InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 101. |
`y=e^(x)(Acosx+Bsinx)` की अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये। |
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Answer» Correct Answer - `(d^(2)y)/(dx^(2))-2((dy)/(dx))+2y=0` `y=e^(x)(Acosx+Bsinx)` `implies(dy)/(dx)=e^(x)(Acosx+Bsinx)+e^(x)(-Asinx+Bcosx)` `implies(dy)/(dx)=y+e^(x)(-Asinx+Bcosx)` पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर |
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| 102. |
निम्नलिखित प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है। `y=e^(x)(acosx+bsinx):(d^(2)y)/(dx^(2))-2(dy)/(dx)+2y=0` |
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Answer» (i) दिया है, `x(d^(2)y)/(dx^(2))+2(dy)/(dx)-xy+x^(2)-2=0 " ....(1)"` तथा `y=ae^(x)+be^(-x)+2x` `implies (dy)/(dx)=ae^(x)-be^(-x)+2x` `implies (d^(2)y)/(dx^(2))=ae^(x)+be^(-x)+2` अब, `y,(dy)/(dx)` तथा `(d^(2)y)/(dx^(2))` का मान समीकरण (1) में रखने पर, बायाँ पक्ष = `x(d^(2)y)/(dx^(2))+2(dy)/(dx)-xy+x^(2)-2` `=x(ae^(x)+be^(-x)+2)+2(ae^(x)-be^(-x)+2x)-x(ae^(x)+be^(-x)+x^(2))+x^(2)-2` `=(axe^(x)+bxe^(-x)+2x)+(2ae^(x)-2be^(-x)+4x)-(axe^(x)+bxe^(-x)+x^(3))+x^(2)-2` `=axe^(x)+bxe^(-x)+2x+2ae^(x)-2be^(-x)+4x-axe^(x)-bxe^(-x)-x^(3)+x^(2)-2` `=2ae^(x)-2be^(-x)-x^(3)+x^(2)+6x-2ne0` दायाँ पक्ष `ne` बायाँ पक्ष अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल नहीं है। (ii) दिया है, `y=e^(x)(acosx+bsinx)` `impliese^(-x)y=acosx+bsinx" ....(1)"` `implies e^(-x)(dy)/(dx)-ye^(-x)=-asinx+bsinx` `implies e^(-x)(d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)e^(-x)-(-ye^(-x)+e^(-x)(dy)/(dx))=-acosx-bsinx` `impliese^(-x)(d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)e^(-x)+ye^(-x)-e^(-x)(dy)/(dx)=-(acosx-bsinx)` `impliese^(-x)(d^(2)y)/(dx^(2))-2e^(-x)(dy)/(dx)+ye^(-x)=-ye^(-x)` [समीकरण (1) से] `impliese^(-x)(d^(2)y)/(dx^(2))-2e^(-x)(dy)/(dx)+2ye^(-x)=0` `implies e^(-x)((d^(2)y)/(dx^(2))-2(dy)/(dx)+2y)=0` `implies(d^(2)y)/(dx^(2))-2(dy)/(dx)+2y=0` अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकलन समीकरण का हल है। (iii) दिया है `y = x sin 3x " ....(1)"` `implies (dy)/(dx)=x(d)/(dx)(sin 3x)+sin 3x(d)/(dx)(x)` `(dy)/(dx)=x cos 3x xx 3+sin3x` `=3x cos3x+sin3x` `implies (d^(2)y)/(dx^(2))=3[x(d)/(dx)cos3x+cos3x(d)/(dx)(x)]+(d)/(dx)(sin3x)` `implies (d^(2)y)/(dx^(2))=3[x(-sin3x xx3)+cos3x]+cos3x xx3` `implies (d^(2)y)/(dx^(2))=-9xsin3x+3cos3x+3cos3x` `implies (d^(2)y)/(dx^(2))=-9xsin3x+6cos3x` `implies (d^(2)y)/(dx^(2))=-9y+6cos3x` [समीकरण (1) से, y = x sin 3x] `implies (d^(2)y)/(dx^(2))+9y-6cos3x=0` अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल है। (iv) दिया है, `x^(2)=2y^(2)logy` `implies 2x=2(y^(2)xx(1)/(y)(dy)/(dx)+logyxx2y(dy)/(dx))` `implies 2x=2(y+2ylogy)(dy)/(dx)` `impliesx=(y+2ylogy)(dy)/(dx)` `implies xy=(y^(2)+2y^(2)logy)(dy)/(dx)` `implies xy=(y^(2)+x^(2))(dy)/(dx)` `implies(x^(2)+y^(2))(dy)/(dx)-xy=0` अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल है। |
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| 103. |
अवकल समीकरणों में कोटि तथा घाट ज्ञात कीजिये- `((d^(3)y)/(dx^(3)))^(2)+((d^(2)y)/(dx^(2)))^(4)+2xy=0` |
| Answer» Correct Answer - कोटि 3 घात 2 | |
| 104. |
अवकल समीकरणों में कोटि तथा घाट ज्ञात कीजिये- `(d^(2)theta)/(d t^(2))+8(d theta)/(d t)+9theta=0` |
| Answer» Correct Answer - कोटि 2 घात 1 | |
| 105. |
अवकल समीकरणों में कोटि तथा घाट ज्ञात कीजिये- `(d^(2)y)/(dx^(2))=cos3x+sin3x` |
| Answer» Correct Answer - कोटि 2 घात 1 | |
| 106. |
सत्यापित कीजिये की फलन `y =A cosx-B sinx` अवकल समीकरण `(d^(2)y)/(dx^(2))+y` का हल है| |
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Answer» दिया है, `y=A cosx -B sinx` `rArr (dy)/(dx) =-A sinx - B cosx` `rArr (d^(2)y)/(dx^(2)) = -A cosx + Bsinx =-(A cosx - B sin x)=-y` `therefore (d^(2)y)/(dx^(2))+y=0` अतः `y =A cosx -B sinx` अवकल समीकरण `(d^(2)y)/(dx^(2))+y=0` का हल है| |
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| 107. |
अवकल समीकरण `(d^(2)y)/(dx^(2))=cosx-sinx` को हल कीजिये |
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Answer» प्रदत्त अवकल समीकरण `(d)/(dx)((dy)/(dx))=cosx-sinx` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर, `(dy)/(dx)=int(cosx-sinx)dx+c_(1)` जबकि `c_(1)` स्वेच्छ अचर है। `implies(dy)/(dx)=sinx-cosx+c_(1)` `impliesdy=(sinx+cosx+c_(1))dx` पुनः x से सापेक्ष समाकलन करने पर, `y=intsinxdx+intcosx+c_(1)intdx+c_(2),` जबकि `c_(2)` स्वेच्छ अचर है। `impliesy=-cosx+sinx+c_(1)x+c_(2)` |
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| 108. |
