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51.

यदि `x^(y)+y^(x)=4` , `(dy)/(dx)` निकालें|

Answer» दिया है, `x^(y)+y^(x)=4` … (1)
माना कि `u=x^(y)` तथा `v=y^(x)`
`becauseu=x^(y)`
`thereforelogu=ylogx`
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है,
`(1)/(u)(du)/(dx)=y*(1)/(x)+logx*(dy)/(dx)`
`therefore(du)/(dx)=u((y)/(x)+logx(dy)/(dx))=x^(y)((y)/(x)+logx(dy)/(dx))` ...(2)
पुनः `v=y^(x)`
`thereforelogv=xlogy`
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है,
`therefore(dv)/(dx)=v(logy+(x)/(y)(dy)/(dx))=y^(x)(logy+(x)/(y)(dy)/(dx))`
(1) से ,u+v=4
`therefore(du)/(dx)+(dv)/(dx)=0`
`rArrx^(y)((y)/(x)+logx(dy)/(dx))+y^(x)*(logy+(x)/(y)(dy)/(dx))=0`
या `(x^(y)logx+y^(x)*(x)/(y))(dy)/(dx)=-(y^(x)logy+(y)/(x)*x^(y))`
या `(x^(y)logx+xy^(x-1))(dy)/(dx)=-(y^(x)logy+yx^(y-1))`
`therefore(dy)/(dx)=-(y^(x)logy+yx^(y-1))/(x^(y)logx+xy^(x-1))`
Discussion
52.

यदि (If) `y=x^(x)+x^(a)+a^(x)+a^(a)`, जहाँ `agt0` और a एक नियत संख्या है तथा (Where `agt0anda` is a fixed number and `xgt0)`.

Answer» दिया है, `y=x^(x)+x^(a)+a^(x)+a^(a),agt0`
माना कि `u=x^(x),v=x^(a),w=a^(x),z=a^(a)`
`thereforey=u+v+w+z`
`therefore(dy)/(dx)=(du)/(dx)+(dv)/(dx)+(dw)/(dx)+(dz)/(dx)` … (1)
अब `u=x^(x) " " thereforelogu=xlogx`
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है,
`(1)/(u)(du)/(dx)=1*logx+x*(1)/(x)=logx+1`
`therefore(du)/(dx)=x^(x)(logx+1)` ... (2)
`thereforev=x^(a)`
`therefore(dv)/(dx)=ax^(a-1)` ...(3)
पुनः `w=a^(x) therefore(dw)/(dx)=a^(x)*log_(e)a` ... (4)
तथा `z=a^(a) therefore(dz)/(dx)=0` ... (5)
(1) से, `(dy)/(dx)=x^(x)(logx+1)+ax^(a-1)+a^(x)loga`
Discussion
53.

`(dy)/(dx)` निकालें यदि `y^(x)+x^(y)+x^(x)=a^(b)`, `["Find"(dy)/(dx),ify^(x)+x^(y)+x^(x)=a^(b).]`

Answer» दिया है `y^(x)+x^(y)+x^(x)=a^(b)`.
माना कि `u=y^(x),v=x^(y)` तथा `w=x^(x)`
तो `u+v+w=a^(b)`
`therefore(du)/(dx)+(dv)/(dx)+(dw)/(dx)=0` … (2)
अब `=y^(x)`
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर हमें मिलता है, log u =x log y.
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है,
`(1)/(u)*(du)/(dx)=x(d)/(dx)(logy)+logy(d)/(dx)(x)`
`=x(1)/(y)*(dy)/(dx)+logy*1`
`therefore(du)/(dx)=u((x)/(y)(dy)/(dx)+logy)=y^(x)[(x)/(y)(dy)/(dx)+logy]` ... (3)
पुनः `v=x^(y)`
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर हमें मिलता है, log v=y logx
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है,
`(1)/(v)*(dv)/(dx)=y(d)/(dx)(logx)+logx(dy)/(dx)=y*(1)/(x)+logx*(dy)/(dx)`
`therefore(dv)/(dx)=v[(y)/(x)+logx(dy)/(dx)]=x^(y)[(y)/(x)+logx(dy)/(dx)]` ... (4)
पुनः `w=x^(x)`
लघुगणक लेने पर हमें मिलता है, log w=x log x.
x के सापेक्ष दोंनो तरफ अवकलति करने पर हमें मिलता है|
`(1)/(w)*(dw)/(dx)=x(d)/(dx)(logx)+logx*(d)/(dx)(x)=x*(1)/(x)+logx*1`
`therefore(dw)/(dx)=w(1+logx)=x^(x)(1+logx)` ... (5)
(2),(3),(4) तथा (5) से हमें मिलता है,
`y^(x)((x)/(y)(dy)/(dx)+logy)+x^(y)((y)/(x)+logx(dx)/(dx))+x^(x)(1+logx)=0`
या `(x*y^(x-1)+x^(y)*logx)(dy)/(dx)=-x^(x)(1+logx)-y*x^(y-1)-y^(x)logy`
अतः `(dy)/(dx)=(-[y^(x)logy+y*x^(y-1)+x^(x)(1+logx)])/(x*y^(x-1)+x^(y)logx)`
Discussion
54.

