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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

`(sin x)^(x)+sin^(-1)sqrt(x)`

Answer» Correct Answer - `(sin x)^(x) (x cot x + log sinx)+(1)/(2)(1)/(sqrt(x-x^(2)))`
Discussion
2.

`x^(sinx)+(sin x)^(cos x)`

Answer» Correct Answer - `x^(sinx)[(sinx)/(x)+ cosx logx]+(sinx)^(cosx)[cosxcotx-sinx log sinx ]`
Discussion
3.

`cos(sinx)`

Answer» Correct Answer - `-cosxsin(sinx)`
Discussion
4.

`sin(x^(2)+5)`

Answer» Correct Answer - `2xcos(x^(2)+5)`
Discussion
5.

`f(x)=|x|-|x+1|` द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असान्त्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

Answer» Correct Answer - असान्त्यता का कोई बिंदु नहीं हैं।
Discussion
6.

`e^(x)+e^(x^(2))+….+e^(x^(5))`

Answer» Correct Answer - `e^(x)+2x^(e^(x^(2)))+3x^(2)e^(x^(3))+4x^(3)e^(x^(4))+5x^(4)e^(x^(5))`
Discussion
7.

`(sin(ax+b))/(cos(cx+d))`

Answer» Correct Answer - `acos(ax+b)sec(cx+d)+c sin(ax+b)tan(cx+d)sec(cx+d)`
Discussion
8.

`sin(ax+b)`

Answer» Correct Answer - `acos(ax+b)`
Discussion
9.

`sec(tansqrt(x))`

Answer» Correct Answer - `(sec(tansqrt(x)).tan(tansqrt(x)).sec^(2)sqrt(x))/(2sqrt(x))`
Discussion
10.

`t=(cos x)^(sin x+x^(2))` का x के सापेक्ष अवलन गुणांक ज्ञात कीजिये ।

Answer» `y=(cos x)^(sinx)+x^(x)`
`rArr y= u + v`
जहाँ `u=(cos x)^(sin x )`
और `v=x^(2)`
`:. (dy)/(dx)=(du)/(dx)+(dv)/(dx)` ...(1)
अब `u=(cos u ) ^(sin x )`
`rArr log u = sin x log cos x `
`rArr (1)/(u) (du)/(dx)= cos x log cos x + sin x (1)/( cos x) (-sin x)`
`rArr (1)/(u).(du)/(dx)=cos x log cos x - (sin ^(2)x)/ (cos x)`
`rArr (du)/(dx)=u { cos x log cos x -(sin^(2)x)/(cos x)}`
`rArr (du)/(dx)=(cos x )^(sin x) { cos x log cos x - (sin^(2)x)/(cos x)}` ...(2)
तथा `v=x^(2)`
`rArr log v = x log x`
`rArr (1)/(v) . (dv)/(dx)=x.(1)/(x)+log x .1`
`rArr (1)/(v). (dv)/(dx)=1+log x `
`rArr (dv)/(dx)=v(1+log x)`
`rArr (dv)/(dx)=x^(x)(1+log x)`
समीकरण (1 ) , (2 ) व (3 ) से,
`(dy)/(dx)=(cos x)^(sin x){cos x log cos x - (sin^(2)x)/(cos x)}+x^(x)(1+log x)`
Discussion
11.

यदि `y=tan^(-1).(2x)/(1-x^(2))+tan^(-1)x` तो `((dy)/(dx))` का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» `y=tan^(-1)((2x)/(1-x^(2)))+tan^(-1)x`
`rArr(dy)/(dx)=(2)/(1+x^(2))+(1)/(1+x^(2))` [प्रश्न 24 की भाँति]
`=(3)/(1+x^(2))`
Discussion
12.