`y=a cosx +b sinx ` का अवकल समीकरण घाट कीजिये| |
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Answer» यहाँ `(dy)/(dx)=-asinx +b cosx ` `(d^(2)y)/(dx^(2))=-acosx -bsinx =-y`, `(d^(2)y)/(dx^(2))+y=0` और यही दिया हुआ अवकल समीकरण है । |
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| 109. |
अवकल समीकरण `(1+x^(2))(dy)/(dx)-x=2tan^(-1)x` का व्यापक मान ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `(1+x^(2))(dy)/(dx)-x=2tan^(-1)x` `implies(dy)/(dx)=(2tan^(-1))/((1+x^(2)))+(x)/((1+x^(2)))` अब चर पृथक करने पर, `dy={(2tan^(-1)x)/((1+x^(2)))+(x)/((1+x^(2)))}dx` समाकलन करने पर `intdy=int2(tan^(-1))/((1+x^(2)))dx+int(x)/((1+x^(2)))dx` यदि `t=tan^(-1)ximplies1//(1+x^(2))dx=dt," तब "y=2inttdt+(1)/(2)int(2x)/((1+x^(2)))dx` `impliesy=t^(2)+(1)/(2)log(1+x^(2))+c` `y=(tan^(-1)x)^(2)+(1)/(2)log(1+x^(2))+c` |
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| 110. |
वह अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये जिसका का हल `y=ae^(x)+be^(2x)+ce^(3x)` है । |
| Answer» Correct Answer - `(d^(3)y)/(dx^(3))-6(d^(2)y)/(dx^(2))+11(dy)/(dx)-6y=0` | |
| 111. |
सिद्ध कीजिये की `y=a cosx + bsin x ` , अवकल समीकरण , जिसमे a,b, `epsi` R, अवकल समीकरण `(d^(2)y)/(dx^(2))+y=0` का एक हल है । |
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Answer» यहाँ `(dy)/(dx)=-asinx +b cosx ` `(d^(2)y)/(dx^(2))=-acosx -bsinx =-y`, `(d^(2)y)/(dx^(2))+y=0` और यही दिया हुआ अवकल समीकरण है । |
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| 112. |
सिद्ध कीजिए कि `y=e^(x)+m` अवकल समीकरण `(d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)=0` का हल है, जबकि m अचर है। |
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Answer» `y=e^(x)+m" ….(1)"` x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(dy)/(dx)=e^(x)" ….(2)"` पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(d^(2)y)/(dx^(2))=e^(x)implies(d^(2)y)/(dx^(2))=(dy)/(dx)` [समीकरण (2) से] `implies (d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)=0` अतः `y=e^(x)+m` दी गई अवकलन समीकरण का हल है। |
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| 113. |
अवकल समीकरण `log((dy)/(dx))=3x+4y` का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए । दिया हुआ है की `y=0` यदि `x=0` |
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Answer» `:. log((dy)/(dx))=3x+4y` `(dy)/(dx)=e^(3x+4y)=e^(3x)e^(4y)` `(dy)/(e^(4y))=e^(3x)dx` `:. int(dy)/(e^(4y))=inte^(3x)dy` `rArr inte^(-4y)dy=inte^(3x)dx` `rArr (e^(-4y))/(-4)=(3^(3x))/(3)+c` `rArr -4e^(3x)=3e^(-4y)+12c` `rArr 4e^(-4x)+12c=0` |
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| 114. |
निम्न अवकल समीकरणों की कोटि तथा घात लिखिये`2x.(d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)+5=0` |
| Answer» Correct Answer - कोटि = 2, घात = 1 | |
| 115. |
निम्न अवकल समीकरणों की कोटि तथा घात लिखिये`(d^(3)y)/(dx^(3))+2((dy)/(dx))^(4)+3x=0` |
| Answer» Correct Answer - कोटि = 3, घात = 1 | |
| 116. |
सिद्ध कीजिये कि `y=Acosmx+Bsinmx` अवकल समीकरण `(d^(2)y)/(dx^(2))+m^(2)y=0` का हल है। |
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Answer» `y=Acosmx+Bsinmx` implies`(dy)/(dx)=-Amsinmx+Bmcosmx` `implies(dy)/(dx)=-m^(2)(Acosmx+Bsinmx)` |
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| 117. |
`(tan^(-1)y-x)dx=(1+y^(2))dx` का मान ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दी गयी समीकरण इस प्रकार लिखी जा सकती है - `(1+y^(2))(dx)/(dy)=tan^(-1)y-x` `implies(dx)/(dy)+(1)/(1+y^(2)).x=(tan^(-1)y)/(1+y^(2))" ".......(1)` जोकि स्वतंत्र चर y में रैखिक समीकरण है। यहाँ `P=(1)/(1+y^(2))` `implies"यदि "I.F.=e^(intPdx)=e^(int(1)/(1+y^(2))dx)=e^(tan^(-1)y)` अतः दिया गया हल `x.e^(tan^(-1)y)=inte^(tan^(-1)y).(tan^(-1))/(1+y^(2))dy+c" "......(2)` `tan^(-1)y=t` `impliesdy=(1+y^(2))dt` समीकरण (2) के दाये पक्ष में रखने पर तब `x.e^(tan^(-1)y)=intte^(t)dt+c=te^(t)-e^(t)+c` `=e^(tan^(-1)y).tan^(-1)y-e^(tan^(-1)y)+c` अतः `x=tan^(-1)y-1+ce^(-tan^(-1)y)` |
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| 118. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)-y=cosx` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिया है - `(dy)/(dx)-y=cosx" "......(1)` समीकरण `(dy)/(dx)+Py=Q` से तुलना करने पर `P=1" व "Q=cosx` अब, `I.F.=e^(intPdx)=e^(int-dx)=e^(-x)` अतः अभीष्ट हल `yxx(I.F.)=intQ(I.F.)dx+c` `impliesyxxe^(-x)=int(cosx)e^(-x)dx+c" "......(2)` अब `(cosx)e^(-x)` का खण्डशः समाकलन करने पर `I=int(cosx)e^(-x)dx` `=(cosx)(-e^(-x))-int(sinx)(e^(-x))dx` `=(cosx)e^(-x)-int(sinx)(e^(-x))dx` `=-(cosx)e^(-x)-{(sinx)(-e^(-x))}-int(cosx)(-e^(x))dx` `=-(cosx)e^(-x)+(sinx)(e^(-x))-I` `implies2I=(sinxe^(-x)-cosxe^(-x))` `impliesI=(1)/(2)(sinx-cosx)e^(-x)` समीकरण (2) से `yxxe^(-x)=(1)/(2)(sinx-cosx)e^(-x)+c` `impliesy=(1)/(2)(sinx-cosx)+ce^(x)` जोकि अभीष्ट हल है। |
