InterviewSolution
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| 51. |
मान लीजिए किसी शतरंज के बोर्ड के वर्गों को यादृच्छिक रूप से लाल या काले रंग से रंगा गया है| तब , शतरंज बोर्ड के लाल वर्गो तथा काले वर्गों के संख्या बारबर होने की प्रायिकता होगीA. `.^(64)C_(32)`B. `(64)/(322^(64))`C. `2^(32-1)`D. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Correct Answer - D शतरंज बोर्ड के लाल तथा काले वर्गों की संख्या समान होने के तरीको के संख्या `=^(64)C_(32)` होगी| अतः अभीष्ट प्रायिकता `=(.^(64)C_(32))/(2^(64))` होगी| |
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| 52. |
एक सिक्के को उछलने पर ऊपर शीर्ष आने की प्रायिकता है:A. 1B. `-1`C. `(1)/(2)`D. `(1)/(3)` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 53. |
मान E और F दो घटनाऍं इस प्रकार हैं की `P(E)=3/5, P(F)=3/10` और `P(E nn F)=1/5`, तब क्या E और F स्वतंत्र हैं? |
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Answer» दिया है - `P(E)=3/5, P(F)=3/10, P(E nn F)=1/5` ltbr. अब `P(E).P(F)=3/5xx3/10=9/50` `:. P(E nn F) ne P(E).P(F)` `implies` अतः E और F स्वतंत्र घटनाऍं नहीं हैं। |
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| 54. |
मान A और B ऐसी घटनाऍं डि गई हैं जहाँ `P(A)=1/2, P(A uu B)=3/5` और `P(B)=P`. तब P का मान ज्ञात कीजिए यदि- घटनाऍं परस्पर अपवर्जी है, |
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Answer» दिया है- `P(A)=1/2, P(A uu B)=3/5, P(B)=P`. A हुए B परस्पर अपवर्जी हैं। `:. P(A nn B)=0` हम जानते हैं की `P(A uu B)=P(A)+P(B)-P(A nn B)` `implies 3/5=1/2 +P-0` `implies P=3/5-1/2=(6-5)/10=1/10` |
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| 55. |
मान लें A और B दो स्वतंत्र घटनाऍं हैं तथा `P(A)=0.3` और `P(B)=0.4`, तब ज्ञात कीजिए- `P(A/B)` |
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Answer» यहाँ `P(A)=0.3, P(B)=0.4` `P(A/B)=(P(A nn B))/(P(B))=0.12/0.4=0.3`. |
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| 56. |
मान लें A और B दो स्वतंत्र घटनाऍं हैं तथा `P(A)=0.3` और `P(B)=0.4`, तब ज्ञात कीजिए- `P(A nn B)` |
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Answer» यहाँ `P(A)=0.3, P(B)=0.4` चूँकि A और B स्वतंत्र घटनाऍं हैं। `:. P(A nn B)=P(A).P(B)=0.3xx0.4=0.12` |
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| 57. |
एक पाँसे को फेंका जाता है। 3 से अधिक संख्या प्राप्त करने की घटना A है। माना 5 से कम संख्या प्राप्त करने की घटना B है। तब `P(AuuB)` का मान है-A. `(2)/(5)`B. `(3)/(45)`C. 0D. 1 |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 58. |
एक टोकरी के अन्दर `4`, लाल, `5` नीली तथा `3` हरी गेंदे रखी है | यदि दो गेंदे यादृच्छिक निकली जाती है, तो दोनों गेंदों के लाल होने की प्रायिकता क्या होगी ?A. `3//7`B. `1//2`C. `1//11`D. `1//6` |
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Answer» Correct Answer - C अभीष्ट प्रायिकता `=(.^(4)C_(2))/(.^(12)C_(2))=(6)/(66)=(1)/(11)` |
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| 59. |
एक संदूक में `2` नीली और `7` लाल गेंदे है, जिनमे से दो गेंदे चुनी जाती है । इसकी क्या प्रायिकता है कि कम-से-कम एक गंदे नीली होगी ?A. `(2)/(9)`B. `(7)/(9)`C. `(5)/(12)`D. `(7)/(12)` |
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Answer» Correct Answer - C अभीष्ट प्रायिकता `=P` (एक गेंद नीली है)`+P` (दोनों गेंदे नीली है) `=(2C_(1)xx7C_(1))/(9C_(2))+(2C_(2)xx7C_(0))/(9C_(2))` `=(2xx7)/(36)+(1)/(36)=(15)/(36)=(5)/(12)` |
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| 60. |