यदि `y=(log_(e)x)^("sin x")` हो तो `(dy)/(dx)` का ज्ञात कीजिये ।

Answer» `y=(log_(e)x)^(sin x)`
दोनों पक्षों का log लेने पर,
`log y = sin x log (log_(e)x)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(1)/(y)(dy)/(dx)=sinx (d)/(dx){log (log_(e)x)}+log(log_(e)x)(d)/(dx) (sin x)`
या `(1)/(y) (dy)/(dx)=sinx(1)/(log _(e) x).(d)/(dx)(log_(e)x)+log(log_(e)x).cos x`
`=sin x (1)/(log _(e)x).(1)/(x)+log(log_(e)x).cos x`
`=(sin x)/(x log_(e)x)+log (log_(e)x).cos x`
या `(dy)/(dx)=y[(sinx)/(xlog_(e)x)+cos x log (log_(e)x)]`
या `(dy)/(dx)=(log_(e)x)^(sinx)`
`[(sinx)/(xlog_(e)x)+cos x log (log_(e)x)]`
Discussion
13.

निम्नलिखित में x तथा y दिए समीकरणों द्वारा एक -दूसरे के प्राचलिक रूप में सम्बंधित हो तो प्राचलों का विलोपन किये बिना `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिये|- .`x=costheta-cos2theta, y=sintheta-sin2theta`

Answer» Correct Answer - `( cos theta -2 cos 2 theta)/(2 sin 2 theta - sin theta )`
Discussion
14.

यदि `x=a(t+1/t)` और `y+a(t-1/t)`, तो सिद्ध कीजिये कि `(dy)/(dx)=x/y`.

Answer» `x=a(t+(1)/(t))`
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dx)/(dt)=a(1-(1)/(t^(2)))`
`y=a(t-(1)/(t))`
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dt)=a(1+(1)/(t^(2)))`
अब `(dy)/(dx)=(dy//dt)/(dx//dt)`
`=(a(1+(1)/(t^(2))))/(a(1-(1)/(t^(2))))`
`=((t^(2)+1))/(t^(2)-1) ` ...(i)
पुनः `(x)/(y) = (a(t+(1)/(t)))/(a(t-(1)/(t)))=(t^(2)+1)/(t^(2)-1)` ...(ii)
समीकरण (i ) व (ii ) से, `(dy)/(dx)=(x)/(y)` ( इति सिध्दम )
Discussion
15.

`tan^(-1)((1+cos x)/(" sin x "))` का x के सापेक्ष अवलन कीजिये ।

Answer» माना `y=tan^(-1)((1+cos x)/(sin x))`
`y=tan^(-1)((2cos^(2).(x)/(2))/(2sin.(x)/(2)cos .(x)/(2) ))`
`tan^(-1)(cot.(x)/(2))`
`=tan^(-1){tan((pi)/(2)-(pi)/(2))}`
`=(pi)/(2)-(x)/(2)`
`:. (dy)/(dx)=-(1)/(2)`
Discussion
16.

फलन `x^("tan x")` का x के सापेक्ष अवलन कीजिये ।

Answer» `y=x^(tan x)`
दोनों पक्षों का log लेने पर ,
`log y = tan x log x`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(1)/(y) (dy)/(dx)=tanx.(1)/(x)+logx.sec^(2)x`
या `(dy)/(dx)=y.((tan x)/(x)+sec^(2)x log x)`
या `(dy)/(dx)=x^(tan x)((tan x)/(x)+sec^(2)x log x)`
Discussion
17.

यदि `y=tan^(-1){(3a^(2)x-x^(3))/(a(a^(2)-3x^(2)))}`, तो `((dy)/(dx))` का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» `y=tan^(-1){(3a^(2)x-x^(3))/(a(a^(2)-3x^(2)))}`
`x=atan theta ` रखने पर ,
`y=tan^(-1){(3a^(2)a tan theta - a^(3) tan ^(3) theta)/(a (a^(2)-3a^(2)tan^(2)theta))}`
या `y=tan^(-1){(3tan theta - tan^(3) theta)/(1-3 tan^(2)theta)}`
या `y = tan^(-1) (tan 3 theta) या y =3theta`
या `y=3 tan^(-1)((x)/(a))`
या `(dy)/(dx)=3(1)/(1+(x^(2))/(a^(2)))(1)/(a)=(3a)/(a^(2)+x^(2))`
Discussion
18.

यदि `y = x sin y ` तो सिद्ध कीजिये कि `x(dy)/(dx)=(y)/(1-xcosy)`.

Answer» `y=x sin y` ...(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=x cos y (dy)/(dx)+sin y`
या `(1-x cos y) (dy)/(dx)=sin y`
या `(dy)/(dx)=(sin y)/(1-x cos y)`
या `x(dy)/(dx)=(x sin y)/(1-x cos y) = (y)/(1-x cos y)` [समीकरण (i) से ] ( इति सिध्दम )
Discussion
19.