यदि (If) `y=(e^(x)*sinx*(x+1)^(2))/((2x+1)^(3)x^(5))` , (find) `(dy)/(dx)` निकालें|

Answer» [यहाँ y बहुत से फलनों का गुणनफल और भागफल के रूप में है ]
दिया है, `y=(e^(x)*sinx*(x+1)^(2))/((2x+1)^(3)x^(5))` … (1)
लघुगणक (logarithm) लेने पर हमें मिलता है,
`logy=log(e^(x))+log*sinx+log(x+1)^(2)-log(2x+1)^(3)-log(x^(5))`
या, `logy=x+logsinx+2log(x+1)-3log(2x+1)-5logx`
x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है|
`(1)/(y)(dy)/(dx)=1+(1)/(sinx)*cosx+2*(1)/(x+1)-3*(1)/(2x+1)*2-(5)/(x)`
`=1+cotx+(2)/(x+1)-(6)/(2x+1)-(5)/(x)`
`therefore(dy)/(dx)=y(1+cotx+(2)/(x+1)-(6)/(2x+1)-(5)/(x))`
`=(e^(x)sinx*(x+1)^(2))/((2x+1)^(3)*x^(5))(1+cotx+(2)/(x+1)-(6)/(2x+1)-(5)/(x))`
[y के मान रखने पर]
Discussion
55.

`x^(x)sin^(-1)sqrt()x` को xके सापेक्ष अवकलित कीजिए।

Answer» माना कि `y=x^(x)sin^(-1)sqrt()x`
=uv , जहाँ `u=x^(x)` तथा `v=sin^(-1)sqrt()x` … (1)
अब `u=x^(x)rArrlogu=xlogx`
`rArr(1)/(u)*(du)/(dx)=x*(1)/(x)+1*logx`
`rArr(du)/(dx)=x^(x)(1+logx)` … (2)
तथा `v=sin^(-1)sqrt()xrArr(dv)/(dx)=(1)/(sqrt(1-x))xx(1)/(2sqrt(x))=(1)/(2sqrt(x-x^(2)))` ... (3)
(1) से, `(dy)/(dx)=u*(dv)/(dx)+(du)/(dx)*v`
`=x^(x)*(1)/(2sqrt(x-x^(2)))+x^(x)(1+logx)*sin^(-1)sqrt(x)` [(2) तथा (3) से]
Discussion
56.

यदि (If) `y=(sinx)^(x)+(cosx)^(tanx)`, (find) `(dy)/(dx)` निकालें

Answer» `y=(sinx)^(x)+(cosx)^(tanx)`
`=u+v` जहाँ `u=(sinx)^(x) ,v=(cosx)^(tanx)` … (1)
अब `u=(sinx)^(x)`
`rArrlogu=xlogsinx`
`rArr(1)/(u)(du)/(dx)=1*logsinx+x*cotx`
`rArr(du)/(dx)=(sinx)^(x)[logsinx+xcotx]`
पुनः `v=(cosx)^(tanx)`
`rArrlogv=tanxlogcosx`
`rArr(1)/(v)(dv)/(dx)=sec^(2)xlogcosx+tanx*(1)/(cosx)(-sinx)`
`=sec^(2)xlogcosx-tan^(2)x`
`rArr(dv)/(dx)=(cosx)^(tanx)[sec^(2)xlogcosx-tan^(2)x]` ... (2)
अब y=u+v
`therefore(dy)/(dx)=(du)/(dx)+(du)/(dx)`
`=(sinx)^(x)(logsinx+xcotx)+(cosx)^(tanx)[sec^(2)xlogcosx-tan^(2)x]`
Discussion
57.

