InterviewSolution
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| 101. |
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है, जिसमे शीर्ष (3,-1,2), (1,-1,-3) और (4,-3,1) पर हैA. `(sqrt165)/(2)` वर्ग इकाईB. `(sqrt135)/(2)` वर्ग इकाईC. 4 वर्ग इकाईD. 2 वर्ग इकाई |
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Answer» Correct Answer - A माना `triangleABC` के शीर्ष A(3,-1,2), B(1,-1,-3) C(4,-3,1) `triangleABC` का क्षेत्रफल `=(1)/(2)|ABxxAC|` `=(1)/(2)|{:(,hati,hatj,hatk),(,1-3,-1+1,-3-2),(,4-3,3+1,1-2):}|` `=(1)/(2)|{:(,hati,hatj,hatk),(,-2,0,5),(,1,-2,-1):}|` `=(1)/(2)|hati(-10)-hatj(7)+hatk(4)|` `=(1)/(2)sqrt(100+49+16)=(1)/(2)sqrt165` वर्ग इकाई |
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| 102. |
यदि a=(1,1,1), c=(0,1,-1) दो सदिश है एव b एक सदिश इस प्रकार है की `a xx b=c` व `a.b.=3` तो b बराबर हैA. `((2)/(3),(2)/(3),(5)/(3))`B. `((2)/(3),(5)/(3),(2)/(3))`C. `(5,2,2)`D. `((5)/(3),(2)/(3),(2)/(3))` |
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Answer» Correct Answer - D माना `a=hati+hatj+hatk` `b=b_(1) hati+b_(2)hatj+b_(3)hatk, c=0hati+hatj-hatk` दिया है `a.b=b_(1)+b_(2)+b_(3)=3` तथा `axxb=(b_(3)-b_(2))hati+1(b_(1)-b_(3))hatj+(b_(2)-b_(1))hatk` अब `axxb=c hati,"" hatj" "व hatk` के गुणको की तुलना करने पर `b_(3)-b_(2)=0 Rightarrow b_(1)-b_(3)=1 b_(2)-b_(1)-1` हल करने पर `b_(1)=(5)/(3),b_(2)=(2)/(3),b_(3)=(2)/(3)` `therefore b=((5)/(2),(2)/(3),(2)/(3))` |
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| 103. |
यदि ABCDEF समपंचभुज हो तो, ` vec AD +vec EB+vec FC` बराबर है-A. ` vec0`B. ` 2vec AB `C. ` 4 vec AB `D. ` 3 vec AB ` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 104. |
एक रेलगाड़ी 30 किमी प्रति घण्टा के वेग से जा रही है। उसमे बैठे हुए एक व्यक्ति को ऊर्ध्वाधर दिशा में 20 किमी प्रति घण्टा के वेग से आ रही वर्षा जल की बूँदे किस दिशा में और किस वेग से गिरती हुई प्रतीत होंगी? |
| Answer» Correct Answer - `10sqrt(3)` किमी/घण्टा, `theta=tan^(-1)((2)/(3))` | |
| 105. |
p का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए `p(hati+hatj+hatk)` इकाई सदिश है। |
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Answer» दिया है कि `p(hati+hatj+hatk)` एक इकाई सदिश है। `implies|p(hati+hatj+hatk)|^(2)=1` `implies (p^(2)+p^(2)+p^(2))=1` `implies 3p^(2)=1` `implies p^(2)=(1)/(3)impliesp=pm(1)/(sqrt(3))` |
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| 106. |
सदिश जिसका आदि बिन्दु (3, -1, 2) तथा अन्तिम बिन्दु `(-5, 4, 3)` है के सदिश अवयव ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `-8hati, 5hatj, hatk` | |
| 107. |
k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए `k(hati+hatj+hatk)` एक इकाई सदिश है। |
| Answer» Correct Answer - `k=pm(1)/(sqrt(3))` | |
| 108. |
