr0)(lim)4(0+h)+1" "rArr h rarr0`
`==4(0+0)+1=1`
`because f(0) ne R.H.L.`
`therefore f(x),x=0` पर `lambda` के किसी भी मान के लिए सतत नहीं है।
`x gt 0` के लिए `f(x)=4x+1` बहुपदी फलन है जो सतत है।
`therefore" "f(x),x=1` पर `lambda` के सभी मानों के लिए सतत है ।
Discussion
217.

a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए `f(x)={{:(ax+1",","यदि ",xle3),(bx+3",","यदि ",xgt3):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर सतत है।

Answer» `f(3)=3a+1`
`R.H.L. = underset(xrarr3^(+))(lim)f(x)`
`=underset(hrarr0)(lim)f(3+h)`
`=underset(hrarr0)(lim)b(3+h)+3=3b+3`
`L.H.L. = underset(xrarr3^(-))(lim)f(x)`
`=underset(hrarr0)(lim)f(3-h)`
`=underset(hrarr0)(lim)a(3-h)+1=3a+1`
`=underset(hrarr0)(lim)a(3-h)+1=3a+1`
`because" "`फलन x = 3 पर सतत है ।
`therefore" "` L.H.L.=R.H.L.
`rArr" "3a+1=3b+3`
`rArr" "3a=3b+2" तथा "b in R`
Discussion
218.

यदि फलन `f(x)={{:((1+cosx)/(tan^(2)x)",",xnepi),(" "(1)/(2)",",x=pi):}, x=1` पर सतत है, तो a और b के मान कीजिए।

Answer» Correct Answer - a = 3, b = 2
Discussion
219.

फलन `f(x)={{:(4x-2",",xlt2),(" 3x,",xge2):}` की सततता की जाँच कीजिए।

Answer» Correct Answer - सदैव सतत
Discussion
220.

यदि `f(x)={{:(x^(2)+3x+a",",xle1),(" "bx+2",",xgt1):},x` के सभी मानों के लिये अवकलनीय है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।

Answer» Correct Answer - a = 3, b = 5
Discussion
221.

यदि फलन `f(x)={{:(" 5,",xle2),(ax+b",",2ltxle10),(" 21,",xgt10):}` सतत है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।

Answer» Correct Answer - a = 2, b = 1.
Discussion
222.

दर्शाइए कि `f(x)=|cosx|` द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है।

Answer» माना `f(x)=|cosx|`
x = 0 पर
`f(0)=|cos0|=1`
`L.H.L. = underset(xrarr0^(-))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(0-h)`
`=underset(hrarr0)(lim)|cos(-h)|=underset(hrarr0)(lim)|1|=1`
`R.H.L. = underset(xrarr0^(+))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(0+h)`
`=underset(hrarr0)(lim)|cosh|=underset(hrarr0)(lim)|1|=1`
`because " "L.H.L.=f(0)=R.H.L.`
`therefore" "f(x), x=0` पर सतत है ।
हम जानते हैं कि `|x|` और `cosx, x ne 0 ` के लिये सतत है।
`therefore |cosx|, x ne 0` के लिये सतत है।
अतः `f(x)=|cosx|` सदैव सतत फलन है।
यही दर्शाना था ।
Discussion
223.

k के किस मान के लिये फलन `f(x)={{:(kx^(2)",",xle2),(" 5,",xgt2):}`, x = 2 पर सतत है।

Answer» Correct Answer - `5//4`
Discussion
224.

`f(x)={{:(kx+1",","यदि ",xlepi),(cosx",","यदि ", x gtpi):}` द्वारा परिभाषित फलन `x=pi` पर |

Answer» `f(x)=kpi+1`
`R.H.L. = underset(xrarrpi^(+))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(pi+h)`
`=underset(hrarr0)(lim)cos(pi+h)`
`=underset(hrarr0)(lim)(-cosh)=-cos 0=-1`
`L.H.L.=underset(xrarrpi^(-))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(pi-h)`
`=underset(hrarr0)(lim)k(pi-h)+1=kpi+1`
`because" "f(x), x=pi` पर सतत है
`therefore" "R.H.L.=f(pi)=L.H.L.`
`rArr" "kpi+1=-1`
`rArr" "k=-(2)/(pi)`
Discussion
225.

