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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

`int_(0)^(pi//2)cos^(8)xdx` का मान क्या है ?A. `(11)/(256)`B. `(35pi)/(256)`C. `(37pi)/(256)`D. `(41pi)/(256)`

Answer» `int_(0)^(pi//2)cos^(8)xdx=((8-1)(8-3)(8-5)(8-7))/(8*(8-2)(8-4)(8-6))*(pi)/(2)`
`=(7*5*3*1)/(8*6*4*2)*(pi)/(2)=(35pi)/(256)`
`[becauseint_(0)^(pi//2)cos^(n)xdx=(n-1)/(n)*(n-3)/(n-2)*(n-5)/(n-4)...(3)/(4)*(1)/(2)*(pi)/(2)"जब"n"सम है" ]`
यदि एक फलन f(x) एक बन्द अन्तराल [a,b] में परिभाषित है ,तब
`int_(a)^(b)f(x)dx=underset(htoinfty)(lim)h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f[a+(n-1)h}]`
या `int_(a)^(b)f(x)dx=(b-a)underset(nto infty)(lim)(1)/(h)[f(a)+f(a+h)+...+f{a+(n-1)h_(1)}]` जहाँ, `h=(b-a)/(n)` तथा `hto0`, यदि `ntoinfty`
Discussion
2.

कथन `(A)int_(0)^(pi)sin^(7)xdx=2int_(0)^(pi//2)sin^(7)xdx` कारण `(R)sin^(7)x` एक विषम फलन है ।A. A तथा R दोनों सही हैं और R,A का सही स्पष्टीकरण हैB. A और R दोनों सही हैं परन्तु R,A का सही स्पष्टीकरण नहीं हैC. A सही है परन्तु R गलत हैD. A गलत है परन्तु R सही है

Answer» माना `I=int_(0)^(pi)sin^(7)xdx=int_(0)^(2*(pi)/(2))sin^(7)xdx`
`=int_(0)^(2pi//2)sin^(7)(pi-x)dx=2int_(0)^(pi//2)sin^(7)xxdx`
`becauseint_(0)^(2a)f(x)dx={{:(0",",f(2a-x)=-f(x)),(2int_(0)^(a)f(x)dx",",f(2a-x)=f(x)):}`
R. माना `f(x)=sin^(7)xrArrf(-x)=sin^(7)(-x)=-sin^(7)x=-f(x)`
`becausef(-x)=-f(x)`
अतः `sin^(7)x` एक विषम फलन है ।
अतः A और R दोनों सही हैं परन्तु R , A का सही स्पष्टीकरण नहीं है ।
Discussion
3.

`int_(0)^(pi//2)(2log sin x-log sin 2x)dx`

Answer» Correct Answer - `-(pi)/(2)`
Discussion
4.

निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए - (ii) `int_(0)^(pi)(x)/(1+sinx)dx`

Answer» Correct Answer - `pi`
Discussion
5.

`int_(0)^(pi//2)(cos)/((3cosx+sinx))`का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int_(0)^(pi//2)(cosx)/((3cosx+sinx))dx`
अब, आंशिक भिन्नों में व्यक्त करने पर
`cosx=A(3cosx+sinx)+B(d)/(dx)(3cosx+sinx)`
`cosx=A(3cos x+sinx)+B(-3sinx+cosx)" ...(1)"`
दोनों ओर `cos x` तथा `sin x` के गुणांकों की तुलना करने पर, तब
`3A+B=1" ...(2)"`
`A-3B=0" ...(2)"`
समीकरण (2 ) व (3 ) को हल करने पर
`A=(3)/(10)` व `B=(1)/(10)`
अब समीकरण (1 ) से,
`cosx=(3)/(10)(3cosx+sinx)+(1)/(10)(-3sinx+cosx)`
अब
`int_(0)^(pi//2)(cosx)/((3cosx+sinx))dx=(3)/(10)int_(0)^(pi//2)((3cosx+sinx))/((3cosx+sinx))dx+(1)/(10)int_(0)^(pi//2)((-3sinx+cosx))/((3cosx+sinx))dx`
`=(3)/(10)int_(0)^(pi//2)dx+(1)/(10)int_(0)^(pi//2)((-3sinx+cosx))/((3 cos x+sinx))dx`
`=(3)/(10)[x]_(0)^(pi//2)+(1)/(10)[log(3cosx+sinx)]_(0)^(pi//2)`
`=((3pi)/(20)-(log3)/(10))`
Discussion
6.