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| 119. |
`log ((dy)/(dx))=3x+4y,` का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए यदि `y =0 ` जब `x =0 ` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `log ((dy)/(dx))=3x +4y` `implies(dy)/(dx)=e^(3x+4y)` `implies (dy)/(dx)=e^(3x). e ^(4y)` `implies(1)/(e^(4y))dy= e^(3x) dx,` `impliese^(-4y)dy= e^(3x) dx.` समाकलन करने पर, `int e^(-4y)dy =inte^(3x) dx` `implies(e^(-4y))/(-4)=(e^(3x))/(3)+C` `implies3e^(-4y)=-4e^(3x)-12C` `implies4e^(3x)+3e^(-4y)+12 C=0" "...(1)` समी (1 ) में, `y =0 ,x =0 ` रखने पर, `4e^(0) +3e^(0) +12C=0` `implies12C =-7` या `C=-7/12` समी (1 ) में C का मान रखने पर, `4e^(3x)+3e^(-4y)-7=0` |
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| 120. |
निम्न अवकल समीकरण हो हल कीजिए- `(d^(2)y)/(dx^(2))=logx` दिया है `y=1(dy)/(dx)=-1` जबकि `x=1` |
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Answer» यहाँ `(d^(2)y)/(dx^(2))=logx` `(d)/(dx)((dy)/(dx))=log x` दोनों पक्षों का समाकलन करने पर `(dy)/(dx)intlogx dx+c=intlog x. 1 dx+c` `log.x int dx-int {(d)/(dx)logx)*int. dx}dx+c` `=x log x-int(1)/(x)x dx+c` `x=logx-x+c` `x=(1)/(dy)/(dy)=-1` रखने पर `1=0-1+c` `c=0` |
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| 121. |
निम्न अवकल समीकरणों की कोटि तथा घात लिखिये (i) `dy+(3x+cotx)dx=0` (ii) `(d^(2)y)/(dx^(2))+y((dy)/(dx))+1=0` (iii) `L(d^(2)Q)/(dt^(2))+R(dQ)/(dt)+(Q)/(c)=0` (iv) `(d^(3)y)/(dx^(3))+x(d^(2)y)/(dx^(2))+2y((dy)/(dx))^(2)+xy=0` (v) `(d^(2)r)/(dx^(2))=4sqrt(1+((dr)/(d""theta))^(2))` (vi) `((d^(2)y)/(dx^(2)))^(3//2)=(x+(dy)/(dx))^(1//2)` |
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Answer» Correct Answer - (i) कोटि 1 घात 1 (ii) कोटि 2 घात 1 (iii) कोटि 2 घात 1 (iv) कोटि 3 घात 1 (v) कोटि 2, घात 4, (vi) कोटि 2 घात 3, दी गयी समीकरण इस प्रकार लिखी जा सकती है `((d^(2)r)/(d""theta^(2)))^(4)=(1+((dr)/(d""theta))^(2))` स्पष्टतः कोटि =2 घात =4 |
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| 122. |
अवकल समीकरण `(1+y^(2))+(x-e^(tan^(-1)y))(dy)/(dx)=0` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दी गयी अवकल समीकरण `(1+y^(2))+(x-e^(tan^(-1)y))(dy)/(dx)=0` `implies(1+y^(2))(dx)/(dy)+(x-e^(tan^(-1)y))=0` `implies(dx)/(dy)+(1)/((1+y^(2)))x=(e^(tan^(-1)))/(1+y^(2))` यह `(dx)/(dy)+Px=Q` प्रकार की रैखिक समीकरण है। अतः `P=(1)/(1+y^(2))" तथा "Q=(e^(tan^(-1)))/(1+y^(2))` अब `I.F.=e^(intPdy)=e^(int(1)/(1+y^(2)))=e^(tan^(-1)y)` `:.` रैखिक समीकरण का हल `x""xxI.F.=intQxxI.F.dy+c` `impliesx"xxe^(tan^(-1)y)=int(e^(tan^(-1)))/(1+y^(2))xxe^(tan^(-1)y)dy+c` `=xe^(tan^(-1)y)=int(e^(2tan^(-1)))/(1+y^(2))=dy+c` अब `tan^(-1)y=t` रखने पर, `implies(1)/(1+y^(2))dy=dt" ":.xe^(tan^(-1)y)=inte^(2t)dt+c` `impliesxe^(tan^(-1)y)=(e^(2t))/(2)+c` `impliesxe^(tan^(-1)y)=(e^(2tan^(-1)y))/(2)+c" "[t=tan^(-1)y)` रखने पर,] |
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| 123. |
अवकल समीकरण `x(dy)/(dx)-y+xcosec(y)/(x)=0` का विशेष हल ज्ञात कीजिए। दिया है y=0 जब x=1 |
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Answer» यहाँ, दी गई समीकरण इस प्रकार लिख सकते है - `(dy)/(dx)=(y)/(x)-cosec""(y)/(x)=f((y)/(x))" "......(1)` जोकि समाघातीय है। यदि `y=vximplies(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` तब समीकरण (1) से `v+x(dv)/(dx)=v-cosecvimpliesx(dv)/(dx)=-cosecv` चर पृथक करने पर, `-sinvdv=(1)/(x)dx` समाकलन करने पर `int(-sinv)dv=int(1)/(x)dx` `cosv=log(x)+c` `cos""(y)/(x)=log(x)+c` x=1 व y = 0 रखने पर, c=1 अतः `cos""(y)/(x)log(x)+1` |
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| 124. |
हल कीजिए : `(dy)/(dx) = (x^(2) + 5xy + 4y^(2))/(x^(2))` |
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Answer» `(dy)/(dx) = (x^(2) + 5xy + 4y^(2))/(x^(2))" "…(i)` यह एक समघाती अवकल समीकरण है, अतः यदि `y = vx" "…(ii)` `(dy)/(dx) = v + x (dv)/(dx)` समीकरण, (i) से, `" " v + x (dv)/(dx) = (x^(2) + 5vx^(2) + 4v^(2)x^(2))/(x^(2))` `" " = 1 + 5v + 4v^(2)` `x(dv)/(dx) = 1 + 4v + 4v^(2) = (2v + 1)^(2)` या `" " (dv)/((2v + 1)^(2)) = (dx)/(x)` दोनों पक्षों में समाकलन करने पर, `f""(dv)/((2v + 1)^(2)) = f""(dx)/(x) + c` `(1)/(2""(2v+1)) = log x + c ` समीकरण (ii) से, `(1)/(2(2(y)/(x)+1))=logx+c` `(-x)/(2(x+2y))=log x + c` |
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| 125. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=(x^(2)-y^(2))/(xy)` को हल कीजिए। |