जब कोई सिक्का उछाला जाएं और तब केवल सिक्के पर शीर्ष आने के मामले में एक पासा लुढ़काया जाए, तो परिमाणो की संख्या क्या होगी?A. `6`B. `7`C. `8`D. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Correct Answer - B अनुकूल घटनाएँ `={T,H1,H2,H3,H4,H5,H6}`. `:.` परिमाणों की कुल संख्या `=7` |
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| 61. |
एक सिक्के को उछालने पर ऊपर शीर्ष ( Head ) आने ली क्या प्रायिकता है ? |
| Answer» Correct Answer - `1/2` | |
| 62. |
दो संख्याएँ `X` और `Y` समुच्यय `{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}` से एकसाथ निकली गई | दिया गया है `(X+Y)=15` है,तो दो संख्याओं `X` और `Y` में यथार्थत: एक सम संख्या होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता क्या है?A. `1`B. `3//4`C. `1//2`D. `1//4` |
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Answer» Correct Answer - A दिया है, `X+Y=15` कुल युगम की संख्या `=(5,10),(6,9),(7,8),(8,7),(9,6),(10,5)` `:.n(S)=6` केवल एक ही सम संख्या का युगम है, उनकी संख्या `n(E)=6` `:.` अभीष्ट प्रायिकता `=(n(S))/(n(E))=(6)/(6)=1` |
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| 63. |
सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया । प्राप्त आंकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है : प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यदृच्छया चुना गया विद्यार्थी (i) सांख्यिकी पसंद करता है (ii ) सांख्यिकी पसंद नहीं करता है । |
| Answer» Correct Answer - `(i) (27)/(40) (ii) (13)/(40)` | |
| 64. |
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार है कि `P(A uu B) = 0.6`तथा `P(A) = 0.2` तो P(B) ज्ञात कीजिए | |
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Answer» `therefore` A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ है, तब `P(A nn B) = P(A), P(B)` तथा `" "P(A uu B) = 0.6, P(A) = 0.2` दिया है, अब `" " P(A uu B) =P(A) + P(B) - P(A nn B)` `0.6 = 0.2 + P(B) -P(A). P(B)` `0.6-0.2 = P(B) [1-P(A)]` `0.4=P(B) [1-0.2]` या `P(B) = (0.4)/(0.8) = (4)/(8) = (1)/(2)` P(B) = 0.5` |
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| 65. |
मान लें A और B दो स्वतंत्र घटनाऍं हैं तथा `P(A)=0.3` और `P(B)=0.4`, तब ज्ञात कीजिए- `P(A uu B)` |
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Answer» यहाँ `P(A)=0.3, P(B)=0.4` `P(A uu B)=P(A)+P(B)-P(A nn B)` `=0.3+0.4-0.12` `=0.58` |
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| 66. |
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं : A,B,O,O,AB,O,A,O,B,A,O,B,A,O,O A,AB,O,A,A,O,O,AB,B,A,O,E,A,B,O उपरोक्त सारणी की सहायता से इस कक्षा से यदृच्छया चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - (1)/(10)` | |
| 67. |
एक पाँसे की तीन फेंको में कम से कम एक 4 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए- |
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Answer» Correct Answer - `(91)/(216)` प्रायिकता `""^(3)C_(1)((1)/(6))^(1)((5)/(6))^(2)+""^(3)C_(2)((1)/(6))^(2)((5)/(6))+""(3)^C_(3)((1)/(6))^(3)((5)/(6))^(0)` `=3xx(1)/(6)xx(25)/(36)+3xx(1)/(36)xx(5)/(6)+1xx(1)/(216)=(91)/(216)` |
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| 68. |
मान लिया कि A तथा B दो घटनाएँ इस प्रकार है कि `P(A)=1/2,P(B)=7/12` और P (A -नहीं और B -नहीं ) `=1/4` तथा A और B स्वतंत्र घटनाएँ है? |
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Answer» Correct Answer - A और B परस्पर स्वतंत्र नहीं हैं। |
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| 69. |
यदि `A` तथा `B` दो स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार है कि `P(A)=1//2` तथा `P(B)=1//2`, तब `P(A//B)` का मान होगाA. `1//2`B. `2//3`C. `2//5`D. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Correct Answer - A `P((A)/(B))=P(A)=(1)/(2)` [चूकि`A` तथा `B` स्वतंत्र घटनाएँ है] |
