InterviewSolution
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| 1. |
यदि A और B दो ऐसे समुच्चय दिये हुए हैं कि `AxxB` में 6 अवयव हैं। यदि `AxxB` के तीन अवयव `(1,3),(2,5),(3,3)` है तो इसके शेष अवयव क्या हैं? |
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Answer» चूंकि `(1,3),(2,5),(3,3) epsilon AxxB` इसलिए स्पष्टतः `1,2,3 epsilon A` और `3,5, epsilon B`. प्रश्न से `n(AxxB)=6impliesn(A).n(B)=6` लेकिन 1,2,3 epsilon A` और `3,5 epsilon B` अतः `A={1,2,3}` और `B={3,5}` `:.AxxB={(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5)}` `:. AxxB` के शेष अवयव हैं `(1,5),(2,3)` और `(3,5)` |
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| 2. |
यदि समु्च्चय A में तीन अवयव हैं और `B={3,4,5}` तो `AxxB` में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए। |
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Answer» प्रश्न से `n(A)=3` और `B={3,4,5}` अब `n(AxxB)=n(A).n(B)` `=3xx3=9` `AxxB` में अवयवों की संख्या `=9` |
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| 3. |
कार्तीय गुणनन `AxxB` में 9 अवयव हैं जिनमें`(-1,0)` और `(0,1)` पाया गया । समुच्चय `A` तथा `AxxA` के शेष अवयवों को ज्ञात कीजिए। |
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Answer» माना कि `n(A)=p` प्रश्न से `n(AxxA)=9` `impliesn(A).n(A)=9` `impliesp.p=9impliesp=3:.n(A)=3` अब `(-1,0) epsilon AxxAimplies-1 epsilon A` और `0 epsilon A` पुनः `(0,1) epsilon AxxAimplies0 epsilon A` और `1 epsilon A` इस तरह `-1 epsilon A, 0 epsilon A` और `1 epsilon A` अतः `-1, 0, 1 epsilon A` लेकिन A में ठीक-ठीक तीन अवयव हैं इसलिए `A={-1,0,1}` `AxxA` के शेष अवयव हैं `(-1,-1),(-1,1),(0,-1),(0,0),(1,-1),(1,0),(1,1)` |
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| 4. |
मान लीजिए कि `A={1,2}` और `B={3,4}. AxxB` के सभी उपसमुच्चयों को लिखिए। |
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Answer» प्रश्न से `A={1,2}` और `B={3,4}` `:.AxxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}` `AxxB` के उपसमुच्चय हैं। `phi,{(1,3)},{(1,4)},{(2,3)},{(2,4)},{(1,3),(1,4)},{(1,3),(2,3)},{1,3),` `(2,4)},{(1,4),(2,3)},{(1,4),(2,4)},{(2,3),(2,4)},{(1,3),(1,4),(2,3)}` `{(1,3),{(1,4),(2,4)},{(1,4),(2,3),(2,4)},{(1,3),(2,3),(2,4)},AxxB` |
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| 5. |
मान लीजिए कि `A={1,2}` और `B={3,4,5}` ज्ञात कीजिए। (i) `AxxB` (ii) `BxxA` (iii) `BxxB` (iv) `AxxAxxA` |
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Answer» (i)`Axxb={1,2}xx{3,4,5}` `={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}` (ii) `BxxA={3,4,5)}xx{1,2}` `={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2)}` (iii) `BxxB={3,4,5}xx{3,4,5}` `=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(4,4),(4,5),(5,3),(5,4),(5,5)}` (iv) `AxxAxA={1,2}xx{1,2}xx{1,2}` `{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}` |
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| 6. |
यदि `A={2,3},B={4,5}` और `C={5,6}` तो ज्ञात कीजिए (i) `Axx(buuC)` (ii) `Axx(BnnC)` (iii) `(AxxB)uu(BxxC)` |
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Answer» (i) `BuuC={4,5,6}` `Axx(BuuC)={2,3}xx{4,5,6}` `={(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}` (ii) `BnnC={5}` `Axx(BnnC)={2,3}xx{5}={(2,5),(3,5)}` (iii) `AxxB={23}xx{4,5}={(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}` `BxxC={4,5}xx{5,6}={(4,5),(4,6),(5,5),(5,6)}` `:.(AxxB)uu(BxC)={(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6)}` |
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| 7. |
माना R = {`(a, a^(3)) : a, 10` से छोटी अभाज्य संख्या है} ज्ञात कीजिए- (i) R, (ii) R का प्रांत, (iii) R का परिसर। |
