Explore topic-wise InterviewSolutions in .

This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

फलनों का समाकलन कीजिए - `(1)/(x^(2)-8x+25)`

Answer» Correct Answer - `(1)/(3)tan^(-1)((x-4)/(3))`
Discussion
2.

फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए - `(2-3x)sqrt(4+8x-5x^(2))`

Answer» Correct Answer - `(1)/(5)(4+8x-5x^(2))^(3//2)-(1)/(sqrt5)[((5x-4)/(5))sqrt(((4)/(5)+(8)/(5)x-x^(2)))+(36)/(25)sin^(-1)((5x-4)/(6))]`
`int(2-3x)sqrt(4+8x-5x^(2)).dx`
`int[(3)/(10)(8-10x)-(2)/(5)]sqrt(4++8x-5^(2)).dx`
`=(3)/(10)int(8-10x)sqrt(4+8x-5x^(2)).dx-(2)/(5)intsqrt(4+8x-5x^(2)).dx`
Discussion
3.

फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए - `sqrt((4+8x-5x^(2)))`

Answer» Correct Answer - `sqrt5[(5x-4)/(10)sqrt(((36)/(25))-(x-(4)/(5))^(2))+(18)/(25)sin^(-1)((5x-4)/(6))]`
`4+8x-5x^(2)=5[(36)/(25)-(x-(4)/(5))^(2)]`
Discussion
4.

फलनों का समाकलन कीजिए - `int(dx)/(24-6x^(2))`

Answer» माना `I=int(dx)/(24-6x^(2))=(1)/(6)int(dx)/(4-x^(2))`
`=(1)/(6)int(dx)/((2-x)(2+x))`
`=(1)/(24)int[(1)/((2+x)+(1)/((2-x))]dx`
`" "` ( आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर )
`=(1)/(24)log((2+x)/(2-x))`
Discussion
5.

फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए - `(1)/(sqrt((4+8x-5x^(2))))`

Answer» `(1)/(sqrt5)sin^(-1)((5x-4)/(6))`
Discussion
6.

फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए - `(1)/(5+3 cosx)`

Answer» Correct Answer - `(1)/(2)tan^(-1)((1)/(2)tanx//2)`
इसी प्रकार हल करने पर
`int(dx)/(5+3 cosx)=(1)/(2)int(sec^(2)x//2)/(4+tan^(2)x//2).dx`
अब माना `tan.(x)/(2)=t rArr sec^(2).(x)/(2)dx=2dt`
Discussion
7.

फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए - `(1)/(4-5 cosx)`

Answer» Correct Answer - `(1)/(3)log[(3 tanx//2-1)/(3 tanx//2+1)]`
इसी प्रकार हल करने पर
`int(dx)/(4-5 cosx)=int(sec^(2)x//2)/(9 tan^(2)x//2-1).dx`
अब माना `tanx//2 =t`
Discussion
8.

फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए - `(1)/(3+2 cosx)`

Answer» Correct Answer - `(2)/(sqrt5)tan^(-1){(tanx//2)/(sqrt5)}`
`(1)/(3+2 cosx)=int(1)/(3+2((1-tan^(2)x//2)/(1+tan^(2)x//2))).dx=int(sec^(2)x//2)/(5+tan^(2)x//2)dx`
अब माना `tan.(x)/(2) = t " "rArr" "sec^(2).(x)/(2)dx=2dt`
Discussion
9.

`(cosx)/((2+sinx)(1+sinx)^(2))`

Answer» Correct Answer - `log](2+sinx)/(1+sinx)]-(1)/(1+sinx)`
Discussion
10.

`(x^(2)+1)/(x^(4)+x^(2)+1)`

Answer» Correct Answer - `tan^(-1)((x^(2)-1)/(x))`
Discussion
11.

`(x^(2))/((x^(2)+1)(2x^(2)+1))`

Answer» Correct Answer - `tan^(-1)x-(1)/(sqrt2)tan^(-1)xsqrt2`
Discussion
12.

`intsqrt(x^(2)-8x+7)dx` का मान होगा -A. `(1)/(2)(x-4)sqrt(x^(2)-8x+7)+9log|x-4+sqrt(x^(2)-8x+7)|+c`B. `(1)/(2)(x-4)sqrt(x^(2)-8x+7)-3sqrt2 log|x-4+sqrt(x(2)-8x+7)|+c`C. `(1)/(2)(x-4)sqrt(x^(2)-8x+7)-(9)/(2)log|x-4+sqrt(x^(2)-8x+7)|+c`D. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - C
Discussion
13.

फलनों का समाकलन कीजिए - (iii) `int(dx)/(x(1-x^(2)))`

Answer» माना `I=int(dx)/(x(1-x^(2)))=int(dx)/(x(1-x)(1+x))`
आंशिक भिन्नों में वियोजन
`(1)/(x(1-x)(1+x))=(A)/(x)+(B)/((1-x))+(C)/((1+x))" ...(1)"`
`rArr" "1=A(1-x)(1+x)+Bx(1+x)+Cx(1-x)`
समीकरण (1 ) में x = 0 रखने पर,,
`A=1`
समीकरण (1 ) में x = 1 रखने पर,
`B=(1)/(2)`
समीकरण (1 ) में x = -1 रखने पर,
`C=-(1)/(2)`
`therefore" "(1)/(x(1-x)(1+x))=(1)/(x)+(1)/(2(1-x))-(1)/(2(1+x))`
`therefore" "int(dx)/(x(1-x^(2)))=int(dx)/(x)+(1)/(2)int(dx)/((1-x))-(1)/(2)int(dx)/((1+x))`
`=log x-(1)/(2)log(1-x)-(1)/(2)log(1+x)`
Discussion
14.