`(dy)/(dx)` निकालें यदि (Find `(dy)/(dx)` if) `y=(x)^(cosx)+(sinx)^(tanx)`

Answer» यहाँ `y=(x)^(cosx)+(sinx)^(tanx)`
`rArry=u+v`, जहाँ `u=(x)^(cosx)` तथा `v=(sinx)^(sinx)` … (1)
अब `u=x^(cosx)`
`rArrlogu=cosxlogx`
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है,
`(1)/(u)(du)/(dx)=(cosx)/(x)=sinxlogx`
`therefore(du)/(dx)=u((cosx)/(x)-sinxlogx)=x^(cosx)((cosx)/(x)-sinxlogx)` ....(2)
पुनः, `v=(sinx)^(tanx)`
`thereforelogv=tanxlogsinx`
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है,
`(1)/(v)(dv)/(dx)=sec^(2)xlogsinx+tanx*(1)/(sinx)cosx`
`therefore(dv)/(dx)=v(sec^(2)xlogsinx+1)`
`=(sinx)^(tanx)(sec^(2)xlogsinx+1)` ... (3)
अब y=u+v
`therefore(dy)/(dx)=(du)/(dx)+(dv)/(dx)`
`=(x)^(cosx)[(cosx)/(x)-sinxlogx]+(sinx)^(tanx)[1+sec^(2)xlogsinx]` [(2) तथा (3) से]
Discussion
58.

यदि `y=log{log(logx)}`, तब `dy/dx`=A. `1/(log(logx))`B. `1/(xlogxlog(logx))`C. `1/(xlog(logx))`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion
59.

यदि `y=tan^(-1)sqrt((1+cosx)/(1-cosx)), तब (dy)/(dx)`=A. `-(1)/(2)`B. 0C. `(1)/(2)`D. 1

Answer» Correct Answer - a
Discussion
60.

यदि `x=(1-t^(2))/(1+t^(2))andy=(2t)/(1+t^(2))` तो `(dy)/(dx)` =A. `-(y)/(x)`B. `(y)/(x)`C. `-(x)/(y)`D. `(x)/(y)`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
61.

यदि`y^(x)*y^(2)=1`, तब`(dy)/(dx)`=A. `(y(xlogy-y))/(x(ylogx-y))`B. `(y(xlogy-y))/(x(ylogx+x))`C. `(y(xlogy+y))/(x(ylogx-x))`D. `(y(xlogy+y))/(x(ylogx+x))`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
62.

यदि`x=a(costheta+thetasintheta),y=a(sintheta-thetacostheta) तब(dy)/(dx)`=A. `costheta`B. `tantheta`C. `sectheta`D. `cosectheta`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
63.

यदि (If) `x=a(theta+sintheta),y=a(1-costheta)`, (find) `(dy)/(dx)` निकालें ।

Answer» `x=a(theta+sintheta)therefore(dx)/(d theta)=a(1+costheta)` … (1)
तथा `y=a(1-cos theta)therefore(dy)/(d theta)=a(0+sin theta)=asin theta` … (2)
अब `(dy)/(dx)=(dy//d theta)/(dx// d theta)=(asintheta)/(a(1+cos theta))=(2"sin"(theta)/(2)"cos"(theta)/(2))/(2"cos"^(2)(theta)/(2))="tan"(theta)/(2)`
Discussion
64.

यदि (If) `x=logt+sint,y=e^(t)+cost`. Find `(dy)/(dx)` निकालें ।

Answer» `x=logt+sint therefore(dx)/(dt)=(1)/(t)+cost` … (1)
तथा `y=e^(t)+cost therefore(dy)/(dt)=e^(t)-sint`
अब ,`(dy)/(dx)=(dy//dt)/(dx//dt)=(e^(t)-sint)/((1)/(t)+cott)=(t(e^(t)-sint))/(1+t cost)`
Discussion
65.

यदि (If) `x=acos^(3)theta,y=asin^(3)theta`, (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें ।

Answer» `x=acos^(3)theta`
`therefore(dx)/(d theta)=a(d)/(d costheta)(cos^(3)theta)*(d)/(d theta)(costheta)`
या `(dx)/(d theta)=a.3cos^(2) theta(-sintheta)=-3a.cos^(2)theta.sintheta` … (1)
पुनः `y=asin^(3)theta`
`therefore(dy)/(d theta)=a(d (sin^(3)theta))/(dsintheta)*(d)/(d theta)(sintheta)`
या `(dy)/(d theta)=a.3sin^(2) theta.cos=3a sin^(2) thetacostheta` ... (2)
अब `(dy)/(dx)=((dy)/(d theta))/((dx)/(d theta))=(3a*sin^(2) theta*costheta)/(-3acos^(2) thetasin theta)=-tan theta`
Discussion
66.

`tan^(-1)((a+btanx)/(b-atanx))`

Answer» Correct Answer - 1
`=tan^(-1)(((a)/(b)+tanx)/(1-(a)/(b)tanx))="tan"^(-1)(a)/(b)+tan^(-1)(tanx)="tan"^(-1)(a)/(b)+x`
Discussion
67.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए, जबकि- `y=(sinx+x^(2))/(cot2x)`

Answer» यहाँ `y=(sinx+x^(2))/(cot2x)`
`rArry=(sinx+x^(2))tan2x`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)[(sinx+x^(2))tan2x]`
`=(sinx+x^(2))d/(dx)(tan2x)+tan2xd/(dx)(sinx+x^(2))`
`=(sinx+x^(2))(sec^(2)2x)d/(dx)(2x)+tan2x(d/(dx)sinx+d/(dx)x^(2))`
`=2(sinx+x^(2))sec^(2)2x+tan2x(cosx+2x)`
`=2(sinx+x^(2))sec^(2)2x+(cosx+2x)tan2x`
Discussion
68.

