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i. Three lines are line AB, line PQ and line RS

ii. One rectilinear figure is CEFG

iii. Four concurrent points are A, E, F and B.

fog (x) = f (g(x))

= f(x^1/3) = 8(x^1/3)³ = 8x

fog (x) = f(g(x)) = f (|5x – 2|) = |5x – 2|

Obviously, domain of “fog” is domain of g i.e., {2, 5, 1}.

Now, 

fog (2) = f(g(2)) = f(3) = 5

⇒ fog(5) = f(g(5)) = f(1) = 2

fog (1) = f(g(1)) = f(3) = 5

⇒ fog = {(2, 5), (5, 2), (1, 5)}

fog (x) = f(g(x)) 

= f(x – 7) = x – 7 + 7 = x

Therefore, fog(7) = 7

Given f(x) = x + 7 and g(x) = x - 7, x∈R 

fog(x) = f(g(x)) = g(x) + 7 = (x - 7) + 7 = x  

=> (fog) (7) = 7

Given: f (x) = 3x² – 1 and g (x) = 3 + x

To find: the domain of the given functions equal

Explanation: So the domain of a function consists of all the first elements of all the ordered pairs, i.e., x, so we have to find the values of x to get the required domain

The two given functions are equal, so

f (x) = g (x)

Substituting the values, we get

3x² – 1 = 3 + x

3x² – 1 - 3 – x = 0

3x²– x-4 = 0

We will find the solution by splitting the middle term, i.e.,

⇒ 3x² + 3x-4x-4 = 0

⇒ 3x(x + 1)-4(x + 1) = 0

⇒ (3x-4)(x + 1) = 0

⇒ 3x-4 = 0 or x + 1 = 0

⇒ 3x = 4 or x = -1

x = 4/3, -1

Hence for x = 4/3, -1 f (x) = g (x), i.e., given functions are equal.

Hence the domain is = [-1, 4/3]

Hence the correct answer is option (B)

Given, f (x) = x² – 3x + 2

Then,

f (f (x)) = f (x² – 3x + 2)

= (x² – 3x + 2)² – 3(x² – 3x + 2) + 2,

= x⁴ + 9x² + 4 – 6x³ + 4x² – 12x – 3x² + 9x – 6 + 2

= x⁴ – 6x³ + 10x² – 3x

Thus,

f (f (x)) = x⁴ – 6x³ + 10x² – 3x

Correct option is (d) 26.7

Given 2*(x *5) = 10

⇒ 2*(x .5)/5 = 10 ⇒ 2* x = 10

⇒ (2.x)/5 = 10 

⇒ x = (10 x 5)/5 

⇒ x = 25

It is given that *: P(X) × P(X) → P(X) is defined as A * B = (A − B) ∪ (B − A) ∀ A, B ∈ P(X).
Let A ∈ P(X). Then, we have
A * Φ = (A − Φ) ∪ (Φ − A) = A ∪ Φ = A
Φ * A = (Φ − A) ∪ (A − Φ) = Φ ∪ A = A
∴ A * Φ = A = Φ * A for all A ∈ P(X)

Thus, Φ is the identity element for the given operation*. Now, an element A ∈ P(X) will be invertible if there exists B ∈ P(X) such that

A * B = Φ = B * A.                       [As Φ is the identity element]
Now, we observed that 
A * A = ( A – A) ∪ (A – A) = Φ ∪ Φ = Φ for all A ∈ P(X).
Hence, all the elements A of P(X) are invertible with A⁻¹ = A.

(i). Let (x, y) be the identity element in A.

Now,

(a, b) * (x, y) = (a, b)

= (x, y) * (a, b) ∀ (a, b) ∈ A

⇒ (ax, b + ay) = (a, b) = (xa, y + bx)

Equating corresponding terms, we get

⇒ ax = a, b + ay = b or a = xa, b = y + bx,

⇒ x = 1 and y = 0

Hence, (1, 0) is the identity element in A.

(ii). Let (a,b) be an invertible element in A and let (c,d) be its inverse in A.

Now,

(a,b) * (c,d) = (1,0) = (c,d) * (a,b)

⇒ (ac,b+ad) = (1,0) = (ca,d+c)

⇒ ac = 1, b + ad = 0

or 1 = ca, 0 = d + bc [By equating coefficients]

⇒ \(c = \frac{1}{a}\) and \(d=-\frac{b}{a}\)

Where, a ≠ 0

Therefore, all (a,b) ∈ A is an invertible element of A if a ≠ 0, and inverse of (a,b) is (\( \frac{1}{a}\), \(-\frac{b}{a}\))

For inverse of (5,3)

Inverse of (5,3) = (\(\frac{1}{5},\,-\frac{3}{5}\)) (∵  Inverse of (a,b) =\( \frac{1}{a}\),\(-\frac{b}{a}\))

For inverse of (\( \frac{1}{2}\),4)

Inverse of (\( \frac{1}{2}\),4) = (2, -8)

Six

Explanation:

A rectangular parallelepiped has always three pairs of rectangular faces.

It can be verified by counting the number of rectangles in the adjoining figure showing a rectangular parallelepiped.

8

Explanation:

The 3 coordinate planes divide the space into 8 different parts and each part is called an octant.

Given: P(1, -1, 0) and Q(2, 1, 2) 

To find: Distance between given two points 

Formula used: 

The distance between any two points (a, b, c) and (m, n, o) is given by,

\(\sqrt{(a-m)^2+(b-n)^2+(c-0)^2}\)

Therefore, 

Distance between (1, -1, 0) and (2, 1, 2) is 

= \(\sqrt{(1-2)^2+(-1-1)^2+(0-2)^2}\) 

= \(\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2}\) 

= \(\sqrt{1+4+4}\) 

= \(\sqrt{9}\) 

= 3

Hence, Distance between P and Q is 3 units

Given: Points are (3, 0, -1) and (-2, 5, 4) 

To find: lengths of the edges of the parallelepiped formed 

For point (3, 0, -1) 

x₁ = 3, y₁ = 0 and z₁ = -1 

For point (-2, 5, 4) 

x₂ = -2, y₂ = 5 and z₂ = 4 

Plane parallel to coordinate planes of x₁ and x₂ is y_z-plane 

Plane parallel to coordinate planes of y₁ and y₂ is x_z-plane 

Plane parallel to coordinate planes of z₁ and z₂ is x_y-plane 

Distance between planes x₁ = 3 and x₂ = -2 is 3 – (-2) = 3 + 2 = 5

Distance between planes x₁ = 0 and y₂ = 5 is 5 – 0 = 5 

Distance between planes z₁ = -1 and z₂ = 4 is 4 – (-1) = 4 + 1 = 5 

Hence, edges of parallelepiped is 5, 5, 5

Given: Points are (5, 0, 2) and (3, -2, 5) 

To find: lengths of the edges of the parallelepiped formed 

For point (5, 0, 2) 

x₁ = 5, y₁ = 0 and z₁ = 2 

For point (3, -2, 5) 

x₂ = 3, y₂ = -2 and z₂ = 5 

Plane parallel to coordinate planes of x₁ and x₂ is y_z-plane 

Plane parallel to coordinate planes of y₁ and y₂ is x_z-plane 

Plane parallel to coordinate planes of z₁ and z₂ is xy-plane 

Distance between planes x₁ = 5 and x₂ = 3 is 5 – 3 = 2 

Distance between planes x₁ = 0 and y₂ = -2 is 0 – (-2) = 0 + 2 = 2 

Distance between planes z₁ = 2 and z₂ = 5 is 5 – 2 = 3 

Hence, edges of parallelepiped is 2, 2, 3

Given: Point (3, -2, 5) 

To find: the coordinates of 7 more points such that the absolute values of all 8 coordinates are the same 

Formula used: Absolute value of any point(x, y, z) is given by,

\(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

We need to make sure that absolute value to be the same for all points 

In the formula of absolute value, there is square of the coordinates. So when we change the sign of any of the coordinates, it will not affect the absolute value. 

