InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 251. |
वक्रो से संबंधित अवकल समीकरण की रचना कीजिए- `x^(2)+y^(2)= 2ax,` जहाँ a स्वेच्छ अचर है । |
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Answer» Correct Answer - `2xy (dy)/(dx) +x^(2)-y^(2)=0` |
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| 252. |
`(dy)/(dx) + 2y = 4x` |
| Answer» Correct Answer - `y=2x -1 +Ce^(-2x)` | |
| 253. |
A और B के समस्त मानों के लिए `x=Acos sqrt(mut)+B sin sqrt(mut)` का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये । |
| Answer» Correct Answer - `(d^(2)x)/(dt^(2))+mux=0` | |
| 254. |
वक्र `y=a sin x + b cos x + x sin x ` का अवकल समीकरण बनाइए, जहाँ a तथा b स्वेच्छ अचर है । |
| Answer» Correct Answer - `(d^(2)y)/(dx^(2))+y=2cos x ` | |
| 255. |
समीकरण `x^(2)+y^(2)-2ax=0` के लिये अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `x^(2)+y^(2)-2ax=0" ….(1)"` x के सापेक्ष अवकलन लेने पर `2x+2y(dy)/(dx)-2a=0impliesa=x+y(dy)/(dx)` यह मान समीकरण (1) में रखने पर `x^(2)+y^(2)-2x(x+y(dy)/(dx))=0` `impliesy^(2)-x^(2)-2xy(dy)/(dx)=0` जो अभीष्ट अवकल समीकरण है। |
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| 256. |
वक्रों के कुल `x^(2) + y^(2) =2ax` का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये| |
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Answer» दिए गए वक्रों के कुल का समीकरण है: `x^(2) + y^(2) =x(2x+ 2y(dy)/(dx))` या, `2xy(dy)/(dx) + x^(2) -y^(2)=0`, यही अभीष्ट अवकल समीकरण है| |
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| 257. |
यदि A और B स्वेच्छ अचर है, तो `y=Acos(x+B)` से सम्बन्धित अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिया समीकरण निम्नलिखित है `y = A cos (x+B) " ….(1)"` `=(dy)/(dx)=-Asin(x+B)" …..(2)"` `implies (d^(2)y)/(dx^(2))=-Acos(x+B)" ....(3)"` दो स्वेच्छ चर होने के कारण कोटि 2 तक के अवकलज लिये गये है। समीकरण (1) और (3) से `(d^(2)y)/(dx^(2))=-y` |
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| 258. |
`(dy)/(dx) + y=1, y ne 1` |
| Answer» Correct Answer - `x + log |1-y|+c=0` | |
| 259. |
`(x^(2) + 2xy + y^(2)+1) (dy)/(dx) =2(x+y)` |
| Answer» `y=c + 2log |x+y+1| + 2/(x+y+1)` | |
| 260. |
`x(dy)/(dx) - y = x+1` |
| Answer» Correct Answer - `y=x log x-1 + Cx` | |
| 261. |
`(dy)/(dx) +y = cosx - sinx` |
| Answer» Correct Answer - `y = csx + Ce(-2x)` | |
| 262. |
`y log y dx - x dy=0` |
| Answer» Correct Answer - `y=e^(cx)` | |
| 263. |
`(dy)/(dx) = (1- cosx)/(1+ cosx)` |
| Answer» Correct Answer - `y=2 tan x/2 -x +c` | |
| 264. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)=1+x^(2)+y^(2)+x^(2)y^(2), y=1` जब `x =0 ` |
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Answer» Correct Answer - `y=tan (x+ (x^(3))/(3)+ (pi)/(4))` |
