Explore topic-wise InterviewSolutions in Current Affairs.

समीकरण x² + k (2x + k – 1) + 2 = 0

x² + 2kx + k² – k + 2 = 0

यहाँ a = 1, b = 2k, c = k² – k + 2

∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।

∴ b² – 4ac = 0

(2k)² – 4 × 1 × (k² – k + 2) = 0

4k² – 4k² + 4k – 8 = 0

4k – 8 = 0

k = 8/4 ⇒ k = 2

k²x² – 2(2k – 1)x + 4 = 0

यहाँ a = k², b = – 2(2k – 1), c = 4

∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।

∴ b² – 4ac = 0

[- 2(2k – 1)]² – 4 × k² × 4 = 0

4(2k – 1)² – 16k² = 0

4[(2k – 1)² – 4k²] = 0

4k² + 1 – 4k – 4k² = 0

1 – 4k = 0 या 1 = 4k

k = 1/4

x² – 2(k + 1)x + k² = 0

यहाँ a = 1, b = – 2(k + 1), c = k²

∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।

∴ b² – 4ac = 0

[- 2(k + 1)]² – 4 × 1 × k² = 0

4(k + 1)² – 4k² = 0

4 (k² + 1 + 2k – k²) = 0

1 + 2k = 0 या k= -1/2

(k + 1)x² – 2(k – 1)x + 1 = 0

यहाँ a = (k + 1), b = – 2(k – 1), c = 1

∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।

∴ b² – 4ac = 0

[- 2(k – 1)]² – 4 × (k + 1) × 1 = 0

4 (k – 1)² – 4(k + 1) = 0

4[(k – 1)² – (k + 1)] = 0

k² + 1 – 2k – k – 1 = 0

k² – 3k = 0 या k(k – 3) = 0

∴ k = 0 तथा k – 3 = 0 या k = 3

अत: k = 0, 3

x² – 4kx + k = 0

यहाँ a = 1, b = – 4k, c = k

∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।

∴ b² – 4ac = 0

(- 4k)² – 4 × 1 × k = 0

16k² – 4k = 0

4k (4k – 1) = 0

∴ 4k = 0 तथा 4k – 1 = 0

k = 0, k =1/4

अत:k = 0, 1/4

माना एक मित्र की आयु = x वर्ष

तथा दूसरे मित्र की आयु = (20 –x) वर्ष

प्रश्नानुसार, 

चार वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल = 48

(x – 4) × (20 – x – 4) = 48

(x – 4) × (16 – x) = 48

16x – x² – 64 + 4x – 48 = 0

x² + 20x – 112 = 0

x² – 20x + 112 = 0

अतः स्थिति सम्भव नहीं है।

9x² – 3x – 2 = 0

9x² – 6x + 3x – 2 = 0

3x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0

(3x – 2)(3x + 1) = 0

यदि 3x – 2 = 0, तब x = 2/3

यदि 3x + 1 = 0, तब x = -1/3

अतः x = 2/3 व -1/3

x² – 4x + k = 0

यहाँ a = 1, b = – 4, c = k

∵ समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न हैं

∴ विविक्तकर, D > 0

या b² – 4ac > 0

( – 4)² – 4 × 1 × k > 0

16 – 4k > 0

16 > 4k   या   16/4 > k

k < 4

समीकरण (p – q)x² + 5(p + q)x – 2(p – q) = 0

विविक्तकर, D = b² – 4ac

= {5 (p + q)}² – 4(p – q) × – 2(p – q)

= 25 (p² + q² + 2pq) + 8(p – q)²

= 25p2²+ 25q² + 50 pq + 8(p² + q² – 2pq)

= 25p² + 25q² + 50pq + 8p² + 8q² – 16pq

= 33p² + 33q² + 34pq

∵ D > 0

∴ दी गई समीकरण के मूल वास्तविक और असमान हैं। इति सिद्धम्।

x² + 5kx + 16 = 0

यहाँ a = 1, b = 5k, c = 16

∵ समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं

∴ b² – 4ac < 0

(5k)² – 4 × 1 × 16 < 0

25k² – 64 < 0

k² < 64/25 k < √64/25

या k < \(\pm\)8/5 

या -8/5 < k < 8/5  [∵ x² – a < 0 ⇒ – a < x < a]

