InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 551. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)+y tan x=2 x +x^(2)tan x` |
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Answer» Correct Answer - `y sec x=x^(2) sec x+C` |
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| 552. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(x+tan y) dy = sin 2y dx` |
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Answer» Correct Answer - `x=tan y+ C sqrttan y` |
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| 553. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(1+x^(2))(dy)/(dx) +y=tan ^(-1)x` |
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Answer» Correct Answer - `y=(tna ^(-1)x -1) +Ce^(-tan ^(-1x))` |
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| 554. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें| `x(dy)/(dx) -y -2x^(3)=0` i.e., `(dy)/(dx) - y/x = 2x^(2)` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `(dy)(dx) -1/x.y = 2x^(2)`.........(1) यह `(dy)/(dx) +Py =Q` के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ, `P=-1/x` तथा `Q=2x^(2)` अब `I.F. =e^(intPdx) = e^(int -1/x dx) = e^(-log x) = e^(log x^(-1))=x^(-1)` दिए गए अवकल समीकरण (1) का हल होगा, `y.x^(-1)= int 2x^(2).x^(-1)dx +c = 2int x dx +c` `=2.x^(2)/2 +c rArr y=x^(3) +cx` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 555. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)+2y=sin x` |
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Answer» Correct Answer - `y= 1/5 (2 sin x-cos x) +Ce^(-2x)` |
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| 556. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) -y/x =2x^(2)` |
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Answer» Correct Answer - `y=x^(3) +Cx` |
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| 557. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें| `x(dy)/(dx) -y =x^(2)` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `x(dy)/(dx)-y =x^(2)` या, `(dy)/(dx) -1/x.y =x`...............(1) यह `(dy)/(dx) + Py =Q` के रूप का प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है| जहाँ, `P=-1/x` तथा `Q=x` अब , `I.F. = e^(intPdx) = e^(int-1/xdx) = e^(-logx) = e^(log x^(-1)) = x^(-1) = 1/x` `therefore` दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 558. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) +3y=e ^(-2x)` |
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Answer» Correct Answer - `ye ^(3x)=e^(x)+C` |
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| 559. |
अवकल समीकरण `(1+y^(2))(1+logx)dx + xdy=0` को हल करें यदि वह दिया हैं की `y=1` जब `x=1` हैं| |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण हैं: `(1+y^(2))(1+logx)dx + xdy =0` या, `(1+logx)/x dx + 1/(1+y^(2))dy=0` [चारों को अलग करने पर] `therefore int (1+logx)/(x) dx + int 1/(1+y^(2))dy =C` [दोनों पक्षों को integrate करने पर] या, `int tdt + tan^(-1)y =C`, जहाँ `(1+ log x)=t` या, `1/2 t^(2) + tan^(-1)y =C` या, `1/2(1+log x)^(2) + tan^(-1)y =C`............(2) दिया हैं: जब `x=1, y=1` `therefore (2)` से `C=1/2 +tan^(-1)1 rArr C=(1/2+pi/4)`........(3) `therefore (2)` से `1/2(1+ logx)^(2) + tan^(-1)y = (1/2 + pi/4)` या `1/2(log x)^(2) + log x + tan^(-1)y = pi/4` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल हैं| |