किसी सदिश `overset(rightarrow)alpha` के लिए `(overset(rightarrow)alpha.hati)hati+(overset(rightarrow)alpha.hatj)hatj+(overset(rightarrow)alpha.hatk)` किसके बराबर हैA. `overset(vec )(alpha)`B. `overset(rightarrow)(3alpha)`C. `overset(rightarrow)(-alpha)`D. 0 |
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Answer» Correct Answer - A माना `vecalpha=xhati+yhatj+zhatk` तब `(vecalpha.hati)+(vecalpha.hatj)+(vecalpha.hatk)+hatk` `+{(xhati+yhatj+zhatk)}.hatj` `+{(xhati+yhatj+zhatk)hatk}.hatk` `=(x)hati+(y)hatj+(z)hatk=vecalpha` |
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| 109. |
सदिश ` vec (PQ) ` के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदु P और Q क्रमशः (1 ,2 ,3 ) और (4 ,5 ,6 ) है| |
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Answer» दिया है: माना O मूलबिंदु है, तब बिंदुओं P = (1 ,2 , 3 ) और Q =( 4 ,5 ,6 ) के स्थिति सदिश है- ` " " vec (OP) =hati +2hatj +3hatk ` माना `" " vec (OQ) =4hati + 5hatj + 6hatk ` अब ` vec PQ =Q ` का स्थिति सदिश -P का स्थिति सदिश ` rArr " " vec (PQ)= vec (OQ) -vec (OP) ` ` rArr " " vec (PQ) =( 4hati +5hat j + 6hatk ) -( hati +2hatj +3hatk) ` ` rArr " " vec (PQ) =3hati +3hatj +3hatk ` ` rArr " "|vec PQ|=sqrt( (3)^(2) +(3)^(2) +(3)^(2)) =3sqrt3` ` therefore ` सदिश ` vec (PQ) ` के अनुदिश मात्रक सदिश ` " "(PQ) /(| vec( PQ) | )=( 3hati +3hatj +3hatk )/( 3sqrt(3))=(1)/(sqrt( 3) ) (hati +hatj +hatk ) ` |
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| 110. |
निम्नलिखित कथनो पर विचार कीजिएः। I.उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसके विकर्ण 2a-b व 4a-6b है जहाँ व इकाई सदिश है व एक-दूसरे से `45^(@)` का कोण बनाते है वर्ग इकाई होगा। II. सदिशों `hati-3hatj+2hatk` व `-hati+2hatj` से निरूपित विकरणों वले समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल `(2)/(21")` होगा। उपरोक्त कथनो में से कोण-सा/से कथन सही है/है?A. केवल IB. केवल IIC. I और ii दोनोंD. न तो i और न ही II |
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Answer» Correct Answer - A I, माना p=2a-b तथा p=4a-5b तब `pxxq=(2a-b)xx(4a-5b)` `=-6(axxb)` `=-6|a||b| sin""(pi)/(4)hatn` अंत: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल `=-6xx(1)/(sqrt2)hatn=-3sqrt2 hatn` II. `a=hati-3hatj+2hatk` `b=-hati+2hatj` `Rightarrow axxb=|{:(,hati,hatj,hatk),(,1,-3,2),(,-1,2,0):}|` `=-4hati-2hatj-hatk` अंत: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल `=(1)/(2)|axxb|=(sqrt21)/(2)` |
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| 111. |
`vec(PQ)` की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ P = (1, 3, 0) तथा Q = (4, 5, 6) |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(7)(3hati+2hatj+6hatk)` | |
| 112. |
सदिश ` 2hati -3hat j + 6hatk ` के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 21 इकाई है| |