`tan^(-1)((cosx+sinx)/(cosx-sinx))`

Answer» Correct Answer - 1
दिया हुआ व्यंजन `=tan^(-1)((1+tanx)/(1-tanx))=tan^(-1)tan((pi)/(4)+x)=(pi)/(4)+x`
Discussion
69.

`"sin"^(-1)(2^(x+1))/(1+4^(x))`

Answer» Correct Answer - `(2^(x+1)log2)/(1+4^(x))`
दिया हुआ व्यंजन `=sin^(-1)((2*2^(x))/(1+(2^(x))^(2)))=2tan^(-1)(2^(x))`
Discussion
70.

निम्नलिखित को x के सापेक्ष अवकलित करें । (i) `"tan"^(-1)(4sqrt(x))/(1-4x)` (ii) `"tan"^(-1)(sqrt(x)-x)/(1+x^(3//2))`

Answer» माना कि `y="tan"^(-1)(4sqrt(x))/(1-4x)`
(i) `"tan"^(-1)(sqrt(x)-x)/(1+x^(3//2))`
`=2tan^(-1)(2sqrt(x))[because"tan"^(-1)(2x)/(1-x^(2))=2tan^(-1)x]`
`therefore(dy)/(dx)=2(d)/(dx)("tan"^(-1)2sqrt(x))`
`=2(d)/(d(2sqrt(x)))(tan^(-1)2sqrt(x))*(d)/(dx)(2sqrt(x))`
`=2*(1)/(1+4x)*2*(1)/(2sqrt(x))=(2)/(sqrt(x)(1+4x))`
(ii) माना कि `y="tan"^(-1)(sqrt(x)-x)/(1+x^(3//2))`
तो, `y="tan"^(-1)(sqrt(x)-x)/(1+sqrt(x)*x)=tan^(-1)sqrt(x)-tan^(-1)x`
`therefore(dy)/(dx)=(d)/(dx)(tan^(-1)sqrt(x))-(d)/(dx)(tan^(-1)x)=(d)/(dsqrt(x))(tan^(-1)sqrt(x))*(d)/(dx)sqrt(x)-(1)/(1+x^(2))`
`=(1)/(1+x)*(1)/(2sqrt(x))-(1)/(1+x^(2))=(1)/(2sqrt(x)(1+x))-(1)/(1+x^(2))`
Discussion
71.

`tan^(-1)(sqrt(1+x^(2))-x)` को x के सापेक्ष अवकलित करें

Answer» Correct Answer - `-(1)/(2(1+x^(2)))`
`x=tantheta`
Discussion
72.

`"tan"^(-1)(2x)/(1-x^(2))` को `"sin"^(-1)(2x)/(1+x^(2))` के सापेक्ष अवकलित करें ।

Answer» माना कि `y=tan^(-1)((2x)/(1-x^(2)))` तथा `z=sin^(-1)((2x)/(1+x^(2)))`
हमें `(dy)/(dz)` निकलना है।
`x=tantheta` रखने पर ,
`y=tan^(-1)((2tantheta)/(1-tan^(2)theta))=tan^(-1)(tan2theta_=2theta` … (1)
तथा `z=sin^(-1)((2tantheta)/(1+tan^(2)theta))` ... (2)
`=sin^(-1)(sin 2theta)=2theta therefore y=z`
`rArr(dy)/(dz)=1`
Discussion
73.

यदि (If) y=sin(cotx) , तो निकालें (then find) `(dy)/(dx)`

Answer» `(dy)/(dx)=(d)/(dx){sin(cotx)}=(d)/(d cotx){sin(cotx)}*(d)/(dx)(cotx)`
`=cos(cotx)*(-cosec^(2)x)=-cosec^(2)xcos(cotx)`
Discussion
74.