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Answer» `(dy)/(dx)=(x^(2)-y^(2))/(xy)" ….(1)"` यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना y = vx समीकरण (1) में रखने पर `v+x(dv)/(dx)=(x^(2)-v^(2)x^(2))/(x^(2)v)=(1-v^(2))/(v)` `implies x(dv)/(dx)=(1-v^(2))/(v)-v=(1-2v^(2))/(v)` `implies (v)/(1-2v^(2))dv=(dx)/(x)` `implies int(v)/(1-2v^(2))dv=int(dx)/(x)` माना `1-2v^(2)=t` `therefore -4v=(dt)/(dv)` `implies int(dt)/(-4t) =int(dx)/(x)=vdv=(dt)/(-4)` `implies-(1)/(4)logt+logc=logx` `implies logc=logx+log^(t//4)` `implies c=x.t^(1//4)` `impliesc^(4)=x^(4).t=x^(4).(1-2v^(2))` `=x^(4)(1-(2y^(2))/(x^(2)))impliesc_(1)=x^(2)(x^(2)-2y^(2))` |
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| 126. |
अवकल समीकरण `(x + y)dy + (x-y)dx = 0` को हल कीजिए | |
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Answer» `because " " (x+y) dy + (x -y) dx = 0` `(x+y) dy = (y-x) dx` `(dy)/(dx) = (y-x)/(x+Y)` यह एक समघाती अवकल समीकरण है | यदि `y = vx,` तब `" " (dy)/(dx) = v + x (dv)/(dx)` `therefore " " v +x (dv)/(dx) = (vx -x)/(x+vx)` `x(dv)/(dx) = (v-1)/(v+1) -v` `= (v-1-v^(2)-v)/(v+1) = (-(v^(2) + 1))/(v+1)` `therefore " " (v+1)/(v^(2) + 1) dv + (edv)/(x) =0` दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, `f""(v)/(v^(2)+1)dv+f""(1)/(v^(2)+1)dv+f""(dv)/(x) =c` `rArr (1)/(2)f""(2v)/(v^(2)+1)dv+f""(dv)/(v^(2)+1)+f""(dx)/(x) =c` `rArr (1)/(2)log(v^(2)+1)+tan^(-1) + logx =c` ` rArr (1)/(2)log (v^(2) + 1) + log x + tan^(-1)v =c ` `rArr (log(v^(2)+1)+21logx)/(2) + tan^(-1) v =c ` `rArr (log(v^(2) + 1) + log x ^(2))/(2) + tan^(-1) v =c ` `rArr (1)/(2) log (v^(2) + 1)x^(2) + tan^(-1) v =c ` `rArr (1)/(2) log(y^(2) + x^(2)) + tan^(-1)""(y)/(x) =c`. |
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| 127. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=-(x+ycosx)/(1+sinx)` का विशेष हल ज्ञात कीजिए। दिया है- जब x=0, y=1 |
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Answer» दी गई अवकल समीकरण है - `(dy)/(dx)=-(x+ycosx)/(1+sinx)` यह इस प्रकार लिखी जा सकती है - `(dy)/(dx)+(cosx)/(1+sinx)y=(-x)/(1+sinx)` यह `(dy)/(dx)+Py=Q` प्रकार की रेखीय अवकल समीकरण है। जहाँ `P=(cosx)/(1+sinx)" तथा "Q=(-x)/(1+sinx)` अब `I.F.=e^(int(dt)/(t))=e^(log|t|)` `1+sinx=timpliescosxdx=dt` रखने पर- `I.F.=e^(int(dt)/(t))=e^(log|t|)` `implies|t|=1+sinx" "[t=1+sinx` रखने पर] अतः अभीष्ट हल - `yxxI.F.=intQxxI.F.dx+c` `:.yxx(1+sinx)=int(-x)/(1+sinx)xx(1+sinx)+c` `impliesy(1+sinx)=int-xdx+c` `impliesy(1+sinx)=(-x^(2))/(2)+c" "......(1)` दिया है - y=1 जब x=0 `:.1(1+sin0)=(-0)/(2)+cimpliesc=1+0=1` समीकरण (1) में c = 1 रखने पर `y(1+sinx)=-(x^(2))/(2)+1` अतः दी गई अवकल समीकरण का विशेष हल `y(1+sinx)=-(x^(2))/(2)+1` है। |
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| 128. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx) - y/x + " cosec "y/x=0` को हल करें यदि यह दिया हैं की `y=0` जब `x=1`. |
| Answer» `cos(y/x) = 1+log|x|` | |
| 129. |
अवकल समीकरण `x(dy)/(dx)=y-xcos^(2).(y)/(x)` को हल कीजिए। |
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Answer» `x(dy)/(dx)=y-xcos^(2).(y)/(x)` `implies (dy)/(dx)=(y)/(x)-cos^(2).(y)/(x)" ....(1)"` यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना `y=v x` `implies (dy)/(dx)=v+x.(dv)/(dx)` समीकरण (1) में रखने पर `v+x(dv)/(dx)=v-cos^(2)v` `implies x(dv)/(dx)=-cos^(2)vimpliessec^(2)v dv=-(dx)/(x)` `impliesintsec^(2)vdv=-int(dx)/(x)impliestanv=-logx+c` `impliestan.(y)/(x)+logx=c` |
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| 130. |
दर्शाइए कि अवकल समीकरण `(dy)/(dx)+(y^(2)+y+1)/(x^(2)+x+1)=0` का व्यापक हल `(x+y+1)=A(1-x-y-2xy)` है, जिसमे A एक प्राचल है। |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण `(dy)/(dx)+(y^(2)+y+1)/(x^(2)+x+1)=0` `implies (dy)/(y^(2)+y+1)+(dx)/(x^(2)+x+1)=0` समाकलन करने पर, `int(dy)/(y^(2)+y+1)+int(dx)/(x^(2)+x+1)=C` `implies int(dy)/(y^(2)+y+1+((1)/(2))^(2)-((1)/(2))^(2)) +int(dx)/(x^(2)+x+1+((1)/(2))^(2)-((1)/(2))^(2))=C` `implies int(dy)/((y+(1)/(2))^(2)+(1-(1)/(4)))+int(dx)/((x+(1)/(2))^(2)+(1-(1)/(4)))=C` `implies int(dy)/((y+(1)/(2))^(2)+(sqrt(3)/(2))^(2))+int(dx)/((x+(1)/(2))^(2)+(sqrt(3)/(2))^(2))=C` `implies (2)/(sqrt(3))tan^(-1)((y+(1)/(2))/(sqrt(3)/(2)))+(2)/(sqrt(3))tan^(-1)((x+(1)/(2))/(sqrt(3)/(2)))=C` `implies tan^(-1)((2y+1)/(sqrt(3)))+tan^(-1)((2x+1)/(sqrt(3)))=(sqrt(3)C)/(2)=K` (माना) `implies tan^(-1)[((2y+1)/(sqrt(3))+(2x+1)/(sqrt(3)))/(1-((2y+1)/(sqrt(3)))((2x+1)/(sqrt(3))))]=k` `impliestan^(-1)[((2y+1+2x+1)/(sqrt(3)))/(1-((4xy+2x+2y+1)/(3)))]=k` `implies (2sqrt(3)(x+y+1))/(3-(4xy+2x+2y+1))=tank` `implies (2sqrt(3)(x+y+1))/(2(1-x-y-2xy))=tank` `implies x+y+1=(1)/(sqrt(3))tank(1-x-y-2xy)` मान लीजिए `A=(1)/(sqrt(3))tank` जोकि स्वेच्छ अचर है। `implies x+y+1=A(1-x-y-2xy)` |