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| 560. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)+3y=cos^(2)x` का हल है-A. `y=(1)/(6)+(1)/(26)(2sin2x+3cos2x)+ce^(-3x)`B. `y=(1)/(6)+(1)/(26)(3cos2x+2sin2x)+ce^(-3x)`C. `y=(1)/(6)+(1)/(26)(3cos2x-2sin2x)+ce^(-3x)`D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 561. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x log x (dy)/(dx) +y =2/x log x.` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `x log x (dy)/(dx) +y=2/x log x` `implies(dy)/(dx) +((1)/(x log x)) y=(2 log x)/(x^(2)log x)` `implies(dy)/(dx)+((1)/(x log x))y= (2)/(x^(2))" "...(1)` जो कि y रैखिक अवकल समीकरण है. समी (1 ) की तुलना मानक रूप `(dy)/(dx) +Py =Q` से करने पर, `P =(1)/(xlog x ) ` और `Q =(2)/(x^(2))` `thereforeI .F. =e^(int Pdx)=e ^(int (1)/(x log x))` `e ^(int (1)/(t)dt) , [" माना" log x =1 implies(1)/(x)dx =dt ]` `=e ^(log |t|)=|t|=log x` अतः अभीष्ट हल है- `yxx (I.F.) =int Q . (I. F.) dx+C` `impliesy log x = int (2)/(underset(II)(x^(2)))underset(I)(log ) x dx +C` `implies y log x = log x int (2)/(x^(2)) dx` `-int {(d)/(dx)(log x). int (2)/(x^(2))dx}dx+C` `impliesy log x = log x (-(2)/(x))-int ((1)/(pi)xx(-2)/(x))dx+C` `impliesy log x =- (2)/(x) log x+ int (2)/(x^(2))dx+C` `implies y log x =-(2)/(x) log x- (2)/(x)+C.` |
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| 562. |
हल कीजिए- `(x^(2) +1)(dy)/(dx) +2xy =sqrt(x^(2)+4).` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `(x^(2)+1) (dy)/(dx) +2xy =sqrt(x^(2)+4)` `implies(dy)/(dx) +((2x)/(x^(2)+1))y=(sqrt(x^(2)+4))/(x^(2) +1)" "...(1)` जो कि y में रैखिक अवकल समीकरण है . समी (1 ) कि तुलना `(dy)/(dx) +Py =Q` से करने पर , `P=(2x)/(x^(2)+1)` और `Q=(sqrt(x^(2)+4))/(x^(2)+1)` `thereforeI.F. =e^(int Pdx)=e^(int(2x)/(1+x^(2))dx)=e ^(log |1+x^(2)|)=1+ x^(2)` अतः अभीष्ट हल है- `yxx(I. F.)= int Qxx (I. F. ) dx +C` `impliesy (1+x^(2))=int (sqrt(x^(2)+4))/(x^(2)+1)xx(1+x^(2))dx+C` `impliesy (1+x^(2)) =int sqrt(x^(2) +4)dx +C` `implies y(1+x^(2))=int sqrt(x^(2)+2^(2))dx+C` `impliesy (1+x^(2))=x/2 sqrt(x^(2)+4)+ 2 log |x+ sqrt(x^(2) +4)|+C.` |
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| 563. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) -3 y cot x=sin 2x,y =2`जब `x=(pi)/(2)` |
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Answer» Correct Answer - `y=-2 sin ^(2) x+4 sin ^(3)x` |
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| 564. |
` (dy)/(dx) + 3y = e^(-2x)` |
| Answer» `y =e^(2x) + Ce^(-3x)` | |
| 565. |
`(d^(3)y)/(dx^(3)) + 3(d^(2)y)/(dx^(2)) + 3(dy)/(dx)=0` |
| Answer» कोटि =3 , घात =1 , रैखिक | |
| 566. |
हल कीजिए- `x (dy)/(dx) +y-x+xy cot x=0, x ne 0.` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `x(dy)/(dx)+y-xy cot x=0` `impliesx(dy)/(dx) +(1+ x cot x)y=x` `implies (dy)/(dx)+((1+ cot x)/(x))y=1` `implies(dy)/(dx)+ ((1)/(x) +cot x)y=1" "...(1)` यहॉँ `P=1/x+cot x` और `Q=1` `therefore I. F. =e^(int Pdx)=e^(int((1)/(x)+cotx)dx)` `=e^(int(1)/(x)dx+intcot x dx )` `=e ^(log|x|+ log |sin x|)` `=e ^(log |x sinx|)` `=x sin x` अतः अभीष्ट हल है- `yxx (I.F.)=int Qxx (I.F.) dx+C` `impliesy. x sin x=int 1(x sin x)dx +C` `implies xy sin x = int underset(I)(x ) underset(II)(sin) x dx +C` `implies xy sin x=x int sin x dx- int 1xx (-cos x) dx +C` `impliesxy sin x= x (- cos x)+ sin x+C` `implies xy sin x=- x cos x+ sin x+C` `impliesy=(-x cos x)/(x sin x) +(sin x)/(x sin x) +(C)/(x sin x)` `impliesy= -cot x+1/x + (C)/(x sinx).` |