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Answer» R = {(2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343)} R का प्रांत = {2, 3, 5, 7} R का परिसर = {8, 27, 125, 343} |
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| 8. |
`R={(a,b), a epsilon Z, b epsilon Z,a^(2)=b^(2)}` से परिभाषित `Z` पर `R` एक संबंध है। ज्ञात कीजिए i`R` ii `R` का प्रांत iii `R` का परिसर। |
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Answer» (i)`aRbimpliesa^(2)=b^(2)impliesb=+-a` `:.aRa,aR-a` for `a epsilonZ:.R={(a,a):a epsilonZ}uu{(a,-a),a epsilonZ}` (ii) `R` का प्रांत `={a:(a,b) epsilon}=Z` (iii) `R` का परिसर `={b:(a,b) epsilonR}=Z` |
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| 9. |
मान लीजिए कि `A={x,y,z}` और `B={1,2}.A` से B में संबंधों की संख्या ज्ञात कीजिए। |
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Answer» प्रश्न से `A={x,y,z}` और `B={1,2}` `:.n(A)=3` और `n(B)=2` `:.n(AxxB)=n(A).n(B)=3.2=6` A से B में कुल संबंधों की संख्या `=AxxB` के उपसमुच्चयों की संख्या `=2^(6)=64` |
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| 10. |
मान लीजिए क `A={1,2}` समुच्चय A पर सभी संबंधों की सूची बनाइए। |
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Answer» प्रश्न से `A={1,2}` अब `AxxA={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}` `AxxA` में अवयवों की संख्या `=4` `:.AxxA` के उपसमुच्चयों की संख्या `=2^(4)=16` A पर सभी संभव संबंध निम्नलिखित है: `phi,{(1,1)},{(2,2)},{(1,2)},{(2,1)},{(1,1),(2,2)},{(1,1),(1,2)},{(1,1),` `(2,1)},{(2,2),(1,2)},{(2,2),(2,1)},{(1,2),(2,1)},{(1,1),(2,2),(1,2)},{(1,1),(2,2),(2,1)},{(1,1),(1,2),(2,1)},{(2,2),(1,2),(2,1)},A` |
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| 11. |
यदि `AxxB={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y)}` |
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Answer» प्रश्न से `AxxB={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y)}` `:.A=AxxB` में सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय `={a,b}` और `B=AxxB` में सभी क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय `={x,y}` |
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| 12. |
`x` और `y` ज्ञात कीजिए यदि (i) ` (2x,x+y)=(6,2)` (ii) `(x/3+1,y-2/3)=(5/3,1/3)` |
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Answer» (i)प्रश्न से `(2x+x+y)=(6,2)` इसलिए समान क्रमित युग्मों की परिभाषा से `2x=6`……..1 और`x+y=2`…….2 1 और 2 को हल करने पर `x=3,y=-1` (ii) प्रश्न `(x/3+1,y-2/3)=(5/3,1/3)` `impliesx/3+1=5/3` और `y-2/3=1/3` `impliesx=2` और `y=1` |
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| 13. |
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3} में (1, 2) और (2, 1) को अंतर्विष्ट करने वाली तुल्यता संबंधो कि संख्या 2 है। |
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Answer» (1, 2) और (2, 1) को अंतर्विष्ट करने वाला सबसे छोटा तुल्यता संबंध `R_(1) = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}` है। अब 4 युग्म (2,3), (3,2), (1,3) और (3,1) शेष है। यदि हम इनमे से किसी एक को जैसे (2,3) को `R_(1)` में अंतर्विष्ट करते है, तो सममित होने के लिए `(3,2)` को अवश्य लेना होगा। साथ ही संक्रामकता हेतु हमे (1,3) और (3,1) को लेना होगा। अत: `R_(1)` से बड़ा तुल्यता संबंध केवल सार्वत्रिक संबंध है। अत: (1,2) और (2,1) का अंतर्विष्ट करने वाले तुल्यता संबंधो की कुल संख्या दो है। |
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| 14. |
उदाहरण द्वारा दर्शाइए कि दो तुल्यता संबंधो का संघ आवश्यक रूप से तुल्यता संबंध नहीं होता है। |
| Answer» माना समुच्चय A = {1, 2, 3} में दो तुल्यता संबंध `R_(1) = {(1, 1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}` और `R_(2) = {(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)}` है, तब `R_(1) uu R_(2) = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2)}` तुल्यता संबंध नहीं है क्योकि यह संबंध संक्रामक नहीं है | |
