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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

यदि `y=(sinx)/(1+(cosx)/(1+(sinx)/(1+(cosx)/(1+...oo))))` हो,तो दर्शाये की `(dy)/(dx)=((1+y)cosx+ysinx)/(1+2y+cosx-sinx)`

Answer» यहाँ
`y=(sinx)/(1+(cosx)/(1+y))`
`rArry=((1+y)sinx)/(1+y+cosx)`
`rArry+y^(2)+ycosx=(1+y)sinx`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)+2y(dy)/(dx)+(dy)/(dx)cosx-ysinx`
`=(dy)/(dx)sinx+(1+y)cosx`
`rArr(dy)/(dx){1+2y+cosx-sinx}`
`=(1+y)cosx+ysinx`
`rArr(dy)/(dx)=((1+y)cosx+ysinx)/(1+2y+cosx-sinx)`
यही सिद्ध करना था|
Discussion
2.

यदि `ax^(2)+2hxy+by^(2)+2gx+2fy+c=0` हो,तो `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए ।

Answer» `ax^(2)+2hxy+by^(2)+2gx+2fy+c=0`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`d/(dx)(ax^(2)+2hxy+by^(2)+2gx+2fy+c)=0`
`rArrd/(dx)(ax^(2))+d/(dx)(2hxy)+d/(dx)(by^(2))+d/(dx)(2gx)+d/(dx)(2fy)+d/(dx)(c )=0`
`rArrad/(dx)(x^(2))+2hd/(dx)(xy)+bd/(dx)(y^(2))+2gd/(dx)(x)+2fd/(dx)(y)+0=0`
`rArr2ax+2h(x(dy)/(dx)+y)+2by(dy)/(dx)+2g+2f(dy)/(dx)=0`
`rArr(2hx+2by+2f)(dy)/(dx)+(2ax+2hy+2g)=0`
`rArr2(hx+by+f)(dy)/(dx)=-2(ax+hy+g)`
`rArr(dy)/(dx)=-((ax+hy+g))/((hx+by+f))`
Discussion
3.

यदि (If) `ax^(2)+2hxy+by^(2)+2gx+2fy+c=0` ,(find) `(dy)/(dx)` निकालें ।

Answer» दिया है `ax^(2)+2hxy+by^(2)+2gx+2fy+c=0` … (1)
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है
`(d)/(dx)(ax^(2))+(d)/(dx)(2hxy)+(d)/(dx)(by^(2))+(d)/(dx)(2gx)+(d)/(dx)(2fy)+(d)/(dx)(c )=(d)/(dx)(0)`
या `a(d)/(dx)(x^(2))+2h(d)/(dx)(xy)+b(d)/(dx)(y^(2))+2"g"(d)/(dx)(x)+2"f"(d)/(dx)(y)+0=0`
या `2ax+2h(x(dy)/(dx)+y*1)+b*2y(dy)/(dx)+2g*1+2f*(dy)/(dx)=0`
या `(dy)/(dx)(2hx+2by+2f)+2ax+2hy+2g=0`
`therefore(dy)/(dx)=-(2(ax+hy+g))/(2(hx+by+f))=-((ax+hy+g)/(hx+by+f))`
Discussion
4.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `(sin(ax+b))/(cos(cx+d))`

Answer» माना `y=(sin(ax+b))/(cos(cx+d))`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=(cos(cx+d)d/(dx)(sin(ax+b))-sin(ax+b)d/(dx)(cos(cx+d)))/(cos^(2)(cx+d))`
[भाग नियम से]
`(cos(cx+d)cos(ax+b)d/(dx)(ax+b)-sin(ax+b)[-sin(cx+d)]d/(dx)(cx+d))/(cos^(2)(cx+d))`
`=(acos(cx+d)cos(ax+b)+sin(ax+b)sin(cx+d))/(cos^(2)(cx+d))`
Discussion
5.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `cos^(-1)(e^(x))`

Answer» माना `y=cos^(-1)(e^(x))`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)cos^(-1)(e^(x))`
`=(-1)/(sqrt(1-(e^(x))^(2))).d/(dx)(e^(x))`
`=(-1)/(sqrt(1-e^(2x))).e^(x)`
`=(-e^(x))/(sqrt(1-e^(2x)))`
Discussion
6.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `cos^(-1)((x-x^(-1))/(x+x^(-1)))`

Answer» `y=cos^(-1)((x-x^(-1))/(x+x^(-1)))`
`rArry=cos^(-1)((x-1/x)/(x+1/x))`
`rArry=cos^(-1)((x^(2)-1)/(x^(2)+1))`
माना `x=tantheta`, तब `theta=tan^(-1)x`
`thereforey=cos^(-1)((tan^(2)theta-1)/(tan^(2)theta+1))`
`rArry=cos^(-1)((sin^(2)theta-cos^(2)theta)/(sin^(2)theta+cos^(2)theta))`
`rArry=cos^(-1)(-cos2theta)`
`rArry=cos^(-1){cos(pi-2theta)}`
`rArry=pi-2theta`
`rArr==pi-2tan^(-1)x`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx){pi-2tan^(-1)x}`
`rArr(dy)/(dx)=0-2d/(dx)(tan^(-1)x)`
`rArr(dy)/(dx)=(-2)/(1+x^(2))`
Discussion
7.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `cos^(-1)((1-x^(2))/(1+x^(2)))`

