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दिया है, f : R → R, यदि f (x) = x⁴ 

(i) f(-1) = (-1)⁴ = 1, f(1) = 1⁴ = 1 

f(-1) = f(1)

∴ -1 और 1 का प्रतिबिम्ब 1 है। इसलिए f एकैकी नहीं है।

(ii) सहप्रान्त का अवयव -1 प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। इसलिए f आच्छादक नहीं है। अत: f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

अत: विकल्प (d) सही है।

दिया है, A ={1, 2, 3}, 

B = {4, 5, 6, 7} 

f : A → B इस प्रकार है कि f = { (1, 4 ), ( 2, 5 ), ( 3, 6 ) } A के प्रत्येक अवयव का अलग-अलग प्रतिबिम्ब है। इसलिए f एकैकी है।

दिया है, A = {1, 2, 3, 4}

तथा R = { (1, 2), (2, 2), (1, 1), 4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2) } 

1. R स्वतुल्य है, क्योकि (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R 

2. R सममित नहीं है, क्योंकि (1,2) ∈ R परन्तु (2,1) ∉ R 

3. R संक्रामक है, क्योंकि (1, 3) ∈ R,(3, 2) ∈ R = (1, 2) ∈ R 

अत: 

1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य तथा संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है। 

अत: 

विकल्प (B) सही है।

यहाँ f : R → R, जबकि f ( 3 ) = [x] 

(a) f (-1) = |- 1| = 1, f(1) = |1| = 1 

-1 और 1 का एक ही प्रतिबिम्ब है। 

अत: 

प्रान्त के दो भिन्न-भिन्न अवयवों -1 और 1 का परिसर R में एक ही f – प्रतिबिम्ब 1 है। 

∵ प्रतिबिम्ब समान है। इसलिए f एकैकी नहीं है। 

(b) सहप्रान्त की कोई भी ऋणात्मक संख्या प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। 

∴ f आच्छादक नहीं है। 

अत: f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

दिया है, L किसी X Y- तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय है। तथा R = { (L₁, L₂) : L₁ समान्तर है L₂ के } 

(i) 1. R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक रेखा अपने आप के समान्तर है। 

2. R सममित है, यदि L₁ रेखा, L₂ के समान्तर है तो L₂ रेखा, L₁ के भी समान्तर होगी। 

3. R संक्रामक है, यदि L₁, L₂ और L₂, L₃ समान्तर रेखाएँ हैं तो L₁और L₃ भी समान्तरे रेखाएँ होंगी। 

अतः 

1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। 

अतः 

R एक तुल्यता सम्बन्ध है। इति सिद्धम् 

(ii) माना y = 2x + c, जबकि c का मान कुछ भी हो सकता है। 

अतः y = 2x + 4 से सम्बन्धित रेखाओं का समुच्चय y = 2x + c है।

दिया है, A = {1, 2, 3, 4, 5} तथा R = { (a, b) : |a – b| एक सम संख्या } = { (1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5)}

समुच्चय {1, 3, 5} में |1 -3|, |1 -5|,|3 -5| सभी सम संख्याएँ हैं। सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं। समुच्चय {2, 4} में |2 -4| एक सम संख्या है। 

अतः 

इसमें अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं। परन्तु {1, 3, 5}, {2, 4} के अवयव आपस में सम्बन्धित नहीं हैं|1 -2|, |3 -4|, |3 -5|| सम संख्याएँ नहीं हैं।

दिया है, A समस्त बहुभुजों का समुच्चय है। तथा R = { (p₁, p₂) : p₁, p₂, की भुजाओं की संख्या बराबर है। 

(i) 1. R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक बहुभुज की भुजाओं की संख्या स्वयं के समान होती है। 

