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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

सदिश `(-2hati+hatj-5hatk)` की दिक्-कोज्यायें ज्ञात कीजिए।

Answer» Correct Answer - `-(2)/(sqrt(30)),(1)/(sqrt(30)),(-5)/(sqrt(30))`
Discussion
2.

उस कोण का ज्ञात कीजिए जो सदिश `(sqrt(2)hati+hatj+hatk)` y-अक्ष के साथ बनाता है।

Answer» Correct Answer - `cos theta=(1)/(2)`
Discussion
3.

XY -तल में X -अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में ` 30^(@)` का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिय|

Answer» यहाँ ` theta =30^(@)`
अभीष्ट मात्रक सदिश
` vec r=cos 30^(@) hati +sin 30^(@) hatj =(sqrt( 3))/( 2)hati +(1)/(2)hatj `
Discussion
4.

निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशियों के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए- (i ) समय काल , (ii ) दुरी (iii ) बल, (iv ) वेग (v ) कार्य, (vi ) त्वरण (vii ) शक्ति|

Answer» अदिश राशि-समय कालांश, दुरी, कार्य, शक्ति
सदिश राशि- बल, वेग, त्वरण
Discussion
5.

निम्नलिखित मापों मे सदिश के रूप को ज्ञात कीजिए

Answer» (i) आयतन की इकाई अदिश है।
(ii) बल की इकाई सदिश है।
(iii) गति की इकाई अदिश है।
(iv) समय की इकाई अदिश है।
Discussion
6.

निम्नलिखित मापों को अदिश और सदिश के रूप में वर्गीकरण करें| (i) 5 सेकंड , (ii) `30 km//hr` (iii) `10gm//cm^(3)`, (iv) 10 Newton (v) 20 m/sec towards north, (vi) `1000cm^(3)`

Answer» (i) समय-अदिश , (ii) चाल-अदिश
(iii) धनत्व अदिश , (iv) बल-सदिश
(v) वेग-सदिश , (vi) आयतन-अदिश
Discussion
7.

सदिशों`2hati-hatj+hatk` तथा `3hati+4hatj-hatk` से जाने वाले समतल के लम्बवत इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

Answer» माना `veca=2hati-hatj+hatk` तथा `vecb=3hati+4hatj-hatk`
`vecaxxvecb=|(hati,hatj,hatk),(2,-1,1),(3,4,-1)|=hati(1-4)-hatj(-2-3)+hatk(8+3)`
`=-3hati+5hatj+11hatk`
`:.|vecaxxvecb|=sqrt((-3)^(2)+(5)^(2)+(11)^(2))`
`=sqrt(9+25+121)=sqrt(155)`
यदि सदिशों के लम्बवत इकाई सदिश `hatn` है तब
`hatn=(vecaxxvecb)/((|vecaxxvecb|))=(-3hati+5hatj+11hatk)/(sqrt(155))`
Discussion
8.

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएं `3hati+2hatj-hatk` और `hati+2hatj+3hatk` है।

Answer» मान लो समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएं `veca=3hati+2hatj-hatk` तथा `vecb=2hati+2hatj+3hatk` है।
सूत्र समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल `=|axxb|`
अब `vecaxxvecb=(3hati+2hatj-hatk)xx(hati+2hatj+3hatk)`
`=|(hati,hatj,hatk),(3,2,-1),(1,2,3)|`
`hati(6+2)-hatj(9+1)+hatk(6-2)=8hati-10hatj+4hatk`
`|vecaxxvecb|=sqrt((8^(2))+(-10)^(2)+(4)^(2))`
`=sqrt(64+100+16)=sqrt(180)=6sqrt(5)` वर्ग मात्रक
अतः अभीष्ट समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल `=6sqrt(5)` वर्ग मात्रक
Discussion
9.

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएं `veca=3hati+hatj+4hatk` और `vecb=hati-hatj+hatk` द्वारा दी गई है।

Answer» `:.` समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल `=|vecaxxvecb|`
`:. vecaxxvecb=|(hati,hatj,hatk),(3,1,4)lt(1,-1,1)|=5hati+hatj-4hatk`
और `|vecaxxvecb|=sqrt(25+1+16)=sqrt(42)`
अतः समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल `=sqrt(42)`
Discussion
10.