Answer» `y=cos^(-1)((1-x^(2))/(1+x^(2)))`
माना `x=tantheta,` तब `theta=tan^(-1)x`
`thereforey=cos^(-1)((1-tan^(2)theta)/(1+tan^(2)theta))`
`rArry=cos^(-1)(cos2theta)`
`rArry=2theta=2tan^(-1)x`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=2d/(dx)(tan^(-1)x)`
`rArr(dy)/(dx)=2.(1)/(1+x^(2))=2/(1+x^(2))`
Discussion
8.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `(4x^(3)-5x^(2)+1)^(4)`

Answer» माना `y=(4x^(3)-5x^(2)+1)^(4)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)[(4x^(3)-5x^(2)+1)^(4)]`
`=4(4x^(3)-5x^(2)+1)^(3)d/(dx)(4x^(3)-5x^(2)+1)`
`=4(4x^(3)-5x^(2)+1)^(3)(4xx3x^(2)-5xx2x+0)`
`=4(4x^(3)-5x^(2)+1)^(3)(12x^(2)-10x)`
`=8x(6x-5)(4x^(3)-5x^(2)+1)^(3)`
Discussion
9.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- (i) `sin^(-1)(3x-4x^(3))` (ii) `cos^(-1)(4x^(3)-3x)`

Answer» (i) `y=sin^(-1)(3x-4x^(3))`
माना `x=sintheta`, तब `theta=sin^(-1)x`
`thereforey=sin^(-1)(3sintheta-4sin^(3)theta)`
`rArry=sin^(-1)(sin3theta)`
`rArry=3theta`
`rArry=3sin^(-1)x`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=3.(1)/(sqrt(1-x^(2)))`
`=3/(sqrt(1-x^(2)))`
(ii) `x=costheta` रखकर उपरोक्त प्रश्न के अनुसार हल कीजिए।
Discussion
10.

`y=tan^(-1)((3x-x^(3))/(1-3x^(2)))` का अवकलन x के सापेक्ष ज्ञात कीजिए, जबकि `-1/(sqrt3)ltxlt1/(sqrt3)`

Answer» माना `y=tan^(-1)((3x-x^(3))/(1-3x^(2)))`
`x=tantheta` रखने पर,
`y=tan^(-1)((3tantheta-tan^(3)theta)/(1-3tan^(2)theta))`
`rArry=tan^(-1)(tan3theta)`
(i) `-1/(sqrt3)ltxlt1/(sqrt3)`
`rArr-1/(sqrt3)lttanthetalt1/(sqrt3)`
`rArr-pi/6ltthetapi/6`
`rArr-pi/2lt3thetaltpi/2`
`thereforey=tan^(-1)(tan3theta)`
`rArry=3theta`
`rArry=3tan^(-1)x`
`[becausex=tanthetarArrtheta=tan^(-1)x]`
`therefore(dy)/(dx)=3/(1+x^(2))`
Discussion
11.

`(logx)^(x)+x^(logx)` का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

Answer» माना `y=(logx)^(x)+x^(logx)`
`(logx)^(x)=u` और `x^(logx)=v` रखने पर,
y=u+v
`rArr(dy)/(dx)=(du)/(dx)+(dv)/(dx)` ..(1)
अब, `u=(logx)^(x)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`rArrlogu=log(logx)^(x)`
`rArrlogu=xlog(logx)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/u(du)/(dx)=x.(1)/(logx).(1)/x+log(logx).1`
`rArr(du)/(dx)=u[1/(logx)+log(logx)]`
`rArr(du)/(dx)=(logx)^(x)[1/(logx)+log(logx)]` ...(2)
और `v=x^(logx)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`rArrlogv=log(x^(logx))`
`rArrlogv=logxlogx=(logx)^(2)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/v(dv)/(dx)=2logx.(1)/x`
`rArr(dv)/(dx)=v[2/xlogx]`
`rArr(dv)/(dx)=x^(logx)[2/xlogx]`
समी. (1),(2) और (3) से,
`(dy)/(dx)=(logx)^(x)[1/(logx)+log(logx)]`
`+x^(logx)[2/xlogx]`
Discussion
12.

`y=tan^(-1)((3x-x^(3))/(1-3x^(2)))` का अवकलन x के सापेक्ष ज्ञात कीजिए, जबकि`xgt1/3`

Answer» `xgt1/(sqrt3)`
`rArrtanthetalt1/(sqrt3)`
`rArr1/(sqrt3)lttanthetaltoo`
`rArrpi/6ltthetaltpi/2`
`rArrpi/2lt3thetalt(3pi)/2`
`rArr-pi/2lt3theta-piltpi/2`
`thereforey=tan^(-1)(tan3theta)`
`rArry=tan^(-1)[tan(3theta-pi)]`
`rArry=3theta-pi`
`y=3tan^(-1)x-pi`
`therefore(dy)/(dx)=3/(1+x^(2))-0`
`rArr(dy)/(dx)=3/(1+x^(2))`
Discussion
13.

