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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

101.

निम्नलिखित को x के सापेक्ष अवकलित करें। `sin^(-1)(1-2x^(2))`

Answer» Correct Answer - `-(2)/(sqrt(1-x^(2)))`
`x=sintheta`
Discussion
102.

`(e^(x))/(logx)` का अवकल गुणांक x के सापेक्ष निकालें ।

Answer» माना कि `y=(e^(x))/(logx)`
अब , `(dy)/(dx)=(d)/(dx)((e^(x))/(logx))=(logx*(d)/(dx)(e^(x))-e^(x)*(d)/(dx)(logx))/((logx)^(2))`
`=(logx*e^(x)-e^(x)*(1)/(x))/((logx)^(2))=(xe^(x)logx-e^(x))/(x(logx)^(2))=(e^(x)(xlogx-1))/(x(logx)^(2))`
Discussion
103.

यदि `(If)y=10^(5log)10x`,(find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें।

Answer» दिया है, `y=10^(5log10^(x))=10^(log_(10)(x^(5)))`
दोनों तरफ 10 आधार पर लघुगणक लेने पर हमें मिलता है,
`log_(10)y=log_(10)x^(5)*log_(10)=log_(10)x^(5) " " [becauselog_(10)10=1]`
`thereforey=x^(5) therefore(dy)/(dx)=5x^(4)`
Discussion
104.

निम्नलिखित को x के सापेक्ष अवकलित करें । (Differentiate the following w.r.tox ) `log(x+sqrt(1+x^(2)))`

Answer» माना कि `y=log(x+sqrt(1+x^(2)))=logu`, जहाँ `u=x+sqrt(1+x^(2))`
`rArr(dy)/(du)=(1)/(u)` तथा `(du)/(dx)=1+(x)/(sqrt(1+x^(2)))`
`rArr(dy)/(du)=(1)/(x+sqrt(1+x^(2)))` तथा `(du)/(dx)=(sqrt(1+x^(2))+x)/(sqrt(1+x^(2)))`
अब `(dy)/(dx)=(dy)/(du)xx(du)/(dx)=(1)/(sqrt((+x^(2)))`
Discussion
105.

यदि (If) `y=tan^(-1)((sqrt(1+x^(2))-sqrt(1-x^(2)))/(sqrt(1+x^(2))+sqrt(1-x^(2))))` , (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें

Answer» यहाँ `y=tan^(-1)[(sqrt(1+x^(2))-sqrt(1-x^(2)))/(sqrt(1+x^(2))+sqrt(1-x^(2)))]`
`x^(2)=costheta` रखने पर,
`y=tan^(-1)[(sqrt(1+costheta)-sqrt(1-costheta))/(sqrt(1+costheta)+sqrt(1-costheta))]=tan^(-1)[(sqrt(2)"cos"(theta)/(2)-sqrt(2)"sin"(theta)/(2))/(sqrt(2)"cos"(theta)/(2)+sqrt(2) "sin"(theta)/(2))]`
`=tan^(-1)[(1-"tan"(theta)/(2))/(1+"tan"(theta)/(2))]=tan^(-1)[tan((pi)/(4)-(theta)/(2))]`
`=(pi)/(4)-(theta)/(2)=(pi)/(4)-(1)/(2)"cos"^(-1)x^(2)`
x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है,
`(dy)/(dx)=0-(1)/(2)*(d)/(dx)(cos^(-1)x^(2))`
`=-(1)/(2)*(-1)/(sqrt(1-(x^(2))^(2)))*(d)/(dx)(x^(2))=(1)/(2)*(1)/(sqrt(1-x^(4)))*2x=(x)/(sqrt(1-x^(4)))`
Discussion
106.

यदि (If) `y="tan"^(-1)(x-sqrt(1-x^(2)))/(x+sqrt(1-x^(2))),` (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें ।

Answer» `x=costheta` रखने पर,
`y=tan^(-1)((costheta-sintheta)/(costheta+sintheta))=tan^(-1)((1-tantheta)/(1+tantheta))`
`=tan^(-1)tan((pi)/(4)-theta)=(pi)/(4)-theta=(pi)/(4)-cos^(-1)x`
`therefore(dy)/(dx)=0-(-(1)/(sqrt(1-x^(2))))=(1)/(sqrt(1-x^(2)))`
Discussion
107.

x के सापेक्ष `tan^(-1)[(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)+sqrt(1-x))]` (w.r.t.x) को अवकलित करें ।

