InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 251. |
यदि P(A)`=2/5` और `P(B) = 1/3` और A और B स्वतंत्र घटनाएं हैं, तो `P(A cap B)` ज्ञात कीजिये। |
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Answer» स्वतंत्र घटनाओं A और B के लिए `P(A cap B) = P(A). P(B) = 2/5 xx 1/3 =2/15` |
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| 252. |
दो पाँसे फेंके जाते है तथा उन पर प्रकट होने वाली संख्याओ का योग नोट कर लिया गया है। निम्नलिखित घटनाओं पर विचार कीजिए- A = संख्याओं का योग विषम प्राप्त होने की घटना B= संख्याओं का योग 4 से कम प्राप्त होने की घटना C= संख्याओं का योग 6 से कम या 6 प्राप्त होने की घटना D = संख्याओं का योग 10 से अधिक होने की घटना इनमे से कौन-सी घटना परस्पर अपवर्जी है ? |
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Answer» प्रश्नानुसार, `A={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)}` `B={(1,1),(1,2),(2,1)}` `C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)}` `D={(5,9),(6,5),(6,6)}` उपरोक्त से स्पष्ट है कि, `AnnB={(1,2),(2,1)}nephiimpliesA व "B` इसी प्रकार `AnnCnephi,AnnDnephi,BnnCnephi` `implies` A व C, A व D तथा B व C परस्पर अपवर्जी नहीं है। तथा `CnnD=phi" "impliesC" व "D` परस्पर अपवर्जी है। व `BnnD=phi" "impliesB" व "D` परस्पर अपवर्जी है। |
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| 253. |
दो पाँसे फेंके जाते है। A दोनों पाँसों पर संख्याओं का योग 5 प्राप्त होने की घटना है तथा B दोनों पाँसों में से कम से एक पर संख्या 3 प्राप्त होने की घटना है। क्या दोनों घटनाएँ (i) परस्पर अपवर्जी है (ii) निःशेष है? |
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Answer» प्रश्नानुसार, `A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}` `B={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6,3)}` स्पष्टत: `AnnB={(2,3),(3,2)}nephi` `implies` A व B परस्पर अपवर्जी नहीं है। इसी प्रकार `AuuBneS` इसलिए A तथा B निःशेष घटनाएँ नहीं है। |
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| 254. |
ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता न तो लाल और न ही एक बेगम है। |
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Answer» 52 पत्तों में से एक पत्ता निकालने में, कुल संभव परिणाम = 52 52 पत्तों में लाल पत्तों की संख्या = 26 काली बेगमों की संख्या = 2 ∴ कुल न आने वाले पत्तों की संख्या = 26 + 2 = 28 इसलिए एक पत्ता न आने वाले के अनुकूल परिणामों की संख्या = 28 तब अभीष्ट प्रायिकता = 28/52 = 7/13 |
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| 255. |
ताश के 52 पत्तों की एक सुमश्रित गड्डी से एक पत्ता यदृच्छया निकाला जाता है। निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाऍं E और F स्वतंत्र हैं? E : निकाला गया पत्ता हुकुम का है, F : निकाला गया पत्ता इक्का है। |
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Answer» E : निकाला गया पत्ता हुकुम का है। `:. P(E)=13/52=1/4` F : निकाला गया पत्ता इक्का है। `:. P(F)=4/52=1/13` `E nn F` : निकाला गया पत्ता हुकुम का इक्का है। `:. P(E nn F)=1/52` अब `P(E).P(F)=1/4xx1/13=1/52=P(E nn F)` अतः E और F स्वतंत्र घटनाऍं हैं। |
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| 256. |
ताश के 52 पत्तों की एक सुमश्रित गड्डी से एक पत्ता यदृच्छया निकाला जाता है। निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाऍं E और F स्वतंत्र हैं? E : निकाला गया पत्ता काले रंग का है, F : निकाला गया पत्ता एक बादशाह है। |
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Answer» E : निकाला गया पत्ता काले रंग का है। `:. P(E)=26/52=1/2` F : निकाला गया पत्ता एक बादशाह है। `:. P(F)=4/52=1/13` `E nn F` : निकाला गया पत्ता काले रंग का बादशाह है। `:. P(E nn F)=2/52=1/26` अब `P(E).P(F)=1/2xx1/13=1/26=P(E nn F)`. अतः E और F स्वतंत्र घटनाऍं हैं। |
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| 257. |
किसी थैले में `5` काली और `3` सफ़ेद गेंदे है| बिना प्रतिस्थापित किए यादृच्छिक रूप से दो गेंदे एक के बाद एक निकली जाती है| दोनों के सफ़ेद होने की प्रायिकता क्या है?A. `1//28`B. `1//14`C. `3//28`D. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Correct Answer - C एक थैले में कुल गेंदों की संख्या `(n)=5+3=8` कुल नमूना समषिट `=^(8)C_(2)` कुल अनुकूल स्थितिया `=^(5)C_(0)xx^(3)C_(2)` `:.` अभीष्ट प्रायिकता `=(.^(5)C_(0)xx^(3)C_(2))/(.^(8)C_(2))=(1xx3)/(28)=(3)/(28)` |
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| 258. |