Let point A(3, -2, 5) 

Remaining 7 points are: 

Point B(3, 2, 5) (By changing the sign of y coordinate) 

Point C(-3, -2, 5) (By changing the sign of x coordinate) 

Point D(3, -2, -5) (By changing the sign of z coordinate) 

Point E(-3, 2, 5) (By changing the sign of x and y coordinate) 

Point F(3, 2, -5) (By changing the sign of y and z coordinate) 

Point G(-3, -2, -5) (By changing the sign of x and z coordinate) 

Point H(-3, 2, -5) (By changing the sign of x, y and z coordinate)

Given: Point P(-4, 3, 5) 

To find: distances of the point P from coordinate axes 

The distance of the point from x-axis will be given by,

= \(\sqrt{y^2+z^2}\) 

= \(\sqrt{3^2+5^2}\) 

= \(\sqrt{9+25}\) 

= \(\sqrt{34}\) 

The distance of the point from y-axis will be given by,

 = \(\sqrt{x^2+z^2}\) 

= \(\sqrt{(-4)^2+5^2}\) 

= \(\sqrt{16+25}\) 

= \(\sqrt{41}\)  

The distance of the point from z-axis will be given by,

 = \(\sqrt{x^2+y^2}\) 

= \(\sqrt{(-4)^2+3^2}\) 

= \(\sqrt{16+9}\) 

= \(\sqrt{25}\)  

= 5

Let P = (x,y,z),B = (3,4,5) and B = (-1,3-7).  

Now, 

PB²  = (x +1)²  + (y – 3)²  + (z + 7)²  and  PA² = (x – 3)²  + (y – 4)² + (z – 5)²  

Given that PA²  + PB²  = 2k², 

then  

(x - 3)²  + (y - 4)² +(z - 5)²  + (x + 1)² +(y - 3)² + (z + 7)²  = 2k²

⇒ x²  – 6x + 9 + y²  – 8y + 16 + z²  – 10z + 2² + x²  + 2x +1 + y²  – 6y + 9 + z²  +14z + 49 = 2k. 

⇒ 2x²  + 2y²  + 2z²  – 4x – 14y + 4z + 109 = 2k²  

⇒ 2x²  + 2y²  + 2z²  – 4x  + 4y + 4z = 2k²  -109

Since x-coordinate of every point in yz-plane is zero. Let P (0, y, z) be a point on the yz-plane such that PA = PB = PC. Now

PA = PB ⇒ (0 – 2)² + (y – 0)² + (z – 3)² = (0 – 0)² + (y – 3)² + (z – 2)² , i.e. z – 3y = 0 and PB = PC

⇒ y² + 9 – 6y + z² + 4 – 4z = y² + z² + 1 – 2z , i.e. 3y + z = 6

Simplifying the two equating, we get y = 1, z = 3

Here, the coordinate of the point P are (0, 1, 3).

Given: Points are A(1, 5, 7), B(5, 1, -4)

To find: the point on z-axis which is equidistant from the points 

As we know x = 0 and y = 0 on z-axis 

Let R(0, 0, z) any point on z-axis 

According to the question: 

RA = RB 

⇒ RA² = RB² 

Formula used: 

The distance between any two points (a, b, c) and (m, n, o) is given by,

\(\sqrt{(a-m)^2+(b-n)^2+(c-0)^2}\)

Therefore, Distance between R(0, 0, z) and A(1, 5, 7) is RA,

= \(\sqrt{(0-1)^2+(0-5)^2+(z-7)^2}\) 

= \(\sqrt{1+25+(z-7)^2}\) 

= \(\sqrt{26+(z-7)^2}\) 

The distance between P(x, y, 0) and B(2, 1, 2) is PB,

= \(\sqrt{(0-5)^2+(0-1)^2+(z-(-4)^2}\)

= \(\sqrt{(z+4)^2+25+1}\)

 = \(\sqrt{(z+4)^2+26}\) 

As RA² = RB² 

26+ (z – 7)² = (z + 4)² + 26 

⇒ z²+ 49 – 14z + 26 = z²+ 16 + 8z + 26 

⇒ 49 – 14z = 16 + 8z 

⇒ 49 – 16 = 14z + 8z 

⇒ 22z = 33

⇒ z = \(\frac{33}{22}\) 

⇒ z = \(\frac{3}{2}\) 

Hence point   \(\Big(0,0,\frac{3}{2}\Big)\)  on z-axis is equidistant from (1, 5, 7) and (5, 1, -4)

Given: Points A(1, 2, 3) 

To find: the point on z-axis which is at distance of from the given point 

As we know x = 0 and y = 0 on z-axis 

Let R(0, 0, z) any point on z-axis 

According to question:

RA = \(\sqrt{21}\)

⇒ RA² = 21 

Formula used: 

The distance between any two points (a, b, c) and (m, n, o) is given by,

\(\sqrt{(a−m)^2+(b−n)^2+(c−0)^2}\)

Therefore, 

Distance between R(0, 0, z) and A(1, 2, 3) is RA,

= \(\sqrt{(0−1)^2+(0−2)^2+(z−3)^2} \) 

= \(\sqrt{1+4+(z−3)^2} \) 

 = \(\sqrt{5+(z−3)^2} \)

As RA² = 21

5 + (z – 3)² = 21 

⇒ z²+ 9 – 6z + 5 = 21 

⇒ z² – 6z = 21 – 14 

⇒ z²– 6z – 7 = 0 

⇒ z²– 7z + z – 7 = 0 

⇒ z(z– 7) + 1(z – 7) = 0 

⇒ (z– 7) (z + 1) = 0 

⇒ (z– 7) = 0 or (z + 1) = 0 

⇒ z= 7 or z = -1 

Hence points (0, 0, 7) and (0, 0, -1) on z-axis is equidistant from (1, 2, 3)

Given: The coordinates of the A, B and C of the triangle ABC are (a, 1, 3), (-2, b, -5) and (4, 7, c) respectively. 

The centroid of the triangle is (0, 0, 0) 

To find: the values of a, b, c 

Formula used: 

Centroid of triangle ABC whose vertices are A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) and C(x₃, y₃, z₃) is given by,

\(\Big(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3},\frac{z_1+z_2+z_2}{3}\Big)\) 

Here A(a, 1, 3), B(-2, b, -5) and C(4, 7, c) 

Centroid of the triangle

(0,0,0) =   \(\Big(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3},\frac{z_1+z_2+z_2}{3}\Big)\) 

⇒ (0,0,0) =  \(\Big(\frac{a-2+4}{3},\frac{-2+b+7}{3},\frac{3-5+c}{3}\Big)\) 

⇒ (0,0,0) =  \(\Big(\frac{a+2}{3},\frac{b+5}{3},\frac{c-2}{3}\Big)\)  

On comparing:

\(\frac{a+2}{3}\) = 0 

⇒ a + 2 = 0 

⇒ a = –2

 \(\frac{b+5}{3}\) = 0 

⇒ b + 5 = 0 

⇒ b = –5

 \(\frac{c-2}{3}\) = 0  

⇒ c – 2 = 0 

⇒ c = 2

Hence, values of a, b and c are -2, -5, 2

Given: Points are A(0, 7, -10), B(1, 6, -6) and C(4, 9, -6) 

To prove: the triangle formed by given points is an isosceles triangle Isosceles right-angled triangle is a triangle whose two sides are equal 

Formula used: The distance between any two points (a, b, c) and (m, n, o) is given by,

  \(\sqrt{(a−m)^2+(b−n)^2+(c−o)^2}\)

Therefore, 

Distance between A(0, 7, -10) and B(1, 6, -6) is AB,

= \(\sqrt{(0-1)^2+(7-6)^2+(-10-(-6))^2}\) 

= \(\sqrt{(-1)^2+1^2+(-4)^2}\) 

= \(\sqrt{1+1+16}\) 

= \(\sqrt{18}\) 

= \(3\sqrt{2}\) 

Distance between B(1, 6, -6) and C(4, 9, -6)is BC,

= \(\sqrt{(1-4)^2+(6-9)^2+(-6-(-6))^2}\) 

= \(\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+0^2}\) 

= \(\sqrt{9+9}\) 

= \(\sqrt{18}\) 

= \(3\sqrt{2}\) 

Distance between A(0, 7, -10) and C(4, 9, -6) is AC,

= \(\sqrt{(0-4)^2+(7-9)^2+(-10-(-6))^2}\) 