`int(dx)/((x+1)^(2)(x-1))` का मान ज्ञात कीजिए |

Answer» माना `" "I=int(dx)/((x+1)^(2)(x-1))`
आंशिक भिन्नों में वियोजन
माना `" "(1)/((x+1)^(2)(x-1))=(A)/((x+1))+(B)/((x+1)^(2))+(C)/((x-1))`
`rArr" "1=A(x+1)x-1)+B(x-1)+C(x+1)^(2)" ...(1)"`
समीकरण (1 ) में `x-1=0 rArr x= 1` रखने पर,
`1=0+0+C(1+1)^(2) rArr C=(1)/(4)`
समीकरण (1 ) में `x+1=0 rArr x=-1` रखने पर,
`1=0+B(-2)+0 rArr B=-(1)/(2)`
समीकरण (1 ) का विस्तार करने पर ,
`1=A(x^(2)-1)+B(x-1)+C(x^(2)+2x+1)`
`0x^(2)+0x+1=x^(2)(A+C)+x(B+2C)+(-A-B+C)`
दोनों पक्षों में समान घातीय पदों के गुणांकों की तुलना करने पर
`A+C=0 rArr A=-C=-(1)/(4)`
अतः `(1)/((x+1)^(2)(x-1))=(-1)/(4(x+1)^(2))+(1)/(4(x-1))`
`therefore" "int(dx)/((x+1)^(2)(x-1))=-(1)/(4)int(dx)/((1+x))-(1)/(2)int(dx)/((x+1)^(2))+(1)/(4)int(dx)/((x-1))`
`=-(1)/(4)log(1+x)-(1)/(2)((x+1)^(-2+1))/(-2+1)+(1)/(4)log(x-1)`
`=(1)/(4)log((x-1)/(x+1))+(1)/(2(x+1))`
Discussion
15.

`int(xdx)/((x^(2)-a^(2))(x^(2)-b^(2)))` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» माना `" "I=int(xdx)/((x^(2)-a^(2))(x^(2)-b^(2)))`
माना `" "x^(2)=t therefore 2x dx = dt rArr x dx =(1)/(2)dt`
`therefore" "I=(1)/(2)int(dt)/((t-a^(2))(t-b^(2)))`
आंशिक भिन्नों में वियोजन
माना `" "(1)/((t-a^(2))(t-b^(2)))=(A)/((t-a^(2)))+(B)/((t-b^(2)))`
`rArr" "1=A(t-b^(2))+B(t-a^(2))" ...(1)"`
समीकरण (1) में `t-a^(2)=0 rArr t = a^(2)` रखने पर
`1=A(a^(2)-b^(2))rArr A=(1)/((a^(2)-b^(2)))`
पुनः समीकरण (1 ) में `t-b^(2)=0 rArr t = b^(2)` रखने पर
`1=0+B(b^(2)-a^(2))rArr B=(-1)/((a^(2)-b^(2)))`
`therefore" "(1)/((t-a^(2))(t-b^(2)))=(1)/((a^(2)-b^(2))(t-a^(2)))-(1)/((a^(2)-b^(2))(t-b^(2)))`
`therefore" "int(dt)/((t-a^(2))(t-b^(2)))`
`=(1)/((a^(2)-b^(2)))[int(dt)/((t-a^(2)))-int(dt)/((t-b^(2)))]`
`=(1)/((a^(2)-b^(2)))[log(t-a^(2))-log(t-b^(2))]`
`=(1)/((a^(2)-b^(2)))log((t-a^(2))/(t-b^(2)))`
`=(1)/((a^(2)-b^(2)))log((x^(2)-a^(2))/(x^(2)-b^(2)))`
Discussion
16.

`int(dx)/((x+a)(x^(2)+b^(2)))` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» माना `" "I=int(dx)/((x+a)(x^(2)+b^(2)))`
आंशिक भिन्नों में वियोजन
माना `(1)/((x+a)(x^(2)+b^(2)))=(A)/((x+a))+(Bx+C)/((x^(2)+b^(2)))`
`rArr" " 1=A(x^(2)+b^(2))+(Bx+C)(x+a)" ...(1)"`
समीकरण (1 ) में `x+a=0 rArr x = -a` रखने पर,
`1=A(a^(2)+b^(2))+0 rArr A=(1)/(a^(2)+b^(2))`
समीकरण (1 ) में रखने पर,
`1=Ax^(2)+Ab^(2)+Bx^(2)+aBx+Cx+Ca`
`0x^(2)+0x+1=x^(2)(A+B)+x(aB+C)+(Ab^(2)+Ca)`
दोनों पक्षों में समान घातीय पदों के गुणांकों की तुलना करने पर
`A+B=0 rArr B=-A=-(1)/((a^(2)+b^(2)))`
अतः `" "B=(-1)/((a^(2)+b^(2)))`
तथा `aB+C=0 rArr C=(a)/((a^(2)+b^(2)))`
`therefore" "(1)/((x+a)(x^(2)+b^(2)))=(1)/((a^(2)+b^(2))(x+a))+((a-x))/((a^(2)+b^(2))(x^(2)+b^(2)))`
`therefore" "int(dx)/((x+a)(x^(2)+b^(2)))=(1)/((a^(2)+b^(2)))int(dx)/((x+a))+int((a-x)dx)/((a^(2)+b^(2))(x^(2)+b^(2)))`
`=(1)/((a^(2)+b^(2)))log(x+a)+(a)/((a^(2)+b^(2)))int(dx)/(x^(2)+b^(2))-(1)/((a^(2)+b^(2)))int(xdx)/((x^(2)+b^(2)))`
`=(1)/((a^(2)+b^(2)))log(x+a)+(1)/((a^(2)+b^(2))).(a)/(b)tan^(-1)((x)/(b))=(1)/(2(a^(2)+b^(2)))log(x^(2)+b^(2))`
`=(1)/((a^(2)+b^(2)))[log(x+a)+(a)/(b)tan^(-1)((x)/(b))-(1)/(2)log(x^(2)+b^(2))]`
Discussion
17.