एक थैले में 4 सफ़ेद और 5 लाल गेंद थैले में से 3 यादृच्छया निकली जाती हैं। लाल गेंदों के लिए प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिये। दिया हैं की गेंद को प्रतिस्थापित किया जाता हैं। |
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Answer» लाल गेंद निकलने की प्रायिकता `P=5/(5+4)=5/9` और लाल गेंद न निकलने की प्रायिकता `q=1-p=1-5/9=4/9` कोई लाल गेंद न निकलने की प्रायिकता `P(X=0)=q.q.q = 4/9 xx 4/9 xx 4/9 = 64/729` एक लाल गेंद निकलने की प्रायिकता `P(X=1) = p.q.q+q.p.q+q.q.p` `=5/9. 5/9.4/9+4/9. 5/9. 4/9 + 4/9. 4/9. 5/9 = 300/720` तीनों लाल गेंद निकालने की प्रायिकता `P(X=3) = p.p.p=5/9. 5/9.5/9=125/729` |
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| 259. |
एक थैले में 3 सफ़ेद और 6 काली गेंद हैं। दूसरे थैले में 6 सफ़ेद और 3 काली गेंद हैं। एक थैला याद्रीच्या चुना जाता हैं तथा उसमे से एक गेंद निकली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिये की निकली गई गेंद काळा रंग की हैं। |
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Answer» माना `E_(1)=` पहले थैले को चुनने की घटना `E_(2)` =दूसरे थैले को चुनने की घटना `therefore P(E_(1)) = P(E_(2)) = 1/2` माना =E काली गेंद निकलने की घटना हैं। `therefore P(E//E_(1)) = 6/9 =2/3` और `P(E//E_(2))=3/9=1/3` अब संम्पूर्ण प्रायिकता प्रमेय से `P(E) = P(E_(1)). P(E//E_(1)) + P(E_(2)). P(E//E_(2))` `=1/2 xx 2/3 + 1/2 xx 1/3 = 3/6=1/2` |
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| 260. |
52 ताशों की गड्डी से एक ताश खींचा जाता है। (i) फोटो वाली ताश आने के अनुकूल संयोगानुपात तथा (ii) चिड़ी का पत्ता आने के प्रतिकूल संयोगानुपात ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `impliesn(S)=52` (i) माना `E_(1)` घटना एक फोटो वाली ताश प्राप्त करने की घटना" " (यहाँ 12 फोटो वाली ताश है) `P(E_(1))=(n(E_(1)))/(n(S))=(12)/(52)=(3)/(13)` इसलिए फोटो वाली ताश के अनुकूल संयोगानुपात `=(P(E_(1)))/(1-P(E_(1)))=(3//13)/(1-3//13)=(3)/(10)` (ii) माना `E_(2)` घटना चिड़ी का पत्ता निकालने की घटना है। `n(E_(2))=13` `:.P(E_(2))=(n(E_(2)))/(n(S))=(13)/(52)=(1)/(4)` चिड़ी के पत्ते के लिए संयोगानुपात `=(1-P(E_(2)))/(P(E_(2)))=(1-1//4)/(1//4)=3` |
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| 261. |
एक कंपनी ने यदृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच संबंध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया । एकत्रित किए गए आकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैं : मान लीजिए एक परिवार चुना गया है । प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवार ( i) की आय 10000-13000 रु प्रति माह है और उसके पास ठीक-ठीक दो वाहक हैं । (ii ) कि आय प्रति माह 16000 रु या इससे अधिक है और उसके पास ठीक 1 वाहक है । (iii ) की आय 7000 रु प्रति माह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है । (iv ) की आय 13000-16000 रु प्रति माह है और उसके पास 2 से अधिक वाहक हैं । (v ) जिसके पास 1 से अधिक वाहक नहीं है । |
| Answer» Correct Answer - `(7)/(90) (ii) (23)/(90)` | |
| 262. |
52 ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है । शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते है जो ईंट के पत्त हैं। खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता क्या है? |
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Answer» Correct Answer - `11/50` |
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| 263. |
52 ताशो की एक गड्डी में से एक पत्ता यदृच्छया खींचा जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह (i) बादशाह हो (ii) ईंट का पत्ता हो (iii) पत्ता लाल हो या बादशाह |
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Answer» (i) हम जानते है कि 52 ताशो की गड्डी में 4 बादशाह होने है। `implies` बादशाह होने के अनुकूल स्थितियों की संख्या =4 स्पष्टत: कुल सम्भावित स्थितियों की संख्या =52 `:.` बादशाह आने की प्रायिकता `=(4)/(52)=(1)/(13)` (ii) हम जानते है कि ताश की गड्डी में ईंट के कुल 13 पत्ते होते है। `implies` ईंट का पत्ता होने के अनुकूल स्थितियों की संख्या =13 स्पष्टत: कुल सम्भावित स्थितियों की संख्या =52 `:.` ईंट का पत्ता आने की प्रायिकता `(13)/(52)=(1)/(4)` (iii) हम जानते है कि ताश की गड्डी में लाल पत्तो की संख्या कुल 26 होती है। जिनमे ईंट तथा पान के दो बादशाह शामिल है। इसके अतिरिक्त बादशाहो की संख्या 2 और हो सकती है। `implies` लाल पत्ता या बादशाह आने के अनुकूल स्थितियों की संख्या =28 तथा कुल सम्भावित स्थितियों की संख्या =52 `:.` अभीष्ट प्रायिकता `=(28)/(52)=(7)/(13)` |