= \(\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-4)^2}\) 

= \(\sqrt{16+4+16}\) 

= \(\sqrt{36}\) 

= 6

Clearly, 

AB = BC 

Thus, Δ ABC is an isosceles triangle 

Hence Proved

Given: Points are A(1, 2, 3), B(2, 3, 1) and C(3, 1, 2) 

To prove: the triangle formed by given points is an equilateral triangle 

An equilateral triangle is a triangle whose all sides are equal 

So we need to prove AB = BC = AC 

Formula used: 

The distance between any two points (a, b, c) and (m, n, o) is given by,

\(\sqrt{(a−m)^2+(b−n)^2+(c−0)^2}\)

Therefore, 

The distance between A(1, 2, 3) and B(2, 3, 1) is AB

= \(\sqrt{(1-2)^2+(2-3)^2+(3-1)^2} \) 

= \(\sqrt{(-1)^2+(−1)^2+4^2} \) 

 = \(\sqrt{1+1+4} \)

= \(\sqrt{6}\)

Distance between B(2, 3, 1) and C(3, 1, 2) is BC

 = \(\sqrt{(1-3)^2+(2-1)^2+(3-2)^2} \) 

= \(\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2} \) 

 = \(\sqrt{1+1+4} \)

= \(\sqrt{6}\)

Clearly, AB = BC = AC 

Thus, Δ ABC is a equilateral triangle 

Hence Proved

Given: Points are A(3, 3, 3), B(0, 6, 3), C(1, 7, 7) and D(4, 4, 7) 

To prove: the quadrilateral formed by these 4 points is a square 

All sides of a square are equal 

Formula used: 

The distance between any two points (a, b, c) and (m, n, o) is given by

 \(\sqrt{(a−m)^2+(b−n)^2+(c−o)^2}\)

Therefore, 

The distance between A(3, 3, 3) and B(0, 6, 3) is AB,

= \(\sqrt{(3-0)^2+(3-6)^2+(3-3)^2} \) 

= \(\sqrt{3^2+3^2+0^2} \) 

 = \(\sqrt{9+9} \)

= \(\sqrt{18}\)

 = \(3\sqrt{2}\)

Distance between B(0, 6, 3) and C(1, 7, 7) is BC,

 = \(\sqrt{(0-1)^2+(6-7)^2+(3-7)^2} \) 

= \(\sqrt{1^2+1^2+4^2} \) 

 = \(\sqrt{1+1+16} \)

= \(\sqrt{18}\) 

= \(3\sqrt{2}\)

Distance between C(1, 7, 7) and D(4, 4, 7) is CD,

 = \(\sqrt{(1-4)^2+(7-4)^2+(7-7)^2} \) 

= \(\sqrt{3^2+3^2+0^2} \) 

 = \(\sqrt{9+9+0} \)

= \(\sqrt{18}\)  

=\(3\sqrt{2}\)

The distance between A(3, 3, 3) and D(4, 4, 7) is AD,

= \(\sqrt{(3-4)^2+(3-4)^2+(3-7)^2}\)

= \(\sqrt{1+1+16}\)

= \(\sqrt{18}\) 

= \(3\sqrt{2}\)

Clearly, 

AB = BC = CD = AD 

Thus, Quadrilateral formed by ABCD is a square 

Hence Proved

Given: Points are A(0, 7, 10), B(-1, 6, 6) and C(-4, 9, 6) 

To prove: the triangle formed by given points is an isosceles right-angled triangle Isosceles right-angled triangle is a triangle whose two sides are equal and also satisfies Pythagoras Theorem 

Formula used: 

The distance between any two points (a, b, c) and (m, n, o) is given by,

 \(\sqrt{(a−m)^2+(b−n)^2+(c−0)^2}\)

Therefore, 

Distance between A(0, 7, 10) and B(-1, 6, 6) is AB,

= \(\sqrt{0-(-1))^2+(7-6)^2+(10-6)^2} \) 

= \(\sqrt{1^2+1^2+4^2} \) 

 = \(\sqrt{1+1+16} \)

= \(\sqrt{18}\)

 = \(3\sqrt{2}\)

Distance between B(-1, 6, 6) and C(-4, 9, 6) is BC,

 = \(\sqrt{(-1-(-4))^2+(6-9)^2+(6-6)^2} \) 

= \(\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2} \) 

 = \(\sqrt{9+9} \)

= \(\sqrt{18}\) 

= \(3\sqrt{2}\)

Distance between A(0, 7, 10) and C(-4, 9, 6) is AC,

 = \(\sqrt{(0-(-4))^2+(7-9)^2+(10-6)^2} \) 

= \(\sqrt{(4)^2+(-2)^2+4^2} \) 

 = \(\sqrt{16+4+16} \)

= \(\sqrt{36}\)  

= 6

Since, AB = BC 

AB² + BC²

= \((3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2\)  

= 18 + 18

= 36 = AC² 

As, AB = BC and AB² + BC² = AC² 

Thus, Δ ABC is an isosceles-right angled triangle

Given: distance between the points P(a, 2, 1) and Q(1, -1, 1) is 5 units 

To find: the value of a 

Formula used: The distance between any two points (a, b, c) and (m, n, o) is given by,

\(\sqrt{(a-m)^2+(b-n)^2+(c-o)^2}\)

PQ = 5 units 

The distance between points P(a, 2, 1) and Q(1, -1, 1) is PQ

⇒\(\sqrt{(a-1)^2+(2-(-1))^2+(1-1)^2}\)

 ⇒\(\sqrt{(a-1)^2+3^2+0^2}\) = 5

 ⇒ \(\sqrt{a^2+1-2a+9+0}\) = 5

 ⇒ \(\sqrt{a^2-2a+10}\) = 5

Squaring both sides: 

⇒a² – 2a + 10 = 25 

⇒ a²– 2a + 10 – 25 = 0 

⇒ a² – 2a – 15 = 0 

⇒ a² – 5a + 3a – 15 = 0 

⇒ a(a – 5) + 3(a – 5) = 0 

⇒ (a – 5) (a + 3) = 0 

⇒ a = 5 or -3 

Hence, the value of a is 5 or -3

Given, edge of a cube is 5 unit. 

∴ Co-ordinates of O = (0, 0, 0) 

∴ Co-ordinates of A = (5, 0, 0) 

∴ Co-ordinates of G = (0, 5, 0) 

∴ Co-ordinates of D = (0, 0, 5) 

∴ Co-ordinates of B = (5, 5, 0) 

∴ Co-ordinates of F = (5, 5, 5) 

∴ Co-ordinates of E = (5, 0, 5) 

∴ Co-ordinates of C = (0, 5, 5)

Let \(\bar{a}\) = 3i – 4j – 5k, b = 2i – 3j + k

 (i) Vector Equation is \(\bar{r}\) = \(\bar{a}\)+ λ(\(\bar{b}\) –\(\bar{a}\) )\(\bar r\)

= 3i – 4j – 5k + λ( – i + j + 6k)

Cartesian Equation is

= \(\frac{x-3}{-1}=\frac{y+4}{1}=\frac{z+5}{6 }\)

(ii) Let the point be (x, y, 0)

\(\frac{x-3}{-1}=\frac{y+4}{1}=\frac{z+5}{6 }\)

= \(x= \frac{13}{6},y = \frac{-19}{6 }\)

Then the point on the XY Plane is

\(\frac{13}{6},\frac{-19}{6}\),0

(i) 2x + y + z – 3 + λ(x – y – z – 4) = 0

⇒ (2 + λ)x + (1 – λ)y + (1 – λ)z – 3 – 4λ = 0

 Vector equation is .