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Answer» माना ` veca =2hati-3hatj +6hatk ` ` therefore" "|vec a | =sqrt((2) ^(2) +(-3)^(2) + 6^(2)) ` ` " "= sqrt (4+ 9+36)= sqrt(49=7) ` सदिश ` veca ` के अनुदिश मात्रक सदिश ` " " hat a =(2)/(7) hati -(3)/(7) hatj +(6)/(7) hatk ` ` therefore ` अभीष्ट सदिश ` " " 21 hata =21 ( ( 2)/(7) hati -(3)/(7) hatj +(6)/(7) hat k ) = 6hat i-9hat j + 18 hatk ` यहाँ सदिश ` 2hati -3hatj + 6hatk ` और ` 6hati -9hatj+ 18hatk ` समदीश है| |
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| 113. |
यदि `veca=(hati-2hatj), vecb=(2hati-3hatj)` तथा `vecc=(2hati-3hatk)`, तब `(veca+vecb+vecc)` ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `(5hati-5hatj+3hatk)` | |
| 114. |
निम्नलिखित सदिशों का परिणाम ज्ञात करें| यह भी बताएं कि इनमे से कौन- इकाई सदिश हैं| (i) `veca = hati + hatj + hatk` , (ii) `vecb = 2hati - 7hatj - 3hatk`, (iii) `hati/sqrt(3) + hatj/sqrt(3) -hatk/sqrt(3)` |
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Answer» दिया हैं, `veca = hati + hatj + hatk therefore |veca|= sqrt(1^(2) +1^(2) + 1^(2))= sqrt(3)` `vecb = 2hati - 7hatj - 3hatk therefore |vecb| = sqrt(2^(2) + (-7)^(2) + (-3)^(2))=sqrt(62)` `vecc = hati /sqrt(3) + hatj/sqrt(3) - hatk /sqrt(3) therefore |vec c|= sqrt(1/3 + 1/3 + 1/3)=1` यहाँ केवल `vecc` इकाई सदिश हैं| |
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| 115. |
यदि `veca =2hati - hatj + 2hatk` तथा `vecb = -hati + hatj -hatk`, तो `veca + vecb` के अनुदिश इकाई सदिश निकालें। |
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Answer» दिया हैं: `veca = 2hati - hatj + 2hatk` तथा `vecb = -hati + hatj -hatk` `therefore veca + vecb = hati + 0 hatj + hatk = hati + hatk` `therefore |veca + vecb| = sqrt(1^(2) + 0^(2) + 1^(2)) = sqrt(2)` `(veca + vecb)` के अनुदिश इकाई सदिश `=(veca + vecb)/(|veca + vecb|) = (hati + hatk)/sqrt(2) = 1/sqrt(2) hati + 1/sqrt(2) hatk` |
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| 116. |
यदि सदिश ` 60hati +3hatj ,40hati -8hatj ,xhati -52hatj ` संरेखा हो,तो x का मान है-A. ` -40`B. 40C. 20D. -20 |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 117. |
यदि बिंदुओं A और B के स्थिति सदिश क्रमश: `veca` तथा `vecb` हों तो AB के बढ़ए हुए भाग पर एक बिंदु C कि स्थिति सदिश निकालें ताकि `vec(AC) = 3vec(AB)`. |
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Answer» दिया हैं, `vec(AC) = 3vec(AB)` `therefore vec(BC) = vec(AC) - vec(AB) =3vec(AB) - vec(AB) = 2vec(AB)` अब `(AC)/(BC) = (|vec(AC)|)/(|vec(BC)|) = (|3vec(AB)|)/(|2vec(AB)|)=3/2` इस प्रकार C, AB को `3:2` के अनुपात में बर्हिविभजित करता हैं, इसलिए C का स्थिति सदिश होगा, `vecr =(3vecb - 2veca)/(3-2) = 3vecb - 2veca`. |
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| 118. |