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| 264. |
अच्छी तरह फेटे हुए ताश के `52` पतों की एक गड्डी में से बिना प्रतिस्थापन के दो पते उत्तरोत्तर निकले जाते है| निकले गए दोनों पतों के इक्का होने की प्रायिकता क्या है?A. `1//26`B. `1//221`C. `4//223`D. `1//13` |
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Answer» Correct Answer - B ताश की अच्छी तरह फेटी गई गड्डी से बिना प्रतिस्थापन के दो पते खींचने की प्रायिकता `=^(52)C_(2)` ताश की गड्डी खींचने में इक्को की संख्या `=4` तथा बिना प्रतिस्थापन के दो इक्के आने की संभावना `=^(4)C_(2)` `:.` अभीष्ट प्रायिकता `=(.^(4)C_(2))/(.^(52)C_(2))=(4xx2)/(52xx51)` `=(1)/(13xx17)=(1)/(221)` |
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| 265. |
ताश के 52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता खींचा जाता है, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह इक्का होगा। |
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Answer» 52 ताश के पत्तों की गड्डी में केवल 4 इक्के होते हैं। अतः इक्का आने की प्रायिकता `= 4/52 ` `=1/3 ` |
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| 266. |
यदि किसी लीप वर्ष (Leap year) को यदृच्छया (At random) चुन लिया जाय, तो उस वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता ज्ञात करो। |
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Answer» एक लीप वर्ष में 366 दिन अर्थात् 52 पूर्ण सप्ताह और 2 दिन होते हैं। इन दो दिनों में से निम्नलिखित 7 संचय कर सकते हैं (1) सोमवार और मंगलवार, (2) मंगलवार और बुधवार, (3) बुधवार और वृहस्पतिवार, (4) वृहस्पतिवार और शुक्रवार, (5) शुक्रवार और शनिवार, (6) शनिवार और रविवार, (7) रविवार और सोमवार। सात समप्रायिक (equally likely) स्थितियों में से दो परिस्थितियाँ (6) और (7) पक्ष में हैं, अतः ` S(P) = 7, S(E) = 2. S(E)2.` इसीलिए अभीष्ट प्रायिकता `= (S(E))/(S(P))=2/7` |
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| 267. |
52 पत्तों की एक गड्डी में से सभी गुलाम, बेगम और बादशाह निकाल दिये जाते हैं। शेष बचे पत्तों को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है तब इनमें से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, निकाला गया पत्ता है-(i) एक काली तस्वीर वाला पत्ता(ii) एक लाल पत्ता |
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Answer» हम जानते हैं कि 52 पत्तों की गड्डी में चार गुलाम, चार बेगम और चार बादशाह होते हैं। अत: गुलाम, बेगम और बादशाह निकालने के बाद, शेष बचे पत्तों की संख्या = 52 – 12 = 40 40 पत्तों में से एक पत्ता निकालने पर, कुल संभव परिणाम = 40 (i) माना एक काली तस्वीर वाला पत्ता आने की घटना A है। तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 0 तब अभीष्ट प्रायिकता P(A) = 0/40 = 0 (ii) 40 पत्तों की गड्डी में कुल लाल पत्ते = तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 20 ∴ प्रायिकता P (एक लाल पत्ता) = 20/40 = 1/2 |
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| 268. |
एक पूरी तरह पैठी हुई, 52 पत्तो की ताश की गड्डी से 12 पत्ते यादृच्छया खींचे जाते है, तो इसके चिड़ी या बादशाह होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। |
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Answer» n(S)=52 माना `E_(1)`= चिड़ी का पत्ता निकालने की प्रायिकता `impliesn(E_(1))=13` माना `E_(1)`= बादशाह का पत्ता निकालने की प्रायिकता `impliesn(E_(2)=4` `E_(1)nnE_(2)` = चिड़ी का बादशाह का पत्ता निकालने की प्रायिकता `impliesn(E_(1)nnE_(2))=1` अतः `P(E_(1))=(n(E_(1)))/(n(S))=(13)/(52)=(1)/(4)` `P(E_(2))=(n(E_(2)))/(n(S))=(4)/(52)=(1)/(13)` तथा `P(E_(1)nnE_(2))=(n(E_(1)nnE_(2)))/(n(S))=(1)/(52)` अतः चिड़ी या बादशाह निकालने की प्रायिकता `P(E_(1)" या "E_(2))=P(E_(1)uuE_(2))` `=P(E_(1))+P(E_(2))-P(E_(1)nnE_(2))` `=(1)/(4)+(1)/(13)-(1)/(52)=(4)/(13)` |
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| 269. |
52 ताशों की गड्डी से एक ताश खींचा जाता है। वह ताश बादशाह या ईंट (पान) का पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। |
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Answer» 52 पत्तों में ईंट (पान) के 13 पत्ते तथा अन्य 3 बादशाह हैं। :. ईंट (पान) के पत्ते तथा शेष बादशाहों को मिलाकर पत्तों की कुल संख्या = 13 + 3 = 16 इन 16 पत्तों में से एक पत्ता खींचने पर बादशाह या ईंट (पान) का पत्ता प्राप्त होगा। अतः अभीष्ट घटना की प्रायिकता `= 16/ 52 = 4/13 ` |
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| 270. |