चार बिंदुओं A,B,C,D के स्थिति क्रमश: `3hati- 2hatj -hatk, 2hati + 3hatj - 4hatk, -hati +hatj + 2hatk` तथा `4hati + 5hatj + lambdahatk` हैं| `lambda` का मान ज्ञात करें यदि, A,B,C,D समतलीय हैं|

Answer» `vec(AB) = vec(OB) - vec(OA) = -hati + 5hatj - 3hatk`
`vec(AC) = vec(OA) =-hati + 5hatj - 3hatk`
`vec(AC) = vec(OC)- vec(OA) =-4hati + 3hatj + 3hatk`
तथा `vec(AD) = vec(OD) - vec(OA) = hati + 7hatj + (lambda+1) hatk`
चूँकि A,B,C,D समतलीय हैं, इसलिए `vec(AB), vec(AC), vec(AD)` समतलीय हैं|
`therefore vec(AD)=x vec(AB) + y vec(AC)`
या, `hati+ 7hatj (lambda +1)hatk =x(-hati + 5hatj - 3hatk)+y(-4hati + 3hatj + 3hatk)= -(x+4y)hati + (5x+3y)hatj -3(x-y)hatk` ,
`hati, hatj, hatk` के गुणांकों को बराबर करने पर मिलता हैं,
`-x-4y=1`.............(1)
`5x+3y=7`............(2)
`-3(x-y)=lambda+1`.............(3)
समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर हमें मिलता हैं, `x=31/17, y = -12/17`, (3) से, `lambda=-1-3(x-y)=-1-3(31/17+12/17)=-146/17`
Discussion
11.

यदि `veca=(hati+hatj+hatk), vecb=(4hati-2hatj+3hatk)` तथा `vecc=(hati-2hatj+hatk)`, तब परिमाण 6 इकाई का सदिश ज्ञात कीजिए जो सदिश `(2veca-vecb+3vecc)` के समान्तर है।

Answer» Correct Answer - `pm2(hati-2hatj+2hatk)`
Discussion
12.

यदि एक कण पर नियत बल `4hati+hatj-3hatk` तथा `3hati+hatj-hatk` आरोपित किये जाते है तब कण बिंदु `hati+2hatj+3hatk` से बिंदु `5hati+4hatj+hatk` तक विस्थापित हो जाता है तब बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिएः।A. 50 इकाईB. 40 इकाईC. 24 इकाईD. 0

Answer» दिया है `F_(1)=4hati+ahatj-3hatk, F_(2)=3hati+hatj-hatk` तथा `OA=hati+2hat+3hatk, OB=5hati+4hatj+hatk` तब, परिणामी बल `F=F_(1)+F_(2)` तथा `AB=OB-OA=5(hati+4hatj+hatk)-(hati+2hatj+3hatk)` कुल किया गया कार्य =F.AB `=(7hati+2hatj-4hatk).(4hati+2hatj-2hatk)=28+4+8=40` इकाई
Discussion
13.

यदि `vecr_(1) = 3hati -2hatj + hatk, vecr_(2) = 2hati - 4hatj - 3hatk` तथा `vecr_(3) = -hati + 2hatj + 2hatk, 2vecr_(1) - 3vecr_(2) -5vecr_(3)` का मापांक निकालें|

Answer» `2vecr_(1) - 3vecr_(2) - 5vecr_(3) = 5hati - 2hatj + hatk`
`therefore |2vecr_(1)-3vecr_(2) - 5vecr_(3)| = sqrt(5^(2) + (-2)^(2) + 1^(2))=sqrt(30)`
Discussion
14.

यदि सदिश `vec(AB)=3hati+4hatk` तथा `vec(AC)=5hati-2hatj+4hatk` त्रिभुज की भुजाओं को प्रदर्शित करते है, तब A पर माध्यिका की लम्बाई-A. `2sqrt(7)`B. `3sqrt(2)`C. `sqrt(14)`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - b
Discussion
15.

सदिश a और b के बारे में निम्नलिखित असमिकाओ पर विचार कीजिएः `I.|a+b| le |a|+|b|` II. `I.|a-b| ge |a|-|b|` उपरोक्त में कौन-सा सही है/है?A. केवल IB. केवल IIC. I और II दोनोंD. न तो I और न ही II

Answer» Correct Answer - C
I.सत्य, चुकी दो भुजाओ का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है
II. सत्य, दो भुजाओ का अंतर तीसरी भुजा से सदैव छोटा होता है
Discussion
16.

निम्नलिखित कथनो पर विचार कीजिएः I.`4hatixx3hati=0` `(4hati)/(3hati)=(4)/(3)` उपरोक्त कथनो में से कोण-सा/से कथन सही है?A. केवल IB. केवल IIC. I और ii दोनोंD. न तो i और न ही II

Answer» Correct Answer - A
दिया है `4hatixx3hati=12(hatixxhati)=12xx0=0[therefore hatixxhati=0]`
II. `(4hati)/(3hati)` [जोकि संभव है]
अंत: केवल कथन I सत्य है
Discussion
17.

यदि |a|=2, और |b|=3 तो `|axxb|^(2)+|a.b|^(2)` किसके बराबर हैA. 72B. 64C. 48D. 36

Answer» Correct Answer - D
दिया है `|a|=2, |b|=3`
`|a xx b|^(2)+|a.b|^(2)`
`=|a|^(2) |b|^(2) sin^(2)theta+|a|^(2)|b|^(2) cos^(2)theta`
`=|a|^(2)|b|^(2)(sin^(2) theta+cos theta)`
`=|a|^(2)" "|b|^(2)(sin^(2)theta+cos^(2)theta)`
`=|a|^(2) |b|^(2)4xx9=36`
Discussion
18.