सिद्ध कीजिए कि `int_(0)^(pi//2)(sin^(2)x)/((1+sinxcosx))dx=(pi)/(3sqrt3)`

Answer» माना `I=int_(0)^(pi//2)(sin^(2)x)/((1+sinx cosx))dx" …(1)"`
`=int_(0)^(pi//2)(sin^(2)[(pi//2)-x])/([1+sin[(pi//2)-x]cos[(pi//2)-x])dx`
`I-int_(0)^(pi//2)(cos^(2)x)/((1+sinx cosx))dx" ...(2)"`
अब समीकरण (1 ) व (2 ) को जोड़ने पर
`2I=int_(0)^(pi//2)((sin^(2)x+os^(2)x))/((1+sinx cosx))dx=int_(0)^(pi//2)(dx)/((1+sin x cosx))`
अब अंश व हर को `cos^(2)x,` से भाग देने पर
`int_(0)^(pi//2)(dx)/((1+sinx cosx))=int_(0)^(pi//2)(sec^(2)x)/((sec^(2)x+tanx))dx`
यदि `t=tan x rArr dt = sec^(2) xdx`
तथा सीमाएँ `t=0` पर `x=0` व `t=oo` पर `x=(pi)/(2)`, तब
`int_(0)^(pi//2)(sec^(2)x)/((1+tan^(2)x+tanx))dx=int_(0)^(oo)(dt)/((t^(2)+t+1))`
`=int_(0)^(oo)(dt)/((t+(1)/(2))^(2)+((sqrt3)/(2))^(2))`
`=[(2)/(sqrt3)tan^(-1)((2t+1)/(sqrt3))]_(0)^(oo)`
`=(2)/(sqrt3)[tan^(-1)(oo)-tan^(-1)((1)/(sqrt3))]`
`=(2)/(sqrt3).((pi)/(2)-(pi)/(6))=(2pi)/(3sqrt3)`
`rArr" "I=(pi)/(3sqrt3)`
Discussion
7.

यदि f (x) एक सम फलन है ,तो `int_(0)^(pi)f(cosx)dx` किसके बराबर है ?

Answer» Correct Answer - C
दिया है, f(x) = सम फलन `rArrf(-x)=f(x)`
`int_(0)^(pi)f(cosx)dx=2int_(0)^((pi//2))f(cosx)dx`
`[becausef {cos(pi-x)}=f(-cosx)]`
यहाँ, f(cosx) एक सम फलन है ।
`rArrint_(0)^(pi)f(cosx)dx=2int_(0)^(pi//2)f(cosx)dx`
`[becausef(-cosx)=f(cosx)]`
Discussion
8.

`int_(0)^(1)x(1-x)^(n)dx`

Answer» Correct Answer - `(1)/((n+1)(n+2))`
Discussion
9.

`int_(0)^(pi//2)(x)/((sinx+cosx))dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `I=int_(0)^(pi//2)(x)/((sinx+cosx))dx" …(1)"`
` I=int_(0)^(pi//2)(((pi)/(2)-x))/(sin[(pi//2)-x]+cos[(pi//2)-x])dx`
`I=int_(0)^(pi//2)(((pi)/(2)-x))/((cosx+sinx))dx`
`=int_(0)^(pi//2)(((pi)/(2)-x))/((sinx+cosx))dx" ...(2)"`
अब, समीकरण (1 ) व (2 ), को जोड़ने पर
`@I=(pi)/(2)int_(0)^(pi//2)(dx)/((sinx+cosx))`
`I=(pi)/(4)int_(0)^(pi//2)(dx)/((sinx+cosx))`
`=(pi)/(4)int_(0)^(pi//2)(dx)/([(2tan(x//2))/(1+tan^(2)(x//2))+(1-tan^(2)(x//2))/(1+tan^(2)(x//2))])`
`=(pi)/(4)int_(0)^(pi//2)(sec^(2)(x//2))/(1-tan^(2)(x//2)+2tan(x//2))dx`
यदि `tan.(x)/(2)=t rArr sec^(2).(x)/(2)dx=2dt`
तथा सीमाएँ t = 0 पर वx = 0 पर `x=pi//2,` तब
`=(pi)/(4)int_(0)^(i//2)(sec^(2)(x//2))/(1-tan^(2)(x//2)+2tan(x//2))dx`
`=(pi)/(4)int_(0)^(1)(2dt)/(1-t^(2)+2t)`
`=(pi)/(2)int_(0)^(1)(dt)/([(sqrt2)^(2)-(t-1)^(2)])`
`=(pi)/(2).(1)/(2sqrt2)log[(sqrt2+(t-1))/(sqrt2-(t-1))]_(0)^(1)`
`=(pi)/(4sqrt2)log[(sqrt2+1)/(sqrt2-1)]`
Discussion
10.