Answer» माना कि `y=tan^(-1)[(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)+sqrt(1-x))]`
`=tan^(-1)[(sqrt(1+costheta)-sqrt(1-costheta))/(sqrt(1+costheta)+sqrt(1-costheta))] " " (x=costheta` रखने पर)
`=tan^(-1)[(sqrt(2"cos"^(2)(theta)/(2))-sqrt(2"sin"^(2)(theta)/(2)))/(sqrt(2"cos"^(2)(theta)/(2))+sqrt(2"sin"^(2)(theta)/(2)))]=tan^(-1)[("cos"(theta)/(2)-"sin"(theta)/(2))/("cos"(theta)/(2)+"sin"(theta)/(2))]`
`=tan^(-1)[(1-"tan"(theta)/(2))/(1+"tan"(theta)/(2))]=tan^(-1)[tan((pi)/(4)-(theta)/(2))]=(pi)/(4)-(theta)/(2)`
`thereforey=(pi)/(4)-(1)/(2) "cos"^(-1)x therefore(dy)/(dx)=-(1)/(2)(-(1)/(sqrt(1-x^(2))))=(1)/(2sqrt(1-x^(2)))`
Discussion
108.

यदि `y=(7x^(2)+11x+39)^(3/(2))`, तो `(dy)/(dx)` ज्ञात करें |

Answer» `(dy)/(dx)=(d)/(dx)(7x^(2)+11x+39)^(3/(2))`
`=(d(7x^(2)+11x+39)^(3/(2)))/(d(7x^(2)+11x+39))*(d)/(dx)(7x^(2)+11x+39)`
`=(3)/(2)(7x^(2)+11x+39)^(3/2-1)*[7(d)/(dx)(x^(2))+11(d)/(dx)(x)+(d)/(dx)(39)]`
`=(3)/(2)(7x^(2)+11x+39)^(1/2)*(14x+11)`
`=(3)/(2)(14x+11)sqrt(7x^(2)+11x+39)`
Discussion
109.

यदि (If) `y=sqrt(sinsqrt(x)),` (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें ।

Answer» `(dy)/(dx)=(d)/(dx)(sqrt(sinsqrt(x)))=(d)/(d sinsqrt(x))sqrt(sinsqrt(x))*(d)/(dsqrt(x))sqrt(sinsqrt(x))*(d)/(dx)sqrt(x)`
`=(1)/(2sqrtsinsqrt(x))*cossqrt(x)*(1)/(2sqrt(x))=(cossqrt(x))/(4sqrt(xsinsqrt(x)))`
Discussion
110.

यदि (If) `y=sqrt(cos(1+x^(2)))` (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें ।

Answer» `(dy)/(dx)=(d)/(d cos(1+x^(2)))sqrt(cos(1+x^(2)))*(d)/(d(1+x^(2)))cos(1+x^(2))*(d)/(dx)(1+x^(2))`
`=(1)/(2sqrt(cos(1+x^(2)))){-sin(1+x^(2))}2x=-(x sin(1+x^(2)))/(sqrt(cos(1+x^(2))))`
Discussion
111.

यदि (If) `y=sinsqrt(cosx),` (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें |

Answer» `(dy)/(dx)=(d)/(dx)(sinsqrt(cosx))`
`=(d)/(dsqrt(cosx))sinsqrt(cosx)*(d)/(dcosx)sqrt(cosx)*(d)/(dx)(cosx)`
`=cossqrt(cosx)*(1)/(2sqrt(cosx))*(-sinx)=-(sinxcossqrt(cosx))/(2sqrt(cosx))`
Discussion
112.

यदि (If) `y=sinsqrt(x^(2)+ax+1)` (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें ।

Answer» `(dy)/(dx)=(d)/(dx)sinsqrt(x^(2)+ax+1)`
`=(d)/(dsqrt(x^(2)+ax+1))sinsqrt(x^(2)+ax+1)*(d)/(d(x^(2)+ax+1))sqrt(x^(2)+ax+1)*(d)/(dx)(x^(2)+ax+1)`
`=cossqrt(x^(2)+ax+1)*(1)/(2sqrt(x^(2)+ax+1))*(2x+a)`
`=((2x+a)cossqrt(x^(2)+ax+1))/(2sqrt(x^(2)+ax+1))`
Discussion
113.

यदि (If)`y=cossqrt(sinsqrt(x))`, (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें ।

Answer» `(dy)/(dx)=(d)/(dx)(cossqrt(sinsqrt(x)))`
`=(d)/(dsqrt(sinsqrt(x)))cossqrt(sinsqrt(x))*(d)/(d sinsqrt(x))sqrt(sinsqrt(x))*(d)/(dsqrt(x))sinsqrt(x)*(d)/(dx)sqrt(x)`
`=(-sinsqrt(sinsqrt(x)))*(1)/(2sqrt(sinsqrt(x)))*cossqrt(x)*(1)/(2sqrt(x))`
`=(cossqrt(x)*sinsqrt(sinsqrt(x)))/(4sqrt(x)*sqrt(sinsqrt(x)))`
Discussion
114.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `e^(sin^(-1)x)`

Answer» माना `y=e^(sin^(-1)x)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)(e^(sin^(-1)x))`
`=e^(sin^(-1)x).d/(dx)(sin^(-1)x)`
`=e^(sin^(-1)x).(1)/(sqrt(1-x^(2)))`
`=(e^(sin^(-1)x))/(sqrt(1-x^(2)))`
Discussion
115.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `e^(e^(x))`

Answer» माना `y=e^(e^(x))`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)(e^(e^(x)))`
`=e^(e^(x))d/(dx)(e^(x))`
`=e^(e^(x)).e^(x).`
Discussion
116.