दिखाएँ कि सदिश `2hati - 3hatj = xhati + 4hatk` तथा `-4hati + 6hatj - 8hatk` सरीख हैं| |
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Answer» माना कि `veca = 2hati - 3hatj + 4hatk` तथा `vecb = 4hati + 6hatj - 8hatk` `=-2(2hati - 3hatj + 4hatk)=-2veca` इस प्राकर `vecb = -2veca` अतः `veca` तथा `vecb` सरीख (समान्तर है) |
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| 119. |
सदिश `(2hati-3hatj+6hatk)` की दिशा में परिमाण 21 इकाई का सदिश ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `(6hati-9hatj+18hatk)` | |
| 120. |
दिए हुए सदिशों `veca=2hati-hatj+2hatk` और `vecb=-hati+hatj-hatk` के लिए, सदिश `veca+vecb` के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(sqrt(2))hati+(1)/(sqrt(2))hatk` | |
| 121. |
x और y का मान ज्ञात करें ताकि सदिश `2hati + 3hatj` तथा `xhati+ y hatj` बराबर हों| |
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Answer» दिया हैं: `2hati + 3hatj = xhati + yhatj` `veci` तथा `vecj` के गुणांकों को बराबर करने पर हमे मिलता हैं, `x=2` तथा `y=3` |
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| 122. |
सदिश `(-2hati+hatj+2hatk)` की दिशा में परिमाण 9 इकाई का सदिश ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `(-6hati+3hatj+6hatk)` | |
| 123. |
दर्शाइए कि बिंदु `A(-2hati+3hatj+5hatk),B(hati+2hatj+3hatk)` और `C(7hati-hatk)` संरेख है। |
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Answer» `vec(AB)=(1+2)hati+(2-3)hatj+(3-5)hatk=3hati-hatj-2hatk` `vec(BC)=(7-1)hati+(0-2)hatj+(-1-3)hatk=6hati-2hatj-4hatk` `vec(AC)=(7+2)hati+(0-3)hatj+(-1-5)hatk=9hati-3hatj-6hatk` `|vec(AB)|=sqrt(14),|vec(BC)|=2sqrt(14)` and `|vec(AC)|=3sqrt(14)` इसलिए `|vec(AC)|=|vec(AB)|+|vec(BC)|` अतः बिंदु `A,B,C` संरेख है। |
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| 124. |
सिद्ध कीजिए तीन सदिश `(5hati-2hatj-7hatk),(4hati+3hatj+2hatk)` तथा `(9hati+hatj-5hatk)` एक समकोण त्रिभुज की भुजाएं निर्धारित करते हैं। |
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Answer» माना त्रिभुज ABC की भुजाओं के सदिश `vec(AB)=5hati-2hatj-7hatk` `vec(BC)=4hati+3hatj+2hatk` `vec(CA)=9hati+hatj-5hatk` तब `|vec(AB)|=sqrt(25+4+29)=sqrt(78)` `|vec(BC)|=sqrt(16+9+4)=sqrt(29)` `|vec(CA)|=sqrt(81+1+25)=sqrt(107)` यहां `|vec(CA)|^(2)=|vec(AB)|^(2)+|vec(BC)|^(2)` अतः एक समकोण त्रिभुज की भुजाएं निर्धारित करते हैं। |
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| 125. |
सदिश `veca=2hati+2hatj-5hatk` और `vecb=2hati+hatj+3hatk` के योगफल के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिया है `veca=2hati+2hatj-5hatk` तथा `vecb=2hati+j+3hatk` `:. veca+vecb=vecc` जहां `vecc=4hati+3hatj-2hatk` और `|vecc|=sqrt(4^(2)+3^(2)+(-2)^(2))=sqrt(29)` अतः योगफल के अनुदिश मात्रक सदिश `hatc=1/(|vecc|)vecc=1/(sqrt(29))(4hati+3hatj-2hatk)` |
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| 126. |
किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न भुजाएँ `2hati + 4hatj - 5hatk` तथा `hati +2hatj + 3hatk` हैं| समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण के अनुदिश इकाई सदिश ज्ञात करें| |
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Answer» माना कि OACB एक समान्तर चतुर्भुज जिसकी दो आसन्न भुजाएँ OA तथा OB हैं| माना कि `vec(OA) = veca` तथा `vec(OB) = vecb` प्रशन से, `veca = 2hati + 4hatj - 5hatk` तथा `vecb = hati + 2hatj + 3hatk`. `vecd_(1) =vec(OC) = veca + vecb = 3hati + 6hatj - 2hatk` `vecd_(2) = vec(AB) = vecb- veca = -hati - 2hatj + 8hatk` विकरणों के अनुदिश अभीष्ट इकाई सदिश हैं, `hatn_(1) = (vecd_(1))/(|vecd_(1)|) = (3hati + 6hatj - 2hatk)/sqrt((3)^(2) + (6)^(2) + (-2)^(2)) = 3/7 hati + 6/7 hatj -2/7 hatk` तथा `hatn_(2) =vecd_(2)/(|d_(2)|) = -(hati - 2hatj + 8hatk)/sqrt((-1)^(2) + (-2)^(2) + (8)^(2)) = -1/sqrt(69) hati - 2/sqrt(69) hatj + 8/sqrt(69) hatk` |
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| 127. |
सदिश `veca=hati-2hatj+hatk,vecb=-2hati+4hatj+5hatk` और `vecc=hati-6hatj-7hatk` का योगफल ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `-4hatj-hatk` | |
| 128. |
सदिश `(hati-2hatj+2hatk)` की दिशा में परिमाण 15 इकाई के लिए सदिश ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `(5hati-10hatj+10hatk)` | |
| 129. |
यदि `veca=5hati-hatj+3hatk` और `vecv-hati+3hatj-5hatk` तो दर्शाइए कि सदिश `veca+vecb` और `veca-vecb` लंबवत है। |
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Answer» यहां `veca+vecb=(5hati-hatj-3hatk)+(hati+3hatj-5hatk)=6hati+2hatj-8hatk` और `veca-vecb=(5hati-hatj-3hatk)-(hati+hatj-5hatk)=4hati-hatj+2hatk` इसलिए `(veca+vecb).(veca-vecb)=(6hati+2hatj-8hatk).(4hati-4hatj+2hatk)=24-8-16=0` जब दो शून्येतर सदिश लंबवत होते है तब उनका अदिश गुणफल शून्य है। अतः `veca+vecb`और `veca-vecb` लंबवत सदिश है। |
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| 130. |
बिन्दुओं A(1,2,-3) एवं B(-1,-2,1) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश की दिक् कोज्या ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `-(1)/(3),-(2)/(3),(2)/(3)` | |
| 131. |
सिद्ध कीजिये कि यदि त्रिभुज ABCD में बिन्दु A, B तथा C के स्थिति-सदिश क्रमशः `2hati-hatj+hatk, hati-3hatj-5hatk` और `3hati-4hatj-4hatk` है, तो त्रिभुज समकोण होगा। |
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Answer» `DeltaABC` में, बिन्दुओं A, B तथा C के स्थिति-सदिश क्रमशः `2hati-hatj+hatk, hati-3hatj-5hatk` तथा `3hati-4hatj-4hatk` है। `vec(AB)=B` का स्थिति-सदिश -A का स्थिति-सदिश `=(hati-3hatj-5hatk)-(2hati-hatj+hatk)` `=(hati-2hati)+(-3hatj+hatj)+(-5hatk-hatk)` `=-hati-2hatj-6hatk` `|vec(AB)|=sqrt((-1)^(2)+(-2)^(2)+(-6)^(2))` `=sqrt(1+4+36)=sqrt(41)` `vec(BC)=C` का स्थिति-सदिश -B का स्थिति-सदिश `(3hati-4hatj-4hatk)-(hati-3hatj-5hatk)` `=(3hati-hati)+(-4hatj+3hatj)+(-4hatk+5hatk)` `=2hati-hatj+hatk` `|vec(BC)|=sqrt((2)^(2)+(-1)^(2)+(1)^(2))=sqrt(4+1+1)=sqrt(6)` `vec(CA)=A` का सदिश-सदिश -C का स्थिति-सदिश `=(2hati-hatj+hatk)-(3hati-4hatj-4hatk)` `=(2hati-3hati)+(-hatj+4hatj)+(hatk+4hatk)` `=-hati+3hatj+5hatk` `|vec(CA)|=sqrt((-1)^(2)+(3)^(2)+(5)^(2))=sqrt(1+9+25)=sqrt(35)` `|vec(AB)|=sqrt(41)implies|vec(AB)|^(2)=41` `|vec(BC)|=sqrt(6)implies|vec(BC)|^(2)=6` `|vec(CA)|=sqrt(35)implies|vec(CA)|^(2)=35` `|vec(AB)|^(2)=|vec(BC)|^(2)+|vec(CA)|^(2)` `41=6+35=41` अतः यह समकोण त्रिभुज है। |
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| 132. |
`hati-2hatj+5hatk,2hati-4hatj+7hatk` तथा `3hatk` समरेखीय है, अथवा नहीं ज्ञात किजिये। |
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Answer» `1(hati-2hatj+5hatk)+lambda(2hati-4hatj+7hatk)+mu(3hatk)=0` `implies (1+2lambda)hati+(-2-4lambda)hatj+(5+7lambda+3mu)hatk` `=0hati+0hatj+0hatk` दोनों पक्षों के `hati, hatj, hatk` गुणांकों की तुलना करने पर, `1+2lambda=0` `implies lambda=-1//2` `-2-4lambda=0 implies lambda = - 1//2` `5+7lambda+3mu=0` `implies 5+7(-1//2)+3mu=0` `implies 5-(7)/(2)+3mu=0` `implies 3mu+(3)/(2)=0 implies mu=-1//2` अब `1+lambda+mu=1-1//2-1//2=1-1=0` अतः तीनो बिन्दु संरेखीय है। |
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| 133. |
यदि `veca=2hati+2hatj-3hatk,vecb=hati-2hatj+2hatk,vecc=4hati+3hatj+3hatk` हो, तो `|veca+2vecb+2vecc|` का मापांक ज्ञात करो। |
| Answer» Correct Answer - `sqrt(209)` | |
| 134. |
दर्शाइये कि सदिश `hati+hatj+hatk` अक्षो OX, OY एवं OZ के साथ बराबर झुका हुआ है। |
| Answer» Correct Answer - `-3hati+3hatk` | |
| 135. |
`veca=a_(1)hati+3hatj+a_(3)hatk` तथा `vecb=2hati+b_(2)hatj+hatk` यदि `veca=vecb` तब `a_(1), b_(2)` तथा `a_(3)` का मान ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `a_(1)=2, b_(2)=3, a_(3)=1` | |
| 136. |
सिद्ध कीजिये कि `DeltaABC` समबाहु होगा, यदि A, B तथा C के स्थिति-सदिश क्रमशः `hati+2hatj+3hatk,-hati-hatj+8hatk` तथा `-4hati+4hatj+6hatk` है। |
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Answer» माना मूलबिन्दु O के सापेक्ष बिन्दुओं A, B तथा C के स्थिति-सदिश क्रमशः `hati+2hatj+3hatk,-hati-hatj+8hatk` तथा `-4hati+4hatj+6hatk` है। `vec(OA)=hati+2hatj+3hatk, vec(OB)=-hati-hatj+8hatk` तथा `vec(OC)=-4hati+4hatj+6hatk` `vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)` `=(-hati-hatj+8hatk)-(hati+2hatj+3hatk)` `=(-hati-hati)+(-hatj-2hatj)+(8hatk-3hatk)` `=-2hati-3hatj+5hatk` `|vec(AB)|=|-2hati-3hatj+5hatk|=sqrt((-2)^(2)+(-3)^(2)+(5)^(2))` `=sqrt(4+9+25)=sqrt(38)` `vec(BC)=vec(OC)-vec(OB)` `=(-4hati+4hatj+6hatk)-(-hati-hatj+8hatk)` `=(-4hati+hati)+(4hatj+hatj)+(6hatk-8hatk)` `=-3hati+5hatj-2hatk` `|vec(BC)|=|-3hati+5hatj-2hatk|` `=sqrt((-3)^(2)+(5)^(2)+(-2)^(2))` `=sqrt(9+25+4)=sqrt(38)` `vec(AC)=vec(OC)-vec(OA)` `=(-4hati+4hatj+6hatk)-(hati+2hatj+3hatk)` `=(-4hati-hati)+(4hatj-2hatj)+(6hatk-3hatk)` `=-5hati+2hatj+3hatk` `|vec(AC)|=|-5hati+2hatj+3hatk|` `=sqrt((-5)^(2)+(2)^(2)+(3)^(2))=sqrt(25+4+9)=sqrt(38)` `because |vec(BC)|=|vec(AC)|=|vec(AB)|` अतः `DeltaABC` समबाहु त्रिभुज है। |
