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201.

यदि बिंदुएं `A(2,beta,3), B(alpha, -5,1)` तथा `c(-1,11,9)` सरीख हो तो सदिशि| विधि से `alpha` और `beta` का मान ज्ञात करें|

Answer» दिया हैं: `vec(OA) = 2hati + beta hatj + 3hatk, vec(OB) = alpha hati - 5hatj +hatk`
तथा `vec(OC) = -hati + 11hatj + 9hatk`
यहाँ O मूल बिंदु हैं| ,
अब `vec(AB) = vec(OB)-vec(OA) = (alphahati -5hatj + hatk) - (2hati + betahatj + 3hatk)`
`=(alpha-2)hati - (5+beta)hatj - 2hatk`
तथा `vec(AC) = vec(OC) - vec(OA) =(-hati + 11hatj + 9hatk)-(2hati + betahatj + 3hatk)`
`=-3hati + (11-beta)hatj + 6hatk`
बिंदुओं A,B,C सरीख हैं
`rArr vec(AB)` तथा `vec(AC)` सरीख हैं `rArr vec(AB) = lambda vec(AC)` किसी अदिश `lambda (ne 0)` के लिए|
`rArr (alpha-2)hati -(5+beta)hatj - 2hatk =lambda[-3hati + (11-beta)hatj + 6hatk]`
`therefore alpha=2-3lambda, beta = (11lambda + 5)/(lambda-1)` तथा `lambda=-1/3`
`rArr alpha =2-3.(-1/3)=3, beta =(11(-1/3)+5)/(-1/3 -1) = (-11 + 15)/(-4) =-1`
`therefore alpha=3, beta=-1`
Discussion
202.

यदि `P(-1,2,5)` तथा `Q(3,0,-2)` तो `vec(PQ)` को `hati, hatj, hatk` के रूप में व्यक्त करें तथा इसका परिमाण ज्ञात करें| साथ ही `vec(PQ)` कि दिशा में इकाई सदिश भी ज्ञात करें|

Answer» दिया हैं, `P`=(-1,2,5), Q`=(3,0,-2)` माना कि O मूल बिंदु हैं|
अब `vec(OP) = -hati + 2hatj + 5hatk` तथा `vec(OQ) = 3hati + 0 hatj - 2hatk= 3hati - 2hatk`
`therefore |vec(PQ)| = sqrt((4)^(2) + (-2)^(2) + (-7)^(2)) = sqrt(16 + 4 + 49) = sqrt(69)`
`therefore vec(PQ)` कि दिशा में इकाई सदिश `vec(PQ) = vec(PQ)/(|vec(PQ)|) = (4hati - 2hatj - hatk)/sqrt(69)`
`=4/sqrt(69) hati - 2/sqrt(69) hatj - 7/sqrt(69) hatk`
Discussion
203.

एक सदिश ` vec OP ,OX ` के साथ ` 45^(@) ` और OY के साथ ` 60^(@) ` कोण बनाती है|` vecOP` के द्वारा OZ के साथ बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए|

Answer» माना सदिश ` vec OP` अक्षों OX ,OY और OZ के साथ क्रमशः ` alpha , beta ,gamma ` कोण बनाती है, तब
` " " alpha =45^(@) ,beta =60^(@) `
` therefore " " l=cos alpha =cos 45^(@) =(1)/(sqrt( 2))`
` " "mcos =beta =cos 60^(@) =(1)/(2) `
और ` " "n=cos gamma `
हम जानते है की
` " "l^(2) +m^(2) +n^(2) =1 `
`rArr " "((1)/(sqrt( 2)))^(2) +((1)/(2))^(2)+n^(2) =1`
` rArr " "(1)/(2) +(1)/(4) +n^(2) =1 `
` rArr " "n^(2) =(1)/(4) `
` rArr " "n=+- (1)/(2) `
`rArr " "cos gamma =+-(1)/(2)`
` rArr " "cos gamma =(1)/(2)"` या ` cos gamma =-(1)/(2)`
`rArr " "gamma =60^(@)` या ` 120^(@) `
Discussion
204.

यदि कोई सदिश अक्षों ` OX,OY ,OZ ` के साथ क्रमशः ` alpha, beta ,gamma ` कोण बनाती है,तब सिद्ध कीजिए की- ` " "sin ^(2) alpha + sin ^(2) beta+sin ^(2) gamma =2`

Answer» दिया गया है की-
` " "lcos alpha ,m =cos beta ,n =cosgamma `
हम जानते है की
` " "l^(2) +m^(2) +n^(2)= 1 `
` cos ^(2)alpha +cos ^(2)beta +cos ^(2) gamma =1`
` rArr " "(1-sin ^(2)alpha )+ (1-sin ^(2)beta )+(1-sin ^(2) gamma ) =1`
` rArr " "sin ^(2) alpha +sin^(2) beta +sin ^(2)gamma =2 `
`" "` यही सिद्ध करना था|
Discussion
205.