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| 131. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x (dy)/(dx)=y- xcos ^(2) ((y)/(x))` |
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Answer» Correct Answer - `tan ((y)/(x))=log |(C)/(x)|` |
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| 132. |
दर्शाइए कि अवकल समीकरण `(x-y) (d)/(dx) = x+ 2y` समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए | |
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Answer» `because" " (x-y)""(dy)/(dx) = x + 2y` `therefore " " (dy)/(dx) = (x+2y)/(x-y)` अतः यह एक समघाती अवकल समीकरण है | मान लीजिए `" " y = vx` `(dy)/(dx) = v + x(dv)/(dx)` `therefore " " v+x(dv)/(dx) = (x+2vx)/(x-vx) = (1+2v)/(1-v)` `x""(dv)/(dx) = (1+2v)/(1-v) -v = (1+2v - v + v^(2))/(1-v)` ` = (v^(2) + v + 1)/(1-v)` `(v-1)/(v^(2) + v + 1) dv = (dx)/(x)` `(1)/(2) f""(2(v-1))/(v^(2) + v +1)dv = -f""(dx)/(x)` `rArr " " (1)/(2) f""(2v + 1-3)/(v^(2) + v+ 1)dv = -log |x|+c` `rArr (1)/(2)f""(2v+1)/(v^(2) + v + 1)dv = (3)/(2) f""(1)/(v^(2) + v + 1) dv = -log |x| + c` `rArr (1)/(2)log|v^(2)+v+1|-(3)/(2)f""(1)/((v+(1)/(2))^(2)+((sqrt(3))/(2))^(2))dv=-log|x|+c` ` rArr (1)/(2) log |v^(2) + v +1 | = (3)/(2) xx (2)/(sqrt(3)) tan^(-1) ((2v +1 )/(sqrt(3))) = -log |x|+c` `rArr (1)/(2) log |v^(2) + v + 1| +log |x| = sqrt(3) tan ^(-1) ((2v +1)/(sqrt(3))) +c` अब `v = (y)/(x)` रखने पर, `(1)/(2)log|(y^(2))/(x^(2))+(y)/(x)+1|+(1)/(2)logx^(2) = sqrt(3)tan^(-1)""(((2y)/(x)+1)/(sqrt(3)))+c` `rArr (1)/(2)log|((y^(2))/(x^(2))+(y)/(x)+1)x^(2)|=sqrt(3)tan^(-1)((2y+3)/(sqrt(3)x))+c` `rArr log|y^(2)+xy+x^(2)|=2sqrt(3)tan^(-1)((2y+x)/(sqrt(3)))+2c_(1)` `rArr log|y^(2)+xy+x^(2)|=2sqrt(3)tan^(-1)((2y+x)/(sqrt(3)))+2c` (जहाँ `2C_(1) = C`) |
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| 133. |
दिखाइए कि अवकल समीकरण `2y.e^(x//y)dx+(y-2x.e^(x//y))dy=0` समघातीय है। इसका विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए जबकि x = 0 पर y = 1 है। |
| Answer» Correct Answer - `2e^(x//y)+logy=2` | |
| 134. |
`2ye^(x//y)dx+(y-2xe^(x//y))dy=0` को हल कीजिए। दिया है, y=1 जब x=0 |
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Answer» दी गयी अवकल समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है - `(dx)/(dy)=(2xe^(x//y)-y)/(2ye^(x//y))=(""^(2.(x)/(y).e^(x//y)-1))/(2e^(x//y))" ".....(1)` समीकरण (1) में x =vy अर्थात `(dx)/(dy)=v+y(dv)/(dy)` रखने पर `v+y(dv)/(dy)=(2ve^(v)-1)/(2e^(v))` `impliesy(dv)/(dy)=(2ve^(v)-1)/(2e^(v))-v=(-1)/(2e^(v))` चरो को पृथक करने पर `2e^(v).dv=-(dy)/(y)` दोनों ओर का समाकलन करने पर `int2e^(v)dv=-int(dy)/(y)` `implies2e^(2)=-log|y|+c` पुनः `x=(x)/(y)` रखने पर `2e^(x//y)+log|y|=c" "......(2)` प्रश्नानुसार `x=0impliesy=1` इसलिए `2e^(0)+log1=cimplies2.1+0=c` `impliesc=2` ltbrc का यह मान समीकरण (2) में रखने पर `2e^(x//y)+log|y|=2` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 135. |
हल करें: `2ye^(x//y) dx + (y-2xe^(x//y))dy =0`, यदि `y=1` जब `x=0` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `2ye^(x//y) dx + (y-2xe^(x//y))dy=0` या, `(dx)/(dy) =(2xe^(x/y)-y)/(2ye^(x//y)) = (2.(x/y)e^(x/y)-1)/(2e^(x/y))`............(1) स्पष्तः (1) एक समघातीय अवकल समीकरण है| `x=vy` रखें, तो `(dx)/(dy)=v+y(dv)/(dy)` x तथा `(dx)/(dy)` का मान (1) एक समघातीय समीकरण है| x तथा `(dx)/(dy)` का मान (1) में रखने पर हमें मिलता है, `v+y(dv)(dy) =(2ve^(y)-1)/(2e^(v))` `rArr y(dv)/(dx) = (2ve^(v)-1)/(2e^(v)) - v=-1/(2e^(v)) rArr 2e^(v)dv = -(dy)/y` `rArr int 2e^(v)dv = -int (dv)/y rArr 2e^(v) = -log|y|+C`...........(2) `rArr 2e^(x/y) + log|y|=C` प्रशन से, जब `x=0, y=1` `therefore (2)` से, `2e^(0) + log1 =C rArr 2.1 + 0 = C rArr C=2` (2) में C के इस मान को रखने पर हमें मिलता है, `2e^(x/y) + log|y| =2`, यही अभीष्ट हल है| |
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| 136. |
दर्शाइए कि वक्रो को कुल, जिनके किसी बिंदु `(x,y)` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `(x^(2) + y^(2))/(2xy)` है, `x^(2) - y^(2) = cx` द्वारा प्रदत्त |