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| 567. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)+y cot x=2x +x^(2)cot x (x ne 0), y=0 `when `x=pi/2` |
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Answer» Correct Answer - `y= x^(2) (pi^(2))/(4 sin x )(sin x ne 0)` |
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| 568. |
हल कीजिए- `x(dy)/(dx) +2y =x^(2) (x ne 0).` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `y(dy)/(dx)+2y =x^(2)` `implies(dy)/(dx)+ 2/x y=x, " "...(x)` जो कि y में रैखिक अवकल समीकरण है. समी (1 ) की तुलना `(dy)/(dx) +Py=Q` से करने पर, `P =2/x` और `Q =x ,` `thereforeI. F. =e ^(int(2)/(x)dx )=e ^(2 int (1)/(x)dx )=e^(2log x )=e^(log x^(2))=x^(2)` अतः अभीष्ट हल है- " `yxx (I. F.) =int Q. (I. F.) dx+C` `impliesy. x^(2) =int x.x^(2) dx+C ` `impliesyx^(2) =int x^(3) dx+C` `impliesx^(2)y =(x^(4))/(4)+C ` `impliesy=(x^(2))/(4)+Cx ^(-2).` |
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| 569. |
अवकल समीकरण `cosydy+cosxsinydx=0` `cosydy+cosxsinydx=0` दिया है : `x=(pi)/(2)," यदि "y=(pi)/(2)` |
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Answer» `cosydu+cosxsinydx=0` `implies(cosy)/(siny)dy+cosxdx=0` समाकलन करने पर, `int(cosy)/(siny)dy+intcosxdx=c` `implieslogsiny+sinx=c` `x=(pi)/(2)" यदि "y=(pi)/(2)" "` (दिया है) `implieslogsin""(pi)/(2)+sin""(pi)/(2)=c` `:.c=1` `:.logsiny+sinx=1` |
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| 570. |
`x(dy)/(dx) + 2y = x^(2), x ne 0` |
| Answer» `y=x^(2)/4 + C/x^(2)` | |
| 571. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx) = e^(x+y) + x^(2). e^(y)` को हल करें| |
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Answer» दिया हुआ अवकल समीकरण हैं: `(dy)/(dx) = e^(x+y) + x^(2).e^(y)`.........(1) `rArr (dy)/(dx) = e^(x).e^(y) + x^(2).e^(y)` `rArr e^(-y) dy = (e^(x) + x^(2)) dx` [चारों को अलग करने पर] `rArr inte^(-y) dy = int (e^(x) + x^(2))dx rArr -e^(-y) = e^(x) +x^(3)/3 +c` `rArr e^(x) + e^(-y) + x^(3)/3 =k`, जहाँ `k=-c` यदि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल हैं| |
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| 572. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=(x)/(y)` को हल कीजिये। |
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Answer» `(dy)/(dx)=(x)/(y)` `impliesydy=xdx` समाकलन करने पर, `intydy=intxdx+c` `implies(y^(2))/(2)=(x^(2))/(2)+c` `impliesy^(2)=x^(2)+k` जबकि k स्वेच्छ अचर है। |
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| 573. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)+sqrt(((1-y^(2))/(1-x^(3))))=0` को हल कीजिये। |
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Answer» `(dy)/(dx)+sqrt(((1-y^(2))/(1-x^(3))))=0` `implies(dy)/(sqrt(1-y^(2)))+(dx)/(sqrt((1-x^(2))))=0` समाकलन करने पर, `int(dy)/sqrt(1-y^(2))+int(dx)/(sqrt(1-x^(2)))=c` `sin^(-1)y+sin^(-1)x=c` जबकि c स्वेच्छ अचर है। |
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| 574. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=e^(x-y)+x^(2)e^(-y)` को हल कीजिये |