यदि `y=x^(sin ^(-1)x)` तो `(dy)/(dx)` का ज्ञात कीजिये ।

Answer» `y=x^(sin^(-1)x)`
या `log y = sin^(-1) x log x `
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(1)/(y) (dy)/(dx)=(sin^(-1)x)/(x)+(1)/(sqrt(1-x^(2)))log x `
या `(dy)/(dx)=y((sin^(-1)x)/(x)+(log x)/(sqrt(1-x^(2))))`
या `(dy)/(dx)=x^(sin^(-1)x)((sin^(-1)x)/(x)+(log x)/(sqrt(1-x^(2))))`
Discussion
20.

x के सापेक्ष `y=sqrt(3x+2)+1/sqrt(2x^(2)+4)+(cos x)^("tan x")` का अवलन कीजिये ।

Answer» `y=sqrt(3x+2)+(1)/(sqrt(2x^(2)+4))+(cos x)^( tan x)`
`rArr y = u + v + w ` ...(1)
जहाँ `u=sqrt(3x+2)` ...(2)
`v=(1)/(sqrt(2x^(2)+4))`
और `:. (dy)/(dx)=(du)/(dx)+(dv)/(dx)+(dw)/(dx)` ...(4)
`u=sqrt(3x+2)`
`:. (du)/(dx)=(1)/(2)(3x+2)^(1/2-1)(d)/(dx) (3x+2)`
`rArr (3)/(2sqrt(3x+2))` ...(5)
`v=(1)/(sqrt(2x^(2)+4))=(2x^(2)+u)^(-1/2)`
`:. (dv)/(dx)=-(1)/(2)(2x^(2)+4)^(-1/2-1)(d)/(dx)(2x^(2)+4)`
`=-(1)/(2(2x^(2)+4)^(3//2)).(4x)`
`=-(2x)/((2x^(2)+4)^(3//2))` ...(6)
`w=(cos x )^(tan x)`
`rArr log w = tan x log cos x`
`rArr (1)/(w) (dw)/(dx)=sec^(2)xlog cos x +tan x . (1)/(cos x)(-sin x)`
`=sec^(2)xlog cos x - tan^(2)x`
`rArr (dw)/(dx)=w(sec^(2)xlog cos x - tan ^(2)x)`
`rArr (dw)/(dx)=(cos x )^(tan x) {sec^(2)x log cos x - tan^(2) x}` ...(7)
समीकरण (4), (5) (6) और (7) से,
`(dy)/(dx)=(3)/(2sqrt(3x+2))-(2x)/((2x^(2)+4)^(3//2))+ (cos x )^(tan x ) { sec^(2) x log cos x - tan^(2)x}`
Discussion
21.

`sin^(-1)x` का x के सापेक्ष अवलन गुणांक ज्ञात कीजिये ।

Answer» माना `sin^(-1) x=y`
तब , `x=sin y`
`:. (d)/(dx) (x) =(d)/(dx)(sin y)`
या `1=(d)/(dx) (sin y ) (dy)/(dx)`
या `1=cos y (dy)/(dx)`
या `(dy)/(dx)=(1)/(cos y)`
या `(dy)/(dx)=(1)/(sqrt(1-sin^(2)y))`
या `(dy)/(dx)=(1)/(sqrt(1-x^(2)))`
या `(dy)/(dx)(sin^(-1)x)=(1)/(sqrt(1-x^(2)))`
Discussion
22.

यदि `x(1+y)^("1/2")+yy(1+x)^("1/2")=0` तो सिद्ध कीजिये कि `(dy)/(dx)=-(1+x)^(-2)`.

Answer» `x(1+y)^(1//2)+y(1+x)^(1//2)=0`
या`x(1+y)^(1//2)=-y(1+x)^(1//2)`
या `x^(2)(1+y)=y^(2)(1+x)` (वर्ग करने पर)
या `x^(2)-y^(2)=xy(y-x)`
या `(x-y)(x+y)=xy(y-x)`
या `x+y=-xy` ...(i)
`:. 1+(dy)/(dx)=-(x(dy)/(dx)+y)`
या `(dy)/(dx)(1+x)=-(1+y)`
या `(dy)/(dx)=-(1+y)/(1+x)=(1+((-x)/(1+x)))/(1+x)` [समीकरण (i) से ]
`=-(1+x-x)/((1+x)^(2))`
`=-(1+x)^(2)` ( इति सिध्दम )
Discussion
23.