दिया गया है कि `a_(n)=int(sin^(2){(n+1)x})/(sin2x)dx` `a_(n-1)-a_(n-4)` किसके बराबर है ?A. `-1`B. 0C. 1D. 2

Answer» Correct Answer - B
`a_(n-1)=int_(0)^(pi)(sin^(2){(n-1+1)}x)/(sin2x)dx`
`=int_(0)^(pi)(sin^(2){nx})/(sin2x)dx` . . . (i)
`int_(0)^(pi)f(x)dx=int_(0)^(pi)f(pi-x)dx` के प्रगुण से ,
`a_(n-1)=int_(0)^(pi)(sin^(2){n(pi-x)})/(sin2(pi-x))dx`
`=int_(0)^(pi)(sin^(2){nx})/(-sin2x)dx` . . . (ii)
समी (i) और (ii) को जोड़ने पर,
`2a_(n-1)=0rArra_(n-1)=0`
अब, `a_(n-4)=int_(0)^(pi)(sin^(2){(n-4+1)x})/(sin2x)dx`
`=int_(0)^(pi)(sin^(2){(n-3)x})/(sin2x)dx` . . . (iii)
`int_(0)^(pi)f(x)dx=int_(0)^(pi)f(pi-x)dx` के प्रगुण से,
`a_(n-4)=int_(0)^(pi)(sin^(2){(n-3)(pi-x)})/(sin2(pi-x))dx`
`=int_(0)^(pi)(sin^(2)(n-3)x)/(-sin2x)` . . . (iv)
समी (iii) और (iv) को जोड़ने पर,
`2a_(n-4)=0rArra_(n-4)=0`
`thereforea_(n-1)-a_(n-4)=0-0=0`
Discussion
11.

`int_(0)^(1)cot^(-1)(1-x +x^(2))dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `I=int_(0)^(1)cot^(-1)(1-x+x^(2))dx`
`=int_(0)^(1)tan^(-1)((1)/(1-x+x^(2)))dx`
`=int_(0)^(1)tan^(-1){(x+(1-x))/(1-x+x^(2))}dx`
`=int_(0)^(1){tan^(-1)x+tan^(-1_(1-x)}dx`
`=int_(0)^(1)tan^(-1)xdx+int_(0)^(1)tan^(-1)(1-x)dx`
`=int_(0)^(1)tan^(-1)xdx+int_(0)^(1)tan^(-1){1-(1-x)}dx`
`" "` क्योंकि `int_(0)^(a)f(x)d=int_(0)^(a)f(a-x)dx`
`=int_(0)^(1)tan^(-1)xdx+int_(0)^(1)tan^(-1)xdx`
`=2int_(0)^(1)tan^(-1)xdx=2int_(0)^(1)(tan^(-1)x.1)dx`
`=2[(tan^(-1)x)x-int_(0)^(1)(1)/((1+x^(2))).xdx]_(0)^(1)`
`=2[(tan^(-1)x)x]_(0)^(1)-2int_(0)^(1)(x)/((1+x^(2)))dx`
`=2[(tan^(-1)1).1-0]-[log(1+x^(2))]_(0)^(1)`
`=(2xx(pi)/(4))-(log2-log1)=((pi)/(2)-log2)`
Discussion
12.

दिया गया है कि `a_(n)=int(sin^(2){(n+1)x})/(sin2x)dx` `int_(0)^(4pi)|cosx|dx` किसके बराबर है ?

Answer» Correct Answer - D
माना `I=int_(0)^(4pi)|cosx|dx`
`=2int_(0)^(2pi)|cosx|dx`
`[becauseint_(0)^(2a)f(x)dx=2int_(0)^(a)f(x)dx"यदि"f(2a-x)=f(x),"यहाँ",|cos(4pi-x)|=|cosx|]`
`=2*2int_(0)^(pi)|cosx|dx`
`[because|cos(2pi-x)|=|cosx|]`
`=2*2*2int_(0)^(pi//2)|cosx|dx`
`[because|cos(pi-x)|=|-cosx|=|cosx|]`
`=8int_(0)^(pi//2)cosxdx`
`[becausecosxgt0,AAx in(0,(pi)/(2))]`
`=8[sinx]_(0)^(pi//2)=8["sin"(pi)/(2)-sin0]=8`
Discussion
13.

योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi//2)cos x dx`

Answer» Correct Answer - 1
`int_(0)^(pi//2)cosx dx=[underset(hrarr0)(lim)h[cos 0+(0+h)+cos(0+2h)+...+cos{0+n-1)}h]`
`=underset(hrarr0)(lim )h{(cos(0+(n-1).(h)/(2))sin.(nh)/(2))/(sin.(h)/(2))}=underset(hrarr0)(lim)(h{cos.((pi)/(4)-(h)/(2)).(1)/(sqrt2)})/(sin.(h)/(2))`
Discussion
14.

`int_(2)^(8)|x-5|dx`

Answer» Correct Answer - 9
Discussion
15.

निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए - (ii) `int_(0)^(1)(x^(2))/(1+x^(6))dx`

Answer» Correct Answer - `(pi)/(12)`
Discussion
16.

`int_(-a)^(a)(x^(3)++sinx)dx` किसके बराबर है ?A. aB. 2aC. 0D. 1

Answer» Correct Answer - C
माना `I=int_(-a)^(a)(x^(3)+sinx)dx`
यहाँ , `f(x)=x^(3)+sinx`
`rArrf(-x)=(-x^(3))+sin(-x)`
`=-x^(3)-sinx=-(x^(3)+sinx)=-f(x)`
अर्थात f(x) एक विषम फलन है।
`thereforeint_(-a)^(a)(x^(3)+sinx)dx=0`
`[becauseint_(-a)^(a)f(x)dx`
`={{:(2int_(0)^(a)f(x)dx"," "यदि f(x) एक सम फलन है" ,),(0"," "यदि f(x) एक विषम फलन है",):}]`
Discussion
17.

`int_(pi//5)^(3pi//10)(sinx)/((sinx+cosx))dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `I=int_(pi//5)^(3pi//10)(sinx)/((sinx+cosx))dx" …(1)"`
यदि `a=(pi)/(5)` व `b=(3pi)/(10)` तब `(a+b)=(pi)/(2)`
अब `int_(a)^(b)f(x)dx=int_(0)^(b)f(a+b-x)dx ` से
`I=int_(pi//5)^(3pi//10)(sin((pi)/(2)-x))/(sin((pi)/(2)-x)+cos((pi)/(2)-x))dx`
`I=int_(pi//5)^(3pi//10)(cosx)/((sinx+cosx))dx" ...(2)"`
समीकरण (1 ) व (2 ) को जोड़ने पर
`2I=int_(pi//5)^(3pi//10)dx=[x]_(pi//5)^(3pi//10)`
`=((3pi)/(10)-(pi)/(5))=(pi)/(10)`
`I=(pi)/(20)`
Discussion
18.

`int_(-5)^(5)|x+2|dx`

Answer» Correct Answer - 29
Discussion
19.

सिद्ध कीजिये कि `int_(0)^(pi//2)sin2x log tan x dx=0`

Answer» माना `I=int_(0)^(pi//2)sin 2x log tan x dx" ..(1)"`
`rArr" "I=int_(0)^(pi//2)sin 2((pi)/(2)-x)log tan ((pi)/(2)-x)dx`
`" "` [प्रगुण (4 ) से ]
`=int_(0)^(pi//2)sin 2x log cot x dx" ...(2)"`
समी० (1 ) व (2 ) का योग करने पर ,,
`2I=int_(0)^(pi//2)sin 2x[log tan x+log cot x]dx`
`=int_(0)^(pi//2)sin 2x[log tan x cot x]dx`
`=int_(0)^(pi//2)sin 2x log 1 dx =0`
`therefore I=0`
Discussion
20.

योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(2)e^(-x)dx`

Answer» Correct Answer - `1-e^(-2)`
`nh=b-a=2, n rarroo, f(x)=e^(-x), a= 0, b = 2`
`therefore" "f(a+rh)=e^(-(a+rh))=e^(-a),.e^(-rh)`
`int_(0)^(2)e^(-x)dx=underset(hrarr0)(lim)sum_(r=1)^(n)he^(-a).e^(-rh)=underset(hrarr0)(lim)hsum_(r=1)^(n)e^(-rh)`
Discussion
21.

`int_(1)^(2)log_(e)xdx` किसके बराबर है ?A. `log_(e)4`B. `log_(e)2`C. `log_(e)((4)/(e))`D. `log_(e)((e)/(4))`

Answer» Correct Answer - C
माना `I=int_(1)^(2)logxdx=int_(1)^(2)underset(I)(logx)*underset(II)(1dx)`
`=[logx*x-int(1)/(x)*xdx]_(1)^(2)`
`=[xlogx-x]_(1)^(2)`
`=2log2-2-1*log1+1`
`=2log2-1-0=2log2-1`
`=log_(e)4-log_(e)e=log_(e)((4)/(e))`
Discussion
22.

