Explore topic-wise InterviewSolutions in .

This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

501.

`{xcos((y)/(x))+ysin((y)/(x))}ydx={ysin((y)/(x))-xcos((y)/(x))}xdy`

Answer» Correct Answer - `xycos|(y)/(x)|=c`
Discussion
502.

`(d^2y)/(dx^2)=0` का व्यापक हल है -A. `y=c_1x+c_2`B. `x=c_1y^2+c_2`C. `y^2=c_1z+c_2`D. `x^2=c_1y+c_2`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
503.

अवकल समीकरण `(d^2y)/(dx^2)+(dy)/(dx)+sin((dy)/(dx))=0` की घातA. 1 हैB. 0 हैC. परिभाषित नहीं हैD. 2 है

Answer» Correct Answer - C
Discussion
504.

अवकल समीकरण `2x^2(d^2y)/(dx^2)-3(dy)/(dx)+y=0` की कोटि है-A. 2B. 1C. 0D. परिभाषित नहीं है

Answer» Correct Answer - A
Discussion
505.

अवकल समीकरण `(d^2y)/(dx^2)+((dy)/(dx))^3+y=0` की कोटि है-

Answer» Correct Answer - C
Discussion
506.

अवकल समीकरण `(d^3y)/(dx^3)-2((d^2y)/(dx^2))^2+y=0` की कोटि है-A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer» Correct Answer - C
Discussion
507.

अवकल समीकरण `2x^2(d^2y)/(dx^2)-3(dy)/(dx)+y=0` की कोटि है-A. 2B. 1C. 0D. परिभाषित नहीं है

Answer» Correct Answer - A
Discussion
508.

`(dy)/(dx)=y tan x , y = 2` यदि x = 0

Answer» दिया है, `(dy)/(dx)=y tan x`
`implies (1)/(y)dy=tan xdx`
`implies int (1)/(y) dy = int tan x dx`
`implies log|y|==log|(secx)|+log|C|`
`implies logy=log|(C sec x)|`
`impliesy=Csecx`
अब, y = 1 तथा x = 0 रखने पर,
1 = C sec 0 implies `1 = C xx 1 implies C = 1`
C = 1 रखने पर, y = sec x
जोकि अभीष्ट विशिष्ट हल है।
Discussion
509.

हल कीजिए- `sqrt(1-y^(2))dx = (sin^(-1)y-x)dy, y(0)=0.`

Answer» दिया हुआ अवकल समीकरण है- `sqrt(1-y^(2))dx = (sin^(-1)y-x)dy`
`implies(dx)/(dy) =(sin ^(-1)y-x)/(sqrt(1-y^(2)))`
`sqrt(1-y^(2))dx = (sin^(-1)y-x)dy`
`implies(dx)/(dy) =(sin ^(-1)y-x)/(sqrt(1-y^(2)))`
`implies(dx)/(dy) =(sin ^(-1)y)/(sqrt(1-y^(2)))-(x)/(sqrt(1-y^(2)))`
`implies(dx)/(dy)+ (1)/(sqrt(1-y^(2)))x= (sin ^(-1)y)/(sqrt(1-y^(2)))" "...(1)`
जो कि x में रैखिक अवकल समीकरण है.
समी (1 ) की तुलना `(dx)/(dy) +Px =Q` से करने पर
`P=(1)/(sqrt(1-y^(2)))` और `Q =(sin ^(-1))/(sqrt(1-y^(2)))`
`therefore I. F. =e ^(intPdy )=e ^(int (1)/(sqrt(1-y^(2)))dy)=e^(sin^(-1)y)`
अतः अभीष्ट हल है-
`x xx(I. F.)=int(Q xxI. F.)dy+C`
`implies x.e^(sin^(-1)y)=int ((sin ^(-1)y)/(sqrt(1-y^(2)))xx e ^(sin^(-1)y))dy+C`
`impliesx.e ^(sin^(-1)y)=intt.e^(t)dt+C,`
`[" माना"sin ^(-1)y=timplies(1)/(sqrt(1-y^(2)))dy=dt]`
`impliesx.e ^(sin^(-1)y) =te^(t) -e^(t)+C`
`implies xe^(sin ^(-1)y)=(sin ^(-1)ye ^(sin^(-1)y)-e ^(sin^(-1)y))+C`
`impliesxe ^(sin ^(-1)y) =e^(sin ^(-1)y)(sin ^(-1)y-1)+C" "...(2)`
समी (2 ) में `x=0` और `y=0` रखने पर
`0=e^(0)(0-1)+Cimplies C=1`
समी (2 ) में ` C=1` रखने पर,
`xe ^(sin ^(-1)y)=e ^(sin ^(-1)y)(sin ^(-1)y-1)+1`
`implies(x-sin^(-1)y+1)e^(sin ^(-1)y)=1.`
Discussion
510.