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| 137. |
यदि `veca=3hati-hatj+5hatk` तथा `vecb=hati-5hatj+3hatk` तो `veca-vecb` का मान ज्ञात किजिये। |
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Answer» `veca-vecb=(3hati-hatj+5hatk)-(hati-5hatj+3hatk)` `=(3hati-hati)+(-hatj+5hatj)+(5hatk-3hatk)=2hati+4hatj+2hatk` |
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| 138. |
बिन्दुओं `P(hati+2hatj-hatk)` और `Q(-hati+hatj+hatk)` को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में (i) अन्तः (ii) बाह्य, विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `-(1)/(3)hati+(4)/(3)hatj+(1)/(3)hatk` | |
| 139. |
यदि `veca=3hati-2hatj+4hatk` तथा `vecb=hati-hatj+2hatk` तो `veca-vecb` का मापांक ज्ञात कीजिये। |
| Answer» Correct Answer - 3 | |
| 140. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिन्दु तथा बिन्दुओं `-2hati+4hatj+hatk` तथा `4hati+2hatk` से होकर जाता है। इस समतल को बिन्दुओं `hati-2hatj+hatk` और `-2hatj+3hatk` से मिलाने वाली रेखा किस बिन्दु पर कटती है? |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(5)(8hati-10hatj-hatk)` | |
| 141. |
यदि `veca=2hati+hatj-3hatk,vecb=-hati+hatj+2hatk,vecc=4hati+3hatk` तो सदिश (i) `veca-vecb (ii) veca+vecb+vec2c` का मापांक तथा दिककोज्या ज्ञात कीजिये। |
| Answer» Correct Answer - (i) `sqrt(34),(3)/(sqrt(34)),0,-(5)/(sqrt(34))(ii)sqrt(110),(9)/sqrt(110),(2)/(sqrt(110)),(5)/(sqrt(110))` | |
| 142. |
बिन्दु `3hati-4hatj+5hatk` से जाने वाली तथा `2hati+5hatj-7hatk` के समान्तर सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये। |
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Answer» `veca=3hati-4hatj+5hatk` `vecb=2hati+5hatj-7hatk` सूत्र, `vecr=veca+tvecb` से, `=(3hati-4hatj+5hatk)+t(2hati+5hatj-7hatk)` |
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| 143. |
दो सदिशों `vec(OA)` तथा `vec(OB)` के बिन्दु O के सापेक्ष स्थिति-सदिश क्रमशः `3hati+2hatj-3hatk` और `2hati+5hatj-hatk` है। सदिश `vec(AB)` का मान ज्ञात किजिये। |
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Answer» `becausevec(OA)=3hati+2hatj-3hatk` `vec(OB)=2hati+5hatj-hatk` `therefore vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)=(2hati+5hatj-hatk)-(3hati+2hatj-3hatk)` `=(2hati-3hati)+(5hatj-2hatj)+(-hatk+3hatk)` `=-hati+3hatj+2hatk` |
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| 144. |
बिन्दुओं `hati-2hatj+hatk` और `3hatk-2hatj` को मिलाने वाली सरल रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये। |