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Answer» `because` वक्र की किसी बिंदु `(x.y)` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, `m = (dy)/(dx)` `therefore " " (dy)/(dx) = (x^(2) + y^(2))/(2xy) = (1+((y)/(x))^(2))/((2y)/(x))` अतः यह एक समघाती समीकरण है | अब माना `y = vx` हो, तब `" " (dy)/(dx) - v + x ""(dv)/(dx)` `v + x ""(dv)/(dx) = (1+v^(2))/(2v)` या ` " " x(dv)/(dx) = (1+v^(2))/(2v) - v= (1-v^(2))/(2v)` या `" " (2v)/(1-v^(2))dv = (dx)/(x)` या `" " f""(2v)/(v^(2) -1) dv = -f""(dx)/(x)` `log |v^(2) -1| = -log |x| + log|c_(1)|` `log |v^(2) -1| + log|x| = log |c_(1)|` `rArr " " log |(v^(2) -1)x| = log c_(1)` `rArr " " (v^(2)-1) x = pm c_(1)` अब `v = (y)/(x)` रखने पर, `((y^(2))/(x^(2)) -1) x = pm c_(1)` `((y^(2) - x^(2))/(x^(2))) x = pm c_(1)` ` (y^(2) -x^(2)) = pm c_(1)x` या `" " x^(2) -y^(2) = cx.` (जहाँ `c_(1)x = cx`) |
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| 137. |
दर्शाइए कि अवकल समीकरण `xcos""((y)/(x))(dy)/(dx) = y cos ""((y)/(x))+x` सम घातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए | |
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Answer» `because " " x cos ((y)/(x)) (dy)/(dx) = y cos ((y)/(x)) + x ` `therefore " " (dy)/(dx) = (ycos""((y)/(x))+x)/(x cos""((y)/(x)))` अतः यह एक सम घाती समीकरण है | अब माना `y = vx` हो, तब `(dy)/(dx) = v + x (Dv)/(dx)` `v + x (dv)/(dx) = ( vx cos v + x)/(x cos v) = (v cos v + 1)/(cos v)` `cos v dv = (dx)/(x)` `rArr " " f cos v dv = log |x| + log |c|` `sin v = log |cx|` अब `v = (y)/(x)` रखने पर, ` sin ""((y)/(x)) = log |cx|`. |
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| 138. |
अवकल समीकरण ` ( x ^ 2 + xy ) dy = ( x ^2 + y^ 2 ) dx ` का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए | यदि ` y = 0 ` जब ` x =1 ` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है - ` ( x ^ 2 xy )dy = ( x ^ 2 + y^ 2 ) dx ` ` rArr ( d y ) / ( dx ) = ( x^ 2 + y^ 2 ) /( x^ 2 + xy ) ` यह एक समघात का अवतल समीकरण है | माना ` y = vx ` तब ` (dy ) / ( dx ) = v + ( dv ) / (dx ) ` समी. (1 ) और (2 ) से, ` v + x (dv ) / (dx ) = ( x ^ 2 + v^ 2 x ^ 2 ) / ( x^ 2 + vx ^ 2 ) ` ` rArr v + x ( dv ) / ( dx ) = ( 1 + v^ 2 ) / ( 1 + v ) ` ` rArr x ( dv ) / (dx ) = ( 1 + v ^ 2 / ( 1 + v ) - v ` ` rArr x ( dv ) / ( dx ) = ( 1 + v ^ 2 - v - v ^ 2 ) /( 1 + v ) ` ` rArr x ( dv ) / (dx ) = ( 1 - v ) / ( 1 + v ) ` ` rArr ( 1 + v ) / ( 1 - v ) dv = ( dx ) / ( x ) " " ` ( चरों को पृथक्क़रण से ) समाकलन करने पर ` int ( 1 + v ) / ( 1 - v ) dv = int ( dx ) / (x ) ` ` rArr int ( - 1 + ( 2 ) / ( 1- v) ) dv = int (dx ) /( x ) , " " ` [भाग कलन से ] ` rArr int - 1 dv + 2 int ( 1 ) / ( 1 - v ) dv = int (dx ) / ( x ) ` ` rArr - v - 2 log | 1 - v | = log |x| + log C ` ` rArr log|x| + log | 1 - v | ^ 2 + log C = - v ` ` rArr log |C|x| ( 1 - v ) ^2 | = - v` ` rArr C |x| ( 1 - v ) ^ 2 = - v ` ` rArr C |x| ( 1 - ( y ) / ( x ) ) ^ 2 = e ^( -y// x ) , [ because y = vx rArr v = ( y ) / ( x ) ] ` ` rArr C |x| ( ( x - y ) ^ 2 ) / ( x ^ 2 ) = e^( - y // x ) ` ` rArr C|x| (( x - y ) ^ 2 ) /( |x|^ 2 ) = e ^( - y// x ) ` ` rArr C ( x - y ) ^ 2 = |x| e ^( - y// x ) " " `.... (3 ) दिया है : ` y = 0 ` जब ` x = 1 ` उपरोक्त प्रतिबंध को समी. (3 )) में रखने पर, ` C ( 1- 0 ) ^ 2 = e ^ 0 rArr C = 1 ` समी. (3 ) में ` C= 1 ` में रखने पर, ` ( x- y ) ^ 2 = |x| e ^( - y//x ) ` |
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| 139. |
दर्शाइये कि अवकल समीकरण `2ye ^(x//y)dx+(y-2 xe ^(x//y))dy =0` समघातीय है और यदि x = 0 जब y=1दिया हुआ हो तो इस समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए. |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `2ye ^(x//y) dx+(y-2e^(x//y)) dy=0` ` implies2 ye ^(x//y) dx=- (y-2xe^(e//y))dy` `implies(dx)/(dy) =(2xe^(x//y)-y)/(2y ^(x//y))" "...(1)` माना `F(x,y) =(2x ^(x//y)-y)/(2 ye^(x//y))` x को `lamdax ` और y को `lamday ` से प्रतिस्थापित करने पर, `F(lamdax, lamday) =(2 lamdaxe ^(lamdax//lamday)-lamday)/(2 lamdaye ^(lamdax//lamday))` `implies F(lamdax, lamday) =(lamda(2xe^(x//y)-y))/(lamda(ye^(x//y))` `implies F (lamdax, lamday) =lamda^(0) F(x,y)` अतः `F(x,y)` शून्य घात वाला समघातीय फलन है . इसलिये दिया गया समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है. माना `y=vx` तब `(dy)/(dx)=v+x(dy)/(dx) " "...(2)` समी (1 ) और (2 ) से, `v+y(dv)/(dy)=(2vye^(vy//y)-y)/(2ye^(vy//y))` `implies v+y(dv)/(dx) =((2ve^(v)-1)y)/(2ye^(v))` `impliesy(dv)/(dy)=(2 ve^(v)-1)/(2e^(v))` `impliesy(dv)/(dy) =(2ve^(v)-1-2ve^(x))/(2e^(v))` `impliesy(dv)/(dx)=(-1)/(2e^(x))` `implies 2e^(v) dv = -(dy)/(y),` (चरो के पृथककरण से) समाकलन करने पर, `2int e^(v)dv =- int (dy)/(y)` `implies2e^(v)=-log |y| +C` `implies 2e^(v)+log |y| =C` `implies2 e^(x//y)+log |y| =C, [because x= vy implies v=(x)/(y)]" "...(3)` दिया है: `y =1 ` यदि `x =0 ` सामी (3 ) में `x =0 ` और `y =1 ` रखने पर, `2e^(0)+log 1=C impliesC=2` समी (2 ) में `C =2 ` रखने पर, `2e ^(x//y)+log |y|=2.` |