हल कीजिए- `(1+y^(2))+ x-e ^(tan^(-1y))(dy)/(dx)=0.`

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है-
`(1+y^(2))+(x-e^(tan^(-1)y))(dy)/(dx) =0`
`implies(1+ y^(2))=-(x-e^(tan ^(-1)y))(dy)/(dx)`
`implies (dx)/(dy)=(-(x-e^(tan^(-1)y)))/(1+y^(2))`
`implies (dx)/(dy) =-(x)/(1+y^(2))+(e^(tan^(-1)y))/(1+y^(2))`
`implies(dx)/(dy)+ (1)/(1+y^(2)).x = (e ^(tan^(-1)y))/(1+y^(2))" "...(1)`
जो कि x में रैखिक अवकल समीकरण है .
समी (1 ) कि तुलना `(dx)/(dy)+Px =Q` से करने पर,
`P =(1)/(1+y^(2))` और `Q=(e^(tan^(-1)y))/(1+y^(2))`
`thereforeI. F. =e^(intPdy )=e ^(int(1)/(1+y^(2))dy)=e ^(tan ^(-1)y)`
अतः अभीष्ट हल है-
`x xx(I. F. ) =int Q xx (I. F. )dy +C`
`impliesxe ^(tan^(-1)y)=int ((e^(tan^(-1)y))/(1+y^(2)), e^(tan ^(-1)y))dy+C`
`impliesxe ^(tan ^(-1)y)=int e ^(t). e^(t) dt +C,`
`["माना" tan ^(-1)y=timplies (1)/(1+y^(2))dy = dt]`
`impliesxe^(tan ^(-1)y)=int e^(2t) dt+C`
`impliesxe^(tan ^(-1)y)= (e ^(2t))/(2)+C`
`impliesx.e^(tan ^(-1)y)=1/2 e ^(2 tan^(-1)y)+C.`
Discussion
511.

अवकल समीकरणों में कोटि तथा घाट ज्ञात कीजिये- `(dy)/(dx)+xy=cosx`

Answer» Correct Answer - कोटि 1 घात 1
Discussion
512.

`(1-x^(2))dy + xy dx = xy^(2)dx`

Answer» `(y-1)/y sqrt(1-x^(2)) =c`
Discussion
513.

`tan y dx+ sec^(2)y tan x dy=0`

Answer» Correct Answer - `sin x tany=c`
Discussion
514.

`" cosec " x logy (dy)/(dx) +x^(2)y=0`

Answer» `1/2(log y)^(2)-x^(2) cos x + 2x sinx + 2 cosx =c`
Discussion
515.

हल करें : `(dy)/(dx) + 2y = xe^(4x)`

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `(dy)/(dx) + 2y = xe^(4x)`..........(1)
यह `(dy)/(dx) +1/x .y =x^(2)`........(1)
यह `(dy)/(dx) + Py =Q` के रूप का रैक्षिक अवकल समीकरण है,
जहाँ, P=2 तथा `Q=xe^(4x) therefore I.F. = e^(intPdx) = e^(int 2dx) =e^(2x)`
`y.e^(2x) = intxe^(4x). e^(2x)dx +c = int xe^(6x) dx+ c`
`=x(e^(6x))/(6) - (e^(6x))/36 +c`
अतः `y=1/6 xe^(4x) - 1/36 e^(4x) + ce^(-2x)`
यदि दिए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है|
Discussion
516.

निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करे यदि `y=1` जब `x=2`. `x(dy)/(dx) +y =x^(3)`

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है, `x(dy)/(dx) +y =x^(3)`
या, `(dy)/(dx) + 1/x. y =x^(2)`..........(1)
यह `(dy)/(dx) +Pq=Q` के रूप का रैशिक अवकल समीकरण है,
जहाँ, `P=1/x` तथा `Q=x^(2)` अब `I.F. = e^(int Pdx) = e^(int 1/x dx) = e^(log x)=x`
दिए गए अवकल समीकरण का हल होगा,
`y.x= int x.^(2)dx + c = int x^(3)dx +c rArr xy = 1/4 x^(4) +c`........(2)
दिया है, `y=1`, जब `x=2`
`therefore (2)` से, `2 xx 1 =1/4 xx 2^(4) + c rArr c=-2`
अब (2) से, `xy = 1/4x^(4)-2 rArr y=1/4x^(3)-2x^(-1)`
यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है|
Discussion
517.