\(\bar{r}\).(2 + λ)i + (1 – λ)y + (1 – λ)k – (3 + 4)λ = 0 

(ii) Since passing through (1,2, – 1) we have; 

⇒ (2 + λ)1 + (1 – λ)2 + (1 – λ)( -1) – 3 – 4λ = 0 

⇒ 2 + λ + 2 – 2λ – 1 + 1 – 3 – 4λ = 0 

⇒ 0 – 4λ – 0 

⇒ λ = 0 

\(\bar{r}\).(2i + j + k) = 3 is required plane. Since the point (1, 2, -1) is a point on the first plane

(i) The Cartesian equation of the given planes are

 x + y + z – 6 = 0 and 2x + 3 – y + 4z + 5 = 0

The family of such planes is x + y + z – 6 + λ(2x + 3y+ 4z + 5) = 0  …..(1) 

Since it passes through (1, 1, 1)

 \(1+1+1-6+λ(2+3+4+5)=0\\⇒-3+λ(14)=0\\⇒ λ =\frac{3}{14}\)

(1) ⇒ x + y + z - 6 + \(\frac{3}{14}\)(2x + 3y +4z +5) = 0

⇒ 14x + 14y + 14z - 84 +6x +9y + 12z + 15 = 0

⇒ 20x + 23y + 26z - 69 = 0

Vector Equation is \(\bar{r}\).(20i + 23j + 26k) = 69 

(ii) Cartesian Equation is ⇒ 5x + 3y + 4z = 0 

Perpendicular distance from origin is

\(\frac{5\times0 + 3\times0+4\times0}{\sqrt{25+9+16}}\)

= 0

The Cartesian equation of the planes are x + y + z = 6 and 2x + 3y + 4z = – 5. Therefore the equation of the plane passing through the intersection of these planes is

x + y + z – 6 + k(2x + 3y + 4z + 5) = 0

Since it pass through (1, 1, 1) we get,

1 + 1 + 1 – 6 + k(2 + 3 + 4 + 5) = 0 ⇒ -3 + k14 ⇒ k = \(\frac{3}{14}\)

∴ the equation is

x + y + z + -6 + \(\frac{3}{14}\) (2x + 3 y + 4z + 5) = 0

14x + 14y + 14z – 84 + 6x + 9y + 12z + 15 = 0

20x + 23y + 26z = 69

Vector equation is \(\bar r\). (20i + 23j + 26k) = 69.

(i). (b). \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) units

(ii). Equation of the plane passing through the intersection is of the form

x + y + z – 1 + λ(2x + 3y + 4z – 5) = 0 _____(1)

(1 + 2λ)x + (1 + 3λ)j + (1 + 4λ)z – 1 – 5λ = 0

The Dr’s of the required plane is

(1 + 2λ), (1 + 3λ), (1 + 4λ)

The Dr’s of the Perpendicular plane is 1, -1, 1

⇒ (1 + 2λ)(1) + (1 + 3λ)(-1) + (1 + 4λ)(1) = 0

⇒ 1 + 2λ – 1 – 3λ + 1 + 4λ = 0

⇒ 3λ + 1 = 0 ⇒ λ = −\(\frac{1}{3}\)

(1) ⇒ x + y + z – \(\frac{1}{3}\)(2x + 3y + 4z – 5) = 0

⇒ 3x + 3y + 3z – 2x – 3y – 4z + 5 = 0

⇒ x – z + 2 = 0.

1. The cartesian equation are 2x + y + z – 3 = 0 and x – y – z – 4 = 0 Required equation of the plane is

(2x + y + z – 3) + λ(x – y – z – 4) = 0

(2+ λ)x + (1 – λ)y + (1 – λ)z + (-3 – 4λ) = 0.

2. The above plane passes through (1, 2, -1)

(2+ λ)1 + (1 – λ)2 + (1 – λ)(-1) + (-3 – 4λ) = 0

3 – 3 + 4λ = 0

λ = 0

Equation of the plane is 2x + y + z – 3 = 0

\(\bar r\) .(2i + j + k) = 3.

धर्म-सुधार आन्दोलन के प्रमुख कारण धर्म-सुधार आन्दोलन के प्रमुख कारण निम्नलिखित हैं –

1. चर्च के सिद्धान्तों के विरुद्ध असन्तोष – मध्यकाल के अन्तिम चरण में रोमन कैथोलिक चर्च के अन्दर ही कुछ मूलभूत सिद्धान्तों के विरुद्ध असन्तोष बढ़ रहा था। कुछ लोग यह मानने लगे थे कि रोमन कैथोलिक चर्च ईसा के उपदेशों, भावनाओं एवं मान्यताओं से दूर हट चुका है। इसलिए चर्च को ईसाई धर्म के ईश्वर-नियुक्त अभिभावक के रूप में स्वीकार नहीं किया जा सकता। इन सुधारकों ने कहा कि ईसाई सिद्धान्तों का एकमात्र प्रामाणिक स्रोत धर्मग्रन्थ है, न कि संगठित चर्च के निर्णय एवं परम्पराएँ। उन्होंने ईसाई धर्म में मनुष्य और ईश्वर के बीच प्रत्यक्ष सम्बन्धों पर जोर देना शुरू किया। फलतः पेशेवर पादरी और रोमन कैथोलिक चर्च के संस्कारों का महत्त्व घटने लगा।

2. चर्च में व्याप्त बुराइयाँ – धर्म-सुधार आन्दोलन का दूसरा प्रमुख कारण चर्च के अन्तर्गत व्याप्त बुराइयाँ थीं, जो 15वीं एवं 16वीं सदी में पैदा हो गयी थीं। पादरियों की अज्ञानता और विलासिता, चर्च के पदों एवं सेवाओं की बिक्री (सिमोनी), सम्बन्धियों के बीच चर्च के लाभकारी पदों का बँटवारा (नेपोटिज्म) तथा एक पादरी द्वारा एक से अधिक पद रखे रहना (प्लुरेलिज़म) यह सभी असन्तोष एवं शिकायत के कारण थे। पापी-से-पापी व्यक्ति भी चर्च को पैसे देकर अपने पापों से मुक्ति प्राप्त कर सकता था। सच्चे धर्मात्मा एवं श्रद्धालु लोगों को ये बातें बुरी लगती थीं। वे यह नहीं समझ पाते थे कि जो व्यक्ति पाप करते हैं, उन्हें ईश्वर पैसा लेकर कैसे छोड़ देगा?

3. आर्थिक कारण – आर्थिक कारणों ने नि:सन्देह धर्म-सुधार आन्दोलन में उल्लेखनीय भूमिका निभायी। उस समय तक पश्चिमी यूरोप के देशों में राष्ट्रीय राज्य कायम हो चुके थे। राजाओं को सेना व प्रशासन का खर्च चलाने के लिए अधिक धन की आवश्यकता थी। पादरियों द्वारा वसूला जाने वाला कर’ रोम चला जाता था। इसके अतिरिक्त पादरी वर्ग धनी होते हुए भी करों से मुक्त था। राजा चाहते थे कि राज्य का शासन चलाने के लिए चर्च पर कर लगाया जाए। वाणिज्य-व्यापार के कारण जब मुद्रा-प्रधान अर्थव्यवस्था कायम हुई तब कर्ज लेने की प्रथा जोरों से चल पड़ी। परन्तु चर्च की मान्यता थी कि कर्ज लेना पाप है। अत: चर्च के सिद्धान्त व्यापार की प्रगति में बड़े बाधक थे। इसलिए व्यापारी एक ऐसा धर्म चाहते थे जो उनके कार्यों का समर्थन करे।

4. चर्च द्वारा किसानों का शोषण – चर्चशोषित किसानों का असन्तोष भी धर्म-सुधार आन्दोलन का कारण था। चर्च स्वतः ही एक बड़ा सामन्त था। भू-अनुदान के रूप में उसके पास बहुत अधिक भूमि का स्वामित्व था। किसान चर्च के कर से पिसते जा रहे थे। पादरी, सामन्त-प्रथा एवं किसानों (कम्मियों) के शोषण का समर्थन करते थे। इसलिए जाग्रत किसान उनसे नाराज थे और कभी-कभी विद्रोह भी कर देते थे।

5. धर्म के प्रति कट्टरवादिता – पुनर्जागरण के कारण चर्च और उसके प्रधान पोप के विरुद्ध विद्रोह की भावना और बलवती हो उठी। चर्च सम्भवत: नवीन विचारधारा का सबसे जबरदस्त विरोधी था। वह नहीं चाहता था कि पुराने विश्वासों और रूढ़ियों को उखाड़कर नये सिद्धान्तों की स्थापना हो। परन्तु मुद्रण (प्रिण्टिग) कला के विकास से धार्मिक ग्रन्थों को पढ़कर एवं विचारकों के विचार जानकर लोगों को पता चल गया कि ईसाई धर्म का सच्चा स्वरूप क्या है तथा बीच के काल में जो अन्धविश्वास प्रविष्ट हो गये हैं वे पादरी वर्ग के निहितार्थों के कारण हुए थे। अत: इससे धर्म का स्वरूप विकृत हो गया था। वे इस बात का प्रयत्न करने लगे कि धर्म का प्राचीन रूप पुनः प्रतिष्ठित हो।