फलनों का समाकलन कीजिए - (ii) `int(dx)/((x-1)(x-2)(x-3))`

Answer» माना `I=int(dx)/((x-1)(x-2)(x-2))`
( आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर )
माना `(1)/((x-1)(x-2)(x-3))=(A)/((x-1))+(B)/((x-2))+(C)/((x-3))`
`rArr" "1=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)" ...(1)"`
समीकरण (1 ) के दोनों पक्षों में x = 1 रखने पर,
`A=(1)/(2)`
समीकरण (1 ) के दोनों पक्षों में x = 2 रखने पर,
`B=-1`
समीकरण (1 ) के दोनों पक्षों में x = 3 रखने पर,
`C=(1)/(2)`
`therefore (1)/((x-1)(x-2)(x-3))=(1)/(2(x-1))-(1)/((x-2))+(1)/(2(x-3))`
`therefore" "int(dx)/((x-1)(x-2)(x-3))=(1)/(2)int(dx)/((x-1))-int(dx)/((x-2))+(1)/(2)int(dx)/((x-3))`
`=(1)/(2)log(x-1)-log(x-2)+(1)/(2)log(x-3)`
`=(1)/(2)log(x-1)(x-3)-log(x-2)`
Discussion
18.

`int(dx)/((e^(x)-1))` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» माना `I=int(dx)/((e^(x)-1))=int(e^(x)dx)/(e^(x)(e^(x)-1))" "` (नोट कीजिए )
माना ( `e^(x)=t rArr e^(x)dx=dt`
`I=int(dt)/(t(t-1))`
`=int((1)/(t-1)-(1)/(t))dt` (आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर )
`=int(dt)/((t-1))-int(dt)/(t)=log(t-1)-log(t)`
`=log((t-1)/(t))=log(1-t^(-1))=log(1-e^(-x))`
Discussion
19.

फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए - `(1)/((3sinx+cosx)^2)`

Answer» Correct Answer - `(-1//3)/((1+3 tanx))`
`int(dx)/((3sinx+cosx)^(2))=int(sec^(2)x)/((3 tanx+1)^(2)).dx`
अब माना `" "1+3 tan x=t`
`rArr" "3 sec^(2)x dx=dt`
Discussion
20.

फलन `intsqrt(((1+x)/(1-x)))dx` का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।

Answer» माना `" "I=intsqrt(((1+x)/(1-x)))dx`
अंश व हर को `sqrt((1+x))` से गुणा करने पर ,,
`I=int(1+x)/(sqrt(1-x^(2)))dx=int(dx)/(sqrt(1-x^(2)))+int(xdx)/(sqrt(1-x^(2)))`
`=sin^(-1)x-(1)/(2)((1-x^(2))^(-(1)/(2)+1))/(-(1)/(2)+1)`
`=sin^(-1)x-sqrt((1-x^(2)))`
Discussion
21.

फलन `intsin^(5)xdx` का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात कीजिए ।

Answer» इस फलन का समाकलन हम समानयन विधि के प्रयोग से करेंगे।
माना `I_(5)=intsin^(5)xdx" ...(1)"`
`=int sin^(4)x sin xdx" "` (नोट कीजिए)
`sin^(4)x` को प्रथम फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर ,
`I_(5)=sin^(4)x int sin xdx-int{(d)/(dx)sin^(4)x int sinxdx}dx`
`=sin^(4)x cos x+int 4sin^(3)x cos^(2)xdx`
`=-sin^(4)x cos x+4int sin^(3)x(1-sin^(2)x)dx`
`=-sin^(4)x cos x+4int sin^(3)x dx-4int sin^(5)xdx`
`=-sin^(4)x cos x+4I_(3)-4I_(5)`
`rArr" "(1+4)I_(5)=-sin^(4)x cos x+4I_(3)`
`therefore" "I_(5)=-(1)/(5)sin^(4)x cos x+(4)/(5)I_(3)" ...(2)"`
पुनः `" "I_(3)=intsin^(3)xdx" ...(3)"`
`" "=int sin^(2)xsin xdx`
`sin^(2)x` को प्रथम फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर,
`I_(3)=sin^(2)x int sin x dx=int{(d)/(dx)sin^(2)x int sin xdx}dx`
`=-sin^(2)xcosx+2int sin x cos^(2)xdx` ltBrgt `=-sin^(2)x cos x+2 int sin x(1-sin^(2)x)dx`
`=-sin^(2)x cos x+2 int sinx dx-2I_(3)`
`therefore I_(3)=-(1)/(3)sin^(2)x cos x+(2)/(3)(-cosx)`
`=-(1)/(3)sin^(2)x cos x-(2)/(3)cosx`
`I_(3)` का मान समीकरण (2 ) में रखने पर,
`I_(5)=-(1)/(5)sin^(4)x cos x-(4)/(15)sin^(2)x cos x-(8)/(15)cosx`
Discussion
22.