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Answer» `(dy)/(dx)=e^(x-y)+x^(2)e^(-y)=(e^(x))/(e^(y))+(x^(2))/(e^(y))` `impliese^(y)dy=e^(x)dx+x^(2)dx` समाकलन करने पर, `inte^(y)dy=inte^(x)dx+intx^(2)dx+c` `impliese^(y)=e^(x)+(1)/(3)x^(3)+c` जबकि c स्वेच्छ अचर है। |
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| 575. |
`(dx)/(dy) + Px =Q`, के रूप के अवकल समीकरण के हल पर आधारित प्रश्न, जहाँ P और Q केवल x के फलन या अचर हैं। निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल करें। `(x-y^(3)) (dy)/(dx) + y=0` |
| Answer» Correct Answer - `4xy = y^(4) +C` | |
| 576. |
नियत बिंदुओं `(a,0)` तथा `(-a,0)` से गुजरते हुए वृतों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात करें| |
| Answer» `(x^(2)-y^(2)-a^(2))(dy)/(dx) = 2xy` | |
| 577. |
`(x+y)^(2) (dy)/(dx) =1` |
| Answer» `y-tan^(-1) (x+y) =c` | |
| 578. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=xy+x+y+1` को हल कीजिये। |
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Answer» `(dy)/(dx)=xy+x+y+1=x(y+1)+(y+1)` `implies(dy)/(dx)=(x+1)(y+1)` `implies(dy)/(y+1)=(x+1)dx` समाकलन करने पर, `int(dy)/(y+1)=int(x+1)dx+c` `implieslog(y+1)=(x^(2))/(2)+x+c` जबकि c स्वेच्छ अचर है। |
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| 579. |
अवकल समीकरण `(1+e^(2x))dy+(1+y^(2))e^(x)dx=0` को हल कीजिये जहाँ y=1 यदि x=0 |
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Answer» `(1+e^(2x))dy+(1+y^(2))e^(x)dx=0` `implies(dy)/(1+y^(2))+(e^(x))/(1+e^(2x))dx=0` समाकलन में, `int(dy)/(1+y^(2))+int(e^(x)dx)/(1+e^(2x))=0` `impliestan^(-1)y+tan(e^(x))=c" ".......(1)` प्रश्नानुसार, जब x=0 तब y=1 `impliestan^(-1)1+tan^(-1)(e^(0))=c` `implies(pi)/(4)+(pi)/(4)=cimpliesc=(pi)/(4)` अतः समीकरण (1) से, `tan^(-1)y+tan^(-1)(e^(x))=(pi)/(2)` |
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| 580. |
अवकल समीकरण `(y-x(dy)/(dx))=a(y^(2)+(dy)/(dx))` को हल कीजिये |
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Answer» `(y-x(dy)/(dx))=a(y^(2)+(dy)/(dx))` `impliesy-ay^(2)=(x+a)(dy)/(dx)` `impliesy(1-ay)=(x+a)(dy)/(dx)` `implies(dx)/(x+a)=(dy)/(y(1-ay))` `implies(dx)/(x+a)=((a)/(1-ay)+(1)/(y))dy` (आंशिक भिन्नो में वियोजन ) समाकलन से, `logy-log(1-ay)=log(a+x)+logc` `implieslog((y)/(1-ay))-log(a+x)=logc` `implieslog""(y)/((1-ay)(a+x))=logc` `impliesy=c(1-ay)(a+x)` जबकि c स्वेच्छ अचर है। |
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| 581. |
सत्यापित करें की `v=A/r +B` अवकल समीकरण `(d^(2)v)/(dr^(2)) + 2/r. (dv)/(dr)=0` का हल है| |
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Answer» `therefore v=A/r + B therefore (dv)/(dt) = -A/r^(2)`............(1) `rArr (d^(2)v)/(dr^(2)) = (2A)/(r^(3))`........(2) अब, `(d^(2)V)/(dr^(2)) + 2/r. (dv)/(dt) = (2A)/r^(3) = (2A)/r^(3) + 2/r(-A/r^(2))` [(1) और (2) से] `rArr (d^(2)V)/(dr^(2)) + 2/r . (dv)/(dr)=0` अब, `v=A/r + B` अवकल समीकरण `(d^(2)v)/(dr^(2)) +2/r. (dv)/(dr)=0` का हल हैं| |
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| 582. |
`x^(2)dy + y(x+y)dx =0` |
| Answer» Correct Answer - `x^(2)y = C(y+2x)` | |
| 583. |
वक्रो से संबंधित अवकल समीकरण की रचना कीजिए- ऐसे अतिपरवलयो के कण का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि X -अक्ष पर तथा केंद्र मूल बिन्दु पर है । |