यदि `ahati+hatj+hatk,hati,bhatk,hatk "और" hati+hatj+chatk` [जहा `a ne b ne 1]` समतलिये है तब `(1)/(1-a)+(1)/(1-b)+(1)/(1-c)` बराबर हैA. 1B. `-1`C. 2D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
दिए गए सदिश संतलिये होंगे, यदि `|{:(,a,1,1),(,1,b,1),(,1,1,c):}|=0`
`|{:(,a-1,0,1),(,1-b,b-1,1),(,0,1-c,c):}|=0`
सक्रिय `[C_(1)-C_(1)-C_(2).C_(2) to C_(2)-C_(3)]`
`R_(1)` के क्षेणशेप विस्तार करने पर
`C(a-1)(b-1)+(1-b)(1-c)=(1-c)(a-1)=0`
`Rightarrow (C)/(1-c)+(1)/(1-a)+(1)/(1-b)=0`
`Rightarrow (c)/(1-c)+1+(1)/(1-a)+(1)/(1-b)=1`
`Rightarrow (1)/(1-c)+(1)/(1-a)+(1)/(1-b)=1`
Discussion
206.

मान लीजिएः की a,b और c विभिन्न क्ष्रणोत्तर संख्याये है यदि सदिश `ahati+ahatj+chatk, hati+hatk तथा "chati+chatj+bhatk` एक समतल पर हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सा एक सही हैA. c समान्तर मध्ये है और काB. c गुणोत्तर मध्ये है a और b काC. c हरात्मक मध्ये है a और b काD. c बराबर है सुनये के

Answer» Correct Answer - B
`therefore` सदिश `ahati+chatk, hati+hatk ` तथा `chati` संतलिये है
`therefore |{:(,a,a,c),(,1,0,1),(,c,c,b):}|=0`
`Rightarrow 1(ab-c^(2))+1(ac-ac)=0`
`Rightarrow ab^(2)-c^(2)=0`
अंत: a ब b का गुणोत्तर मध्ये c है
Discussion
207.

बिन्दु जिनके स्थिति सदिश `10hati+3hatj,12hati-5hatj` तथा `ahati+11hatj` समरेखीय है यदि a =A. `-8`B. 4C. 8D. 12

Answer» Correct Answer - c
Discussion
208.

एक बिन्दु P का मान a + 2b है। यदि P का मान a है तथा P, AB को 2 : 3 के अनुपात में बाँटता है तो B का स्थिति सदिश है-A. 2a-bB. b-2aC. a-3bD. b

Answer» Correct Answer - c
Discussion
209.

यदि a,b,c तीन समतलीय नहीं है। इस प्रकार `r_(1)=a-b+c,r_(2)=b+c-a,r_(3)=c+a+b,r=2a-3b+4c` यदि `r=p_(1)r_(1)+p_(2)r_(2)+p_(3)r_(3)`, तब-A. `p_(1)=7`B. `p_(1)+p_(3)=3`C. `p_(1)+p_(2)+p_(3)=4`D. `p_(3)+p_(2)=3`

Answer» Correct Answer - b,c
Discussion
210.

तीन बिन्दुओं के स्थिति सदिश `a-2b+3c,2a+3b-4c,-7b+10c` है, वह बिन्दु है-A. समरेखीयB. समतलीयC. असंरेखीयD. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - a=-4
Discussion
211.

यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक G है तब `vec(GA)+vec(GB)+vec(GC)`=A. `vec(0)`B. `3vec(GA)`C. `3vec(GB)`D. `3vec(GC)`

Answer» Correct Answer - a=-4
Discussion
212.

यदि ` vec (PO) + vec (OQ) =vec (QO) + vec (OR) ` तो दर्शाइए की बिंदु P ,Q , R संरेख है|

Answer» ` " " vec (PO) + vec (OQ) =vec (QO) +vec (OR) `
`rArr " " vec (PQ) =vec (QR) `
` " " ` (सदिश योग के त्रिभुज नियम से)
अतः ` vec (PQ) ` और ` vec (QR ) ` समांतर या संरेख है परन्तु Q उभयनिष्ट बिंदु है इसलिए ` vec ( PQ ) ` और ` vec (QR) ` संरेख है| अतएव बिंदु P ,Q , R संरेख है| ` " " ` यदि सिद्ध करना था|
Discussion