InterviewSolution
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| 151. |
सिद्ध कीजिये कि सदिश `hati+hatj-hatk` तथा `3hati-2hatj-hatk` के सिरों को मिलाने वाली रेखा xy- समतल के समान्तर है और इसकी लम्बाई भी ज्ञात कीजिये। |
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Answer» माना मूलबिन्दु O के सापेक्ष बिन्दुओं A तथा B के स्थिति-सदिश निम्न है- `vec(OA)=hati+hatj-hatk` तथा `vec(OB)=3hati-2hatj-hatk` `=vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)` `=(3hati-2hatj-hatk)-(hati+hatj-hatk)` `=(3hati-hati)+(-2hatj-hatj)+(-hatk+hatk)` `=2hati-3hatj+0hatk` `because vec(AB)` सदिश में `vec(k)` का गुणांक शून्य है, अतः रेखा AB, xy-समतल के समान्तर है। लम्बाई `=|vec(AB)|=sqrt(4+9)=sqrt(13)` |
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| 152. |
यदि बिन्दु A और B के स्थिति-सदिश क्रमशः `5hati-2hatj+4hatk` तथा `hati+3hatj-7hatk` हो, तो `|vec(AB)|` ज्ञात कीजिये। |
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Answer» माना मूलबिन्दु से बिन्दुओं A तथा B के स्थिति-सदिश निम्न है- `vec(OA)=5hati-2hatj+4hatk` तथा `vec(OB)=hati+3hatj-7hatk` तथा `vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)` `=(hati+3hatj-7hatk)-(5hati-2hatj+4hatk)` `=(hati-5hati)+(3hatj+2hatj)+(-7hatk-4hatk)` `=-4hati+5hatj-11hatk` `|vec(AB)|=|-4hati+5hatj-11hatk|=sqrt((-4)^(2)+(5)^(2)+(-11)^(2))` `=sqrt(16+25+121)=sqrt(162)=9sqrt(2)` |
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| 153. |
यदि P और Q के स्थिति सदिश क्रमश: `hati + 3hatj - 7hatk` तथा `5hati - 2hatj + 4hatk` हैं तो `vec(PQ)` निकालें| |
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Answer» माना कि O मूल बिंदु हैं| दिया हैं, `vec(OP) = hati + 3hatj - 7hatk` तथा `vec(OQ) = 5hati - 2hatj + 4hatk` अब `vec(PQ) = vec(OQ) = 4hati -5hatj + 11hatk` |
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| 154. |
निम्न चित्र से सदिश ज्ञात कीजिये। |
| Answer» Correct Answer - `veca+vecb+vecc` | |
| 155. |
यदि `a xx b` का परिमाप a.b के बरावर हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?A. a=bB. a और b के बीच का कौन `45^(@)` हैC. a b के समान्तर हैD. a,a के अनुलम्ब है |
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Answer» Correct Answer - B दिया है `(axxb)`का मापक=(a.b) का मापक `Rightarrow |axxb|=|a.b|` `|a||b|sin theta|hatn|=|a||b|cos theta.` `[{:(,thereforeaxxb,=|a||b|sin theta.hatn),(,a.b.,=|a||b| cos theta):}]` `Rightarrow |sin theta|.1=|cos theta|" "[therefore |hatn|=1]` `Rightarrow |tan theta|=1 Rightarrow tan theta=1=tanpi//4` `therefore theta=pi//4` अंत: a तथा b के मध्ये कोण `pi//4` है |
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| 156. |
यदि `|a|=sqrt2, |b|=sqrt3` तथा `|a+b|=sqrt6` हो तो, |a-b| किसके बराबर है?A. 1B. 2C. 3D. 4 |
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Answer» Correct Answer - B दिया है `|a|=sqrt2, |b|=sqrt3` तथा `|a+b|=sqrt6` हम जानते है की `|a+b|^(2)+|a-b|^(2)=|a|^(2)+|b|^(2)+2a.b` `+|a|^(2)+|b|^(2)-2a.b=2(|a|^(2)+|b|^(2))` `therefore |a-b|^(2)=2(|a|^(2)+|b|^(2))-|a+b|^(2)` `=2[(sqrt2)^(2)+(sqrt3)^(2)]-(sqrt6)^(2)` `=2(2+3)-6=10-6=4` `therefore |a-b|=2` |
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| 157. |
सदिशों `mu_(1)=(1,2,3),mu_(2)=(2,3,1), mu_(3)=(1,3,2)` और `mu_(4)=(4,6,2)` के विषम में निम्नलिखित कथनो पर विचार कीजिये। `I.mu_(1),mu_(4)` के समान्तर है II. `mu_(2),mu_(4)` के समान्तर है `III. mu_(2),mu_(3)` के समान्तर है उपरोक्त कथनो में से कोण-सा/से कथन सही है/है?A. केवल IB. केवल IIC. केवल IIID. I और III |