`tan^(-1)((sqrt(1-x^(2)))/x)` का अवकलन `cos^(-1)(2xsqrt(1-x^(2))),xne0` के सापेक्ष कीजिए

Answer» माना `u=tan^(-1)((sqrt(1-x^(2)))/x)`
`x=costhetarArrtheta=cos^(-1)x` रखने पर,
`u=tan^(-1)((sqrt(1-cos^(2)theta))/(costheta))`
`rArru=tan^(-1)((sqrt(sin^(2)theta))/(costheta))`
`rArru=tan^(-1)((sintheta)/(costheta))`
`rArru=tan^(-1)(tantheta)=theta`
`rArru=cos^(-1)x`
`therefore(du)/(dx)=(-1)/(sqrt(1-x^(2)))`
और `v=cos^(-1)(2xsqrt(1-x^(2)))`
`x=costhetarArrtheta=cos^(-1)x` रखने पर,
`v=cos^(-1)(2costhetasqrt(1-cos^(2)theta))`
`rArrv=cos^(-1)(2costhetasintheta)`
`rArrv=cos^(-1)(sin2theta)`
`rArrv=cos^(-1)(cos(pi/2-2theta))`
`rArrv=pi/2-2theta`
`rArrv=pi/2-2cos^(-1)x`
`therefore(dv)/(dx)=0-2xx(-1)/(sqrt(1-x^(2)))`
`=2/(sqrt(1-x^(2)))`
अब, `(du)/(dx)=(du//dx)/(dv//dx)`
`=-1/(sqrt(1-x^(2)))xx(sqrt(1-x^(2)))/2`
`rArr(du)/(dv)=-1/2`
Discussion
14.

`tan^(-1)((1+2x)/(1-2x))` का अवकलन `sqrt(1+4x^(2))` के सापेक्ष कीजिए

Answer» माना `u=tan^(-1)((1+2x)/(1-2x))`
`therefore(du)/(dx)=1/(1+((1+2x)/(1-2x))^(2)).((1-2x).2-(1+2x)(-2))/((1-2x)^(2))`
`rArr(du)/(dx)=((1-2x)^(2))/((1-2x)^(2)+(1+2x)^(2)).((2-4x+2+4x))/((1-2x)^(2))`
`rArr(du)/(dx)=4/((1+4x^(2)-4x)+(1+4x^(2)+4x))`
`rArr(du)/(dx)=4/(2(1+4x^(2)))`
`(du)/(dx)=2/(1+4x^(2))`
और `v=sqrt(1+4x^(2))`
`therefore(dv)/(dx)=1/(2sqrt(1+4x^(2)))xx(0+8x)`
`rArr(dv)/(dx)=(4x)/(sqrt(1+4x^(2)))`
अब, `(du)/(dv)=(du//dx)/(dv//dx)`
`(du)/(dv)=2/(1+4x^(2))xx(sqrt(1+4x^(2)))/(4x)`
`rArr(du)/(dv)=1/(2xsqrt(1+4x^(2)))`
Discussion
15.

`y=tan^(-1)((3x-x^(3))/(1-3x^(2)))` का अवकलन x के सापेक्ष ज्ञात कीजिए, जबकि `xlt-1/(sqrt3)`

Answer» `xlt-1/(sqrt3)`
`rArr-oolttanthetalt-1/(sqrt3)`
`rArr-pi/2ltthetalt-pi/6`
`rArr-pi/2ltthetalt-pi/6`
`rArr-(3pi)/2lt3thetalt-pi/2`
`rArr-pi/2lt3theta+piltpi/2`
`thereforey=tan^(-1)(tan3theta)`
`rArry=tan^(-1)[tan(3theta+pi)]`
`rArry=3theta+pi`
`rArry=3tan^(-1)x+pi`
`therefore(dy)/(dx)=3/(1+x^(2))+0`
`rArr(dy)/(dx)=3/(1+x^(2))`
Discussion
16.

निम्नलिखित फलनका अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः `(e^(x))/(x)`

Answer» माना `y=(e^(x))/(x)`
`therefore (dy)/(dx)=(x.(d)/(dx)(e^(x))-e^(x)((d)/(dx)x))/((x^(2)))`
`=(xe^(x)-e^(x))/(x^(2))=(e^(x)(x-1))/(x^(2))`
Discussion
17.

निम्नलिखित फलन x के सापेक्ष अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः `6 log_(e) x-e^(x)+x^(1//5)`

Answer» माना `y=6log_(e)x-e^(x)+x^(1//5)`
`therefore (dy)/(dx)=6(d)/(dx)log_(e)-x(d)/(dx)e^(x)+(d)/(dx)x^(1//5)`
`=6xx(1)/(x)-e^(x)+(1)/(5)x^(1//5-1)=(6)/(x)-e^(x)+(1)/(5)x^(-4//5)`
Discussion
18.