यदि (If) `y=sin^(3)sqrt(ax^(2)+bx+c)`, (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें ।

Answer» `(dy)/(dx)=(d)/(d sinsqrt(ax^(2)+bx+c))sin^(3)sqrt(ax^(2)+bx+c)*(d)/(dsqrt(ax^(2)+bx+c))sinsqrt(ax^(2)+bx+c)`
`*(d)/(d(ax^(2)+bx+c))sqrt(ax^(2)+bx+c)*(d)/(dx)(ax^(2)+bx+c)`
`=3sin^(2)sqrt(ax^(2)+bx+c)*cossqrt(ax^(2)+bx+c)*(1)/(sqrt(ax^(2)+bx+c))(2ax+b)`
Discussion
117.

यदि (If) `y=sin^(n)(ax^(2)+bx+c)`, (find) `(dy)/(dx)` ज्ञात करें ।

Answer» माना कि `y=sin^(n)(ax^(2)+bx+c)`
माना कि `u=ax^(2)+bx+c,v=sinu,` तो `y=v^(n)`
`therefore(du)/(dx)=2ax+b,(dv)/(du)=cosu` तथा `(dy)/(dv)=nv^(n-1)`
chain rule से , `(dy)/(dx)=(dy)/(dv)xx(dv)/(du)xx(du)/(dx)=nv^(n-1)*cosu*(2ax+b)`
`=nsin^(n-1)(ax^(2)+bx+c)cos(ax^(2)+bx+c)(2ax+b)`
`=n(2ax+b)sin^(n-1)(ax^(2)+bx+c)cos(ax^(2)+bx+c)`
Second method : `(dy)/(dx)=(d)/(dx)[sin^(n)(ax^(2)+bx)+c)]`
`=(d)/(d sin(ax^(2)+bx+c))sin^(n)(ax^(2)+bx+c)*(d)/(d(ax^(2)+bx+c))sin(ax^(2)+bx+c)*(d)/(dx)(ax^(2)+bx+c)`
`=n sin^(n-1)(ax^(2)+bx+c)cos(ax^(2)+bx+c)(2ax+b)`
Discussion
118.

निम्नलिखित को x के सापेक्ष अवकलित करें । `"tan"^(-1)((a+bx)/(b-ax))`

Answer» Correct Answer - `(1)/(1+x^(2))`
`tan^(-1)((a+bx)/(b-ax))="tan"^(-1)(((a)/(b)+x)/(1-(a)/(b)x))=tan^(-1)((a)/(b))+tan^(-1)x`
Discussion
119.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए, जबकि- `y=(e^(x)+e^(-x))/(e^(x)-e^(-x))`

Answer» यहाँ `y=(e^(x)+e^(-x))/(e^(x)-e^(-x))`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=((e^(x)-e^(-x))d/(dx)(e^(x)+e^(-x))-(e^(x)+e^(-x))d/(dx)(e^(x)-e^(-x)))/((e^(x)-e^(-x))^(2))`
`=((e^(x)-e^(-x))(e^(x)-e^(-x))-(e^(x)+e^(-x))(e^(x)+e^(-x))/((e^(x)-e^(-x))^(2))`
`=((e^(x)-e^(-x))^(2)-(e^(x)+e^(-x))^(2))/((e^(x)-e^(-x))^(2))`
`=(e^(2x)+e^(-2x)-2e^(x)e^(-x)-e^(2x)-e^(-2x)-2e^(x)e^(-x))/((e^(x)-e^(-x))^(2))`
`=(-4e^(0))/((e^(x)-e^(-x))^(2))=(-4)/((e^(x)-e^(-x))^(2))`
Discussion
120.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `3^(x)tanx`

Answer» `d/(dx)(3^(x)tanx)`
`=3^(x)d/(dx)(tanx)+tanxd/(dx)(3^(x))`
`=3^(x)sec^(2)x+tanx(3^(x)log3)`
`=3^(x)[sec^(2)x+tanxlog3]`
Discussion
121.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `e^(xxsinx)`

Answer» माना `y=e^(xsinx)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)[e^(xsinx)]`
`=e^(xsinx)d/(dx)(xsinx)`
`=e^(xsinx)[xd/(dx)(sinx)+sinxd/(dx)(x)]`
`=e^(xsinx)(xcosx+sinx)`
Discussion
122.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए, जबकि- `y=e^(ax)cos(bx+c)`