दो सदिशों और के लंबकोणिक एकक लम्बाई का साहिश क्या हैA. `(-4hati+3hatj-hatk)/(sqrt26)`B. `(-4hati+3hatj+hatk)/(sqrt26)`C. `(-3hati+2hatj-hatk)/(sqrt14)`D. `(-3hati+2hatj+hatk)/(sqrt14)`

Answer» Correct Answer - B
माना `a=hati+hatj+hatk`
तथा `b=2hati+3hatj-hatk`
तब, `axxb=|{:(,hati,hatj,hatk),(,1,1,1),(,2,3,-1):}|`
एकक लम्बाई का सदिश, जोकि दोनों सदिशों के लंबकोणिक है `=hati(-1-3)-hatj(-1-2)+hatk(3-2)`
अंत: `therefore axxb=-4hati+3hatj+hatk`
`(axxb)/(|axxb|)=(-4hati+3hatj+hatk)/(sqrt((-4)^(2)+(3)^(2)+(1)^(2)))`
`=(-4hati+3hatj+hatk)/(sqrt(16+9+1))`
`=(-4hati+3hatj+hatk)/(sqrt26)`
Discussion
19.

विकरणों और वाले समान्तर चतरभुज का क्षेत्रफल क्या हैA. `5sqrt5` वर्ग इकाईB. `4sqrt5` वर्ग इकाईC. `5sqrt3` वर्ग इकाईD. `15sqrt2` वर्ग इकाई

Answer» Correct Answer - C
दिया है `d_(1)=3hati+hatj-2hatk`
तथा `d_(2)=hati-3hatj+4hatk`
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल तब `=(1)/(2)|d_(1)xxd_(2)|`
`d_(1) xx d_(2)=|{:(,hati,hatj,hatk),(,3,1,-2),(,1,-3,4):}|`
`=hati(4-6)-hatj(12+2)+hatk(-9-1)`
`d_(1)xxd_(2)=-2hati-14hatj-10hatk`
अब `|d_(1)xxd_(2)|=sqrt((-2)^(2)+(-14)^(2)+(-10)^(2))`
`=sqrt(4+196+100)`
`=sqrt300=10sqrt3`
अंत: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
`=(1)/(2)xx10sqrt3=5sqrt3` वर्ग इकाई
Discussion
20.

यदि सदिश `veca` और `vecb` के लिए `|veca+vecb|=sqrt(29)` और `vecaxx(2hati+3hatj+4hatk)=(2hati+3hatj+4hatk)xxvecb` है तब `(veca+vecb).(-7hati+2hatj+3hatk)` का एक सम्भावित मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `vecaxx (2hati+3hatj+4hatk)=(2hati+3hatj+4hatk)xxvecb`
`:. vecaxx(2hati+3hatj+4hatk)=-vecbxx(2hati+3hatj+4hatk) [ vecaxxvecb=-vecbxxveca]`
`vecaxx(2hati+3hatj+4hatk)+vecb(2hati+3hatj+4hatk)=0`
`(2hati+3hatj+4hatkj)xx(veca+vecb)=0`
`veca+vecb=lamda(2hati=3hatj+4hatk)`
`sqrt(29)= +-lamdasqrt((2)^(2)+(3)^(2)+(4)^(2))`
`sqrt(29)=+-lamda(2+9+16)`
`sqrt(29)=+- lamda sqrt(29)`
`lamda=+-1 impliesveca+vecb(2hati+3hatj+4hatk)`
अब `(veca+vecb).(-7hati+2hatj+3hatk)=+-(2hati+3hatj+4hatk).(-7hati+3hatj+4hatk)`
`=+-(-14+6+12)`
`=+-4`
Discussion
21.

माना `a = -hat(i) + 2hat(j) + 2hat(k)` तथा `b = -2hat(i) + hat(j) + 2hat(k)` दो सदिश हैं, तब a तथा b से सामान कोण पर झुका सदिश होगाA. `-3hati+3hatj+4hatk`B. `2hati-2hatj+3hatk`C. `hati+hatj`D. `hati-hati+5hatk`

Answer» Correct Answer - D
यदि c दोनों सदिश A तथा B के साथ सामान कोण बनाये, तब
a.c=b.c
`Rightarrow c=hati-hatj+5hatk`
Discussion
22.