निम्नलिखित फलनका अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः `(e^(x))/(log_(e)x)`

Answer» माना `y=(e^(x))/(log_(e)x)`
`therefore (dy)/(dx)=(log_(e)x(d)/(dx)e^(x)-e^(x)(d)/(dx)log_(e)x)/((log_(e)x)^(2))`
`=(e^xlog_(e)x-(e^(x))/(x))/((log_(e)x)^(2))`
`=(xe^(x)log_(e)x-e^(x))/(x(log_(e)x)^(2))=(e^(x)(xlog_(e)x-1))/(x(log_(e)x)^2)`
Discussion
19.

`9x^(7).tanx.a^(x)` का x के सापेक्ष अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः

Answer» माना `y=9x^(7).tan x.a^(x)`
`therefore (dy)/(dx)=9(d)/(dx)[(x^(7)tan x)a^(x)]`
`=9[(x^(7)tan x)(d)/(dx)a^(x)+a^(x)(d)/(dx)(x^(7)tan x)]`
`=9[(x^(7)tan x)a^(x)log_(e)a+a^(x){x^(7) (d)/(dx)tan x+tan x (d)/(dx)x^(7)}]`
`=9[(x^(7)tan x)a^(x)log_(e)a+a^(x){x^(7)sec^(2)x+7x^(6)tan x}]`
`=9a^(x)[x^7tan x log _(e) a+x^(7)sec^2x+7x^(6)tan x]`
`=9a^(x)x^(6)[x (tan xlog_(e)a+sec^(2)x)+7tan x]`
Discussion
20.

`e^(x) sin x+x^(p) tan x+a^(x) log_(a) x` का x के सापेक्ष अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः

Answer» माना `y=e^(x)sin x+x^(p)tan x+a^(x)log_(a)x`
`therefore (dy)/(dx)=(d)/(dx)(e^(x)sin x)+(d)/(dx)(x^(p)tan x)+(d)/(dx)(a^(x)log_(ax)`
`=(e^(x)(d)/(dx)sinx+sin x(d)/(dx)e^(x))+(x^(p)(d)/(dx)tanx+tan x(d)/dxa^(p))+(a^(x)(d)/(dx)log_(a)x+log_(a)x(d)/(dx)a^(x))`
`=(e^(x)cos x+e^(x) sin x)+(x^(p)sec^(w)x+px^(p-1)tan x)+(a^(x)(1)/(x)log_(a)e+a^(x)log_(e)a.log_(a)x)`
`=e^(x)(cos x+sinx )+x^(p-1)(x sec^(2)x+p tan x)+a^(x)((1)/(x)log_(a)e+log_(e)a.log_(a)x)`
Discussion
21.

`(d)/(dx)[tan^(-1)""(sqrt(1+x^(2))-1)/(x)]` का मान होगा-A. `(1)/(1+x^(2))`B. `(x^2)/(2sqrt(1+x^(2))(sqrt(1+x^(2)-1)))`C. `(2)/(1+x^(2))`D. `(1)/(2(1+x^(2)))`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
22.

`cos^(2) x^(2)` का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः

Answer» माना `y=cos^(2)x^(2)`
`x^(2)=t` रखने पर `Rightarrow y=cos^(2)t` एव माना cos t=u
अब `(dy)/(du)=2u, (du)/(dt)=-sin t "व"dt/dx=2x`
अंत: `(dy)/(dx)=dy/du xx du/dt xx dt/dx`
`=2uxx-sin txx2x`
`=-4u x sin t=-4 x sin t cos t`
`=-4x sinx^(2).cos x^(2)`
`=-2x(2sin x^(2)cosx^(2))`
`=-2x sin(2x^2)`
Discussion
23.

`sqrt((1-tan x)/(1+tan x))` का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः

Answer» माना `y=sqrt((1-tan x)/(1+tan x))`
`(1-tan x)/(1+tan x)=t"रखने पर "Rightarrow u=sqrtt`
`Rightarrow (dy)/(dt)=(1)/(2)t^(-1//2)=(1)/(2sqrtt)`
व `(dt)/(dx)=((1+tan x)(d)/(dx)(1-tan x)-1(1-tan x).(d)/(dx)(1+tan x))/((1+tan x)^(2))`
`=(-2sec^(2)x)/((1+tan x )^(2))`
अंत: `(dy)/(dx)=(dy)/(dt).(dt)/(dx)`
`=(1)/(2sqrtt)xx(-2sec^(2)x)/((1+tan x)^(2))=-(sec^(2)x)/((1+tanx)^(2))xx(sqrt(1+tanx))/(sqrt(1-tan x))`
`=(-sec^2x)/((1+tan x)^(3//2)(1-tanx)^(1//2))`
Discussion
24.

sin 2x cos 3x का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः

Answer» माना `y=sin 2x cos 3x`
तब `(dy)/(dx)=sin2x.(d)/(dx)(cos 3x)+cos 3x+cos 3x.(d)/(dx)(sin 2x)`
`=-3sin 2x sin 3x+2 cos 3x cos 2x`
Discussion
25.