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Answer» Correct Answer - B दिया है सदिश `u_(1)=(1,2,3)` `u_(2)=(2,3,1) u_(3)=(1,3,2)` `u_(4)=(4,6,2)=2(2,3,1)` अंत: स्पष्ट है की सदिश `u_(2)` तथा `u_(4)` समान्तर है |
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| 158. |
सदिशों `2hati+hatj+hatk` तथा `hati-hatj+hatk` के तल में और `5hati+2hatj+6hatk` के लम्भिक एक इकाई सदिश हैA. `(6hati-5hatk)/(sqrt61)`B. `(3hatj-hatk)/(sqrt10)`C. `(2hati-5hatj)/(sqrt29)`D. `(2hati+hatj-2hatk)/(3)` |
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Answer» Correct Answer - B माना `2hati+hatj-hatk` तथा `hati-hatj+hatk` के ताल में एक इसका सदिश `hata=alpha(2hati+hatj+hatk)+beta(hati-hatj+hatk)` या `hata=(2alpha+beta)hati+(alpha-beta)hatj+(alpha+beta)hatk` `therefore hata` एक इकाई सदिश है `therefore (2alpha+beta)^(2)+(alpha+beta)^(2)+(alpha+beta)^(2)=1` `Rightarrow 6alpha^(2)+4alphabeta+3beta^(2)=1....(i)` `therefore hata, 5hati+2hatj+6hatk` के लंबवत है `therefore 5(2alpha+beta)+2(alpha-beta)+6(alpha+beta)=0` सभी `Rightarrow 18alpha+9beta=0 Rightarrow beta=-2alpha` `(i), 6alpha^(2)-8alpha^(2)+12alpha^(3)=1` `Rightarrow alpha=(1)/(sqrt10) Rightarrow beta=pm(2)/(sqrt10)` अंत: `a=pm((3)/(sqrt10)hatj-(1)/(sqrt10)hatk)` |
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| 159. |
यदि ` vecAB =2hati +hatj -3hatk ` और A का निर्देशांक (1 ,2 ,-1 ) है तब B का निर्देशांक है-A. ` (2,2,-3) `B. ` (3,2,-4)`C. ` (3,3,-4)`D. इनमें से कोई नहीं| |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 160. |
सदिश `hati-2hatj+hatk` का सदिश `4hati-4hatj+7hatk` पर प्रक्षेप क्या हैA. `(sqrt5)/(2)`B. `(19)/(9)`C. `(sqrt5)/(4)`D. `(11)/(3)` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 161. |
यदि a व b समान परिमाण के समान्तर सदिश है, तब-A. a=bB. a.b=0C. `aneb`D. a तथा b समान हो भी सकते है या नहीं भी। |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 162. |
यदि a=(2,1,-1), b=(1,-1,0) तथा c=(5,-11) है तो a+b-c के समान्तर विपरीत दिशा में इसके सदिश क्या हैA. `(hati+hatj-2hatk)/(3)`B. `(hati-2hatj+2hatk)/(3)`C. `(2hati-hatj+2hatk)/(3)`D. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Correct Answer - C दिया है `a=(2,1,-1), b=(1,-1,0)` तथा `c=(5,-1,1)` अब `a+b-c=(2+1,-5,1,-1)+1,-1+0-1)` माना `therefore` इकाई सदिश `=(-2,1,-2)=d` `hatd=(d)/(|d|)=(((-2,1,-2)))/(sqrt((-2)^(2)+(1)^(2)+(-2)^(2)))` `=((-2,1,-2))/(sqrt(4+1+4))=(1)/(3)(-2,1,-2)` `=-hatd` परन्तु इकाई सदिश `(hatd)` के विपरीत सदिश `=(1)/(3)(2,-1,2)=(2hati-hatj+2hatk)/(3)` |
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| 163. |
यदि दो सदिश और के परिणाम बराबर हो, तो निम्नलिखित में से कोण-सा एक सही हैA. (a+b),(a-b) के समान्तरB. (a+b).(a-b)=1C. (a+b), (a-b) अनुलम्ब हैD. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Correct Answer - C दिया है `therefore (a+b)xx(a-b)` (a) यदि सदिश (a+b) तथा (a-b) एक दूसरे के समान्तर है तब `(a+b)xx(a-b)` सुनए के बराबर होना चाहिए `therefore (a+b)xx(a-b)` `=axxa+bxxa-axxb-bxxb` `=0-axxb-axxb-0` `=2axxb ne 0` `(b) (a+b).(a-b)` `=a.a+b.a-a.b-b.b` `=1+a.b-a.b-1 =0 ne 1` अर्थार्त (a+b),(a-b) के लंबवत सदिश है |
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| 164. |
यह सदिश `ahati+2hatj+4hatk` और `hati+hatj-hatk` सदिश लम्बवत हो तो `a` का मान ज्ञात कीजिए। |