(3k + 1) x² + 2(k + 1)x + 1 = 0

यहाँ a = (3k + 1), b = 2(k + 1), c = 1

∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।

∴ b² – 4ac = 0

[2(k + 1)]² – 4(3k + 1) × 1 = 0

4(k + 1)² – 4(3k + 1) = 0

4 [(k + 1)² – (3k + 1)] = 0

k² + 1 + 2k – 3k – 1 = 0

k² – k = 0

k(k – 1) = 0

तब, k = 0 तथा k – 1 = 0 ⇒ k = 1

अत: k = 0, k = 1

(k + 1)x² – 6(k + 1)x + 3(k + 9) = 0 जहाँ k ≠ – 1

यहाँ a = (k + 1), b = – 6(k + 1), c = 3(k + 9)

∵ समीकरण के मूल बराबर हैं। 

अतः ∴ b² – 4ac = 0

[- 6(k + 1)]² – 4 × (k + 1) × 3 (k + 9) = 0

36(k + 1)² – 12(k + 1) (k + 9) = 012(k + 1)[3 (k + 1) – (k + 9)] = 0

(k + 1)(3k + 3 – k – 9) = 0

(k + 1)(2k – 6) = 0

अतः 2k – 6 = 0 (∵ k≠ – 1)

या 2k = 6

या k = 3

k का मान समीकरण में रखने पर, (3 + 1)x² – 6(3 + 1)x + 3(3 + 9) = 0

4x² – 24x + 3 × 12 = 0

4x² – 24x + 36 = 0

x² – 6x + 9 = 0

(x)² – 2 × 3 × x + (3)² = 0

(x – 3)² = 0

अतः x = 3, 3

द्विघात समीकरण 2x² + px – 15 = 0 का एक मूल –5 है।

तो x = – 5 रखने पर,

2(- 5)² + p(- 5) – 15 = 0

या 50 – 5p – 15 = 0

35 – 5p = 0 या 35 = 5p

या 35/5 = p या p = 7

तथा द्विघात समीकरण p(x² + x) + k = 0

∵ p = 7

∴ 7(x² + x) + k = 0

या 7x² + 7x + k = 0

यहाँ a = 7, b = 7, c = k

∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।

∴ b² – 4ac = 0

(7)² – 4 × 7 × k = 0

49 – 28k = 0 या – 28k = – 49

28k = 49 या k = 49/28 = 7/4

समीकरण (a² + b²)x² – 2(ac + bd)x + (c² + d²) = 0

A = a² + b², B = – 2(ac + bd), C = (c² + d²)

∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।

∴ B² – 4AC = 0

[- 2 (ac + bd)]² – 4(a² + b²)(c² + d²) = 0

4(ac + bd)² – 4(a²c² + a²d² + b²c² + b²d²)= 0

4[a²c² + b²d² + 2acbd – a²c² – a²d² – b²c² – b²d²] = 0

-a²d² – b²c² + 2acbd = 0

– [(ad)² + (bc)² – 2acbd] = 0

(ad – bc)² = 0

ad – bc = 0

ad = bc

a/b = c/d इति सिद्धम्।

समीकरण (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + b² – ac = 0

A = c² – ab, B = -2(a² – bc), C = b² – ac

∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।

∴ (B)² – 4AC = 0

[- 2(a² – bc)]² – 4(c² – ab)(b² – ac) = 0

4(a² – bc)² – 4(b²c² – ac³ – ab³ + a²bc) = 0

4(a⁴ + b²c² – 2a²bc – b²c² + ac³ + ab³ – a²bc) = 0

a⁴ + ab³ + ac³ – 3a²bc = 0

a(a³ + b³ + c³ – 3abc) = 0

a = 0 तथा a³ + b³ + c³ – 3abc = 0

a³ + b³ + c³ = 3abc

अतः a = 0 या a³ + b³ + c³ = 3abc इति सिद्धम्।

माना व्यक्ति की आयु = x वर्ष

तथा पुत्र की आयु = y वर्ष

प्रश्नानुसार, 

पहली शर्त, (x – 1) = 8 (y – 1)

x – 1 = 8y – 8

x – 8y = – 8 + 1

x – 8y = – 7 …(1)

दूसरी शर्त, x = y² …(2)