`(d)/(dx)[tan^(-1) ""(sqrt(1+cos""(x)/(2)))/(sqrt(1-cos""(x)/(2)))]` का मान होगाA. `-(1)/(4)`B. `(1)/(4)`C. `-(1)/(2)`D. `(1)/(2)`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
26.

Differential co-e efficient of `sec(tan^(-1)x)` isA. `(x)/(sqrt(1+x^(2)))`B. `(1)/(sqrt(1+x^(2)))`C. `xsqrt(1+x^(2))`D. `(x)/(1+x^(2))`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
27.

यदि `y=(x tan x)/(sec x +tan x)` तो `(dy)/(dx)` का मान ज्ञात कीजिएः

Answer» दिया है `y=(x tan x)/(sec x+tan x)`
भागफल विधि से
`(dy)/(dx)=((sec x+tan x)(d)/(dx)(x tan x)-x tan x(d)/(dx)(sec x+tan x))/((sec x+tan x)^(2))`
`=((sec x+tan x)[x,(d)/(dx)(tan x)+tan x.(d)/(dx)(x)]-xtan x[(d)/(dx)(sec x)+(d)/(dx)(tan x)])/((sec x+tan x)^(2))`
`=((sec x+tan x)(x sec ^(2)x +tan x)-xtan x(sec x tan x+sec^(2)x))/((sec x+tan x)^(2))`
`=(x sec^3x +x tan sec^(2)x+sec x tan x+tan^(2)x-x sec x tan^(2)x-xtan x sec^(2)x)/((sec x+tan x)^(2))`
`=(x secx(sec^(2)x-tan^(2)x)+tan x(sec x+tan x))/((sec x+tan x)^(2))`
`=(x secx(secx-tanx)+tan x)/(sec x+tan x)`
Discussion
28.

`d/dx(cos x^(@))`A. `-sinx^(@)`B. `-(pi)/(180)sin^(x^(@))`C. `(pi)/(180)sinx^(@)`D. `(2pi)/(180)sinx^(@)`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
29.

यदि `y=((a)/(x))^(m)+((x)/(b))^(n)` तब `(dy)/(dx)` का मान ज्ञात कीजिएः।

Answer» Correct Answer - `-ma^(m)m^(-m-1)+(n)/(b^(n))x^(n-1)`
`(dy)/(dx)=(d)/(dx)(y)=(d)/(dx)[((a)/(x))^(m)+((x)/(b))^(n)]`
`=a^(m)(d)/(dx)(x^(-m))+(1)/(b^(n)) (d)/(dx)(x^(n))=a^m,(-mx^(-m-1))+(1)/(b^(n))nx^(n-1)=-ma^(m)x^(-m-1)+(nx^(n-1))/(b^(n))`
Discussion
30.

`((x^(2)+sinx)/(1-x))` का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः

Answer» माना `y=(x^(2)sinx)/(1-x)`
तब भागफल नियम से
`(dy)/(dx)=((1-x)(d)/(dx)(x^(2) sinx)-x^(2)sinx(d)/(dx)(1-x))/((1-x)^(2))`
`=((1-x)[x^(2).(d)/(dx)(sin x)+sin x.d/dx(x^(2))]-(x^(2)sinx)(x-1))/((1-x)^(2))`
`=((1-x)(x^(2)cosx+2xsin x)+x^(2)sinx)/((1-x)^(2))`
`=(x^2(1-x)cos x+(x sin x)(2-x))/((1-x)^(2))`
Discussion
31.

`(sin x+cos x)/(sin x-cos x)` का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः

Answer» माना `y=(sin x+cos x)/(sin x-cos x)`
`Rightarrow (dy)/(dx)=((sin x-cos x)(d)/(dx)(sin x+cos x)-(sin x+cos x).(d)/(dx)(sin x-cos x))/((sin x-cos x)^(2))`
`=((sin x-cos x)(cos x-sinx)-(sin x+cos x)(cos x+sin x))/((sin x-cos x)^(2))`
`=([(sin x+cos x)^(2)+(sin x-cos x)^(2)])/((sin x-cos x)^(2))`
`=(-2(sin^(2)x+cos^(2)x))/((sin^(2)x+cos^(2)x-2sin xcos))`
`=(-2)/(1-sin 2x)`
Discussion
32.

`y=(sec x-tan x)/(sec x+tan x)`A. `2sec x(sec x-tan x)`B. `-2secx(sec x-tan x)^(2)`C. `2secx(sec x+tan x)^(2)`D. `-2secx(sec x+tan x)^(2)`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
33.

`x^(m)+a^(m)`

Answer» Correct Answer - `mx^(m-1)`
`(d)/(dx)(m^(m)+a^(m))=(d)/(dx)(x^(m))+(d)/(dx)(a^m)=mx^(m-1)+0=mx^(m-1)`
Discussion
34.