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Answer» Correct Answer - `xy(d^(2)y)/(dx^(2))+x((dy)/(dx))^(2)-y (dy)/(dx)=0` |
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| 584. |
वक्रो से संबंधित अवकल समीकरण की रचना कीजिए- सभी सरल रेखाओ के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए । |
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Answer» Correct Answer - `(d^(2)y)/(dx^(2))=0` |
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| 585. |
अवकल समीकरण `(x-y^(2)x)dx-y(1-x^(2))dy=0` को हल कीजिये। |
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Answer» `(x-y^(2)x)dx-y(1-x^(2))dy=0` `impliesx(1-y^(2))dx=y(1-x^(2))dx` `implies(x)/(1-x^(2))dx=((y)/(1-y^(2)))dx` `implies(xdx)/((1-x)(1+x))=(ydy)/((1-y)(1+y))` `implies(1)/(2)[(1)/(1-x)-(1)/(1+x)]dx=(1)/(2)[(1)/(1-y)-(1)/(1+y)]dy` समाकलन से `impliesint((1)/(1+x)-(1)/(1-x))dx=int((1)/(1+y)-(1)/(1-y))dy` `log(1+x)+log(1-x)=log(1+y)+log(1-y)+logc` `implieslog(1-x^(2))=log(1-y^(2))+logc` `implieslog((1-x^(2))/(1-y^(2)))=logc` `implies(1-x^(2))=c(1-y^(2))` जबकि c स्वेच्छ अचर है। |
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| 586. |
वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या r है . |
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Answer» r त्रिज्या वाले वृत्तों के कुल का समीकरण है `(x-a)^(2) +(y-b)^(2) =r^(2)" "...(1)` जहाँ a और b स्वेच्छ अचर है . समी (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `2(x-a) +2(y-b) (dy)/(dx) =0` `implies(x-a) +(y-b) (dy)/(dx) =0" "...(2)` समी (2 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `1+(y-b) (d^(2)y)/(dx^(2))+((dy)/(dx))^(2) =0` ` implies(y-b) (d^(2)y)/(dx^(2))=-[1+((dy)/(dx))^(2)]` `implies(y-b) =(1+ ((dy)/(dx))^(2))/(((d^(2y))/(dx^(2))))" "...(3)` समी (2 ) में `y -b ` का मान रखने पर, `(x-a) =-(y-b) (dy)/(dx) ` `implies(x-a) =(1+((dy)/(dx))^(2))/(((d^(2)y)/(dx^(2)))).(dy)/(dx) =({1+((dy)/(dx))^(2) }((dy)/(dx)))/(((d^(2)y)/(dx^(2))))" "...(4)` समी (1 ), (3 ) और (4 ) से, `(x -a )` का विलोपन करने पर, `[({1+((dy)/(dx))^(2)}((dy)/(dx)))/((d^(2)y)/(dx^(2)))]^(2) +[(1+((dy)/(dx))^(2))/((d^(2) y)/(dx^(2)))]^(2)=r^(2)` `implies{(1+((dy)/(dx))^(2))/(((d^(2)y)/(dx^(2))))}^(2) {((dy)/(dx))^(2)+1}=r^(2)` `implies{1+((dy)/(dx))^(2)}^(3) =r^(2) ((d^(2)y)/(dx^(2)))^(2)` यही अभीष्ट अवकल समीकरण है . |
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| 587. |
अवकल समीकरण `(3x^(2)y-xy)dx+(2x^(2)y^(2)+x^(3)y^(4))dy=0` को हल कीजिये। |
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Answer» `(3x^(2)y-xy)dx+(2x^(2)y^(2)+x^(3)y^(4))dy=0` `impliesy(3x^(2)-x)dx+x^(3)(2y^(2)+y^(4))dy=0` `implies((3x^(2)-x)/(x^(3)))dx+((2y^(2)+y^(4))/(y))dy=0` `implies((3)/(x)-(1)/(x^(2)))dx+(2y+y^(2))dy=0` समाकलन से, `int((3)/(x)-x^(-2))dx+int(2y+y^(2))dy=0` `implies3logx+(1)/(x)+(2y^(2))/(2)+(y^(4))/(4)=c` जबकि c स्वेच्छ अचर है। |
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| 588. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=e^(ax)cosy` को हल कीजिये यदि y(0)=0 |
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Answer» `(dy)/(dx)=e^(ax)cosy` `implies(dy)/(cosy)=e^(ax)dx` `impliessecydy=e^(ax)dx` समाकलन से, `intsecydy=inte^(ax)dx+c` `implieslog(secy+tany)=(1)/(a)e^(ax)+c` `impliesalog(secy+tany)=e^(ax)+k" ".......(1)` प्रश्नानुसार, यदि x=0 तब y=0 `impliesalog(sec0+tan0)=e^0+k` `impliesalog(1+0)=1+k` `impliesk=-1` अतः समीकरण (1) से, `alog(secy+tany)=e^(ax)-1` |
