InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 201. |
`(1+y^(2))dx=(tan^(-1)y-x)dy` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `(1+y^(2))dx=(tan^(-1)y-x)dy` `implies(dx)/(dy)=(tan^(-1)y-x)/(1+y^(2))` `implies(dx)/(dy)=(tan^(-1)y-x )/(1+y^(2))` `implies(dx)/(dy)+(1)/(1+y^(2)).x=(tan^(-1)y)/(1+y^(2))" ".......(1)` जोकि `(dx)/(dy)+Px=Q` प्रकार का रैखिक समीकरण है। जहाँ `P=(1)/(1+y^(2)).Q=(tan^(-1)y)/(1+y^(2))` अब `I.L.=e^(intPdy)=e^(int(1)/(1+y^(2))dx)=e^(tan^(-1)y)` `:.` समीकरण का हल `x.(I.F.)=intQ(I.F.)dy+c` `impliesx.e^(tan^(-1))=int(tan^(-1)y)/(1+y^(2)).e^(tan^(-1)y)dy+c` `xe^(t)=intte^(t)dt+c" "` (माना `t=tan^(-1)y`) `=(e^(t)t-e^(t))+c" ":.dt=(1)/(1+y^(2))dy)` `=e^(t)(t-1)+c=e^(tan^(-1)y)(tan^(-1)y-1)+c` ltbr `:.x=-1+tan^(-1)y+ce^(-tan^(-1)y)` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 202. |
`(1+x^(2))(dy)/(dx)+y=tan^(-1)x` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `(1+x^(2))(dy)/(dx)+y=tan^(-1)x` `implies(dy)/(dx)+(y)/((1+x^(2)))=(tan^(-x))/(1+x^(2))" "......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=(1)/(1+x^(2)),Q=(tan^(-1)x)/(1+x^(2))` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(int(1)/(1+x^(2))dx)=e^(tan^(-1)x)` `:.` समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ(I.F.)dx+c` `impliesy.e^(intPdx)=intQe^(intPdx).dx+c` `impliesy.e^(tan^(-1)x)=int(e^(tan^(-1)).tan^(-1)x)/(1+x^(2))dx+c` माना `tan^(-1)x=timplies(1)/(1+x^(2))dx=dt` `:.y.e^(tan^(-1)x)=intte^(t)dt+c` `=e^(t)(t-1)+c` `=e^(tan^(-1)x)(tan^(-1)x-1)+c` `impliesy=-1+tan^(-1)x+ce^(-tan^(-1)x)` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 203. |
`sinx(dy)/(dx)+cosx.y=cosxsin^(2)x` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `sinx(dy)/(dx)+cosx.y=cosxsin^(2)x` `implies(dy)/(dx)+(cosx)/(sinx)y=(cosxsin^(2)x)/(sinx)` `implies(dy)/(dx)+cotx.y=cosxsinx" "......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=cotx,Q=cosxsinx` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(intcotxdx)=e^(logsinx)=sinx` इसलिए समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ.(I.F.)dx+c` `impliesy.sinx=intcosx.sinx.sinxdx+c` `=intsin^(2)xcosxdx+c=(sin^(3)x)/(3)+c` `y=(1)/(3)sin^(2)x+c""cosecx` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 204. |
`(1+x^(2))(dy)/(dx)+y=e^(tan^(-1))x` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `(dy)/(dx)+(y)/(1+x^(2))=(e^(tan^(-1))x)/(1+x^(2))" ".......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=(1)/(1+x^(2)),Q=(e^(tan^(-1))x)/(1+x^(2))` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(int(1)/(1+x^(2))dx)=e^(tan^(-1)x)` इसलिए समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ.(I.F.)dx+c` `impliesy.e^(tan^(-1)x)=int(e^(tan^(-1))x)/(1+x^(2)).e^(tan^(-1)x).dx+c` `=int(e^(2tan^(-1)x))/(1+x^(2))dx+c" "......(2)` माना `tan^(-1)x=timplies(1)/(1+x^(2))dx=dt` तब समीकरण (2) से `y.e^(t)=inte^(2t)dt+c=(1)/(2)e^(2t)+c` `:.y=(1)/(2)(e^(2t))/(e^(t))+(c)/(e^(t))=(1)/(2)e^(t)+ce^(-1)` `impliesy=(1)/(2)e^(tan^(-1)x)+ce^(-tan^(-1)x)` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 205. |