सिद्ध कीजिए कि `int_(-1)^(1)log((2-x)/(2+x))dx=0`

Answer» माना `" "I=int_(-1)^(1)log((2-x)/(2+x))dx`
तथा माना `f(x)=log((2-x)/(2+x))` व `" "f(-x)=log((2+x)/(2-x))=log((2-x)/(2+x))^(-1)`
`=log((2-x)/(2+x))=-f(x)`
अतः `f(x)` विषम फलन है।
हम जानते हैं कि `int_(-1)^(a)f(x)dx=0,` यदि `f(x)` विषम फलन है। इसलिए ,, `int_(-1)^(1)log((2-x)^(2+x))dx=0`
Discussion
23.

सिद्ध कीजिए कि `int_(0)^(1)x^(m)(1-x)^(n)dx=int_(0)^(1)x^(n)(1-x)^(m)dx`

Answer» माना `I=int_(0)^(1)x^(m)(1-x)^(n)dx`
`=int_(0)^(1)(1-x)^(m)[1-(1-x)]^(n)dx" "` [प्रगुण (4 )से ]
`=int_(0)^(1)(1-x)^(m)[1-1+x]^(n)dx`
`=int_(0)^(1)(1-x)^(m).x^(n)dx`
Discussion
24.

योगफल की सीमा के रूप में निम्न का मान ज्ञात कीजिये - `int_(a)^(b)e^(x)dx`

Answer» `f(x)=e^(x)`
हम जानते हैं कि `int_(a)^(b)e^(x)dx=underset(hrarr0)(lim)h[e^(a+h)+e^(a+2h)+….+e^(a+nh)]`
`=underset(hrarr0)(lim)h[e^(a).e^(h).e^(a).e^(2h)+…+e^(a).e^(nh)]`
`=underset(hrarr0)(lim)he^(a).[e^(h)+e^(2h)+...+e^(nh)]`
`=underset(hrarr0)(lim)he^(a)[(e^(h)(e^(nh)-1))/(e^(h)-1)]`
(गुणोत्तर श्रेणी के n पदों का योग )
`=e^(a)[underset(hrarr0)(lim)e^(h).underset(hrarr0)(lim)((h)/(e^(h)-1))(e^(b-a)-1)]`
`" "(because nh=b-a)`
`because" "underset(hrarr0)(lim)((h)/(e^(h)-1))=underset(hrarr0)(lim)((h)/(1+h+(h^(2))/(2!)+...-1))`
`=underset(hrarr0)(lim)((1)/(1+(h^(2))/(2!)+....))=1`
`=e^(a)1.1[e^((b-a))-1]`
`=e^(a+b-a)-e^(a)=e^(b)-e^(a)`
`(because underset(hrarr0)(lim)e^(h)=underset(hrarr0)(lim)(1+h+(h^(2))/(2!)+...)=1)`
Discussion
25.

`int_(0)^(pi//2)(cos^(5)xdx)/(sin^(5)x+cos^(5)x)`

Answer» Correct Answer - `(pi)/(4)`
Discussion
26.

निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए - (iii) `int_(0)^(pi//4)e^(tanx)sec^(2)x dx`

Answer» Correct Answer - `e^(-1)`
Discussion
27.

योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(2)(x^(2)+1)dx`

Answer» Correct Answer - `(14)/(3)`
`int_(a)^(b)f(x)dx=underset(hrarr0)(lim)hsum_(n=1)^(n)f(a+rh)`
यहाँ `nh=b-a, n rarroo, f(x)=x^(2)+1, a=0, b=2`
Discussion
28.

`int(sqrt(x^(2)-4))/(x)dx` के बराबर है -A. `(2(3sqrt3-pi))/(3)`B. `pi`C. `2(3sqrt3-pi)`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
Discussion
29.

योग परिभाषा द्वारा `int_(1)^(3)(2x+3)dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int_(1)^(3)(2x+3)dx`
`a=1, b=3, nh=(3-1)=2` व `f(x)=(2x+3),` तब
`int_(1)^(3)(2x+3)dx`
`=underset(hrarr0)(lim)h[f(1)+f(1+h)+…+f{1+(n-1)h}]`
जहाँ `f(1)=5, f(1+h)=5+2h……`
`=underset(hrarr0)(lim)h[5n+{2h+4h+…+2(n-1)h}]`
`=underset(hrarr0)(lim)h[5n+2{1+2+3+...+(n-1)}h]`
`=underset(hrarr0)(lim)h[5n+2.(n(n-1))/(2)h]`
`=underset(hrarr0)(lim)[5nh+nh(nh-h)]`
`=underset(hrarr0)(lim)[10+2(2-h)]=12" जहाँ "nh=2`
Discussion
30.