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Answer» `veca=hati-2hatj+hatk, vecb=3hatk-2hatj` सूत्र `vecr=veca+t(vecb-veca)` से, `vecr=(hati-2hatj+hatk)+t[(3hatk-2hatj)-(hati-2hatj+hatk)]` `vecr=(hati-2hatj+hatk)+t(-hati+2hatk)` `vecr=(hati-2hatj+hatk)-t(hati-2hatk)` |
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| 145. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो `hati+hatj+hatk` से होकर जाता है और सदिश `-3hati+4hatj-7hatk` तथा `2hati+9hatk` के समान्तर हो। |
| Answer» Correct Answer - `(1-3t+2s)hati+(1+4t)hatj+(1-7t+9s)hatk` | |
| 146. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिन्दु `hati+hatj+hatk` से होकर जाता है और जो सदिश `-3hati+4hatj-7hatk` तथा `2hati+9hatk` के समान्तर है। |
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Answer» माना तीन बिन्दु उनके जिनके स्थिति-सदिश क्रमशः `veca, vecb` तथा `vecc` है। `veca=hati+hatj+hatk,vecb=-3hati+4hatj-7hatk` तथा `vecc=2hati+9hatk` सूत्र `vecr=veca+tvecb+svecc` से समतल का समीकरण `vecr=hati+hatj+hatk+t(-3hati+4hatj-7hatk)+s(2hati+9hatk)` |
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| 147. |
बिन्दु (1,2,3) से जाने वाली तथा सदिश `(3hati+2hatj+hatk)` के समान्तर सरल रेखा का समीकरण ज्ञात किजिये। |
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Answer» सदिश `veca=hati+2hatj+3hatk` `vecb=3hati+2hatj+hatk` के समान्तर है। अभीष्ट रेखा का सदिश समीकरण `vecr=veca+tvecb` `vecr=(hati+2hatj+3hatk)+t(3hati+2hatj+hatk)` |
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| 148. |
बिन्दु P तथा Q के स्थिति-सदिश क्रमशः `3hati+5hatj-7hatk` तथा `5hati-4hatj+hatk` है। सदिश `vec(PQ)` ज्ञात कीजिये। |
| Answer» Correct Answer - `2hati-9hatj+8hatk` | |
| 149. |
बिन्दु P और Q के स्थिति-सदिश क्रमशः `3hati+5hatj-7hatk` और `3hati-4hatj+hatk` है। `|vec(PQ)|` का मान ज्ञात कीजिये। |
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Answer» माना मूलबिन्दु O से बिन्दुओं P व Q के स्थिति-सदिश निम्न है- `vec(OP)=3hati+5hatj-7hatk` तथा `vec(OQ)=3hati-4hatj+hatk` `therefore vec(PQ)=vec(OQ)-vec(OP)=(3hati-4hatj+hatk)-(3hati+5hatj-7hatk)` `=0hati-9hatj+8hatk` तथा `|vec(PQ)|=|0hati-9hatj+8hatk|=sqrt((-9)^(2)+(8)^(2))` `=sqrt(81+64)=sqrt(145)` |
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| 150. |
सदिशों `3hati+7hatj-4hatk` और `hati-5hatj-8hatk` का योगफल ज्ञात कीजिये तथा इस सदिश का मापांक भी ज्ञात कीजिये। |
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Answer» `(3hati+7hatj-4hatk)+(hati-5hatj-8hatk)` `=(3hati+hati)+(7hatj-5hatj)+(-4hatk-8hatk)=4hati+2hatj-12hatk` तथा मापांक `=|4hati+2hatj-12hatk|` `sqrt((4)^(2)+(2)^(2)+(-12)^(2))=sqrt(16+4+144)` `=sqrt(164)=2sqrt(41)` |
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