`(dy)/(dx)-ytanx=2sinx` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `(dy)/(dx)-ytanx=2sinx" "......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=-tanx,Q=2sinx` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(-inttanxdx)` `=e^(logcosx)=cosx` इसलिए समीकरण का हल `impliesy.e^(intPdx)=intQe^(intPdx).dx+c` `impliesy.cosx=int2sinxcosxdx+c` `=intsin2xdx+c=-(1)/(2)cos2x+c` `impliesy=-(1)/(2)cos2xsecx+csecx` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 206. |
`(dy)/(dx)+ycotx=2cosx` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `(dy)/(dx)+ycotx=2cosx" "......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=cotx,Q=2cosx` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(intcosxdx)=e^(int(cosx)/(sinx)dx)` `=e^(logsinx)=sinx` इसलिए समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ.(I.F.)dx+c` `y.e^(intPdx)=intQe^(intPdx).dx+c` `impliesy.sinx=int2cosxsinxdx+c` `=intsin2xdx+c=-(1)/(2)cos2x+c` `impliesy=-(1)/(2)cos2xcosecx+c""cosecx` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 207. |
`x(dy)/(dx)-y=x^(2)` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `x(dy)/(dx)-y=x^(2)` `implies(dy)/(dx)-(y)/(x)=x" "......(1)` स्पष्टत: यह एक रैखिक अवकलन समीकरण है। समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=-(1)/(x),Q=x` `:.I.F.=e^(intPdx)=e^(int(1)/(x)dx)=e^(-logx)=e^(log""(1)/(x))=(1)/(x)` इस प्रकार दिये गये समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ.(I.F.)dx+c` `y.e^(intPdx)=intQe^(intPdx).dx+c` `impliesy.(1)/(x)=intx.(1)/(x)dx+c` `=intdx+c=x+c` `impliesy=x^(2)+cx,` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 208. |
`(dy)/(dx)-y=x.e^(x)` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `(dy)/(dx)-y=x.e^(x)" "......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=-1,Q=xe^(x)` अब `I.F. =e^(intPdx)=e^(int-1dx)=e^(-x)` इसलिए समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ.(I.F.)dx+c` `y.e^(intPdx)=e^(int-1dx).dx+c` `impliesy.e^(-x)=intxe^(x).e^(-x).dx+c` `=intxdx+c=(x^(2))/(2)+c` `impliesy=((x^(2))/(2)+c)e^(x)` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 209. |
`(dy)/(dx)+secx.y=tanx,0lexlt(pi)/(2)` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `(dy)/(dx)+secx.y=tanx" "......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=secx,Q=tanx` अब I.F. `=e^(intPdx)=e^(intsecxdx)=e^(log)(secx+tanx)` `=secx+tanx` इसलिए समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ.(I.F.)dx+c` `y.e^(intPdx)=intQe^(intPdx).dx+c` `impliesy.(secx+tanx)=inttanx(secx+tanx)dx+c` `=intsecxtanxdx+inttan^(2)xdx+c` `=intsecxtanxdx+intsec^(2)xdx-int1dx+c` `impliesy.(secx+tanx)=secx+tanx-x+c` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 210. |
`cos^(2)x(dy)/(dx)+y=tanx(0lexlt(pi)/(2))` |
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Answer» `cos^(2)x(dy)/(dx)+y=tanx` `implies(dy)/(dx)+ysec^(2)x=tanx sec^(2)x` यहाँ, `P=sec^(2)x` और `Q=tan x sec^(2)x` अब, `I.F.=e^(intsec^(2)xdx)=e^(tanx)` और व्यापक हल `ye^(tanx)=inttanxsec^(2)xe^(tanx)dx+c` `=intte^(t)dt+c` `=te^(t)-int1.e^(t)dt+c` माना `tanx=t implies sec^(2)xdx=dt` `=te^(t)-e^(t)+c` `=e^(t)(t-1)+c` `=e^(tanx)(tanx-1)+c` `impliesy=tanx-1+c.e^(-tanx)` |