एक `triangleABC` की संगलन भुजाओ AB और AC क्रमश: सदिशों और `-2hati+3hatj+2hatk` द्वारा `-4hati+5hatj+2hatk` निरूपित की जाती है `triangleABC` का क्षेत्रफल क्या हैA. 6 वर्ग इकाईB. 5 वर्ग इकाईC. 4 वर्ग इकाईD. 3 वर्ग इकाई

Answer» Correct Answer - D
दिया है `triangleABC` में,
`AB=-2hati+3hatj+2hatk`
तथा `AC=-4hati+5hatj+2hatk`
स्पस्ट है की `triangleABC` का क्षेत्रफल `=(1)/(2)|AB xx AC|....(i)`
अब, हमे सबसे पहले `AB xx AC` का मन ज्ञात करना होआ?
`AB xx AC` `therefore AB xx AC=|{:(,hati,hatj,hatk),(,-2,3,2),(,-4,5,2):}|`
`=hati(6-10)-hatj(-4+8)+hatk(-10+12)`
अब, `=-4hati-4hatj+2hatk`
`|AB xx AC|A`
`=sqrt((-4)^(2)+(-4)^(2)+(2)^(2))=sqrt36=6`
समय (1) से `triangleABC` का क्षेत्रफल `therefore triangleABC` `=(1)/(2)xx6=3` वर्ग इकाई
Discussion
23.

मान लीजिये तीन सदिश `a = 2hat(i) + 3hat(j) - 6hat(k)`, `b = 2hat(i) - 3hat(i) + hat(k)` तथा `c = -2hat(i) + 3hat(j) + 6hat(k)` हैं तथा `a_(1)` सदिश a का सदिश b पर प्रक्षेप, `a_(2)` सदिश `a_(2)` का सदिश c पर प्रक्षेप हैं। निम्न में से कोण सा सत्य हैA. a तथा `a_(2)` संरेखीये हैB. `a_(1)` तथा c संरेखीये हैC. `a, a_(1)` तथा b संतलिये हैD. `a,a_(1)` तथा `a_(2)` समतलीय है

Answer» Correct Answer - C
`a,a_(1)` तथा b संतलिये होंगे, क्युकी `a_(1)` तथा b सरेखीये है
Discussion
24.

यदि सदिश `hati-xhatj-yhatk` और `hati+xhatj+yhatk` एक-दूसरे के लंबकोनिये हो, तो बिंदु का (x,y) बिन्दुपथ क्या हैA. परवलयB. दीर्घवृतC. वृत्तD. सरल रेखा

Answer» Correct Answer - C
माना `a=hati-xhatj-yhatk`
तथा `b=hati+xhatj+yhatk`
`therefore` दिए गए सदिश लंबकोनिये है a.b=0
`Rightarrow (i-xhatj-yhatk).(hati+xhatj+yhatk)`
`Rightarrow 1-(x)(x)-(y)(y)=0`
`Rightarrow 1-x^(2)-y^(2)=0`
`Rightarrow x^(2)+y^(2)=1`
`therefore` समीकरण एक वृत्त के समीकरण को दर्शाता है जोकि अभीष्ट बिन्दुपथ है
Discussion
25.

a और b के बिच का कौन क्या हैA. `pi//6`B. `pi//4`C. `pi//3`D. `pi//2`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
26.

(a-b) और (a-b) के बिच कौन क्या हैA. `(pi)/(2)`B. `(pi)/(3)`C. `(pi)/(6)`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - D
`therefore (a+b).(a-b)=|a|^(2)-|b|^(2)`
माना (a+b) तथा (a-b) के बिच को कोण `theta` है
तब `cos theta=((a+b).(a-b))/((|a+b||a-b|))`
`cos theta=((a+b).(a-b))/((|a+b||a-b|))`
`=((7)^(2)+(11)^(2))/(10sqrt3xx2sqrt10)=((7+11)(7-11))/(20sqrt3xxsqrt10)`
`=(18xx(-4))/(20sqrt30)=(-18)/(5sqrt30)`
`=(-6xx3)/(5sqrt30)xx(sqrt30)/(sqrt30)=("-6xx3sqrt30)/(5xx30)=-(3sqrt30)/(25)`
`therefore theta=cos^(-1)((3)/(5)sqrt((6)/(5)))`
जोकि अभीष्ट कोण है
Discussion
27.

सदिश `-hati+(1)/(2)hatj+4hatk, hati+(1)/(2)hatj+4hatk, hati-(1)/(2)hatj+4hatk` एव `-hati-(1)/(2)hatj+4hatk` वाले शीर्षो A,B,C तथा D से बने आयत का क्षेत्रफल क्या हैA. 1/2 वर्ग इकाईB. 1 वर्ग इकाईC. 2 वर्ग इकाईD. 4 वर्ग इकाई