`f(x)=e^(2x),f(x+deltax)=e^(2(x+deltax))`

Answer» `therefore f(x+deltax)-f(x)=e^(2(x+deltax))-e^(2x)=e^(2x)(e^(deltax-1))`
`therefore (d)/(dx)(e^(2x))=underset(deltax to 0)lim (f(x+deltax)-f(x))/(deltax)=underset(x to 0)lim (e^(2x)(edeltx-1)/(deltax))`
अंत: `e^(x)` का विस्तार प्रयोग करते हुए।
Discussion
35.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `sin(2sin^(-1)x)`

Answer» `y=sin(2sin^(-1)x)`
माना `x=sintheta`, तब `theta=sin^(-1)x`
`thereforey=sin2theta`
`rArry=2sinthetacostheta`
`rArry=2xsqrt(1-x^(2))`,
`[becausecostheta=sqrt(1-sin^(2)theta)=sqrt(1-x^(2))]`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=2d/(dx){x(sqrt(1-x^(2)))}`
`rArr(dy)/(dx)=2[xd/(dx)(sqrt(1-x^(2)))+(sqrt(1-x^(2)))d/(dx)(x)]`
`rArr(dy)/(dx)=2[x.1/2(1-x^(2))^(-1//2)d/(dx)(1-x^(2))+sqrt(1-x^(2)).1]`
`rArr(dy)/(dx)=2[x/(2sqrt(1-x^(2)))xx(-2x)+sqrt(1-x^(2))]`
`rArr(dy)/(dx)=2[(-x^(2))/(sqrt(1-x^(2)))+sqrt(1-x^(2))]`
`(dy)/(dx)=2[(-x^(2)+(1-x^(2)))/(sqrt(1-x^(2)))]`
`=(2(1-2x^(2)))/(sqrt(1-x^(2)))`
Discussion
36.

निम्नलिखित में प्रत्येक का `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए `y=tan^(-1){(sqrt(1+x^(2))-sqrt(1-x^(2)))/(sqrt(1+x^(2))+sqrt(1-x^(2)))}`

Answer» `y=tan^(-1){(sqrt(1+x^(2))-sqrt(1-x^(2)))/(sqrt(1+x^(2))+sqrt(1-x^(2)))}`
माना `x^(2)=costheta` तब `theta=cos^(-1)x^(2)`
`thereforey=tan^(-1){(sqrt(1+costheta)-sqrt(1-costheta))/(sqrt(1+costheta)+sqrt(1-costheta))}`
`rArry=tan^(-1){(sqrt(2cos^(2)theta/2)-sqrt(2sin^(2)theta/2))/(sqrt(2cos^(2)theta/2)+sqrt(2sin^(2)theta/2))}`
`rArry=tan^(-1){(costheta/2-sintheta/2)/(costheta/2+sintheta/2)}`
`rArry=tan^(-1){(1-tantheta/2)/(1+tantheta/2)}`
`rArry=tan^(-1){tan(pi/4-theta/2)}`
`rArry=pi/4-theta/2`
`rArry=pi/4-1/2cos^(-1)x^(2)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx){pi/4-1/2cos^(-1)x^(2)}`
`rArr(dy)/(dx)=0-1/2(-1)/(sqrt(1-(x^(2))^(2)))d/(dx)(x^(2))`
`rArr(dy)/(dx)=1/(2sqrt(1-x^(4)))xx2x`
`=x/(sqrt(1-x^(4)))`
Discussion
37.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `(5^(x))/(x^(5))`

Answer» माना `y=(5^(x))/(x^(5))`
`rArrlogy=log5^(x)-logx^(5)`
`[becauselogm/n=logm-logn]`
`rArrlogy=xlog5-5logx`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/y(dy)/(dx)=(log5).1-5.(1)/x`
`rArr(dy)/(dx)=y[log5-5/x]`
`rArr(dy)/(dx)=(5^(x))/(x^(5))[log5-5/x]`
Discussion
38.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `sin^(3)x`

Answer» माना `y=sin^(3)x`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)(sin^(3)x)`
`=3sin^(2)xd/(dx)(sinx)`
`=3sin^(2)x.cosx`
Discussion
39.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `5^(3-x^(2))+(3-x^(2))^(5)`

Answer» माना `y=5^(3-x^(2))+(3-x^(2))^(5)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)5^(3-x^(2))+d/(dx)(3-x^(2))^(5)`
`=5^(3-x^(2))log_(e)5d/(dx)(3-x^(2))+5(3-x^(2))^(4)d/(dx)(3-x^(2)),`
`[becaused/(dx)a^(x)=a^(x)log_(e)a]`
`=5^(3-x^(2))log_(e)5xx(0-2x)+5(3-x^(2))^(4)(0-2x)`
`=5^(3-x^(2))log_(e)5(-2x)+5(3-x^(2))^(4)(-2x)`
`=-2x[5^(3-x^(2))log_(e)5+5(3-x^(2))^(4)]`
Discussion
40.

निम्नलिखित फलन का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः `11" "5sqrt((1)/(x^(15)))`

Answer» माना `11" "5sqrt((1)/(x^(15)))=11(x^(-15))^(1//5)`
या `y=11x^(-3)`
`therefore (dy)/(dx)=11(d)/(dx)(x^(-3))=11xx(-3)x^(-3-1)`
`=-33x^(-4)=(-33)/(x^4)`
Discussion
41.