समी० (2) से x का मान समी० (1) में रखने पर,

y² – 8y = – 7

⇒ y² – 8y + 7 = 0

⇒ y² – 7y – y + 7 = 0

⇒ y(y – 7) – 1(y – 7) = 0

(y – 7) (y – 1) = 0

यदि y – 7 = 0 तब y = 7

तथा यदि y – 1 = 0, तब y = 1 (अमान्य)

समी० (2) से, x = (7)² = 49

अतः पिता की आयु = 49 वर्ष तथा पुत्र की आयु = 7 वर्ष

माना लड़की की बहन की वर्तमान आयु = x वर्ष

तथा लड़की की वर्तमान आयु = 2x वर्ष

प्रश्नानुसार, 

चार वर्ष बाद दोनों की आयु का गुणनफल = 160

(x + 4) × (2x + 4) = 160

2x² + 4x + 8x + 16 – 160 = 0

2x² + 12x – 144 = 0

2(x² + 6x – 72) = 0

x² + 6x – 72 = 0x² + 12x – 6x – 72 = 0

x(x + 12) – 6(x + 12) = 0

(x + 12)(x – 6) = 0

यदि x + 12 = 0, तब x = – 12 (अमान्य)

तथा x – 6 = 0, तब x = 6

अतः लड़की की बहन की आयु x = 6 वर्ष

तथा लड़की की आयु 2x = 2 × 6 = 12 वर्ष

माना बड़ी संख्या = x तथा छोटी संख्या = y है।

तब प्रथम शर्त से, x² – y² = 45 …(1)

द्वितीय शर्त से, y² = 4x …(2)

समी० (2) से y2 का मान समी० (1) में रखने पर,

x² – 4x = 45

x² – 4x – 45 = 0

x² – 9x + 5x – 45 = 0

x(x – 9) + 5(x – 9) = 0

(x – 9)(x + 5) = 0

x – 9 = 0 तथा x + 5 = 0

अतः x = 9 , x = – 5 (अमान्य)

यदि बड़ी संख्या x = 9 तब समी० (2) से,

y² = 4 × 9 ⇒ y² = 36

y = √36 = \(\pm6\)

अतः संख्याएँ 9, 6 या 9, – 6 होंगी।

माना अभीष्ट तीन क्रमागत प्राकृत संख्याएँ x – 1, x तथा x + 1 हैं।

तब, प्रश्नानुसार

संख्याओं के वर्गों का योगफल = 149

(x – 1) + x² + (x + 1)² = 149

(x² – 2x + 1) + x² + (x² + 2x + 1) = 149

3x² + 2 – 149 = 0

3x² – 147 = 0

3x² = 147

x² = 147/3

x² = 49 या x² = 7

x = ±7

x = + 7 x = –7, अमान्य है, क्योंकि x एक प्राकृतिक संख्या है।

अतः x = 7 ⇒ x + 1 = 7 + 1 = 8

x – 1 = 7 – 1 – 6

अतः अभीष्ट तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ = 6, 7, 8

माना रिजुता के गणित में अंक = x

तथा अंग्रेजी में अंक = (30 – x) अंक है।

तब, प्रश्नानुसार,

(x + 2) × (30 – x – 3) = 210

(x + 2) × (27 – x) = 210

27x – x² + 54 – 2x – 210 = 0

-x² + 25x – 156 = 0

x² – 25x + 156 = 0

x² – 12x – 13x + 156 = 0

x (x – 12) – 13(x – 12) = 0

(x – 12)(x – 13) = 0

यदि x – 12 = 0, तब x = 12

तथा यदि x – 13 = 0, तब x = 13

अब 30 – x = 30 – 12 = 18 या 30 – x = 30 – 13 = 17

अतः रिजुता के गणित तथा अंग्रेजी में अंक क्रमशः 12, 18 या 13, 17 हैं।

माना तीन क्रमागत धन पूर्णांक x, (x + 1), (x + 2) हैं।

प्रश्नानुसार, 

x² + (x + 1)(x + 2) = 46

x² + x² + 2x + x + 2 – 46 = 0

2x² + 3x –  44 = 0

2x² + 11x – 8x – 44 = 0

x(2x + 11) – 4(2x + 11) = 0

(2x + 11)(x – 4) = 0

जब 2x + 11 = 0, तब x = -11/2 (अमान्य)