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| 140. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx) = -4xy^(2)` का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिये यदि दिया हैं की `y=1` जब `x=0` |
| Answer» Correct Answer - `y=1/(2x^(2)+1)` | |
| 141. |
दर्शाइए कि अवकल समीकरण `2ye^((x)/(y))dx+(y-2xe^((x)/(y)))dy = 0` समघातीय है और यदि x = 0 जब `y = 1` दिया हुआ है तो इस समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए | |
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Answer» `because " " 2ye^((x)/(y))dx+(y-2xe^((x)/(y)))dy = 0` या `" " 2ye^((x)/(y))dx-(2xe^((x)/(y))-y)dy = 0` या `" " 2ye ((x)/(d))dx = (2xe ^((x)/(y)) - y) dy` या `" " (dx)/(dy) = (2xe^((x)/(y))-y)/(2ye^((x)/(y)))` अतः यह एक समाघाती अवकल समीकरण है | अब माना x = vy हो, तब `" " (dx)/(dy) = v + y(dv)/(dy)` `therefore " " v +y (dv)/(dy) = (2vye^(v) - y)/(2ye^(v)) = (2ve^(v) -1)/(2e^(v))` `" " y""(dv)/(dy) = (2ve^(v) -1)/(2e^(v)) -v = (1)/(2e^(v))` या `" " 2e^(v) dv = (dy)/(y)` या `" " 2fe^(v)dv = -f""(dy)/(y)` `rArr " " 2e^(v) = -log |y| + c` अब `v = (x)/(y)` रखने पर, `2e^((x)/(y)) + log |y| =c ` अब `x = 0` और `y = 1` रखने पर, `2e^(0) + log 1 = c` `c= 2` अतः `" " 2e^((x)/(y)) + log|y| = 2.` |
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| 142. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx) =-4xy^(2)` का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए यदि `y =1 ,` जब `x =0 ` हो . |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `(dy)/(dx)=-4xy ^(2)` `implies (dy)/(y^(2))=-4 xdy` समाकलन करने पर, `int (dy)/(y^(2))=-int 4xdy` `implies -(1)/(y)=-4 (x^(2))/(2)+c` `implies-1/y =-4 (x^(2))/(2)+c` `impliesy=(1)/(-2 x^(2)+c)" "...(1)` अब समीकरण (1 ) में `y =1 ` और `x =0 ` रखने पर, `1=(1)/(2xx0=c)` या `c=-1` अब समी (1 ) में `c =-1 ` रखने पर, `y=(1)/(2x^(2)+1)` जो कि विशिष्ट हल है . |
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| 143. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=1+x+y+xy` का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, यदि `y =0 ,` जब `x =1 ` |
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Answer» यहाँ `(dy)/(dx) =1+ x+y +xy` `implies(dy)/(dx) =(1+x)+y(1+x)` `implies(dy)/(dx) =(1+x) (1+y)` `implies (dy)/(1+y)=(1+x) dx` समाकलन करने पर, `int (dy)/(1+y) =int (1+x) dx` `implieslog |1+y|=x+(x^(2))/(2)+c" "...(1)` समी (1 ) में `x =1 ` व `y =0 ` रखने पर, `log |1+0| =1+1/2 +c` `implies3/2 +c=0` या `c=-3/2.` समी (1 )में c का मान रखने पर, `log |1+y|=x+(x^(2))/(2)-3/2` |
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| 144. |
बिन्दु `(0 ,1 )` से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, यदि इस वक्र के किसी बिन्दु `(c ,y )` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु के x -निर्देशांक (भुज) तथा x -निर्देशांक और y -निर्देशांक (कोटि) के गुणनफल के योग के बराबर होता है . |
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Answer» हम जानते है कि वक्र कि स्पर्श रेखा कि प्रवणता `(dy)/(dx) ` होता है प्रश्नानुसार, `(dy)/(dx) =x+xy` `implies(dy)/(dx) - xy = x" "...(1)` जो कि y के रैखिक अवकल समीकरण है . समी (1 ) की तुलना `(dy)/(dx) + Py =Q` से करने पर, `P=-x`और `Q=x.` `thereforeI.F.=e^(intpdx)=e^(int(-x)dx)=e ^((x^(2))/(2))" "...(2)` अतः अभीष्ट हल है- `y.e ^(-x^(2)//2)=intx.e^(-x^(2)//2)dx+C` `impliesy.e ^(-x^(2)//2)= - int e^(t)dt +C,` `[therefore "माना" (-x^(2))/(2)=timplies dx=-dt]` `impliesy.e ^(-x^(2)//2)= -e^(t) +C` `impliesy.e ^(-x^(2)//2)=-e^(-x^(2)//2)+C` `impliesy =-1 +Ce^(x^(2)//2)" "...(3)` यह वक्र बिन्दु `(0 ,1 )` से होकर जाती है . अतः समीकरण में `x =0 ` और `y =1 ` रखने पर `therefore1=-1+Ce^(0) impliesC=2` समी (3 ) में `C =2 ` रखने पर, `y=-1 +2e^(x^(2)//2).` |
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| 145. |
बिन्दु (0, 2) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु के निर्देशांकों का योग उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है। |
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Answer» माना वक्र पर कोई चार बिन्दु (x, y) है। प्रश्नानुसार, `(dy)/(dx)=x+y-5` `implies (dy)/(dx)-y=x-5` यहाँ, P = - 1, Q = x - 5 `therefore I.F. = e^(int-1dx)=e^(-x)` पर व्यापक हल : `ye^(-x)=int(x-5)e^(-x)dx+c` `=-(x-5)e^(-x)+int1.e^(-x)dx+c` `=-(x-5)e^(-x)-e^(-x)+c` `implies y=4-x+c.e^(x)` यह वक्र (0, 2) से होकर जाता है। `2=4-0+c implies c=-2` `therefore y = 4 - x - 2e^(x)` implies `y + x + 2e^(x)=4` |