2. R सममित है, यदि बहुभुज p₁, p₂, की भुजाएँ n है तो बहुभुज p₂ और p₁,की भुजाएँ भी n ही होंगी। 

3. R संक्रामक है, यदि बहुभुज p₁, p₂ औरp₂, p₃ प्रत्येक की n भुजाएँ है तो p₁ और p₃ की भुजाएँ भी n ही होंगी। 

अतः

1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं। 

अतः

R एक तुल्यता सम्बन्ध है। 

(ii) सभी त्रिभुजों का समुच्चय त्रिभुज T से सम्बन्धित है।

6 = 8 – 2, तथा 8 > 6 

∴ (6, 8) ∈ R 

अत: विकल्प (c) सही है।

दिया है, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} तथा R = { a, b ) : b = a + 1} 

1. a. R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि a, a + 1 के बराबर नहीं हो सकता। 

माना 4 = 1, 1, (1 + 1) = 2 के बराबर नहीं हो सकता। 

b. R सममित नहीं है, क्योंकि b = a + 1 

तब a ≠ b + 1 यदि b = 1 + 1 = 2, 1 ≠ 2 + 1 

1. R संक्रामक नहीं है, क्योंकि b = a + 1, c = b + 1 

तो c ≠ a + 1 यदि b = 1 + 1 = 2 तथा c = 2 + 1 = 3 तो 3 ≠ 1 + 1 

अत: 

1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।

दिया है, A = {x ∈ z : 0 ≤ x ≤ 12} = {0, 1, 2, 3, 4, ….., 12} 

(i) R = { (a, b) :|a – b|, 4 का एक गुणज है } ,

 = { (1, 5), (1, 9), (2, 6), (2, 10), (3, 7), 3, 11),(4, 8) (4, 12), (5, 9), (6, 10), (7, 11), (8, 12),(0, 4), (0, 8), (0, 12), (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), …, (12, 12)} 

1. R स्वतुल्य है, यदि a – b = 4k ⇒ k = 0 

2. R सममित है, यदि | a – b| = | b – a| = 4k 

3. R संक्रामक है, यदि a – b, 4 का गुणज है तथा b – c, 4 का गुणज है। तो a – b + b – c = |a – c| भी 4 का एक गुणज होगा। 

अत: 

1, 2 व 3 से स्पष्ट है कि R, स्वतुल्य, सममित तथा स्वतुल्य है। 

अत: 

R एक तुल्यता सम्बन्ध है। 

1 से सम्बन्धित अवयव = {1, 5, 9} 

(ii) R = { (a, b) : a = b} 

∴ R = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3),…. (12, 12) } 

1. 4 = 1 = (a, a) = R 

∴R स्वतुल्य है। 

2. R सममित है, यदि 4 = b = b = d

3. R संक्रामक है, यदि 1 = b, b = c ⇒ a = c अर्थात a, b, c तीनों बराबर हैं। 

अत: 

1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। 

अंतः 

R एक तुल्यता सम्बन्ध है। 

1 से सम्बन्धित अवयव = { 1 }

दिया है, A = {1, 2, 3} तथा R = { (1, 2), (2, 1) } 

1. R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∉ R 

2. R सममित है, क्योंकि (1, 2) ∈ R और (2, 1) ∈ R 

3. R संक्रामक नहीं है, क्योंकि R में केवल 2 ही अवयव हैं, जबकि संक्रामक होने के लिए तीन अवयव का होना आवश्यक हैं। 

अत: 

1, 2 व 3 से स्पष्ट है कि R न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक है परन्तु R सममित है।

माना A = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और R = { (a, b) : a ≤ b²} 

1. R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि ,1/2 ,1/4 से कम नहीं है। 

2. R सममित नहीं है, क्योंकि a ≤ b² तो b, a² से कम या बराबर नहीं है, जैसे -2 < 5² परन्तु 5, 2² से कम नहीं है। 

3. R संक्रामक नहीं है, माना a = 2, b = -2 और c = -1 तब 2 < (-2)², -2 < (-1)² परन्तु 2, (-1)² से कम नहीं है। 

अत: 