यदि `y=12(1-cost), x=10(t-sint), -(pi)/(2)lt t lt (pi)/(2)` तो `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए ।

Answer» `y=12(1-cost)`
`rArr" "(dy)/(dx)=12 sint`
`x=10(t-sint)`
`rArr" "(dx)/(dt)=10(1-cost)`
`therefore" "(dy)/(dx)=(dy//dt)/(dx//dt)=(12 sint)/(10(1-cost))`
`=(6)/(5).(2sin.(t)/(2)cos.(t)/(2))/(2sin^(2).(t)/(2))=(6)/(5)cot.(t)/(2)`
Discussion
226.

यदि किसी `c gt 0` के लिए `(x-a)^(2)+(y-b)^(2)=c^(2)` है, तो सिद्ध कीजिए कि `([1+((dy)/(dx))^(2)]^((3)/(2)))/((d^(2)y)/(dx^(2))),a` और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।

Answer» `(x-a)^(2)+(y-b)^(2)=c^(2)" …(1)"`
`rArr" "2(x-a)+2(y-b)(dy)/(dx)=0`
`rArr" "(dy)/(dx)=-(x-a)/(y-b)" …(2)"`
`rArr" "(d^(2)y)/(dx^(2))=-((y-b).1-(x-a)(dy)/(dx))/((y-b)^(2))`
`=-((y-b)-(x-a)[-(x-a)/(y-b)])/((y-b)^(2))`
`=-((y-b)^(2)+(x-a)^(2))/((y-b)^(3))=-(c^(2))/((y-b)^(3))`
`" "` समीकरण (1 ) से
अब `([1+((dy)/(dx))^(2)]^(3//2))/((d^(2)y)/(dx^(2)))=([1+((x-a)/(y-b))^(2)]^(3//2))/((-c^(2))/((y-b)^(3)))`
`" "=([((y-b)^(2)+(x-a)^(2))/((y-b)^(2))]^(3//2))/(-(c^(2))/((y-b)^(3)))`
`" "=-[(c^(2))/((y-b)^(2))]^(3//2).((y-b)^(3))/(c^(2))`
`" "=-(c^(3))/((y-b)^(3)).((y-b)^(3))/(c^(2))=-c`
जो a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
Discussion
227.

यदि `y=sin^(-1)x+sin^(-1)sqrt(1-x^(2)), 0lt xlt 1` है तो `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए ।

Answer» `y=sin^(-1)x+sin^(-1)sqrt(1-x^(2))` माना `x=sin theta`
`=theta+sin^(-1)sqrt(1-sin^(2)theta)=theta+sin^(-1)sqrt(cos^(2)theta)`
`=theta+sin^(-1)(cos theta)=theta+sin^(-1)sin((pi)/(2)-theta)`
`=theta+(pi)/(2)-theta=(pi)/(2)`
`rArr" "(dy)/(dx)=(d)/(dx)((pi)/(2))=0`
Discussion
228.

यदि `-1 lt xlt 1` के लिए `xsqrt(1+y)+ysqrt(1+x)=0` है, तो सिद्ध कीजिए कि `(dy)/(dx)=-(1)/((1+x)^(2))`.

Answer» `xsqrt(1+y)+ysqrt(1+x)=0`
`rArr" "xsqrt(1+y)=-ysqrt(1+x)`
`rArr" "x^(2)(1+y)=y^(2)(1+x)`
`rArr" "x^(2)+x^(2)y=y^(2)+xy^(2)`
`rArr" "x^(2)-y^(2)+x^(2)y-xy^(2)=0`
`rArr" "(x-y)(x+y)+xy(x-y)=0`
`rArr" "(x-y)(x+y+xy)=0`
`rArr" "x+y"xy=0`
`rArr" "y(1+x)=-x`
`rArr" "y=(-x)/(1+x)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`(dy)/(dx)=((1+x)(d)/(dx)(-x)-(-x)(d)/(dx)(1+x))/((1+x)^(2))`
`=((1+x)(-1)+x(1))/((1+x)^(2))=(-1)/((1+x)^(2))" "`यही सिद्ध करना था ।
Discussion
229.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `tan^(-1)((4sqrtx)/(1-4x))`

Answer» Correct Answer - `(2)/(sqrtx(1+4x))`
Discussion
230.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `tan^(-1)((sqrt(1-x^(2))-1)/(x))`

Answer» Correct Answer - `(1)/(2(1+x^(2)))`
Discussion
231.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकन गुणांक ज्ञात कीजिए - `sin^(-1)[xsqrt(1-x)-sqrtxsqrt(1-x^(2))]`

Answer» `(1)/(sqrt(1-x^(2)))-(1)/(2sqrt(x-x^(2)))`
Discussion
232.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `x=sqrt(sin2t), y=sqrt(cos 2t)`

Answer» Correct Answer - `-(tan2t)^(3//2)`
Discussion
233.