निष्कर्ष – सोलहवीं शताब्दी के अन्त तक चर्च के विरुद्ध धार्मिक, राजनीतिक, आर्थिक और बौद्धिक असन्तोष चरम सीमा तक पहुँच चुका था। विद्रोह के लिए केवल एक सक्रिय नेता और विस्फोट के लिए एक घटना की आवश्यकता थी। प्रोटेस्टेण्ट धर्म-सुधार तीन विशिष्ट परन्तु सम्बद्ध आन्दोलनों-लूथरवाद, काल्विनवाद और ऐंग्लिकनवाद से मिलकर संघटित हुआ। मार्टिन लूथर का विद्रोह धर्म-सुधार की शुरुआत थी।

लूथरवाद

मार्टिन लूथर का जन्म 10 नवम्बर, 1483 ई० में जर्मनी के आइसलेवन नामक शहर में हुआ था। इसके पिता हेन्स लूथर एक खान में मजदूरी किया करते थे। मार्टिन लूथर की 62 वर्ष की अवस्था में 18 फरवरी, 1546 ई० को आइसलेवन में मृत्यु हो गयी।

मार्टिन लुथर ने धर्मशास्त्र का अध्ययन किया था। उसका विश्वास था कि ईसा मसीह में अटूट विश्वास के द्वारा मनुष्य मुक्ति प्राप्त कर सकता है। उसने अनुभव किया कि पूजा, प्रायश्चित्त, बानगी, प्रार्थना, आध्यात्मिक ध्यान और क्षमा-पत्रों (इण्डल्जेन्स) की खरीद से पाप से मुक्ति नहीं पायी जा सकती। उसने क्षमा-पत्रों की बिक्री के औचित्य को चुनौती दी। उसने तर्क दिया कि क्षमा-पत्र के द्वारा मनुष्य चर्च के लगाये दण्ड से मुक्त हो सकता है, किन्तु मृत्यु के पश्चात् वह ईश्वर के लगाये दण्ड से छुटकारा नहीं पा सकता और ने अपने पाप के फल से बच सकता है। उसके विचारों ने तहलका मचा दिया। उसके समर्थकों की संख्या बढ़ने लगी।

लूथर के विचारों से पोप को घबराहट हुई। पोप ने उसे धर्मच्युत कर दिया। इस समय तक सारे जर्मनी में सामाजिक एवं धार्मिक खलबली पैदा हो चुकी थी। बहुत-से राजा चर्च से नाराज थे। इसलिए वे लूथर का समर्थन करने लगे।

लूथर के विचार बहुत सुगम थे। उसने ईसा और बाइबिल की सत्ता स्वीकार की जबकि पोप और चर्च की दिव्यता और निरंकुशता को नकार दिया। उसने बताया कि चर्च का अर्थ रोमन कैथोलिक या कोई अन्य विशिष्ट संगठन नहीं बल्कि ईसा में विश्वास करने वाले लोगों का समुदाय है। उसने पोप, कार्डिनल और बिशप के पदानुक्रम को समाप्त करने की माँग की। मठों और पादरियों के ब्रह्मचर्य को समाप्त करने का विचार उसने रखा। उसके ये विचार अत्यधिक लोकप्रिय हुए।

धर्म के प्रश्न को लेकर जर्मनी के राज्य दो दलों में बँट गये-लूथर के समर्थक ‘प्रोटेस्टेण्ट’ कहलाये और उसके विरोधी ‘कैथोलिक’। प्रोटेस्टेण्ट, सुधारवादी थे और कैथोलिक प्राचीन धर्म के अनुयायी। प्रोटेस्टेण्ट धर्म उत्तरी जर्मन राज्यों, डेनमार्क, नार्वे, स्वीडन और बाल्टिक राज्यों में तेजी से फैल गया।

काल्विनवाद

प्रोटेस्टेण्ट धर्म की स्थापना में लूथर के बाद फ्रांस के ‘काल्विन’ का ही नाम आता है। इनका जन्म 10 जुलाई, 1509 ई० को फ्रांस में हुआ था। इन्होंने लूथर के विचारों को पढ़कर 24 वर्ष की आयु में प्रोटेस्टेण्ट धर्म को अपना लिया। उनका विचार था कि ईसाई धर्म को समझने के लिए ईसा के विचार को समझना आवश्यक है। उनका कहना था कि आचार-विचार का पालन कड़ाई से होना चाहिए।

काल्विन के सिद्धान्तों का आधार ईश्वर की इच्छा की सर्वोच्चता थी। ईश्वर की इच्छा से ही सब कुछ होता है, इसलिए मनुष्य की मुक्ति न कर्म से हो सकती है न आस्था से, वह तो केवल ईश्वर के अनुग्रह से ही हो सकती है। मनुष्य के पैदा होते ही यह तय हो जाता है कि उसका उद्धार होगा या नहीं। इसे ही पूर्व नियति का सिद्धान्त’ (Doctrine of Predestiny) कहते हैं।

काल्विन के इस सिद्धान्त ने उसके अनुयायियों, विशेषकर व्यापारियों में नवीन उत्साह, आत्मविश्वास एवं दैविक प्रेरणा का संचार किया। अत: यह स्पष्ट है कि काल्विन के धर्म को व्यापारियों का समर्थन इसलिए मिला; क्योंकि उसके सिद्धान्तों से उनके व्यापार को बड़ा लाभ हुआ; उदाहरणस्वरूप-स्कॉट, डच, फ्रांसीसी और अंग्रेज। वास्तव में “19वीं शताब्दी के सर्वहारा के लिए जो कार्य कार्ल मार्क्स ने किया, वही 16वीं शताब्दी के मध्यम वर्ग के लिए काल्विन ने।

काल्विन तत्कालीन पूँजीवादी विकास का समर्थक था। उसने व्यापारियों और मध्यम वर्ग के लोगों के समर्थन से अपने धर्म को मजबूत किया। उसने इस बात पर भी जोर दिया कि पूँजी के लिए सूद (ब्याज) लेना उतना ही ठीक है, जितना कि ज़मीन के लिए मालगुजारी। व्यापार में मुनाफे को वह उचित समझता था। काल्विन को इन विचारों के कारण व्यापारी वर्ग का समर्थन प्राप्त हुआ। अतएव वाणिज्य- व्यापार पर से धार्मिक प्रतिबन्धों के हट जाने से इनका तेजी से विकास हुआ। 27 मई, 1564 ई० को इनकी मृत्यु हो गयी। वैसे तो आधुनिक युग में भौगोलिक खोजों के कारण वाणिज्य, व्यवसाय और अन्ततः पूँजीवादी व्यवस्था का उदय हो चुका था, परन्तु बौद्धिक पुनर्जागरण एवं धर्म-सुधार आन्दोलन ने समुद्र यात्रा और अन्वेषण की इच्छा को और भी तेज कर दिया।

सदियों से एशिया कई अत्यन्त कीमती वस्तुओं के लिए यूरोप का स्रोत था। इन वस्तुओं में रेशम सिल्क, सूती कपड़े, कालीन, जवाहरात और मसाले जैसे माल सम्मिलित थे। ये वस्तु या तो यूरोप में मिलती नहीं थीं या यूरोपीय वस्तुओं से बेहतर होती थीं। मिर्च, दालचीनी, लौंग, अदरक, जायफल जैसे मसाले बहुत महत्त्वपूर्ण थे, जिनका प्रयोग दवा बनाने, मांस सुरक्षित रखने और सॉस इत्यादि बनाने में होता था।