`(dy)/(dx)` ज्ञात करें यदि [Find `(dy)/(dx)` if] (i) `y=sec^(-1)((1)/(2x^(2)-1))` (ii) `y=sin^(-1)(2axsqrt(1-a^(2)x^(2)))`

Answer» (i) `x=costheta` रखने पर हमें मिलता है,
`y=sec^(-1)((1)/(2cos^(2)theta-1))=sec^(-1)((1)/(cos2 theta))`
`=sec^(-1)(sec2theta)=2theta=2cos^(-1)x " " [becausex=costheta]`
`therefore(dy)/(dx)=(-2)/(sqrt(1-x^(2)))`
(ii) `ax =sin theta` रखें ताकि `theta=sin^(-1)(ax)`
तो, `y=sin^(-1){2sinthetasqrt((1-sin^(2)theta)}}=sin^(-1)(sin2theta)`
`=2theta=2sin^(-1)(ax)`
`therefore(dy)/(dx)=2(d)/(d(ax))sin^(-1)(ax)*(d)/(dx)(ax)`
`=2(1)/(sqrt(1-a^(2)x^(2)))*a=(2a)/(sqrt(1-a^(2)x^(2)))`
Discussion
75.

x के सापेक्ष (Differentiate) `tan^(-1)((sqrt(1+x^(2))-1)/(x))` (w,r,t.x) को अवकलित करें ।

Answer» माना कि `y=tan^(-1)((sqrt(1+x^(2)-1))/(x))`
`thereforey=tan^(-1)((sqrt(1+tan^(2)theta)-1)/(tantheta)) " " [x tan theta` रखने पर]
`=tan^(-1)((sectheta-1)/(tantheta))=tan^(-1)((1-costheta)/(sintheta))`
`=tan^(-1)((2" sin"^(2)(theta)/(2))/(2 " sin"(theta)/(2)"cos"(theta)/(2)))=tan^(-1)("tan"(theta)/(2))=(theta)/(2)=(1)/(2)tan^(-1)x`
`therefore(dy)/(dx)=(1)/(2)*(1)/(1+x^(2))`
Discussion
76.

यदि (If) `y=cos^(-1)((x-x^(-1))/(x+x^(-1)))` (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें ।

Answer» `y=cos^(-1)((x-(1)/(x))/(x+(1)/(x)))=cos^(-1)((x^(2)-1)/(x^(2)+1))`
`=cos^(-1)(-(1-x^(2))/(1+x^(2)))=cos^(-1)(-(1-tan^(2)theta)/(1+tan^(2)theta)),[x=tantheta` रखने पर ]
`=cos^(-1)(-cos2 theta)=cos^(-1)[cos(pi-2 theta)]`
या `y=pi-2 theta=pi-2tan^(-1)x`
`therefore(dy)/(dx)=-(2)/(1+x^(2))`
Discussion
77.

`"tan"^(-1)(5x)/(1-6x^(2))`

Answer» Correct Answer - `(3)/(1+9x^(2))+(2)/(1+4x^(2))`
`(5x)/(1-6x^(2))=(2x+3x)/(1-2x*3x)`
Discussion
78.

यदि `cosy=xcos(a+y),` जहाँ `cosanepm1`, तब सिद्ध कीजिए कि- `(dy)/(dx)=(cos^(2)(a+y))/(sina)`

Answer» यहाँ
`cosy=xcos(a+y)`
`rArrx=(cosy)/(cos(a+y))`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=(cos(a+y)d/(dy)(cosy)-cosyd/(dy)cos(a+y))/(cos^(2)(a+y))`
`rArr(dy)/(dx)=(cos(a+y)(-siny)-(cosy)(-sin(a+y))d/(dy)(a+y))/(cos^(2)(a+y))`
`rArr(dy)/(dx)=(-cos(a+y)siny+sin(a+y)cosy)/(cos^(2)(a+y))`
`rArr(dy)/(dx)=(sin(a+y)cosy-cos(a+y)siny)/(cos^(2)(a+y))`
`(dy)/(dx)=(sin(a+y-y))/(cos^(2)(a+y))`
`[becausesinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)]`
`rArr(dy)/(dx)=(sina)/(cos^(2)(a+y))`
`rArr(dy)/(dx)=(cos^(2)(a+y))/(sina)` यही सिद्ध करना था
Discussion
79.

`(dy)/(dx)` निकालें यदि (Find`(dy)/(dx)if)y=sec^(-1)((sqrt(x)+1)/(sqrt(x)-1))+sin^(-1)((sqrt(x)-1)/(sqrt(x)+1))`

Answer» `y=sec^(-1)((sqrt(x)+1)/(sqrt(x)-1))+sin^(-1)((sqrt(x)-1)/(sqrt(x)+1))`
`=cos^(-1)((sqrt(x)-1)/(sqrt(x)+1))+sin^(-1)((sqrt(x)-1)/(sqrt(x)+1)) " " [because"cosec"^(-1)x="sin"^(-1)(1)/(x)]`
`=(1)/(2)pi " " [becausecos^(-1)x+sin^(-1)x=(1)/(2)pi]`
`therefore(dy)/(dx)=0`
Discussion
80.

`sec^(-1)((1)/(4x^(3)-3x))`

Answer» Correct Answer - `-(3)/(sqrt(1-x^(2))`
`sec^(-1)((1)/(4x^(3)-3x))=cos^(-1)(4x^(3)-3x)=3cos^(-1)x`
Discussion
81.