तथा जब x – 4 = 0, तब x = 4

अतः तीन क्रमागत धनपूर्णांक = x, x + 1, x + 2

= 4, 4 + 1, 4 + 2 = 4, 5, 6

माना, पहला विषम धन पूर्णांक = x

तथा दूसरा विषम धन पूर्णांक = x + 2

प्रश्नानुसार, 

(x)² + (x + 2)² = 394

x² + x² + 4 + 4x – 394 = 0

2x² + 4x – 390 = 0

2(x² + 2x – 195) = 0

x² + 2x – 195 = 0

x² + 15x – 13x – 195 = 0

x(x + 15) – 13(x + 15) = 0

(x + 15)(x – 13) = 0

जब x + 15 = 0, तब x = – 15 (अमान्य)

तथा जब x – 13 = 0, तब x = 13

अतः पहली विषम संख्या = x = 13

तथा दूसरी विषम संख्या = x + 2 = 13 + 2 = 15

माना दोनों वर्गों की भुजायें क्रमश: x मीटर तथा y मीटर हैं।

तब पहले वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² = x² वर्ग मीटर

दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = y² वर्ग मीटर

और पहले वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा = 4x मीटर

दूसरे वर्ग का परिमाप = 4y मीटर

प्रश्नानुसार, 

दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों का योग = 640 वर्ग मीटर

x² + y² = 640 …(1)

तथा दोनों वर्गों के परिमाप का अन्तर = 64

4x – 4y = 64

या 4 (x – y) = 64

x – y = 64/4 या x – y= 16 …(2)

समी० (2) से, x – 16 = y या y = x – 16

y का मान समी० (1) में रखने पर,

x² + (x – 16)² = 640

या x² + x² + 256 – 32x – 640 = 0

2x² – 32x – 384 = 0

या 2(x² – 16x – 192) = 0

x² – 16x – 192 = 0

x² – 24x + 8x – 192 = 0

x (x – 24) + 8 (x – 24) = 0

(x – 24)(x + 8) = 0

यदि x – 24 = 0, तब x = 24

तथा यदि x + 8 = 0, तब x = – 8 (अमान्य)

x का मान समी० (2) में रखने पर,

24 – y = 16

– y = 16 – 24 या y = 8

अतः पहले वर्ग की भुजा = 24 मीटर तथा दूसरे वर्ग की भुजा = 8 मीटर

दिया गया समीकरण 5·5^x + 5·5^-x = 26

5(5^x + 5^-x) = 26

5^x + 5^-x = 26/5

माना 5^x = y तब 5^-x = 1/y

∴ दिया गया समीकरण y + 1/y = 26/5

\(\frac{y^2+1}{y}=\frac{26}{5}\)

5(y² + 1) = 26y

5y² + 5 – 26y = 0

5y² – 26y + 5 = 0

5y² – 25y – y + 5 = 0

5y(y – 5) – 1(y – 5) = 0

(y – 5)(5y – 1) = 0जब y – 5 = 0 तब y = 5

तथा जब 5y – 1 = 0 तब y = 1/5

y = 5 लेने पर, 5^x = 5 = 5¹

x = 1

y = 1/5 लेने पर, 5^x = 5^-1

x = -1

4x² – 2(a² + b²)x + a²b² = 0

4x² – 2a²x – 2b²x + a²b² = 0

2x(2x – a²) – b²(2x – a²) = 0

(2x – a²)(2x – b²)

यदि 2x – a² = 0 तब x = a²/2

यदि 2x – b² = 0 तब x = b²/2

अतः x = a²/2 व b²/2

2x² + x – 6 = 0

2x² + 4x – 3x – 6 = 0

2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0

(x + 2)(2x – 3) = 0

x + 2 = 0 तथा 2x – 3 = 0

x = – 2, x = 3/2

अतः x= – 2, 3/2

100x² – 20x + 1 = 0

100x² – (10 + 10)x + 1 = 0

100x² – 10x – 10x + 1 = 0

10x (10x – 1) – 1(10x – 1) = 0

(10x – 1)(10x – 1) = 0

10x – 1 = 0, तथा 10x – 1 = 0

x = 1/10, x = 1/10

अतः x = 1/10, 1/10