नए स्थानों की खोज-यात्राएँ

मानव जिज्ञासु प्राणी है। जिज्ञासा की भावना ने ही उसे नये देशों व स्थानों की खोज हेतु प्रेरणा दी। 15वीं सदी के अन्तिम वर्षों और 16वीं सदी के प्रारम्भिक वर्षों में यूरोप के साहसी नाविकों ने जोखिम उठाते हुए लम्बी-लम्बी यात्राएँ करके नवीन देशों की खोज करने में सफलता अर्जित की। इसीलिए पुनर्जागरण काल को ‘खोजों का काल भी कहा जाता है। भौगोलिक खोजों के लिए सर्वप्रथम पुर्तगाली और स्पेनिश नाविक आगे आये। बाद में इंग्लैण्ड, फ्रांस, हॉलैण्ड और जर्मनी के नाविक भी खोज-अभियान में जुट गये। इस काल में खोजी यात्राओं के लिए कतिपय अनुकूल परिस्थितियाँ थीं, जिनके कारण सुगमता से खोजी अभियान प्रारम्भ हुआ।

1. तुर्को द्वारा कुस्तुन्तुनिया पर अधिकार – 1453 ई० में तुर्को द्वारा कुस्तुन्तुनिया पर अधिकार कर लिये जाने के फलस्वरूप पश्चिम और पूर्व के बीच व्यापारिक मार्ग यूरोपियनों के लिए बन्द हो गये। पुर्तगाल और स्पेन को भारत और इण्डोनेशिया के साथ व्यापार से पर्याप्त लाभ होता था और पुर्तगाली तथा स्पेन के लोग इस लाभ को छोड़ने के लिए तैयार न थे, अत: पूर्वी देशों के साथ व्यापारिक सम्बन्ध बनाये रखने के लिए उन्होंने नये जलमार्गों का पता लगाया।

2. वैज्ञानिक आविष्कार – आधुनिक युग में दिशासूचक यन्त्र (कुतुबनुमा) का आविष्कार हुआ और इस यन्त्र के आविष्कार ने समुद्री यात्राओं को सुगम और सुरक्षित बना दिया। इस काल में मजबूत जहाजों का भी निर्माण हुआ जो समुद्री यात्रा के समय तूफान, हवा आदि से अपेक्षाकृत सुरक्षित थे।

3. सम्राट् हेनरी का योगदान – पुर्तगाल का शासक हेनरी, नाविक हेनरी (HenrytheNavigator) के नाम से प्रसिद्ध है। वह स्वयं तो एक नाविक नहीं था, किन्तु उसने भौगोलिक अन्वेषणों के क्षेत्र में महत्त्वपूर्ण कार्य किये। उसने नाविकों का एक प्रशिक्षण केन्द्र (स्कूल) स्थापित किया और खोजी यात्राओं को प्रोत्साहित किया। पोत निर्माताओं को आवश्यक सुविधाएँ प्रदान कीं और लम्बी दूरी की यात्राओं के लिए उपयुक्त पोत निर्माण करने की सलाह दी। हेनरी द्वारा स्थापित यह केन्द्र नाविकों और वैज्ञानिकों के आकर्षण का केन्द्र बन गया। इस प्रकार सम्राट् हेनरी ने ऐसी परम्परा विकसित की, जिसके फलस्वरूप खोजी यात्री न केवल उत्साहित हुए, वरन् उन्हें आवश्यक सुविधाएँ भी प्राप्त हुईं।

नवीन व्यापारिक मार्गों की तलाश में अग्रलिखित नये देशों की खोज हुई –

1. उत्तमाशा अन्तरीप की खोज – सन् 1486 ई० में बालोमियो डियाज अफ्रीका के दक्षिणी तट पर पहुँचा, जिसे उसने ‘तूफानों का अन्तरीप’ नाम दिया। बाद में पुर्तगाल के शासक ने इसका नाम ‘उत्तमाशा अन्तरीप’ (Cape of Good Hope) रख दिया।

2. अमेरिका तथा पश्चिमी द्वीपसमूह की खोज – स्पेन का नाविक कोलम्बस, 1492 ई० में तीन समुद्री जहाजों को लेकर एक नयी भूमि पर पहुँचा। पहले वह समझा कि यह भारत भूमि ही है, परन्तु वास्तव में यह ‘नयी दुनिया’ थी। बाद में इटली का एक नाविक अमेरिगो भी यहीं पर पहुँचा। उसी के नाम पर इसका नाम ‘अमेरिका’ पड़ा।

3. न्यूफाउण्डलैण्ड तथा लेब्रेडोर की खोज – सन् 1497 ई० में जॉन कैबेट इंग्लैण्ड के राजा हेनरी सप्तम की सहायता के लिए पश्चिमी समुद्र की ओर निकला। वह उत्तरी अटलाण्टिक महासागर को पार कर कनाडा के समुद्र तट पर पहुँच गया और उसने ‘न्यूफाउण्डलैण्ड’ की खोज की।

4. भारत के समुद्री मार्ग की खोज – यूरोप और भारत के मध्य समुद्री मार्ग की खोज पुर्तगाली नाविक वास्को-डि-गामा ने की थी।

5. ब्राजील की खोज – सन् 1501 ई० में पुर्तगाली नाविक कैब्रेल ने एक नये देश ‘ब्राजील की खोज की।

6. मैक्सिको तथा पेरू की खोज – सन् 1519 ई० में स्पेनिश नाविक कोटिस ने ‘मेक्सिको की तथा सन् 1531 ई० में पिज़ारो ने ‘पेरू’ की खोज की।

7. अफ्रीका महाद्वीप की खोज – इस महाद्वीप की खोज का श्रेय मार्टन स्टैनली तथा डेविड . लिविंग्स्टन को प्राप्त है।

8. पृथ्वी की प्रथम परिक्रमा – पुर्तगाली नाविक मैगलेन तथा उसके साथियों ने सन् 1519 ई० में समुद्र द्वारा पृथ्वी की प्रथम परिक्रमा करके यह सिद्ध कर दिया कि पृथ्वी गोल है तथा उसकी परिक्रमा सुगमता से की जा सकती है।

नवीन व्यापारिक मार्गों की खोज से व्यापार पर निम्नलिखित प्रभाव पड़े

1.     भौगोलिक खोजों के परिणामस्वरूप भारत जाने का छोटा और नया मार्ग खुल गया।

2.     नये व्यापारिक मार्गों की खोज के कारण विश्व के व्यापार में तेजी के साथ वृद्धि होने लगी।

3.     यूरोप में बड़े-बड़े व्यापारिक केन्द्रों का विकास होने लगा और इंग्लैण्ड, फ्रांस, स्पेन तथा पुर्तगाल देश धनी और शक्तिशाली होने लगे।

4.     यूरोपीय देशों में अपने उपनिवेश बनाने और अपना साम्राज्य बढ़ाने की प्रतिस्पर्धा प्रारम्भ हो गयी।

यूरोप के शरणार्थी अमेरिका में आकर बसने लगे और वहाँ पर अपनी सभ्यता एवं संस्कृति का विकास करने लगे।

सन् 1498 ई० में पुर्तगाली नाविक वास्कोडिगामा अपने राजा से आर्थिक सहायता पाकर अपने जहाजी बेड़े के साथ अफ्रीका के पश्चिमी तट से होता हुआ उत्तमाशा अन्तरीप पहुँचा। वहाँ से उसने हिन्द महासागर में प्रवेश किया; फिर उत्तर की ओर से वह जंजीबार होता हुआ पूर्व की ओर बढ़ा। वहाँ से वह भारत के पश्चिमी तट पर स्थित कालीकट राज्य में पहुँचा।

राष्ट्र की सर्वमान्य परिभाषा नहीं दी जा सकती। राष्ट्र बहुत हद तक एक ऐसा समुदाय होता है जो अपने सदस्यों के सामूहिक विश्वास, भावनाओं, आकांक्षाओं और कल्पनाओं के सहारे एक सूत्र में बँधा होता है। यह कुछ खास मान्यताओं पर आधारित होता है जिन्हें लोग उस समुदाय के लिए गढ़ते हैं जिससे वे अपनी पहचान कायम करते हैं। राष्ट्र के प्रति यही भावना राष्ट्रवाद’ कहलाती है।

यूरोप में राष्ट्रवाद के उदय ने जनता के हृदय में राष्ट्रीय भावनाएँ उत्पन्न कीं। वे भावनाएँ अग्रलिखित हैं –