| 15. |
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है अथवा असत्य? यदि वह असत्य है तो इसे सही करके पुनः लिखिए। A और B अरिक्त समुच्चय हैं तो `AxxB` क्रमित युग्मों `(x,y)` क्रमित युग्मों `(x,y)` के अरिक्त समुच्य्) हैं ताकि `x epsilon B` और `y epsilon A`. (ii) यदि `A={m,n}` और `B={n,m}` तो `AxxB={(m,n),(n,m)}` |
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Answer» (i)दिया गया कथन असत्य है। सही कथन होगा: A और B अरिक्त समुच्य्m हैं तो `AxxB` क्रमित युग्म `(x,y)` के ऐसे अरिक्त समुच्य्b है कि`x epsilon A` और `y epsilon B` (ii) दिया गया कथन असत्य है। सही कथन होगा: यदि `A={m,n}` और `B={n,m}` तो `AxxB={(m,n),(n,m),(m,n),(n,n)}` |
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| 16. |
संबंध `R` जहां `R={(2,1),(4,7),(1,2),…}` के क्रमित युग्मों के घटकों के बीच रैखिक संबंध ज्ञात कीजिए। |
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Answer» प्रश्न से `R={2,1),(4,7),(1,-2),………}` माना कि `R` के क्रमित युग्म के घटकों के बीच रैखिक संबंध `y=ax+b` चूंकि `(2,1) epsilon R:.y=ax+b=.a=1 |
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| 17. |
मान लीजिए `R,Z` पर `R={(a,b),a,b epsilonZ, a-b` एक पूर्णांक है। `}` द्वारा परिभाषित एक संबंध है `R` के प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए। |
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Answer» यहां a और b पूर्णांक हैं। स्पष्टतः सभी `a,b epsilon Z` के लिए `a-b` एक पूर्णांक होगा। अतः `R` का प्रांत `=Z` साथ ही `R` का परिसर `=Z` |
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| 18. |
मान लीजिए कि `A={1,2,3,4,6}` मान लीजिए A के अधीन `R` एक संबंध `R={(a,b): a epsilon A, b epsilon A,a` विभाजित करता है।} से परिभाषित है। ज्ञात कीजिए i `R`ii `R` का प्रांत iii `R` का परिसर |
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Answer» प्रश्न से `A={1,2,3,4,6}` `R={(a,b):a epsilon A, b epsilon A` और `a` विभाजित करता है a को} `{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4)` `(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(6,6)}` `R` का प्रांत `=R` के सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय (घटकों की पुनरावृत्ति किये बिना लिखें) `={1,2,3,4,6}=A` `R` का परिसर `=R` के सभी क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय `={1,2,3,4,6}=A` |
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| 19. |
मान लीजिए कि `A={1,2,3,4}` और `B={x,y,z}` मान लीजिए `R={(1,x),(1,z),(3,x),(4,y)}` द्वारा संबंध `R,A` से `B` में परिभाषित है। `R` का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए। |
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Answer» प्रश्न से `R={1,x),(1,z),(3,x),(4,y)}` `R` का प्रांत `=R` के सभी अवयवों के प्रथम घटकों का समुच्चय `={1,3,4}` `R` का पसिरसर `=R` के सभी अवयवों के द्वितीय घटकों का समुच्चय `={x,y,z}=B` |
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| 20. |
मान लीजिए कि `A={1,2,3,5},B={4,6,9}`. A से B में एक संबंध `R={(x,y) :x` और y में अंतर विषम है `x epsilon B}` परिभाषित कीजिए। `R` को रोस्टर रूप में लिखिए। |
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Answer» प्रश्न से x और y में अंतर `=` एक विषम संख्या `:.` यदि x विषम है तो y अवश्य ही सम होगा और यदि x सम है तो y अवश्य की विषम संख्या होगा। अतः `R={(1,4),(1,6),(2,9),(3,4),(3,6),(5,4),(5,6)}` |
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| 21. |