52 ताशों की एक गड्डी में से एक के बाद एक दो पत्ते निकले जाते हैं। यदि उन्हें निकालने के बाद पुनः ताश को गड्डी में नहीं रखा जाता हैं, तो दोनों पत्ते पान के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये। |
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Answer» माना पहला और दूसरा पान का पत्ता का निकालने की क्रमश: A और B हैं। `therefore` अभीष्ट प्रायिकता `=P(A cap B) = P(A). P(B//A)` अब `P(A) = (""^(13)C_(1))/(""^(52)C_(1)) = 13/52=1/4` पहला पान का पत्ता निकालने के बाद शेष पत्ते =12 `therefore P(B//A) = (""^(12)C_(1))/("^(51)C_(1)) = 12/51 = 4/17` अब `P(A cap B) = P(A) . P(B//A)` `=1/4 xx 4/17 = 1/17` |
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| 271. |
एक कॉलेज में 25% विद्यार्थी गणित में, 15% विद्यार्थी रसायन में और 10% विद्यार्थी गणित और रसायन दोनों में फेल होते हैं। एक विद्यार्थी यदृच्छया चुना जाता है। यदि वह रसायन शास्त्र में फेल है, तो उसके गणित में फेल होने की प्रायिकता क्या है? |
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Answer» माना `E_1` = गणित में फेल होने की घटना तथा `E_2` = रसायन शास्त्र में फेल होने की घटना। अब 25% विद्यार्थी गणित में फेल होते हैं। `therefore P(E_1)=25/100` 15% विद्यार्थी रसायन शास्त्र में फेल होते हैं, `P(E_2)=15/100 =0.15` तथा 10% विद्यार्थी दोनों विषयों में फेल होते हैं. ` P(E_1 capE_2)= 10/100 = 0.10 ` अतः गणित में फेल होने की प्रायिकता, जबकि वह रसायन शास्त्र में फेल है, ` P(E_2//E_2)` ` (P(E_1 cap E_2)/(P E_2)=0.10 /0.15 =10/15` `=2/3 ` |
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| 272. |
2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यदृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिखित आंकड़े लिख लिए गए हैं : यदृच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए , जिसमें ( i) दो लड़कियाँ हों (ii ) एक लड़की हो (iii ) कोई लड़की न हो साथ ही, यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं । |
| Answer» Correct Answer - `(19)/(60) (ii) (407)/(760) (iii) (211)/(1500)` | |
| 273. |
52 ताशों की एक गड्डी में से 4 ताश दोबारा बिना गड्डी में रखे हुए खींचे जाते है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वे सभी बादशाह हो। |
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Answer» Correct Answer - `(1)/(270725)` प्रायिकता `=(""^(4)C_(4))/(""^(52)C_(4))=(1)/(""^(52)C_(4))=(1)/((52)/(4!(52-4)!))` |
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| 274. |
ताशों की गड्डी से तीन ताश यदृच्छया खींचे जाते हैं उनमें से एक बादशाह, एक बेगम और एक गुलाम हो, इसकी प्रायिकता ज्ञात करो। |
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Answer» 52 ताशों की एक गड्डी में 3 ताश `""^(52)C_3` , प्रकार से खींचे जा सकते हैं। गड्डी में 4 बादशाह, 4 बेगम और 4 गुलाम हैं। एक बादशाह को `""^4C_1` , प्रकार से खींचा जा सकता है, एक बेगम को `""^4C_1 ` , प्रकार से और एक गुलाम को `""^4C_1` , प्रकार से। चूँकि इनमें से प्रत्येक को अन्य प्रत्येक के सहचारी (associated) बनाया जा सकता है, अतः एक बादशाह, एक बेगम और एक गुलाम को `(""^4C_1xx""^4C_1xx""^4C_1 )/(""^52C_3)= (4xx 4xx4xx1xx2xx3)/(52xx51 xx 50 ) = 16/5525 ` , प्रकार से खींचा जा सकता है। |
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| 275. |
बच्चों के तीन समूहों में क्रमशः 3 लड़कियाँ और 1 लड़का, 2 लड़कियाँ और 2 लड़के, 1 लड़की और 3 लड़के हैं। प्रत्येक समूह से यदृच्छया (at random) एक बच्चा चुना जाता है। दिखाओ कि तीन चुने हुए बच्चों में 1 लड़की और 2 लड़के हों, तो उसकी प्रायिकता `13/32` है। |
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Answer» एक लड़की और दो लड़के निम्न प्रकार से चुने जा सकते हैं: (i) पहले समूह से लड़की, दूसरे से लड़का, तीसरे से लड़का जिसकी प्रायिकता `3/2.2/4.3/4 =9/32` (ii) पहले समूह से लड़का, दूसरे समूह से लड़की, तीसरे समूह से लड़का जिसकी प्रायिकता `=1/4 xx 2/4 xx 3/4 = 3/32 ` (iii) पहले समूह से लड़का, दूसरे समूह से लड़का, तीसरे समूह से लड़की जिसकी प्रायिकता `=1/4 xx 2/4xx 1/4 = 1/12 ` ये सभी परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, अतः इसकी प्रायिकता कि इनमें से कोई भी एक घटना हो (अर्थात् इनमें से किसी एक प्रकार से यह समूह चुना जा सके) `9/32 +3/32 + 1/32 =13/32 ` |
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| 276. |
ताशों की गड्डी फेंटते समय तीन ताश गिर पड़ते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि ये तीन ताश भिन्न-भिन्न सूटों (suits) से हों (अर्थात् यदि एक पान का है तो दूसरा हुकुम का, तीसरा चिड़ी का, ये ऐसे ही कोई और संचय)। |