यदि `y=sqrt((1-sin2x)/(1+sin2x))` तो सिद्ध कीजिये कि `(dy)/(dx)+sec^(2)(pi/4-x)=0`.

Answer» `y=sqrt((1-sin2x)/(1+sin 2 x))`
`rArr (sqrt(cos^(2)x+sin^(2)x-2sin x cos x))/(sqrt(cos^(2)x+sin^(2)x+2sin x cos x))`
`=sqrt(((cosx-sinx)/(cosx + sin x))^(2))=(cos x - sin x)/(cos x + sinx )`
`=(1-tanx)/(1+tan x)=(tan (pi)/(4)-tan x)/(1+tan(pi)/(4) tan x)`
`=tan ((pi)/(4)-x)`
`:. (dy)/(dx)=sec^(2)((pi)/(4)-x) (d)/(dx) ((pi)/(4)-x)`
`=sec^(2)((pi)/(4)-x)(-1)`
या `(dy)/(dx)+sec^(2)((pi)/(4)-x)=0` ( इति सिध्दम )
Discussion
24.

यदि `y=sin(m cos^(-1)x)`, हो तो सिद्ध कीजिये कि `(1-x^(2))y_(2)-xy_(2)+m^(2)y=0`.

Answer» `y=sin ( m cos^(-1)x)`
या `y_(1)=cos(m cos^(-1)x)m(-(1)/(sqrt(1-x^(2))))`
या `y_(1)sqrt(1-x^(2))=-m cos (m cos^(-1)x)`
या `y_(1)sqrt(1-x^(2))=-msqrt(1-sin^(2)(m cos^(-1)x))`
या `y_(1)sqrt(1-x^(2))=-msqrt(1-y^(2))`
वर्ग करने पर,
`y_(1)^(2)(1-x^(2))=m^(2)(1-y^(2))`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2y_(1)y_(2)(1-x^(2))-2xy_(1)^(2)=-2m^(2)y y_(1)`
या `(1-x^(2))y_(2)-xy_(1)+m^(2)y=0` ( इति सिध्दम )
Discussion
25.

यदि `y=e^(" a sin"^(1)x)`, तो सिद्ध कीजिये कि `(1-x^(2))y_(2)-xy_(1)-a^(2)y=0`, जहाँ `y_(1)=(dy)/(dx)`, `y_(2)=(d^(2)y)/(dx^(2)),`

Answer» `y=e^(a sin^(-1)x)`
या `y_(1)=e^(asin^(-1)x)(a)/(sqrt(1-x^(2)))`
या `y=(ay)/(sqrt(1-x^(2))) ` या `y_(1)sqrt(1-x^(2))=ay`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
`y_(1)^(2)(1-x^(2))=a^(2)y^(2)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2y_(1)y_(2)(1-x^(2))-2xy_(1)^(2)=2a^(2)y y_(1)`
या `(1-x^(2))y_(2)-xy_(1)-a^(2)y=0` ( इति सिध्दम )
Discussion
26.

यदि `x=2cos theta - cos 2theta` और `y=12 sin theta 2theta`, तो सिद्ध कीजिये कि `(dy)/(dx)=tan((3theta)/(2))`

Answer» `x=2 cos theta - cos theta `
दोनों पक्षों का `theta` के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dx)/(d theta)=-2 sin theta + 2 sin 2 theta`
`=2(sin 2 theta - sin theta)`
`=2.2 cos ((2theta+theta)/(2))sin ((2theta-theta)/(2))`
`=4cos ((3theta)/(2))sin ((theta)/(2))`
`y=2 sin theta - sin 2 theta`
दोनों पक्षों का `theta` के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(d theta)=2 cos theta - 2 cos 2 theta`
`=2(cos theta-cos 2 theta)`
`=2.2sin ((theta+2 theta)/(2))sin ((2 theta-theta)/(2))`
`=4 sin ((3theta)/(2)) sin ((theta)/(2))`
अब , `(dy)/(dx)=(dy//d theta)/(dx // d theta)`
`=(4 sin ((3 theta)/(2))sin ((theta)/(2)))/(4 cos ((3 theta)/(2))sin ((theta)/(2)))`
`= tan ((3 theta)/(2))`
Discussion
27.