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| 265. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें| `(y+x) (dy)/(dx) = y-x` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `(y+x)(dy)/(dx) = y-x` या, `(dy)/(dx) = (y-x)/(y+x)`..............(i) यह एक समघातीय अवकल समीकरण है| `y=vx` रखें, तो `(dy)/(dx) = v+x (dv)/(dx)` अब अवकल समीकरण (1) हो जाता है, `v+x(dv)/(dx) = (vx-x)/(vx+x) = (v-1)/(v+1)` `rArr x(dv)/(dx) = (v-1)/(v+1)-v = -(1+v^(2))/(v+1) rArr (v+1)/(v^(2)+1)dv + (dx)/x =0` दोनों तरफ Integrate करने पर हमें मिलता है, `int (v+1)/(v^(2)+1) dv + int (dx)/x =c, rArr int v/(v^(2)+1) dv + int1/(v^(2)+1)dv +int (dx)/x =c` `rArr 1/2 log (v^(2) +1)+ tan^(-1) v + log|x|=c` `rArr 1/2 [log(v^(2) +1) +2 log|x|+ tan^(-1)v=c`. `rArr 1/2 log{(v^(2) +1)x^(2)}+tan^(-1)(y/x)=c` `rArr 1/2 log(x^(2) +y^(2)) + tan^(-1) (y/x) =c` दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 266. |
दिखाए की परवलयों के कुल `y^(2) = 4a(x-b)` का अवकल समीकरण `y(d^(2)y)/(dx^(2))+((dy)/(dx))^(2)=0` है। |
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Answer» वक्रों के कुल का समीकरण है: `y^(2) =4a(x-b)`.........(1) समीकरण (1) में दो स्वैच अचर मौजूद है| (1) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष (differentiate) करने पर है मिलाता है| `2y(dy)/(dx)=4a`, या `y(dy)/(dx)=2a` पुनः (2) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है, `y(d^(2)y)/(dx^(2)) + ((dy)/(dx))^(2)=0,` यही अभीष्ट समीकरण है| |
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| 267. |
`y=cx^(3)` के संगत अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जबकि c स्वेच्छ चर है। |
| Answer» Correct Answer - `x(dy)/(dx)=3y` | |
| 268. |
हल कीजिए- `(dy)/(dx)+(y)/(x)=x^(2).` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `(dy)/(dx) +y/x =x^(2)` `implies(dy)/(dx) +((1)/(x)) y=x^(2)" "...(1)` जो कि y में रेखिक अवकल समीकरण है. समी (1 ) कि तुलना मानक रूप `(dy)/(dx) +Py =Q` `P =1/x` और `Q=x^(2)` `therefore. F. =e ^(intPdx)=e^(int(1)/(x)dx )=e ^(log x)=x` अतः दिये गये अवकल समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है- `y xx (I. F.)= int Q xx(I. F.)dx+C` `impliesyx = int x^(3) . xdx +C` `impliesyx = int x^(3) dx+C` `implies yx =(x^(4))/(4)+C.` |
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| 269. |
`y=cx+c-c^(3)` के संगत अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जबकि c स्वेच्छ चर है। |
| Answer» `y=x(dy)/(dx)+(dy)/(dx)-((dy)/(dx))^(3)` | |
| 270. |
अवकल समीकरण `xy(dy)/(dx)= (x+2) (y+3)` के लिए बिन्दु `(1,1)` से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए । |
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Answer» Correct Answer - `y-x+2 =log {x^(2)(y+2)^(2)}` |
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| 271. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =(e^(x)(sin ^(2)x+sin 2x))/(y(2 log y+1))` |
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Answer» Correct Answer - ` y^(2)log y=e^(x) sin ^(2) x+c` |
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| 272. |
हल करें: `x(dy)/(dx) = y-x tan y/x`. |
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Answer» दिए गए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है, `(dy)/(dx) = y/x - tan y/x` x की जगह kx तथा y की जगह ky रखने पर समीकरण (1) का RHS अपरिवर्तित रहता है, इसलिए (1) एक समघातीय अवकल समीकरण है| `y=vx` रखें, तो `(dy)/(dx) = v+x(dv)/(dx)` अब अवकल समीकरण (1) तो जाता है, `v+x(dv)/(dx) = v-tanv rArr (dv)/(tan v) =-(dx)/x` `rArr int cot v dv = - int (dx)/x rArr int (cosv)/(sin v) dv + int(dx)/x = log C` `rArr log |sin v|+ log |x| = log C rArr log|x sinv| = log C` `rArr |x sin v|=C rArr x sinv = +-C =k` (माना) `rArr xsin y/x = k` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 273. |