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Answer» लम्ब के लिए `(ahati+2hatj+4hatk).(hati+hatj-hatk)=0` या `a+2-4=0` या `a=2` |
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| 165. |
माना `veca=hati-hatj,vecb=3hatj-hatk` तथा `vecc=7hati-hatk` तो एक सदिश `vecd` ज्ञात कीजिये जो सदिशों `veca` तथा `vecb` दोनों के लम्बवत हो `vecc.vecd=1` तथा |
| Answer» Correct Answer - `vecd=(1)/(4)(hati+hatj+3hatk)` | |
| 166. |
यदि सदिश `2hati-hatj+hatk, hati+2hatj-3hatk` और `3hati+mhatj+5hatk` संतलिये हो तो, का मान क्या हैA. `-2`B. 2C. `-4`D. 4 |
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Answer» Correct Answer - C हम जानते है की यदि तीन सदिश एव संतलिये है तब माना `a=2hati-hatj+k, b=hati+2hatj-3hatk` तथा `c=3hati+mhatj+5hatk` तब `[a,b,c]=|{:(,2,-1,1),(,1,2,-3),(,3,m,5):}|=0` `Rightarrow 2(10+3m)+1(5+9)+1(m-6)=0` `Rightarrow 20+6m+14+m-6=0` `Rightarrow 7m+28=0` `therefore m=-4` |
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| 167. |
यदि `veca=hati+hatj-hatk` तथा `vecb=hati-hatj+hatk` हो तो `veca.vecb` का मान ज्ञात कीजिए तथा इन्हीं सदिशों द्वारा इनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `veca=hati+hatj-hatk` तथा `vecb=hati-hatj+hatk` `veca.vecb=(hati+hatj-hatk).(hati-hatj+hatk)` `=hati.hati-hatj.hatj-hatk.hatk` हम जानते हैं कि `hati.hati=hatj.hatj=hatk.hatk=1` `=1-1-1` `=-1` तथा `costheta=(veca.vecb)/(|veca|.|vecb|)` `=(-1)/(sqrt(1+1+1).sqrt(1+1+1))` `=(-1)/(sqrt(3).sqrt(3))=-1/3` `theta=cos^(-1)(-1/3)` |
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| 168. |
यदि सदिशों `hati-mhatj` के बिच का कौन `pi//3` है तो m का मान क्या है |
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Answer» Correct Answer - D माना `a=hati-mhatj` तथा `b-hatj+hatk` `therefore` कोण `(pi)/(3)` सदिश a तथा b के बिच का कोण है `thereforecos(pi)/(3)=|(|a.b|)/(|a||b|)|` `Rightarrow (1)/(2)=((hati-mhatj).(hatj+hatk))/(sqrt(1+m^(2))sqrt(1+1))` `Rightarrow (1)/(2)=(-m)/(sqrt2sqrt(1+m^(2))) Rightarrow (1)/(2)=(-m)/(sqrt(1+m^(2)))` दोनों पक्षों का वर्ग करने पर `1+m^(2)=2m^(2) Rightarrow m^(2)=1` `therefore m=pm1` |
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| 169. |
यदि बिन्दुओं A, B, C तथा D के स्थिति-सदिश क्रमशः `vec(a), vec(b), vec(c )` तथा `vec(d)` हो और `vec(b)-vec(a)=vec(c )-vec(d)` तो सिद्ध कीजिये कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। |
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Answer» माना `vec(OA)=vec(a), vec(OB)=vec(b), vec(OC)=vec(c )` तथा `vec(OD)=vec(d)` दिया है- `vec(b)-vec(a)=vec(c)-vec(d)impliesvec(OB)-vec(OA)=vec(OC)-vec(OD)` `impliesvec(AB)=vec(DC)` अतः AB तथा DC समान्तर तथा बराबर है तथा ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। |
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| 170. |
`|axxb|^(2)` बराबर हैA. `|{:(,a.a,a.b),(,b.a,b.b):}|`B. `|{:(,a.b,a.b),(,b.a,b.b):}|`C. `|{:(,b.a,a.a),(,a.b,b.b):}|`D. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Correct Answer - A `|a xxb|^(2) =(axxb) (axxb) ` ` " " =( |a||b|sin theta )hat n.(|a||b|sintheta )hat n ` ` " " =(|a|^(2)|b|^(2)sin ^(2) theta ) (hat n.hat n ) ` ` " " =|a|^(2) |b|^(2) sin ^(2) theta ` ` " " =|a|^(2)|b|^(2) (1-cos^(2)theta) ` `" " =|a|^(2)|b|^(2)-(|a||b|costheta)^(2) ` `" " =(a.a)(b.b)-(a.b)^(2)` `=|{:(,a.a,a.b),(,a.b,b.b):}|` |
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| 171. |