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Answer» 52 ताशों में से किसी ताश के गिरने की प्रायिकता ` =51/52 ` जिस सूट का ताश गिर पड़ा है उसके भिन्न सूटों के 39 ताश हैं अर्थात् यदि पान का ताश गिरा है, तो हुकुम, चिड़ी और ईंट के 39 ताश रह गये और अब इन 39 में से कोई भी ताश हमारे पक्ष में है शेष 51 ताश हैं। अतः इनकी प्रायिकता `= 39/51` अब तीसरे पक्ष में 26 ताश रह गये हैं, क्योंकि दो सूट के गिर गये, शेष दो सूट के 26 रह गये और कुल ताश 50 रह गये हैं। अतः इसकी प्रायिकता `= 26/50 ` चूंकि ये मिश्र घटनाएँ हैं, अतः इसकी प्रायिकता `= 51/52 xx 39/51xx 26/50 = 39/100 ` |
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| 277. |
1,2,3,4,5 अंकों से बनी 5 अंकों की संख्यायें ली गई हैं जिनमें संख्याओं के सभी अंक भिन्न हैं। इनमें से कोई एक संख्या चुनी जाती है। इसके 4 से भाज्य होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। |
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Answer» प्रतिदर्श समष्टि S = दिये हुए अंकों से बनी 5 अंकों की कुल संख्याएँ = 5 ! n(S) = 5! इनमें केवल वे संख्याएँ ही 4 से भाज्य होंगी जिनके अन्तिम दो अंकों से बनी संख्याएँ 4 से भाज्य हैं, जो निम्नलिखित हैं 00012 तथा 00024 उक्त दो संख्याओं में प्रथम तीन स्थानों पर शेष अंकों को 3 ! ढंगों से रखा जा सकता है। यदि 4 से भाज्य संख्याएँ प्राप्त होने की घटना E है अतः घटना E की प्रायिकता, `P ( E)=( n( E))/(n(S) ) - (3 ! Xx 2)/5!` ` ( 3 xx 2 xx 1 xx 2)/( 5 xx 4 xx 3 xx 2 xx 1)= 1/10` |
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| 278. |
एक पाँसा यदृच्छया दो बार फेंका जाता है। यदि ऊपर आने वाले अंकों का योगफल 7 हो, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक बार पाँसे पर अंक 2 आया हो। |
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Answer» एक पाँसे को दो बार फेंकने पर ऊपर आने वाले अंकों का योगफल 7 होने की कुल सम्भावनायें निम्नलिखित हैं (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) `therefore ` अंकों का योगफल 7 प्राप्त होने की कुल सम्भावनायें = 6 इनमें से एक पाँसे पर अंक 2 आने की घटना E = {(2, 5), (5, 2)} `therefore ` अंक 2 ऊपर आने की कुल सम्भावनायें अतः घटना E के घटने की प्रायिकता P(E) ` = 2 P(E ) =2/6 = 1/3 ` |
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| 279. |
एक समूह में 3 पुरुष, 2 स्त्रियाँ तथा 4 बच्चे हैं ! यदि उनमें से चार व्यक्ति यदृच्छया चुने जाते हैं, तो बुने हुए व्यक्तियों में 2 बच्चों के निश्चित रूप से होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। |
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Answer» समूह में व्यक्तियों की कुल संख्या = 3+2+4-9 इन 9 व्यक्तियों में से 4 व्यक्ति चुनने के कुल ढंग ` = ""^9C_4 ` परन्तु 4 चुने हुए व्यक्तियों में से 2 बच्चे अवश्य होने चाहिए। `therefore ` 4 बच्चों में से 2 बच्चे चुनने के ढंग ` = ""^4C_2` अब 4 बच्चों में से 2 बच्चे चुनने के बाद शेष 5 व्यक्तियों में से 2 व्यक्ति और चुनने होंगे जिन्हें `""^5C_2` ढंगों से चुना जा सकता है। `therefore ` 2 बच्चे तथा 2 अन्य व्यक्ति चुनने के ढंग ` = ""^4 C_2 xx ""^5 C_2 ` अतः 4 चुने हुए व्यक्तियों में 2 बच्चे अवश्य होने की प्रायिकता `(""^4C_2xx ""^5C_2 )/(""^9C_4)=(6xx10)/(126)=10/21` |
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| 280. |
एक पासे की 65 उछालों में, निम्न परिणाम लिखे गये हैं एक पासा यादृच्छया फेंका गया, तब एक अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता हैA. `31/65`B. `33/65`C. `3/65`D. इनमें से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 281. |
एक पासे को 6 बार उछाला जाता है । यदि पासे पर सम संख्या प्राप्त होना एक सफलता है तो निम्नलिखित की प्रायिकताएं क्या होगी? (i) तथ्यतः 5 सफलताएं (ii) न्यूनतम 5 सफलताएं (iii) अधिकतम 5 सफलताएं? |
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Answer» Correct Answer - (i) `3/2` (ii) `7/64` (iii) `63/64` |
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| 282. |
यह ज्ञात हैं की एक महाविघालय के छात्ररों में से `60%` छात्रावास में रहते हैं और `40%` छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं की छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से `30%` और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से `20%` छात्रों ने A- ग्रेड लिया। वर्ष के अंत में महाविघालय के एक छात्र को याद्रीच्या चुना गया और यह पाया गया की उसे A- ग्रेंड मिला हैं। इस बात की क्या प्रायिकता हैं की वह छात्र छात्रावास में रहने वाला हैं? |