यदि `x=(a+b)cos theta-b cos ((1+b)/(b))theta` और `y=(a+b)sin theta-bsin ((a+b)/(b))theta,` तो सिद्ध कीजिए कि `(dy)/(dx)=tan((a+2b)/(2b))theta`.

Answer» `x=(a+b)costheta-bcos((1+b)/(b))theta`
`(dx)/(d theta)=-(a+b)sin theta+b. sin ((a+b)/(b))theta.((a+b))/(b)`
`=(a+b)[sin((a+b)/(b))theta-sin theta-sin theta]`
`=(a+b).2cos{(((a+b)/(b)-1)theta)/(2)}`
`sin{(((a+b)/(b)-1)theta)/(2)}`
`=2(a+b).cos((a+2b)/(2b).theta).sin((a)/(2b)theta)`
`y=(a+b)sin theta - b sin ((a+b)/(b)). theta`
`rArr" "(dy)/(d theta)=(a+b).cos theta-b.cos((a+b)/(b))theta.((a+b)/(b))`
`=(a+b)[costheta-cos((a+b)/(b)).theta]`
`=(a+b).2sin{((1+(a+b)/(b))theta)/(2)}.sin{(((a+b)/(b)-1)theta)/(2)}`
`=2(a+b).sin((a+2b)/(2b).theta).sin((a)/(2b).theta)`
अब `" "(dy)/(dx)=(dy//d theta)/(dx//d theta)`
`=(2(a+b).sin((a+b)/(2b).theta)sin((a)/(2b).theta))/(2(a+b)cos((a+2b)/(2b).theta)sin((a)/(2b).theta))`
`tan((a+2b)/(2b).theta)` यही सिद्ध करना था ।
Discussion
234.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `x=2 cos^(2)t, y=6 sin^(2)t`

Answer» Correct Answer - `-3`
Discussion
235.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `x=a tan theta, y= b sec theta`

Answer» Correct Answer - `(b)/(a)sin theta`
Discussion
236.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए - `x=a(cost+log tan.(t)/(2)),y=a sint`

Answer» Correct Answer - `tant`
Discussion
237.

फलन `f(x)={{:((|x|)/(x)",",x ne 0),(" 1,",x=0):}` के लिये `x=0` पर सांतत्य का परीक्षण कीजिए।

Answer» Correct Answer - असतत
Discussion
238.

(i ) फलन `f(x)={(|x-a|",",xnea),(" 0,",x=a):}` के लिये x = 3 पर सांतत्य का परीक्षण कीजिए। (ii ) फलन `f(x)={{:((|x-3|)/(x-3)",",xne3),(" 0,",x=3):}` के लिये x = 3 पर सांतत्य का परीक्षण कीजिए।

Answer» Correct Answer - (i) सतत (ii) असतत
Discussion
239.

क्या फलन `f(x)={{:((sinx)/(x)",",xne0),(" 1,",x=0):},x=0` पर सतत है ?

Answer» Correct Answer - सतत
Discussion
240.

यदि `f(x)={{:(x^(2)",",xne0),(4",",x=0):}`, तो ज्ञात कीजिए कि `f(x)`, बिंदु x = 0 पर सतत है या असतत |

Answer» x = 0 पर
`f(0)=4 `
दक्षिण पक्ष सीमा `(R.H.L.)=underset(xrarr0^(+))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(0+h)`
`=underset(hrarr0)(lim)(0+h)^(2)=0`
`because R.H.L. ne f(0)`
`therefore f(x),x=0` पर असतत है।
Discussion
241.

दिखाइए की फलन `f(x)=x^(2)+3x+5, x=1` पर सतत है।

Answer» `x=1` पर
दक्षिण पक्ष सीमा (R.H.L.)
`=underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(1+h)`
`=underset(hrarr0)(lim){(1+h)^(2)+3(1+h)+5}`
`=(1+0)^(2)+3(1+0)+5=9`
वाम पक्ष सीमा (L.H.L.)
`=underset(xrarr1^(-))(lim)f(x)=underset(hrarr0)(lim)f(1-h)`
`=underset(hrarr0)(lim){(1-h)^(2)+3(1-h)+5}`
`=(1-0)^(2)+3(1-0)+5=9`
और `f(1)=1^(2)+3(1)+5=9`
अब `R.H.L.=f(1)=L.H.L.`
`because f(x)=x^(2)+3x+5, x=1` पर सतत है ।
Discussion