Answer» यहाँ `y=e^(ax)cos(bx+c)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)[e^(ax)cos(bx+c)]`
`=e^(ax).d/(dx)(cos(bx+c))+cos(bx+c)d/(dx)(e^(ax))`
`=e^(ax){-sin(bx+c)}.d/(dx)(bx+c)+cos(bx+c)e^(ax).d/(dx)(ax)`
`=e^(ax).{-sin(bx+c)}.b+cos(bx+c)e^(ax).a`
`=-be^(ax)sin(bx+c)+ae^(ax)cos(bx+c)`
`=e^(ax)[-bsin(bx+c)+acos(bx+c)]`
Discussion
123.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `log_(10)x+log_(x)10+log_(x)x+log_(10)10`.

Answer» माना
`y=log_(10)x+log_(x)10+log_(x)x+log_(10)10`
`rArry=log_(10)x+1/(log_(10)x)+1+1`
`rArry=log_(10)x+(log_(10)x)^(-1)+2`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)log_(10)x+d/(dx)(log_(10)x)^(-1)+d/(dx)(2)`
`=1/(xlog_(e)10)+(-1)(log_(10)x)^(-2)d/(dx)(log_(10)x)+0`
`=1/(xlog_(e)10)-1/((log_(10)x)^(2)).1/(xlog_(e)10),`
`[becaused/(dx)log_(a)x=1/(xlog_(e)a)]`
`=1/(xlog_(e)10)-1/(x(log_(10)x.log_(e)10)^(2)).log_(e)10`
`=1/(xlog_(e)10)-1/(x(log_(e)x)^(2)).log_(e)10`
Discussion
124.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए, यदि- `x=at^(2),y=2at`

Answer» दिया गया है-
`x=at^(2),y=2at`
`therefore(dx)/(dt)=2at` और `(dy)/(dt)=2a`
अब, `(dy)/(dx)=((dy)/(dt))/((dx)/(dt))=(2a)/(2at)=1/t`
Discussion
125.

यदि `y=btan^(-1)(x/a+tan^(-1)y/x)` हो,तो `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए ।

Answer» `y=btan^(-1)(x/a+tan^(-1)y/x)`
`rArry/b=tan^(-1)(x/a+tan^(-1)y/x)`
`rArrtany/b=x/a+tan^(-1)y/x`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`d/(dx){tan(y/b)}=d/(dx)(x/a)+d/(dx){tan^(-1)(y/x)}`
`rArrsec^(2)(y/b).1/b(dy)/(dx)=1/a+1/(1+(y/x)^(2))`,
`((x(dy)/(dx)-y.1)/(x^(2)))`
`rArr1/bsec^(2)(y/b)(dy)/(dx)=1/a+(x^(2))/(x^(2)+y^(2)).((x(dy)/(dx)-y))/(x^(2))`
`rArr1/bsec^(2)(y/b)(dy)/(dx)=1/a+x/(x^(2)+y^(2))(dy)/(dx)-y/(x^(2)+y^(2))`
`rArr[1/bsec^(2)(y/b)-x/(x^(2)+y^(2))](dy)/(dx)=1/a-y/(x^(2)+y^(2))`
`rArr(dy)/(dx)=(1/a-y/(x^(2)+y^(2)))/(1/bsec^(2)(y/b)-x/(x^(2)+y^(2)))`
Discussion
126.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- xsinxlogx

Answer» `d/(dx)(xsinxlogx)`
`=(xsinx)d/(dx)(logx)+logxd/(dx)(xsinx)`
`=(xsinx)1/x+logx`
`[xd/(dx)(sinx)+sinxd/(dx)(x)]`
`=sinx+logx[xcosx+sinx]`
`=sinx+xlogxcosx+logxsinx`
Discussion
127.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `sin^(-1)((2x)/(1+x^(2)))`

Answer» `y=sin^(-1)((2x)/(1+x^(2)))`
माना `x=tantheta` , तब `theta=tan^(-1)x`
`thereforey=sin^(-1)((2tantheta)/(1+tan^(2)theta))`
`rArry=sin^(-1)(sin2theta)`, `[becausesin2theta=(2tantheta)/(1+tan^(2)theta)]`
`rArry=2theta=2tan^(-1)x`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=2d/(dx)(tan^(-1)x)`
`rArr(dy)/(dx)=2/(1+x^(2))`
`therefored/(dx){sin^(-1)((2x)/(1-x^(2)))}=2/(1+x^(2))`
Discussion
128.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `sin^(-1)(2axsqrt(1-a^(2)x^(2)))`