यदि सदिशों `4(hati-hatk)` और `hati+hatj+hatk` के बिच का कोण हो `theta` तो किसके `(sin theta+cos theta)` बराबर है |
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Answer» Correct Answer - C यहाँ `a=4hati-4hatk` तथा `b=hati+hatj+hatk` माना a तथा b के मध्ये कोण `theta` है `therefore cos theta=(a.b)/(|a||b|)=((4hati-4hatk).(hati+hatj+hatk))/(|a|.|b|)` `=(4+0-4)/(|a||b|)=0=cos 90^(@) Rightarrow tttheta=90^(@)` `therefore sin theta+cos theta=sin 90^(@)+cos 90^(@)` `=1+0=1` |
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| 172. |
a.b+b.c+c.a किसके बराबर हैA. `-83`B. `-(83)/(2)`C. 75D. `-(75)/(2)` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 173. |
मान लिखिए की a ,b दो मात्रक सदिश है और उनके बिच का कोण `theta` है `sin ((theta)/(2))` किसके बराबर हैA. `(|a-b|)/(2)`B. `(|a+b|)/(2)`C. `(|a-b|)/(4)`D. `(|a+b|)/(4)` |
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Answer» Correct Answer - A `|a-b|^(2)=(a-b)(a-b)` `=|a|^(2)+|b|^(2)-2(|a||b|)cos theta` `=1+1-2cos theta=2-2costheta` `=2(1-cos theta)` `|a-b|^(2)=2xx2sin^(2)""(theta)/(2)` `[therefore 1-cosA=2sin^(2)""(A)/(2)]` `Rightarrow sin""(theta)/(2)=(|a-b|)/(2)` |
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| 174. |
मान लिखिए की a ,b दो मात्रक सदिश है और उनके बिच का कोण `theta` है `cos ((theta)/(2))` किसके बराबर हैA. `(|a-b|)/(2)`B. `(|a+b|)/(2)`C. `(|a-b|)/(4)`D. `(|a+b|)/(4)` |
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Answer» Correct Answer - B a तथा b इकाई सदिश है `|a+b|^(2)=(a+b)(a+b)` अब,`=|a|^(2)+|b|^(2)+2|a||b| cos theta` `=1+1+2cos theta` `Rightarrow |a+b|^(2)=2+cos theta` `=2xx2cos^(2)""(theta)/(2)` `[therefore 1+cosA=2cos^(2)""(A)/(2)]` `=|a+b|^(2)=4cos^(2)""(theta)/(2)` `=|a+b|=2cos^(2)""(theta)/(2)` `therefore cos""(theta)/(2)=(|a+b|)/(2)` |
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| 175. |
b और c के बिच से कौन सा कोटिज्या क्या हैA. `(11)/(12)`B. `(13)/(4)`C. `-(11)/(12)`D. `-(13)/(4)` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 176. |
निम्नलिखित कथनो पर विचार कीजिएः I. यदि `axxb=cxxd` तथा `axxc=bxxd` तब `a-d bot b-c` II. यदि `p bot q` तथा p.q=0 उपरोक्त कथनो में से कौन-सा/से कथन सही है/है?A. केवल IB. केवल IIC. I और ii दोनोंD. न तो i और न ही II |
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Answer» Correct Answer - B दिया है `axxb=cxxd...(i)` तथा `axxc=bxxd...(ii)` अंत: `(a-d)xx(b-c)=axxb-axxc-d xxb+d xxc` `=c xx d-bxxd+bxxd-cxxd` =0 [सेमि(i) तथा(ii) से] `therefore` a-d तथा b-c परस्पर समान्तर है अंत: कथन II सत्य है जबकि कथन I असत्य है |
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| 177. |
|a+b| किसके बराबर हैA. 7B. 8C. 10D. 11 |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 178. |
यदि एक समबाहु त्रिभुज के, जिसका लंबकेन्द्र मुलबिंद पर है, शीर्षो के स्थिति सदिश है, तो निम्नलिखित में से कोण-सा एक सही हैA. a+b+c=0B. a+b+c=C. a+b+cD. a=b+c |
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Answer» Correct Answer - A दिया है और a b और c समबाहु त्रिभुज के शीर्षो के स्थिति सदिश है `therefore` समबाहु त्रिभुज का लंबकेन्द्र `(a+b+c)/(3)` लंबकेन्द्र मूलबिंदु पर है `therefore (a+b+c)/(3)=0` `Rightarrow a+b+c=0` |
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| 179. |
यदि |a+b|=|a-b| तो निम्नलिखित में से कौन-सा विकल्प सही हैA. केवल IB. केवल IIC. I और II दोनोंD. न तो I और न ही II |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 180. |