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| 211. |
`(dy)/(dx)+(y)/(x)=x^(2)` |
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Answer» `(dy)/(dx)+(y)/(x)=x^(2)` यहाँ, `P=(1)/(x), Q=x^(2)` `I.F.=e^(intPdx)=e^(int(1)/(x)dx)=e^(logx)=x` और व्यापक हल : `y(x)=intx^(2)(x)dx+c=intx^(3)dx+c` `implies xy=(x^(4))/(4)+c` |
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| 212. |
`(dy)/(dx)+(secx)y=tanx(0lexlt(pi)/(2))` |
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Answer» `(dy)/(dx)+y sec x = tan x` यहाँ, P = sec x और Q = tan x `therefore I.F. = e^(intPdx)=e^(intsec x)` `=e^(log(secx+tanx))=secx+tanx` और व्यापक हल `y(secx+tanx)=inttanx(secx+tanx)dx+c = int(secxtanx+sec^(2)x-1)dx+c` `implies y(secx+tanx)=secx+tanx-1+c` |
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| 213. |
अवकल समीकरण `(1+e^(2x))dy+(1+y^(2))e^(x)dx=0` का विशेष हल ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है x = 0 पर y=1 है। |
| Answer» `tan^(-1)y+tan^(-1)e^(x)=(pi)/(2)` | |
| 214. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=sin(2x+5)` को हल कीजिए |
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Answer» `(dy)/(dx)=sin (2x+5)` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर `int(dy)/(dx)dx=intsin(2x+5)dx+c` `implies intdy=intsin(2x+5)dx+c` `implies y=-(1)/(2)cos(2x+5)+c` |
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| 215. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें: `sin x (dy)/(dx) + cosx. y =cos x. sin^(2)x` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `(dy)/(dx) + cotx. y = cosx. sinx`......(1) यह `(dy)/(dx) + Py =Q` के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ, `P =cot x` तथा `Q = sinx cosx` अब, `I.F. = e^(int Pdx) = e^(int cot xdx) = e^(log sinx)= sinx` अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल होगा, `y.sinx = int cosx. sinx. sinx.dx +c` `=int sin^(2)x cos x.dx +c = (sin^(3)x)/3 + c` [`sinx =t` रखने पर] `rArr y =1/3 sin^(2) x + c " cosec "x` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 216. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=sin^(4)x.cosx` को हल कीजिए। |
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Answer» `(dy)/(dx)=sin^(4)x.cosx` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर `int(dy)/(dx).dx=intsin^(4)x cos xdx+c` माना `sinx=t` `implies intdy=intt^(4).dt+c therefore cosx=(dt)/(dx)` `impliesy=(1)/(5)t^(5)+c impliescosxdx=dt` `implies y=(1)/(5)sin^(5)x+c` |
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| 217. |
`(dy)/(dx)=tan^(-1) x` |
| Answer» `y=xtan^(-1)x-(1)/(2)log.(1+x)^(2)+c` | |
| 218. |
`(dy)/(dx)=x.e^(x)` |
| Answer» Correct Answer - `y=e^(x)(x-1)+c` | |
| 219. |
हल कीजिए- `(x+y) (dy)/(dx)=1.` |