Answer» Correct Answer - C
माना आयत ABCD के शीर्षो के स्थिति सदिश निम्न है
`OA=-hati+(hatj)/(2)+4hatk`
`OB=hati+(hatj)/(2)+4hatk`
`OC=hati-(hatj)/(2)+4hatk`
`OD=-hati-(hatj)/(2)+4hatk`
AB=OB-OA
`(hati+(hatj)/(2)+4hatk)-(-hati+(hatj)/(2)+4hatk)`
`=2hati`
BC=OC-OB
`=(hati-(hatj)/(2)+4hatk)-(-hati+(hatj)/(2)+4hatk)-hatj`
CD=OD-OC
`=(-hati-(hatj)/(2)+4hatk)-(hati-(hatj)/(2)+4hatk)`
DA=OA-OD
`=(-hati+(hatj)/(2)+4hatk)-(-hati+(hatj)/(2)+4hatk)`
`therefore आयत का क्षेत्रफल =|AB|.|BC|`
`=|(2hati)|(-hatj)|=2.11=2` वर्ग इकाई
Discussion
28.

यदि तथा सदिश b ,c के बिच का कोण है, तोA. `cos theta=(|a|^(2)+|b|^(2)-|c|^(2))/(2|b||c|)`B. `cos theta=(|a|^(2)-|b|^(2)-|c|^(2))/(2|b||c|)`C. `cos theta=(|a|^(2)-|b|^(2)+|c|^(2))/(2|b||c|)`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion
29.

यदि |a+b|=|a-b| है तो निम्नलिखित में से कौन-सा एक सही हैA. |a|=|b|B. a,b के समान्तर हैC. a,b पर लम्ब हैD. एक मात्रक सदिश है

Answer» Correct Answer - C
`therefore |a+b|=|a-b|`
`Rightarrow [|a+b|]^(2)=[|a-b|]^(2)` दोनों है पक्षों के वर्ग करने पर
`Rightarrow a.a+b.b+a.b+b.a`
`=a.a+b.b-a.b-b.a`
`Rightarrow a.b +b.a+a.b+b.a=0`
`Rightarrow 2a.b +2b.a=0`
`Rightarrow 2a.b +2a.b+=0" "[therefore a.b=b.a]`
`Rightarrow 4a.b=0`
`therefore a.b=0`
अंत: a,b पर लम्ब है
Discussion
30.

यदि `|{:(,a,b,c),(,a^(2),b^(2),c^(2)),(,a^(3)+1,b^(3)+1,c^(3)+1):}|=0" जहाँ "A=(1,a,a^(2))`, B=`(1,b,b^(2))` तथा C=`(1,c,c^(2))` असमतलिये है तो abc बराबर हैA. 1B. `-1`C. 0D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
दिए हुए सरणिक को दो सारणिकों में विभक्त करने पर,
`Delta = (abc + 1) |{:( 1,1,1), (a,b,c), (a^(2) , b^(2) , c^(2)):}|`
`= (abc + 1) = D = 0`
जबकि , `D ne 0 = abc + 1 = 0`
`therefore abc = -1`
Discussion
31.

यदि |a|=2, |b|=5 और `a.b |axxb|=8` तो a,b किसके बराबर हैA. 6B. 7C. 8D. 9

Answer» Correct Answer - A
दिया है `|a|=2, |b|=5` और `|axxb|=8`
हम जानते है की `|axxb|=|a|.|b|.|sin theta|`
`Rightarrow |sin theta|=(|axxb|)/(|a|.|b|)=(8)/(2xx5)=(4)/(5)`
`Rightarrow |sin theta|=(4)/(5)`
तथा `|cos theta|=(3)/(5) Rightarrow cos theta=pm (3)/(5)`
`therefore a.b=|a|.|b|cos theta`
`=2xx5xx3//5=6`
Discussion
32.

यदि किसी त्रिभुज ABC के शीर्षों के किसी बिंदु O के सापेक्ष स्थिति सदिश क्रमशः `veca,vecb`तथा `vecc` है तो सिद्ध कीजिए कि `DeltaABC` का क्षेत्रफल `=1/2 |vecbxxvecc+veccxxveca+vecaxxvecb|`

Answer» माना `O` मूलबिंदु है तब `vec(OA)=veca,vec(OB)=b,vec(OC)=vecc`
तब `vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)=vecb-veca`
`vec(AC)=vec(OC)=vecc-veca`
`DeltaABC` का क्षेत्रफल `=1/2|vec(AB)xxvec(AC)|=1/2|(vecb-veca)xx(vecc-veca)|`
`=1/2|vecbxx(vecc-veca)-vecaxx(veccxxveca)`
`=1/2|vecbxxvecc-vecbxxveca-vecaxxvecc+vecaxxveca|`
`=1/2|vecbxxvecc+vecaxxvecb+veccxxveca|`.
`=1/2|vecbxxvecc+veccxxveca+vecaxxvecb|`
Discussion
33.