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Answer» माना `E_(1)=` छात्रावास में रहने वाले छात्र के चुने जाने की घटना। `E_(2)`= छात्रवास में न रहने वाले छात्र के चुने जाने की घटना। E = छात्र को A ग्रेड मिलने की घटना। `therefore P( E_(1)) = 60/100, P(E_(2)) = 40/100` `P(E//E_(1)) = 30/100, P(E//E_(2)) = 20/100` `therefore P(E_(1)//E_(2))`= चुने गए छात्र को A ग्रेड मिलने की प्रायिकता जबकि वह छात्रावास में रहता हैं `=(P(E_(1)).P(E//E_(1)))/(P(E_(1)).P(E//E_(1)) + P(E_(2)) . P(E//E_(2))` `=(60/100 xx 30/100)/(60/100 xx 30/100 + 40/100 xx 20/100)=18/(18+8) = 9/13` |
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| 283. |
थैला 1 में 3 लाल तथा 4 काली गेंदे है तथा थैला 11 में 4 लाल ओर 5 काली गेंदे है | एक गेंद को थैला 2 से निकाली जाती है | निकाली गई गेंद लाल रंग की है | स्थानांतरित गेंद की काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - `16/31` |
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| 284. |
एक पति तथा पत्नी एक ही पद के रिक्त स्थानों के लिए साक्षात्कार में उपस्थित होते हैं। पति के चुने जाने की प्रायिकता `1/4` और पत्नी के चुने जाने की प्रायिकता `1/6` हैं। निम्न की प्रायिकता ज्ञात कीजिए- दोनों चुन लिया जायेगा, |
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Answer» माना पति के चुने जाने की घटना A है और पत्नी के चुने जाने की घटना B है, तब `P(A)=1/4` और `P(B)=1/6` `:. P(bar(A))=1-1/4=3/4` और `P(bar(B))=1-1/6=5/6` P (दोनों का चयन हो) `=P(A nn B)` `=P(A)P(B)` `=1/4xx1/6=1/24`. |
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| 285. |
एक इलेक्ट्रॉनिक एसेंबली के दो सहायक निकाय A और B हैं। पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएं ज्ञात हैं `P` (A के असफल होने की) `=0.2` `P`(A के अकेले असफल होने की)`=0.15` `P`(A और B के असफल होने की) `=0.15` तो निम्न प्रायिकताएं ज्ञात कीजिए। (i) `P`( (A असफल /B असफल हो चुकी हो) (ii) `P` (A के अकेले असफल होने की) |
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Answer» Correct Answer - (i) `0.5` (ii) 0.05 |
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| 286. |
रमेश दो पदों A और B के साक्षात्कार में सम्मिलित होते हैं जिसके लिए चुने जाना स्वतंत्र है। उसका पद A के लिए चुने जाने की प्रायिकता `1/6` और पद B के लिए `1/7` है। रमेश के कम-से-कम एक पद में चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। |
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Answer» माना E = रमेश का पद A के लिए चुने जाने की घटना F = रमेश का पद B के लिए चुने जाने की घटना `:. P(E)=1/6, P(F)=1/7` चूँकि घटनाऍं E और F स्वतंत्र घटनाऍं हैं। `:. P(E nn F)=P(E).P(F)=1/6xx1/7=1/42` रमेश के कम-से-कम एक पद पर चुने जाने की प्रायिकता `=P (E` या `F)` `=P(E uu F)` `=P(E)+P(F)-P(E nn F)` `=1/6+1/7-1/42=12/42=2/7` अतः अभीष्ट प्रायिकता `=2/7`. |
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| 287. |
गणित का एक प्रश्न तीन विद्यार्थियों तथा C को हल करने के लिए दिया गया है जिनके द्वारा उसे हल करने प्रायिकताएँ क्रमशः `1/2, 1/3, 1/4` है। उनमे से केवल एक विद्यार्थी से प्रश्न हल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिया गया है- `:. P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(C)=1/4` `:. P(bar(A))=1-1/2=1/2, P(bar(B))=1-1/3=2/3`, `P(bar(C))=1-1/4=3/4` तीन विद्यार्थियों में से केवल एक से प्रश्न हल होने की प्रायिकता `=P[(A nn bar(B) nn bar(C)` या `bar(A) nn B nn bar(C)` या `bar(A) nn bar(B) nn C]` `=P(A nn bar(B) nn bar(C))+P(bar(A) nn B nn bar(C))+P(bar(A) nn bar(B) nn C]` `=P(A)P(bar(B))P(bar(C))+P(bar(A))P(B)P(bar(C))+P(bar(A))P(bar(B))P(C)` `=1/2xx2/3xx3/4+1/2xx1/3xx3/4+1/2xx2/3xx1/4` `=6/24+3/24+2/24=11/24`. |
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| 288. |
गणित का एक प्रश्न तीन विद्यार्थियों तथा C को हल करने के लिए दिया गया है जिनके द्वारा उसे हल करने प्रायिकताएँ क्रमशः `1/2, 1/3, 1/4` है। प्रश्न के हल न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिया गया है- `:. P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(C)=1/4` `:. P(bar(A))=1-1/2=1/2, P(bar(B))=1-1/3=2/3`, `P(bar(C))=1-1/4=3/4` प्रश्न के हल न होने की प्रायिकता `=1 -` प्रश्न के हल होने की प्रायिकता `=1 -3/4 =1/4` |
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| 289. |
एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतंत्र रूप से हल करने की प्रायिकताएं क्रमशः `1/2` और `1/3` हैं। यदि दोनों स्वतंत्र रूप से समस्या हल करने का प्रयास करते हैं। तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) समस्या हल हो जाती है (ii) उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है। |
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Answer» Correct Answer - (i) `2/3, (ii) `1/2` |
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| 290. |
गणित का एक प्रश्न तीन विद्यार्थियों तथा C को हल करने के लिए दिया गया है जिनके द्वारा उसे हल करने प्रायिकताएँ क्रमशः `1/2, 1/3, 1/4` है। प्रश्न के हल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिया गया है- `:. P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(C)=1/4` `:. P(bar(A))=1-1/2=1/2, P(bar(B))=1-1/3=2/3`, `P(bar(C))=1-1/4=3/4` चूँकि A, B, C स्वतंत्र घटनाऍं हैं और प्रश्न हल हो जायेगा यदि कम-से-कम एक विद्यार्थी से प्रश्न हल हो जाये। `:.` अभीष्ट प्रायिकत `=P(A uu B uu C)` `=1-P(bar(A uu B uu C))` `=1-P(bar(A) nn bar(B) nn bar(C))` `=1-1/2xx2/3xx3/4` `=1-1/4=3/4`. |
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| 291. |
एक थैले में 4 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। यदि ये एक-एक करके निकाली जाएँ तो पहली गेंद के सफेद, दूसरी के काली, तीसरी के सफेद, चौथी के काली, पाँचवीं के सफेद, छठवीं के काली और सातवी के सफेद होने की मिश्र प्रायिकता ज्ञात करो। |
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Answer» पहली गेंद के सफेद होने की प्रायिकता `=4/7` क्योंकि थैले में 7 गेंदें हैं जिनमें 4 सफेद हैं। दूसरी गेंद के काली होने की प्रायिकता `3/6` है, क्योंकि थैले में 6 गेंदें शेष हैं जिनमें 3 काली हैं। तीसरी गेंद के सफेद होने की प्रायिकता `3/5 ` = है, क्योंकि थैले में अब 5 गेंदें हैं और 3 सफेद हैं। इसी प्रकार, चौथी गेंद काली होने की प्रायिकता `=2/4 ` पाँचवीं गेंद के सफेद होने की प्रायिकता =`2/3` छठी गेंद के काली होने की प्रायिकता `1/2` सातवीं गेंद के सफेद होने की प्रायिकता ` =1/1` मिश्र प्रायिकता `= 4/7 3/6 3/5 2/4 2/3 1/2 = 1/ 35` |
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| 292. |
एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतंत्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः `1/2` और `1/3` हैं। यदि दोनों स्वतंत्र रूप से समस्या हल करने का प्रयास करते हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए की- उनमे से तथ्यतः कोई एक समस्या ह, कर लेता है। |
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Answer» माना `P (A)=A` द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता `P (B)=B` द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता `P(bar(A))=A` द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता `P(bar(B))=B` द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता प्रश्नानुसार, `P(A)=1/2, P(B)=1/3` `P(bar(A))=1-P(A)=1-1/2=1/2` और `P(bar(B))=1-P(B)=1-1/3=2/3` P (कोई एक समस्या हल कर लेता है) `=P(A nn bar(B))+P(bar(A) nn B)` `=P(A)P(bar(B))+P(bar(A))P(B)` `=1/2xx2/3+1/2xx1/3` `=2/6+1/6=3/6=1/2`. |
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| 293. |
एक थैले में 10 सफ़ेद और 15 काली गेंद हैं जिनमे से दो गेंद एक के बाद वापस रखे बिना निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए की पहली गेंद सफ़ेद और दूसरी गेंद काली है। |
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Answer» दिया है- सफ़ेद गेंदों की संख्या `= 10` काली गेंदों की संख्या `=15` कुल गेंदों की संख्या `=10 +15 =25` माना A = पहली बार में सफ़ेद गेंद के निकलने की घटना तब `A nn B` पहली बार में सफ़ेद गेंद और दूसरी बार में काली गेंद के निकलने की घटना है। अब `P (A)=10/15 =2/5` जब पहली बार में सफ़ेद गेंद निकलती है तब शेष गेंदों की संख्या 24 और सफ़ेद गेंदों की संख्या 9 होगी। अतः दूसरी बार में काली गेंद निकलने की प्रायिकता जबकि पहली गेंद का सफ़ेद होना ज्ञात है, यह B का सप्रतिबन्ध प्रायिकता है जबकि A का घटित होना ज्ञात है। `:. P(B/A)=15/24=5/8` प्रायिकता के गुणन नियम से, `P(A nn B)=P(A).P(B/A)=2/5xx5/8=1/4`. |
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| 294. |
दो गेंद एक बॉक्स से बिना प्रतिस्थापित किए निकाली जाती है। बॉक्स में 10 काली और 8 लाल गेंद हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए- प्रथम काली व दूसरी लाल हो |