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Answer» दिया हुआ अवकल समीकरण है- `(x+y) (dy)/(dx) =1` `implies(dy)/(dx) =x+y` `implies(dx)/(dy)-x=y" "...(1)` जो कि x में रैखिक अवकल समीकरण है. समी (1 ) कि तुलना `(dx)/(dy)+Px =Q` से करने पर, `P=-1` और `Q=y.` `therefore I. F. =e ^(int Pdy )=e^(int(-1)dy)=e^(-y)` अतः अभीष्ट है है- `x xx(I. F.) =int Q xx(I. F.)dy+C` `impliesxe ^(-y) =int y. e^(-y) dy+C` `implies xe ^(-y) =[y(-e ^(-y))-int1. (-e ^(-y))dy]+C` ` implies xe^(-y)=-ye^(-y)+int e^(-y)dy++C` `impliesxe^(-y)=-ye^(-y)-e ^(-y) +C` `xe^(-y)=(-y-l)e^(-y)+C` `impliesx=(-y-1)+Ce^(y)` `impliesx+y+1=Ce^(y).` |
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| 220. |
हल कीजिए- `ydx -(x+2y^(2))dy=0.` |
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Answer» दिया हुआ अवकल समीकरण है- `ydx -(x+2y^(2))dy=0` `impliesydx =(x+2y^(2))dy` `implies(dx)/(dx)=(x+2y^(2))/(y)` `implies(dx)/(dy)=x/y +2y` ` implies (dx)/(dy)-1/y x=2y" "...(1)` जो कि x में रैखिक अवकल समीकरण है . समी (1 ) कि तुलना `(dx)/(dy)+Px =Q` से करने पर , `P =-1/y` और `Q=2y` `thereforeI. F. =e ^(intPdy)=e ^(int(1)/(y)dy)=e ^(-log.y.)=1/y` अतः अभीष्ट हल है- `x xx(I.F) =int Q xx(I.F) dy +C` `impliesx. (I)/(y) =int 2yxx 1/y dy+c` `impliesx/y=int2dy+C` `implies x/y =2y+C` `implies x=2y^(2)+Cy.` |
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| 221. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण की कोटि तथा घात ज्ञात करें| `((d^(3)y)/(dx^(3)))^2-x((dy)/(dx))^(3)=0` |
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Answer» यहाँ उच्चतम अवकलज `(d^(3)y)/(dx^(3))` है तथा `(d^(3)y)/(dx^(3))` का महत्म्म घात 2 है| `therefore` दिए गए अवकल समीकरण की कोटि (order) =3 तथा घात (degree) =2 |
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| 222. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण की कोटि तथा घात का निर्धारण करें| `y=px+ sqrt(a^(2)p^(2)+b^(2))`, जहाँ `p=(dy)/(dx)`. |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `y=px + sqrt(a^(2)p^(2)+b^(2))`............(1) (1) से, `y-px = sqrt(a^(2)p^(2) + b^(2))` या, `(y-px)^(2) = a^(2)p^(2) + b^(2)` या, `y^(2) + x^(2)p^(2) -2xyp = a^(2)p^(2)+b^(2)` `(x^(2)-a^(2))p^(2) -2xyp + (y^(2)-b^(2))=0` `(x^(2)-a^(2))((dy)/(dx))^(2) -2xy. ((dy)/(dx)) + (y^(2)-b^(2))=0` ...........(2) (2) से, स्पष्ट है की दिए गए अवकल समीकरण का कोटि (order) 1 तथा (degree) 2 है| |
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| 223. |
अवकल समीकरण `y=px+sqrt(a^(2)p^(2)+b^(2)),p=(dy)/(dx)` की कोटि व घात ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - कोटि =1 ; घात =2 | |
| 224. |
समीकरणों की कोटि तथा घात लिखिये`5(d^(2)y)/(dx^(2)) = [1+((dy)/(dx))^(2)]^(3//2)` |
| Answer» कोटि =2 , घात =2 , अरैखिक | |
| 225. |
`(d^(3)y)/(dx^(3)) + ((d^(2)y)/(dx^(2)))^(3) + (dy)/(dx) +4y = sinx` |
| Answer» Correct Answer - कोटि =3 ,घात =1 | |
| 226. |
अवकल समीकरणों में कोटि तथा घाट ज्ञात कीजिये- `y=(dy)/(dx)+sqrt(1+((dy)/(dx))^(2))` |
| Answer» Correct Answer - कोटि 1 घात 2 | |
| 227. |
`(dy)/(dx) -4y = e^(2x)` |
| Answer» `y=-1/2 e^(2x) + Ce^(4x)` | |
| 228. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण की कोटि तथा घात ज्ञात करें| `y=x(dy)/(dx) + sqrt(1+((dy)/(dx))^(2))` |