सिद्ध कीजिये कि निम्नांकित सदिश एक समतलीय है- `5a+6b+7c,(7a-8b+9c)` तथा `(3a+20b+5c)` |
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Answer» माना `lambda, mu` ऐसी अदिश राशियाँ है कि `5a+6b+7c=lambda(7a-8b+9c)+mu(3a+20b+5c)` `implies5a+6b+7c=(7lambda+3mu)a+(-8lambda+20mu)b+(9lambda+5mu)c` दोनों पक्षों से सदिशों a, b, c की तुलना करने पर, `7lambda+3mu=5" ...(1)"` `-8lambda+20mu=6" ...(2)"` `9lambda+5mu=7" ...(3)"` समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर, `lambda=(1)/(2)` तथा `mu=(1)/(2)`, जोकि समीकरण (3) को संतुष्ट करते है। अतः तीनो सदिश एक समतलीय है। |
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| 181. |
पार्श्व चित्र में ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसमे AB तथा BC के मध्य बिन्दु क्रमशः E तथा F है। यदि `vec(AB)=vec(a)` तथा `vec(AD)=vec(b)` तो सदिश `vec(EF)` ज्ञात कीजिये। |
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Answer» `DeltaEBF` में, `vec(EF)=vec(EB)+vec(BF)=(vec(AB))/(2)+(vec(BC))/(2)` `vec(EF)=(1)/(2)vec(a)+(1)/(2)vec(b)=(1)/(2)(veca+vec(b))` |
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| 182. |
एक आयत ABCD की दो आसन्न भुजाओं AB तथा BC की लम्बाईयाँ क्रमशः 8 तथा 6 मीटर है। बिन्दु A पर रखे एक पिण्ड पर AB, AC तथा AD के अनुदिश क्रमशः 3,5,4 न्यूटन के बल लगे है। परिणामी बल का परिमाण तथा दिशा ज्ञात करो। |
| Answer» Correct Answer - `7sqrt(2)` न्यूटन, `45^(@)` | |
| 183. |
यदि `vec(OA)=vec(a), vec(OB)=vec(b)` तो सदिश `vec(BA)` का मान ज्ञात कीजिये। |
| Answer» Correct Answer - `veca-vecb` | |
| 184. |
A, B, C, D चार बिन्दुओं के स्थिति-सदिश क्रमशः `veca, vecb, 2veca+3vecb, veca-2vecb` है। `vec(AC), vec(DB), vec(BC)` तथा `vec(CA)` सदिशों को `veca` तथा `vecb` के पदों में प्रकट करो। |
| Answer» Correct Answer - `veca+3vecb,3vecb-veca,2veca+2vecb,-veca-3vecb` | |
| 185. |
A,B,C,D, के स्थिति सदिश क्रमश: `veca, vecb , 2veca + 3vecb` तथा `veca - 2vecb` है दिखाएँ की `vec(DB) = 3vecb-veca` तथा `vec(AC) = veca + 3vecb`. |
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Answer» `vec(DB) =vec(OB)-vec(OD)`, जहाँ O मूल बिंदु है| `=vecb -(veca - 2vecb) = 3vecb - veca` `vec(AC) = vec(OC) -vec(OA) = (2veca+ 3vecb) -veca = veca + 3vecb` |
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| 186. |
दर्शाइए की सदिश `veca-2vecb+3vecc, -2veca+3vecb-4vec` और `-vecb+2vecc` संतलिये है जहा विषम तलीय है |
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Answer» माना `vecalpha=veca-2vecb+3vecc, vecbeta=-2veca+3vecb-4vecc, vevgama=-vecb+2vecc` दिए गए सदिश समतलीय होंगे यदि किसी एक सदिश को अन्य दो सदिशों के रेखिक संचय के रूप में व्यक्त के रूप में य्वाक्त कर सकते है माना `vecalpha=x vecbeta+yvecgamma` आदिश x ,y के लिए `Rightarrow veca-2vecb+3vec=x(-2vec(a)+3vecb-4vecc)+y(-vecb+2vec)` `Rightarrow veca-2vecb+3vecc=-2xveca+(3x-y)vecb+(-4x+2y)vecc` `veca, vecb, vecc ` के गुणांकों की तुलना करने पर, `-2x=1 .....(1)` `3x-y=-2 .....(2)` `-4x+2y=3 .....(3)` समी (1) से, `x=-1/2` समी (2) में , `x=-1/2 "रखने पर "` `-3/2 -y=-2 rArr y=2 -3/2 =1/2` x और y के मान (3 ) को संतुष्ट करते है| ` " "veca =-(1)/(2) beta + (1)/( 2) gamma ` अतः सदिश ` vecalpha ,vec beta , vec gamma ` समतलीय है| यही सिद्ध करना था| |
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| 187. |