1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।

माना A = किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों का समुच्चय 

(a) R = { (x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं } 

R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक व्यक्ति उस नगर में उस विशेष समय पर कार्यरत है। R सममित है, क्योंकि x , y एक ही स्थान पर एक समय पर कार्यरत हैं तो y, x भी उसी स्थान पर उस समय कार्यरत हैं। R संक्रामक है, क्योंकि x, y तथा y, z एक नगर में एक ही समय पर कार्यरत हैं तो उस नगर में उसी समय x, z भी कार्यरत हैं। 

अतः 

स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। 

(b) R = { (x , y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं } 

R स्वतुल्य है, क्योंकि उस स्थान का प्रत्येक व्यक्ति वहीं पर रहता है। R सममित है, क्योकि x और y एक स्थान पर रहते हैं तथा उसी स्थान पर y और x भी रहते हैं। R संक्रामक है, क्योंकि x , y तथा y, z एक स्थान पर रहते हैं तब x , z भी उसी स्थान पर रहते हैं। 

अतः 

स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। 

(c) R = { (x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है। 

R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई भी व्यक्ति अपने आप से 7 सेमी अधिक लम्बा नहीं हो सकता। R सममित नहीं है, क्योंकि y, x से ठीक 7 सेमी अधिक लम्बा है तब x, y से 7 सेमी लम्बा नहीं हो सकता। R संक्रामक नहीं है, क्योंकि x, y से तथा y, z से ठीक 7 सेमी लम्बे तो x, y से ठीक 7 सेमी अधिक लम्बा नहीं हो सकता। 

अतः 

स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक में से कोई भी नहीं है। 

(d) R = { (x, y) : x, y की पत्नी है} 

R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि x स्वयं अपनी ही पत्नी नहीं हो सकती है। R सममित नहीं है, क्योंकि यदि x, y की पत्नी है तो y, x की पत्नी नहीं हो सकती। R संक्रामक नहीं है, क्योंकि यदि x, y की पत्नी है तो y किसी की भी पत्नी नहीं हो सकती। 

अतः 

स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है। 

(e) R = { (x, y) : x, y के पिता हैं} 

R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि x अपना ही पिता नहीं हो सकता। R सममित नहीं है, क्योंकि यदि x, y का पिता है तो y, x का पिता नहीं हो सकता। R संक्रामक नहीं है, क्योंकि x, y का y, z का पिता है तो x, z का पिता नहीं हो सकता। 

अतः 

स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।

The Slaters wanted to bring the bureau down but did not want the other couple to know about it. So they delayed the opening of the door as at that moment they were in the process of bringing the bureau down.

Value Points : 

The pinching of the bureau reinforces the theme of greed; it exposes Mrs. Slater’s greed, mean nature; to satisfy her greedy nature she steals and lies.

Detailed Answer : 

The pinching of the bureau points towards Mrs. Slater being materialistic. It reinforced the theme of greed by exposing the greedy and mean nature of Mrs. Slater who stole the bureau and then lied to the Jordan’s to satisfy her greedy nature.

Value Points :

Amelia calls her sister Elizabeth heartless and insensitive. She also feels that Elizabeth is selfish and greedy. Henry means both the sisters are similar in nature.

Detailed Answer :

Henry Slater uttered the words. I suppose it’s in the family when Amelia calls her sister Elizabeth heartless and insensitive she also feels that Elizabeth is selfish and greedy. Henry, by saying these words, meant that it is not only Elizabeth but Amelia is also of the same nature. 

