InterviewSolution
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| 151. |
किसी गाँव की जनसँख्या की वृद्धि दर किसी भी समय उन गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है. यदि सन 1999 में गाँव की जनसँख्या `20 ,000 ` थी और सन 2004 में `25 , 000 ` थी, तो ज्ञात कीजिए की सन 2009 में गाँव की जनसँख्या क्या होगी ? |
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Answer» माना किसी समय t पर गाँव की जनसँख्या y है . तब प्रश्नानुसार, `implies (dy)/(dx)propy` `implies(dy)/(dt) =ky, ` जहाँ k अचर है. `implies(dy)/(dx) =kdt. ` समाकलन करने पर, `int (dy)/(y)=int kdt` `implies log y= kt +C` 1999 में `t =0 ` और `y =20 ,000 ` `therefore log 20,000 =kxx 0+C impliesC= log 20,000` `therefore log y= kt +log 20,000` `implieslog y -log 20,000 =kt` `implieskt =log ((y)/(20,000))` `implieskt =1/t log ""((y)/(20,000))" "...(1)` 2004 में `t=5` और `y=25,000.` `k =1/5 log ((25,000)/(20,000))=1/5 log ((5)/(4))" "...(2)` समी (1 ) और (2 ) से, `1/t log"" (y)/(20,000) =1/5 log ((5)/(4))` `implieslog ""(y)/(20,000)=t/5 log ((5)/(4))` 2009 में `t =10 ` `therefore log ""(y)/(20,000) =log ((5)/(4))^(2)` `implies(y)/(20,000)=(25)/(16)` `implies y=20,000xx(25)/(16)=31,250` अतः 2009 में जनसँख्या `31 , 250 ` होगी. |
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| 152. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `(dy)/(dx)=(2xy)/(x^(2)-y)` |
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Answer» Correct Answer - `y=c(x^(2)+y^(2))` `(dy)/(dx)=(2xy)/(x^(2)-y^(2))` माना `y=vximplies(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` तब `(1-v^(2))/(v^(3)+v)dv=(1)/(x)dx` अब समाकलन कीजिए। |
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| 153. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `x(x-y)dy+y^(2)dx=0` |
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Answer» Correct Answer - `y=ce^(y//x)` `(dy)/(dx)=(-y^(2))/(x(x-y))` माना `y=vximplies(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` व चर पृथक करने पर तब `(1-v)/(v)dv=-(1)/(x)dx` अब समाकलन कीजिए। |
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| 154. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `(x^(3)+3xy^(2))dx+(y^(3)+3x^(2)y)dy=0` |
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Answer» Correct Answer - `y^(4)+6x^(2)y^(2)+x^(4)=c` `(dy)/(dx)=-((x^(3)+3xy^(2)))/(y^(3)+3x^(2)y)implies(v^(3)+3v)/(v^(4)+6v^(2)+1).dv=-(1)/(x)dx` जब y=vx |
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| 155. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `(x-y)(dy)/(dx)=x+2y` |
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Answer» Correct Answer - `log|x^(2)+xy+y^(2)|=2sqrt3tan^(-1)((x+2y)/(sqrt(3).x))+c` उपरोक्त की भाँति हल करने पर `((1-v)/(1+v^(2)+v))dv=(dy)/(x)implies{((-1)/(2)(2v+1)+(3)/(2))/(v^(2)+v+1)}dv=(dx)/(x)` `=int(-(1)/(2)(2v+1))/(v^(2)+v+1).dv+(3)/(2)int(dv)/((v+(1)/(2))+((sqrt3)/(2)))=int(dx)/(x)` |