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| 70. |
एक स्कुल में 40% विज्ञान के विद्यार्थी तथा शेष 60% कला के विद्यार्थी है। विज्ञान के विद्यार्थियों में 10% लड़कियाँ है। यादृच्छिक एक विद्यार्थी के चयन करने पर वह लड़की है, तो इस बात की प्रायिकता है कि यह कला की विद्यार्थी है?A. `(1)/(3)`B. `(3)/(4)`C. `(1)/(5)`D. `(3)/(5)` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 71. |
एक टोकरी के अन्दर `4`, लाल, `5` नीली तथा `3` हरी गेंदे रखी है | यदि तीन गेंदे यादृच्छिक निकली जाती है, तो इस बात की प्रायिकता बताइए कि या तो वह तीनो लाल हो या फिर वे तीनो हरी होगीA. `7//44`B. `7//12`C. `5//12`D. `1//44` |
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Answer» Correct Answer - D अभीष्ट प्रायिकता `=(.^(3)C_(3)+^(4)C_(3))/(.^(12)C_(3))=(1+4)/(220)` `=(5)/(220)=(1)/(44)` साथ ही , `P(AB) geP(A)+P(B)-1` `P(AB)ge(3)/(4)+(5)/(8)-1=(3)/(8)` `:. (3)/(8)leP(AB)le(5)/(8)` |
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| 72. |
एक प्रयोग एक सिक्के को उछालने का और अगर शीर्ष आता है, तो उसे एक बार फिर उछालने का है| यदि पहले उछालने में पुच्छ आता है, तो एक छह: मुँह वाला पासा एक बार फेका जाता है| यह मानते हुए कि सभी परिमाण बराबर संभव है, एक शीर्ष और एक पुच्छ पाने की क्या प्रायिकता है?A. `1//4`B. `1//36`C. `1//6`D. `1//8` |
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Answer» Correct Answer - D एक सिक्के को उछलने पर कुल शीर्ष आने कि अनुकूल घटनाएँ `={HT,HH}` एक सिक्के को उछालने पर पुच्छ आने कि कुल अनुकूल घटनाएँ `={T1,T2,T3,T4,T5,T6}` कुल अनुकूलित घटनाएँ `={HT,HH,T1,T2,T3,T4,T5,T6}` `:.` एक शीर्ष और एक पुच्छ आने की प्रायिकता `=1//8` |
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| 73. |
यदि एक खेल के जीतने की प्रायिकता 0.7 है तो इसे हारने की क्या प्रायिकता है? |
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Answer» माना एक खेल के जीतने की प्रायिकता P(A) है। तब, दिया है P(A) = 0.7 ∴ खेल हारने की प्रायिकता P\((\overline{A})\) = 1 – P(A) P\((\overline{A})\) = 1 – 0.7 P \((\overline{A})\) = 0.3 |
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| 74. |
A और B बारी-बारी से एक पास को उछालते हैं तब तक कि उनमे से कोई एक पासे पर छ: प्राप्त कर खेल को जीव नहीं लेता। यदि A खेल को शुरू करे तो उनके जीतने कि क्रमश: प्रायिकता ज्ञात कीजिये। |
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Answer» मान लीजिये S सफलता (पासे पर 6 प्रकट होना) को और F असफलता (पासे पर 6 प्रकट न होना) को व्यक्त करते है। `therefore P(S)=1/6, P(F)=5/6` P(A के पहली उछाल में जीतना) =`P(S)=1/6` A को तीसरी उछाल का अवसर तब मिलता है जब A पहली उछाल में और B दूसरी उछाल में असफल होते है। इसलिए P(A का तीसरी उछाल में जीतना) `=P(FFS)=P(F)P(F)P(S)=5/6 xx 5/6 xx 1/6 = (5/2)^(2) xx 1/6` इसी प्रकार P(A का पांचवी उछाल में जीतना) =P(FFFFS) =`(5/6)^(4)(1/6)` और इसी प्रकार अन्य अन्तः P(A जीतना ) =`1/6+(5/6)^(2)(1/6) +(5/6)^(4)(1/6)+......` `=(1/6)/(1-25)/36=6/11` P(B जीतना) =1-P(A जीतना =`1-6/11=5/11` |
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| 75. |
अधिकतम 100 अंकों की परीक्षा में एक कक्षा के 80 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्तांक नीचे दी गई सारणी में दर्शाये गये हैं। कक्षा का एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह प्राप्त करता है। (i) 15 से कम अंक (ii) 60 या अधिक अंक (iii) 45 से कम अंक |