यदि `y=tan x + sec x`, तो सिद्ध कीजिये कि `(d^(2)y)/(dx^(2))=("cos x")/((1-sin c)^(2))`.

Answer» `y=tanx+secx`
या `(dy)/(dx)=sec^(2)x+sec x tanx`
या `(dy)/(dx)=secx(sec x+ tan x)`
या `(d^(2)y)/(dx^(2))=sec x tan x (sec x + tan x)+sec x (sec x tan x + sec^(2)x)`
`=sec x tan x (sec x + tan x ) + sec^(2)x (tan x + sec x)`
`=(sec x + tan x) (sec x tan x +sec^(2) x)`
`=(sec x + tan x) sec x (tan x + sec x)`
`=sec x (sec x + tan x ) ^(2)`
`=(1)/(cos x) ((1)/(cos x) + (sin x)/(cos x))^(2)`
`=(1+sin x)^(2)/(cosx cos ^(2)x)`
`=((1+sinx)^(2))/(cos^(3)x)=((1+sin x)^(2)cos x)/(cos^(4)x)`
`=((1+sinx)^(2)cos x)/((1+sinx)^(2)(1-sinx)^(2))`
`=(cos x)/((1-sin x)^(2))` ( इति सिध्दम )
Discussion
28.

यदि `y=sin(m sin^(-1)x),` तो सिद्ध कीजिये कि`(1−x^(2))y_(2)−xy_(1)+m^(2)y=0`जहां`y_(1)=(dy)/(dx)` और `y_(2)=(d^(2)y)/(dx^(2))`.

Answer» `y=sin (m sin^(-1)x)`
या `y_(1)=cos(msin^(-1)x)(m)/(sqrt(1-x^(2)))`
या `y_(1)sqrt(1-x)^(2)=m cos (m sin^(-1)x)`
या `y_(1)sqrt(1-x^(2))=msqrt(1-sin^(2)(m sin^(-1)x))`
या `y_(1)sqrt(1-x^(2))msqrt(1-y^(2))`
या `y_(1)^(2)(1-x^(2))=m^(2)(1-y^(2))` (वर्ग करने पर)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2y_(1)y_(2)(1-x^(2))-2xy_(1)^(2)=-2m^(2)y y_(1)`
या `(1-x^(2))y_(2)-xy_(1)+m^(2)y=0` ( इति सिध्दम )
Discussion
29.

यदि `cos y = x cos (a+y)` तथा `cos a ne +-1`, तो सिद्ध कीजिये कि `y=(dy)/(dx)=(cos^(2)(a+y))/(" sin a")`

Answer» `cos y = x cos ( a+y)`
`rArr (cos y)/(cos (a+y))=x`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`cos (a+y)(-sin y) (dy)/(dx)`
`(-cos y { -sin (a+y)}(dy)/(dx))/(cos^(2)(a+y))=1`
`rArr ((dy)/(dx){-sin y cos (a+y)+cos y sin (a+y)})/(cos^(2)(a+y))=1`
`rArr (dy)/(dx)sin (a+y-y)=cos^(2)(a+y)`
`rArr (dy)/(dx)(sin a) = cos^(2)(a+y)`
`rArr (dy)/(dx)=(cos^(2)(a+y))/(sin a)`
Discussion
30.

`f(x)={{:("|x| +3," if xle-3),("-2x, if "-3 lt x lt 3),("6x+2, if "xge3):}`

Answer» Correct Answer - `x=3` पर असंतत
Discussion
31.

फलन `3sqrtx+5log_(e)x-11log_(a) x` का x के सापेक्ष अवलन गुणांक ज्ञात कीजिये ।

Answer» माना `y=3sqrt(x)+5log_(e)x-11log_(a)x`, तब
`(dy)/(dx)=3.(1)/(2)x^(-1/2)+5.(1)/(x)-11.(1)/(x)log_(a)e`
`=(3)/(2sqrt(x))+(5)/(x)-(11)/(x)log_(a)e`
Discussion
32.