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| 156. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `ye^(x//y)dx=(xe^(x//y)+y)dy` |
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Answer» Correct Answer - `e^(x//y)=logcy` `(dy)/(dx)=(ye^(x//y))/(xe^(x//y)+y)implies(dx)/(dy)=(xe^(x//y)+y)/(ye^(x//y))` माना x = vy `implies(dx)/(dy)=v+y(dv)/(dy)` |
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| 157. |
अवकल समीकरण `ye^((x)/(y))dx=(xe^((x)/(y))+y^(2)) dy (y ne 0)` का हल ज्ञात कीजिए| |
| Answer» Correct Answer - `e^(x/y)=y+C` | |
| 158. |
`ye^(x//y) dx = (xe^(x//y) + y^(2))dy` |
| Answer» Correct Answer - `e^(x//y) =y+C` | |
| 159. |
अवकल समीकरण `ye^((x)/(y))dx=(xe^((x)/(y))+y^(2))dy(yne0)` का हल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण `ye^((x)/(y))dx=(xe^((x)/(y))+y^(2))dy` है| `implies e^((x)/(y))(dx)/(dy)=(x)/(y)e^((x)/(y))+y` `implies e^((x)/(y))(dx)/(dy)-(x)/(y)e^((x)/(y))=y" ....(1)"` मान लीजिए `(x)/(y)=vimpliesx=vyimplies(dx)/(dy)=v+y(dv)/(dx)` समीकरण (1) से, `e^(v)(v+y(dv)/(dy))-ve^(v)=y` `implies e^(v)y(dv)/(dy)=yimpliese^(v)(dv)/(dy)=1impliese^(v)dv=dy` समाकलन करने पर, `inte^(v)dv=int1dyimpliese^(v)=y+Cimplies e^((x)/(y))=y+C` |
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| 160. |
हल कीजिए- `(dy)/(dx)+(y)/(x)=e^(x),xgt0` |
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Answer» दिया है - `(dy)/(dx)+(y)/(x)=e^(x)" ".......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `=P=(1)/(x),Q=e^(x)` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(int(1)/(x)dx)=e^(logx)=x` `:.` समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ(I.F.)dx+c` `impliesy.x=inte^(x).xdx+c=e^(x)(x-1)+c` यही दी गयी समीकरण का हल अभीष्ट हल है। |
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| 161. |
`(dy)/(dx)+2y=xe^(4x)` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `(dy)/(dx)+2y=xe^(4x)" "…….(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=2,Q=xe^(4x)` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(int2dx)=e^(2x)` `:.` समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ(I.F.)dx+c` `impliesy.e^(2x)=intxe^(4x).e^(2x)dx+c` `=intxe^(6x)dx+c=x(e^(6x))/(6)-(e^(6x))/(36)+c` `impliesy=(1)/(6)xe^(4x)-(1)/(36)e^(4x)+ce^(-2x)` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 162. |
हल कीजिए - `(dy)/(dx)+ycotx=x^(2)cotx+2x," जब "y((pi)/(2))=0` |