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Answer» दिया है- लाल गेंदों की संख्या = 10 काली गेंदों की संख्या = 8 `` कुल गेंदों की संख्या `=10 +8 =18` माना A बॉक्स से काली गेंद निकालने की घटना है तथा B लाल गेंद निकालने की घटना है। यहाँ दोनों घटनाऍं स्वतंत्र घटनाऍं हैं, तब `:. P(A)=10/18=5/9` और `P(B)=8/18=4/9` P (प्रथम काली और दूसरी लाल है) `=P(A nn B)` `=P(A).P(B)` `=5/9xx4/9=20/81`. |
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| 295. |
दो गेंद एक बॉक्स से बिना प्रतिस्थापित किए निकाली जाती है। बॉक्स में 10 काली और 8 लाल गेंद हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए- एक काली तथा दूसरी लाल हो। |
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Answer» दिया है- लाल गेंदों की संख्या = 10 काली गेंदों की संख्या = 8 `` कुल गेंदों की संख्या `=10 +8 =18` माना A बॉक्स से काली गेंद निकालने की घटना है तथा B लाल गेंद निकालने की घटना है। यहाँ दोनों घटनाऍं स्वतंत्र घटनाऍं हैं, तब `:. P(A)=10/18=5/9` और `P(B)=8/18=4/9` P (एक काली और दूसरी लाल है) `=P(A nn B` या `B nn A)` `=P(A nn B)+P(B nn A)` `=P(A)P(B)+P(B)P(A)` `=2P(A)P(B)` `=2xx5/9xx4/9` `=40/81`. |
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| 296. |
दो गेंद एक बॉक्स से बिना प्रतिस्थापित किये निकली जाती है। बॉक्स में 10 कालील और 8 लाल गेंद है तो प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिये (i) दोनों गेंद लाल हों (ii) प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो (iii) एक काली तथा दूसरी लाल हो । |
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Answer» (i) यहाँ n(S) `=""^(18)C_(2)` n(E ) = दो काली गेंद निकलने के अनुकूल अवसर = `""^(10)C_(2)` `therefore P( E) = (n( E))/(n(F )) = (""^(10)C_(2))/(""^(18)C_(1)) xx (""^(8)C_(1))/(""^(17)C_(1))` `=10/18 xx 8/17 = 40/153` (iii) एक काली और एक लाल गेंद निकलने की प्रायिकता `=(""10C_(1)) xx (""^(8)C_(1))/(""^(18)C_(2)) = 80/153` |
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| 297. |
एक टेलीफोन निर्देशिका के एक पृष्ठ पर 200 टेलीफोन नंबर हैं । उनके इकाई स्थान वाले अंक का बारंबारता बंटन (उदाहरण के लिए संख्या 25828573 में इकाई के स्थान पर अंक 3 है । ) सारणी में दिया गया है । पृष्ठ को देखे बिना, इन संख्याओं में से किसी एक संख्या पर अपनी पेंसिल रख दीजिए , अर्थात संख्या को यदृच्छया चुना गया है । इकाई के स्थान पर अंक 6 के होने की प्रायिकता क्या होगी ? |
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Answer» मान लीजिए पृष्ठ को बिना देखे हम एक का 6 अंक चुनते हैं , तब इसकी प्रायिकता `=("6 की बारंबारता")/(" चुने गए टेलीफोन नंबरों की कुल संख्या")` `=(14)/(200) = 0.07` नोट : आप 6 के अतिरिक्त दी गई सारणी में कोई भी अंक चुन सकते हैं । |
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| 298. |
कल्पना कीजिये कि `5%` पुरुषों और `0.25%` महिलाओं के बाल सफ़ेद हैं। एक सफ़ेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया हैं। इस व्यक्ति के पुरुष होने कि प्रायिकता क्या हैं? यह मान ले कि पुरुषों और महिलाओं कि संख्या समान हैं। |
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Answer» माना `E_(1)` =पुरुष चुनने कि घटना, `E_(2)` =महिला चुनने कि घटना, और E= सफ़ेद बाल वाले पुरुष को चुनने कि प्रायिकता `=5/100` `P(E//E_(2))` = सफ़ेद बाल वाली महिला को चुनने कि प्रायिकता `=0.25/100` अब अभीष्ट प्रायिकता `P(E_(1)//E) = (P(E_(1)).P(E//E_(2)))/(P(E_(1)).P(E//E_(1))+P(E_(2)).P(E//E_(2)))` `=(1/2 xx 5/100)/(1/2 xx 5/100 +1/2 xx 0.25/100) = 5/5.25 = 20/21` |
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| 299. |
एक व्यक्ति एक लौटरी के 50 टिकट खरीदता है, उसमे उसके प्रत्येक में जितने कि प्रायिकता `1/100` है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह (a) न्यूनतम एक बार (b) तथ्यः: एक बार ( c) न्यूनतम दो बार, इनाम जीत लेगा। |
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Answer» माना व्यक्ति के पुरूस्कार जितने कि संख्या X है। n=50 तथा जितने कि प्रायिकता `p=1/100` `therefore q=1-p=1-1/100 =99/100` `therefore P(X=r) = (""^(n)C_(r)). (1/100)^(r ). (99/100)^(50-r)` (a) P(वह न्यूनतम एक बार जितत्ता है) =`1-P(0)` `=(""^(50)C_(0)p^(0)q^(50-1))= 1-(99/100)^(50)` (b) P(वह तथ्यतःएक बार इनाम जीतता है) `=(""^(50)C_(1)p^(1)q^(49))` `=50(1/100)(99/100)^(49)=1/2(99/100)^(49)` ( c) P( वह न्यूनतम दो बार जीतता है) `=P(X ge 2)` `=1-{P(0)+P(1)}` `=1-(""^(50)C_(0)p^(0)q^(50)+^(50)C_(1)p^(1)q^(49))` `=1-q^(49)(q+50p)` `=1-[(99/100)^(50)+50(99/100)^(49) (1/100)]` `=1-149/100(99/100)^(49)` |
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