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| 589. |
y-अक्ष को मूलबिंदु पर स्पर्श करनेवाले वृतों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये| |
| Answer» `y^(2)-x^(2)=2xy(dy)/(dx)` | |
| 590. |
मूलबिंदु से जाती हुई ऐसी वृतों के अवकल समीकरण ज्ञात करें जिनका केंद्र x-अक्ष पर है| |
| Answer» `2xy (dy)/(dx) = y^(2) -x^(2)` | |
| 591. |
वक्रो से संबंधित अवकल समीकरण की रचना कीजिए- उन सरल रेखाओ के अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो मुलबिन्दु से गुजरती है । |
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Answer» Correct Answer - `y=x ((dy)/(dx))` |
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| 592. |
अवकल समीकरण `x^(2)(y+1)dx+y^(2)(x-1)dy=0` को हल कीजिये। |
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Answer» `x^(2)(y+1)dx+y^(2)(x-1)dy=0` `implies((x^(2))/(x-1))dx+((y^(2))/(y+1))dy=0` `implies((x^(2)-1+1)/(x-1))dx+((y^(2)-1+1)/(y+1))dy=0` `implies(x+1+(1)/(x-1))dx+(y-1+(1)/(y+1))dy=0` समाकलन करने पर, `int(x+1+(1)/(x-1))dx+int(y-1+(1)/(y+1))dy=0` `implies(x^(2))/(2)+x+log(x-y)+(y^2)/(2)-y+log(y+1)=c` `implies(1)/(2)(x^(2)+y^(2))+(x-y)+log(x-1)(y+1)=c` `implies(1)/(2)(x^(2)+y^(2))+(x-y)+log(x-1)(y+1)=c` `implies(x^(2)+y^(2))+2(x-y)+2log(x-1)(y+1)=k` जबकि k स्वेच्छ अचर है। |
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| 593. |
r त्रिज्या वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये। |
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Answer» वैसे वृत्तों के कुल का समीकरण जिनकी त्रिज्या r तथा केंद्र (a,b) है, होगा : `(x-a)^(2)+(y-b)^(2)=r^(2)` जहाँ a तथा b स्वैच अचर है| (1) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलना है, `1+(y-b) (d^(2)y)/(dx^(2)) + ((dy)/(dx))^(2)=0` या, `(y-b) = -{(1+((dy)/(dx))^(2))/(d^(2)y)/(dx^(2))}` ............(3) (3) से (y-b) का मान (2) में रखने पर हमें मिलता है, `(x-a)=-{(1+((dy)/(dx))^(2))/(d^(2)y)/(dx^(2))}.(dy)/(dx)`............(4) (3) और (4) से (y-b) तथा (x-a) का मान (1) में रखने पर हमें मिलता है| `{1+((dy)/(dx))^(2)}^(2)/((d^(2)y)/(dx^(2))).((dy)/(dx))^(2) + {1+((dy)/(dx))^(2)}^(2)/((d^(2)y)/(dx^(2)))=r^(2)` या, `{1+((dy)/(dx))^(2)}^(3) = r^(2) ((d^(2)y)/(dx^(2)))^(2)`, यही अभीष्ट अवकल समीकरण है| |
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| 594. |
उन वृतों का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये जो y - अक्ष को मूलबिंदु पर स्पर्श करते है। |
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Answer» Correct Answer - `y^(2)-x^(2)=2xy(dy)/(dx)` |
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| 595. |
निम्न समीकरणों के अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये (i) `xy=c^(2)` (ii) `y=(c_(1)+c_(2)x)e^(2)` |
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Answer» (i) `xy=c^(2)` x के सापेक्ष अवकल करने पर, `x(dy)/(dx)+y.1=0implies(dy)/(dx)=-(y)/(x)` यह अभीष्ट अवकल समीकरण है। `y=(c_(1)+c_(2)x)e^(2)" "......(1)` x के सापेक्ष अवकल करने पर, `(dy)/(dx)=(c_(1)+c_(2)x)e^(x)+c_(2)e^(x)` `implies(dy)/(dx)=y+c_(2)e^(2)" "......(2)` पुनः अवकल करने पर, `(d^(2)y)/(dx^(2))=(dy)/(dx)+c_(2)e^(2)" ".......(3)` समीकरण (3) में से (2) को घटाने पर, `(d^(2)y)/(dx^(2))=(dy)/(dx)=-y+(dy)/(dx)` `(d^(2)y)/(dx^(2))-2(dy)/(dx)+y=0` यही अभीष्ट अवकल समीकरण है। |