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Answer» दिया है - `(dy)/(dx)+ycotx=x^(2)cotx+2x" ".......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=cotx,Q=x^(2)cotx+2x` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(intcotxdx)=e^(logsinx)=sinx` `:.` समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ(I.F.)dx+c` `impliesy.sinx=int(x^(2)cotx+2x)sinxdx+c` `=int(x^(2)cotxsinx+2xsinx)dx+c` `=int(x^(2)cosxdx+2xsinx)dx+c` `=intd(x^(2)xsinx)dx+c` `=x^(2)sins+c" ".......(2)` `impliesy=x^(2)+c""cosecx` दिया है - y=0 जब `x=(pi)/(2)` इसलिए समीकरण (2) से `c=-(pi^(2))/(4)` c c का यह मान समीकरण (2) में रखने पर `y=x^(2)-(pi^(2))/(4)cosecx` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 163. |
`cos((dy)/(dx))=a(a inR),y=1` यदि x = 0 |
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Answer» दिया है, `cos((dy)/(dx))=aimplies(dy)/(dx)= cos^(-1)a` `implies dy=( cos^(-1)a)dx` `implies intdy=cos^(-1)a int dx` `implies y=cos^(-1)a(x)+C" ....(1)"` y = 1 तथा x = 0 तो `1 = cos^(-1)(a)xx0+CimpliesC=1` समीकरण (1) में C = 1 रखने पर, `y=x cos^(-1)a+1implies(y-1)/(x)=cos^(-1)a` `implies cos((y-1)/(x))=a` जोकि अभीष्ट विशिष्ट हल है। |
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| 164. |
`(dy)/(dx)=2x^(2)+x,y=1` यदि x=0 |
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Answer» दिया है, `(x^(3)+x^(2)+x+1)(dy)/(dx)=2x^(2)+x` `implies dy=(2x^(2)+x)/((x^(3)+x^(2)+x+1))dx` `implies int dy = int(2x^(2)+x)/(x^(2)(x+1)+1(x+1))dx` `= int dy = int (2x^(2)+x)/((x+1)(x^(2)+1))dx` `implies y=int(2x^(2)+x)/((x+1)(x^(2)+1))dx" ....(1)"` माना `(2x^(2)+x)/((x+1)(x^(2)+1))=(A)/((x+1))+(Bx+C)/((x^(2)+1))" ....(2)"` `implies (2x^(2)+x)/((x+1)(x^(2)+1))=(A(x^(2)+1)+(Bx+C)(x+1))/((x+1)(x^(2)+1))` `implies 2x^(2)+x=Ax^(2)+A+Bx^(2)+Bx+Cx+C` `.^(____)2x^(2)+x=x^(2)(A+B)+x(B+C)+(A+C)` दोनों और अचर पद, x तथा `x^(2)` के गुणांकों की तुलना करने पर, `A+B=2,B+C=1` तथा `A+C=0` समीकरणों को हल करने पर, `A=(1)/(2), B=(3)/(2)` तथा `C=-(1)/(2)` A, B तथा C के मान समीकरण (2) में रखने पर, `(2x^(2)+x)/((x+1)(x^(2)+1))=(1)/(2(x+1))+((3)/(2)x-(1)/(2))/(x^(2)+1)` `=int(2x^(2)+x)/((x^(2)+1)(x+1))dx` `=(1)/(2)int(1)/((x+1))dx+int((3)/(2)x-(1)/(2))/((x^(2)+1))dx` तब, समीकरण (1) से, `y=(1)/(2)log|x+1|+(3)/(2)int(x)/((x^(2)+1))dx-(1)/(2)int(1)/((x^(2)+1))dx` `implies y=(1)/(2)log|x+1|+(3)/(2)int(x)/((x^(2)+1))dx-(1)/(2)tan^(-1)x` माना `x^(2)+1=timplies2x=(dt)/(dx)impliesdx=(dt)/(2x)` `therefore y=(1)/(2)log|x+1|+(3)/(2)int(x)/(t)(dt)/(2x)-(1)/(2)tan^(-1)x` `implies y=(1)/(2)log|x+1|+(3)/(4)int(1)/(t)dt-(1)/(2)tan^(-1)x` `implies y=(1)/(2)log|x+1|+(3)/(4)log|t|-(1)/(2)tan^(-1)x+C` `implies y=(1)/(2)log|x+1|+(3)/(4)log|x^(2)+1|-(1)/(2)tan^(-1)x+C` `impliesy=(1)/(4)[2log|x+1|+3log|x^(2)+1|]-(1)/(2)tan^(-1)x+C` `impliesy=(1)/(4)[log{(x+1)^(2)(x^(2)+1)^(3)}]-(1)/(2)tan^(-1)x+C" ....(3)"` जब x = 0, तब y = 1 समीकरण (3) में रखने पर, `1=(1)/(4)log(1)-(1)/(2)tan^(-1)(0)+C` `implies1=(1)/(4)xx0-(1)/(2)xx0+CimpliesC=1` C = 1, समीकरण (3) में रखने पर, `y=(1)/(4)[log{(x+1)^(2)(x^(2)+1)^(3)}]-(1)/(2)tan^(-1)x+1` जोकि अभीष्ट व्यापक हल है। |