हल करें: `(dy)/(dx) -3y cot x = sin 2x` यदि यह दिया है की `y=2` जब `x=pi/2`:

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `(dy)/(dx) -3y cot x = sin 2x`.........(1)
यह `(dy)/(dx) + Py =Q` के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है,
जहाँ, `P=-3cotx` तथा `Q=sin 2x`
अब I.F. `=e^(int Pdx) = e^(int -3 cotx dx) = e^(log(sinx)^(-3)) = 1/(sin^(3)x)`
`therefore` दिए गए अवकल समीकरण का हल होगा,
`y xx I.F. = int {Q xx (I.F.)} dx +C`
या, `y/(sin^(3)x) = 2 int(cos x)/(sin^(2)x) dx +C`
`=2int 1/t^(2) dt +C`, जहाँ, `sinx =t`
`=-2/t + C = -2/(sin x) +C`
इस प्रकार, `y=-2 sin^(2)x +C sin^(3)x`.........(2)
दिया है: `y=2` जब `x=pi//2`
(2) में, `x=pi/2` तथा `y=2` रखने पर हमें मिलता है, `2 =-2 +C rArr C=4`
अतः `y=-2 sin^(2)x + 4 sin^(3)x`
यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है|
Discussion
518.

निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें| `2xydx + (x^(2) +2y^(2))dy=0`

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `(y^(2)-x^(2))dy = 3xy dx`
यह एक संघातीय अवकल समीकरण है
`y=vx` रखें तो `(dy)/(dx) =(3x(vx))/(v^(2)x^(2)-x^(2)) = (3v)/(v^(2)-1)`
`rArr x(dv)/(dx) = (3v)/(v^(2)-1) v = (4v-v^(3))/(v^(2)-1) rArr (v^(2)-1)/(v(4-v^(2))) dv = (dx)/x`
integrate करने पर हमें मिलता है,
`int(v^(2)-1)/(v(2-v)(2+v)) dv = int (dx)/x +c `
`rArr int [-1/(4v) + 3/8 .1/(2-v)-3/8. 1/(2+v)]dv = int (dx)/x + c` [Partial fraction से]
`rArr 2log|v| + 3(log|2-v| + log|2+v|) = -8log|x| + 8c` [`-8` से गुणा करने पर]
`rArr log|v^(2)(4-v^(2))^(3)|=-8log|x|+logk`, जहाँ `-8c = log k`
`rArr log|v^(2)(4-v^(2))^(3)| = log(k/x^(8))`
`rArr v^(2)(4-v^(2))^(3) = +-k/x^(8) = a/x^(8)`, जहाँ `a=+-k`
`rArr y^(2)/x^(2)(4-y^(2)/x^(2))^(3) = a/x^(8)`
`rArr y^(2)(4x^(2) -y^(2))^(3)=a`, जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है|
यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है|
Discussion
519.

अवकल समीकरण `(x-y) (dx+dy) = dx - dy` का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया गए है कि y = - 1, यदि x = 0 (संकेत : x - y = t रखे)।

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है
`(x-y)(dx+dy)=dx-dy`
`implies dx+dy=(dx-dy)/(x-y)`
समाकलन करने पर, `int(dx+dy)=int(dx-dy)/(x-y)+C`
`implies x+y=log|x-y|+C " ....(1)"`
दिया है, जब x = 0, तब y = - 1
`therefore 0+(-1)=log(0+1)+Cimpliesc=-1`
यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
x+y=log|x-y|-1
`implies log|x-y|=x+y+1`
जोकि अभीष्ट विशिष्ट हल है।
Discussion
520.

`(x+3y^(2))(dy)/(dx)=y`

Answer» Correct Answer - `x=3y^(2)+cy`
Discussion
521.

हल ज्ञात कीजिए `y dx+(x-y^(2))dy=0`

Answer» (i) `3xy=y^(3)+c` (ii)`x=tan^(-1)y-1+c.e^(-tan^(-1)y)`
Discussion
522.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- ` (dy)/(dx)=(1)/(y^(2) +sin y)`

Answer» Correct Answer - `x=(y^(3))/(3) -cos y+C`
Discussion
523.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)=(x)/(x^(2)+1)`

Answer» Correct Answer - `y=1/2log |x^(2)+1|+C`
Discussion
524.

`xlogx(dy)/(dx)+y=2 logx`

Answer» `y=logx+c(logx)^(-1)`
Discussion
525.