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| 146. |
मूल-बिन्दु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु के निर्देशांकों के योग के बराबर है। |
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Answer» माना चर बिन्दु (x, y) है। प्रश्नानुसार, `(dy)/(dx)=x+yimplies(dy)/(dx)-y=x` यहाँ, `P=-1, Q=x` `therefore I.F.=e^(int-1dx)=e^(-x)` और व्यापक हल : `y(e^(-x))=intxe^(-x)dx+c` `impliesye^(-x)=-xe^(-x)-int1(-e^(-x))dx+c` `=-xe^(-x)-e^(-x)+c` `implies y=-x-1+ce^(x)` यह वक्र (0, 0) से होकर जाता है। `therefore 0=0-1+cimpliesc=1` `therefore` वक्र `y=-x-1+e^(x)` `implies x+y+1=e^(x)` |
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| 147. |
मुलबिन्दु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु `(x ,y )` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु के निर्देशकों के योग के बराबर है . |
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Answer» हम जानते है कि वक्र कि स्पर्श रेखा कि प्रवणता `(dy)/(dx)` होती है . प्रश्नानुसार, `(dy)/(dx) =x +y` `implies(dy)/(dx) -y=x" "...(1)` यह y में रैखिक अवकल समीकरण है. `P =-1` और `Q=x.` `therefore I. F. =e ^(int (-1)dx)= e^(-x)` अतः अभीष्ट हल है- `y.e ^(-x) =int x.e^(-x)dx` `impliesy.e ^(-x)=x.(-e^(-x))-int 1. (-e^(-x))dx+C` `impliesy.e^(-x)=-xe^(-x)-e^(-x) +C` `implies ye^(-x) =-e^(-0)(x+1) +C" "...(2)` चूँकि वक्र मुलबिन्दु `(0 ,0 )` से जाता है. अतः समी (2 ) में `x =0 ` और `y =0 ` रखने पर, `0=-e^(-0)(0+1)+Cimplies C=1` समी (2 ) में `C =1 ` रखने पर, `ye ^(-x)=-e^(-x)(x+1)+1.` |
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| 148. |
पानी में 100 ग्राम चीनी को डेक्सट्रोज (Dextrose) में बदलने की दर अपरिवर्तित मात्रा की समानुपाती है। सयम t पर परिवर्तन की दर को अवकल समीकरण द्वारा व्यक्त कीजिये। |
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Answer» माना सयम t पर m ग्राम चीनी डेक्सट्रोज में बदल जाती है। अतः शेष बची चीनी की मात्रा =(100-m) ग्राम चीनी की डेक्सट्रोज में बदलने की दर `=(dm)/(dt)` प्रश्नानुसार, यह परिवर्तन की दर शेष बची चीनी की मात्रा की समानुपाती होती है अर्थात `(dm)/(dt)prop(100-m)" "......(1)` `implies(dm)/(dt)=k(100-m)` जबकि k कोई स्थिरांक है। अतः समीकरण (1) अभीष्ट अवकल समीकरण है। |
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| 149. |
मुलबिन्दु ` (0 ,2 )` से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए . यदि इस वक्र के किसी बिन्दु के निर्देशाकों का योग, उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है. |
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Answer» वक्र के बिन्दु `(x ,y )` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `(dy )/(dx )` होती है . `(dy)/(dx)+5 =x+y` `implies(dy)/(dx) -y =x-5" "...(1)` जो कि y में रैखिक अवकल समीकरण है. समी (1 ) की तुलना `(dy)/(dx) +Py=Q` से करने पर `P=-1 ` और `Q=x-5.` `therefore I. F. =e ^(intPdx)= e^(int(-1)dx)=e^(-x)` अतः अभीष्ट व्यापक हल है- `y.e ^(-x)int (x underset(I)(-)5). underset(II)(e^(-x))dx+C` `impliesy.e^(-x)=(x-5). (-e^(-x))-int1.(-e^(-x))dx+C` `implies y.e ^(-x)=(5-x). (-e ^(-x))-int 1. (-e ^(-x))dx+C` `implies y= (5 -x-1) +Ce^(x)` `impliesy=(4-x)+ Ce^(x)" "...(2)` चूँकि वक्र बिन्दु `(0 ,2 )` से जाती है इसलिए समी (2 ) में `x =0 ` और `y =2 ` रखने पर, `2=4 +Ce^(0) implies4+ C=2 impliesC=-2.` समी (2 ) में, `C =-2 ` रखने पर, `y=(4-x)-2e^(x).` |
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| 150. |
जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है . 2 घंटो में इनकी संख्या में `10%` की वृद्धि होती है . कितने घंटो में जीवाणुओं में संख्या 2,00,000 हो जाएगी, यदि जीवाणुओं की वृद्धि की दर उनके उपस्थित संख्या के समानुपाती है . |
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Answer» माना t घण्टे में बैक्टीरिया की संख्या x है, तब `(dx)/(dt)propx` `implies(dx)/(dt) =kx,` जहाँ k अचर है . `implies(dx)/(x) =kdt` समाकलन करने पर, `int (dx)/(x)=int kdt` `implieslog x= kt +C" "...(1)` `t =0 ` के लिये `x =100000 ,` तब `log 100000=0+ C impliesC =log 1000000" "....(2)` `t=2` के लिये `x=100000+(10)/(1000)xx100000=110000.` `thereforelog 110000=2k +C` `implieslog 110000=2k +log 1000000, [समी (2 ) में] `implies2k =log 110000-log 100000 `implies2k =log ""(110000)/(100000)` `implies k =1/2 log (1.1)` अब समी, (1 ) में k और C का मान रखने पर, `log x= 1/2 log (1.1)t=log 100000` जब `x=200000,` तब `log 200000=1/2log (1.1) t +log100000` `implieslog ""(200000)/(100000)=1/2 log (1.1) t` `implies 2 log 2 = log (1.1)t` `impliest=(2log 2)/(log (1.1))` घण्टे अतः अभीष्ट समय `(2 log 2)/(log(1.1)) घण्टे है. |
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