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय `A = {x in Z: 0 le x le 12}` में परिभाषित संबंध R = {`(a,b) : |a-b|, 4` का एक गुणज है} एक तुल्यता संबंध है। 1 से संबंधित सभी अवयवों को ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिया गया है: `A = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}` और R = {`(a,b) : |a -b|, 4` का एक गुणज है और `a, b in A`} स्वतुल्यता: माना `a in A`, तब `|a -a| = 0`, जो कि 4 का एक गुणज है। `rArr (a,a) in R AA a in A`. `:.` R, A में स्वतुल्य है। सममितता: माना `a, b in A` ऐसा है कि `(a,b) in R`, तब `(a,b) in R` `rArr |a -b|, 4` का एक गुणज है। `rArr |-(b-a)|, 4` का एक गुणज है। `rArr |b-a|, 4` का एक गुणज है। `rArr (b,a) in R` `:.` R, A में सममित है। संक्रामकता: माना `a, b, c in A` ऐसा है कि `(a,b) in R` और `(b,c) in R`, तब `(a,b) in R` और `(b,c) in R` `rArr |a-b|, 4` का एक गुणज है और `|b-c|, 4` का एक गुणज है। `rArr |a-b| = 4p` और `|b-c| = 4q` जहाँ p,q पूर्णक है। `rArr a- b= +- 4p` और `|b-c| = +- 4q` `rArr (a - b) + (b-c) = +- 4p +- 4q` `rArr a-c = 4 (+- p +-q)` `rArr a-c, 4` का एक गुणज है। `rArr |a-c|, 4` का एक गुणज है। `rArr (a,c) in R AA a, b c in A` अत: R,A में एक तुल्यता संबंध है। द्वितीय भाग: माना B, 1 से संबंधित अवयवों का समुच्चय है। `:. B = {a in A : (a,1) in R}` `rArr` B = {`a in A : |a -1|, 4` का एक गुणज है} `rArr` B = {`a in A : |1-1| = 0, |5-1| = 4, |9-1| =8` सभी 4 के गुणज है} `rArr B = {1, 5, 9}` |
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| 22. |
सिद्ध कीजिए कि `A = {1, 2, 3, 4, 5}` में, R = {`(a,b) : |a - b|` सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित है और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित है परन्तु {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है। |
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Answer» समुच्चय `A = {1, 2, 3, 4, 5}` में परिभाषित संबंध है- R = {`(a,b) : |a-b|` सम है} स्वतुल्य : माना `a in A` तब `|a -a| =0` जो कि सम है। `rArr (a,a) in R` `:.` R, A में स्वतुल्य है। सममित: माना `a, b in A` ऐसा है कि `(a, b) in R`, तब `(a, b) in R` `rArr |a -b|` सम है। `rArr |-(b -a)|` सम है। `rArr |b -a|` सम है। `rArr (b,a) in R` `:.` R, A में सममित है। संक्रामक : माना `a, b, c in A` ऐसा है कि `(a,b) in R` और `(b,c) in R`, तब `(a,b) in R` और `(b,c) in R` `rArr |a-b|` सम है और `|b-c|` सम है। `rArr a-b = +- 2p` और `b-c = +- 2q` जहाँ p और q दो पूर्णक है। `rArr (a-b) + (b-c) = +- 2p +- 2q` `rArr a -c = 2 (+-p +-q)` `rArr a-c` एक सम संख्या है। `rArr |a-c|` सम है। `rArr (a,c) in R` `:.` R,A में संक्रामक है। अत: R,A में एक तुल्यता संबंध है। द्वितीय भाग: समुच्चय {1, 3, 5} में, `|1-3| = 2, |3 -1| = 2, |3-5| = 2, |5-3| =2, |1-5| =4` और `|5-1|= 4` सभी सम संख्याएँ है। अत: समुच्चय {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित है। समुच्चय {2, 4} में, `|2-4| = 2, |4 -2| =2` सभी सम है। अत: समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित है। पुन: समुच्चय {1, 3, 5} और {2, 4} में, `|1-2| = 1, |1-4| =3, |3-2| =1, |3-4| = 1, |5-2| =3` और `|5-4| =1` सभी विषम है। `:.` समुच्चय {1, 3,5} तथा समुच्चय {2, 4} के अवयव संबंधित नहीं है। |
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| 23. |
सिद्ध कीजिये कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में R = {`(T_(1), T_(2)) : T_(1), T_(2)` के समरूप है} द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। भुजाओ 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज `T_(1)`, भुजाओ 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज `T_(2)` तथा भुजाओ 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज `T_(3)` पर विचार कीजिये। `T_(1), T_(2)` और `T_(3)` में से कौन-से त्रिभुज परस्पर संबंधित है? |