हल करें: `(1+e^(x//y))dx +e^(x//y) (1-x/y)dy=0` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `(1+e^(x//y))dx + e^(x//y) (1-x/y)dy=0` या, `(dx)/(dy) = (e^(x//y)(1-x/y))/(1+e^(x//y))`...........(1) x की जगह kx तथा y की जगह ky रखने पर समीकरण (1) का RHS अपरिवर्तित रहता इसलिए (1) एक समघातीय अवकल समीकरण है| `x=vy` रखें, तो `(dx)/(dy) = v+ y(dv)/(dy)`. x तथा `(dx)/(dy)`, का मान (1) में रखने पर मिलता है, `v+y(dv)/(dx) =-(e^(v)(1-v))/(1+e^(v)) rArr y(dv)/(dy) = -(e^(y)(1-v))/(1+e^(v))-v = =-(v+e^(v))/(1+e^(v))` `rArr (1+e^(v))/(v+e^(v))dv = -(dy)/y rArr int (1+e^(v))/(v+e^(v))dv = -int (dy)/y` `rArr log|v+e^(v))| = c rArr |y(v+e^(v))|=e^(c)` `rArr y(x/y + e^(x//y)) = +-e^(c) =k` (माना) `rArr x+ye^(x//y) =k`, जहाँ, k एक स्वैच अचर है| यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 274. |
`(dy)/(dx) + y = sinx` |
| Answer» `y=ce^(-x) + 1/2(sin x - cosx)` | |
| 275. |
हल कीजिए- `(dy)/(dx) +y=e^(x).` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `(dy)/(dx)-+y=e^(x)" "...(1)` समी (1 ) की तुलना मानक रूप `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर, `P =1, Q=e^(x)` `thereforeI.F. =e^(intPdx)=e ^(int1 dx)=e^(x)` अतः अभीष्ट हल है- `y.e^(x)= int e^(x) xx e^(x) dx+C` `impliesy.e^(x) =int e^(2x) +C= (e^(2x))/(2)+C.` |
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| 276. |
वैसे अवकल समीकरणों के हल पर आधारित प्रशन जिनको उपयुक्त प्रतिस्थापन द्वारा `(dy)/(dx) + Py =Q`, के रूप में लाया जा जहाँ P और Q केवल x के फलन या अचर हों: निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल करें| `cos2y(dy)/(dx) + x sin 2y = x^(3) cos^(2)y` |
| Answer» `e^(-x^(2)) tany = 1/2(x^(2)-1)e^(x^(2)) +C` | |
| 277. |
वैसे अवकल समीकरणों के हल पर आधारित प्रशन जिनको उपयुक्त प्रतिस्थापन द्वाराdy/dx+Py=Q, के रूप में लाया जा जहाँ P और Q केवल x के फलन या अचर हों: अवकल समीकरणों को हल करें|`x(dy)/(dx) -3y =x^(2)` |
| Answer» Correct Answer - `y=-x^(2) + Cx^(3)` | |
| 278. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें: `(dy)/(dx) = (1+y^(2))/(1+x^(2))` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण हैं: `(dy)/(dx) = (1+y^(2))/(1+x^(2))` या, `1/(1+y^(2))dy = 1/(1+x^(2))dx` [चरों को अलग करने पर] `therefore int 1/(1+y^(2)) dy = int 1/(1+x^(2)) dx` या, `tan^(-1)y = tan^(-1) x+ c` या, `tan^(-1)y - tan^(-1) x=c` या `tan^(-1) (y-x)/(1+yx)= c` या `(y-x)/(1+yx)= tan c` या, `(y-x)/(1+yx) =k`, जहाँ `k=tan c` नीचे दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल हैं| |
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| 279. |
वैसे अवकल समीकरणों के हल पर आधारित प्रशन जिनको उपयुक्त प्रतिस्थापन द्वारा `(dy)/(dx) + Py =Q`, के रूप में लाया जा जहाँ P और Q केवल x के फलन या अचर हों: निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल करें| `x(dy)/(dx) +y = y^(2) logx` |