`int_(1)^(4)f(x)dx,` जहाँ `f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `int_(1)^(4)f(x)dx=int_(1)^(2)f(x)dx+int_(2)^(3)f(x)dx+int_(3)^(4)f(x)dx`
`=int_(1)^(2){(x-1)-(x-2)-(x-3)}dx+int_(2)^(3){(x-1)+(x-2)-(x-3)}dx+int_(3)^(4){(x-1)+(x-2)+(x-3)}dx`
`=int_(1)^(2)(-x+4)dx+int_(2)^(3)xdx+int_(3)^(4)(3x-6)dx`
`=-[(x^(2))/(2)+4x]_(1)^(2)+[(x^(2))/(2)]_(2)^(3)+[(3x^(2))/(2)-6x]_(3)^(4)`
`=((5)/(2)+(5)/(2)+(9)/(2))=(19)/(2)`
Discussion
31.

योग परिभाषा द्वारा `int_(a)^(b)x^(2)dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int_(a)^(b)x^(2)dx=underset(hrarr0)(lim)h[a^(2)+(a+h)^(2)+(a+2h)^(2)+…+(a+(n-1)h)^(2)]`
`" "` जहाँ `nh=b-a`
`=underset(hrarr0)(lim)[(nh)a^(2)+a(nh)(nh-h)+(1)/(6)(nh)(nh-h)(2nh-h)]`
`=underset(hrarr0)(lim)[(b-a)a^(2)+a(b-a)(b-a-h)+(1)/(3)(b-a-h)(b-a-(h)/(2))(b-a)]`
`=(b-a)a^(2)+(b-a)^(2)a+(1)/(3)(b-a)^(3)`
`=((b-a)/(3))[3a^(2)+3a(b-a)+(b-a)^(2)]`
`=(b-a)/(3)[3a^(2)+3ab-3a^(2)+b^(2)-2ab+a^(2)]`
`=(b-a)/(3)(a^(2)+ab+b^(2))`
`=(1)/(3)(b^(3)-a^(3))`
Discussion
32.

योग परिभाषा द्वारा `int_(1)^(3)(x^(2)+1)dx` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `int_(1)^(2)(x^(2)+x)dx`
यदि a = 1, b = 3, nh = 2 व `f(x)=(x^(2)+x),` तब,
`int_(1)^(3)(x^(2)+x)dx=underset(hrarr0)(lim)hf(1)+f(1_h)+f(1_2h)+…+f{1+(n-1)h}]`
`=underset(hrarr0)(lim)h[(1^(2)+1)+{(1+h)^(2)+(1+h)}+{(1+2h)^(2)+(1+2h)}+…+{1+(n-1)h}^(2)+{1+(n-1)h}]`
`=underset(hrarr0)(lim)h[2n+h^(2){1^(2)+2^(2)+...+(n-1)^(2)}+3h{1+2+...+(n-1)}]`
`=underset(hrarr0)(lim)[2n+h^(2).((n-1)n(2n-1))/(6)+3h.(n(n-1))/(2)]`
`=underset(hrarr0)(lim)[2nh+((nh-h)nh(2nh-h))/(6)+(3)/(2).nh(nh-h)]`
`=underset(hrarr0)(lim)[4+((2-h)2(4-h))/(6)+(3)/(2).2(2-h)]` जहाँ `nh=2`
`=(38)/(3)`
Discussion
33.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(1)^(3)log x dx`

Answer» माना `I=int_(1)^(3)logx dx=int_(1)^(3)1.log x dx`
log x को प्रथम फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने से,
`I=log x int_(1)^(3)1.dx-int_(1)^(3){(d)/(dx)logx int 1 dx}dx`
`=[x logx]_(1)^(3)-int_(1)^(3)(x)/(x)dx`
`=[xlogx]_(1)^(3)-[x]_(1)^(3)`
`=(3log3-1og1)-(3-1)`
`=3log 2-2`
Discussion
34.

यदि `I=int_(0)^(pi//4)sin^(2)xdx` तथा `J=int_(0)^(pi//4)cos^(2)xdx` तो `I` बराबर है-A. `(pi)/(4)-J`B. `2J`C. JD. `(J)/(2)`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
35.