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| 596. |
ऐसे वृतों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये जिनका केंद्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है| |
| Answer» Correct Answer - `dy/dx=x/(3-y)` | |
| 597. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=cosx` को हल कीजिये। |
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Answer» `(dy)/(dx)=cosx` `impliesdy=cosxdx` दोनों पक्षो का समाकलन करने पर, `intdy=intcosxdx+c` `impliesy=sinx+c` जबकि c स्वेच्छ अचर है। |
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| 598. |
x-y तल में स्थित समस्त वृत्तों का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये। |
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Answer» x-y तल में स्थित वृत्तों का समीकरण `x^(2)+y^(2)+2gx+2fy+c=0` x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `2x+2y(dy)/(dx)+2g+2f""(dy)/(dx)=0` `impliesx+y(dy)/(dx)+g+f""(dy)/(dx)=0" ".......(2)` समीकरण (2) का पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर `1+y(d^(2)y)/(dx^(2))+((dy)/(dx))^(2)+f""(d^(2)y)/(dx^(2))=0` `implies1+(y+f)(d^(2)y)/(dx^(2))+((dy)/(dx))^(2)=0" ".......(3)` समीकरण (3) का पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `0+(y+f)(d^(3)y)/(dx^(3))+((dy)/(dx)+0)(d^(2)y)/(dx^(2))+2(dy)/(dx)((d^(2)y)/(dx^(2)))=0` `implies(y+f)(d^(3)y)/(dx^(3))+3(dy)/(dx)(d^(2)y)/(dx^(2))=0" ".......(4)` समीकरण (3) से, `(y+f)=-([1+((dy)/(dx))^(2)])/((d^(2)y)/(dx^(2)))` (y+f) का यह मान समीकरण (4) में रखने पर, `implies-([1+((dy)/(dx))^(2)])/((d^(2)y)/(dx^(2))).(d^(3)y)/(dx^(3)+)+((dy)/(dx))((d^(2)y)/(dx^(2)))=0` `implies[1+((dy)/(dx))^(2)](d^(3)y)/(dx^(3))-3((dy)/(dx))((d^(2)y)/(dx))((d^(2)y)/(dx^(2)))^(2)=0` यही अभीष्ट अवकल समीकरण है। |
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| 599. |
उन सभी सरल रेखाओं के लिए , जो मुलबिन्दु से इकाई दुरी (Unit distance) पर है , अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये । |
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Answer» माना सरल रेखा परिवार का समीकरण `ax+by=1" "…(1)` `because ` समीकरण (1), मुबिन्दु से इकाई दुरी पर है । `(1)/(sqrt(a^(2)+b^(2)))=1 ` या `a^(2)+b^(2)=1" "…(2)` समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर `a+b(dy)/(dx)=0` या `a=-b(dy)/(dx)" "...(3)` समीकरण (2) तथा (3) से `b^(2){1+((dy)/(dx))^(2)}=1" "...(4)` अब समीकरण (1) व (3) से a का मान बराबर करने पर `(1-by)/(x)=-b(dy)/(dx)` या `b(y-x(dy)/(dx))=1 या b=(1)/(y-x(dy)/(dx))` b के इस मान को (4) में रखने पर `1+((dy)/(dx))^(2)=(x(dy)/(dx)-y)^(2)` जो अभीष्ट अवकल समीकरण है । |
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| 600. |
एक m मात्रा का कण काफी ऊँचाई से पृथ्वी की तरफ गुरुत्वाकर्षण के अधीन गिर रहा है । अवकल समीकरण के द्वारा इसे निरूपित कीजिये । |
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Answer» मान लीजिये किसी समय पर कण की पृथ्वी के केन्द्र से दूरी है । गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार उस समय आकर्षण बल `(1)/(x^(2))` के समानुपाती होगी । मान लीजिये यह `(k)/(x^(2))` के बराबर है । अतः गति विज्ञान के नियम के अनुसार अवकल समीकरण ` m(d^(2)x)/(dt^(2))=(k)/(x^(2))` है| |
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