निम्नलिखित फलन का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः `(1)/(x^(3))`

Answer» माना `y=(1)/(x^(3))=x^(-3)`
`therefore (dy)/(dx)=(d)/(dx)(x^(-3))=(-3)x^(-3-1)=-3x^(-4)`
`therefore (dy)/(dx)=(-3)/(x^(4))`
Discussion
42.

निम्नलिखित फलन का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः `7" "3sqrt(x^(7))`

Answer» माना `7" "3sqrt(x^(7))=7(x^(7))^(1//3)`
`therefore (dy)/(dx)=(d)/(dx)[7(x)^(7//3)]" "[therefore (a^(m))^(n)=a^(mn)]`
`=7(d)/(dx)x^(7//3)=7xx(7)/(3)x^(7//3-1)=(49)/(3)x^(4//3)`
Discussion
43.

निम्नलिखित फलन का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः `y=a+(a)/(x)+((a)/(x))^(2)+((a)/(x))^(3)+((a)/(x))^(4)+......oo`

Answer» `y=a+(a)/(x)+((a)/(x))^(2)+((a)/(x))^(3)+((a)/(x))^(4)+....oo`
`=a+ax^-1+a^(2)x^(-2)+a^(3)x^(-3)+a^(4)x^(-4)+.....oo`
`therefore (dy)/(dx)=(d)/(dx)(a)+a(d)/(dx)(x^(-1))+a^(2)(d)/(dx)x^(-2)+a^(3)+(d)/(dx)(x^-3)+a^(4)(d)/(dx)(x^(-4))+....oo`
`=0+a^(-1)x^(-2)+a^(2)(-2)x^(-2-1)+a^(3)(-3)x^(-3-1)x^(-3-1)+a^(4)(-4)x^(-4-1)+....oo`
`=-a/x^(2)-(2a^(2))/(x^(3))-(3a^(3))/(x^(4))-(4a^(4))/(x^(5))-......oo`
Discussion
44.

निम्नलिखित फलन का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः `y=x+(x^(2))/(2!)+(x^(3))/(3!)+(x^(4))/(4!)+....oo`

Answer» `y=x+(x^(2))/(2!)+(x^(3))/(3!)+(x^(4))/(4!)+....oo`
`therefore (dy)/(dx)=(d)/(dx)x+(1)/(2!)(d)/(dx)x^(2)+(1)/(3!)d/dxx^(3)+(1)/(4!)d/dxx^(4)+....oo`
`=1+(2x)/(2!)+(3x^(2))/(3!)+(4x^(3))/(4!)+.....oo`
`=1+(2x)/(2.1!)+(3x^(2))/(3.2!)+(4x^(3))/(4.3!)+.....oo`
`=1+x+(x^(2))/(2!)+(x^(3))/(3!)+....oo`
`=1+x+(x^(2))/(2!)+(x^(3))/(3!)+......oo`
Discussion
45.

निम्नलिखित फलन का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः `-9" "5sqrt(x^(-9))`

Answer» माना `-9" "5sqrt(x^(-9))=-9(x^(-9))^(1//5)=-9x^(-9//5)`
`therefore (dy)/(dx)=(d)/(dx)(-9x^(-9//5))`
`=-9(d)/(dx)x^(-9//5)=-9xx(-(9)/(5))x^(-(9)/(5)-1)=(81)/(5)x^(-14//5)`
Discussion
46.

प्रथम सिद्धांत से log ax का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिएः

Answer» माना `y=log ax` ......(i)
`therefore y+deltay=log a(x+deltax)` ......(ii)
`therefore y+deltay-y=log a(x+deltax)-log ax`
`Rightarrow deltay=log a((x+deltax))/(ax)=log(1+(deltax)/(x))(therefore log M-log N=log""(M)/(N))`
`Rightarrow deltay=(deltax)/(x)-(1)/(2) ((deltax)/(x))^(2)+(1)/(3) ((deltax)/(x))^(3)-(1)/(4) ((deltax)/(x))^(4)_..... (therefore log (1+x)=x-(1)/(2)x^(2)+(1)/(3)x^(3)-(1)/(4)x^(4)+.....oo)`
`Rightarrow deltay=(deltax)/(x)[1-(1)/(2)((deltax)/(2))+(1)/(3)((deltax)/(x))^(2)-......oo]`
दोनों पक्षों को `deltax` से भाग देकर `underset(deltax to 0)` लेने पर
`underset(deltax to 0)lim (deltay)/(deltax)=(dy)/(dx)=underset(deltax to 0)lim (1)/(deltax).(deltax)/(x)[1-(1)/(2)((deltax)/(2))+(1)/(3)((deltax)/(x))^(2)-.....oo]`
`underset(deltax to 0)lim (1)/(x)[1-(1)/(2)((deltax)/(2))+(1)/(3)((deltax)/(x))^(2)-.....oo]`
`=(1)/(x)[1-0+0-0+....oo]=(1)/(x)`
`therefore (d)/(dx) log ax=(1)/(x)`
Discussion
47.