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Answer» यहाँ विद्यार्थियों की कुल संख्या = 80 (i) P(15% से कम अंक होने की)=`6/80`=0.075 (ii) P(60 या अधिक अंक होने की)=`(16+4)/80=20/80`=0.25 (iii) P(45 से कम अंक होने की)=`(6+13+17)/80=36/80`=0.45 |
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| 76. |
यदि घटनाएँ इस प्रकार है कि `P(A) = (1)/(2), P(B) =(1)/(3)` तथा `P(A uu B) = (2)/(3)` क्या घटनाएँ A तथा B स्वतंत्र है ? |
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Answer» ज्ञात है, `P(A) = (1)/(2), P(B) = (1)/(3)` तथा `P(A uu B) = (2)/(3)` `therefore` हम जानते है कि `P(A uu B) = P(A) + P(B) - P( P nn B)` `(2)/(3) = (1)/(2)+(1)/(3) - P(A nn B)` `therefore " " P(A nn B) = (1)/(2)+(1)/(3) - (2)/(3)` `= (3+2-4)/(6)` `P(A nn B) = (1)/(6)` अब `" " P(A).P(B) = (1)/(2) xx (1)/(3) = (1)/(6)` अतः `" "n P(A nn B) = P(A).P(B)` इसलिए घटनाएँ A तथा B स्वतंत्र है | |
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| 77. |
एक बक्से में 2 से 101 तक लिखी संख्याओं के कार्ड है तथा इन्हे अच्छी तरह से फैटा गया है उुस बक्स से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड पर संख्या है (i) 14 से छोटी एक संख्या (ii) एक संख्या जो पूर्ण वर्ग है (iii) 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या |
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Answer» 2 से 101 तक लिखी संख्याओं के कार्डो की कुल संख्या = 100 (i) 14 से छोटी संख्या अर्थात् 2 से 13 तक की जो संख्याओं में 12 है वाले काडों की संख्या `therefore ` P(14 से छोटी एक संख्या) `=12/100=0.12` (ii)स्पष्ट है कि 2 से 101 तक संख्या वाले कार्डो पर पूर्ण वर्ग है। 4,9,16,25,36,49,64,81,100 `therefore ` पूर्ण वर्ग वाले कार्डो की संख्या= 9 `rArr` P(पूर्ण वर्ग वाली संख्या) = `9/100`=0.09 (iii) 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या है। 2,3,5,7,11,13,17,19 `rArr` कुल संख्या = 8 `therefore` P( 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या) `=8/100`=0.08 |
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| 78. |
निम्नलिखित सारणी की सहायता से बताइए कि यादृच्छिक प्रायिकता बंटन है या नहीं, स्पष्ट कीजिए | `|{:(" X",0,1,2,3),(P(X),0.3,0.1,0.2,04):}|` |
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Answer» दी गयीं प्रायिकताएँ है : 0.3, 0.1, 0.2 तथा 0.4 `therefore " "` प्रायिकताओं का योगफल ` = 0.3 + 0.1 + 0.2+ 0.4 =1` अतः यह यरदरच्छिक प्रायिकता बंटन है | |
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| 79. |
एक खेल में चार टीमों के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः `(1)/(7),(1)/(8),(1)/(9),(1)/(10)` है। इन चार टीमों में से किसी एक के भी जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। किसी भी टीम के न जीतने की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `(1207)/(2520),(1313)/(2520)` `P(A)=(1)/(7),P(B)=(1)/(8),P(C)=(1)/(9),P(D)=(1)/(10)` कम से कम एक के जीतने की प्रायिकता `=P(AuuBuuCuuD)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)` `=(1)/(7)+(1)/(8)+(1)/(9)+(1)/(10)=(1207)/(2520)` प्रायिकता= `1-P(AuuBuuCuuD)` `=1-(1207)/(2520)=(1313)/(2520)` |
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| 80. |
दो पाँसे फेंके जाते है तो (i) योगफल 5 प्राप्त करने के लिए अनुकूल संयोगानुपात (ii) योगफल 6 प्राप्त करने के लिए प्रतिकूल संयोगानुपात ज्ञात कीजिए। |
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Answer» S एक प्रतिदर्श समष्टि है n(S)=36 (i) यदि `E_(1)`= योगफल 5 आने की घटनाऐं `={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}` `impliesn(E_(1))=4` `:.P(E_(1))=(n(E_(1)))/(n(S))=(4)/(36)=(1)/(9)` `E_(1)` के अनुकूल संयोगानुपात `=(P(E_(1)))/(1-P(E_(1)))=((1)/(9))/(1-(1)/(9))=((1)/(9))/((8)/(9))=(1)/(8)` (ii) यदि `E_(2)` = योगफल 6 आने की घटनाऐं `={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}` `impliesn(E_(2))=5` `:.P(E_(2))=(n(E_(2)))/(n(S))=(5)/(36)` `E_(2)` के प्रतिकूल संयोगानुपात `=(1-P(E_(2)))/(P(E_(2)))=(1-(5)/(36))/((5)/(36))=(31)/(5)` |