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| 165. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)=y tan x,y =1` जब `x=0` |
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Answer» Correct Answer - `y=sec x` |
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| 166. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(x+xy) dx+(x-xy ^(2))dy=0` |
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Answer» Correct Answer - `log x+x+ log y- 1/2 y^(2)=C` |
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| 167. |
निम्न अवकल समीकरणों की कोटि तथा घात लिखिये`(d^(2)y)/(dx^(2))+1=0` |
| Answer» Correct Answer - कोटि = 2, घात = 1 | |
| 168. |
`((d^(2)y)/(dx^(2)))^(2)+cos((dy)/(dx))=0` |
| Answer» कोटि = 2, कोटि घात परिभाषित नहीं है। | |
| 169. |
निम्न अवकल समीकरणों की कोटि तथा घात लिखिये`(dy)/(dx)-cosx=0` |
| Answer» Correct Answer - कोटि = 1, घात = 1 | |
| 170. |
निम्न अवकल समीकरणों की कोटि तथा घात लिखिये`xy.(d^(2)y)/(dx^(2))+x((dy)/(dx))^(2)-y(dy)/(dx)=2` |
| Answer» Correct Answer - कोटि = 2, घात = 1 | |
| 171. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x (dy)/(dx) +y= x cos x+sin x, y((pi)/(2))=1.` |
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Answer» Correct Answer - `y=sin x.` |
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| 172. |
समीकरणों की कोटि तथा घात लिखिये`xy (d^(2)y)/(dx^(2)) + x((dy)/(dx))^(2) -y(dy)/(dx)=0` |
| Answer» Correct Answer - कोटि =2 , घात =1 | |
| 173. |
निम्नलिखित समीकरणों में से किस समीकरण का एक विसिष्ट हल `y =x ` है -A. `(d^(2)y)/(dx^(2))-x^(2)(dy)/(dx)+xy =x`B. `(d^(2)y)/(dx^(2))+ (dy)/(dt) +xy =x`C. `(d^(2)y)/(dx^(2))-x^(2)(dy)/(dx) +xy=0`D. `(d^(2)y)/(dx^(2))+(dy)/(dx)+xy=0` |
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Answer» Correct Answer - C |
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| 174. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(dy)/(dx)+y=e^(-2x)` |
| Answer» Correct Answer - `ye^(x)=-e^(-x)+c` | |
| 175. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(dy)/(dx)+y=sinx` |
| Answer» Correct Answer - `y=ce^(-x)+(1)/(2)(sinx-cosx)` | |
| 176. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `x cos x ""(dy)/(dx)+y(x sin x+ cos x )=1` |
| Answer» Correct Answer - `yxsecx=tan+c` | |
| 177. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(1+x^(2))(dy)/(dx)-xy=x` |
| Answer» Correct Answer - `y=-1+(c)/(sqrt(1-x^(2)))` | |
| 178. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `(x^(2)-y^(2))dx+2xydy=0,y(1)=1` |
| Answer» Correct Answer - `x^(2)+y^(2)=2x` | |
| 179. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `x(dy)/(dx)-y=xtan""(y)/(x)` |
| Answer» Correct Answer - `|sin""(y)/(x)|=c|x|` | |
| 180. |