Forests are very important to us and their conservation is necessary due to following reasons:

• Forests take CO₂ and give oxygen to us and thus are very much important for our survival.
• Forests are one of the largest sources of carbon.
• Forests provide habitat to complete wildlife. In order to conserve our wildlife we need to conserve forests.
• Deforestation leads to natural calamities like flood, drought, and desertification. In order to avoid these disastrous conditions we need to conserve the forests.
• All forest products are very much valuable to us commercially. For example- wood from the trees is used for making furniture; their products have medicinal uses etc.
• Deforestation will lead to complete unbalancing of the ecosystem as forests are major contributor in maintaining balance of ecosystem.
• Survival of many organisms entirely depends on forests. So, if we won’t conserve them lives of many will get affected.
• Due to above mentioned reasons conservation of forests is quite necessary.

(c) Judiciary is independent because it could have given a verdict against the government order. The Supreme Court did direct the government to modify it.

As per the Constitution all the parties which do not take part in the formation of government are called opposition parties. In our democratic set up the role of the opposition parties is in no way less important than the ruling party. The opposition parties keep a watch over the functioning of the ruling party. They take part in every discussion and debate held in the Assembly. They can check and protest any wrong action of the government.

A government is headed by the Chief Minister. The Chief Minister, in order to manage the functioning of the government, appoints ministers at various levels like cabinet ministers, state ministers and deputy ministers. Every government departments is headed by a cabinet minister who is directly accountable for the functioning of the particular department. The heads of the government departments who are bureaurates, are responsible for the handling of the government decisions. The bureaurates project and get the works completed. The ministers give approval to the works.

A general election is conducted to elect representatives from various constituencies. The party which earns more than half of the total seats is said to be in a majority. That party is usually called for forming the government.Sometimes, no party gains clear majority. In that case the party with maximum elected members tries to get support from the like-minded parties or independent candidates. The party that proves to have maximum supporters in that way is allowed to form government. Otherwise there would be reelection,

The term ‘government’ refers to the government departments and various ministers who head them.

The term MLA stands for a Member of Legislative Assembly. He/She is elected through a general election and represents a particular constituency. It is not necessary for one to be a member of a political party to become a MLA. He/she can contest the election as an independent candidate also. In some cases, he/ she is sponsored by a political party. But one thing is necessary that he/she must be a citizen of India and fulfil the requisite qualifications for the post.

They went to visit the families who had lost their relatives due to the spread of diarrhoea. They also visited people in the hospitals.

(B) dark green

They do so to voice their opinions and protest against the government if any of its actions is not in their favour.

Press conferences are oragnised to discuss various current issues.

(D) dark grey

A wallpaper is an interesting activity through which research can be done on particular topics of interest.

All those quantities which can be measured directly or indirectly and in terms of which the laws of physics can be expressed are called physical quantities.

The standard amount of a physical quantity chosen to measure the physical quantity of the same kind is called a physical unit. 

Measure of a physical quantity= Numerical value of the quantity * size of the unit = nu 

Relationship between the numerical value and the size of the unit. The numerical value (n) of a physical quantity is inversely proportional to the size of the unit. 

 n α₁/ u or nu=constant or n₁u₁ = n₂u₂ 

(c) The Programming language is informal.

This minimum energy required by an electron to escape from the metal surface is called the work function of the metal. 

It is generally denoted by f₀ and measured in eV (electron volt). 

Free electrons (negatively charged particles) in metals are responsible for their conductivity. However, the free electrons cannot normally escape out of the metal surface. If an electron attempts to come out of the metal, the metal surface acquires a positive charge and pulls the electron back to the metal. The free electron is thus held inside the metal surface by the attractive forces of the ions. Consequently, the electron can come out of the metal surface only if it has got sufficient energy to overcome the attractive pull. A certain minimum amount of energy is required to be given to an electron to pull it out from the surface of the metal. This minimum energy required by an electron to escape from the metal surface is called the work function of the metal. It is generally denoted by f₀ and measured in eV (electron volt). 

One electron volt is the energy gained by an electron when it has been accelerated by a potential difference of 1 volt, so that 1 eV = 1.602 ×10^–19 J. 

The minimum energy required for the electron emission from the metal surface can be supplied to the free electrons by any one of the following physical processes: 

(i) Thermionic emission: By suitably heating, sufficient thermal energy can be imparted to the free electrons to enable them to come out of the metal. 