फलन `int sin^(n) xdx` का x समाकलन सूत्र ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `I_(n)=int sin^(n)xdx" …(1)"`
`rArr" "I_(n)=int sin^(n-1)x sin x dx" "` (नोट कीजिए )
`sin^(n-1)x` को प्रथम फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर ,
`I_(n)=sin^(n-1)x in sin x dx - int{(d)/(dx)sin^(n-1)x int sin x dx}dx`
`sin^(n-1)x(-cosx)-int[(-cosx)sin^(n-2)x cos x(-cosx)dx]`
`=sin^(n-1)x(-cosx)+(n-1)int sin^(n-2)x cos^(2) x dx`
`rArr" "I_(n)=-sin^(n-1)x cos x+(n-1)int sin^(n-2)x (1-sin^(2)x)dx`
`rArr I_(n)=-sin^(n-1)x cosx+(n-1)int sin^(n-2)x(1-sin^(2)x)dx`
`=-sin^(n-1)xcosx+(n-1)int sin^(n-2)xdx-(n-1)int sin^(n)xdx`
`=-sin^(n-1)x cos x+(n-1)intsin^(n-2)xdx-(n-1)I_(n)`
`" "` (समी० (1 ) से )
`rArr" "[1+(n-1)]I_(n)=-sin^(n-1)x cos x+(n-1)int sin^(n-2)xdx`
`rArr " "I_(n)=-(1)/(n)sin^(n-1)x cos x+((n-1)/(n))I_(n-2)`
यही अभीष्ट समानयन सूत्र है।
उपरोक्त विधि से हम निम्न समानयन सूत्र भी प्राप्त कर सकते हैं ।
1. `int cos^(n)xdx=(1)/(n)cos^(n-1)x sinx+(n-1)/(n)int cos^(n-2)xdx`
2. `int tan^(n)xdx=(1)/(n-1)tan^(n-1)x-int tan^(n-2)xdx`
3. `int cot^(n)xdx=-(1)/(n-1)cot^(n-1)x-int cot^(n-2)xdx`
4. `int"cosec"^(n)xdx=-("cosec"^(n-2)x cotx)/(n-1)+(n-2)/(n-1)int"cosec"^(n-2)xdx`
5. `int sec^(n)xdx=(sec^(n-1)xtanx)/(n-1)+(n-2)/(n-1)int sec^(n-2)xdx`
Discussion
23.

फलन `int(dx)/(xsqrt(x^(2)-a^(2)))` का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।

Answer» माना `" "I=int(dx)/(xsqrt(x^(2)-a^(2)))=int(xdx)/(x^(2)sqrt(x^(2)-a^(2)))`
माना `" "x^(2)-a^(2)=t^(2)" "therefore" "2xdx=2t dt`
या `" "xdx=t dt`
तथा `" "x^(2)=t^(2)+a^(2)`
अतः `" "I=int(tdt)/((t^(2)+a^(2))t)=int(dt)/(a^(2)+t^(2))`
`=(1)/(a) tan^(-1)((t)/(a))=(1)/(a)tan^(-1)[(sqrt(x^(2)-a^(2)))/(a)]`
Discussion
24.

फलनों का समाकलन कीजिए - `(1)/(6+5x-6x^(2))`

Answer» Correct Answer - `(1)/(13)log(3x+2)/(2x-3)`
`(1)/(6+5x-6x^(2))=(1)/(-(2x+3)(3x+2))=(-2)/(13(2x-3))+(3)/(13(3x+2))`
Discussion
25.

फलन `int(dx)/((x^(2)+6)^(3))` का समानयन सूत्र ज्ञात कीजिए ।

Answer» उदाहरण 3 से प्राप्त सूत्र में `n = 3` तथा `a = 6` रखने पर अभीष्ट समानयन सूत्र प्राप्त हो जायेगा ।
यह निम्नवत्त है -
`int(dx)/((x^(2)+6)^(3))=(x)/(2(3-1).6(x^(2)+6)^(2))+((2.3-3))/(2(3-1)6)int(dx)/((x^(2)+6)^(2))`
`=(x)/(24(x^(2)+6)^(2))+(1)/(8)int(dx)/((x^(2)+6)^(2))" ...(1)"`
पुनः उदाहरण (3 ) में n = 2 तथा a = 6 रखने पर , परिणाम का प्रयोग समीकरण (1 ) में करने पर
`int(dx)/((x^(2)+6)^(3))=(x)/(24(x^(2)+6)^(2))+(1)/(8)[(x)/(2(2-1)6(x^(2)+6))+(2.2-3)/(2(2-1)6)int(dx)/((x^(2)+6))]`
`=(x)/(24(x^(2)+6)^(2))+(x)/(96(x^(2)+6))+(1)/(96)int(dx)/((x^(2)+6))`
`=(x)/(24(x^(2)+6)^(2))+(x)/(96(x^(2)+6))+(1)/(96sqrt6)tan^(-1)((x)/(sqrt6))`
Discussion
26.

फलन `int(dx)/(12 cos x-5sin x)` का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए ।