यदि `y=4e^(x) sin""pi/2+5^(x)` तो `((dy)/(dx))` का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» `y=4e^(x)sin.(pi)/(2) +5^(x)`
`rArr y=4e^(x)+5^(x)`
`rArr (dy)/(dx)=4e^(x)+5^(x)log_(e)5`
Discussion
33.

`cos(sqrt(x))`

Answer» Correct Answer - `-(sinsqrt(x))/(2sqrt(x))`
Discussion
34.

यदि `y=e^(sin x^(2))` तो `((dy)/(dx))` का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» `y=e^(sinx^(2))`
`rArr (dy)/(dx)=(d)/(dx)(e^(sinx^(2)))`
`=e^(sinx^(2))(d)/(dx)(sin x^(2))`
`=e^(sinx^(2)) cos x^(2).(d)/(dx)(x^(2))`
`=e^(sinx^(2)).cos x^(2) . 2x`
`=2xe^(sinx^(2)). cos x^(2)`
Discussion
35.

यदि `y=tan^(-1)[(sqrt(1+x^(2))+sqrt(1-x^(2)))/(sqrt(1+x^(2))+sqrt(1-x^(2)))]x^(2)le1`, तो `(dy)/(dx)` का ज्ञात कीजिये ।

Answer» `y=tan^(-1)[(sqrt(1+x^(2))+sqrt(1-x^(2)))/(sqrt(1+x^(2))+sqrt(1-x^(2)))]`
`x^(2)=cos 2 theta` रखने पर,
`y = tan ^(-1)[(sqrt(1+cos 2 theta )+sqrt(1-cos 2 theta))/(sqrt(1+cos 2 theta)-sqrt(1-cos 2 theta))]`
`=tan^(-1)[(sqrt(2 cos 2 theta)+sqrt(2 sin 2 theta))/(sqrt(2 cos^(2)theta)-sqrt(2 sin ^(2)theta))]`
`=tan^(-1)[(cos theta+sin theta)/(cos theta - sin theta)]`
`=tan^(4)[(1+tan theta)/(1-tan theta)]`
`=tan^(-1)[(tan.(pi)/(4)+tan theta)/(1-tan .(pi)/(4)tan theta)]`
`=tan^(-1){tan ((pi)/(4)+theta)}`
`=(pi)/(4) + theta = (pi)/(4) + (1)/(2) cos^(-1)x^(2)`
`rArr (dy)/(dx)=-(1)/(2) (1)/(sqrt(1-(x^(2))^(2)))(2x)`
`=-(x)/(sqrt(1-x^(4))`
Discussion
36.

x के सापेक्ष अवकलन कीजिए `2sqrt(cot(x^2))`

Answer» Correct Answer - `-(2sqrt(2)x)/(sinx^(2)sqrt(sin2x^(2))`
Discussion
37.

फलन `2x+3y = sin x,` तो `((dy)/(dx))` का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» `2x+3y=sin x`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2+3 (dy)/(dx)=cosx`
`rArr 3(dy)/(dx)=cos x-2`
`rArr (dy)/(dx)=(cos x-2)/(3)`
Discussion
38.

`2x+3y=sinx`

Answer» Correct Answer - `(cosx-2)/(3)`
Discussion
39.

यदि `x^(m)y^(n)=(x+y)^("m+y")`, तो सिद्ध कीजिये कि `(d^(2)y)/(dx^(2))=0`.

Answer» ` x^(m) y^(n) = (x +y)^(m+n) " "`…(1) gt दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर ,
` m/x + n/y (dy)/(dx) = ( m +n) 1/(x+y)*(1+(dy)/(dx))`
` rArr (n/y-(m+n)/(x+y))(dy)/(dx) = (m+n)/(x +y) - m/x `
` rArr {(m(x+y)-y(m+n))/(y(x+y))} (dy)/(dx)`
` = ((m+n) x - m (x +y))/((x+y)x)`
` rArr { (nx-my)/(y(x+y))}(dy)/(dx) = (nx-my)/((x+y)x)`
` rArr (dy)/(dx) = y /x " "`...(2)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = (x(dy)/(dx)-y)/(x^(2))= (x(y/x)-y)/(x^(2))" " ` [समीकरणों (2) से ]
=0
Discussion
40.