यदि (If) `y="tan"^(-1)(2x)/(1-x^(2))` जहाँ (where) `|x|lt1,` (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें ।

Answer» यहाँ `y="tan"^(-1)(2x)/(1-x^(2))=2tan^(-1)x therefore(dy)/(dx)=(2)/(1+x^(2))`
Discussion
82.

`"tan"^(-1)(2x)/(1-x^(2)),|x|lt1`

Answer» Correct Answer - `(2)/(1+x^(2))`
`sec^(-1)((1)/(4x^(3)-3x))=cos^(-1)(4x^(3)-3x)=3cos^(-1)x`
Discussion
83.

`"cos"^(-1)(1-x^(2))/(1+x^(2)),|x|lt1`

Answer» Correct Answer - `(2)/(1+x^2)`
`sec^(-1)((1)/(4x^(3)-3x))=cos^(-1)(4x^(3)-3x)=3cos^(-1)x`
Discussion
84.

निम्नलिखित को x के सापेक्ष अवकलित करें ।`"sin"^(-1)(2x)/(1+x^(2)),|x|lt1`

Answer» Correct Answer - `(2)/(1+x^(2))`
`sec^(-1)((1)/(4x^(3)-3x))=cos^(-1)(4x^(3)-3x)=3cos^(-1)x`
Discussion
85.

`tan^(-11)sqrt((a-x)/(a+x))`

Answer» Correct Answer - `-(3)/(sqrt(1-x^(2)))`
`x=acos2theta`
Discussion
86.

`cos^(-1)sqrt((1+x^(2))/(2))`,

Answer» Correct Answer - `-(x)/(sqrt(1+x^(2)))`
`x^(2)=cos2theta`
Discussion
87.

`sin^(-1)((sqrt(1+x)+sqrt(1-x))/(2))`

Answer» Correct Answer - `-(1)/(2sqrt(1-x^(2)))`
`x=cot2theta`
Discussion
88.

`"tan"^(-1)(x)/(1+sqrt(1-x^(2)))`

Answer» Correct Answer - `(1)/(2sqrt(1-x^(2)))`
`x=sintheta`
Discussion
89.

x के सापेक्ष `tan^(-1)x` का अवकलन यह मानते हुए ज्ञात करें कि इसका अस्तित्व है ।

Answer» माना कि `y=tan^(-1)x` …(1)
यहाँ `-inftyltxltinfty` तथा `-(pi)/(2)ltylt(pi)/(2)` (1) से, tan y =x …(2)
दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित (Differentiate) करने पर हमें मिलता है,
`(d)/(dx)(tany)=(d)/(dx)(x)therefore(d)/(dy)(tany)*(dy)/(dx)=1` या `sec^(2)y(dy)/(dx)=1`
या `(dy)/(dx)=(1)/(sec^(2)y)=(1)/(1+tan^(2)y)=(1)/(1+x^(2))" " [becausetany=x]`
इस प्रकार `(dy)/(dx)=(1)/(1+x^(2))`
Discussion
90.

x के सापेक्ष `cos^(-1)x` का अवकलन यह मानते हुए ज्ञात करें कि इसका अस्तित्व है ।

Answer» माना कि `y=cos^(-1)x` … (1)
यहाँ `-1lexle1` तथा `0leylepi`
(1) से , cos y =x … (2) दोनों पक्षों x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है ,
`(d)/(dx)(cosy)=(d)/(dx)(x)`
`therefore(d)/(dy)(cosy)*(dy)/(dx)=1` या `-siny(dy)/(dx)=1`
या `(dy)/(dx)=-(1)/(siny)=-(1)/(sqrt(1-cos^(2)y))`
`[because0ltyltpithereforesinygt0`, यहाँ `sinyne0]`
इस प्रकार `(dy)/(dx)=-(1)/(sqrt(1-x^(2))) " " [becausecosy=x]`
Discussion
91.

`cot^(-1)x` का x के सापेक्ष अवकलन यह मानते हुए करें के इसका अस्तित्व है ।

Answer» माना कि `y=cot^(-1)x` … (1)
यहाँ `-inftyltxltinfty` तथा `0ltyltpi`
(1) से, cot y =x … (2)
दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है ,
`(d)/(dx)(coty)=(d(x))/(dx)`
`(d)/(dy)(coty)*(d)/(dx)(y)=1` या `-"cosec"^(2)y(dy)/(dx)=1`
`therefore(dy)/(dx)=-(1)/("cosec"^(2)y)=-(1)/(1+cot^(2)y)=-(1)/(1+x^(2))` [ (2) से]
इस प्रकार `(dy)/(dx)=-(1)/(1+x^(2))`
Discussion
92.