`(sin x)/(x)` का प्रथम सिद्धांत से अवकल गुणांक ज्ञात कीजिएः

Answer» माना `y=(sin x)/(x)`
`Rightarrow y+deltay=(sin(x+deltax))/(x+deltax)`
`Rightarrow y+deltay-y=(sin (x+deltax))/(x+delta)-(sin x)/(x)`
`Rightarrow deltay=(sin(x+deltay))/(x+deltay)-(sin x)/(x)`
`=(x sin(x+deltax)-(x+deltax)sinx)/(x(+deltax))`
`Rightarrow (deltay)/(deltax)(x sin(x+deltax)-(x+deltax)sinx)/(deltax.x(x+deltax))`
`therefore (dy)/(dx)=underset(deltax to 0)lim (deltay)/(deltax)`
`=underset(deltax to 0)lim ({x sin (x+deltax)-(x+deltax)sin x})/(x(x+deltax).deltax)`
`=underset(deltax to 0)lim (x[ sin (x+deltax)-sin x]-deltax.sin x)/(x(x+deltax).deltax)`
`=underset(deltax to 0)lim (x[(2cos (x+(deltax)/(2))sin((deltax)/(2)))]-(deltax)sin x)/(x(x+deltax).deltax)`
`underset(deltax to 0)lim cos (x+(deltax)/(2)),underset(deltax to 0)lim (sin(deltax//2))/((deltax//2)).underset(deltax to 0)lim (1)/((x+deltax))-underset(deltax to 0)lim (sin x)/(x(x+deltax))`
`=(cos.x.(1)/(x))-(sin x)/(x^2)`
`=(cos x)/(x)-(sin x)/(x^(2))`
`=(x cos x-sin x)/(x^(2))`
Discussion
48.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `(2x^(2)+3)^(5//3)(x+5)^(-1//3)`

Answer» माना `y=(2x^(2)+3)^(5/3)(x+5)^(1/3)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)[(2x^(2)+3)^(5//3)(x+5)^(-1//3)]`
`=(2x^(2)+3)^(5//3)d/(dx)(x+5)^(-1//3)+(x+5)^(-1//3)d/(dx)(2x^(2)+3)^(5//3),`
[गुणन नियम से]
`=(2x^(2)+3)^(5//3)(-1/3)(x+5)^(1/3-1)d/(dx)(x+5)+(x+5)^(-1//3)xx5/3(2x^(2)+3)^(5/3-1)d/(dx)(2x^(2)+3)`
`=-1/3(2x^(2)+3)^(5//3)(x+5)^(-4//3)xx1+5/3(x+5)^(-1//3)(2x^(2)+3)^(2//3)(2xx2x+0)`
`=1/3(2x^(2)+3)^(2//3)(x+5)^(-1//3)[-(2x^(2)+3)(x+5)^(-1)+20x]`
`=1/3(2x^(2)+3)^(2//3)(x+5)^(-1//3)(20x-((2x^(2)+3))/((x+5)))`
`=1/3(2x^(2)+3)^(2//3)(x+5)^(-1//3)((20x^(2)+100x-2x^(2)-3)/((x+5)))`
`=((2x^(2)+3)^(2//3)(18x^(2)+100x-3))/(3(x+5)^(4//3)),xne-5`
Discussion
49.

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए- `log_(x)2`

Answer» माना `y=log_(x)2`
`rArry=1/(log_(2)x)`, [`becauselog_(b)a=1/(log_(a)b)]`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=d/(dx)(log_(x)2)`
`=d/(dx)(1/(log_(2)x))`
`=d/(dx)(1/u)` [माना `log_(2)x=u`]
`=d/(du)(1/u)(du)/(dx)`
`=-1/(u^(2)).d/(dx)(log_(2)x)`
`=-1/((log_(2)x)^(2))xx1/(xlog_(e)2)`
`=(-1)/(xlog_(e)2(log_(2)x)^(2))`
Discussion
50.

यदि `e^(x)+e^(y)=e^(x+y)` हो,तो सिद्ध कीजिए कि `(dy)/(dx)=-(e^(x)(e^(y)-1))/(e^(y)(e^(x)-1))`

Answer» `e^(x)+e^(y)=e^(x+y)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`d/(dx)(e^(x)+e^(y))=d/(dx)(e^(x+y))`
`rArrd/(dx)(e^(x))+d/(dx)(e^(y))=e^(x+y)d/(dx)(x+y)`
`rArre^(x)+e^(y)(dy)/(dx)=e^(x+y)(1+(dy)/(dx))`
`rArre^(x)+(e^(y)-e^(x+y))(dy)/(dx)=e^(x+y)`
`rArr(e^(y)-e^(x+y))(dy)/(dx)=e^(x+y)-e^(x)`
`rArre^(y)(1-e^(x))(dy)/(dx)=e^(x)(e^(y)-1)`
`rArr(dy)/(dx)=(e^(x)(e^(y)-1))/(e^(y)(1-e^(x)))`
`rArr(dy)/(dx)=-(e^(x)(e^(y)-1))/(e^(y)(e^(x)-1))`
यही सिद्ध करना था|
Discussion