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Answer» दिया गया है- R = {`(T_(1), T_(2)) : T_(1), T_(2)` के समरूप है `T_(1), T_(2) in A`} और जहाँ A समस्त त्रिभुजों का समुच्चय है। स्वतुल्यता: माना `T_(1) in A`, तब `T_(1)` स्वयं के समरूप है क्योकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समरूप होते है। `rArr (T_(1), T_(1)) in R AA T_(1) in A` `:. R, A` में स्वतुल्य है। सममितता: माना `T_(1), T_(2) in A` ऐसा है कि `(T_(1), T_(2)) in R` तब `(T_(1), T_(2)) in R` . `rArr T_(1), T_(2)` के समरूप है। `rArr T_(2), T_(1)` के समरूप है। `rArr (T_(2), T_(1)) in R AA T_(1), T_(2) in A` `:. R, A` में सममित है। संक्रामकता: माना `T_(1), T_(2), T_(3) in A` ऐसा है कि `(T_(1), T_(2)) in R` और `(T_(2), T_(3)) in R`, तब `(T_(1), T_(2)) in R` और `(T_(2), T_(3)) in R` `rArr T_(1), T_(2)` के समरूप है और `T_(2), T_(3)` के समरूप है। `rArr T_(1), T_(3)` के समरूप है। `rArr (T_(1), T_(3)) in R` `:. R, A` में संक्रामक है। स्पष्टत: संबंध R, A में स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है अत: R एक तुल्यता संबंध है। द्वितीय भाग: त्रिभुज `T_(1)` की भुजाएं 3, 4, 5 है, त्रिभुज `T_(2)` की भुजाएँ 5, 12, 13 है तथा त्रिभुज `T_(3)` की भुजाएँ 6, 8, 10 है। त्रिभुज `T_(1)` और `T_(3)` की भुजाएँ समानुपाती है अर्थात `(3)/(6) = (4)/(8) = (5)/(10) = (1)/(2)` `:. T_(1), T_(3)` के समरूप है। `rArr (T_(1), T_(3)) in R` `rArr` त्रिभुज `T_(1)` और त्रिभुज `T_(3)` परस्पर संबंधित है। |
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| 24. |
सिद्ध कीजिये की समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, { R `= (P_(1), P_(2)) : P_(1)` तथा `P_(2)` की भुजाओ की संख्या समान है} प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 लंबाई की बहुअओ वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया गया संबंध है- R = {`(P_(1), P_(2)) : P_(1)` और `P_(2)` की भुजाओ की संख्या समान है तथा `P_(1), P_(2) in A`} जहाँ A समस्त बहुभुजों का समुच्चय है। स्वतुल्यता: माना `P_(1) in A` तब बहुभुज `P_(1)` में भुजाओ की संख्या स्वयं की भुजाओ की संख्या के समान होती है। `rArr (P_(1), P_(1)) in R AA P_(1) in A` `:. R, A` में स्वतुल्य है। सममितता: माना `P_(1), P_(2), P_(3) in A` ऐसा है की `(P_(1), P_(2)) in R` और `(P_(2), P_(3)) in R`, तब `(P_(1), P_(2)) in R` और `(P_(2), P_(3)) in R` `rArr P_(1)` और `P_(2)` की भुजो की संख्या समान है तथा `P_(2)` और `P_(3)` की भुजाओ की संख्या समान है। `rArr P_(1)` और `P_(3)` की भुजाओ की संख्या समान है। `rArr (P_(1), P_(3)) in R AA P_(1), P_(2), P_(3) in A` `:. R, A` में संक्रामक है। अत: R एक तुल्यता संबंध है। द्वितीय भाग: चूँकि समुच्चय A समतल में स्थित सभी बहुभुजों का समुच्चय है अर्थात A में त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, षट्भुज इत्यादि है। माना B ऐसे सभी बहुभुजों का समुच्चय है, जो समकोण त्रिभुज T जिसकी भुजाएँ 3,4 और 5 है, से संबंधित है। `:.` B = {`P : (P, T) in R` जहाँ P, तीन भुजाओ का बहुभुज है} |
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| 25. |
माना XY- तल में स्थित समस्त रेखाओ का समुच्चय L है और L में R = {`(L_(1), L_(2)): L_(1)`, समांतर है `L_(2)` के} द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिये कि R एक तुल्यता संबंध है। रेखा `y = 2x + 4` से संबंधित समस्त रेखाओ का समुच्चय ज्ञात कीजिये। |
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Answer» दिया गया संबंध है: R = {`(L_(1), L_(2)): L_(1)` समांतर है `L_(2)` के और `L_(1), L_(2) in L`} जहाँ L, XY-तल में स्थित समस्त रेखाओ का समुच्चय है। स्वतुल्यता: माना `L_(1), L` में स्वच्छ रेखा है, तब `L_(1)` स्वयं के समांतर है क्योकि प्रत्येक रेखा स्वयं के समांतर होती है। `rArr L_(1) || L_(1)` `rArr (L_(1), L_(1)) in R AA L_(1) in L` `:. R, L` में स्वतुल्य है। सममितता: माना `L_(1), L_(2) in L` इस प्रकार है की `(L_(1), L_(2)) in R`, तब `(L_(1), L_(2)) in R rArr L_(1)` समांतर है `L_(2)` के। `rArr L_(2)` समांतर है `L_(1)` के। `rArr (L_(2), L_(1)) in R AA L_(1), L_(2) in L` `:. R, L` में सममित है। संक्रामकता : माना `L_(1), L_(2), L_(3) in L` इस प्रकार है की `(L_(1), L_(2)) in R` और `(L_(2), L_(3)) in R`, तब `(L_(1), L_(2)) in R` और `(L_(2), L_(3)) in R` `rArr L_(1)` समांतर है `L_(2)` के और `L_(3)` समांतर है के। `rArr L_(1)` समांतर है `L_(3)` के। `rArr (L_(1), L_(3)) in R` `:. R, L` में संक्रामक है। चूँकि सबंध R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है अत: R एक तुल्यता संबंध है। माना M रेखा `y = 2x + 4` से संबंधित रेखाओ का समुच्चय है। `rArr M =` { `L : L` समांतर है रेखा `y = 2x + 4` के} `rArr M` = {L : L एक रेखा इस प्रकार है की `y = 2x + k`, जहाँ k कोई वास्तविक संख्या है} |
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| 26. |
माना T किसी समतल में स्थित समस्त त्रिभुजों का एक समुच्चय है। समुच्चय T में R = {`(T_(1),T_(2)): T_(1)T_(2)` के सर्वांगसम है} एक संबंध है। सिद्ध कीजिये कि R एक तुल्यता संबंध है। |
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Answer» दिया गया संबंध है: R = {`(T_(1), T_(2)): T_(1) T_(2)` के सर्वांगसम है तथा `T_(1), T_(2) in T` जहाँ T समतल में स्थित त्रिभुजों का समुच्चय है। स्वतुल्यता: माना `T_(1), T` में स्वेच्छ त्रिभुज है, तब `T_(1)` स्वयं के सर्वांगसम है क्योकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के सर्वांगसम होते है। `rArr (T_(1), T_(1)) in T AA T_(1) in T` `:. R, T` में स्वतुल्य है। सममितता: माना `T_(1), T_(2) in T` इस प्रकार है कि `(T_(1), T_(2)) in R`, तब `(T_(1), T_(2)) in R rArr T_(1), T_(2)` के सर्वांगसम है। `rArr T_(2), T_(1)` के सर्वांगसम है। `rArr (T_(2), T_(1)) in R` `:.` R, T में सममित है। संक्रामकता: माना `T_(1), T_(2), T_(3) in T` इस प्रकार है कि `(T_(1), T_(2)) in R` और `(T_(2), T_(3)) in R`, तब `(T_(1), T_(2)) in R` और `(T_(2), T_(3)) in R` `rArr T_(1), T_(2)` के सर्वांगसम है और `T_(2), T_(3)` के सर्वांगसम है। `rArr T_(1), T_(3)` के सर्वांगसम है। `rArr(T_(1), T_(3)) in R` `:. R, T` में संक्रामक है। चूँकि संबंध R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है अत: R एक तुल्यता संबंध है। |
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| 27. |
माना A = {1, 2, 3} है। तब सिद्ध कीजिये कि ऐसे संबंधो की संख्या तीन है, जिनमे (1, 2) और (2,3) है और जो स्वतुल्य तथा संक्रामक तो है किन्तु सममित नहीं है। |
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Answer» समुच्चय A में परिभाषित क्रमित युग्मो (1,2) और (2,3) सहित सबसे छोटा संबंध है। `R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)}` चूँकि `(1,2) in R` और`(2,3) in R` परन्तु `(1,3) notin R`. अत: R संक्रामक नहीं है। अब संबंध R को संक्रामक बनाने के लिए युग्म (1,3) बढ़ा दे, तो हमे निम्न संबंध प्राप्त होगा: `R_(1) = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3)}` यह संबंध `R_(1)` स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है क्योकि `(1,3) in R_(1)` जबकि `(3,1) notin R_(1)` पुन `R_(1)` में क्रमित युग्म (2,1) बढ़ाने पर हमे निम्न संबंध प्राप्त होगा: `R_(2) = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3), (2,1)}` यह संबंध`R_(2)` स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है। इसी प्रकार युग्म (3,2) और (3,1) बढ़ा दिया जाये, तो निम्न संबंध प्राप्त होता है: `R_(3) = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3), (3,2), (3,1)}` यह संबंध `R_(3)` स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है। अत: उपरोक्त तीन संबंध `R_(1), R_(2)` और`R_(3)` स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है। अब इस प्रक्रिया को जारी रखने पर प्राप्त संबंध सममित हो जायेगा जो अभीष्ट नहीं है। अत: अभीष्ट संबंधो की कुल संख्या तीन है। |
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| 28. |
ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिये, जो (i) स्वतुल्य और संक्रामक हो किन्तु सममित न हो। (ii) सममित और संक्रामक हो किन्तु स्वतुल्य न हो। (iii) स्वतुल्य और सममित हो किन्तु संक्रामक न हो। (iv) सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक न हो। (v) संक्रामक हो परन्तु न स्वतुल्य हो और न सममित हो। (vi) स्वतुल्य हो परन्तु न सममित हो और न संक्रामक हो। (vii) न स्वतुल्य हो, न सममित हो और न संक्रामक हो। |
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Answer» माना A = {1, 2,3} एक स्वेच्छ अरिक्त समुच्चय है तथा R, A पर परिभाषित एक सममित है। (i) `R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2)}` यहाँ R स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है क्योकि `(1,2) in R` परन्तु `(2,1) notin R` (ii) `R = {(1,1), (2,2), (1,2), (2,1)}` यहाँ R सममित और संक्रामक है परन्तु R स्वतुल्य नहीं है क्योकि `(3,3) notin R` (iii) `R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2)}` यहाँ R स्वतुल्य और सममित है परन्तु R संक्रामक नहीं है क्योकि `(1,2) in R, (2,3) in R` परन्तु `(1,3) notin R` (iv) `R = {(2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}` यहाँ R सममित है परन्तु R स्वतुल्य नहीं है क्योकि `(1,1) notin R` तथा R संक्रामक नहीं है क्योकि `(1,2) in R, (2,1) in R` जबकि `(1,1) notin R` (v) `R = {(1,2), (2,3), (1,3)}` यहाँ R संक्रामक है परन्तु स्वतुल्य नहीं है क्योकि `(1,1) notin R` तथा सममित नहीं है क्योकि `(1,2) in R` जबकि `(2,1) notin R` (vi) R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)} यहाँ R स्वतुल्य है परन्तु R सममित नहीं है क्योकि `(1,2) in R` जबकि `(2,1) in R` तथा R संक्रामक नहीं है क्योकि `(1,2) in R, (2,3) in R` जबकि `(1,3) notin R` (vii) R= {(1,2), (2,3)} यहाँ R स्वतुल्य नहीं है क्योकि `(1,1) notin R, R` सममित नहीं क्योकि `(1,2) in R` जबकि `(2, 1) notin R` तथा R संक्रामक नहीं क्योकि `(1,2) in R, (2, 3) in R` जबकि `(1, 3) notin R` |
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सिद्ध कीजिये कि समुच्चय {1, 2, 3} में `R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)}` द्वारा प्रदत्त संबंध स्वतुल्य है परन्तु न तो सममित है और न संक्रामक है। |
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Answer» माना समुच्चय A = {1, 2, 3} में प्रदत्त संबंध है- `R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,1), (2,2)}` (i) चूँकि `1, 2, 3 in A` और `(1,1), (2,2), (3,3) in R` अर्थात `(a,a) in R AA a in A` इसलिए R स्वतुल्य है। (ii) चूँकि `(1,2) in R` परन्तु `(2, 1) notin R` इसलिए R सममित नहीं है। (iii) चूँकि `(1, 2) in R` और `(2, 3) in R` परन्तु `(1, 3) notin R` इसलिए R संक्रामक नहीं है। |
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जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधो में से प्रत्येक स्वतुल्य सममित तथा संक्रामक है: (i) समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {(x, y): y भाज्य है से} द्वारा परिभाषित संबंध R है। (ii) शून्येत्तर परिमेय संख्याओं के समुच्चय `Q_(0)` में परिभाषित संबंध `(a, b) in R hArr a = (1)/(b)` (iii) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में परिभाषित संबंध `(a,b) in R hArr a^(2) - 4ab + 3b^(2) = 0` |
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Answer» (i) स्वतुल्य और संक्रामक परन्तु सममित नहीं। (ii) सममित परन्तु स्वतुल्य और संक्रामक नहीं। (iii) स्वतुल्य परन्तु सममित और संक्रामक नहीं। |
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| 31. |
सिद्ध कीजिये कि समुच्चय {1, 2, 3} में `R = {(1,2), (2,1)}` द्वारा प्रदत्त संबंध R सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है। |
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Answer» माना समुच्चय A = {1, 2, 3} में प्रदत्त संबंध है- `R = {(1,2), (2,1)}` (i) चूँकि `1, 2, 3 in A` और `(1,1), (2,2), (3,3) notin R` इसलिए संबंध R स्वतुल्य नहीं है। (ii) चूँकि `(1,2) in R` और `(2, 1) in R` इसलिए R सममित है। (iii) चूँकि `(1,2) in R` और `(2,1) in R` परन्तु `(1,1) notin R` इसलिए R संक्रामक नहीं है। यही सिद्ध करना था। |