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Answer» दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज `(dy)/(dx)` है| इसलिए इस अवकल समीकरण की कोटि = 1 दिए गए अवकल समीकरण का घात निकालने के लिए इसे सर्वप्रथम अवकलजों में बहुपद समीकरण बनाना होगा| दोनों तरफ वर्ग पर बामे मिलता है, `(y-x(dy)/(dx))^(2) = 1+((dy)/(dx))^(2)`, या, `y^(2)-2xy(dy)/(dx)+ x^(2) ((dy)/(dx))^(2) =1 + ((dy)/(dx))^(2)` यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज `(dy)/(dx)` है जिसका-महत्मक घात 2 है| `therefore` दिए गए अवकल समीकरण का घात (degree) =2 |
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| 229. |
किसी वक्र के प्रत्येक बिन्दु (x,y) पर उसकी ढाल (slope) बिन्दु के निर्देशांकों के योग के दुगुने के बराबर है । अवकल समीकरण द्वारा इससे निरूपित कीजिये । |
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Answer» इस अवस्था को प्रदर्शित करने वाला अवकल समीकरण है `(dy)/(dx)=2(x+y)`. |
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| 230. |
`(sqrt(a+x)).((dy)/(dx)) + x=0` |
| Answer» कोटि =1 , घात =1 : रैखिक | |
| 231. |
`x-e^((dy)/(dx))=0` |
| Answer» Correct Answer - कोटि =1 , घात =1 | |
| 232. |
`cos(x+y) dy =dx` |
| Answer» `-" cosec "(x+y) + cot(x+y) +y =c` | |
| 233. |
उन सभी सरल रेखाओं, जिनकी मूलबिंदु से दुरी 1 है के लिये अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये। |
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Answer» Correct Answer - `(x(dy)/(dx)-y)^(2)=1+((dy)/(dx))^(2)` |
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| 234. |
अवकल समीकरणों में कोटि तथा घाट ज्ञात कीजिये- `(d^(3)y)/(dx^(3))=root(4)(y+((dy)/(dx))^(2))` |
| Answer» Correct Answer - कोटि 2 घात 4 | |
| 235. |
निम्नलिखित पूर्वग से समबन्धितअवकल समीकरण ज्ञात कीजिये, जहाँ A तथा B स्वच्छ अचर है : (a) `y=Ax` (b) `y=Ax+B` (c) `y=Ae^(x)+B` `y=A sin (x+B)` |
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Answer» (a) यहाँ `y=Ax" "…(i)` समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(dy)/(dx)=A` `therefore (dy)/(dx)=(y)/(x)" "` [ (ii) में A का मान रखने पर ] जो अभीष्ट अवकल समीकरण है । (b) यहाँ `y=Ax+B" "…(i)` समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(dy)/(dx)=A" "...(ii)` समीकरण (ii) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर `(d^(2)y)/(dx^(2))=0` जो सभीष्ट अवकल समीकरण है । (c) `y=Ae^(x)+B` `therefore (dy)/(dx)=Ae^(x)" "...(i)` और `(dy)/(dx)=Ae^(x)" "...(ii) ` समीकरण (i) तथा (ii) से `(d^(2)y)/(dx^(2))=(dy)/(dx)`, जो अभीष्ट समीकरण है । (d) `ty=A sin (x+B) " "...(i)` x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(dy)/(dx)=Acos(x+B)(dy)/(dx)" "...(ii)` पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(d^(2)y)/(dx^(2))=-Asin(x+B) " "...(iii)` `=-y` `(d^(2)y)/(dx^(2)+y=0` यही अभीष्ट अवकल समीकरण है । |
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| 236. |
`x(dy)/(dx) + 3y =x^(2)` |
| Answer» Correct Answer - `5x^(3)y -x^(5) =C` | |
| 237. |
`xsqrt(1-y^(2))dx + ysqrt(1-x^(2))dy =0` निम्नलिखित अवकल समीकरणों की कोटि तथा घाट ज्ञात कीजिये| |
| Answer» कोटि =1 , घात =1 , अरैखिक | |
| 238. |
वक्रों के कुल `y=mx` को निरूपित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये । |
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Answer» `because y=mx" "…(i)` x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `(dy)/(dx)=m` अब m का मान समीकरण (i) रखने पर , `y=(dy)/(dx)x` या `x(dy)/(dx)-y=0` यही अभीष्ट समीकरण है । |
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| 239. |
यदि A और B स्वच्छ अचर हे और तो समीकरण y=Ax+B के संगत अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» `(d^(2)y)/(dx^(2))=0` | |
| 240. |
h तथा k का विलोपन करके निम्न पूर्वग से अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये `(x-h)^(2)+(y-k)^(2)=a^(2)` |
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Answer» प्रश्नानुसार, `(x-h)^(2)+(y-k)^(2)=a^(2)" "......(1)` x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `2(x-h)+2(y-k)(dy)/(dx)=0` `implies(x-h)+(y-k)(dy)/(dx)=0" "......(2)` पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `1+(y-k)(d^(2)y)/(dx^(2))+((dy)/(dx))^(2)=0` `implies(y-k)(d^(2)y)/(dx^(2))=-[1+((dy)/(dx))^(2)]` `implies(y-k)=-([1+((dy)/(dx))^(2)])/(((d^(2)y)/(dx^(2))))" "......(3)` समीकरण (2) से, `(x-h)=-(y-k)(dy)/(dx)=([1+((dy)/(dx))^(2)])/(((d^(2)y)/(dx^(2))))(dy)/(dx)" "......(4)` समीकरण (1) में (x-h) तथा (y-k) के मान प्रतिस्थापित करने पर `([1+((dy)/(dx))^(2)]^(2)((dy)/(dx))^(2))/(((d^(2)y)/(dx^(2)))^(2))+([1+((dy)/(dx))^(2)]^(2))/(((d^(2)y)/(dx^(2))))=a^(2)` `implies[1+((dy)/(dx))^(2)]^(2)((dy)/(dx))^(2)+[1+((dy)/(dx))^(2)]^(2)=a^(2)[(d^(2)y)/(dx^(2))]^(2)` `implies[1+((dy)/(dx))^(2)]^(2)[((dy)/(dx))+1]=a^(2)[(d^(2)y)/(dx^(2))]^(2)` `implies[1+((dy)/(dx))^(2)]^(3)=a^(2)[(d^(2)y)/(dx^(2))]^(2)` यही अभीष्ट अवकल समीकरण है। |
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| 241. |
समीकरण `(x-a)^(2)+2y^(2)=a^(2)` के संगत अवकल समीकरण की रचना कीजिए. |
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Answer» यहाँ `(x-a)^(2)+2y^(2)=a^(2)" "...(1)` समी (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `2(x-a) ^(2)+ 4y (dy)/(dx)=0` `implies(x-a)+2y(dy)/(dx)=0` `implies(x-a) =-2y(dy)/(dx)` या `a= x+2y(dy)/(dx)` समी (1 ) में a का मान रखने पर `(-2y(dy)/(dx))^(2)+2y^(2)=(x+2y(dy)/(dx))^(2)` `implies4y^(2) ((dy)/(dx))^(2)+2y^(2)=x^(2)+4y^(2) ((dy)/(dx))^(2)+4xy ((dy)/(dx))` `implies2y^(2) =x^(2)+ 4xy ((dy)/(dx))` `implies4xy((dy)/(dx))+(x^(2)-2y^(2))=0` यदि अभीष्ट अवकल समीकरण है . |
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| 242. |
ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिये, जिनका शीर्ष मूलबिंदु पर है और जिनका अक्ष धनात्मक y-अक्ष की दिशा में है| |
| Answer» Correct Answer - `x(dy)/(dx) - 2y=0` | |
| 243. |
समीकरण `y=Ae^(2x)+Be^(-x)` के लिये अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `y=Ae^(2x)+Be^(-x)" ….(1)"` `implies (dy)/(dx)=2Ae^(2x)-Be^(-x)" ….(2)"` `implies(d^(2)y)/(dx^(2))=4Ae^(2x)+Be^(-x)" ….(3)"` समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर `(dy)/(dx)+y=3Ae^(2x)" ….(4)"` समीकरण (2) और (3) को जोड़ने पर `(d^(2)y)/(dx^(2))+(dy)/(dx)=6A.e^(2x)` `implies(d^(2)y)/(dx^(2))+(dy)/(dx)=2((dy)/(dx)+y)` [समीकरण (4) से] `implies(d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)-2y=0` |