यदि |a|=5, |b|=6 तथा a.b=-25 तब `|axxb|` का मान हैA. 25B. `6sqrt11`C. `11sqrt5`D. `5sqrt11`

Answer» Correct Answer - D
दिया है , `|a| = 5 , |b| = 6` तथा `a * b = - 25`
`because |a xx b|^(2) + |a * b|^(2) = |a|^(2) |b|^(2)`
`implies |a xx b|^(2) + (-25)^(2) = (5)^(2) (6)^(2)`
`implies |a xx b|^(2) + 625 = 25 xx 36`
`implies |a xx b|^(2) = 900 - 625`
`implies | a xx a|^(2) = 275`
`implies | a xx b | = sqrt(275) = 5sqrt(11)`
Discussion
34.

सदिश `axxbxxa` किसके साथ संतलिये हैA. केवल a केB. केवल b केC. a एव b दोनों केD. न तो a के और न ही b के

Answer» Correct Answer - C
दिया है की `axx (bxxa)` जोकि एक सदिश त्रिक गुणन है `=(a.a)b-a(a.b)a=lambdab-mua` जहा `lambda` तथा `mu` आदिश राशि है यहाँ `axx (bxxa),a` तथा b दोनों के साथ संतलिये है
Discussion
35.

यदि `axxb=cxxd" "axxc=bxxd |axxb|` और `axxc=bxxd` है a-d और b-c हैA. परस्पर लंबवतB. परस्पर समान्तरC. a-d और b-c शून्य सदिशD. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
`because a xx b = c xx d " "` [दिया है]
`a xx c = b xx d " " … (i)`
`therefore (a-d) xx (b-c) = a xx b - a xx c - d xx b + d xx c`
`= c xx d - b xx d - d xx b + d xx c ` [सभी (i ) से ]
`= c xx d - b xx d + b xx d - c xx d = 0`
अतः `a - d` और `b -c` संदिश समान्तर है ।
Discussion
36.

यदि a.b=0 एव `axxb=0` है, तब निम्नलिखित में से कोण-सा एक सही है?A. a समान्तर है b केB. a लंबवत है b केC. a एव b दोनों केD. न तो a के और न ही II

Answer» Correct Answer - C
दिया है `a.b=0 Rightarrow a b cos theta=0`
`Rightarrow a=0, b=0 theta=90^(@)`
तथा `axxb=0`
`Rightarrow a=0, b=0 theta=0^(@)`
अंत a=0 अथवा b=0
Discussion
37.

यदि a b एव c सामान परिमाण के परस्पर लांब सदिश हो तो a और (a+b+c) के बिच का कोण हैA. `pi//3`B. `pi//6`C. `cos^(-1) 1sqrt3`D. `pi//2`

Answer» Correct Answer - C
`therefore a,b व c ` परस्पर लम्ब है
`therefore a.b=b.c=c.a=0 `
`therefore a (a+b+c) ` के बिच के कोण `theta` के लिए
`cos theta=(a.(a+b+c))/(|a|.|a+b+c|)`
अब `, |a|=|b|=|c|=a` [दिया है] ......(1)
`therefore |a+b+c|^(2)`
` =|a|+|b|+|c|^(2)+2a.b+2b.c+2c.a`
`=|a|^(2)+|b|^(2)+|c|^(2)+2(0)`
`=a^(2)+a^(2)+a^(2)` [समय (1) से]
`=3a^(2)|a+b+c|=asqrt3`
`therefore cos theta=(a^(2)+0+0)/(a(asqrt3))=(1)/(sqrt3)`
`therefore cos theta=(a^(2)+0+0)/(a(asqrt3))=(1)/(sqrt3)`
Discussion
38.

निम्नलिखित सदिशों में से कौन-सा एक सदिश `hati+hatj+hatk` के अभिलम्ब है?A. `hati+hatj-hatk`B. `hati-hatj+hatk`C. `hati-hatj-hatk`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - D
माना `a=hati+hatj+hatk`
यदि भी सदिश, सदिश पर लम्ब है तब इन दोनों सदिशों का सदिशों का आदिश गुणन हमेशा सुनए होता है
`(a) (hati+hatj+hatk).(hati+hatj-hatk)`
(b) `=1+1-1 ne 0`
`(b)(hati+hatj+hatk).(hati-hatj+hatk)=1-1+1 ne 0`
`(c) (hati+hatj+hatk).(hati-hatj-hatk)=1-1-1=-1 ne 0`
Discussion
39.

यदि |a|=10, |b|=2 तथा a.b=12 है तो `|axxb|` का मान हैA. 16B. 256C. `-16`D. `-256`

Answer» Correct Answer - A
यहाँ `|a|=10,|b|=2 a.b=12` [दिया है]
`therefore |a xx b|=|a| |b| sin theta`
`therefore |a xx b|^(2)=|a|^(2) |b|^(2) sin^(2) theta`
` =|a|^(2) |b|^(2)(1-cos^(2)theta)`
` =|a|^(2) |b|^(2)|a|^(2) |b|^(2) cos^(2)theta`
` =|a|^(2) |b|^(2)-(a.b)^(2)` `[therefore a.b=|a||b| cos theta]`
`=100xx4-144=256`
`|a xx b|=16`
Discussion
40.