सिद्ध कीजिये कि `int_(0)^(pi//2)sin^(2)xdx=int_(0)^(pi//2)cos^(2)xdx=(pi)/(4)`

Answer» माना `I=int_(0)^(pi//2)sin^(2)xdx" …(1)"`
`=int_(0)^(pi//2)sin^(2)((pi)/(2-x))dx" [प्रगुण (4 ) से ]"`
`=int_(0)^(pi//2)cos^(2)xdx" ...(2)"`
समी० (1 ) व (2 ) का योग करने पर,
`I+I=2Iint_(0)^(pi//2)[sin^(2)x+cos^(2)x]dx`
`=int_(0)^(pi//2)1dx=[x]_(0)^(pi//2)`
`rArr" "2I=((pi)/(2)-0)=(pi)/(2)" "therefore" "I=(pi)/(4)`
Discussion
36.

`int_(0)^(pi)(x tanx)/(sec x+tanx)dx` का मान ज्ञात कीजिये |

Answer» माना `I=int_(0)^(pi)(x tanx)/(sec x+tanx)dx" ..(1)"`
`rArr" "I=int_(0)^(pi)((pi-x)tan(pi-x))/(sec(pi-x)+tan(pi-x))dx" "` [प्रगुण (4 ) से ]
`rArr" "`
समीकरण (1 ) व (2 ) का योग करने पर,
`2I=pi int(tanx)/(secx+tanx)dx`
अंश व हर को `(secx-tanx)` से गुणा करने पर ,
`2I=pi int(tan x(secx-tanx)dx)/((secx+tanx)(secx-tanx))`
`=pi[int_(0)^(pi)secx tanx dx-int_(0)^(pi)tan^(2)x dx]`
`" "(because sec^(2)x-tan^(2)x=1)`
`=pi[[sec]_(0)^(pi)-int_(0)^(pi)(sec^(2)x-1)dx]`
`=pi[(secpi-sec0)-[tanx-x]_(0)^(pi)]`
`=pi[-1-1-(tanpi-pi-tan0+0)]`
`=pi[-2-(0-pi-0+0)]`
`2I=pi(pi-2)`
`therefore" "I=(pi(pi-2))/(2)`
Discussion
37.

सिद्ध कीजिये - `int_(0)^(oo)log(x+(1)/(x))(dx)/(1+x^(2))=pi log2`

Answer» माना ` x = tan t rArr t = tan^(-1) x rArr dt=(1)/(1+x^(2))dx`
तब `" "I=int_(0)^(oo)log(x+(1)/(x))(dx)/(1+x^(2))=int_(0)^(pi//2)log(tant+(1)/(tant))dt`
`=int_(0)^(pi//2)log((1)/(sin t cost))dt`
`=int_(0)^(pi//2)(log 1-log sin t-log cos t)dt`
`=- int_(0)^(pi//2)log sin t dt-int_(0)^(pi//2)log cos tdt`
Discussion
38.

सिद्ध कीजिये - `int_(0)^(pi//4)log(sin 2 theta)d theta=(pi)/(4)log((1)/(2))`

Answer» माना `" "2 theta=t`
Discussion
39.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(1)^(2)x log x dx`

Answer» माना `I=int_(1)^(2)xlog x dx`
log x को प्रथम फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने से,
`I=[logxint_(1)^(2)x dx-int_(1)^(2){(d)/(dx)logx int x dx}dx]`
`=[(x^(2))/(2)logx]_(1)^(2)-[int_(1)^(2)(1)/(x).(x^(2))/(2)dx]`
`=(1)/(2)[x^(2)logx]_(1)^(2)-(1)/(2)[int_(1)^(2)xdx]`
`=(1)/(2)[x^(2)logx]_(1)^(2)-(1)/(4)[x^(2)]_(1)^(2)`
`=(1)/(2)[4log2-1log1]-(1)/(4)[2^(2)-1^(2)]`
`=2log 2-(3)/(4)`
Discussion
40.

योगफल की परिभाषा द्वारा `int_(0)^(1)(3x^(2)+2x+1)dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int_(0)^(1)(3x^(2)+2x+1)dx`
यदि`a=0, b=1, nh=1` व `f(x)=(3x^(2)+2x+1),` तब
`int_(0)^(1)(3x^(2)+2x+1)dx=underset(hrarr0)(lim)h[f(0)+f(0+h)+f(0+2h)+…+f{0+(n-1)h}]`
`=underset(hrarr0)(lim)h[1+(3h^(2)+2h+1)+(3.2^(2)h^(2)+2.2h+1)+…+{3.(n-1)^(2)h^(2)+2(n-1)h+1}`
`underset(hrarr0)(lim)h[n+3h^(2){1^(2)+2^(2)+3^(2)+...+(n-1)^(2)}+2h{1+2+3+...+(n-1)}]`
`=underset(hrarr0)(lim)h[n+3h^(2).((n-1)n(2n-1))/(6)+2h,(n(n-1))/(2)]`
`=underset(hrarr0)(lim)[nh+(1)/(2)(1-h).1.(2-h)+1.(1-h)]" जहाँ " nh=1`
`=3`
Discussion
41.