| Answer» `1/(xy) = (log x + 1)/(x) +C` | |
| 280. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx) -y=cos x` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए. |
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Answer» यहॉँ `(dy)/(dx) -y =cos x ...(1)` यह y रैखिक अवकल समीकरण है. इसलिए समी (1 ) की तुलना `(dy)/(dx) +Py Q` से करने पर, `P =-1, Q =cos x.` `therefore1. F. =e ^(intPdx )= e^(int(-1)dx)= e^(-x)` अतः अभीष्ट हल है- `yxx (1. F.) =int Q xx(1.F.)dx +C` `impliesy.e^(-x)=inte^(-x) . cos x dx +C" "...(2)` माना `I =intunderset(II)(e^(-x))underset(I)(cos x)dx` `impliesI =cos x int e^(-x)dx-int{(d)/(dx)(cos x).int e^(-x)dx}dx` `implies I =cos x(-e^(-x))-int (-sin x)(-e^(-x))dx` `implies=-cos xe^(-x) -int underset(II)(e^(-x)) underset(I)sin x dx` `impliesI=- cos xe ^(-x)` `-[sin x(-e^(-x))-int cos x (-e^(-x))dx]` `impliesI =-cos xe ^(-x) -[-sin xe ^(-x)+int e^(-x) cos x dx]` `impliesI=-cos xe ^(-x)+ sin xe ^(-x) -int e^(-x) cos x dx` `impliesI =-e^(-x) cos +e ^(-x) sin x -I` `implies 2I =(sin x-cos x)^(e-x)` `impliesI((sin x-cos x)e^(-x))/(2)" "...(3)` समी (2 ) और (3 ) से, `y.e ^(-x) =((sin x - cos x) e^(-x))/(2)+C` `impliesy=((sin x-cos x))/(2)+Ce^(x).` |
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| 281. |
वैसे अवकल समीकरणों के हल पर आधारित प्रशन जिनको उपयुक्त प्रतिस्थापन द्वारा `(dy)/(dx) + Py =Q`, के रूप में लाया जा जहाँ P और Q केवल x के फलन या अचर हों: निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल करें| `(dy)/(dx) = x^(3) y^(3) -xy` |
| Answer» `(x^(2) +1)y^(2) +Cy^(2) e^(x^(2)) =1` | |
| 282. |
अवकल समीकरण `x(x^(2)-1) (dy)/(dx) =1` को हल करें, यदि दिया हैं की अब `x=2, y=0`. |
| Answer» `y=1/2 log|x^(2)-1|-log|x| + log 2-1/2 log 3` | |
| 283. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल करें| `(x-y)^(2) (dy)/(dx)=1` |
| Answer» `y=1/2 log|(x-y-1)/(x-y+1)|+c` | |
| 284. |
`(dy)/(dx) = cos(x+y)` |
| Answer» Correct Answer - `tan(x+y)/2 = x+c` | |
| 285. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx) = y sin 2x` को हल करें यदि दिया हैं की `y(0)=1` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण हैं: `(1+y^(2))(1+logx)dx + xdy=0` ..............(1) या, `(1+log x)/x dx + 1/(1+y^(2)) dy=0` [चारों को अलग करने पर] `therefore int (1+logx)/(x) dx + int 1/(1+y^(2)) dy =C` [दोनों पक्षों को integrate करने पर] या, `int tdt + tan^(-1)y =C`, जहाँ `(1+logx) =t` या, `1/2t^(2) + tan^(-1)y =C` या, `1/2(1+log x)^(2) + tan^(-1)y =C`............(2) दिया हैं: जब `x=1, y=1`.......(2) `therefore (2)` से `C=1/2 + tan^(-1)1 rArr C=(1/2 + pi/4)`...........(3) `therefore (2)` से `1/2(1+logx)^(2) + tan^(-1)y = (1/2 + pi/4)` या `1/2(log x)^(2) + log x + tan^(-1) y = pi/4` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल हैं| |
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| 286. |
किसी बैंक में भूलधन की वृद्धि `r%` वार्षिक की दर में होती हैं| यदि 100 रुपये 10 वर्षों में दोगुने हो जाते हैं, तो r का मान ज्ञात कीजिये| `(log_(e)2 = 0.6931)` |
| Answer» Correct Answer - `6.93` | |