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| 244. |
`y=ax^(2)+bx+c` के लिए अवकल समीकरण प्राप्त कीजिये , जहाँ a,b,c स्वेच्छ अचर है । |
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Answer» यहाँ पर `therefore dy//dx=2ax+b` `implies d^(2)y//dx^(2)=2a` `implies d^(3)y//dx^(2)=0`, जो अभीष्ट अवकल समीकरण है । |
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| 245. |
`y=Ae^(2x)+Be^(x)+C` के लिए अवकल समीकरण प्राप्त कीजिये । |
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Answer» यहाँ पर `y=Ae^(2x)+Be^(x)+C` `implies (dy)/(dx)=2Ae^(2x)+Be^(x)` `(d^(2)y)/(dx^(2))=4Ae^(2x)+Be(x)` तथा `(d^(3)y)/(dx^(3))=8Ae^(2x)+Be^(x)` `therefore (d^(3)y)/(dx^(3))-(d^(2)y)/(dx^(2))=(8Ae^(2x)+Be^(x))-(4Ae^(2x)+Be^(x))` `=4Ae^(2x)" "...(i)` तथा `(d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)=(4Ae^(2x)+Be^(x))-(2Ae^(x)+Be^(x))` `=2Ae^(2x)" "...(ii)` समीकरण (i) और (ii) से `(d^(3)y)/(dx^(3))-(d^(2)y)/(dx^(2))=2((d^(2)y)/(dx^(2)-(dy)/(dx)))` या `(d^(3)y)/(dx^(3))-3(d^(2)y)/(dx^(2))+2(dy)/(dx)=0` जो की अभीष्ट अवकल समीकरण है । |
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| 246. |
समीकरण `(x-h)^(2)+(y-k)^(2)=a^(2)` से h और k को विलोपित करके अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `(x-h)^(2)+(y-k)^(2)=a^(2)" ….(1)"` `implies2(x-h)+2(y-k)(dy)/(dx)=0` `implies(x-h)=-(y-k).(dy)/(dx)" ....(2)"` `implies1=-[(y-k).(d^(2)y)/(dx^(2))+((dy)/(dx))^(2)]` `impliesy-k=-(1+((dy)/(dx))^(2))/((d^(2)y)/(dx^(2)))` समीकरण (2) से `(x-h)=(1+((dy)/(dx))^(2))/((d^(2)y)/(dx^(2))).(dy)/(dx)` समीकरण (1) से `([1+((dy)/(dx))^(2)]^(2))/(((d^(2)y)/dx^(2))^(2))((dy)/(dx))^(2)+([1+((dy)/(dx))^(2)]^(2))/(((d^(2)y)/dx^(2))^(2))=a^(2)` `=[1+((dy)/(dx))^(2)]^(2).[((dy)/(dx))^(2)+1]=a^(2).((d^(2)y)/(dx^(2)))^(2)` `implies [1+((dy)/(dx))^(2)]^(3)=a^(2).((d^(2)y)/(dx^(2)))^(2)` |
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| 247. |
`v=(A)/(r )+B` के संगत सवकल समीकरण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `v=(A)/(r )+B" …(1)"` `implies(dv)/(dr)=-(A)/(r^(2))implies-A=r^(2).(dv)/(dr)` `implies0=[r^(2).(d^(2)v)/(dr^(2))+(dv)/(dr).2r]` `implies r.(d^(2)v)/(dr^(2))+2(dv)/(dr)=0` जो अभीष्ट अवकल समीकरण है। |
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| 248. |
`(x-y)^(2) (dy)/(dx) =a^(2)` |
| Answer» `a/2 log|(x-y+a)/(x-y+a)|+y=c` | |
| 249. |
समीकरण `y=A.e^(x)+B` से सम्बन्धित अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `y=A.e^(x)+B" ….(1)"` `implies (dy)/(dx)=A.e^(x)" ….(2)"` `implies (d^(2)y)/(dx^(2))=A.e^(x)" ….(3)"` समीकरण (2) और (3) से `(d^(2)y)/(dx^(2))=(dy)/(dx)` |
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| 250. |
समीकरण `x^(2)+y^(2)+2ax=0` के लिए अवकल समीकरण प्राप्त कीजिये, जहाँ a स्वेच्छ अचर है । |
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Answer» दिया हुआ संकीकरण है, `x^(2)+y^(2)+2ax=0` x के सापेक्ष अवकलन करने पर `1+y(d^(2)y)/(dx^(2))+((dy)/(dx)).((dy)/(dx))=0` या `y(d^(2)y)/(dx^(2))+((dy)/(dx))^(2)+1=0` यह अभीष्ट अवकल समीकरण है । |
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