Answer» `y=sin^(-1)(2axsqrt(1-a^(2)x^(2)))`
माना `ax=sintheta`, तब `theta=sin^(-1)(ax)`
`thereforey=sin^(-1){2sintheta(sqrt(1-sin^(2)theta))}`
`rArry=sin^(-1)(2sinthetacostheta)`
`rArry=sin^(-1)(sin2theta)`
`rArry=2theta=2sin^(-1)(ax)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=2d/(dx){sin^(-1)(ax)}`
`rArr(dy)/(dx)=2.1/(sqrt(1-a^(2)x^(2))).d/(dx)(ax)`
`rArr(dy)/(dx)=(2a)/(sqrt(1-a^(2)x^(2)))`
`therefored/(dx){sin^(-1)(2axsqrt(1-a^(2)x^(2)))}`
`=(2a)/(sqrt(1-a^(2)x^(2)))`
Discussion
129.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `a^(x)`, जहाँ a अचर है।

Answer» माना `y=a^(x)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`logy=loga^(x)`
`rArrlogy=xloga`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`d/(dx)(logy)=d/(dx){xloga}`
`rArr1/y(dy)/(dx)=loga`
`rArr(dy)/(dx)=yloga=a^(x)loga`
Discussion
130.

`(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए, यदि- `y=a^(t+1/t),x=(t+1/t)^(a)`

Answer» यहाँ `y=a^(t+1/t)`
`therefore(dy)/(dt)=d/(dt)(a^(t+1/t))`
`=a^(t+1/t)d/(dt)(t+1/t).loga`
`=a^(t+1/t)(1-1/(t^(2))).loga`
और `x=(t+1/t)^(a)`
`therefore(dx)/(dt)=a(t+1/t)^(a-1).d/(dt)(t+1/t)`
`=a(t+1/t)^(a-1).(1-1/(t^(2)))`
`(dx)/(dt)ne0` केवल यदि `tnepm1` अतः `tnepm1`
`(dy)/(dx)=((dy)/(dt))/((dx)/(dt))=(a^(t+1/t)(1-1/(t^(2)))loga)/(a(1+1/t)^(a-1)(1-1/(t^(2))))`
`rArr(dy)/(dx)=(a^(t+1/t)loga)/(a(t+1/t)^(a-1))`
Discussion
131.

यदि `y^(x)+x^(y)+x^(x)=a^(b)` हो,तो `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए ।

Answer» दिया है- `y^(x)+x^(y)+x^(x)=a^(b)`
`u=y^(x),v=x^(y)` और `w=x^(x)` रखने पर,
`u+v+w=a^(b)`
`therefore(du)/(dx)+(dv)/(dx)+(dw)/(dx)=0` …(1)
अब, `u=y^(x)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`rArrlogu=logy^(x)`
`rArrlogu=xlogy`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/u(du)/(dx)="x"xx1/y(dy)/(dx)+logyxx1`
`rArr(du)/(dx)=u[x/y(dy)/(dx)+logy]`
`rArr(du)/(dy)=y^(x)[x/y(dy)/(dx)+logy]`
और `v=x^(y)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/v(dv)/(dx)=yxx1/x+logx.(dy)/(dx)`
`rArr(dv)/(dx)=v[y/x+logx(dy)/(dx)]`
`rArr(dv)/(dx)=x^(y)[y/x+logx(dy)/(dx)]` ...(3)
पुनः `w=x^(x)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`logw=xlogx`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/w(dw)/(dx)="x"xx1/x+log"x"xx1`
`rArr(dw)/(dx)=w[1+logx]`
`rArr(dw)/(dx)=x^(x)[1+logx]` ...(4)
समी. (1),(2),(3) और (4) से,
`y^(x)(x/y(dy)/(dx)+logy)+x^(y)(y/x+logx(dy)/(dx))+x^(x)(1+logx)=0`
`rArr(y^(x).x/(y)+x^(y)logx)(dy)/(dx)`
`=-x^(x)(1+logx)-y^(x)logy-x^(y).y/x`
`rArr(xy^(x-1)+x^(y)logx)(dy)/(dx)`
`=-[x^(x)(1+logx)+y^(x)logy-y.x^(y-1)]`
`rArr(dy)/(dx)=([-x^(x)(1+logx)+y^(x)logy-yx^(y-1)])/(xy^(x-1)+x^(y)logx)`
Discussion
132.

यदि `x^(2)+y^(2)=t-1/t` और `x^(4)+y^(4)=t^(2)+1/(t^(2))` हो,तो सिद्ध कीजिए कि `(dy)/(dx)=-1/(x^(3)y)`

Answer» यहाँ `x^(2)+y^(2)=t-1/t` ..(1)
`x^(4)+y^(4)=t^(2)+1/(t^(2))` …(2)
समी. (1) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
`(x^(2)+y^(2))^(2)=(t-1/t)^(2)`
`rArrx^(4)+y^(4)+2x^(2)y^(2)=t^(2)+1/(t^(2))-2`
`rArrx^(4)+y^(4)+2x^(2)y^(2)=x^(4)+y^(4)-2`
[समी. (2) से]
`rArr2x^(2)y^(2)=-2`
`rArrx^(2)y^(2)=-1`
`rArry^(2)=-1/(x^(2))=-x^(-2)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2y(dy)/(dx)=2x^(-3)`
`rArr(dy)/(dx)=1/(x^(3)y)` यही सिद्ध करना था|
Discussion
133.