बिन्दुओ A तथा B के स्थिति-सदिश लिखिए जिनके निर्देशांक क्रमशः (1,2,-1) और (2,-3,1) है। `vec(AB)` ज्ञात कीजिये।

Answer» माना मूलबिन्दु O के सापेक्ष A तथा B के स्थिति-सदिश निम्न है-
`vec(OA)=1(hati)+2(hatj)-1(hatk)=hati+2hatj-hatk`
`vec(OB)=2(hati)-3(hatj)+1(hatk)=2hati-3hatj+hatk`
अतः `vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)=(2hati-3hatj+hatk)-(hati+2hatj-hatk)`
`=(2hati-hati)+(-3hatj-2hatj)+(hatk+hatk)`
`=hati-5hatj+2hatk`
Discussion
41.

दो बिंदु A तथा B के स्थिति सदिश क्रमशः `2hati+3hatj-4hatk` तथा `2hati-2hatj+hatk` है। AB सरल रेखा पर उस बिंदु `P` का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जो AB को `2:3` के अनुपात में विभाजित करता है।

Answer» माना `O` मूल बिंदु है तब
`vec(OA)=2hati+3hatj-4hak`
तथा `vec(OB)=2hati-2hatj+hatk,m:n=2:3`
`:.vec(OP)=(m.vec(OB)+3.vec(OA))/(m+n)`
`=(2xx(2hati-2hatj+hatk)+3xx(2hati+3hatj-4hatk))/(2+3)`
`=(4hati-4hatj+2hatk+6hati+9hatj-12hatk)/5`
`=(10hati+5hatj-10hatk)/5`
`=(5(2hati+hatj-2hatk))/5`
`=2hati+hatj-2hatk`
Discussion
42.

उस वर्ग का जिसका, एक विकर्ण `3hati-4hatj` है क्षेत्रफल क्या हैA. 12 वर्ग इकाईB. 12.5 वर्ग इकाईC. 25 वर्ग इकाईD. 156.25 वर्ग इकाई

Answer» Correct Answer - B
विकर्ण `=sqrt(9+16)=sqrt25=5` की लम्बाई
माना वर्ग की एक भुजा की लम्बाई l है `lsqrt2=5 Rightarrow l=(5)/(sqrt2)`
तब `=l^(2)=((5)/(sqrt2))=(25)/(2)`
क्षेत्रफल `therefore=l^(2)=((5)/(sqrt2))=(25)/(2)`
=12.5 वर्ग इकाई
Discussion
43.

यही बिंदु (5,n) का स्थिति सदिश इस प्रकार का है कि |a|=13, तो n का/के मान क्या हो सकता/सकते हैA. `pm8`B. `pm12`C. केवल 8D. केवल 12

Answer» Correct Answer - B
दिया है `hata=5hati+nhatj`
`therefore |a|=sqrt(25+n^(2))=13`
`Rightarrow 25+n^(2)=169`
`Rightarrow n^(2)=189-25=144`
`Rightarrow n^(2)=169-25=144`
`Rightarrow n=pm 12 `
Discussion
44.

बिन्दुओं A तथा B के स्थिति सदिश क्रमशः `2hati+3hatj` तथा `3hatj+8hatk` हो तो बिन्दु C का स्थिति-सदिश ज्ञात कीजिए, यदि यह बिन्दु रेखाखण्ड को `1 : 2` के अनुपात में विभाजित करता है-

Answer» माना मूलबिन्दु O के सापेक्ष A तथा B के स्थिति-सदिश निम्न है-
`vec(OA)=2hati+3hatj,vec(OB)=3hatj+8hatk`
`vec(OC)=(1.(vec(OB)) +2.(vec(OA)))/(1+2)`
`=((3hatj+8hatk)+2(2hati+3hatj))/(3)=(4hati+9hatj+8hatk)/(3)`
`=(4)/(3)hati+(9)/(3)hatj+(8)/(3)hatk=(4)/(3)hati+3hatj+(8)/(3)hatk`
Discussion
45.