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| 81. |
एक पाँसे के एक बार उछाला जाता है | घटना पाँसे से प्राप्त संख्या 2 का अपवर्त्य है को A से और पाँसे पर प्राप्त संख्या सम है, को B से प्रदर्शित करे, तो बताइए कि घटनाएँ A तथा B स्वतंत्र है या नहीं | |
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Answer» `therefore` पाँसे पर कुल संख्याओं का होना 6 है | अर्थात `S = {1,2,3,4,5,6}` ज्ञात है: `A = {2,4,6}` तथा `B = {2,4,6}` अब `A nn B = {2,4,6}` तब `P(A) = (3)/(6)=(1)/(2),P(B) = (3)/(6)=(1)/(2)` तथा `P(A nn B ) = (3)/(6) = (1)/(2)` स्पष्ट है : `P(A nn B) ne P(A).P(B)` अतः A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ नहीं है | |
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| 82. |
मान लीजिये दो पैसों को एक साथ उछाला जाता हैं और यदि यादृच्छिक चर X, पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 5 लिया जाये तो X का मान ज्ञात कीजिये। |
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Answer» मान E पासों पर आने की कुल घटना हो, तो E={(1,1), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} इसी परिक्षण का प्रतिदर्श समषिट `=6 xx 6=36` अब `P(X=2)=P` (योगफल 2 आने की घटना) `=1/36` `P(X=3)=P` (योगफल 3 आने की घटना) =`2/36=1/18` `P(X=4)=P` P(योगफल 4 आने की घटना) `=3/36=1/12` `P(X =5)=P` (योगफल 5 आने की घटना) `=4/36 =1/9` इसलिए माध्य, `mu=E(X)=2 xx 1/36 + 3 xx 1/18 +4 x 1/12+5 xx 1/9` `=1/18 + 1/6 +1/3 +5/9` `=10/9 =1.11` |
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| 83. |
तीन सिक्के एक साथ 200 बार उछाले जाते है भिन्न परिणामों की बारंबारताएँ निम्न है। प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (i) तीन चित् (ii) दो चित् तथा एक पट (iii) कम-से-कम दो चित् |
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Answer» यहाँ, अनुप्रयोगों की कुल संख्या =200 अब, (i) P(तीन चित् प्राप्त होने की)=`"अभिप्रयोगों की संख्या जिसमें 3 चित् प्राप्त होते हैं"/"अनुप्रयोगों की कुल संख्या"=23/200=0.115` (ii) P(दो चित् तथा एक पट प्राप्त होने की)=`"अभिप्रयोगों की संख्या जिसमें दो चित् तथा एक पट प्राप्त होते हैं"/"अनुप्रयोगों की कुल संख्या"=72/200=0.36` (iii)स्पष्टत: अभिप्रयोगों की संख्या जिनमें दो चित् तथा एक पट् या सभी चित् प्राप्त होते हैं। =72+23=95 `therefore ` P(कम से कम दो चित् प्राप्त होने की) =`95/200=0.475` |
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| 84. |
किसी पद पर A की नियुक्ति की प्रायिकता ` 1/3 ` है तथा B ` 2/5` की = है। उनमें से केवल एक ही की नियुक्ति हो, इस बात की प्रायिकता क्या है? |
| Answer» किसी पद पर A या B की नियुक्ति ये परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, क्योंकि यदि A की नियुक्ति होती है, तो B की नहीं होगी। यदि B की नियुक्ति होती है, तो A की नियुक्ति नहीं होगी। अतः इनमें से किसी एक की नियुकित होने की प्रयिकता `= 1/3+2/5 =(5-6)/(15)=11/15` | |
| 85. |
तीन सिक्के एक साथ उछाले जाते है, घटना की प्रतिदर्श समष्टि क्या होगा? |
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Answer» किसी एक सिक्के के उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि `={H,T}` `:.` तीन सिक्के को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि `={HHH,HHT,THH,HT""T,THT,T""TH,T""T""T}` |
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| 86. |