यदि `y=sqrt((1-x)/(1+x))`, तब `(1-x^(2))(dy)/(dx)+y,-1ltxlt1`. का मान ज्ञात कीजिए

Answer» दिया गया है-
`y=sqrt((1-x)/(1+x))=((1-x)/(1+x))^(1/2)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)((1-x)/(1+x))^(1/2)`
`=1/2((1-x)/(1+x))^((-1)/2)d/(dx)((1-x)/(1+x))`
`=1/2((1-x)/(1+x))^((-1)/2){((1+x)d/(dx)(1-x)-(1-x)d/(dx)(1+x))/((1+x)^(2))}`
`=(sqrt(1+x))/(2sqrt(1-x)){((1+x)(0-1)-(1-x)(0+1))/((1+x)^(2))}`
`=(sqrt(1+x))/(2sqrt(1-x))xx(-2)/((1+x)^(2))`
`=(-1)/(sqrt(1-x)(1+x)^(3//2))` ...(1)
अब, `(1-x^(2))(dy)/(dx)+y`
`=(1-x)^(2)xx(-1)/(sqrt(1-x)(1+x)^(3//2))+sqrt((1-x)/(1+x))`
`=(-1(1-x)(1+x))/(sqrt(1-x)(1+x)^(3//2))+sqrt((1-x)/(1+x))`
`=-sqrt((1-x)/(1+x))+sqrt((1-x)/(1+x))`
=0
Discussion
134.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `sin[cos(x^(2))]`.

Answer» माना `y=sin[cos(x^(2))]`
`therefore(dy)/(dx)=d/(dx){sin[cos(x^(2))]}`
`=d/(dx)(sint),[cos(x^(2))=t` रखने पर`]`
`=d/(dt)(sint)(dt)/(dx)`
`=costd/(dx)(cosx^(2))`
`=cos[cos(x^(2))]d/(dx)(cosu),[x^(2)=u` रखने पर`]`
`=cos[cos(x^(2))]d/(du)(cosu)(du)/(dx)`
`=cos[cos(x^(2))](-sinu)d/(dx)(x^(2))`
`=cos[cos(x^(2))](-sinx^(2)).2x`
`=-2xsinx^(2)cos[cos(x^(2))]`
विकल्पतः `d/(dx)[sin(cosx^(2))]`
`=cos(cosx^(2))d/(dx)(cosx^(2))`
`=cos(cosx^(2))(-sinx^(2))d/(dx)(x^(2))`
`=cos(cosx^(2))(-sinx^(2))(2x)`
`=-2xsinx^(2)cos(cosx^(2))`
Discussion
135.

निम्नलिखित फलनों का अवकलज ज्ञात कीजिए- `(3-2x)sin^(-1)(2x)`

Answer» माना `y=(3-2x)sin^(-1)(2x)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)[(3-2x)sin^(-1)(2x)]`
`=(3-2x)d/(dx)sin^(-1)(2x)+sin^(-1)(2x)d/(dx)(3-2x)`
`=(3-2x)1/(sqrt(1-(2x)^(2))).d/(dx)(2x)+sin^(-1)(2x)(0-2)`
`=(2(3-2x))/(sqrt(1-4x^(2)))-2sin^(-1)2x`
`=2[((3-2x))/(sqrt(1-4x^(2)))-sin^(-1)2x]`
Discussion
136.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `sin(tan^(-1)e^(x))`

Answer» माना `y=sin(tan^(-1)e^(x))`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)[sin(tan^(-1)e^(x))]`
`=cos(tan^(-1)e^(x))d/(dx)(tan^(-1)e^(x))`
`=cos(tan^(-1)e^(x)).(1)/(1+(e^(x))^(2)).d/(dx)(e^(x))`
`=cos(tan^(-1)e^(x)).(1)/(1+e^(2x)).e^(x)`
`=(e^(x)cos(tan^(-1)e^(x)))/(1+e^(2x))`
Discussion
137.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- tan(2x+3)

Answer» माना y=tan(2x+3)
`therefore(dy)/(dx)=d/(dx)[tan(2x+3)]`
`=d/(dx)(tant),[t=2x+3` रखने पर`]`
`=d/(dt)(tant)(dt)/(dx)`
`=sec^(2)td/(dx)(2x+3)`
`=sec^(2)(2x+3)xx2`
`=2sec^(2)(2x+3)`
विकल्पतः `d/(dx)[tan(2x+3)]`
`=sec^(2)(2x+3)d/(dx)(2x+3)`
`=2sec^(2)(2x+3)`
Discussion
138.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `x^(sinx)`