(ii) Field emission: By applying a very strong electric field (of the order of 10⁸ V m^–1) to a metal, electrons can be pulled out of the metal, as in a spark plug. 

(iii) Photo-electric emission: When light of suitable frequency illuminates a metal surface, electrons are emitted from the metal surface. These photo(light)-generated electrons are called photoelectrons.  

The given function is cot(tan^-1a+cot^-1a).
∴cot(tan^-1a+cot^-1a)=cot(π/2)              [as tan⁻¹x+cot⁻¹x=π/2]

=0

For one-one

Case I : When x₁, x₂ are odd natural number.

∴ f(x1) = f(x₂) ⇒ x₁ + 1 = x₂ + 1 ∀ x₁ , x₂ ∈ N 

⇒ x₁ = x₂ i.e., f is one-one.

Case II : When x₁, x₂ are even natural number 

∴ f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ – 1 = x₂ – 1 

⇒ x₁ = x₂ 

i.e., f is one-one.

Case III : When x₁ is odd and x₂ is even natural number

f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ + 1 = x₂ – 1

⇒ x₂ – x₁ = 2

which is never possible as the difference of odd and even number is always odd number.

Hence in this case f (x₁) ≠ f(x₂)

i.e., f is one-one.

Case IV: When x₁ is even and x₂ is odd natural number

Similar as case III, We can prove f is one-one

For onto:

∴ f(x) = x +1 if x is odd

= x – 1 if x is even

⇒ For every even number ‘y’ of codomain ∃ odd number y - 1 in domain and for every odd number y of codomain ∃ even number y +1 in Domain.

i.e. f is onto function.

Hence f is one-one onto function.

∫(e^x/x)(1 + x log x) dx = ∫e^x((1/x) + log x) dx

= ∫e^x(f(x) + f(x).dx

= e^xf(x) = e^x.log x

∴ ∫(e^x/x)(1 + x log x) dx, for x ∈ [1,e] = [e^x log x], for x ∈ [1,e]

= e^e.log e^e = e log 

= e^e

R = {(x, y): y = x + 5, x is a natural number less than 4, x, y ∈ N}
The natural numbers less than 4 are 1, 2, and 3.
∴ R = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}
The domain of R is the set of all first elements of the ordered pairs in the relation.
∴ Domain of R = {1, 2, 3}
The range of R is the set of all second elements of the ordered pairs in
the relation. ∴ Range of R = {6, 7, 8}

The set of all first elements of the ordered pairs in a relation R from a set A to a set B is called the domain of the relation R.

Given A = {1, 2, 3, 5} and B = {4, 6, 9}

R = {(x, y): the difference between x and y is odd; x ∈ A,y ∈ B}

= {(1,4), (1, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (5,4), (5, 6)}

The set of all second elements in a relation R from a set A to a set B is called the range of the relation R. The whole set B is called the co-domain of the relation R.

Given X = {1, 2, 3} and Y = {a, b} 

∴ X × Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} 

∴ Number of elements from set X to set Y = 6

A function is a relation in which each element of the domain is paired with exactly one element of the range. 

(i). Given, 

R = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5)} 

The above relations is not a function because 4 has two images. 

(ii). Given, 

R = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} 

The above relation is not a function because does not have a unique image. 

(iii). Given, 

{(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 10), (5, 12), (6, 12)} 

The above relation is a function because every elements in the domain has its unique image.

f(x) = (x – 3)² + 1

y = (x – 3)² + 1

⇒ (x – 3)² = y – 1

 ⇒ x = \(\sqrt{y-1} + 3\)

∴ f^-1(x) = \(\sqrt{x-1} + 3\)

Given, f (x) =\(\frac{9}{5}\) x + 32 

∴ f (– 10) =\(\frac{9}{5}\) (– 10) + 32 

= – 18 + 32 

= 14