`sec^(-1)x` का x के सापेक्ष अवकलत ज्ञात करें।

Answer» माना कि `y=sec^(-1)x` ... (1)
यहाँ `xle-1` या `xge1` तथा `0leylepi,yne(pi)/(2)`
(1) से , sec y =x … (2)
दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है,
`(d)/(dx)(secy)=(d)/(dx)(x)`
या `(d)/(dy)(secy)*(d)/(dx)y=(d)/(dx)(x)` या `secytany(dy)/(dx)=1`
`therefore(dy)/(dx)=(1)/(sec y tany)` ... (3)
`because0lttltpi,yne(pi)/(2) therefore0ltylt(pi)/(2)` या `(pi)/(2)ltyltpi`
therefore`{:(secygt0,),(tanygt0,):}}`या `{:(secylt0,),(tanylt0,):}` ... (4)
अतः दोनों स्थितियों में , `secytanygt0`
`therefore(3)` से, `(dy)/(dx)gt0`
`tany={{:(sqrt(sec^(2)y-1)",","यदि"tanygt0),(-sqrt(sec^(2)y-1)",","यदि"tan ylt0):}`
`={{:(sqrt(x^(2)-1)",","यदि"secygt0),(-sqrt(x^(2)-1)",","यदि"secylt0):}` [(4) से]
`={{:(sqrt(x^(2)-1)",","यदि"xgt0),(-sqrt(x^(2)-1)",","यदि"xlt0):}`
अब (3) से , `(dy)/(dx)={{:((1)/(xsqrt(x^(2)-1))",","यदि"xgt0),((1)/(-xsqrt(x^(2)-1))",","यदि"xlt0):}`
`therefore(dy)/(dx)=(1)/(|x|sqrt(x^(2)-1)),x` के सभी मानों के लिए जिसके लिए `sec^(-1)x` तथा `(dy)/(dx)` परिभाषित हैं ।
Discussion
93.

`tan^(-1)((sqrt(1+x^(2))+1)/(x))`

Answer» Correct Answer - `-(1)/(2(1+x^(2)))`
`x=tantheta`
Discussion
94.

`"cosec"^(-1)x` का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करें ।

Answer» माना कि `y="cosec"^(-1)x` … (1)
यहाँ `xle-1` या `xge1` तथा `-(pi)/(2)leyle(pi)/(2),yne0`
(1) से, cosecy =x … (2)
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित (Differentiate) करने पर , हमें मिलता है,
`(d)/(dx)("cosec"y)=(d)/(dx)(x)` या `(d)/(dy)("cosec"y)*(dy)/(dx)=1`
या `-"cosec " y coty*(dy)/(dx)=1`
या `(dy)/(dx)=-(1)/("cosec "ycoty)` ... (3)
यहाँ `-(pi)/(2)leyle(pi)/(2),yne0 " " [therefore "cosec" y` तथा cot y के चिन्ह समान होंगे]
इसलिए , (3) से, `(dy)/(dx)lt0` ... (4)
अब `coty={{:(sqrt("cosec"^(2)y-1),"यदि"cot ygt0),(-sqrt("cosec"^(2)y-1)",","यदि" cotylt0):}`
`={{:(sqrt(x^(2)-1)",","यदि" cotygt0),(-sqrt(x^(2)-1)",","यदि" cot y lt0):}`
`={{:(sqrt(x^(2)-1)",","यदि""cosec " ygt0),(-sqrt(x^(2)-1)",","यदि" "cosec " ylt0):}`
[ चूँकि cosec y तथा cot y के समान चिन्ह हैं ।]
`={{:(sqrt(x^(2)-1)",",xgt0),(-sqrt(x^(2)-1)",",xlt0):}`
अब (3) से, `(dy)/(dx)={{:(-(1)/(xsqrt(x^(2)-1))",",xgt0),((1)/(xsqrt(x^(2)-1))",",xlt0):}`
इस प्रकार `(dy)/(dx)=(1)/(|x|sqrt(x^(2)-1))`, सभी x के लिए जिसके लिए `"cosec"^(-1)x` तथा `(dy)/(dx)` परिभाषित हैं।
Discussion
95.

`"cot"^(-1)(x)/(sqrt(1-x^(2)))`

Answer» Correct Answer - `-(1)/(sqrt(1-x^(2)))`
`x=costheta`
Discussion
96.