`(dy)/(dx) -ytan x = e^(x) secx ` |
| Answer» `y cos x = e^(x) +C` | |
| 181. |
`sec^(2)xtan y dx+sec^(2)ytan xdy=0` |
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Answer» `sec^(2)xtan y dx+sec^(2)ytan xdy=0` `implies (sec^(2)x)/(tan x)dx+(sec^(2)y)/(tany)dy=0` `implies int (sec^(2)x)/(tanx)dx+int(sec^(2)y)/(tan y)dy=c_(1)` `implies int(1)/(t)dt+int(1)/(z)dz=c_(1)` implies log t + log z = log c implies t.z = c implies tan x. tan y = c माना tan x = t `implies sec^(2)x dx = dt` और tan y = z `implies sec^(2)y dy = dz` (जहाँ `c_(1)=logc`) |
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| 182. |
हल कीजिए- `((e^-2sqrtx)/(sqrtx)-(y)/(sqrtx))(dx)/(dy) =1.` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `((e^-2sqrtx)/(sqrtx)-(y)/(sqrtx))(dx)/(dy) =1.` `implies(dy)/(dx)=(e^(-2 sqrtx))/(sqrtx)-(y)/(sqrtx)` `implies(dy)/(dx)+(y)/(sqrtx)=(e^(-2sqrtx))/(sqrtx)" "...(1)` जो कि y में रैखिक अवकल समीकरण है . `P=(1)/(sqrtx)` और `Q=(e^(-2sqrtx))/(sqrtx)` `therefore I. F. =e^(intPdx)=e^(int(1)/(sqrtx)dx)=e ^(2 sqrt3)` अतः अभीष्ट हल है- `y. e ^(2sqrtx) =int ((e^(-2sqrtx))/(sqrtx)xxe ^(-sqrtx))dx+C` `impliesy.e^(2sqrtx)=int (1)/(sqrtx)dx+C` `impliesy.e ^(2sqrtx) =2sqrtx+C` `impliesy= (2sqrtx+C)e ^(-2 sqrtx).` |
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| 183. |
हल कीजिए- `(1+y^(2))dx =(tan ^(-1) y-x )dy, y(0) =0.` |
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Answer» दिया हुआ अवकल समीकरण है- `(1+y^(2))dx= (tan ^(-1)y-x) dy` `implies(dx)/(dy) =(tan ^(-1)y-x)/(1+y^(2))` `implies(dy)/(dx)=(tan ^(-1)y)/(1+y^(2))-(x)/(1+y^(2))` `implies (dx)/(dy) +(1)/(1+y^(2))x=(tan ^(-1)y)/(1+y^(2))" "...(1)` यह x में रैखिक अवकल समीकरण है. समी (1 ) की तुलना `(dx)/(dy) +Px=Q` से करने पर , `P=(1)/(1+y^(2))` और `Q=(tan ^(-1))/(1+y^(2))` `therefore I. F. =e ^(intPdy )=e ^(int(1)/(I+y^(2))dy)=e^(tan ^(-1)y)` अतः अभीष्ट व्यापक हल है- `x xx (I. F. ) = int (Q xx I. F. )dy +C` `implies xe ^(tan ^(-1)y)=int ((tan ^(-1)y)/(1+y^(2))xx e ^(tan ^(-1)y))dy+C` `implies xe ^(tan ^(-1)y) =intunderset(I)(t) underset(II)(e^(t)) dt +C,` `["माना" tan ^(-1)y=t implies(1)/(1+y^(2))dy=dt]` `impliesxe ^(tan^(-1)y) =te^(t) -e^(t)+C` `impliesxe ^(tan ^(-1)y) =tan ^(-1)ye^(tan ^(-1)y)-e^(tan ^(-1)y)+C" "...(2)` समी (2 ) से, `x =0 ` और `y =0 ` रखने पर, `0=0-e^(0)+Cimplies C=1.` समी (2 ) `C=1` रखने पर, `xe ^(tan ^(-1)y) =tan ^(-1y)-e ^(tan ^(-1)y)+1` `implies(x-tan ^(-1)y+1)e^(tan^(-1)y)=1.` |
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| 184. |
हल कीजिए- `(2x- 10y^(3)) (dy)/(dx) +y=0.` |