Answer» माना `" "I= int(dx)/(12 cos x-5sinx)`
`I=int(dx)/(12(cos^(2)x//2-sin^(2)x//2)-10sinx//2 cos x//2)`
अंश व हर को `cos^(2)x//2` से भाग देने पर ,
`I=int(sec^(2)x//2dx)/(12(1-tan^(2)x//2-(10)/(12)tanx//2))`
`=(1)/(12)int(sec^(2)x//2dx)/(1-(tan^(2)x//2+(5)/(6)tanx//2))`
`=(1)/(12)int(sec^(2)x//2dx)/(1-[tan^(2)x//2+(5)/(6)tanx//2 +((5)/(12))^(2)-((5)/(12))^(2)])`
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए `((5)/(12))^(2)` को जोड़ने तथा घटाने पर
`I=(1)/(12)int(sec^(2)x//2dx)/(((13)/(12))^(2)-(tanx//2+(5)/(12))^(2))`
माना `(13)/(12)=a` तथा `tanx//2+(5)/(12)-t`
`therefore" "sec^(2).(x)/(2)=2dt`
`therefore" "I=(1)/(6)int(dt)/(a^(2)-t^(2))=(1)/(12a)log((a+t)/(a-t))`
`=(1)/(12xx(13)/(12))log[(12 tanx//2 +18)/(8-12 tanx//2)]`
`=(1)/(13)log[(12 tanx//2 +18)/(8-12 tan x//2)]`
द्वितीय विधि --
अंश व हर को 13 से भाग देने पर,,
`I=(1)/(13)int(dx)/(((12)/(12)cosx-(5)/(13)sinx))`
`=(1)/(13)int(dx)/(cos alpha cos x-sin alpha sin x)`
जबकि `(12)/(13)=cos alpha` तथा `(5)/(13)=sin alpha" "therefore" "tan alpha=(5)/(12)`
`=(1)/(13)int(dx)/(cos(x+alpha))=(1)/(13)intsec(x+alpha)dx`
`=(1)/(13)log[sec(x+alpha)+tan(x+alpha)]`
`=(1)/(13)log[sec{x+tan^(-1)((5)/(12))}+tan{x+tan^(-1)((5)/(12))}]`
Discussion
27.

`(2x+5)/(sqrt(x^(2)+3x+1))`

Answer» Correct Answer - `2sqrt(x^(2)+3x+1)+2log[(x+(3)/(2))+sqrt((x^(2)+3x+1))]`
Discussion
28.

`(x^(2)+1)/(x^(4)+kx^(2)+1)` अथवा `(x^(2)-1)/(x^(4)+kx^(2)+1)` के रूप में फलनों का समाकलन

Answer» यदि अंश व हर दोनों में x की घात सम हो तब हर की महत्तम घात की आधी घात से अंश व हर को भाग दीजिए । यदि अंश `x+(1)/(x^(2))` है, तब `x-(1)/(x)=t` मानिये और यदि अंश `1-(1)/(x^(2))` है तब `x+(1)/(x)=t` मानिये । इस प्रकार मान में से परिणामी समाकल्य का अंश प्राप्त हो जायेगा।
Discussion
29.

`int(dx)/(sqrt(3x^(2)+16x+12))` का मान ज्ञात कीजिए |

Answer» `int(dx)/(sqrt(3x^(2)+6x+12))=(1)/(sqrt3).int(dx)/(sqrt(x^(2)+2x+4))`
`=(1)/(sqrt3).int(dx)/(sqrt((x+1)^(2)+(sqrt3)^(2))`
माना `(x+1)=t` तथा `dx=dt` तब ,
`int(dx)/(sqrt((x+1)^(2)+(sqrt3)^(2)))=(1)/(sqrt3).int(dt)/(sqrt(t^(2)+(sqrt3)^(2)))`
`=(1)/(sqrt3)log[t+sqrt(t^(2)+3)]+c`
`=(1)/(sqrt3)log[(x+1)+sqrt(x^(2)+2x+4)]+c`
Discussion
30.

`int(1)/(x(2+x^(5)))dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int(1)/(x(2+x^(5)))dx=int(x^(4))/(x^(5)(2+x^(5)))dx`
माना `2+x^(5)=t rArr 5x^(4)dx=dt`
`therefore" "int(1)/(x(2+x^(3)))dx=int(x^(4))/(x^(5)(2+x^(5)))dx`
`=(1)/(5)int(dt)/((t-2)t)=(1)/(5)int[(1)/(2(t-2))-(1)/(2t)]dt`
`=(1)/(10)[int(1)/((t-2))dt-int(1)/(t)dt]`
`=(1)/(10)[log(t-2)-logt]=(1)/(10)log((t-2)/(t))+c`
`=(1)/(10)log((2+x^(5)-2)/(2+x^(5)))+c`
`=(1)/(10)log((x^(5))/(2+x^(5)))+c`
Discussion
31.

फलन `int(2 cos x-3sinx)/(6 cos x+4 sinx)dx` का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए ।

Answer» माना `" "I=int(2 cos x-3 sinx)/(6 cos x+4sinx)dx" …(1)"`
माना `2cos x-3sinx=A(" हर")+B(d)/(dx)" (हर")`
`=A(6cosx+4sinx)+B(-6sinx+4cosx)`
`=cosx(6A+4B)+sinx(4A-6B)`
दोनों पक्षों से समान पदों की तुलना करने पर,
`6A+4B=2" ...(2)"`
तथा `4A-6B=-3" ...(3)"`
समीकरण (2 ) व (3 ) को हल करने पर A = 0 , `B =(1)/(2)`
`therefore " "I=0" (हर )"+(1)/(2)int(-6sinx+4 cosx)/(6cosx+4sinx)dx`
`=(1)/(2)log(6cosx+4sinx)`
Discussion
32.

फलन `int(x^(2)-1)/(x^(4)+x^(2)+1)dx` का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए ।

Answer» माना `" "I=int(x^(2)-1)/(x^(4)+x^(2)+1)dx`
अंश व हर `x^(2)` को से भाग देने पर, (
`I=int((1-1//x^(2))dx)/(x^(2)+1//x^(2)+1)=int((1-1//x^(2))dx)/((x^(2)+2+1//x^(2)-1)`
`" "` (नोट कीजिए )
`=int((1-1//x^(2))dx)/((x+1//x)^(2)-1)`
माना `x+1//x=t rArr (1-1//x^(2))dx=dt`
`therefore " "I=int(dt)/(t^(2)-1)=int(dt)/((t-1)(t+1))`
`=(1)/(2)[int(dt)/(t-1)-int(dt)/(t+1)]`
`=(1)/(2)[int(dt)/(t-1)-int(dt)/(t+1)]`
`=(1)/(2)log((t-1)/(t+1))=(1)/(2)log[(x+(1)/(x)-1)/(x+(1)/(x)+1)]`
`=(1)/(2)log[(x^(2)-x+1)/(x^(2)+x+1)]`
Discussion
33.