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| 32. |
माना कि `A={x:x^(3)-x^(2)-9x+9=0}` तो A पर कितने भिन्न संबंध परिभाषित होंगें?A. 8B. 256C. 128D. 512 |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 33. |
जाँच कीजिये कि क्या R में R = {`(a,b) : a le b^(3)`} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है? |
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Answer» यहाँ R = {`(a,b) : a le b^(3)` और `a, b in R`} स्वतुल्यता: प्रत्येक वास्तविक संख्या a के लिए `a le a^(3)` सत्य नहीं है। `rArr (a,a) notin R` `rArr` R समुच्चय R में स्वतुल्य संबंध नहीं है। [जैसे `(1)/(2) le ((1)/(2))^(3)` अर्थात `(1)/(2) lt (1)/(8)` सत्य नहीं है] सममितता: माना `1, 2 in R` चूँकि `1 le 2^(3)` `rArr (1,2) in R` परन्तु `2 gt 1^(3)` अर्थात `2 lt 1^(3)` सत्य नहीं है। `rArr (2,1) notin R` अत: `(1,2) in R` परन्तु `(2,1) in R` अतएव R, में सममित संबंध नहीं है। संक्रामकता: माना 10, 3 और`2 in R` चूँकि `10 lt 3^(3)` `rArr (10,3) in R` और `rArr (3,2) in R` परन्तु `10 gt 2^(3)` अर्थात `10 lt 2^(3)` सत्य नहीं है। `rArr (10,2) notin R` अत: `(10, 3) in R` और `(3, 2) in R` परन्तु `(10,2) notin R` अतएव R, में संक्रामक संबंध नहीं है। |
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| 34. |
माना S एक अरिक्त समुच्चय है और घात समुच्चय है। P(S) में एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित करते है कि `ARB hArr A sub BAA A, B in P (S)`. जाँच कीजिये कि R (i) स्वतुल्य, (ii) सममित, (iii) प्रतिसममित, (iv) संक्रामक है। |
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Answer» यहाँ R = {`(A, B) : A sube B` और `A, B in P(S)`} स्वतुल्यता: प्रत्येक `A in P(S)` के लिए `A sube A`, [प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है] `rArr (A,A) in R AA A in P(S)` `rArr ARA AA A in P(S)` `:. R, P(S)` में स्वतुल्य है। सममितता: माना `A = phi` और B, S का स्वच्छ अरिक्त समुच्चय है, तब `A sube B` परन्तु `B cancel(sube ) A` `rArr (A, B) in R` परन्तु `(B, A) notin R` `:. R, P(S)` में सममित नहीं है। प्रति-सममितता: माना `A,B,C in P(S)`, तब `(A,B) in R` और `(B,A) in R rArr A sube B` और `B sube A` `rArr A= B` `:. R, P(S)` में प्रति-सममित संबंध है। संक्रामकता: माना `A, B, C in P(S)` इस प्रकार है कि `(A,B) in R` और `(B, C) in R`, तब, `(A, B) in R` और `(B,C) in R`, `rArr A sube B` और `B sube C` `rArr A sube C` `rArr (A,C) in R` `:. R, P(S)` में संक्रामक संबंध है। |
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माना लीजिए कि `N=` सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय माना कि `R={(x,y):x+2y=0 y epsilonN}` क्या `R,N` पर एक संबंध हैं? कारण बतालाइए। |
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Answer» `x+2y=0impliesx=-2y: y epsilonN` तो `x=-2,-4,-6`….. स्पष्टतः `(x,y)=(-2,1)y=1` के लिए इसलिए `(-2,1) epsilon R` जबकि `(-2,y epsilonNxxN` `:.Rcancel(sube)NxxN` अतः `N` पर `R` संबंध नहीं है। |
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प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित है कि- `xRy hArr 2x^(2) - 3xy + y^(2) = 0` दर्शाइए कि संबंध R सममित नहीं है परन्तु स्वतुल्य है। |
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Answer» यहाँ R = {`(x,y) : x,y in N` और `2x^(2) -3xy + y^(2) = 0`} स्वतुल्यता: `x in N` के लिए, `2x^(2) - 3x.x + x^(2) = 0` `rArr (x,x) in R AA x in N` `rArr R, N` में स्वतुल्य है। सममितता: माना `1, 2 in N`, तब, `2(1)^(2) -3.1.2 + 2^(2) = 0` `rArr (1,2) in R` परन्तु `2(2)^(2) -3.2.1 + (1)^(2) = 3 ne 0` `rArr (2,1) notin R` `:. (1,2) in R` परन्तु `(2,1) notin R` अत: R, N में सममित संबंध नहीं है। |
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