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Answer» दिया हुआ अवकल समीकरण है- `(2x-10y^(3))(dy)/(dx) +y=0` `implies(dx)/(dy) +(2x- 10y^(3))/(y)=0` `implies (dx)/(dy)+2/y x-10 y^(2) =0` `implies (dx)/(dy) + 2/y x=10y^(2)" "...(1)` जो कि x में रैखिक अवकल समीकरण है . समी (1 ) कि तुलना `(dx)/(dy) +Px=Q` से करने पर, `P=2/y` और `Q=10y^(2)` `therefore I. F. =e^(intPdy) =e ^(int(2)/(y)dy)= e ^(2 log |y|)=e ^(log y^(3))=y^(2)` अतः अभीष्ट हल है- `x xx (I. F.) =int Q xx(I.F.) dy +C` `impliesx. y^(2) =int (10y^(2)xxy^(2))dy+C` `impliesxy^(2)=10inty^(4)dy+C` `impliesxy^(2) =10(y^(5))/(5)+C` `impliesxy^(2) =2y^(2)+C` `implies x=2y^(2) +Cy^(-2).` |
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| 185. |
`(dy)/(dx) + sin(dy)/(dx)=0` |
| Answer» कोटि =1 , घात अपरिभाषित है | |
| 186. |
`(dy)/(dx) +y = e^(x)` |
| Answer» `y=1/2 e^(x) +Ce^(-x)` | |
| 187. |
सत्यापित करें की `y=Ax+B/x` अवकल समीकरण `x^(2) (d^(2)y)/(dx)-y=0` का हल है| |
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Answer» दिया है, `y=Ax + B/x`......(1) `rArr (dy)/(dx) =A-B/x^(2)`.............(2) `rArr (d^(2)y)/(dx^(2)) = (2B)/(x^(3))`...(3) (1) (2) तथा (3) से प्राप्त y, `((dy)/(dx))` तथा `(d^(2)y)/(dx^(2))` का मान रखने पर हमें मिलता है, `x^(2)(d^(2)y)/(dx^(2)) +x(dy)/(dx) -y =x^(2). (2B)/x^(3) +x(A-B/x^(2))-(Ax+B/x)` = `(2B)/x + Ax - B/x - Ax - B/x=0` इस प्रकार `y=Ax + B/x, x^(2) (d^(2)y)(dx^(2)) -y=0` को संतुष्ट करता है| अतः `y=Ax + B/x` अवकल समीकरण `x^(2) (d^(2)y)/(dx^(2)) + x(dy)/(dx)-y=0` का एक हल है| |
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| 188. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `(x+y)(dy)/(dx)=1` |
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Answer» Correct Answer - `x+y+1=ce^(y)` `(dx)/(dy)+Px=Q,P=-1,Q=y,I.F.=e^(intPdy)=e^(-y)` |
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| 189. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `tany.(dy)/(dx)+tanx=cosycos^(2)x` |
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Answer» Correct Answer - `secxsecy=sinx+c` `secytany(dy)/(dx)+tanxsecy=cos^(2)x` यदि `secy=timpliessecytany(dy)/(dx)=(dt)/(dx)` |
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| 190. |
हल कीजिए- `(e^(x)+e^(-x))dy- (e^(x)-e^(-x)) dx=0.` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `(e^(x)+e^(-x))dy-(e^(x)-e^(-x))dx=0` `implies(e^(x)+e^(-x))dy= (e^(x)-e^(-x))dx` `impliesdy =(e^(x)-e^(-x))/(e^(x)+ e^(-x)),` समाकलन करने पर, `intdy =int (e^(x)-e^(-x))/(e^(x)+e^(-x))dx` ` impliesint dy = int(dy)/(t),` [माना `e^(x)+ e^(-x)=t implies (e^(x)-e ^(-x))dx=dt]` `impliesy =log|t|+C` `impliesy=log |e^(x)+e^(-x)|+C` |
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| 191. |
हल कीजिए- `(dy)/(dx)=e^(x-y)+x^(2)e^(-y).` |
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Answer» यहाँ `(dy)/(dx) =e ^(x-y)+x^(2)e^(-y)` `implies(dy)/(dx) =e^(-y) (e^(x) +x^(2))` `implies(dy)/(dx) =(d^(x)+x^(2))/(e^(y))` `implies e^(y) dy= (e^(x) +x^(2))dx` समाकलन करने पर, `int e^(y)dy=int(e^(x)+x^(2))dx` `impliese^(y)=e^(x) +(x^(3))/(3)+c.` |