निम्नलिखित फलन को x के सापेक्ष अवकलित करें । `sin^(-1)(cosx)`

Answer» (i) माना कि `y=sin^(-1)(cosx)` u= cosx रखें ताकि `y=sin^(-1)u`
`therefore(du)/(dx)=-sinx` तथा `(dy)/(du)=(1)/(sqrt(1-u^(2)))`
अब `(dy)/(dx)=(dy)/(du)*(du)/(dx)` [Chain rule से]
`=(1)/(sqrt(1-u^(2)))*(-sinx)=(-sinx)/(sqrt(-cos^(2)x))=(-sinx)/(sinx)=-1`
Second method:
`(dy)/(dx)=(d)/(dx)"sin"^(-1)(cosx)=(d)/(d cosx) sin^(-1) (cosx)*(d)/(dx)(cosx)`
`=(1)/(sqrt(1-cos^(2)x))*(-sinx)=-(sinx)/(sinx)=1`
(ii) माना कि `y=cot^(-1)sqrt(x)`
`(dy)/(dx)=(d)/(dx)(cot^(-1)sqrt(x))(d)/(dsqrt(x))cot^(-1)sqrt(x)*(d)/(dx)sqrt(x)`
`=-(1)/(1+(sqrt(x))^(2))*(1)/(2sqrt(x))=-(1)/(2sqrt(x)(1+x))`
(iii) माना कि `y=sin(2sin^(-1)x)`
अब `(dy)/(dx)=(d sin(2sin^(-1)x))/(dx)=(d)/(d(2sin^(-1)x))sin(2sin^(-1)x)*(d)/(dx)(2sin^(-1)x)`
`=cos(2sin^(-1)x)*2*(1)/(sqrt(1-x^(2)))=(2)/(sqrt(1-x^(2)))cos(2sin^(-1)x)`
(iv) माना कि `y=tan^(-1)(secx+tanx)`
`(dy)/(dx)=(d)/(dx)tan^(-1)(secx+tanx)`
`=(d)/(d(secx+tanx))tan^(-1)(secx+tanx)*(d)/(dx)(secx+tanx)`
`=(1)/((1+sec^(2)x+tan^(2)x+2secxtanx))(secxtanx+sec^(2)x)`
`=(secxtanx+sec^(2)x)/((2sec^(2)x+2secxtanx))=(secx(tanx+secx))/(2secx(secx+tanx))=(1)/(2)`
`(dy)/(dx)=(d)/(dx){cos(sin^(-1)x)}`
`=-(sin(sin^(-1)x))/(sqrt(1-x^(2)))`
Discussion
97.

`"tan"^(-1)(x)/(sqrt(a^(2)-x^(2)))`

Answer» Correct Answer - `(1)/(sqrt(a^(2)-x^(2)))`
`x=asintheta`
Discussion
98.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए `"sin"^(-1)(1)/(sqrt(1+x^(2)))`

Answer» Correct Answer - `-(1)/(1+x^(2))`
`x=tantheta`
Discussion
99.

x के सापेक्ष `cot^(-1)((1-x)/(1+x))` को अवकलित करें।

Answer» माना कि `y=cot^(-1)((1-x)/(1+x))`
`u=(1-x)/(1+x)` रखें । … (1) तो `y=cot^(-1)u`
u के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है,
`(dy)/(du)=(-1)/(1+u^(2))=(-1)/(1+((1-x)/(1+x))^(2))`
`=(-(1+x)^(2))/((1+x)^(2)+(1-x)^(2))=((1+x)^(2))/(2(1+x^(2)))` ...(2)
(1) में दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित (Differentiate) करने पर हमें मिलता है ,
`(du)/(dx)=((1+x)*(-1)-(1-x)*1)/((1+x)^(2))=(-2)/((1+x)^(2))` ... (3)
(2) तथा (3) से ,हमें मिलता है , `(dy)/(dx)=(dy)/(du)*(du)/(dx)`
`=-((1+x)^(2))/(2(1+x^(2)))*(-2)/((1+x)^(2))=(1)/(1+x^(2))`
Second Method : `(dy)/(dx)=(d)/(dx)cot^(-1)((1-x)/(1+x))=(d)/(d((1-x)/(1+x)))cot^(-1)((1-x)/(1+x))*(d)/(dx)((1-x)/(1+x))`
`=-(1)/(1+((1-x)/(1+x))^(2))*((1+x)(-1)-(1-x)*1)/((1+x)^(2))`
`=-((1+x)^(2))/((1+x)^(2)+(1-x)^(2))*{(-2)/((1+x)^(2))}=(2)/(2(1+x^(2)))=(1)/(1+x^(2))`
Discussion
100.

यदि (If) `y=log_(7)(log_(7)x)` (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें।

Answer» दिए है ,`y=log_(7)(logx)=(log(logx))/(log7)" " [log_(b)m=(logm)/(logb)]`
दिए हुआ फलन `xgt1` के लिए परिभषित है।
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है,
`(dy)/(dx)=(1)/(log7)(d)/(dx)(log(logx))`
`=(1)/(log7)(1)/(logx)*(d)/(dx)(logx)=(1)/(xlog7logx)`
Discussion