1. पुनर्जागरण एवं धर्म-सुधार आन्दोलन – आधुनिक यूरोप के इतिहास में पुनर्जागरण एक युगान्तरकारी घटना थी। सोलहवीं शताब्दी तक समस्त यूरोप में सामन्ती व्यवस्था लागू होने से समस्त समाज त्राहि-त्राहि कर रहा था। रूढ़िवादियों का प्रबल जोर था। चर्च की अपनी राजनीतिक व्यवस्था अलग थी। इन सब दुष्प्रभावों से मानव-जीवन अभिशप्त हो गया था। मनुष्य एक विचारशील प्राणी होने के कारण सामन्तवाद तथा चर्च के बन्धनों से मुक्त होने के उपाय सोचने लगा। तुर्को की कुस्तुनतुनिया विजय ने दार्शनिकों एवं विचारकों को इटली में शरण लेने के लिए। बाध्य किया, जहाँ पर इन विद्वानों को भरपूर संरक्षण प्राप्त हुआ। इसी बौद्धिक वर्ग ने परलोकवाद तथा धर्मवाद के स्थान पर मानववाद का प्रचार किया, जिससे यूरोप में राजनीतिक, धार्मिक, सामाजिक, सांस्कृतिक जीवन में महत्त्वपूर्ण परिवर्तन हुए। यही परिवर्तन यूरोप में राष्ट्रवाद के उदय का कारण बने।

2. व्यापारिक पुनरुत्थान एवं भौगोलिक खोजें – नाविकों द्वारा नये-नये समुद्री मार्गों की खोज ने समस्त यूरोप में एक अप्रत्याशित क्रान्ति ला दी। इन मार्गों के खोज लेने से लोगों को एक-दूसरे के देश में जाने, वहाँ की सभ्यता एवं संस्कृति को समझने के अवसर प्राप्त हुए। एक-दूसरे देश को आपस में व्यापार करने का अवसर प्राप्त हुआ। आर्थिक स्थिति में भी पर्याप्त सुधार हुआ। इस प्रकार नवीन भौगोलिक खोजों से यूरोपवासी अनेक उन्नत प्राचीन सभ्यताओं के सम्पर्क में आये, जिससे यूरोप में नवीन विचारों का उदय हुआ जो कि राष्ट्रवाद के उदय का एक प्रमुख कारण बना।

3. फ्रांस की क्रान्ति – सन् 1789 ई० में हुई फ्रांस की क्रान्ति विश्व की एक महानतम घटना है। इस क्रान्ति के समय फ्रांस की राजनीतिक, सामाजिक और आर्थिक दशा बड़ी दयनीय थी, जिस कारण देश में असन्तोष तथा अराजकता का वातावरण फैला हुआ था, जो शीघ्र ही क्रान्ति के रूप में फूट निकला। यह क्रान्ति एक ऐसी बाढ़ थी जो अपने साथ अनेक बुराइयों को बहाकर ले गयी। इस क्रान्ति ने यूरोप में राजनीतिक क्रान्ति के साथ-साथ सामाजिक एवं आर्थिक क्रान्ति को जन्म दिया। इस क्रान्ति ने पुरातन व्यवस्था का अन्त कर राष्ट्रीयता की भावना को विकसित किया। इसी से प्रेरित होकर जर्मनी, इटली एवं पोलैण्ड जैसे देशों में राष्ट्रवाद का विकास हुआ।

4. नेपोलियन के प्रशासनिक सुधार – हालाँकि नेपोलियन बाद में फ्रांस का तानाशाह बन गया था। लेकिन प्रारम्भ में उसने फ्रांस का नक्शा ही बदलकर रख दिया। उसने प्रशासनिक क्षेत्र में क्रान्तिकारी सिद्धान्तों का समावेश किया, जिससे पूरी व्यवस्था अधिक तर्कसंगत एवं कुशल बन सके। सन् 1804 ई० की नागरिक संहिता; जिसे आमतौर पर नेपोलियन संहिता के नाम से जाना जाता था; ने जन्म पर आधारित विशेषाधिकार समाप्त कर दिये थे। उसने कानून के समक्ष समानता और सम्पत्ति के अधिकार को सुरक्षित बनाया। नेपोलियन ने सामन्ती व्यवस्था को समाप्त कर दिया, किसानों को भू-दासत्व और जागीरदारी शुल्कों से मुक्ति दिलायी। नेपोलियन के समय में ही कारीगरों पर श्रेणी-संघों के नियन्त्रणों को हटा दिया गया, यातायात और संचार-व्यवस्थाओं को सुधारा गया। इससे किसानों, कारीगरों, मजदूरों और नये उद्योगपतियों ने नयी आजादी का आनन्द उठाया। नेपोलियन के प्रशासनिक सुधारों के कारण एकीकरण की प्रक्रिया आरम्भ हुई। विदेशी शासन के विरुद्ध उसके राष्ट्रवादी एवं राष्ट्रव्यापी युद्धों का भी राष्ट्रवाद के उदय में विशेष योगदान है।

5. बौद्धिक क्रान्ति – अठारहवीं सदी की बौद्धिक क्रान्ति से भी राष्ट्रीयता की भावना को अत्यधिक बल मिला। इस काल में चिन्तन का केन्द्र मनुष्य था। मानववादी होने के कारण चिन्तनकर्ताओं ने मानव की गरिमा, उसके अधिकारों एवं आदर्शों को प्राथमिकता दी। बौद्धिक क्रान्ति की जागृति उत्पन्न करने वालों में रूसो, मॉण्टेस्क्यू तथा वाल्टेयर जैसे महान् दार्शनिक तथा दिदरो एवं क्वेसेन जैसे महान् लेखक थे। इनके विचारों का यूरोप की जनता पर भारी प्रभाव पड़ा जो कि राष्ट्रवाद के उदय का एक प्रमुख कारण था।

6. औद्योगिक क्रान्ति – उन्नीसवीं शताब्दी के आरम्भिक दशकों में औद्योगिक क्रान्ति के कारण पूँजीवाद का आधार तैयार हुआ। पूँजीवाद के विकास से यूरोपीय साम्राज्यवाद में बदलाव आया और अन्तत: राष्ट्रवादी प्रवृत्तियों का उद्भव हुआ।

जर्मनी के एकीकरण का नेतृत्व ऑटोवान बिस्मार्क ने किया।

उन्नीसवीं सदी के मध्य में इटली सात राज्यों में विभक्त था। इसके निर्माण में भी जर्मनी की तरह बहुत-सी मुसीबतें उठायी गयीं। इसे भी राजनीतिक विखण्डन का एक लम्बा इतिहास देखना पड़ा था, जैसा कि जर्मनी में हुआ था। इटली कई वंशानुगत तथा बहुराष्ट्रीय हैब्सबर्ग साम्राज्य में बिखरा पड़ा था। इनमें से केवल सार्डिनिया-पीडमॉण्ट में एक इतालवी राजघराने का शासक था। उत्तरी भाग ऑस्ट्रियाई हैब्सबर्गों के अधीन था, मध्य इलाकों पर पोप का शासन था और दक्षिणी क्षेत्र स्पेन के बूबू राजाओं के अधीन थे। इतालवी भाषा ने भी साझा रूप प्राप्त नहीं किया था और अभी तक उसके विविध क्षेत्रीय और स्थानीय रूप उपस्थित थे।

इटली को एकीकृत कर गणराज्य बनाने में ज्युसेप मेसिनी; जो एक महान् क्रान्तिकारी भी था; ने महत्त्वपूर्ण भूमिका निभायी। उसने सन् 1830 ई० के दशक में एक सुविचारित कार्यक्रम प्रस्तुत किया, जिसके लिए उसने एक गुप्त संगठन यंग इटली नाम से बनाया था। वह अपने विचारों को उक्त संगठन के माध्यम से आम लोगों तक पहुँचाना चाहता था। सन् 1831 ई० और 1848 ई० में क्रान्तिकारी विद्रोह हुए जिनकी असफलता के कारण इतालवी राज्यों को जोड़ने को उत्तरदायित्व सार्डिनिया-पीडमॉण्ट के शासक विक्टर इमैनुअल द्वितीय पर आ गया। इस क्षेत्र के अभिजात वर्ग की नजरों में एकीकृत इटली उनके लिए आर्थिक विकास और राजनीतिक प्रभुत्व की सम्भावनाएँ उत्पन्न करता था।