यदि सदिश `alphahati+alphahatj+gammahatk`, और `hati+hatk or gammahati+gammahatj+betahatk` किसी समतल में स्थित है जहा `alpha,beta` और `gamma` विभिन्न करेनॉथर संख्याये है तो `gamma`A. `alpha` और `beta` का समान्तर मध्ये हैB. `alpha` और `beta` का गुणोत्तर मध्ये हैC. `alpha` और `beta` का हरात्मक मध्ये हैD. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» Correct Answer - B सदिश संतलिये है `therefore` `therefore |{:(,alpha,alpha,gamma),(,1,0,1),(,gamma,gamma,beta):}|=0` `Rightarrow alpha(0-gamma)-alpha(beta-gamma)+gamma(gamma)=0` `Rightarrow -alphagamma-alphabeta+alphagamma+gamma^(2)=0` `Rightarrow gamma^(2)=alphabeta " "Rightarrow gamma=sqrtalphabeta` अंत: `gamma, alpha` और `beta` का गुणोत्तर मध्ये है |
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| 188. |
मान लीजिएः की `alpha+beta+gamma`, भिन्न वास्तविक संख्याये है स्थिति सदिशों `alphahati+betahati+gammahatk, betahati+gammahatj+alphahatk" और"gammahati+alphahatj+betahatk` वाले बिंदुA. सरिख हैB. एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैC. एक विसमबाह त्रिभुज बनाते हैD. एक समकोण त्रिभुज बनाते है |
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Answer» Correct Answer - B माना A,B तथा C दिए गए बिंदु है जिनके स्थिति सदिश क्रमश: A,B,C `alphahati+betahatj+gammahatk, "तथा" betahati+gammahatj+alphahatk and gammahati+alphahatj+betahatk` `AB=(beta-alpha)hati+(gamma-beta)hatj+(alpha-gamma)hatk` `BC=(gamma-beta)hati+(alpha-gamma)hatj+(beta-gamma)hatk` `AC=(gamma-alpha)hati+(alpha-beta)hatj+(beta-gamma)hatk` |AB| `=sqrt((beta-alpha)^(2)+(gamma-beta)^(2)+(alpha-gamma)^(2))` `=sqrt((alpha-beta)^(2)+(beta-gamma)^(2)+(gamma-alpha)^(2))......(i)` `|BC|=sqrt((gamma-beta)^(2)+(alpha+gamma)^(2)+(beta-alpha)^(2))` `=sqrt((alpha-beta)^(2)+(beta-gamma)^(2)+(gamma-alpha)^(2))....(ii)` `|AC|=sqrt((gamma-alpha)^(2)+(alpha-beta)^(2)+(beta-gamma)^(2))` `=sqrt((alpha-beta)^(2)+(beta-gamma)^(2)+(gamma-alpha)^(2)).....(iii)` समी (i), (ii), (iii) से ज्ञात होता है की `|AB|=|BC|=|AC|` अंत: `triangleABC` एक समबाहु त्रिभुज बनता है |
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| 189. |
दो सदिश `veca=2hati+3hatj+2hatk` तथा `vecb=3hati-2hatj-hatk,` तो `|veca|+|vecb|` का मान ज्ञात कीजिये। |
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Answer» Correct Answer - `sqrt(17)+sqrt(14)` `|veca|=sqrt(2^(2)+3^(2)+2^(2))=sqrt(17)` इकाई `|vecb|=sqrt(3^(2)+(-2)^(2)+(-1)^(2))=sqrt(14)` इकाई |
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| 190. |
यदि ` veca ` और ` vecb ` असंरेख सदिश इस प्रकार है की ` x_1 veca +y_1vecb =x_2 veca +y_2 vecb ` तब सिद्ध कीजिए की ` x_1 =x_2` और ` y_1=y_2 ` |
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Answer» `" " x_1 veca +y_1vecb =x_2 veca + y_2 vecb ` ` rArr " " (x_1 -x2 ) veca + (y_1-y_2) vecb =0` ` rArr " "x_1 =x_2 =0` और ` y_1 -y_2 =0,` ` " " [because veca ` और ` vecb ` असंरेख है] `rArr " " x_1 =x_2 ` और ` y_1 = y_2 " "` यही सिद्ध करना था| |
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| 191. |
यदि `veca =a_1 hati +a_2 hatj ` और ` vecb =b_1 hati +b_2 hatj ` शून्येतर सदिश है तब सिद्ध कीजिए की सदिश समांतर है यदि और केवल यदि ` a_ 1 b_2 -a_2 b_1 =0.` |