किसी दौड़ में A, B, C, D चार घोड़ों के जीतने के अनुकूल संयोगानुपात क्रमशः 1: 3, 1:4, 1:5,1 : 6 हैं। उनमें से किसी भी एक घोड़े के जीतने की प्रायिकता ज्ञात करो। |
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Answer» चूंकि कोई एक घोड़ा ही जीत सकता है और शेष हारेंगे, अतः उनके जीतने की घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं। यदि A, B, C, D के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः` P_1,P_2,P_3,P_4` हों, तो `P_1=1/(1+3)=1/4, P_2 = 1/ (1+4) =1/5 ` `P_3=(1)/(1+5)=1/6 ,P_4 =(1)/(1+6 )=1/7` `therefore " अभीष्ट प्रायिकता " = P_1 +P_2+P_3+P_4` `=1/4+1/5+1/6+1/7= (319)/(420)` |
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| 87. |
एक पाँसे को एक वार उछाला जाता है | यदि यादृच्छिक चर एक सम संख्या प्राप्त करता है, तो उसे X से व्यक्त कीजिए और X का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए | |
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Answer» जब हम पाँसे का एक बार उछालते है तो या हम एक सम संख्या प्राप्त करते है या नहीं | इस प्रकार स्पष्ट है कि X, 1 या 0 मान ग्रहण करता है | अब `" " P(X -1)` = P(2, 4 या 6) = `(1)/(2)` `" " P( X = 0) = ` P(1, 3 या 5) `= (1)/(2)` जो कि y का अभीष्ट प्रायिकता बंटन है | हम प्रायिकता बंटन को एक सारणी के रूप में निम्न प्रकार भी लिख सकते है: `|{:(" X",0,1),(P(X),(1)/(2),(1)/(2)):}|` अतः दी गयीं प्रायिकताएँ `(1)/(2)` तथा `(1)/(2)` जिनका योगफल ` = (1)/(2)+(1)/(2) =1`. |
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| 88. |
जब तीन सिक्के एक साथ एक वार उछाले जाते है , तब इस घटना से सम्बन्घित प्रतिदर्श समष्टि आकिक कीजिए |
| Answer» हम जानते हैं कि किसी भी सिक्के को उछालने पर दो ही परिणाम प्राप्त होते हैं या तो चित्त (H) या पट् (T), इसलिए सम्भव परिणाम होंगे जब तीनों सिक्कों पर चित्त हो, तब = HHH जब एक सिक्के पर चित्त शेष दो पर पट् = HTT जब एक सिक्के पर पट शेष दो पर चित्त = THH इसी प्रकार अन्य, परिणाम प्राप्त हो सकते हैं अर्थात् कुल सम्भव परिणामों का प्रतिदर्श समष्टि S हा, तब S = {HHH, HHT, HTH, THII, IITT, THT, TTH, TIT}. | |
| 89. |
एक साधारण पाँसे को फेंककर तीन से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करो। |
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Answer» चूंकि पाँसा 6 प्रकार से गिर सकता है और पाँसे के गिरने की छः विधियों में से तीन (4, 5, 6) ऐसी हैं जो 3 से बड़ी हैं। अतः तीन से अधिक अंक फेंकने की प्रायिकता `=3/6 =3/15 ` समुच्चय सिद्धान्त से S(P) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} के समुच्चय में 6 बिन्दु हैं, और S(E) = {4, 5, 6} समुच्चय ही पक्ष में हैं जिसमें 3 बिन्दु हैं। अतः प्रायिकता `=(S(E))/(S(P))=3/6 =1/2 ` . |
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| 90. |
यदि एक थैले में 4 गेंदें भिन्न-भिन्न रंग की हैं। लाल (R), नीली (B), पीली (Y) और सफेद W! यदि एक बार में दो गेदें निकाली जाती हों, तो इसका प्रतिदर्श क्या होगा? |
| Answer» एक बार में कोई-सी दो गेंदें खींची जा सकती हैं जो कि भिन्न-भिन्न रंग की होंगी, तो प्रतिदर्श पठष्टि है S= {RB, RY, RW, BY, BW, YW} यदि अब यों कहा जाय कि नीली-पीली, नीली-सफेद के दो जोड़े ही लेने हैं. तो लिखेंगे S(E) = {BY, BW} जहाँ S(E) घटना E को निरूपित करने वाले बिन्दुओं की संख्या है। | |
| 91. |
दो पाँसे प्रक्षिप्त किये जाते हैं और दोनों पाँसों पर प्राप्त संख्याओं का योग लिखा जाता है। निम्नलिखित घटनाएँ दी गयी हैं। इन दी गयी घटनाओं में से कौन-से युग्म परस्पर अपवर्जी हैं? A : प्राप्त योगफल विषम संख्या है। B : प्राप्त योगफल 2 का गुणज है। C: प्राप्त योगफल 6 से कम है। D : प्राप्त योगफल 8 से अधिक है। |