अवकल समीकरणों को हल कीजिये `x(dy)/(dx)-y=2sqrt(y^(2)-x^(2))`

Answer» Correct Answer - `y+sqrt(y^(2)-x^(2))=cx^(3)`
Discussion
526.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- ` (dy)/(dx) -x sin ^(2) x = (1)/(x log x)`

Answer» Correct Answer - `y= (x^(2))/(4)-(1)/(4) x sin 2x -1/8 cos 2x+ jlog |log x| +C`
Discussion
527.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =x^(2) +sin 3x`

Answer» Correct Answer - `y=(x^(3))/(3)-(cos 3x)/(3)+C`
Discussion
528.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) +y =cos x-sin x`

Answer» Correct Answer - `y=-e^(-2x)+Ce^(-x)`
Discussion
529.

`(dy)/(dx)-3ycotx=sin2x,y=2" यदि "x=(pi)/(2)`

Answer» Correct Answer - `y=4sin^(3)x-2sin^(2)x`
Discussion
530.

`(1+x^(2))dy+2 xy dx=cotxdx`

Answer» `y(1+x^(2))=logsinx+c`
Discussion
531.

अवकल समीकरण `[(e^(-2sqrt(x)))/(sqrt(x))-(y)/(sqrt(x))](dx)/(dy)=1(xne0)` का हल ज्ञात कीजिए।

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है
`((e^(-2sqrt(x)))/(sqrt(x))-(y)/(sqrt(x)))(dx)/(dy)=1" ....(1)"`
`implies (dy)/(dx)=(e^(-2sqrt(x)))/(sqrt(x))-(y)/(sqrt(x))implies (dy)/(dx)+(1)/(sqrt(x))y=(e^(-2sqrt(x)))/(sqrt(x))" ....(2)"`
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)+Py=Q` से तुलना करने पर,
`P=(1)/(sqrt(x)),Q=(e^(-2sqrt(x)))/(sqrt(x))`
`therefore I.F. =e^(int(1)/(sqrt(x))dx) implies I.F. = e^(2x^(1//2))=e^(2sqrt(x))`
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
`y. I.F.=intQxxI.F.dx+C`
`implies ye^(2sqrt(x))=inte^(2sqrt(x))xx(e^(-2sqrt(x)))/(sqrt(x))dx+C`
`implies ye^(2sqrt(x))=int(1)/(sqrt(x))dx+Cimpliesye^(2sqrt(x))=2sqrt(x)+C`
Discussion
532.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- ` (x+2) (dy)/(dx) =x^(2) +4x-9`

Answer» Correct Answer - `y =(x^(2))/(2)+2x-13 log |x+ 2|+C`
Discussion
533.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) +y=cos x-sinx`

Answer» Correct Answer - `y.e^(x)=e^(x)cos x+C`
Discussion
534.

`x(dy)/(dx)+y-x+xycotx=0,(xne0)`

Answer» Correct Answer - `y=(1)/(x)-cotx+(c)/(xsinx)`
Discussion
535.

`(1+x^(2))dy+2xy dy=cotxdx(xne0)`

Answer» `(1+x^(2))dy+2xy dx=cotxdx`
`implies(dy)/(dx)+(2x)/(1+x^(2))y=(cotx)/(1+x^(2))`
यहाँ, `P=(2x)/(1+x^(2)),Q=(cotx)/(1+x^(2))`
`therefore I.F. =e^(int(2x)/(1+x^(2))dx)=e^(log(1+x^(2)))=(1+x^(2))`
और व्यापक हल :
`y(1+x^(2))=int(cotx)/(1+x^(2))(1+x^(2))dx+c`
`=intcotxdx+c`
`implies y(1+x^(2))=logsinx+c`
Discussion
536.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) +(4x)/(x^(2)+1)y+(1)/((x^(2)+1)^(2))=0`

Answer» Correct Answer - `y(x^(2)+1)^(2)=-x+C`
Discussion
537.