Answer» माना `y=x^(sinx)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`logy=logx^(sinx)`
`rArrlogy=sinx.logx`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`d/(dx)(logy)=d/(dx){sinx.logx}`
`rArr1/y(dy)/(dx)=sinx.(1)/x+logx.cosx`
`rArr(dy)/(dx)=y[(sinx)/x+logxcosx]`
`rArr(dy)/(dx)=x^(sinx)[(sinx)/x+logxcosx]`
Discussion
139.

निम्नलिखित फलनों का् x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए- `cos^(-1)(cotx)`

Answer» माना `y=cos^(-1)(cotx)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx){cos^(-1)(cotx)}`
`=(-1)/(sqrt(1-cot^(2)x)).d/(dx)(cotx),`
`[becaused/(dx)cos^(-1)x=(-1)/(sqrt(1-x^(2)))]`
`=(-1)/(sqrt(1-cot^(2)x)).(-cosec^(2)x)`
`=-(cosec^(2)x)/(sqrt(1-cot^(2)x))`
Discussion
140.

निम्नलिखित फलनों का् x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए- `sin^(-1)(e^(x))`

Answer» माना `y=sin^(-1)(e^(x))`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx){sin^(-1)(e^(x))}`
`=1/(sqrt(1-(e^(x))^(2)0).d/(dx)(e^(x)),`
`[becaused/(dx)sin^(-1)x=1/(sqrt(1-x^(2)))]`
`=1/(sqrt(1-e^(2x))).e^(x)`
`=(e^(x))/(sqrt(1-e^(2x)))`
Discussion
141.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `x^(sqrtx)`

Answer» माना `y=x^(sqrtx)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`logy=logx^(sqrtx)`
`rArrlogy=sqrtxlogx`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`d/(dx)(logy)=d/(dx){sqrtx.logx}`
`rArr1/y(dy)/(dx)=sqrtx.(1)/x+logx.(1)/2x^(1//2)`
`rArr(dy)/(dx)=y[1/(sqrtx)+(logx)/(2sqrtx)]`
`rArr(dy)/(dx)=x^(sqrtx)[1/(sqrtx)+(logx)/(2sqrtx)]`
Discussion
142.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `sinx^(2)`

Answer» Let `y=sinx^(3)`
`therefore(dy)/(dx)=d/(dx)(sinx^(2))`
`=d/(dx)(sint),[x^(2)=t` रखने पर`]`
`=d/(dx)(sint)(dt)/(dx),` [शृंखला नियम से]
`=costd/(dx)(x^(2))`
`=cosx^(2).2x`
`=2xcosx^(2)`
विकल्पतः `d/(dx)(sinx^(2))=cosx^(2)d/(dx)(x^(2))`
`=2xcosx^(2)`
Discussion
143.

निम्नलिखित फलनों का् x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए- `tan^(-1)sqrtx`

Answer» माना `y=tan^(-1)sqrtx`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx){tan^(-1)sqrtx}`
`=1/(1+(sqrtx)^(2)).d/(dx)(sqrtx)`
`[becaused/(dx)(tan^(-1)x)=1/(1+x^(2))]`
`=1/(1+x).(1/2x^(-1//2))`
`=1/(2sqrtx(1+x^(2)))`
Discussion
144.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `e^(x)logsqrtxtanx`

Answer» `d/(dx)(e^(x)logsqrtxtanx)`
`=d/(dx)[e^(x)xx1/2logxtanx]`
`=1/2d/(dx)(e^(x)logxtanx)`
`=1/2[e^(x)d/(dx)(logxtanx)+logxtanxd/(dx)(e^(x)]`
`=1/2[e^(x){logxd/(dx)(tanx)+tanxd/(dx)(logx)}+logxtanxe^(x)]`
`=1/2[e^(x){logx.sec^(2)x+tanx.1/x}+logxtanxe^(x)]`
`=(e^(x))/2[logxsec^(2)x+(tanx)/x+logxtanx]`
Discussion
145.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `(sqrta+sqrtx)/(sqrta-sqrtx)`

Answer» `d/(dx)((sqrta+sqrtx)/(sqrta-sqrtx))`
=`((sqrta-sqrtx)d/(dx)(sqrta+sqrtx)-(sqrta+sqrtx)d/(dx)(sqrta-sqrtx))/((sqrta-sqrtx)^(2))`
==`((sqrta-sqrtx)(0+1/(2sqrtx))-(sqrta+sqrtx)(0-1/(2sqrtx)))/((sqrta-sqrtx)^(2))`
`=((sqrta/(2sqrtx)-1/2)-(-sqrta/(2sqrtx)-1/2))/((sqrta-sqrtx)^(2))`
`=(sqrta/(2sqrtx)-1/2+sqrta/(2sqrtx)+1/2)/((sqrta-sqrtx)^(2))`
`=sqrta/(sqrtx(sqrta-sqrtx)^(2))`
Discussion
146.

अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए- `sqrt((1+tanx)/(1-tanx))`

Answer» माना `y=sqrt((1+tanx)/(1-tanx))` ltbr gt`rArry=sqrt((tanpi/4+tanx)/(1-tanpi/4tanx))`
`rArry=sqrt(tan(pi/4+x))`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)[tan(pi/4+x)]^(1/2)`
`=1/2[tan(pi/4+x)^(1/2)d/(dx)[tan(pi/4+x)]]`
`=1/(2sqrt(tan(pi/4+x)).sec^(2)(pi/4+x).d/(dx)(pi/4+x)`
`=(sec^(2)(pi/4+x))/(2sqrt(tan(pi/4+x))).(0+1)`
`=(sec^(2)(pi/4+x))/(2sqrt(tan(pi/4+x)))`
Discussion
147.

अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए- `sqrt((secx-tanx)/(secx+tanx))`

Answer» माना `y=sqrt((secx-tanx)/(secx+tanx))`
`rArry=sqrt((1/(cosx)-(sinx)/(cosx))/(1/(cosx)+(sinx)/(cosx))`
`rArry=sqrt((1-sinx)/(1+sinx))=((1-sinx)/(1+sinx))^(1/2)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)((1-sinx)/(1+sinx))^(1/2)`
`=1/2((1-sinx)/(1+sinx))^(1/2)d/(dx)((1-sinx)/(1+sinx))`
`=1/2sqrt((1+sinx)/(1-sinx))`
`((1+sinx)(d/(dx)(1-sinx))-(1-sinx)d/(dx)(1+sinx))/((1+sinx)^(2))`
`=1/2sqrt((1+sinx)/(1-sinx))`
`((1+sinx)(-cosx)-(1-sinx)cosx)/((1+sinx)^(2))`
`=1/2sqrt((1+sinx)/(1-sinx))(-2cosx)/((1+sinx)(1+sinx))`
`=(-cosx)/(sqrt((1-sinx)(1+sinx)(1+sinx)))`
`=(-cosx)/(sqrt(1-sin^(2)x)(1+sinx))`
`=(-cosx)/(cos(1+sinx))`
`=(-1)/(1+sinx)`
Discussion
148.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए- `tan^(-1){sqrt((1+cosx)/(1-cosx))},0ltxltpi`

Answer» माना `y=tan^(-1){sqrt((1+cosx)/(1-cosx))}`
`rArry=tan^(-1){sqrt((2cos^(2)x/2)/(2sin^(2)x/2))}`
`rArry=tan^(-1)(abs(cotx/2))`
`rArry=tan^(-1)(cotx/2)`
`(becauseoltxltpirArr0ltx/2ltpi/2)`
`rArry=tan^(-1)[tan(pi/2-x/2)]`
`rArry=pi/2-x/2`
`therefore(dy)/(dx)=0-1/2`
`=-1/2`
Discussion
149.

यदि `x^(m)y^(n)=(x+y)^(m+n)` हो,तो सिद्ध कीजिए कि `(dy)/(dx)=y/x`

Answer» यहाँ `x^(m)y^(n)=(x+y)^(m+n)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`log(x^(m)y^(n))=log(x+y)^(m+n)`
`rArrlogx^(m)+logy^(n)=(m+n)log(x+y)`
`rArrmlogx+nlogy=(m+n)log(x+y)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`m/x+n/y(dy)/(dx)=((m+n))/(x+y)(1+(dy)/(dx))`
`rArr(n/y-((m+n))/(x+y))(dy)/(dx)=(m+n)/(x+y)-m/x`
`rArr[(nx+ny-my-ny)/((x+y)y)](dy)/(dx)`
`=[(mx+nx-mx-my)/(x(x+y))]`
`rArr[((nx-my))/(y(x+y))](dy)/(dx)=(nx-my)/(x(x+y))`
`rArr1/y(dy)/(dx)=1/x`
`rArr(dy)/(dx)=y/x` यही सिद्ध करना था|
Discussion
150.

निम्नलिखित फलन x के सापेक्ष अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः `e^(x) sin x`

Answer» माना `y=e^(x) sin x`
`therefore (dy)/(dx)=(d)/(dx)(e^(x)sinx)`
`=e^(x) (d)/(dx) sin x+sin x(d)/(dx)e^(x)`
`=e^(x) cos x +sinxe^(x)=e^x (cos x +sin x)`
Discussion