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Answer» दो पाँसे प्रक्षिप्त किए गए हों, तब प्रतिदर्श समष्टि, `S = 6 xx 6 ` A = {(1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1), (1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3), (3, 6), (6, 3), (4,5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)} B = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 5), (5, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 2), (3, 3), . (3, 5), (5, 3), (4, 4), (4,6), (6, 4), (5, 5), (6, 6)} C = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1), (4, 1), (1, 4), (2, 2)} D = {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} अब `A cap B = phi` इसलिए A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं। इसी प्रकार ` A cap C` = {(1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 3),(3, 2)} `ne phi ` इसलिए A और C परस्पर अपवर्जी घटनाएँ नहीं है। `A cap D {(3, 6) (6, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)} ne phi ` इसलिए A और D परस्पर अपवर्जी घटनाएँ नहीं है। ` B cap D = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2)} ne phi ` इसलिए B और C परस्पर अपवर्जी घटनाएँ नहीं है। `B cap D = {(4, 6), (6, 4), (5, 5), (6, 6)} ne phi ` इसलिए B और D परस्पर अपवर्जी घटनाएँ नहीं हैं। अतः युग्म (A, C), (A, D), (B, C), (B, D) परस्पर अपवर्जी नहीं हैं जबकि (A, B) परस्पर अपवर्जी है। |
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| 92. |
दो सिक्कों अर्थात् एक 2.00 रु. का तथा दूसरा 1 रु. का, को एक बार उछाला जाता है। प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए। |
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Answer» हम जानते हैं कि किसी भी सिक्के को उछालने पर दो परिणाम प्राप्त होते हैं या तो चित्त (H) या पट् (T). इसलिए सम्भव परिणाम होंगे जब दोनों सिक्कों पर चित्त हो, तब = HH जब एक सिक्के पर चित्त और दूसरे पर पट् = HT जब एक सिक्के पर पट् और दूसरे पर चित्त = TH जब दोनो सिक्कों पर पट् = TT अतः प्रतिदर्श समष्टि S = {HH, HT, TH, TT}. |
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| 93. |
A, B, C किसी यादृच्छिक प्रयोग के संगत तीन घटनाएँ है तो सिद्ध कीजिए- `P(AuuBuuC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AnnB)-P(AnnC)-P(BnnC)+P(AnnBnnC)` |
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Answer» माना `E=BuuC` `P(AuuBuuC)=P(AuuE)=P(A)+P(E)-P(AnnE)" "......(i)` `P(E)=P(BuuC)=P(B)+P(C)-P(BnnC)" "......(ii)` `AnnE=Ann(BuuC)=(AnnB)uu(AnnC)` `impliesP(AnnE)=P(AnnB)+P(AnnC)-P[(AnnB)nn(AnnC)]` `=P(AnnB)+P(AnnC)-P(AnnBnnC)" "......(iii)` समीकरण (i), (ii), (iii) से `P(AuuBuuC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AnnB)-P(AnnC)-P(BnnC)+P(AnnBnnC)` |
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| 94. |
तीन घटनाओं A B व C के लिए यदि `P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(C)=0.7,P(AnnB)=0.09,P(AnnC)=0.27,P(AnnBnnC)=0.08" यदि "P(AuuBuuC)ge0.8` तब सिद्ध कीजिए कि `P(BnnC)`, अन्तराल `[0.22,0.42]` में स्थित है। |
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Answer» हम जानते है कि किसी घटना के घटित होने कि प्रायिकता सदैव 1 से कम या 1 के बराबर होती है। `impliesP(AuuBuuC)lt1` `:.` प्रश्नानुसार `0.8leP(AuuBuuC)le1` `0.8leP(A)+P(B)+P(C)-P(AnnB)-P(BnnC)-P(AnnC)+P(AnnBnnC)le1` `implies0.8le0.3+0.5+0.7-0.09-P(BnnC)-0.27+0.08le1` `implies0.8le1.22-P(BnnC)le1` `implies-0.42-P(BnnC)le-0.22` `implies0.22leP(BnnC)le0.42` |
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| 95. |
माना A,B,C तीन घटनाएँ है तथा `P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(C)=0.8,P(AnnB)=0.08,P(AnnC)=0.28,P(AnnBnnC)=0.02,P(AuuBuuC)gt0.75` तब `P(BnnC)` का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए। |