`x(dy)/(dx)+y-x+xycotx=0(x ne 0)`

Answer» `x(dy)/(dx)+y-x+xycotx=0`
`implies(dy)/(dx)+y((1)/(x)+cotx)=1`
यहाँ, `P=(1)/(x)+cotx` तथा `Q = 1`
`therefore I.F. =e^(intPdx)=e^(int((1)/(x)+cotx)dx)`
`=e^(logx)+logsinx`
`=e^(log(xsinx))=xsinx`
और व्यापक हल :
`y.(xsinx)=int1.xsinxdx+c=x(-cosx)`
`-int1.(-cosx)dx+c`
`impliesxysinx=-xcosx+sinx+c`
Discussion
538.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x (dy)/(dx) -y =(x-1)e ^(x)`

Answer» Correct Answer - `y=e^(x)+Cx`
Discussion
539.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(sin x )(dy)/(dx) +y cos x= 2 sin ^(2)x cos x`

Answer» Correct Answer - `y sin x=2/3 sin ^(3)x+C`
Discussion
540.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x (dy)/(dx) +y = xe ^(x)`

Answer» Correct Answer - `y=((x-1)/(x))e^(x) +(C)/(x)`
Discussion
541.

`(x+3y^(2))(dy)/(dx)=y,(ygt0)`

Answer» `(x+3y^(2))(dy)/(dx)=yimpliesy(dx)/(dy)=x+3y^(2)`
`implies (dx)/(dy)-(1)/(y)x=3y`
यहाँ, `P=-(1)/(y),Q=3y`
`I.F.=e^(int-(1)/(y)dy)=e^(-logy)`
`=e^(log(y^(-1)))=y^(-1)=(1)/(y)`
और व्यापक हल :
`x((1)/(y))=int3y((1)/(y))dy+c`
`=int3 dy+c=3y+c`
`implies x=3y^(2)+cy`
Discussion
542.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)+2 y= xe^(4x)`

Answer» Correct Answer - `y= (xe^(4x))/(6) -(e^(4x))/(36)+Ce^(-2x)`
Discussion
543.

`(x+y)(dy)/(dx)=-1`

Answer» `(x+y)(dy)/(dx)=1 implies (dx)/(dy)=x+y`
`implies (dx)/(dy)-x=y`
यहाँ, P=-1, Q=y
`I.F.=e^(intPdy)=e^(int-1dy)=e^(-y)`
और व्यापक हल : `x(e^(-y))=intye^(-y)dy+c`
`impliesxe^(-y)=y(-e^(-y))-int1(-e^(-y))dy+c`
`=-ye^(-y)-e^(-y)+c`
`impliesx=-y-1+ce^(y)`
`impliesx+y+1=ce^(y)`
Discussion
544.

`y dx + (x-y^(2))dy=0`

Answer» `y dx+(x-y^(2))dy=0implies(dx)/(dy)+(1)/(y)x=y`
यहाँ, `P=(1)/(y), Q = y`
`therefore I.F. =e^(int(1)/(y)dy)=e^(logy)=y`
और व्यापक हल :
`x(y)=inty(y)dy+cimpliesxy=(y^(3))/(3)+c`
`implies3xy=y^(3)+3c`
`implies 3xy=y^(3)+c_(1)` जहाँ `c_(1)+3c`
Discussion
545.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) -y =xe^(x)`

Answer» Correct Answer - `y=((x^(2))/(2) +C)e^(x)`
Discussion
546.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(x^(2)-1) (dy)/(dx)+2 (x+2)y=(x+1)`

Answer» Correct Answer - `y=(2(x+1))/((x-1)^(3)){x^(2)-6x+8 log (x+1)}+C`
Discussion
547.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(1+x^(2))(dy)/(dx)-2xy =(x^(2)+2) (x^(2)+1)`

Answer» Correct Answer - `y=(x+tan ^(-1) x+C) (x^(2)+1)`
Discussion
548.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(1+x^(2))(dy)/(dx)+2xy -4x^(2)=0`

Answer» Correct Answer - `y (1+x^(2))=(4x^(3))/(3)+C`
Discussion
549.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =y tan x-2 sin x`

Answer» Correct Answer - `y=sec x(-sin ^(2)x+C)`
Discussion
550.

निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें| `2x(dy)/(dx) + y= 6x^(3)`

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `2x(dy)/(dx) + y =6x^(3)`
`rArr (dy)/(dx) +1/(2x) .y = 3x^(2)`...................(1)
यह, `(dy)/(dx)+Py =Q` के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है,
जहाँ, `P=1/(2x)` तथा `Q=3x^(2)`
अब, `I.F. = e^(intPdx) = e^(1/2logx) =e^(log sqrt(x))=sqrt(x)`
`therefore` दिए गए अवकल समीकरण (1) का हल होगा,
`ysqrt(x) = int sqrt(x). 3x^(2)dx + c = 3intx^(5//2)dx + c= 3.(x^(7//2))/(7//2) + c`
`rArr y=6/7 x^(3) + cx^(-1//2)`
यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है|
Discussion