| 287. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(x+2y)dx-(2x-y) dy=0` |
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Answer» Correct Answer - `sqrt(x^(2)+y^(2))=Ce^(2 tan ^(-1)y//x)` |
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| 288. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x (dy)/(dx)-y= (x+1)e ^(-x),y (1)=0` |
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Answer» Correct Answer - `y=xe^(-1)-e^(-x)` |
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| 289. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `2xy+y^(2) -2x^(2) (dy)/(dx)=0 ,y=2` जब `x=1` |
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Answer» Correct Answer - `y=(2x)/(1-log|x|)` |
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| 290. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x(dy)/(dx)- y=log x, y (1)=0` |
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Answer» Correct Answer - `y=x -1-log x` |
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| 291. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x (dy)/(dx) +y=x log x` |
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Answer» Correct Answer - `4xy=2x^(2)log |x|-x^(2)+C` |
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| 292. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =y/x {log ((y)/(x))+1}` |
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Answer» Correct Answer - `log ((y)/x)=Cx` |
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| 293. |
अवकल समीकरण `xlogx(dy)/(dx)+y=2logx` का हल है-A. `y=logx+(c)/(logx)`B. `y=logx-(c)/(logx)`C. `y=logx-clogx`D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 294. |
हल कीजिए- `cos ^(2)x(dy)/(dx)+y=tan x.` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `cos ^(2) x(dy)/(dx) +y= tan x` `implies(dy)/(dx) +(1)/(cos ^(2) x)y =(tan x)/(cos ^(2)x)` `implies (dy)/(dx) +sec ^(2) xy =tan x sec ^(2) x " "...(1)` जो कि y में रैखिक अवकल समीकरण है. समी (1 ) कि तुलना `(dy)/(dx)+Py =Q` से करने पर यहाँ `P =sec ^(2)x` और `Q=tan x sec ^(2) x` `therefore I. F. =e ^(intPdx)=e ^(intsec ^(2)x dx)=e^(tan x)` अतः अभीष्ट हल है- `yxx (I. F. )=int Qxx (I.F.) dx+C` `impliesy ^(tan x) =int tan x sec ^(2) x.e ^(tan x)dx +C` `impliesye^(tan x) =intunderset(I)(t)underset(II)(e^(t))dt+C.` `["माना"tan x timplies sec ^(2) xdx= dt]` `impliesye^(tan x)=t.e^(t) -inte^(t) dt +C` `impliesye ^(tan x) =t.e^(t)-e^(t)+C` `impliesye ^(tanx)=tan xe^(tan x)-e^(tanx)+C` `impliesy=tan x-1 + Ce^(-tanx).` |
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| 295. |
यदि y(t) अवकल समीकरण `(t+1)(dy)/(dt)-ty=1` का एक हल है तब y(0)=-1 व t=1 पर हल होगा-A. `e+(1)/(2)`B. `-(1)/(2)`C. `(1)/(2)`D. `e-(1)/(2)` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 296. |
अवकल समीकरण `(1+y^(2))(1+logx)dx+xdy=0` को हल कीजिए यहाँ दिया गया है y=1 जब x=1 |