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Answer» हम जानते है कि `P(AuuBuuC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AnnB)-P(BnnC)-P(AnnC)+P(AnnBnnC)" ".......(i)` दिये गये मान समीकरण (i) में रखने पर `P(AuuBuuC)=0.3+0.4+0.8-0.08-P(BnnC)-0.28+0.02` `impliesP(BnnC)=1.6-P(AuuBuuC)" ".......(ii)` `P(AuuBuuC)` का महत्व मान 1 समीकरण (ii) में रखने पर `P(BnnC)` का न्यूनतम मान `=1.16-1=0.16` |
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| 96. |
एक बहुविकल्पीय परीक्षा में पाँच प्रश्न है जिनमे से प्रत्येक के तीन संभावित हैं। इसकी क्या प्रायिकता है की एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगाकर चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर दे देगा? |
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Answer» तीन संभावित उत्तरों में से एक उत्तर सही है। सही उत्तर की प्रायिकता `=1/3` `:. p=1/3` और `q=1-1/3=2/3` यहाँ `n=5` r सफलता की प्रायिकता है- `P(X=r)=.^(n)C_(r)p^(r)q^(n-r)` `:.` P (चार या अधिक सफलता) `=P(X=4)+P(X=5)` `=.^(5)C_(4)(1/3)^(4)(2/3)^(1)+.^(5)C_(5)(1/3)^(5)(2/3)^(0)` `=5xx1/81xx2/3+1xx1/243` `=10/243+1/243=11/243`. |
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| 97. |
एक परीक्षा में तीन बहुविकल्पीय प्रश्न है और प्रत्येक प्रश्न में `4` विकल्प है । यदि एक छात्र यादृच्छिक रूप से सभी तीन प्रश्नो के लिए एक उतर का चुनाव करे, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह छात्र सभी तीन प्रश्नो का सही उतर नहीं देगा?A. `1//64`B. `63//64`C. `1//12`D. `11//12` |
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Answer» Correct Answer - B `P`(सभी तीनो प्रश्न सही होने की प्रायिकता) `=(1)/(4)*(1)/(4)*(1)/(4)=(1)/(64)` `P`(सभी तीनो प्रश्न सही न होने की प्रायिकता) `=1-(1)/(64)=(63)/(64)` |
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| 98. |
यदि E और F इस प्रकार की घटनाएं हैं कि `P(E)=0.6, P(F)=0.3` और `P(EnnF)=0.2` तो `P(E|F)` और `P(F|E)` ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `P(E|F)=2/3,P(F|E)=1/3` |
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| 99. |
52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी हुई गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये पत्ते के एक काला बादशाह होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। |
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Answer» 52 पत्तों से एक पत्ता निकालने के कुल संभव परिणाम = 52 माना, E = एक काला बादशाह होने की घटना तब, अनुकूल परिणामों की संख्या = 52 पत्तों में से कुल काले बादशाहों की संख्या ∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 2 तब, प्रायिकता P(E) = 2/50 = 1/26 |
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| 100. |
7 पुरुषो तथा 4 महिलाओ के समूह से 6 व्यक्तियों की एक समिति बनानी है। समिति में ठीक दो महिलाएँ होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। |
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Answer» यहाँ हम 7 पुरुषो तथा 4 महिलाओ के समूह से 6 व्यक्तियो की समिति बनाना चाहते है। माना E समिति के 6 व्यक्तियों में 2 महिलाएँ तथा 4 पुरुष होने का घटना है तथा S प्रतिदर्श समष्टि है। तब स्पष्टत: n(S)= कुल 11 व्यक्तियों में से 6 व्यक्तियों के चुनने के कुल प्रकार `""^(11)C_(6)` तथा n(E)=7 पुरुषो में से 4 पुरुष तथा 4 महिलाओं में से 2 महिलाएँ चुनने के प्रकार `=""^(7)C_(4).""^(4)C_(2)` `:.` समिति में ठीक दो महिलाएँ होने की प्रायिकता, `p(E)=(n(E))/(n(S))=(""^(7)C_(4).""^(4)C_(2))/(""^(11)C_(6))=(5)/(11)` |
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