`int(x^(4))/((x-1)(x^(2)+1))dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `(x^(4))/((x-1)(x^(2)+1))=(x^(4))/(x^(3)-x^(2)+x-1)`
`=x+1+(1)/(x^(3)-x^(2)+x-1)`
`=x+1+(1)/((x-1)(x^(2)+x-1)`
`=x+1+(1)/((x-1)(x^(2)+1))`
माना `(1)/((x-1)(x^(2)+1))=(A)/((x-1))+(Bx+C)/((x^(2)+1))`
`therefore" "1=A(x^(2)+1)+(Bx+C)(x-1)" ...(1)"`
समीकरण (1 ) में x = 1 रखने पर
`1=A(1^(2)+1) rArr A=(1)/(2)`
समीकरण (1 ) में `x^(2)` के गुणकों व अचर पदों की तुलना करने पर
`0=A+B " "rArr" "B=-A=-(1)/(2)`
तथा `" "1=A-C" "rArr" "C=A-1=(1)/(2)-1=-(1)/(2)`
इसी प्रकार `(1)/((x+1)(x^(2)+1))=((1)/(2))/((x-1))+(-(1)/(2)x-(1)/(2))/((x^(2)+1))`
`=(1)/(2(x-1))-(1)/(2)((x+1))/((x^(2)+1))`
`rArr" "(x^(4))/((x-1)(x^(2)+1))=(x+1)+(1)/(2(x-1))-(1)/(2)((x+1))/((x^(2)+1))`
`therefore" "int(x^(4))/((x-1)(x^(2)+1))dx=int(x+1)dx+(1)/(2)int(dx)/((x-1))-(1)/(2)int((x+1))/((x^(2)+1))dx`
`=(x^(2))/(2)+x+(1)/(2)log(x-1)-(1)/(2)int(x)/((x^(2)+1))dx-(1)/(2)int(dx)/((x^(2)+1))`
`=(x^(2))/(2)+x+(1)/(2)log(x-1)-(1)/(4)log(x^(2)+1)-(1)/(2)tan^(-1)x`
Discussion
34.

फलन `int(xdx)/(x^(4)+x^(2)+1)` का x के सापेक्ष समाकलन

Answer» यदि अंश में x की केवल विषम घात तथा हर में x की केवल समघात हो अथवा इसका उल्टा हो अर्थात हर में x की केवल विषम घात तथा अंश में x की केवल समघात हो तब `x^(2)=t` रखो `2xdx=dt rArr dx=(dt)/(2x)`, तब रखकर , क्रिया कीजिए ।
माना `I=int(xdx)/(x^(4)+x^(2)+1)`
माना `x^(2)=t rArr x dx=(1)/(2)dt`
`therefore" "I=(1)/(2)int(dt)/(t^(2)+t+1)=(1)/(2)int(dt)/(t^(2)+t+(1)/(4)+1-(1)/(4))`
`" "` (पूर्ण वर्ग बनाने पर )
`=(1)/(2)int(dt)/(((sqrt3)/(2))^(2)+(t+(1)/(2))^(2))`
यदि `(sqrt3)/(2)=a` तथा `t+(1)/(2)=u rArr dt = du`
`therefore" "I=(1)/(2)int(du)/(a^(2)+u^(2))=(1)/(2a)tan^(-1)((u)/(a))`
`=(1)/(sqrt3)tan^(-1)((2x^(2)+1)/(sqrt3))`
Discussion
35.

फलन `int(x^(2)dx)/((x^(2)-1)(x^(2)+2))` का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए ।

Answer» माना `x^(2)=t` तब
`(x^(2))/((x^(2)-1)(x^(2)+2))=(t)/((t-1)(t+2))`
आंशिक भिन्नों में वियोजन
माना `(t)/((t-1)(t+2))=(A)/((t-1))+(B)/((t+2))`
`rArr" "t=A(t+2)+B(t-1)`
सरल करने पर `A=(1)/(3)` तथा `B=(2)/(3)`
`therefore" "(t)/((t-1)(t+2))=(1)/(3(t-1))+(2)/(3(t+2))`
`rArr" "int(x^(2)dx)/((x^(2)-1)(x^(2)+2))=(1)/(3)int(dx)/((x^(2)-1))+(2)/(2)int(dx)/((x^2)+2))`
`=(1)/(6)log((x-1)/(x+1))+(sqrt2)/(3)tan^(-1)((x)/(sqrt2))`
Discussion
36.

`int((5x+3))/(sqrt(x^(2)+4x+10))dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int((5x+3))/(sqrt(x^(2)+4x+10))dx`
अब माना कि `" "(5x+3)=A.(d)/(dx)(x^(2)+4x+10)+B`
`rArr" "(5x+3)=A(2x+4)+B" …(1)"`
अब समीकरण (1 ) के दोनों पक्षों में x की घातों की तुलना करने पर
`rArr" "2A=5" तथा "4A+B=3,` तब
`A=(5)/(2)" व " B=-7`
`int((5x+3))/(sqrt(x^(2)+4x+10))dx=int{((5)/(2)(2x+4)-7)/(sqrt(x^(2)+4x+10))}`
`=(5)/(2).int((2x+4))/(sqrt(x^()+4x+10))dx-7int(dx)/(sqrt(x^(2)+4x+10))`
माना `t=x^(2)+4x+10,` तब
`=(5)/(2).int(1)/(sqrtt)dt-7 int(dx)/(sqrt((x+2)^(2)+(sqrt6)^(2)))`
`=((5)/(2)xx2sqrtt)-7 log [(x+2)+sqrt(x^(2)+4x+10)]+c`
`=5sqrt(x^(2)+4x+10)-7log[(x+2)+sqrt(x^(2)+4x+10)]+c`
Discussion
37.