यदि `a+2b+3c=0` और `(axxb)+(bxxc)+(cxxa)=lambda(bxxc)` है तो, `lambda` का मान हैA. 2B. 3C. 4D. 6

Answer» Correct Answer - D
दिया है `(axxb)+(bxxc)+(cxxa)=lambda(bxxc)`
`Rightarrow (axxb)+(1-lambda)(bxxc)+(cxxa)=0`
`Rightarrow -(2b+3c)xxb+(1-lambda)(bxxc)+(cxxa)=0[therefore a+2b+3c=0]`
`Rightarrow 3(bxxc)+(1-lambda)(bxxc)+cxx(-2b-3c)=0`
`[therefore bxxb=0 bxxc=-cxxb]`
`Rightarrow (3+1-lambda)(bxxc)-2(cxxb)-3(cxxc)=0`
`Rightarrow 2(bxxc)+(4-lambda)(bxxc)-3(cxxc)=0`
`Rightarrow (4-lambda+2)(bxxc)=0`
`Rightarrow (6-lambda)(bxxc)=0[therefore bxxc ne 0]`
`Rightarrow (6-lambda)=0 Rightarrow lambda=6`
Discussion
46.

`|a-b|` किसके तुल्ये हैA. `2sqrt2`B. `2sqrt10`C. 5D. 10

Answer» Correct Answer - B
दिया है `|a|=7,|b|=11`
तथा `|a+b|=10sqrt3`
अब `|a-b|^(2)=|a|^(2)+|b|^(2)-2a.b...(i)`
`therefore |a+b|=10sqrt3`
`therefore |a+b|^(2)=100xx3`
`Rightarrow (7)^(2)+(11)^(2)+2a.ab=30`
`Rightarrow 49+121+2a.b=300`
`Rightarrow 2a.b.=300-170 Rightarrow 2a.b.=130`
अब, |a|, |b| तथा 2a.b के मान सभी में रखने पर
`|a-b|^(2)=(7)^(2)+(11)^(2)-130`
`=49+121-130`
`=170-130=40`
`therefore |a-b|=sqrt40=2sqrt10`
Discussion
47.

यदि B और C क्रमश: बिंदाओ B और C के स्थिति सदिश है तो बिंदु D जो ऐसा है कि BD=4BC का स्थिति सदिश क्या हैA. 4(c-b)B. `-4(c-b)`C. `4c-3b`D. `4c+3b`

Answer» Correct Answer - C
दिया है BD=4BC
इसलिए बिंदु D, BC को ब्रह्म रूप 4:3 से के अनुपात में विभाजित करता है
`therefore` D का स्थापित सदिश `therefore` D =`=(4c-3b)/(4-3)=4c-3b`
Discussion
48.

यदि |a|=3, तथा |b|=4 है तब `lambda` के कौन-से मान के लिए के लंभवत है?A. `3//4`B. `4//3`C. `9//16`D. `3//5`

Answer» `therefore (a+lambdab),(a-lambdab)` के लंबवत है
तब `(a+lambdab).(a-lambdab)=0`
`Rightarrow |a|-lambda^(2)|b|^(2)+lambdaa.b-lamdab.a=0` `[therefore a.b=b.a]`
`Rightarrow |a|^(2)-lambda^(2)|b|=0`
`Rightarrow 9-lambda^(2).16=0`
`Rightarrow lambda=3//4`
Discussion
49.

यदि `a=2hati+2hatj+3hatk, b=-hati+2hatj+3hatk` और `c=3hati+hatk` तीन सदिश इस प्रकार है की `(a+tb),c` तो किसके बराबर हैA. 8B. 6C. 4D. 2

Answer» Correct Answer - A
दिया है `a=2hati+2hatj+3hatk`
`b=-hati+2hatj+hatk` तथा `c=3hati+hatj`
अब `a+tb=(2hati+2hatj+3hatk)+t(-hati+2hatj+hatk)`
`=(2-t)hati+(2+2t)hatj+(3+t)hatk`
सदिश a+lb तथा c, एक-दूसरे पर लम्ब सदिश है
`therefore (a+tb).c=0`
`Rightarrow [(2-t)hati+(2+2t)hatj+(3+t)hatk].(3hati+hatj)=0`
`Rightarrow 3(2-t)+2+2t=0`
`Rightarrow 6-3t+2+2t=0`
`therefore t=8`
Discussion
50.

यदि `overset(rightarrow)(alpha)` and `overset(rightarrow)(gamma)` दोनों के अनुलम्ब `overset(rightarrow)(beta)` हो, जहाँ `overset(rightarrow)(alpha)=hatk` और `overset(rightarrow)(gamma)=2hati+3hatj+4hatk` है तो `overset(rightarrow)(beta)` किसके बराबर हैA. `(3hati+2hatj)`B. `(-3hati+2hatj)`C. `(2hati-3hatj)`D. `(-2hati+3hatj)`

Answer» Correct Answer - B
दिया है `vecalpha=veck " तथा "vecgamma=2hati+3hatj+4hatk`
`therefore vecalpha "तथा "vecgamma vecgamma` पर लम्ब सदिश `vecgamma vecbeta` है
अर्थार्त `vecbeta=(vecalphaxxvecgamma)=|{:(,hati,hatj,hatk),(,0,0,1),(,2,3,4):}|`
`=hati(0-3)-hatj(0-2)+hatk(0-0)`
`=(-3hati+2hatj)`
Discussion