`int_(0)^(pi//2)cos^(2)xdx`

Answer» Correct Answer - `(pi)/(4)`
Discussion
42.

`int_(0)^(pi//2)(sin^(3//2)x dx)/(sin^(3//2)x+cos^(3//2))dx`

Answer» Correct Answer - `(pi)/(4)`
Discussion
43.

सिद्ध कीजिये - `int_(0)^(pi//2)(dx)/(1+tanx)dx=(pi)/(8)log2`

Answer» `I=int_(0)^(pi//2)(dx)/(1+tanx)=int_(0)^(pi//2)(cosx)/(cosx+sinx)dx" …(1)"`
`=int_(0)^(pi//2)(cos((pi)/(2)-x))/(cos((pi)/(2)-x)+sin((pi)/(2)-x))dx`
`=int_(0)^(pi//2)(sinx)/(sinx+cosx)dx" ...(2)"`
समीकरण (1 ) व (2 ) को जोड़ने पर
`rArr" "2I=int_(0)^(pi//2)(sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx=int_(0)^(pi//2)1.dx`
Discussion
44.

सिद्ध कीजिये - `int_(0)^(pi//2)log tan x dx =0`

Answer» `I=int_(0)^(pi)(x)/(1+cos^(2)x)dx=int_(0)^(pi)((pi-x))/(1+cos^(2)x(pi-x))dx=int_(0)^(pi)((pi-x))/(1+cos^(2)x)dx`
`rArr" "2I=pi int_(0)^(pi)(dx)/(1+cos^(2)x)=2pi int_(0)^(pi//2)(sec^(2)x)/(sec^(2)x+1)dx`
`=2pi int_(0)^(pi//2)(sec^(2)x)/(2+tan^(2)x)dx`
अब माना `" "tan x=t`
Discussion
45.

सिद्ध कीजिये - `int_(0)^(1)(log(1+x))/(1+x^(2))dx=(pi)/(8)log2`

Answer» माना `x=tan theta rArr dx = sec^(2) theta d theta`
Discussion
46.

`int_(1)^(sqrt3)(dx)/(1+x^(2))` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int_(1)^(sqrt3)(dx)/(1+x^(2))=[tan^(-1)x]_(1)^(sqrt3)`
`=tan^(-1)sqrt3-tan^(-1)1=(pi)/(3)-(pi)/(4)=(pi)/(12)`
Discussion
47.

निम्न फलनों के मान ज्ञात कीजिये - `int_(0)^(pi//2)x cos x dx`

Answer» माना `I=int_(0)^(pi//2)x cos x dx`
x को प्रथम फलन लेकर खण्डशः समाकलन से,
`I=[x int_(0)^(pi//2)cos x dx- int_(0)^(pi//2){(d)/(dx)x int cos x dx }dx]`
प्रथम फलन `xx` द्वितीय फलन का समाकलन `-`[ प्रथम फलन का अवकलन गुणांक `xx` द्वितीय फलन का समाकलन ] का समाकलन
`=[[x sin x]_(0)^(pi//2)-int_(0)^(pi//2)1.sin x dx]`
`=[x sin x]_(0)^(pi//2)+[cosx]_(0)^(pi//2)`
`=[(pi)/(2)sin.(pi)/(2)-0 sin 0 ]+[cos.(pi)/(2)-cos 0]`
`=((pi)/(2).1-0)+(0-1)=(pi)/(2)-1`
Discussion
48.

`int_(0)^(pi//2)(sqrt(sinx))/(sqrtsinx +sqrtcosx)dx`

Answer» Correct Answer - `(pi)/(4)`
Discussion
49.

सिद्ध कीजिये - `int_(0)^(pi//2)log(sinx)dx=int_(0)^(pi//2)log(cosx)dx=(pi)/(2)log((1)/(2))`

Answer» `int_(0)^(pi//2)log tan x dx= int_(0)^(pi//2)(log sin x - log cos x)dx`
`=int_(0)^(pi//2)log sin ((pi)/(2)-x)dx-int_(0)^(pi//2)log(cosx)dx`
Discussion
50.

सिद्ध कीजिए कि `int_(0)^(pi//2)(sqrt(sinx))/(sqrt(sinx)+sqrt(cosx))dx=(pi)/(4)`

Answer» माना [प्रगुण (4 ) से ] समी० (1 ) व (2 ) का योग करने पर , अतः
Discussion