यदि `x=a cot theta + b sin theta, y=a sin theta cos, theta,` तो दर्शाइए कि `y^(2)""(d^(2)y)/(dx^(2))-x""(dy)/(dx)+y=0`.

Answer» `x=a cos theta + b sin theta `
`rArr (dx)/(d theta)=-a sin theta + b cos theta = - y ` ...(1)
`y=a sin theta - b cos theta`
`rArr (dy)/(d theta)=a cos theta + b sin theta x ` ...(2)
`:. (dy)/(dx)=(dy//d theta)/(dx // d theta)= - (x)/(y)` [समीकरण (1 ) व (2 ) से ]
`rArr y (dy)/(dx)+x=0`
x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
`y(d^(2)y)/(dx^(2))+((dy)/(dx))^(2)+1=0`
`y^(2)(d^(2)y)/(dx^(2))+y(dy)/(dx)+y=0`
`rArr y^(2)(d^(2)y)/(dx^(2))-x(dy)/(dx)+y=0` [समीकरण (3 ) से ] (यही दिखाना था । )
Discussion
41.

यदि `y=1/(3x^(3)),` का दर्शाये कि `3y+x(dy)/(dx)=0`.

Answer» `y=(1)/(3x^(3))` ...(i)
या `y=(1)/(3)x^(-3)`
`:. (dy)/(dx)=(1)/(3)(-3)x^(-3-1)`
`=-(1)/(x^(4))=-(1)/(x^(3))(1)/(x)`
`=-(3y)/(x)` [समीकरण (i ) से ]
`3y+x(dy)/(dx)=0` (यही दिखाना था )
Discussion
42.

यदि `e^(y)(x+1)=1`, तो दर्शाइए कि `(d^(2)y)/(dx^(2))=((dy)/(dx))^(2)`

Answer» `e^(y) (x +1) `
` rArr e^(y) = 1/(x+1) " "`…(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर ,
` e^(y) (dy)/(dx) = - 1/((x+1)^(2))`
` rArr 1/(x+1) * (dy)/(dx)=-1/(x+1)^(2)`
[समीकरणों (1) से ]
`rArr (dy)/(dx) = -1/(x+1) `
` rArr (x+1) (dy)/(dx) = -1 " "`...(2)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
` (x+1) (d^(2)y)/(dx^(2)) + (dy)/(dx) = 0 `
` rArr (x+1) (d^(2) y)/(dx^(2))= - (dy)/(dx)`
`rArr (d^(2)y)/(dx^(2))= (dy)/(dx) *(dy)/(dx)" " ` [समीकरणों (2) से ]
`" " (d^(2) y )/(dx^(2)) = ((dy)/(dx))^(2)`
Discussion
43.

यदि `y=cos^(-1)((1-x^(2))/(1+x^(2)))`तो दिखाइए कि `(1+x^(2))(dy)/(dx)-2=0`.

Answer» `y=cos^(-1)((1-x^(2))/(1+x^(2)))`
`x=tan theta ` रखने पर,
`y=cos^(-1)((1-tan^(2)theta)/(1+tan^(2)theta))`
`=cos^(-1)cos 2 theta`
`= 2 theta`
`=2 tan^(-1) x `
`:. (dy)/(dx)=(2)/(1+x^(2))`
या `(1+x^(2))(dy)/(dx)-2=0` (यही दिखाना था )
Discussion
44.

यदि `y=tan^(-1){(2x)/(1-x^(2))}` तो, `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिये |अथवा यदि `y=tan^(-1){(2x)/(1-x^(2))}` तो दिखाइए कि `(dy)/(dx)=2/(1+x^(2))`.

Answer» `y=tan^(-1){(2x)/(1-x^(2))}`.
`=tan^(-1){(2tan theta)/(1-tan^(2)theta)}` जहाँ `x=tan theta`.
`=tan^(-1)tan2theta`
`=2theta=2 tan^(-1)x`
`:. (dy)/(dx)=(2)/(1+x^(2))`
Discussion
45.