`int((x^(2)+4))/((x^(4)+16))dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int((x^(2)+4))/((x^(4)+16))dx=int((1+(4)/(x^(2)))/(x^(2)+(16)/(x^(2))))`
`=int((1+(4)/(x^(2))))/((x-(4)/(x))^(2)+8)dx`
माना `(x-(4)/(x))=t rArr (1+(4)/(x^(2)))dx=dt,` तब
`int((1+(4)/(x^(2))))/((x-(4)/(x))^(2)+8)dx=int(dt)/((t^(2)+8))`
`=int(dt)/(t^(2)+(sqrt8)^(2))=(1)/(sqrt8)tan^(-1)((t)/(sqrt8))+c`
`=(1)/(sqrt8)tan^(-1).((x-(4)/(x)))/(sqrt8)+c`
`=(1)/(2sqrt2)tan^(-1)((x^(2)-4)/(2sqrt2x))+c`
Discussion
38.

`int(4x-3)/(3x^(2)+2x-5)` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `" "4x-3=A(d)/(dx)(3x^(2)+2x-5)+B`
`rArr" "4x-3=A(6x+2)+B`
दोनों और x के समान पदों के गुणकों की तुलना करने पर
`A=(2)/(3),B=-(13)/(3)`
`therefore" "int(4x-3)/(3x^(2)+2x-5)dx=int((2)/(3)(6x+2)+(-(13)/(3)))/(3x^(2)+2x-5)dx`
`=(2)/(3)log(3x^(2)+2x-5)-(13)/(3).(1)/(3)int(1)/(x^(2)+(2)/(3)x-(5)/(3))dx`
`=(2)/(3)log(3x^(2)+2x-5)-(13)/(9)int(1)/((x+(1)/(3))^(2)-((4)/(3))^(2))dx`
`=(2)/(3)log (3x^(2)+2x-5)-(13)/(9).(1)/(2.(4)/(3))log[((x+(1)/(3))-(4)/(3))/((x+(1)/(3))+(4)/(3))]+c`
`=(2)/(3)log(3x^(2)+2x-5)_(13)/(24)log((3x-3)/(3x+5))+c`
Discussion
39.

`intsqrt(cotx)dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int sqrt(cotx)dx`
माना `cot x = t^(2)`
तथा `-"cosec"^(2)xdx=2tdt rArr dx=(-2t)/((1+t^(4)))dt,` तब
`intsqrt(cot x)dx=-int(2t^(2))/((t^(4)+1))dt`
`=-int([(t^(2)+1)+(t^(2)-1)])/((t^(4)+1))dt`
`-int((t^(2)+1))/((t^(4)+1))dt-int((t^(2)-1))/((t^(4)+1))dt`
`=-int((1+(1)/(t^(2))))/((t^(2)+(1)/(t^(2))))dt-int((1-(1)/(t^(2))))/((t^(2)+(1)/(t^(2))))dt`
`=-int((1+(1)/(t^(2))))/([(t-(1)/(t))^(2)+2])dt-int((1-(1)/(t^(2))))/([(t+(1)/(t))^(2)-2])dt`
अब माना `(t-(1)/(t))= u rArr (1+(1)/(t^(2)))dt=du`
तथा `t+(1)/(t)= v rArr (1-(1)/(t^(2)))dt=dv,` तब
`=int(du)/([u^(2)+(sqrt2)^(2)])-int(dv)/([v^(2)-(sqrt2)^(2)])`
`=-(1)/(sqrt2)tan^(-1)((u)/(sqrt2))-(1)/(2sqrt2)log((v-sqrt2)/(v+sqrt2))+c`
`=-(1)/(sqrt2)tan^(-1)((t-(1)/(t))/(sqrt2))-(1)/(2sqrt2)log((t+(1)/(t)-sqrt2)/(t+(1)/(t)+sqrt2))+c`
`=-(1)/(sqrt2)tan^(-1)((t^(2)-1)/(sqrt2t))-(1)/(2sqrt2)log[(t^(2)-sqrt2t+1)/(t^(2)+sqrt2t+1)]+c`
`=-(1)/(sqrt2)tan^(-1)((cot x-1)/(sqrt(2cosx)))-(1)/(2sqrt2)log[(cosx-sqrt(2cosx)+1)/(cotx-sqrt(2cotx)+1)]+c`
Discussion
40.