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| 192. |
अवकल समीकरणों में प्रत्येक की कोटि एव घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए . रैखिक व अरैखिक में वर्गीकरण कीजिए `((dy)/(dx))^(4)+3y((d^(2)y)/(dx^(2)))=0.` |
| Answer» दिए गये अवकल समीकरण में उच्चतम अवकलक गुणांक `(d^(2)y)/(dx^(2))` की घात 1 है इसलिए अवकल समीकरण की कोटि 2 और घात 1 है . यह रैखिक अवकल समीकरण है क्योकि `(dy)/(dx)` की घात 4 | | |
| 193. |
समीकरण `y=e^(cx)` से सम्बंधित अवकल समीकरण कि रचना कीजिए . |
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Answer» दिया गया पुर्व्रत है- `y=e^(cx)" "...(1)` समीकरण (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `(dy)/(dx) =ce ^(cx)` समी (1 ) में मान रखने पर, `(dy)/(dx)=xy" "...(2)` अब पुनः समी (1 ) से, `y=ce^(cx)impliescx =log y impliesc=1/x log y` समी (2 ) में मान रखने पर, `(dy)/(dx)= y log y.y` `impliesx(dy)/(dx) =y log y.` यही अभीष्ट अवकल समीकरण | |
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| 194. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें| `x(dy)/(dx)-ay =x +1` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `x(dy)/(dx) -ay =x+1` या, `(dy)/(dx) -a/x y = (x+1)/x` यह `(dy)/(dx) +Py =Q` के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ, `P=-a/x` तथा `Q=(x+1)/x` अब, `I.F. = e^(int Pdx) = e^(int -a/x) dx = e^(-a log x^(-a)) =x^(-a)` `therefore` दिए गए अवकल समीकरण का हल होगा, `x^(-a).y = int(x+1)/x . x^(-a) dx + c = int(x+1)/(x^(a)+1)dx +c` `= int[x^(-a) +x^(-a+1)]dx +c =(x^(-a+1))/(-a+1) +x^(-a)/-a+c` अब, `y = x/(1-a) -1/a + cx^(a)` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 195. |
`x(dy)/(dx)-ay=x+1` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `x(dy)/(dx)-ay=x+1` `implies(dy)/(dx)-(a)/(x).y=(x+1)/(x)" ".......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=-(a)/(x),Q=(x+1)/(x)` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(-int(a)/(x)dx)=e^(-alogx)` `=e^(logx^(-a))=x^(-a)` `:.` समीकरण का हल `impliesy.e^(intPdx)=int(Qe^(intPdx))dx+c` `=y.x^(-a)=int(x+1)/(x).x^(-a).dx+c=int(x+1)/(x^(a+1))dx+c` `=int[x^(-a)+x^(-(a+1))]dx+c` `=(x^(-a+1))/(-a+1)+(x^(-a))/(-a)+c` `impliesy=(x)/(1-a)-(1)/(a)+cx^(a)` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 196. |
`(dy)/(dx)+2tanx.y=sinx` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `(dy)/(dx)+2tanx.y=sinx" "......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=2tanx,Q=sinx` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(int2tanxdx)=e^(2logsecx)` `=e^(logsec^(2)x)=sec^(2)x` `:.` समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ(I.F.)dx+c` `impliesy.sec^(2)x=intsinx.sec^(2)xdx+c` `=intsecxtanxdx+c=secx+c` `y=(secx)/(sec^(2)x)+(c)/(sec^(2)x)=cosx+c""cos^(2)x` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 197. |