मन्त्री प्रमुख काबूर जिसने इटली को एकीकृत करने के लिए आन्दोलन का नेतृत्व किया था, वह न तो क्रान्तिकारी था और न ही जनतान्त्रिक। वह इटली के अन्य धनवान तथा शिक्षित लोगों की तरह फ्रेंच भाषी था। फ्रांस से सार्डिनिया-पीडमॉण्ट की एक चालाक कूटनीतिक सन्धि; जिसके पीछे काबूर का हाथ था; से सार्डिनिया-पीडमॉण्ट 1859 ई० में ऑस्ट्रियाई ताकतों को हरा पाने में कामयाब हुआ।

नियमित सैनिकों के अतिरिक्त ज्युसेपे गैरीबाल्डी के नेतृत्व में भारी संख्या में सशस्त्र स्वयंसेवकों ने इस युद्ध में भाग लिया। सन् 1860 ई० में वे दक्षिण इटली और दो सिसलियों के राज्य में प्रवेश कर गये और स्पेनी शासकों को हटाने के लिए स्थानीय कृषकों का समर्थन प्राप्त करने में सफल रहे।

सन् 1861 ई० में इमैनुअल द्वितीय को एकीकृत इटली का राजा घोषित किया गया। मगर इटली के अधिकतर निवासी जिनमें निरक्षरता की दर पर्याप्त ऊँची थी, अभी भी उदारवादी-राष्ट्रवादी विचारधारा से अनभिज्ञ थे।

सन् 1848 ई० के यूरोप में राष्ट्रवाद का स्वरूप बदलने लगा था और यह जनतन्त्र एवं क्रान्ति के सैलाब से दूर हो गया था। राज्य की सत्ता को बढ़ाने और पूरे यूरोप पर राजनीतिक प्रभुत्व प्राप्त करने के लिए रूढ़िवादियों ने अकसर राष्ट्रवादी भावनाओं का प्रयोग किया। उस समय जर्मनी तथा इटली के एकीकृत होने की प्रक्रिया जितनी कठिन थी उतनी ही भयावह भी थी। इस प्रक्रिया के बाद ही इटली तथा जर्मनी राष्ट्र-राज्य बन सके थे।

ज्ञातव्य है कि राष्ट्रवादी भावनाएँ मध्यमवर्गीय जर्मन लोगों में घर कर गयी थीं और उन्होंने सन् 1848 ई० में जर्मन महासंघ के विभिन्न भागों को जोड़कर एक निर्वाचित संसद द्वारा शासित राष्ट्र-राज्य बनाने का प्रयत्न किया था। मगर राष्ट्र-निर्माण की यह उदारवादी पहल राजशाही और फौज की शक्ति ने मिलकर दबा दी, जिनका प्रशा के बड़े भूस्वामियों (Junkers) ने भी समर्थन किया। उसके पश्चात् प्रशा ने राष्ट्रीय एकीकरण के आन्दोलन की बागडोर सँभाली। उसका मन्त्री प्रमुख ऑटोवान बिस्मार्क इसे प्रक्रिया का जनक था, जिसने प्रशा की सेना और नौकरशाही की सहायता ली। सात वर्ष के दौरान ऑस्ट्रिया, डेनमार्क और फ्रांस से तीन युद्धों में प्रशा को विजय प्राप्त हुई और एकीकरण की प्रक्रिया पूरी हुई। जनवरी, 1871 में, वर्साय में हुए एक समारोह में प्रशा के राजा विलियम प्रथम को जर्मनी का सम्राट घोषित किया गया।

जनवरी 18, 1871 ई० को प्रात: कड़ाके की सर्दी पड़ रही थी। ऐसे मौसम में; वर्साय का शीशमहल जो कि पहले से ही बेहद सर्द रहता था; जर्मन राजकुमारों, सेना के प्रतिनिधियों और मन्त्री प्रमुख ऑटोवान बिस्मार्क सहित प्रशा के महत्त्वपूर्ण मन्त्रियों ने एक सभा का आयोजन किया। सभा ने प्रशा के काइजर विलियम प्रथम के नेतृत्व में नये जर्मन साम्राज्य की घोषणा की। प्रशा राज्य की शक्ति के प्रभुत्व के दर्शन जर्मनी में उसके राष्ट्र-निर्माण की प्रक्रिया में हुए। नये राज्य ने जर्मनी की मुद्रा, बैंकिंग और कानूनी तथा न्यायिक व्यवस्थाओं के आधुनिकीकरण पर अधिक जोर दिया और प्रशा द्वारा उठाये गये कदम और उसकी कार्यवाहियाँ शेष जर्मनी के लिए एक मॉडल बने।

राष्ट्रवाद एक सांस्कृतिक तथा आध्यात्मिक भावना है जो लोगों को एकता के सूत्र में बाँधती है। यह एक ऐसी सामूहिक भावना है जो एक भूभाग में रहने वाले विभिन्न लोगों को एक राजनीतिक संगठन का सदस्य बने रहने की प्रेरणा देती है और अपने देश से प्रेम करना भी सिखाती है।

फ्रांस में नेपोलियन के पश्चात् यूरोपीय राजनीतिज्ञों ने राष्ट्रवाद की उपेक्षा की, किन्तु इस भावना को वे पूर्णत: दबा नहीं सके। कालान्तर में राष्ट्रीयता के आधार पर ही यूरोप में इटली तथा जर्मनी जैसे राष्ट्रवादी राज्यों का विकास हुआ। नेपोलियन पहला व्यक्ति था जिसने इटली तथा जर्मनी के एकीकरण का मार्ग प्रशस्त किया था।

इन दोनों देशों में एक ही राष्ट्रीयता के लोग राजनीतिक सीमाओं द्वारा विभाजित थे। यूरोप में शुरू होने के कारण ही इसे यूरोपीयन राष्ट्रवाद कहते हैं।

फ्रांस-प्रशा का युद्ध( 1870-71 ई०)-जर्मनी के एकीकरण का अन्तिम सोपान फ्रांस तथा प्रशा के मध्य युद्ध था। बिस्मार्क यह भली प्रकार समझ चुका था कि एक दिन प्रशो को फ्रांस के साथ अवश्य युद्ध करना पड़ेगा। इसीलिए उसने ऑस्ट्रिया के साथ उदारतापूर्ण व्यवहार किया था। फ्रांस की प्रतिनिधि सभा ने 19 जुलाई, 1870 ई० को प्रशा के विरुद्ध युद्ध की घोषणा कर दी।

युद्ध के परिणाम – इस युद्ध के निम्नलिखित परिणाम हुए

1.     इस युद्ध में फ्रांस की पराजय ने इटली के एकीकरण को पूर्ण कर दिया।

2.     इस युद्ध के परिणामस्वरूप नेपोलियन तृतीय के साम्राज्य का पतन हो गया और फ्रांस में तृतीय गणतन्त्र की स्थापना हुई।

3.     इस युद्ध का लाभ उठाकर रूस के जार ने काले सागर पर अपना प्रभुत्व स्थापित कर लिया।

4.     प्रशा के नेतृत्व में जर्मनी का एकीकरण पूरा हो गया और जर्मन साम्राज्य का सम्राट कैसर विलियम प्रथम को बनाया गया।

5.     जर्मन साम्राज्य के लिए एक नवीन संविधान का निर्माण किया गया, जिसमें दो सदनों वाली व्यवस्थापिका सभा की व्यवस्था की गई। इसका पहला सदन बुन्देसराट और दूसरा सदन ‘राईखस्टैग कहलाता था।

इस युद्ध ने यूरोप की दीर्घकालीन क्रान्ति को भंग कर दिया और इसी युद्ध के कारण भविष्य में अनेक युद्धों की भूमिका तैयार हो गई।

सही विकल्प है (क) विलियम प्रथम

सही विकल्प है (घ) ये सभी

सूक्ष्मदर्शी का आविष्कार जेड जॉनसन ने सन् 1590 ई० में किया।