यदि `y=cos^(-1)((1-x^(2))/(1+x^(2)))` तो का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» प्रश्न 23 से
`(1+x^(2))(dy)/(dx)-2=0`
`rArr (dy)/(dx)=(2)/(1+x^(2))`
Discussion
46.

x के सापेक्ष अवलन कीजिये - `e^(sec^(2))+"3 cos x"^(-1)x+x^(x)`

Answer» `y=e^(sec^(2)x)+3 cos ^(-1)x + x^(x)`
`rArr (dy)/(dx) = e^(sec^(2)x)(d)/(dx)(sec^(2)x)+3(-(1)/(sqrt(1-x^(2))))+(d)/(dx)(x^(x))`
`rArr (dy)/(dx) = e^(sec^(2)x)2secx (d)/(dx)(sec x)- (3)/(sqrt(1-x^(2)))+ x^(x)(1+log x)`
`{:(,|,y=x^(2),),(,rArrlog y = x log x ,,),(,rArr(1)/(y)(dy)/(dx)=x.(1)/(x)+1.log x ,,),(,rArr(1)/(y)(dy)/(dx)=(1+log x),,),(,rArr (dy)/(dx)=y(1+log x),,),(,rArr(dy)/(dx)=x^(2)(1+log x),,):}`
`=e^(sec^(2)x).2sec x . sec x tan x -(3)/(sqrt(1-x^(2)))+x^(2)(1+logx)`
`2 sec^(2) x tan x e^(sec^(2)x)-(3)/(sqrt(1-x^(2)))+x^(x)(1+logx)`
Discussion
47.

यदि `y=sin^(-1)((2x)/(1+x^(2)))`, तो `((dy)/(dx))` का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» `y=sin^(-1)((2x)/(1+x^(2)))`
`x tan theta` रखने पर,
`y = sin^(-1)((2tan theta)/(1+tan^(2)theta))`
या `y=sin^(-1)(sin 2 theta)`
या `y=2 theta`
या `y=2 tan^(-1)x`
या `(dy)/(dx)=(2)/(1+x^(2))`
Discussion
48.

यदि `y=(x)^("sin x")` तो `(dy)/(dx)` का ज्ञात कीजिये ।

Answer» `y=(x)^(sin x)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`log y = sin x log x`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(1)/(y) (dy)/(dx)=sin x. (1)/(x) + cos x. log x`
`rArr (dy)/(dx)=y((sin x)/(x)+cosx log x)`
`rArr (dy)/(dx)=(x)^(sin x)((sin x)/(x) + cos x log x)`
Discussion
49.

`e^("sin x")` का अवलन गुणांक `sqrt("sin x")` के सपेक्ष ज्ञात कीजिये|

Answer» `y_(1)=e^(sin x)`
`(d y _(1))/(dx)=e^(sin x )(d)/(dx) (sin x)`
`(dy_(1))/(dx)=e^(sin x) (cos x) ` ...(i)
`y_(2) = sqrt( sin x ) `
`(dy_(2))/(dx)=(1)/(2)(sin x)^(1/2-1) (d)/(dx)(sin x)`
`(dy_(2))/(dx)=(cos x ) /(2sqrt(sin x)) ` ...(ii)
`(dy_(1))/(dy_(2))=(dx)/((dy_(2))/(dx))=(e^(sin x).cos x)/((cos x)/(2 sqrt(sin x)))`
`=2sqrt(sin x). e^(sin x)`
Discussion
50.

यदि `y=x^(2)+1/(x^(2)+1/(x^(2)+1/x^(2)))` तो सिद्ध कीजिये कि `(dy)/(dx)=(2xy^(2))/(y^(2)+1)`.

Answer» `y=x^(2)+(1)/(x^(2)+(1)/(x^(2)+(1)/(x^(2))))=x^(2)+(1)/(y)`
या `y^(2)=yx^(2)+1` ...(i)
अवकलन करने पर , `2y(dy)/(dx)=x^(2)(dy)/(dx)+2xy`
या `(2y-x^(2))(dy)/(dx)=2xy`
या `(2y^(2)-x^(2)y)(dy)/(dx)=2xy^(2)`
या `"["2y^(2)-(y^(2)-1)(dy)/(dx)=2xy^(2)`
या `(dy)/(dx)=(2xy^(2))/(y^(2)+1)` ( इति सिध्दम )
Discussion