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Answer» चूँकि ` veca ` और ` vecb ` समांतर सदिश है तब, ` veca =lambda vecb ` जहाँ ` lambda ` शून्येतर सदिश है| ` therefore " " a_1 hati + a_2 hatj =lambda (b_1 hati + b_2 hatj)` ` rArr " "a_1 hati +a_2 hatj =lambda _1 hati +lambda b_2 hatj` `rArr " "a_1 lambda b_1 ` और ` a_2 =lambda b_2" " [hati` और `hatj` के गुणांकों की तुलना करने पर] `rArr " "(a_1)/(b_1) =lambda ` और ` (a_2)/( b_2) =lambda ` `rArr " " (a_1)/(b_1)=( a_2)/(b_2) ` ` rArr " " a_1 b_2 =a_2 b_1 ` `rArr " "a_1 b_2 -a_2b_1 =0 " "` यही सिद्ध करना था| |
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| 192. |
सदिश `3hati-4hatj+12hatk` की दिककोज्या ज्ञात कीजिये। |
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Answer» Correct Answer - `(3)/(13),(-4)/(13),(12)/(13)` `|3hati-4hatj+12hatk|=sqrt(169)=13` अभीष्ट दिककोज्या `=(3)/(13),(-4)/(13),(12)/(13)` |
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| 193. |
` veca ` और `vecb ` असंरेख है |यदि सदिश `vecalpha =(x-2) veca +vecb ` और ` vecbeta =(3+ 2x )veca -2vecb ` संरेख सदिश हो तो x का मान ज्ञात कीजिए| |
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Answer» सदिश `vecalpha ` और ` vecbeta ` संरेख है, तब ` therefore " " vecalpha =lambda vec beta ` अदिश `lambda ` के लिए ` rArr (x-2) veca + vecb =lambda [(3+2x) veca -2vecb ]` ` rArr (x-2) veca + vecb -lambda (3+ 2x ) veca +2lambda vecb =0` ` rArr [(x-2 )-lambda (3+ 2x )]veca +( 1+2lambda )vecb=0` ` rArr (x-2) -lambda (3+2x )=0 ` और ` 1+2lambda =0" " [because veca ` और ` vecb ` असंरेख है|] `rArr (x-2) -lambda (3+2x ) =0` और ` lambda =-(1)/(2)` `rArr (x-2) +(1)/(2) (3+ 2x )=0 ` ` rArr " " x- 2 +(3)/(2) +x= 0` `rArr 2x =-(1)/(2)` ` rArr x=-(1)/(4) ` |
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| 194. |
यदि `veca, vecb, vecc` तीन असमतलीय अशून्य सदिश है, तो सिद्ध कीजिये कि चार बिन्दु `(6veca+2vecb-vecc),(2veca-vecb+3vecc),(-veca+2vecb-4vecc),(-12veca-vecb-3vecc)` एक समतलीय है। |
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Answer» माना तीन अदिश मात्रक `lambda, mu` तथा `delta` है, तब `(6veca+2vecb-vecc)+lambda(2veca-vecb+3vecc)+mu(-veca+2vecb-4vecc)+delta(-12veca-vecb-3vecc)=0` `veca, vecb` तथा `vecc` के गुणांकों को शून्य के बराबर रखिये तथा `lambda, mu` तथा `delta` के लिए समीकरण प्राप्त कीजिए। |
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| 195. |
यदि `veca = a_(1)hati + a_(2)hatj` तथा `vecb =b_(1)hati +b_(2)hatj` शूनयेत्तर सदिश हैं तो साबित करें कि ये समान्तर होंगे यदि और केवल यदि `a_(1)b_(2) -a_(2)b_(1)=0`. |
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Answer» `veca || vecb ltimplies veca = lambda vecb`, जहाँ `lambda ne 0` `ltimplies a_(1)hati + a_(2)hatj = lambda(b_(1)hati + b_(2)hatj) ltimplies a_(1)hati + a_(2)hatj = lambda b_(1)hati + lambdab_(2)hatj` `ltimplies a_(1) = lambda b_(1)` तथा `a_(2) = lambdab_(2)` `ltimplies a_(1)/a_(2) =b_(1)/b_(2) ltimplies a_(1)b_(2) -a_(2)b_(1)=0` अतः दिए हुए सदिश `veca` और `vecb` समान्तर होंगे यदि और केवल यदि `a_(1)b_(2) - a_(2)b_(1)=0`. |
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| 196. |
यदि ` veca ` और ` vecb ` दो संरेख सदिश है,तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही नहीं है|A. ` vecb =lambda veca ` किसी अदिश `lambda ` के लिएB. ` veca =+- vecb `C. `veca ` और ` vecb ` के क्रमागत घटक समानुपाती हैD. दोनों सदिशों ` veca ` और ` vecb ` की दिशा समान है, परन्तु परिमाण भिन्न है |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 197. |
यदि `veca, vecb, vecc` तीन शूनयेत्तर सदिश हैं जिनमे से कोई दो सरीख नहीं हैं तथा `veca + 2vecb, vecc` के सरीख हैं तथा `vecb +3vecc, veca` के सरीख हैं तो दिखाएँ कि `veca + 2vecb + 6vecc=vec0`. |