हल कीजिए- `x(dy)/(dx)+y=x^(3)` जबकि x=2 पर y=1 |
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Answer» दिया है - `x(dy)/(dx)+y=x^(3)` `implies(dy)/(dx)+(y)/(x)=x^(2)" ".......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=(1)/(x),Q=x^(2)` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(int(1)/(x)dx)=e^(logx)=x` `:.` समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ(I.F.)dx+c` `impliesy.x=intx^(2).xdx+c=intx^(3)dx+c` `impliesyx=(x^(4))/(4)+c" ".......(2)` दिया है - जब x =2, y=1 यह मान समीकरण (2) में रखने पर c=-2 c का यह मान समीकरण (2) में रखने पर `xy=(x^(4))/(4)-2` `impliesy=(x^(3))/(4)-2x^(-1)` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 198. |
`x^(2).(dy)/(dx)=2xy+y^(2)` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है : `x^(2).(dy)/(dx)=2xy+y^(2)` `implies(dy)/(dx)=(2xy+y^(2))/(x^(2))" "......(1)` जोकि एक समाघात अवकल समीकरण है। समीकरण (1) में y = vx अर्थात `(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` रखने पर `v+x(dy)/(dx)=(2x.vx+(vx)^(2))/(x^(2))=2v+v^(2)` `impliesx(dy)/(dx)=v+v^(2)=v(1+v)` चरो को पृथक करने पर `(dv)/(v(1+v))=(dx)/(x)` दोनों ओर का समाकलन करने पर `impliesint[(1)/(v)-(1)/(1+v)]dv=int(dx)/(x)` `log|v|-log|1+v|=log|x|+logc_(1)` `implies|(v)/(1+v)|=c_(1)|x|` पुनः `v=(y)/(x)` रखने पर, `(y)/(x+y)=+-c_(1)x=cx" "(c=+-c_(1))` `impliesy=cx(x+y)` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 199. |
`(x+2y^(3))(dy)/(dx)=y` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है- `(x+2y^(3))(dy)/(dx)=yimpliesy(dy)/(dx)=x+2y^(3)` `implies(dx)/(dy)-(x)/(y)=2y^(2)" ".......(1)` जोकि `(dx)/(dy)+Px=Q` प्रकार का रैखिक समीकरण है जहाँ `P=-(1)/(y),Q=2y^(2)` अब `I.F.=e^(intPdy)=e^(int(1)/(y)dy)=e^(-logy)=e^(log""(1)/(y))=(1)/(y)` `:.` समीकरण का हल `x.(I.F.)=intQ(I.F.)dy+c` `impliesx.(1)/(y)=int2y^(2).(1)/(y)dy+c=int2ydy+c=y^(2)+c` `:.x=y^(3)+cy` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 200. |
`(1+x^(2))(dy)/(dx)-2xy=(x^(2)+2)(x^(2)+1)` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है - `(1+x^(2))(dy)/(dx)-2xy=(x^(2)+2)(x^(2)+1)` `implies(dy)/(dx)-(2x)/((1+x^(2)))y=((x^(2)+1)(x^(2)+2))/((x^(2)+1))=x^(2)+2" "......(1)` समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर `P=(-2x)/(1+x^(2)),Q=x^(2)+2` अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(-int(2x)/(1+x^(2)))=e^(-log(1+x^(2)))` `=e^(log((1)/(1+x^(2))))=(1)/(1+x^(2))` `:.` समीकरण का हल `y.(I.F.)=intQ(I.F.)dx+c` , `impliesy.(1)/(1+x^(2))=int(x^(2)+2)(1)/(x^(2)+1)dx+c` `=int(1+(1)/(1+x^(2)))dx+c` `=intdx+int(1)/(1+x^(2))dx+c` `=x+tan^(-1)x+c` `impliesy=x(1+x^(2))+(1+x^(2))tan^(-1)x+c(1+x^(2))` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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