`intsqrt(tanx)dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `tanx=t^(2) rArr sec^(2)xdx=2tdt`
`therefore" "dx=(2t)/(sec^(2)x)dt=(2t)/(1+tan^(2)x)dt=(2t)/(1+t^(4))dt`
`therefore" "intsqrt(tanx )dx=intt.(2t)/(1+t^(4))dt=int(2t^(2))/(1+t^(4))dt`
`=int((t^(2)+1)+(t^(2)-1))/(1+t^(4))dt`
`=int(t^(2)+1)/(1+t^(4))dt+int(t^(2)-1)/(1+t^(4))dt`
`=int(1+(1)/(t^(2)))/(t^(2)+(1_/(t^(2)))dt+int(1-(1)/(t^(2)))/(t^(2)+(1)/(t^(2)))dt`
`=int((1+(1)/(t^(2))))/((t-(1)/(t))^(2)+2)dt+nt(1-(1)/(t^(2)))/((t+(1)/(t))^(2)-2)dt`
प्रथम समाकलन में `t-(1)/(t)=u` अर्थात `(1+(1)/(t^(2)))dt=du` तथा
द्वितीय समाकलन में `t+(1)/(t)=v` अर्थात `(1-(1)/(t^(2)))dt=dv` रखने
पर
`intsqrt(tanx)dx=int(du)/(u^(2)+(sqrt2)^(2))+int(dv)/(v^(2)-(sqrt2)^(2))`
`=(1)/(sqrt2)tan^(-1)((u)/(sqrt2))+(1)/(2sqrt2)log((v-sqrt2)/(v+sqrt2))+c`
`=(1)/(sqrt2)tan^(-1)((t-1//t)/(sqrt2))+(1)/(2sqrt2)log((t+(1)/(t)-sqrt2)/(t+(1)/(t)+sqrt2))+c`
`=(1)/(sqrt2)tan^(-1)((t^(2)-1)/(sqrtt))+(1)/(2sqrt2)log((t^(2)-sqrt2t+1)/(t^(2)+sqrt2t+1))+c`
`=(1)/(sqrt2)tan^(-1)((tanx-1)/(sqrt(2 tanx)))+(1)/(2sqrt2)log((tanx-sqrt(2 tanx)+1)/(tanx+sqrt(2 tanx)+1))+c`
Discussion
41.

`int(1)/(sqrt(1-x-x^(2)))dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `int(1)/(sqrt(1-x-x^(2)))dx=int(dx)/(sqrt(1-(x+x^(2)))`
`=int(dx)/(sqrt((1+(1)/(4))-(x^(2)+x+(1)/(4))))`
`=int(dx)/(sqrt[((sqrt5)/(2))^(2)-(x+(1)/(2))^(2)])`
`=int(dx)/(sqrt([((sqrt5)/(2))^(2)-t^(2)]))" जहाँ "x+(1)/(2)= t rArr dx=dt`
`=sin^(-1)((t)/(sqrt5//2))+c=sin^(-1)[(2(x+(1)/(2)))/(sqrt5)]+c`
`=sin^(-1)((2x+1)/(sqrt5))+c`
Discussion
42.

`(x^(2))/((x^(2)+1)(x^(2)+4)(x^(2)+9))`

Answer» Correct Answer - `-(1)/(24)tan^(-1)x+(2)/(15)tan^(-1)((x)/(2))-(3)/(40)tan^(-1)`
माना `x^(2)=t` तब
`(x^(2))/((x^(2)+1)(x^(2)+4)(x^(2)+9))=(t)/((t+1)(t+4)(t+9))`
`=-(1)/(24(t+1))+(4)/(15).(1)/((t+4))-(9)/(40(t+9))`
(आंशिक भिन्नो से )
Discussion
43.

`(1)/((e^(x)-1)^(2))dx` का मान होगा -A. `x+log|e^(x)-1|+(1)/(e^(x)-1)`B. `x-log(e^(x)-1)-(1)/(e^(x)-1)`C. `x+log|e^(x)-1|-(1)/(e^(x)-1)`D. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion
44.

`int(dx)/(x^(2)+4x+13)` का मान होगा -A. `log|x^(2)+4x+13|+c`B. `(1)/(3)tan^(-1)((x+2)/(3))+c`C. `log|(2x+4)|+c`D. `(2x+4)/((x^(2)+4x+13)^(2))+c`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
45.

सिद्ध कीजिए कि (iv) `int(1)/(sinx(3+2 cosx))dx=(1)/(10)log(1-cosx)-(1)/(2)log(1+cosx)+(2)/(5)log(3+2 cos x)+c`

Answer» (iv) `int(1)/(sin x(3+2 cos x))dx`
`=int(sinx)/(sin^(2)x(3+2 cos x))dx=int(sinx)/((1- cos^(2)x)(3+2 cos x))dx`
माना `cos x = t` तथा आंशिक भिन्नों के द्वारा हल करने पर
Discussion
46.

`(x^(2)+1)/(x^(4)+1)`

Answer» Correct Answer - `(1)/(sqrt2)tan^(-1)((x^(2)-1)/(xsqrt2))`
`int(x^(2)+1)/(x^(4)+1)dx=int((1+(1)/(x^(2))))/((x^(2)+(1)/(x^(2))))dx=int((1+(1)/(x^(2))))/((x-(1)/(x))^(2)+2)dx`
माना `x-(1)/(x)=t rArr (1+(1)/(x^(2)))dx=dt`
Discussion
47.

`int(dx)/((9x^(2)-1))`

Answer» `(1)/(6)log|(3x-1)/(3x+1)|+c`
Discussion
48.

`int(dx)/((1-4x^(2)))`

Answer» `(1)/(4)log|(1+2x)/(1-2x)|+c`
Discussion
49.

सिद्ध कीजिए कि (i) `int(3x+1)/(sqrt(5-2x-x^(2)))dx=-3sqrt(5-2x-x^(2))-2sin^(-1)((x+1)/(sqrt6))+c`

Answer» (i) `int(3x+1)/(sqrt(5-2x-x^(2)))dx`
`=-(3)/(2)int((-2x))/(sqrt(5-2x-x^(2)))dx+int(1)/(sqrt(5-2x-x^(2)))dx`
`=-(3)/(2)int((-2x-2))/(sqrt(5-2x-x^(2)))dx-int(2)/(sqrt(5-2x-x^(2)))dx`
Discussion
50.

सिद्ध कीजिए कि (i) `int(dx)/(x(1+logx)(3+logx))=(1)/(2)log[(1+logx)/(3+logx)]+c`

Answer» (i) माना `log x=t rArr (1)/(x)dx=dt` तथा आंशिक भिन्नों के द्वारा हल करने पर
Discussion