InterviewSolution
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| 351. |
अवकल समीकरण: `(1+y^(2))dx + xdy =0`, यदि `y(1)=1` |
| Answer» `log x + tan^(-1) y = pi/4` | |
| 352. |
`(dy)/(dx) = 1+x +y + xy` |
| Answer» `log|1+y|=x+x^(2)/2 +c` | |
| 353. |
अवकलन समीकरण `(1-x^(2))(1-y)dx=xy(1+y)dy` को हल कीजिए। |
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Answer» `(1-x^(2))(1-y)dx=xy(1+y)dy` `implies ((1-x^(2)))/(x)dx=(y(1+y))/((1-y))dy` `implies ((1)/(x)-x)dx=(-y-2+(2)/(1-y))dy` `impliesint((1)/(x)-x)dx=int(-y-2+(2)/(1-y))dy+c` `implies logx-(x^(2))/(2)=-(y^(2))/(2)-2y-2log(1-y)+c` `implies logx+2log(1-y)=(x^(2))/(2)-(y^(2))/(2)-2y+c` `implies log{x(1-y)^(2)}=(1)/(2)(x^(2)-y^(2))-2y+c` |
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| 354. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिए - `e^(x)tany dx+(1-e^(x))sec^(2)y dx=0` |
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Answer» यहाँ `e^(x)tany dx+(1-e^(x))sec^(2)y dx=0` या `(e^(x)dx)/(1-e^(x))(sec^(2)y dy)/(tany)=0` या `int(e^(x)dx)/(1-e^(x))+int(sec^(2)y dy)/(tany)=c_(1)` या `-int(-e^(x)dy)/(1-e^(x))+int(sec^(2)y dy)/(tan y)=c_(1)` या `-log(1-e^(x))+log tan y=log c" "` [जहाँ `c_(1)loge`], या `log tan y=log (1-e^(x))+log c` या `tan y=c (1-e^(x))` |
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| 355. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें `1+e^(2x)dy + e^(x) (1+y^(2))dx =0` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण हैं| `(1+e^(2x))dy + e^(x)(1+y^(2))dx=0`...........(1) या, `(dy)/(1+y^(2)) + e^(x)/(1+t^(2)) dx=0` दोनों पक्षों को integrate करने पर हमें मिलता हैं, `tan^(-1)y + int (dt)/(1+t^(2)) =c` (जहाँ `t=e^(x)`) या, `tan^(-1)y + tan^(-1)t =c therefore tan^(-1)y + tan^(-1)(e^(x))=c` जब `x=0, y=1 therefore tan^(-1) + tan^(-1)(e^(0)) =c` या, `c=pi/4 + pi/4 = pi/2 therefore tan^(-1)y + tan^(-1) e^(x) = pi/2` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल हैं| |
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| 356. |
`(d^(2)y)/(dx^(2))=x^(2)sin x` को हल कीजिए । |
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Answer» यहाँ पर `(d^(2)y)/(dx^(2))=x^(2)sin x` या `(d)/(dx)((dy)/(dx))=x^(2)sinx" "....(i)` समीकरण (i) का x के सापेक्ष समाकलन करने पर `(dy)/(dx)=-x^(2)cos x+2(x sinn x+cos x)+c_(1)" "....(ii)` जहाँ `c_(1)` स्वेच्छ अचर है। समीकरण (ii) का x के सापेक्ष पुनः समाकलन करने पर `y=-x^(2)sin-4xcosx+4sinx-2cosx+c_(1)x+c_(2)` जहाँ `c_(2)` स्वेच्छ अचर है। |
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| 357. |
`(dy)/(dx)=(x+1)/(2-y),(y ne 2)` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए । |
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Answer» `(dy)/(dx)=(x+1)/(2-y)` या `(2-y)dy=(x+1)dx` या `int (2-y)dy=int (x+1)dx` या `2y-(y^(2))/(2)=(x^(2))/(2)+x+c_(1)` `4y-y^(2)=x^(2)+2x+2c_(1)` `x^(2)+2x+y^(2)+2C_(1)=0` `x^(2)+y^(2)+2x-4y+C=0" "(because 2C_(1)=C)` यही अवकल समीकरण का हल है । |
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| 358. |
`(dy)/(dx)=-(y)/(x)` को हल कीजिए । |