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Answer» दिया है: `veca + 2vecb` और `vecc` सरीख है `rArr veca + 2vecb = xvecc` ..................(1) पुनः `vecb + 3vecc` तथा `veca` सरीख हैं `rArr vecb + 3vecc = y veca` `rArr vecb = yveca - 3vec c`...........(2) (2) से `vecb` का मान (1 ) में रखने पर हमें मिलता हैं, `veca + 2(yveca - 3vecc) = vecx c` `rArr (1+2y)veca - 6vecc = 0veca + xvecc`.............(3) `veca` तथा `vecc` के गुणांकों को बराबर करने पर हमें मिलता हैं, `1+2y=0` तथा `-6=x` अतः `x=-6` तथा `y=-1/2` (1) में x का मान रखने पर हमें मिलता है, `veca + 2vecb =-6vecc rArr veca + 2vecb + 6vecc=0` |
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| 198. |
यदि `veca` और `vecb` दो सरीख सदिश हैं तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही नहीं हैं: (a) `vecb = lambda veca` किसी आदिश `lambda` के लिए , (b) `veca = +- vecb` ( c) `veca` और `vecb` के क्रमागत घटक समानुपाती हैं| (d) दोनों सदिशों `veca` और `vecb` कि दिशा समान हैं परन्तु परिमाण विभिन्न हैं| |
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Answer» Correct Answer - b and d `therefore veca` तथा `vecb` सरीख हैं| `rArr veca = lambda vecb`, जहाँ `lambda` कोई शूनयेत्तर आदिश हैं| माना कि `veca = a_(1)hati + a_(2)hatj + a_(3)hatk` तथा `vecb = b_(1)hati + b_(2)hatj + b_(3)hatk` तो `veca=lambdavecb` `rArr a_(1)hati + a_(2)hatj + a_(3)hatk =lambda(b_(1)hati +b_(2)hatj + b_(3)hatk)` `hati, hatj, hatk` के गुणांकों को बराबर करने पर हमें मिलता हैं, `a_(1) = lambda b_(1), a_(2)=lambdab_(2),a_(3) = lambdab_(3) therefore a_(1)/b_(1) =a_(2)/b_(2) = a_(3)/b_(3) = lambda` अतः (C ) में दिया गया कथन सही हैं| `veca` और `vecb` के सरीख (समांतर) होने पर यह आवश्यक नहीं हैं कि `veca = +-vecb` अतः (b) में दिया गया कथन सही नहीं हैं| `veca` और `vecb` के सरीख होने पर यह आवश्यक नहीं हैं कि `veca` और `vecb` कि दिशा समान हो| अतः (d) में दिया गया कथन सही नहीं हैं| |
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| 199. |
निम्नलिखित का उत्तर सत्य अथवा असत्य के रूप में दीजिये| (i) `veca` तथा `-2` सरीख (ii) `veca` तथा `vec-a` सरीख लेकिन असमान हैं (iii) यदि t एक अदिश हैं तो `veca` तथा `t veca` सरीख हैं| (iv) `|-2veca|= -2|veca|` (v) यदि t अदिश हो तो `|t veca|= t|veca|` (vi) `-3veca` का मापांक `veca` के मापांक का तीन गुना हैं| (vii) यदि t अदिश हो तो `|t veca| = |t||veca|` |
| Answer» (i) सत्य , (ii) सत्य , (iii ) सत्य , (iv) असत्य , (v ) असत्य , (vi) सत्य , (vii) सत्य | |
| 200. |
दिखाएँ कि बिंदुएँ `veca + 2vecb + 3vecc, -2veca + 3vecb + 5vecc` तथा `7veca - vecc` सरीख हैं| |
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Answer» माना कि `vecalpha, vecbeta, vecgamma` क्रमश: बिंदुओं A,B तथा C के स्थिति सदिश हैं| यदि सम्भव हैं तो माना कि C, AB को `x:1` के अनुपात में बांटता हैं तथा C क स्थिति सदिश `vecr` हैं, तो `vecr=(xvecbeta + vecalpha)/(x+1)` `therefore 7veca - vecc =(x(-2veca + 3vecb + 5vecc)+(veca+2vecb+3vecc))/(x+1)` या, `7(x+1)veca -(x+1)vecc = (-2x + 1)veca + (3x+2)vecb + (5x+3)vecc` `veca, vecb` तथा `vecc` के गुणांकों को बराबर करने पर हमें मिलता हैं, `9x+6=0`...........(1) `3x+2=0`..............(2) तथा `6x+4=0`..............(3) `therefore x=-2/3` इस प्रकार C,BA को `3:2` के अनुपात में ब्रह्यविभाजित करता हैं और इसलिए बिंदुएँ A, B,C सरीख हैं| |
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