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Answer» माना `(1+y^(2))(1+logx)dx+xdy=0" "......(1)` चर पृथक करने पर `((1+logx))/(x)dx+(1)/((1+y^(2)))dy=0` समाकलन करने पर `int((1+logx))/(x)dx+int(1)/((1+y^(2)))dy=c` यदि `(1+logx)=timplies(dx)/(x)=dt` तब `impliesinttdt+tan^(-1)y=c` यहाँ c एक स्वैच्छिक अचर है। `(1)/(2)(1+logx)^(2)+tan^(-1)y=c" "......(2)` समीकरण (2) में x=1 व y=1 रखने पर `c=(1)/(2)+tan^(-1)1impliestan^(-1)y=((1)/(2)+(pi)/(4))` यह मान समीकरण (2) में रखने पर `(1)/(2)(1+logx)^(2)+tan^(-1)y=((1)/(2)+(pi)/(4))` `implies(1)/(2)(logx)^(2)+logx+tan^(-1)y=(pi)/(4)` |
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| 297. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `xe^(y//x)-y+ x(dy)/(dx) =0,y(e)=0` |
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Answer» Correct Answer - `y=log (log|x|)` |
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| 298. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x(x^(2)+3y^(2))dx+ y (y^(2)+3x^(2)) dy=0,y(1)=1` |
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Answer» Correct Answer - `x^(4)+6x^(2)y^(2)+y^(4)=8` |
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| 299. |
अवकल समीकरण `x(x^(2)-1)(dy)/(dx)=1` का विशेष हल ज्ञात कीजिए। यहाँ दिया गया है y=0 तब x=2 |
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Answer» माना `x(x^(2)-1)(dy)/(dx)=1" "......(1)` चर पृथक करने पर `dy=(1)/(x(x^(2)-1))dx` समाकलन करने पर `intdy=int(dx)/(x(x-1)(x+1))" "......(2)` आंशिक भिन्नो में व्यक्त करने पर `(1)/(x(x-1)(x+1))=(A)/(x)+(B)/((x-1))+(C)/((x+1))" "......(3)` `1=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)` यदि `x=0impliesA=-1` व `x=1impliesB=1//2` व `x=-1impliesC=(1)/(2)` तब `(1)/(x(x-1)(x+1))=(-1)/(x)+(1)/(2(x-1))+(1)/(2(x+1))" "......(4)` समीकरण (2) व (4) से `intdy=int(-dx)/(x)+(1)/(2)int(dx)/((x-1))+(1)/(2)int(dx)/((x+1))+c` यहाँ c एक स्वैच्छिक अचर है। `impliesy=-log(x)+(1)/(2)log(x-1)+(1)/(2)log(x+1)+c" "......(5)` दिया है कि y=0 जब x = 2 तब समीकरण (5) से `-log2+(1)/(2)log3+c=0` `impliesc=log2-(1)/(2)log3=(1)/(2)log4(1)/(2)log3=(1)/(3)log((4)/(3))` तब `c=(1)/(2)log((4)/3)`,तब समीकरण (5) से `y=-log(x)+(1)/(2)log(x-1)+(1)/(2)log(x+1)+(1)/(2)log""(4)/(3)` `y=-(1)/(2)logx^(2)+(1)/(2)log[(x-1)(x+1)]+(1)/(2)log""(4)/(3)` `y=(1)/(2)log[(4(x^(2)-1))/(3x^(2))]` |
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| 300. |
दिखाएं की वैसे वक्रों का कुल जिसके किसी बिंदु (x,y) पर ढाल `(x^(2) + y^(2))/(2xy)` है, का समीकरण `x^(2)-y^(2)=kx` होता है| |
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Answer» हम जानते है की किसी वक्र के बिंदु `(x,y)` पर स्पर्श रेखा की ढाल `(dy)/(dx)` होता है| प्रशन से, `(dy)/(dx) = (x^(2) + y^(2))/(2xy) rArr (dy)/(dx) = (1+(y/x)^(2))/(2.y/x)`..........(1) स्पष्तः (1) एक संघातीय अवकल समीकरण है| `y=vx` रखें तो, `(dy)/(dx) = v+x (dy)/(dx)` (1) में, x तथा `(dy)/(dx)` का मान रखने पर हमें मिलता है| `v+x(dv)/(dx) = (1+v^(2))/(2v) rArr x(dv)/(dx) = (1+v^(2))/(2v) -v = (1-v^(2))/(2v)` `rArr (2v)/(1-v^(2)) dv = (dx)/x rArr int (-2v)/(1-v^(2)) dv =- int (dx)/x` `rArr log|1-v^(2)| = -log |x|+c` `rArr log|x(1-v^(2))|=c rArr x(1-v^(2))|=e^(c)` `rArr x(1-y^(2)/x^(2))=+-e^(c) =k` (माना) `rArr x^(2)-y^(2) =kx`, जहाँ k एक स्वैच अचर है| |
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