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Answer» यहाँ पर `(dy)/(dx)=(y)/(x)` या `(dy)/(y)=-(dx)/(x)` या `int (dy)/(y)=-int (dx)/(x)+c_(1)` या `logy=-logx+logc, ` जहाँ `c_(1)=logc` या `logy+logx=logc` या `logyx=logc ` या `yx=c` या `xy=c` |
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| 359. |
`(dy)/(dx).xy^(2)(1+x^(2))+(1+y^(3))=0` |
| Answer» `x^(6)(1+y^(3))^(2)=c(1+x^(2))^(3)` | |
| 360. |
`e^(x) tan y dx +(1-e^(x)) sec^(2)y dy =0` |
| Answer» `(e^(x)-1) = c tan y` | |
| 361. |
समीकरण `(dy)/(dx)=1+x+y+xy` को हल कीजिए। |
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Answer» यहाँ `(dy)/(dx)=1+x+y+xy` `rArr (dy)/(dx)=1(1+x)+(1+x)` `rArr (dy)/(dx)=(1+x)(1+y)` `rArr (1)/(1+y)dy=(1+x)dx` इस प्रकार चरों का पृथक्करण हो गया । अब दोनों ओर का समाकलन करने पर `int(1)/(1+y)dy=int(1+x)dx+c_(1)` जहाँ एक स्वेच्छ अचर है । या `log (1+y)=x+(x^(2))/(2)+c` यहाँ अभीष्ट हल है। |
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| 362. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)+sqrt(((1-y^(2))/(1-x^(2))))=0` को हल कीजिए। |
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Answer» यहाँ `(dy)/(dx)+sqrt((1-y^(2))/(1-x^(2)))=0` या `(dy)/(sqrt(1-y^(2)))+(dy)/(sqrt(1-x^(2)))=0` या `int(dy)/(sqrt(1-y^(2)))+int(dy)/(sqrt(1-x^(2)))=c` या `sin^(-1)y+sin^(-1)x=c` |
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| 363. |
`log""(dy)/(dx)=ax+by` को हल कीजिए । |
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Answer» `log ""(dy)/(dx)=ax+by` `(dy)/(dx)=e^(ax+by)` `=e^(ax)*e^(by)` या `e^(-by)dy=e^(ax)dx` दोनों पक्षों के समाकलन करने पर , `int e^(-by)dy=inte^(ax)dx` `(e^(-by))/(-b)=(e^(ax))/(a)+c` |
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| 364. |
`(dy)/(dx)=1+x+y+xy` |
| Answer» `log(1+y)=x+(x^(2))/(2)+c` | |
| 365. |
`(x^(2)-yx^(2))dy(y^(2)+xy^(2))dx=0` को हल कीजिए। |
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Answer» यहाँ पर `(x^(2)-yx^(2))dy(y^(2)+xy^(2))dx=0` या `x^(2)(1-y)dy+y^(2)(1+x)dx=0` या `(1-y)/(y^(2))dy+(1+x)/(x^(2))dx=0` या `int(1-y)/(y^(2))dy+int(1+x)/(x^(2))dx=c` या `int((1)/(y^(2))-(1)/(y))dy+int((1)/(x^(2))+(1)/(x))dx=c` या `-(1)/(y)-log y-(1)/(x)+logx=c` या `log((x)/(y))-(x+y)/(xy)=c` |
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| 366. |
`log((dy)/(dx))=ax+by` |
| Answer» `-(1)/(b)e^(-by)=(1)/(a)e^(ax)+c` | |
| 367. |
उस वक्र का समीकरण ज्ञात करें जो (1,2) से गुजरे तथा जो अवकल समीकरण `(dy)/(dx) =(-2xy)/(x^(2)+1)` को संतुष्ट करें| |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण हैं: `(dy)/(dx) = -(2xy)/(x^(2)+1)`........(1) या, `(dy)/(dx) = (-2x)/(x^(2)+1) dx` [चारों को अलग करने पर] `therefore int(dy)/(y) = int (-2x)/(x^(2)+1) dx` [दोनों तरफ integrate करने पर] या, `logy = -log(x^(2)+1) + log C` या, `logy + log(x^(2)+1) = log C` या, `log{y(x^(2)+1)}=log C`......(2) या, `y(x^(2)+1)=C` चूँकि वक्र `(1,2)` से गुजरती हैं, `therefore 2(1^(2)+1) =C rArr C=4` या, `y(x^(2)+1)=C` चूँकि वक्र (1,2) से गुजरती हैं , `therefore 2(1^(1)+1) C rArr C =4` या, `y(x^(2)+1)=C` ...........(2) (2) में C का मान रखने पर हमें मिलता हैं, `y(x^(2)+1)=4` यही दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल हैं| |
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| 368. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें| `(dy)/(dx) = (e^(x)+1)y` |
| Answer» `log|y| =e^(x) +x +c` | |
| 369. |
`(xy^(2)+x)dx+(yx^(2)+y)dy=0` |
| Answer» `(x^(2)+1)(y^(2)+1)=c` | |
| 370. |
`cos((dy)/(dx))=a` का विशिष्ट हल ज्ञात करें यदि `y=2` जब `x=0` |
| Answer» Correct Answer - `y-2 = xcos^(-1)a` | |
| 371. |
उस वक्र का समीकरण ज्ञात करें जो बिंदु `(1,1)` से गुजरे तथा जिसका अवकल समीकरण `xdy = (2x^(2)+1)dx, x ne 0` हैं| |
| Answer» `y = x^(2) + log|x|` | |
| 372. |
`1+x = e^((dy)/(dx))` घात, कोटि का मान ज्ञात कीजिए |
| Answer» Correct Answer - कोटि =1 , घात =1 | |
| 373. |
`(x^(2)-yx^(2))dy + (y^(2) +x^(2)y^(2)) dx=0` |
| Answer» `x-1/x-1/y - log|y| =c` | |
| 374. |
`log (1+(dy)/(dx))= x+y` |
| Answer» Correct Answer - कोटि =1 , घात =1 | |
| 375. |
`(dy)/(dx) = (x+1)/(2-y) , y ne 2` |
| Answer» `x^(2) + y^(2) + 2x-4y+c=0` | |
| 376. |
`(dy)/(dx) = (x+1)/(3-y) , y ne 3` |
| Answer» `y(3-y/2)-x(x/2+1)= c` | |
| 377. |
`x(dy)/(dx) + y = y^(2)` |
| Answer» Correct Answer - `y-1 = cxy` | |
| 378. |
`log (1+(dy)/(dx)) = (dy)/(dx)` |
| Answer» कोटि =1 , घात अपरिभाषित है | |
| 379. |
अवकल समीकरण : `sin^(3) xdx - sin y dy =0` को हल करें| |
| Answer» `cosy = cos x-( cos^(3)x)/3 +c` | |
| 380. |
`sec^(2)x tan y dx + sec^(2)y tan x dy=0` |
| Answer» Correct Answer - `tanx tan y =c` | |
| 381. |
समीकरणों की कोटि तथा घात लिखिये`(d^(2)y)/(dx^(2)) + 3(dy)/(dx) = y sin((d^(2)y)/dx^(2))` |
| Answer» कोटि =2 , घात अपरिभाषित है | |
| 382. |
अवकल समीकरण `5(dy)/(dx) = e^(x) y^(4)` को हल करें| |
| Answer» `-5/(3y^(3)) = e^(x) +c` | |
| 383. |
अवकल समीकरण : `(1+x^(2))dy = (x^(2) + 1)dx` को हल करें| |
| Answer» `y^(3)/3 + y^(2)/2 = x^(2)/2 +log|x|+c` | |
| 384. |
`ydx + xdy = xy(dy -dx)` |
| Answer» Correct Answer - `x-y + log |xy|=c` | |
| 385. |
`(d^(4)y)/(dx^(4)) + sin (d^(3)y)/(dx^(3)) =0` |
| Answer» कोटि =4 , घात अपरिभाषित है | |
| 386. |
`(dy)/(dx) - e^((dy)/(dx))=0`कोटि एवं घात बताइए |
| Answer» कोटि =1 , घात अपरिभाषित है | |
| 387. |
अवकल समीकरण का व्यापक समीकरण ज्ञात कीजिए- dy/dx=1−cos2y/1+cos2y |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `(dy)/(dx) =(1-cos 2 y)/(1+cos 2y)` `implies(dy)/(dx)=(2sin^(2)y)/(2 cos ^(2)y),` `[becausecos 2 theta=2 cos^(2)theta-1=1-2sin^(2)theta]` `implies(dy)/(dx) =tan ^(2) y` `implies(dy)/(tan ^(2) y)=dx,` (चरो को पृथक करने पर) `impliescot^(2)y dy=dx.` दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, `intcot^(2)ydy =intdx` `impliesint(cosec ^(2)y-1)dy=x+C` `implies(-cot y-y)=x+C` `impliesx+y+cot y=C_(1)` जहाँ `-C_(1)=C_(1)` |
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| 388. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx) =(1+ y^(2))/(1+x^(2))` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए. |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `(dy)/(dx) =(1+y^(2))/(1+x^(2)),` (चरो को पृथक करने पर) दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, `int (dy)/(1+y^(2))=int (dx)/(1+x^(2))` `impliestan ^(-1) y=tan ^(-1)x+tan ^(-1) C` `implies tan ^(-1)y-tan ^(1)x =tan ^(-1) C` `impliestan ^(-1) ((y-x)/(1+xy))=tan ^(-1)=C` `impliesy-x =C(1+xy)` |
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| 389. |
हल करें : `(x^(2)-1) (dy)/(dx) +2xy =2/(x^(2)-1)` |
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Answer» दिया गए अवकल समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है, जहाँ, `P=(2x)/(x^(2)-1)` तथा `Q=2/(x^(2)-1)^(2)` अब, `I.F. =e^(int(2x)/(x^(2)-1))dx = e^(log(x^(2)-1)) =x^(2)-1` `therefore` दिए गए अवकल समीकरण का हल होगा, `y xx IF = int {Q xx (IF)} dx + C` या, `y (x^(2)-1) = int{2/(x^(2)-1) xx (x^(2)-1)} dx + C` या, `y(x^(2)-1) =2 int (dx)/(x^(2)-1) + C =2.1/2 log |(x-1)/(x+1)|` या, `y(x^(2)-1) = log|(x-1)/(x+1)|+C` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 390. |
समीकरणों की कोटि तथा घात लिखिये`sqrt((d^(2)y)/(dx^(2))) = sqrt((dy)/(dx))` |
| Answer» कोटि =2 , घात =1 , अरैखिक | |
| 391. |
`(d^(2)y)/(dx^(2)) = sqrt(1+((dy)/(dx))^(2))` |
| Answer» कोटि =2 , घात=3 , अरैखिक | |
| 392. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =sec (x+y)` |
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Answer» Correct Answer - `y =tan ((x+y)/(2))+C` |
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| 393. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `2xy dx + (x^(2)+2y^(2))dy=0` |
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Answer» Correct Answer - `3x^(2)y+2y^(2) =C` |
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| 394. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =tan (x+y)` |
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Answer» Correct Answer - `y-x +log |sin (x+y)+cos (x+y) |=C` |
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| 395. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x^(2) (dy)/(dx) =x^(2) +xy+ y^(2)` |
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Answer» Correct Answer - `tan ^(-1)((y)/x)=c+log |x|` |
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| 396. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `cos ^(2) (x-2y) =1-2(dy)/(dx)` |
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Answer» Correct Answer - `tan (x-2y)=x+C` |
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| 397. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =cot^(2) (x+y)` |
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Answer» Correct Answer - `2x- 2y+sin (2x +2y)` |
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| 398. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(x+y) (dy- dy)= dx+dy.` |
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Answer» Correct Answer - `y-x +log |x+y|=C` |
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| 399. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(x^(2)-y^(2))dx - 2xy dy=0` |
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Answer» Correct Answer - `x(x^(2)-3y^(2))=C` |
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| 400. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =cos (x+y) +sin (x+y).` |
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Answer» Correct Answer - `log |1+tan ""((x+y))/(2)|=x+C.` |
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